VARIANTS[61] = { label: "Вариант 61", tasks: [ { text: `Определите, какое из данных уравнений является приведённым:`, opts: [ ["а", "$4x^2 + x = 0$"], ["б", "$2 - 4x - 3x^2 = 0$"], ["в", "$x^2 - 3x + 2 = 0$"], ["г", "$3x + 2 = 0$"], ["д", "$-x^2 - 3x + 4 = 0$"], ], sol: `Приведённое квадратное уравнение — это уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, у которого коэффициент при $x^2$ равен $1$.
Проверим варианты:

а) $4x^2 + x = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $4$;
б) $2 - 4x - 3x^2 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-3$;
в) $x^2 - 3x + 2 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $1$ — приведённое;
г) $3x + 2 = 0$ — линейное, не квадратное;
д) $-x^2 - 3x + 4 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-1$.

Ответ: в) $x^2 - 3x + 2 = 0$.

` }, { text: `Какое из данных выражений равно выражению $\\dfrac{\\sqrt{16}}{2}$:`, opts: [ ["а", "$\\sqrt{8}$"], ["б", "$8$"], ["в", "$\\sqrt{2}$"], ["г", "$2$"], ["д", "$4$"], ], sol: `Вычислим: $\\sqrt{16} = 4$, тогда $$\\dfrac{\\sqrt{16}}{2} = \\dfrac{4}{2} = 2.$$

Ответ: г) $2$.

` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "острый угол больше $0^{\\circ}$ и меньше $90^{\\circ}$;"], ["б", "если $\\alpha$ — острый угол, то $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$;"], ["в", "центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы;"], ["г", "в любом параллелограмме все углы равны между собой?"], ], sol: `Разберём утверждения:

а) определение острого угла — верно;
б) основное тригонометрическое тождество — верно;
в) свойство описанной около прямоугольного треугольника окружности — верно;
г) в произвольном параллелограмме противолежащие углы равны, но соседние углы в общем случае различны (равенство всех углов выполняется только в прямоугольнике) — не верно.

Ответ: г).

` }, { text: `Найдите наименьшее целое решение неравенства $\\dfrac{5}{x-1} \\geq 0$.`, sol: `Числитель $5 > 0$, поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя.
Дробь определена при $x \\ne 1$. Условие $\\dfrac{5}{x-1} \\geq 0$ выполняется, когда $$x - 1 > 0 \\;\\Longleftrightarrow\\; x > 1.$$ Целые числа, удовлетворяющие неравенству $x > 1$: $2,\\;3,\\;4,\\;\\ldots$
Наименьшее из них — $2$.

Ответ: $2$.

` }, { text: `Сократите дробь $\\dfrac{4x^2 - 9y^2}{2x - 3y}$ и найдите её значение, если $x = 0{,}5$, $y = \\dfrac{2}{3}$.`, sol: `Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Шаг 1. Раскладываем числитель.
Заметим, что $4x^2 = (2x)^2$ и $9y^2 = (3y)^2$, значит числитель — разность квадратов: $$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y).$$ Шаг 2. Сокращаем дробь.
В числителе и знаменателе есть общий множитель $(2x - 3y)$: $$\\dfrac{(2x - 3y)(2x + 3y)}{2x - 3y} = 2x + 3y, \\quad 2x \\neq 3y.$$ Шаг 3. Подставляем значения $x = 0{,}5$, $y = \\dfrac{2}{3}$. $$2 \\cdot 0{,}5 + 3 \\cdot \\dfrac{2}{3} = 1 + 2 = 3.$$

Ответ: $2x + 3y$; значение равно $3$.

` }, { text: `В параллелограмме $ABCD$ углы $BAC$ и $DAC$ равны $45^{\\circ}$ и $30^{\\circ}$ соответственно, $AB = 6$ см. Найдите длину стороны $BC$.`, sol: ` Теорема синусов: в треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов: $$\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B} = \\dfrac{c}{\\sin C}.$$ Свойство параллельных прямых: при пересечении секущей накрест лежащие углы равны.
Шаг 1. Находим $\\angle BCA$.
В параллелограмме $BC \\parallel AD$, а $AC$ — секущая. Углы $\\angle BCA$ и $\\angle DAC$ накрест лежащие, значит $$\\angle BCA = \\angle DAC = 30^{\\circ}.$$ Шаг 2. Записываем известное в $\\triangle ABC$.
$\\angle BAC = 45^{\\circ}$, $\\angle BCA = 30^{\\circ}$, $AB = 6$ — сторона, противолежащая углу $\\angle BCA$.
Сторона $BC$ противолежит углу $\\angle BAC$.
Шаг 3. Применяем теорему синусов. $$\\dfrac{AB}{\\sin\\angle BCA} = \\dfrac{BC}{\\sin\\angle BAC},$$ $$\\dfrac{6}{\\sin 30^{\\circ}} = \\dfrac{BC}{\\sin 45^{\\circ}}.$$ Шаг 4. Подставляем табличные значения $\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$ и $\\sin 45^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$. $$BC = \\dfrac{6 \\sin 45^{\\circ}}{\\sin 30^{\\circ}} = \\dfrac{6 \\cdot \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}}{\\tfrac{1}{2}} = 6\\sqrt{2}\\text{ см}.$$

Ответ: $BC = 6\\sqrt{2}$ см.

` }, { text: `График функции $f(x) = kx + b$ изображён на рисунке. Используя график функции, найдите $k$ и $b$. Запишите формулу функции $y = f(x)$.`, figure: `

`, sol: `Метод (по графику):

Свободный коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$ (значение $y$ при $x = 0$).
Угловой коэффициент $k$ находится по двум точкам $(x_1;\\,y_1)$ и $(x_2;\\,y_2)$ графика по формуле $$k = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$
После нахождения $k$ и $b$ записываем формулу $y = kx + b$.

Например, если на графике видно, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\\,b)$ и проходит через точку $(x_1;\\,y_1)$, то $$k = \\dfrac{y_1 - b}{x_1 - 0},\\qquad f(x) = kx + b.$$

Ответ: $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ определяются по графику указанным способом.

` }, { text: `В геометрической прогрессии произведение третьего и десятого членов равно $120$. Чему равно произведение одиннадцатого и второго членов этой прогрессии?`, sol: `Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 \\cdot q^{n-1},$$ где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.
Шаг 1. Записываем произведение двух членов с номерами $p$ и $q$. $$b_p \\cdot b_q = b_1 q^{p-1} \\cdot b_1 q^{q-1} = b_1^2 \\cdot q^{p+q-2}.$$ Шаг 2. Делаем вывод о произведении.
Произведение зависит только от суммы номеров $p + q$. Значит, если $p + q = r + s$, то $$b_p \\cdot b_q = b_r \\cdot b_s.$$ Шаг 3. Сравниваем суммы номеров.
Для пары $(3, 10)$: сумма $3 + 10 = 13$.
Для пары $(2, 11)$: сумма $2 + 11 = 13$.
Суммы равны, значит и произведения равны: $$b_2 \\cdot b_{11} = b_3 \\cdot b_{10} = 120.$$

Ответ: $120$.

` }, { text: `На изготовление комплекта деталей для холодильной установки бригада затратила $\\dfrac{2}{5}$ часа и выпустила за $8$-часовую смену $640$ деталей. Сколько деталей выпустит бригада за смену, если время на изготовление комплекта деталей будет равно $\\dfrac{4}{15}$ часа?`, sol: `Метод решения задачи по действиям: постепенно находим число комплектов, число деталей в одном комплекте, а затем общее количество деталей.
Шаг 1. Находим, сколько комплектов бригада выпускала за смену в первом случае. Делим всё время смены на время одного комплекта (по правилу деления на дробь — умножаем на обратную): $$8 : \\dfrac{2}{5} = 8 \\cdot \\dfrac{5}{2} = 20\\text{ комплектов}.$$ Шаг 2. Находим, сколько деталей в одном комплекте. По условию за смену выпущено $640$ деталей, всего $20$ комплектов: $$640 : 20 = 32\\text{ детали в комплекте}.$$ Шаг 3. Находим, сколько комплектов будет выпущено за смену при новой норме времени $\\dfrac{4}{15}$ часа: $$8 : \\dfrac{4}{15} = 8 \\cdot \\dfrac{15}{4} = 30\\text{ комплектов}.$$ Шаг 4. Так как в каждом комплекте по $32$ детали, общее количество деталей: $$30 \\cdot 32 = 960\\text{ деталей}.$$

Ответ: $960$ деталей.

` }, { text: `В угол $A$ вписана окружность с радиусом $6$ см и центром в точке $O_1$. Расстояние от центра этой окружности до вершины угла равно $30$ см. Найдите радиус меньшей окружности с центром в точке $O_2$, которая касается сторон данного угла и данной окружности.`, figure: `

`, sol: ` Центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла $A$. Пусть $\\angle A = 2\\alpha$.
Из прямоугольного треугольника, образованного вершиной $A$, центром $O_1$ и точкой касания окружности со стороной угла: $$\\sin\\alpha = \\dfrac{R}{AO_1} = \\dfrac{6}{30} = \\dfrac{1}{5}.$$ Аналогично для меньшей окружности радиуса $r$ с центром $O_2$: $$\\sin\\alpha = \\dfrac{r}{AO_2} \\;\\Longrightarrow\\; AO_2 = \\dfrac{r}{\\sin\\alpha} = 5r.$$ Окружности касаются внешним образом, $O_2$ лежит между $A$ и $O_1$, поэтому $$O_1 O_2 = R + r,\\qquad O_1 O_2 = AO_1 - AO_2 = 30 - 5r.$$ Получаем уравнение: $$30 - 5r = 6 + r \\;\\Longrightarrow\\; 6r = 24 \\;\\Longrightarrow\\; r = 4\\;\\text{см}.$$

Ответ: $r = 4$ см.

` }, ] };