в) Около любого прямоугольника описывается окружность (центр — точка пересечения диагоналей) — верно;
г) Формула длины окружности $C=2\\pi R$ — верно.
Ответ: б)
`
},
{
text: `Какая из следующих последовательностей является геометрической прогрессией? Ответ обоснуйте.
а) $5;\\; 15;\\; 45;\\; \\ldots$
б) $5;\\; 10;\\; 15;\\; \\ldots$
в) $1;\\; 4;\\; 9;\\; 16;\\; \\ldots$
г) $\\dfrac{1}{2};\\; \\dfrac{1}{3};\\; \\dfrac{1}{4};\\; \\dfrac{1}{5};\\; \\ldots$`,
sol: `Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член (начиная со второго) получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$ (знаменатель прогрессии).
а) $5;\\; 15;\\; 45;\\;\\ldots$ $\\dfrac{15}{5}=3,\\;\\dfrac{45}{15}=3$ — отношение постоянное, $q=3$. Это ГП ✓
б) $5;\\; 10;\\; 15;\\;\\ldots$ $\\dfrac{10}{5}=2,\\;\\dfrac{15}{10}=1{,}5$ — отношения разные. Это арифметическая прогрессия ($d=5$).
в) $1;\\; 4;\\; 9;\\; 16;\\;\\ldots$ $\\dfrac{4}{1}=4,\\;\\dfrac{9}{4}=2{,}25$ — отношения разные (квадраты натуральных).
г) $\\dfrac{1}{2};\\;\\dfrac{1}{3};\\;\\dfrac{1}{4};\\;\\ldots$ $\\dfrac{1/3}{1/2}=\\dfrac{2}{3},\\;\\dfrac{1/4}{1/3}=\\dfrac{3}{4}$ — отношения разные.
Ответ: а) $5;\\; 15;\\; 45;\\;\\ldots$ — ГП со знаменателем $q=3$.
`
},
{
text: `Упростите выражение $\\dfrac{m^3}{m+1} \\cdot \\dfrac{m^2+2m+1}{2m^4}$.`,
sol: `Формула квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Правило умножения дробей: $\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{a\\cdot c}{b\\cdot d}$.
Шаг 1. Найдём ОДЗ. Знаменатели не должны равняться нулю: $m+1\\neq 0$ и $2m^4\\neq 0$, значит $m\\neq -1$ и $m\\neq 0$.
Шаг 2. Разложим числитель второй дроби по формуле квадрата суммы. Замечаем, что $m^2+2m+1 = m^2 + 2\\cdot m\\cdot 1 + 1^2 = (m+1)^2$:
$$\\dfrac{m^3}{m+1}\\cdot\\dfrac{(m+1)^2}{2m^4}.$$
Шаг 3. Перемножим дроби и сократим общие множители. В числителе появляется $m^3(m+1)^2$, в знаменателе — $(m+1)\\cdot 2m^4$. Сокращаем $(m+1)$ в первой степени и $m^3$ из степени $m^4$:
$$\\dfrac{m^3(m+1)^2}{(m+1)\\cdot 2m^4} = \\dfrac{m+1}{2m}.$$
Ответ: $\\dfrac{m+1}{2m}$.
`
},
{
text: `Около окружности с радиусом $4$ см описана равнобедренная трапеция,
площадь которой равна $80$ см². Найдите длину боковой стороны этой трапеции.`,
sol: `Свойство 1. Высота трапеции, описанной около окружности, равна диаметру вписанной окружности:
$$h = 2r = 2\\cdot 4 = 8\\text{ см}.$$
Свойство 2. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции с основаниями $a,\\;b$ и боковыми сторонами $c$:
$$a+b = 2c.$$
Из формулы площади трапеции $S=\\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$:
$$80 = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot 8 \\implies a+b = 20\\text{ см}.$$
Тогда $2c = a+b = 20\\implies c = 10$ см.
Ответ: $c = 10$ см.
`
},
{
text: `Сравните корень уравнения $\\dfrac{4}{5}\\left(\\dfrac{6}{25}x - 1\\right) = 4$
с числом $\\left(\\dfrac{1}{5}\\right)^{-2}$.`,
sol: `Свойство степени с отрицательным показателем: $\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{n}$.
Шаг 1. Решим уравнение. Сначала избавимся от множителя $\\dfrac{4}{5}$ перед скобкой — разделим обе части на $\\dfrac{4}{5}$, то есть умножим на $\\dfrac{5}{4}$:
$$\\dfrac{6}{25}x - 1 = 4\\cdot\\dfrac{5}{4} = 5.$$
Шаг 2. Переносим $-1$ в правую часть (меняем знак):
$$\\dfrac{6}{25}x = 5 + 1 = 6.$$
Шаг 3. Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\\dfrac{25}{6}$ (число, обратное к $\\dfrac{6}{25}$):
$$x = 6\\cdot\\dfrac{25}{6} = 25.$$
Шаг 4. Вычислим число для сравнения. По свойству степени:
$$\\left(\\dfrac{1}{5}\\right)^{-2} = 5^{2} = 25.$$
Шаг 5. Сравниваем: $x = 25$ и $25$. Значит, корень уравнения равен числу $\\left(\\dfrac{1}{5}\\right)^{-2}$.
Ответ: корень уравнения равен числу $\\left(\\dfrac{1}{5}\\right)^{-2}$ (оба равны $25$).
`
},
{
text: `Найдите сумму целых значений аргумента, для которых график функции
$y = \\dfrac{2x-10}{x^2+x-12}$ расположен выше прямой $y = 1$.`,
sol: `Условие: $\\dfrac{2x-10}{x^2+x-12} > 1.$ Перенесём всё в одну часть:
$$\\dfrac{2x-10}{x^2+x-12} - 1 > 0 \\iff \\dfrac{2x-10-(x^2+x-12)}{x^2+x-12} > 0 \\iff \\dfrac{-x^2+x+2}{x^2+x-12} > 0.$$
Умножим числитель и знаменатель на $-1$ (знак неравенства меняется):
$$\\dfrac{x^2-x-2}{x^2+x-12} \\lt 0.$$
Разложим: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, $\\;x^2+x-12=(x+4)(x-3)$:
$$\\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x+4)(x-3)} \\lt 0.$$
Корни: $-4,\\;-1,\\;2,\\;3$ (точки $-4$ и $3$ не входят — ОДЗ).
Метод интервалов:
интервал
$x\\lt-4$
$(-4;-1)$
$(-1;2)$
$(2;3)$
$x\\gt 3$
знак дроби
$+$
$-$
$+$
$-$
$+$
Решение: $x\\in(-4;\\;-1)\\cup(2;\\;3)$.
Целые значения: в $(-4;-1)$ — это $-3,\\;-2$; в $(2;3)$ — целых нет.
Сумма: $-3+(-2)=-5$.
Ответ: $-5$.
`
},
{
text: `Дана окружность, длина которой равна $12\\pi$.
Найдите площадь сектора круга, ограниченного этой окружностью,
если угол этого сектора равен $40^{\\circ}$.`,
sol: `Формула длины окружности: $C = 2\\pi R$.
Формула площади сектора с центральным углом $\\alpha^{\\circ}$: $S_{\\text{сект}} = \\dfrac{\\alpha}{360^{\\circ}}\\cdot \\pi R^{2}$.
Шаг 1. Найдём радиус. По условию длина окружности равна $12\\pi$, значит:
$$2\\pi R = 12\\pi \\implies R = 6\\text{ см}.$$
Шаг 2. Подставим в формулу площади сектора $\\alpha = 40^{\\circ}$ и $R = 6$:
$$S_{\\text{сект}} = \\dfrac{40}{360}\\cdot \\pi\\cdot 6^{2} = \\dfrac{1}{9}\\cdot 36\\pi = 4\\pi.$$
Ответ: $4\\pi$ (кв. ед.).
`
},
{
text: `На соревнованиях управляемых планеров первый планер пролетел на $20\\%$,
или на $1080$ м, меньше второго. Скорость первого планера на $20\\%$,
или на $2$ м/с, больше скорости второго.
Сколько минут находился в воздухе каждый планер?`,
sol: `Связь процентов и десятичной дроби: $20\\% = \\dfrac{20}{100} = 0{,}2$.
Формула пути: $S = v\\cdot t$, откуда $t = \\dfrac{S}{v}$.
Шаг 1. Найдём путь второго планера. По условию $20\\%$ от $S_{2}$ — это $1080$ м, так как разница $S_{2} - S_{1}$ одновременно есть и $20\\%$ от $S_{2}$, и $1080$ м. Составим уравнение:
$$0{,}2\\cdot S_{2} = 1080 \\implies S_{2} = \\dfrac{1080}{0{,}2} = 5400\\text{ м}.$$
Тогда путь первого планера:
$$S_{1} = S_{2} - 1080 = 5400 - 1080 = 4320\\text{ м}.$$
Шаг 2. Найдём скорость второго планера. Аналогично, $20\\%$ от $v_{2}$ равны $2$ м/с:
$$0{,}2\\cdot v_{2} = 2 \\implies v_{2} = \\dfrac{2}{0{,}2} = 10\\text{ м/с}.$$
Скорость первого планера больше на $2$ м/с:
$$v_{1} = v_{2} + 2 = 12\\text{ м/с}.$$
Шаг 3. Найдём время полёта каждого планера по формуле $t = \\dfrac{S}{v}$ и переведём секунды в минуты ($60$ с $= 1$ мин):
$$t_{1} = \\dfrac{S_{1}}{v_{1}} = \\dfrac{4320}{12} = 360\\text{ с} = 6\\text{ мин};$$
$$t_{2} = \\dfrac{S_{2}}{v_{2}} = \\dfrac{5400}{10} = 540\\text{ с} = 9\\text{ мин}.$$
Ответ: 1-й планер — $6$ мин, 2-й планер — $9$ мин.