`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;"],
["б", "радиус окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле $R = \\dfrac{abc}{4S}$;"],
["в", "в треугольнике против большего угла лежит большая сторона;"],
["г", "около любого параллелограмма можно описать окружность?"],
],
sol: `
а) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — верно
в) Против большего угла лежит большая сторона — верно
г) Около любого параллелограмма можно описать окружность — НЕВЕРНО
Для описанной окружности необходимо, чтобы сумма противоположных углов равнялась $180°$. В произвольном параллелограмме $\\angle A = \\angle C$ и $\\angle B = \\angle D$, поэтому $\\angle A + \\angle C = 2\\angle A \\neq 180°$ в общем случае. Описанная окружность существует лишь у прямоугольника.
Ответ: г)
`
},
{
text: `Найдите все целые решения неравенства $-9 \\leq 2x \\leq -3$.`,
sol: `Делим все части на $2$:
$$-4{,}5 \\leq x \\leq -1{,}5$$
Целые числа на отрезке $[-4{,}5;\\; -1{,}5]$: это $-4,\\; -3,\\; -2$.
Ответ: $-4,\\; -3,\\; -2$
`
},
{
text: `Найдите третий член геометрической прогрессии, если её первый член равен $0{,}2$,
а знаменатель прогрессии равен $2{,}5$.`,
sol: `Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.
Шаг 1. По условию $a_1 = 0{,}2$, $q = 2{,}5$, нужно найти $a_3$. Подставляем $n = 3$:
$$a_3 = a_1 \\cdot q^{3-1} = 0{,}2 \\cdot (2{,}5)^{2}.$$
Шаг 2. Вычислим $(2{,}5)^2 = 6{,}25$:
$$a_3 = 0{,}2 \\cdot 6{,}25 = 1{,}25.$$
Ответ: $1{,}25$
`
},
{
text: `Найдите косинус угла $ACB$, изображённого на клетчатой бумаге.`,
figure: ``,
sol: `Определение косинуса в прямоугольном треугольнике: $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
Теорема Пифагора: для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ верно $c^2 = a^2 + b^2$.
Шаг 1. По рисунку достроим прямоугольный треугольник так, чтобы угол $\\angle ACB$ оказался острым углом этого треугольника, а катеты шли по линиям клеток.
Шаг 2. Посчитаем длины катетов по клеткам.
Шаг 3. По теореме Пифагора находим гипотенузу.
Шаг 4. Применяем формулу косинуса: делим длину прилежащего катета на длину гипотенузы.
`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\dfrac{(x^2+2)(x^4+4)(x^8+16)(x^2-2)}{x^{16}-256}$.`,
sol: `Формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Шаг 1. Переставим множители в числителе так, чтобы рядом оказались $(x^2-2)$ и $(x^2+2)$. Применим формулу разности квадратов:
$$(x^2-2)(x^2+2) = (x^2)^2 - 2^2 = x^4 - 4.$$
Шаг 2. Полученный множитель $(x^4-4)$ умножим на $(x^4+4)$ — снова разность квадратов:
$$(x^4-4)(x^4+4) = (x^4)^2 - 4^2 = x^8 - 16.$$
Шаг 3. Аналогично:
$$(x^8-16)(x^8+16) = (x^8)^2 - 16^2 = x^{16} - 256.$$
Шаг 4. Числитель равен $x^{16}-256$ — совпадает со знаменателем, значит дробь равна $1$:
$$\\dfrac{x^{16}-256}{x^{16}-256} = 1.$$
Ответ: $1$
`
},
{
text: `Брат и сестра вышли одновременно из дома в тренажёрный зал, находящийся на расстоянии
$1$ км $200$ м от дома. Дойдя до тренажёрного зала, сестра вспомнила, что забыла абонемент,
и с той же скоростью отправилась домой. На каком расстоянии от тренажёрного зала
сестра встретит брата, если скорость брата $3$ км/ч, а скорость сестры $2{,}4$ км/ч?`,
sol: `Формула пути: $S = v\\cdot t$, откуда $t = \\dfrac{S}{v}$.
Скорость сближения при движении навстречу равна сумме скоростей.
Шаг 1. Переведём расстояние в единые единицы: $d = 1$ км $200$ м $= 1{,}2$ км. Обозначим скорость брата $v_{1} = 3$ км/ч, скорость сестры $v_{2} = 2{,}4$ км/ч (брат идёт быстрее, поэтому первым придёт в зал именно он, и затем повернёт назад).
Шаг 2. Время до того, как первый дошёл до зала:
$$t_{1} = \\dfrac{d}{v_{1}} = \\dfrac{1{,}2}{3} = 0{,}4\\text{ ч}.$$
Шаг 3. За это время сестра прошла $v_{2}\\cdot t_{1} = 2{,}4\\cdot 0{,}4 = 0{,}96$ км. Значит, до зала ей осталось:
$$1{,}2 - 0{,}96 = 0{,}24\\text{ км}.$$
Шаг 4. Теперь они движутся навстречу друг другу. Скорость сближения:
$$v_{сбл} = v_{1} + v_{2} = 3 + 2{,}4 = 5{,}4\\text{ км/ч}.$$
Время до встречи:
$$t_{2} = \\dfrac{0{,}24}{5{,}4} = \\dfrac{24}{540} = \\dfrac{2}{45}\\text{ ч}.$$
Шаг 5. Расстояние от зала до места встречи равно пути, который прошёл вышедший из зала:
$$x = v_{1}\\cdot t_{2} = 3\\cdot\\dfrac{2}{45} = \\dfrac{6}{45} = \\dfrac{2}{15}\\text{ км} \\approx 133{,}3\\text{ м}.$$
Ответ: $\\dfrac{2}{15}$ км $\\approx 133$ м от тренажёрного зала
`
},
{
text: `В треугольнике $ABC$ медиана $AK$ перпендикулярна биссектрисе $BM$.
Найдите длину стороны $AB$, если $AK = BM = 12$.`,
sol: `
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ выполняется $c^2 = a^2 + b^2$.
Свойство медианы: медиана $AK$ из вершины $A$ делит сторону $BC$ пополам ($BK = KC$).
Свойство биссектрисы: биссектриса $BM$ из вершины $B$ делит сторону $AC$ в отношении $AM:MC = AB:BC$.
Шаг 1. Пусть $P$ — точка пересечения медианы $AK$ и биссектрисы $BM$. По условию $AK \\perp BM$ и $AK = BM = 12$.
В этой стандартной конфигурации (медиана из $A$ перпендикулярна биссектрисе из $B$) выполняются соотношения:
$$AP = PK = \\dfrac{AK}{2} = 6$$ (точка $P$ — середина медианы $AK$);
$$BP:PM = 3:1, \\quad \\text{то есть}\\quad BP = \\dfrac{3}{4}\\cdot 12 = 9,\\;\\; PM = 3.$$
Шаг 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $APB$. Так как $AK \\perp BM$, то $\\angle APB = 90^\\circ$, а катеты — это $AP = 6$ и $BP = 9$. По теореме Пифагора:
$$AB^2 = AP^2 + BP^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117.$$
Шаг 3. Извлечём корень. Так как $117 = 9 \\cdot 13$:
$$AB = \\sqrt{117} = \\sqrt{9}\\cdot\\sqrt{13} = 3\\sqrt{13}.$$
`,
sol: `Определение косинуса в прямоугольном треугольнике: $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.