По графику функции найдите на оси $Ox$ точку $x = -3$, восстановите из неё перпендикуляр до пересечения с графиком и прочитайте соответствующую ординату — это и будет значение $f(-3)$.
Ответ: определяется по рисунку (см. метод выше)
`
},
{
text: `Определите, какое из данных выражений равно частному
$\\dfrac{3}{x^5} : \\dfrac{27}{x^{10}}$:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{x^2}{9}$"], ["б", "$\\dfrac{81}{x^{15}}$"], ["в", "$9x^5$"],
["г", "$\\dfrac{x^5}{9}$"], ["д", "$\\dfrac{x^5}{3}$"],
],
sol: `
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "периметр квадрата со стороной $a$ равен $4a$;"],
["б", "радиус окружности в два раза меньше её диаметра;"],
["в", "треугольник, два угла которого равны $20^{\\circ}$ и $70^{\\circ}$, — прямоугольный;"],
["г", "диагонали любого параллелограмма перпендикулярны?"],
],
sol: `
Диагонали перпендикулярны только у ромба (и квадрата), но не у произвольного параллелограмма. Утверждение г) неверно.
Ответ: г)
`
},
{
text: `Сравните значение выражения $\\dfrac{2}{3} \\cdot \\left(1\\dfrac{1}{2}\\right)^2 + 1 : 2$
с числом $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^0$.`,
sol: `
Ответ: значение выражения больше числа $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^0$
`
},
{
text: `В классе $24$ учащихся. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек,
если отношение количества девочек к количеству мальчиков равно $3:5$?`,
sol: `Метод частей (деление в данном отношении): если две величины относятся как $m:n$, считаем «части» — каждая величина равна нужному числу одинаковых частей. Тогда одна часть $= \\dfrac{\\text{целое}}{m+n}$.
Шаг 1. Отношение количества девочек к количеству мальчиков $3:5$. Значит, на $3$ части девочек приходится $5$ частей мальчиков, всего $3+5 = 8$ частей.
Шаг 2. Найдём, сколько учащихся в одной части. По условию всего в классе $24$ человека:
$$\\text{одна часть} = \\dfrac{24}{8} = 3\\text{ учащихся}.$$
Шаг 3. Найдём количество девочек ($3$ части) и мальчиков ($5$ частей):
$$\\text{девочки} = 3\\cdot 3 = 9,\\qquad \\text{мальчики} = 5\\cdot 3 = 15.$$
Проверка. $9 + 15 = 24$ ✓, отношение $9:15 = 3:5$ ✓.
Ответ: 9 девочек и 15 мальчиков
`
},
{
text: `Дан равнобедренный треугольник с основанием $12$ см и боковой стороной $10$ см.
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.`,
sol: `Свойство равнобедренного треугольника: высота, проведённая к основанию, делит основание пополам.
Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$ (в прямоугольном треугольнике).
Формула радиуса вписанной окружности: $r = \\dfrac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, $p$ — его полупериметр.
Шаг 1. Проведём высоту из вершины (между равными сторонами) на основание. По свойству равнобедренного треугольника она делит основание $12$ см пополам — на отрезки по $6$ см. Получился прямоугольный треугольник с гипотенузой (боковая сторона) $10$ см и одним катетом $6$ см. По теореме Пифагора найдём высоту:
$$h = \\sqrt{10^2 - 6^2} = \\sqrt{100 - 36} = \\sqrt{64} = 8\\text{ см}.$$
Шаг 2. Найдём площадь треугольника по формуле $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\text{основание}\\cdot\\text{высота}$:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 8 = 48\\text{ см}^{2}.$$
Шаг 3. Найдём полупериметр (половину суммы всех сторон):
$$p = \\dfrac{12 + 10 + 10}{2} = \\dfrac{32}{2} = 16\\text{ см}.$$
Шаг 4. Применим формулу радиуса вписанной окружности:
$$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{48}{16} = 3\\text{ см}.$$
Ответ: $r = 3$ см
`
},
{
text: `Определите, принадлежит ли промежутку возрастания функции $y = x^2 - 4x + 5$
число $\\sqrt{7}$. Ответ обоснуйте.`,
sol: `Выделение полного квадрата: $x^2 - 2px + p^2 + r = (x-p)^2 + r$.
Свойство параболы $y = a(x-x_{0})^2 + y_{0}$ при $a \\gt 0$: ветви направлены вверх, вершина в точке $(x_{0};y_{0})$, функция убывает на $(-\\infty;\\,x_{0}]$ и возрастает на $[x_{0};\\,+\\infty)$.
Оценка квадратного корня: если $a^2 \\lt n \\lt b^2$ ($a,b\\gt 0$), то $a \\lt \\sqrt{n} \\lt b$.
Шаг 1. Найдём промежуток возрастания. Выделим полный квадрат в $y = x^2 - 4x + 5$. Замечаем, что $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$, поэтому
$$y = (x-2)^2 - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1.$$
Это парабола с ветвями вверх ($a = 1 \\gt 0$) и вершиной в точке $(2;\\,1)$. Значит, функция возрастает на промежутке $[2;\\,+\\infty)$.
Шаг 2. Сравним $\\sqrt{7}$ с числом $2$. Так как $2^2 = 4 \\lt 7 \\lt 9 = 3^2$, имеем $2 \\lt \\sqrt{7} \\lt 3$. В частности $\\sqrt{7} \\gt 2$.
Шаг 3. Вывод. Так как $\\sqrt{7} \\gt 2$, то $\\sqrt{7}$ принадлежит промежутку возрастания $[2;\\,+\\infty)$.
Ответ: да, $\\sqrt{7}$ принадлежит промежутку возрастания $[2;\\,+\\infty)$
`
},
{
text: `Решите уравнение
$\\dfrac{8}{x^2-4} = \\dfrac{x+2}{x-2} + \\dfrac{x}{x+2}$.`,
sol: `Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Правило решения дробно-рационального уравнения: сначала найти ОДЗ (значения переменной, при которых знаменатели не равны нулю), затем привести к общему знаменателю и умножить обе части на него, в конце — проверить, не выходят ли корни из ОДЗ.
Шаг 1. Найдём ОДЗ. Знаменатели: $x^2 - 4$, $x - 2$ и $x + 2$. По формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Поэтому ОДЗ: $x \\neq 2$ и $x \\neq -2$.
Шаг 2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$. Первая дробь даст $8$, вторая — $(x+2)\\cdot(x+2) = (x+2)^2$, третья — $x\\cdot(x-2)$:
$$8 = (x+2)^2 + x(x-2).$$
Шаг 3. Раскроем скобки в правой части:
$$8 = x^2 + 4x + 4 + x^2 - 2x = 2x^2 + 2x + 4.$$
Шаг 4. Перенесём всё в одну сторону:
$$2x^2 + 2x - 4 = 0,$$
и разделим на $2$:
$$x^2 + x - 2 = 0.$$
Шаг 5. Разложим на множители: ищем два числа, произведение которых $-2$, а сумма $1$ — это $2$ и $-1$. Получаем $(x-1)(x+2) = 0$, откуда $x = 1$ или $x = -2$.
Шаг 6. Проверим по ОДЗ: $x = -2$ не входит (знаменатель обнуляется) — это посторонний корень. Остаётся $x = 1$.
Ответ: $x = 1$
`
},
{
text: `Найдите область определения выражений
$\\sqrt{\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(x+1)}}$ и $\\sqrt{\\dfrac{x-3}{x}}$.
Запишите пересечение полученных множеств.`,
sol: `Условия существования выражения:
под чётным корнем — неотрицательное выражение: $\\sqrt{A}$ существует при $A \\geq 0$;
знаменатель дроби не равен нулю: $\\dfrac{P}{Q}$ существует при $Q \\neq 0$.
Шаг 1. Область определения первого выражения $\\sqrt{\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(x+1)}}$.
Сначала знаменатель: $x(x+1) \\neq 0$, то есть $x \\neq 0$ и $x \\neq -1$.
При этих условиях множитель $(x+1)$ в числителе и знаменателе можно сократить, и дробь равна $\\dfrac{x-3}{x}$. Условие подкоренного выражения $\\geq 0$:
$$\\dfrac{x-3}{x} \\geq 0.$$
Метод интервалов. Нули: $x = 3$ (числитель), $x = 0$ (знаменатель, точка выколота). Дробь положительна при $x \\lt 0$ или $x \\gt 3$ и равна нулю при $x = 3$. С учётом $x \\neq -1$:
$$D_{1} = (-\\infty;\\,-1)\\cup(-1;\\,0)\\cup[3;\\,+\\infty).$$
Шаг 2. Область определения второго выражения $\\sqrt{\\dfrac{x-3}{x}}$.
Условия: $x \\neq 0$ и $\\dfrac{x-3}{x} \\geq 0$ — те же интервалы, без выкалывания точки $-1$:
$$D_{2} = (-\\infty;\\,0)\\cup[3;\\,+\\infty).$$
Шаг 3. Пересечение $D_{1} \\cap D_{2}$. Поскольку $D_{1} \\subset D_{2}$ (множество $D_{1}$ — это $D_{2}$ с дополнительно выколотой точкой $-1$):
$$D_{1} \\cap D_{2} = D_{1} = (-\\infty;\\,-1)\\cup(-1;\\,0)\\cup[3;\\,+\\infty).$$
`
},
{
text: `Две окружности касаются внешним образом в точке $A$.
К ним проведена общая внешняя касательная $BC$, где $C$ и $B$ — точки касания.
Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB = 6$ см, $AC = 8$ см.`,
sol: `
Ключевое свойство: $\\angle BAC = 90°$.
Доказательство: Проведём общую внутреннюю касательную в точке касания $A$ (она перпендикулярна прямой центров). По теореме о касательно-хордовом угле угол между касательной в $A$ и хордой $AB$ (для первой окружности) равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AB$, который совпадает с углом $\\angle ACB$ (для второй окружности). Аналогично для $AC$. В итоге $\\angle BAC = 90°$.
Площадь прямоугольного треугольника с катетами $AB = 6$ и $AC = 8$:
$$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AB \\cdot AC = \\dfrac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 8 = 24 \\text{ см}^2.$$
`,
opts: [
["а", "$1$"], ["б", "$-3$"], ["в", "$0$"], ["г", "$3$"], ["д", "$-2$"],
],
sol: `