VARIANTS[75] = {
label: "Вариант 75",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных чисел является решением неравенства $x < -4$:`,
opts: [
["а", "$-3$"], ["б", "$-2$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$0$"], ["д", "$-7$"],
],
sol: `Неравенство $x \\lt -4$ выполняется только для чисел, строго меньших $-4$.
а) $-3$: $-3 \\gt -4$ — нет;
б) $-2$: нет;
в) $-1$: нет;
г) $0$: нет;
д) $-7$: $-7 \\lt -4$ — да ✓
Ответ: д) $-7$
`
},
{
text: `Сумма каких двух чисел НЕ равна $-5{,}2$:`,
opts: [
["а", "$1$ и $-6{,}2$"], ["б", "$-2$ и $-3{,}2$"], ["в", "$-1$ и $-6{,}2$"],
["г", "$-1{,}2$ и $-4$"], ["д", "$2$ и $-7{,}2$"],
],
sol: `Проверим сумму в каждом варианте:
а) $1 + (-6{,}2) = -5{,}2$ ✓
б) $-2 + (-3{,}2) = -5{,}2$ ✓
в) $-1 + (-6{,}2) = -7{,}2 \\neq -5{,}2$ ✗ — НЕ равна
г) $-1{,}2 + (-4) = -5{,}2$ ✓
д) $2 + (-7{,}2) = -5{,}2$ ✓
Ответ: в)
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности;"],
["б", "$\\sin 45^{\\circ} = \\cos 45^{\\circ}$;"],
["в", "центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла;"],
["г", "в прямоугольном треугольнике есть только один острый угол?"],
],
sol: `
а) Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности — верно
в) Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе — верно
г) «В прямоугольном треугольнике есть только один острый угол» — НЕВЕРНО: в прямоугольном треугольнике два острых угла (сумма углов $180°$, один равен $90°$, значит два оставшихся — острые)
`
},
{
text: `Найдите значение выражения $2a^2 : b - 4ab$ при $a = 3$, $b = -1{,}5$.`,
sol: `Порядок действий: сначала выполняем возведение в степень, потом умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание.
Правило знаков при умножении: минус на минус даёт плюс, минус на плюс даёт минус.
Шаг 1. Подставим $a = 3$ и $b = -1{,}5$ в выражение, представив деление через дробь:
$$2a^2 : b - 4ab = \\dfrac{2a^2}{b} - 4ab.$$
Шаг 2. Вычислим $a^2 = 3^2 = 9$ и подставим значения:
$$\\dfrac{2\\cdot 9}{-1{,}5} - 4\\cdot 3\\cdot(-1{,}5).$$
Шаг 3. Выполним первое действие — деление:
$$\\dfrac{18}{-1{,}5} = -12.$$
Шаг 4. Выполним второе действие — умножение трёх чисел (два положительных и одно отрицательное дают отрицательное):
$$4\\cdot 3\\cdot(-1{,}5) = 12\\cdot(-1{,}5) = -18.$$
Шаг 5. Соберём всё, аккуратно раскрыв знак минус перед скобкой:
$$-12 - (-18) = -12 + 18 = 6.$$
Ответ: $6$
`
},
{
text: `Третий член геометрической прогрессии равен $2$, а знаменатель прогрессии равен $3$.
Найдите сумму трёх первых членов этой прогрессии.`,
sol: `Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$, откуда $a_1 = \\dfrac{a_n}{q^{n-1}}$.
Связь соседних членов: $a_{n+1} = a_n \\cdot q$.
Шаг 1. По условию $a_3 = 2$, $q = 3$. Найдём первый член из $a_3 = a_1 \\cdot q^{2}$:
$$a_1 = \\dfrac{a_3}{q^{2}} = \\dfrac{2}{3^{2}} = \\dfrac{2}{9}.$$
Шаг 2. Найдём второй член, умножив первый на знаменатель $q$:
$$a_2 = a_1 \\cdot q = \\dfrac{2}{9}\\cdot 3 = \\dfrac{2}{3}.$$
Шаг 3. Сложим три первых члена. Приведём к общему знаменателю $9$:
$$S_{3} = a_1 + a_2 + a_3 = \\dfrac{2}{9} + \\dfrac{2}{3} + 2 = \\dfrac{2}{9} + \\dfrac{6}{9} + \\dfrac{18}{9} = \\dfrac{26}{9}.$$
Ответ: $\\dfrac{26}{9}$
`
},
{
text: `В четырёхугольнике $ABCD$ $AD = 5$ см, $AB = 8$ см, $CD = 3\\sqrt{5}$ см,
$\\angle A = 60^{\\circ}$, $\\angle C = 90^{\\circ}$. Найдите длину стороны $BC$.`,
sol: `Теорема косинусов: для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\\gamma$ против стороны $c$ верно $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma$.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ выполняется $c^2 = a^2 + b^2$.
Значение: $\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$.
Шаг 1. Разобьём четырёхугольник на два треугольника. Проведём диагональ $BD$. Получим треугольники $ABD$ (с известным углом $A=60^{\\circ}$) и $BCD$ (с прямым углом $C=90^{\\circ}$).
Шаг 2. Найдём $BD$ из $\\triangle ABD$ по теореме косинусов. Известно $AB = 8$, $AD = 5$, $\\angle A = 60^{\\circ}$:
$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\\cdot AB\\cdot AD\\cdot\\cos A = 8^2 + 5^2 - 2\\cdot 8\\cdot 5\\cdot\\dfrac{1}{2}.$$
Вычислим: $64 + 25 - 40 = 49$, значит $BD = \\sqrt{49} = 7$ см.
Шаг 3. Найдём $BC$ из $\\triangle BCD$ по теореме Пифагора. Так как $\\angle C = 90^{\\circ}$, то $BD$ — гипотенуза, а $BC$ и $CD$ — катеты. Подставим $CD = 3\\sqrt{5}$, то есть $CD^2 = 9\\cdot 5 = 45$:
$$BC^2 = BD^2 - CD^2 = 49 - 45 = 4 \\implies BC = \\sqrt{4} = 2\\text{ см}.$$
Ответ: $BC = 2$ см
`
},
{
text: `В первый день туристы прошли $0{,}4$ намеченного пути,
а во второй — преодолели $0{,}3$ намеченного пути.
В третий день им оставалось пройти последние $18$ км.
Каков весь путь туристов за $3$ дня?`,
sol: `Метод введения переменной: обозначаем неизвестную величину буквой и составляем уравнение.
Шаг 1. Введём переменную. Пусть $S$ — весь намеченный путь (в километрах).
Шаг 2. Выразим пройденную часть пути. В первый день туристы прошли $0{,}4\\cdot S$, во второй — $0{,}3\\cdot S$. Всего за два дня:
$$0{,}4S + 0{,}3S = 0{,}7S.$$
Шаг 3. Выразим оставшийся путь. На третий день туристам осталось пройти весь путь $S$ минус то, что уже пройдено:
$$S - 0{,}7S = 0{,}3S.$$
Шаг 4. Составим уравнение. По условию в третий день осталось $18$ км:
$$0{,}3S = 18.$$
Шаг 5. Разделим обе части на $0{,}3$:
$$S = \\dfrac{18}{0{,}3} = 60\\text{ км}.$$
Ответ: $60$ км
`
},
{
text: `При каком значении $a$ графики функций $y = (a-3)x + 2$ и $y = 2x - 2$
не имеют общих точек? Ответ обоснуйте.`,
sol: `Графики линейных функций не имеют общих точек тогда и только тогда, когда прямые параллельны: угловые коэффициенты равны, свободные члены различны.
Условие параллельности: $a - 3 = 2 \\implies a = 5$
Проверка: при $a = 5$ получаем $y = 2x + 2$ и $y = 2x - 2$. Угловые коэффициенты равны ($2 = 2$), свободные члены различны ($2 \\neq -2$) — прямые параллельны ✓
Ответ: $a = 5$
`
},
{
text: `Диагонали ромба относятся как $3:4$, периметр ромба равен $200$ см.
Найдите площадь круга, окружность которого вписана в ромб.`,
sol: `Свойство диагоналей ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Формула площади ромба: $S_{\\text{ромб}} = \\dfrac{d_{1}\\cdot d_{2}}{2}$.
Формула радиуса вписанной окружности: $r = \\dfrac{S}{p}$ ($p$ — полупериметр).
Формула площади круга: $S_{\\text{кр}} = \\pi r^{2}$.
Шаг 1. По условию диагонали относятся как $3:4$. Введём параметр $k$: $d_{1} = 3k$, $d_{2} = 4k$. Половины диагоналей: $\\dfrac{3k}{2}$ и $2k$. Они являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — сторона ромба. По теореме Пифагора:
$$a = \\sqrt{\\left(\\dfrac{3k}{2}\\right)^{2} + (2k)^{2}} = \\sqrt{\\dfrac{9k^{2}}{4} + \\dfrac{16k^{2}}{4}} = \\sqrt{\\dfrac{25k^{2}}{4}} = \\dfrac{5k}{2}.$$
Шаг 2. Из периметра $P = 4a = 200$ найдём сторону: $a = 50$ см. Тогда $\\dfrac{5k}{2} = 50 \\implies k = 20$. Значит:
$$d_{1} = 3\\cdot 20 = 60\\text{ см}, \\quad d_{2} = 4\\cdot 20 = 80\\text{ см}.$$
Шаг 3. Площадь ромба:
$$S = \\dfrac{60\\cdot 80}{2} = 2400\\text{ см}^{2}.$$
Шаг 4. Полупериметр $p = \\dfrac{P}{2} = 100$ см. Радиус вписанной окружности:
$$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{2400}{100} = 24\\text{ см}.$$
Шаг 5. Площадь круга:
$$S_{\\text{кр}} = \\pi r^{2} = \\pi\\cdot 24^{2} = 576\\pi\\text{ см}^{2}.$$