Maxim Dolgolyov
de41b77ae3
Пробник ЦТ по математике 2021, Вариант 1. Формат: 32 задания (А1–А18 + В1–В14), А12/А16 — с несколькими верными (тип open, ответ цифрами), В2/В3 множ.выбор, В1 на соответствие. Источник: чистый PDF ЦТ 2021.pdf. ВСЕ 32 ответа решены и сверены с официальной таблицей (стр.45, столбец Вариант 1) — полное совпадение, включая B9=324, B11=960, B13=460 (пары чисел), B14=1375 (описанный четырёхугольник, r=60/7). Фигурные A7/A17/B1/B4 реконструированы; B5: в скане ∛(-7) → на деле ∛(-343)=-7 (иначе нецелый), ответ -98. Без авторских ссылок. VARIANT_LABEL 117 -> 'ЦТ-2021'. DRY-RUN 32/32, self-check и структурный KaTeX — зелёные. Запись в БД — пользователь: node backend/scripts/seed_ctmath_ct2021_v1.js --apply Co-Authored-By: Claude Opus 4.8 (1M context) <noreply@anthropic.com>
364 lines
34 KiB
JavaScript
364 lines
34 KiB
JavaScript
'use strict';
|
||
/* ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||
seed_ctmath_ct2021_v1.js
|
||
Чистый вариант-пробник для трека exam-prep `ctmath`.
|
||
|
||
Источник: Централизованное тестирование (ЦТ) по математике, 2021, Вариант 1.
|
||
Формат 2021: Часть А = А1–А18, Часть В = В1–В14. Всего **32 задания**.
|
||
⚠️ А12 и А16 — с НЕСКОЛЬКИМИ верными ответами; В2,В3 — множественный выбор; В1 —
|
||
на установление соответствия. Перенабрано вручную в KaTeX по PDF:
|
||
F:\!Рабочие\ЦТ\Математика\Математика\ЦТ-ЦЭ\ЦТ 2021.pdf (10 вариантов, табл. ответов стр.45).
|
||
|
||
⚠️ Ответы решены самостоятельно и СВЕРЕНЫ с официальной таблицей (стр.45, столбец
|
||
«Вариант 1»): ВСЕ 32 совпали, включая B9=324, B11=960, B13=460, B14=1375. variant=117.
|
||
|
||
Реконструкции/адаптации заданий-«с-картинкой» (смысл/ответ сохранены, авто-проверка):
|
||
• А7 (график) → множество $f(x)\le-3$ задано промежутками ($8$ целых $x$);
|
||
• А17 (медиана на сетке) → координаты вершин заданы (медиана из B: $7y=4x-3$);
|
||
• В1 (диаграмма посещений) → данные в figure_html-таблице;
|
||
• В4 (загон на пастбище) → размеры $a,2a$ и сторона $a+140$ заданы текстом ($800$);
|
||
• В2/В3 — утверждения текстом (как в оригинале).
|
||
⚠️ В5: в скане `∛(-7)` — на деле `∛(-343)=-7` (иначе ответ нецелый), официальный ответ -98.
|
||
А12/А16 (несколько верных) → тип open, ответ = номера в порядке возрастания ('12','15').
|
||
Без авторских ссылок (политика «все учебники наши»).
|
||
|
||
Идемпотентность: upsert по UNIQUE(exam_key, variant, task_idx).
|
||
Запуск:
|
||
node backend/scripts/seed_ctmath_ct2021_v1.js # DRY-RUN (по умолчанию)
|
||
node backend/scripts/seed_ctmath_ct2021_v1.js --apply # запись в БД
|
||
|
||
⚠️ Массовую запись в БД запускает ПОЛЬЗОВАТЕЛЬ вручную. Без --apply ничего не пишется.
|
||
─────────────────────────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
|
||
const { DatabaseSync } = require('node:sqlite');
|
||
const path = require('path');
|
||
|
||
const APPLY = process.argv.includes('--apply');
|
||
const EXAM = 'ctmath';
|
||
const VARIANT = 117;
|
||
const N_TASKS = 32;
|
||
const PROV = 'ЦТ–2021, Вариант 1';
|
||
const R = String.raw;
|
||
|
||
const L = ['а', 'б', 'в', 'г', 'д'];
|
||
const mc = (...html) => html.map((h, i) => [L[i], h]);
|
||
const TD = 'style="border:1px solid #99a;padding:3px 10px"';
|
||
|
||
/* ── 32 задания ─────────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
const TASKS = [
|
||
// ── Часть A: А1–А18 ──────────────────────────────────────────────────────
|
||
{ idx: 1, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 1,
|
||
text: R`Треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$, угол при вершине $C$ равен $56^\circ$. Найдите градусную меру угла $BAC$.`,
|
||
opts: mc('$62^\circ$', '$68^\circ$', '$34^\circ$', '$64^\circ$', '$28^\circ$'),
|
||
answer: 'а',
|
||
sol: R`Углы при основании равны: $\angle BAC=\dfrac{180^\circ-56^\circ}{2}=62^\circ$.` },
|
||
|
||
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
|
||
text: R`Среди дробей $\dfrac{13}{7}$; $\dfrac{15}{7}$; $\dfrac{30}{7}$; $\dfrac{27}{7}$; $\dfrac{18}{7}$ укажите ту, которая равна дроби $4\tfrac27$.`,
|
||
opts: mc('$\dfrac{13}{7}$', '$\dfrac{15}{7}$', '$\dfrac{30}{7}$', '$\dfrac{27}{7}$', '$\dfrac{18}{7}$'),
|
||
answer: 'в',
|
||
sol: R`$4\tfrac27=\dfrac{4\cdot7+2}{7}=\dfrac{30}{7}$.` },
|
||
|
||
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 1,
|
||
text: R`Даны пары значений переменных $x$ и $y$: $(3;9)$, $(-15;3)$, $(0;12)$, $(14;-2)$, $(6;6)$. Укажите пару, которая НЕ является решением уравнения $x+y=12$.`,
|
||
opts: mc('$(3;9)$', '$(-15;3)$', '$(0;12)$', '$(14;-2)$', '$(6;6)$'),
|
||
answer: 'б',
|
||
sol: R`$(-15)+3=-12\ne12$, поэтому пара $(-15;3)$ не является решением.` },
|
||
|
||
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
|
||
text: R`Среди чисел $-7$; $-11$; $11$; $-1$; $0$ укажите то, которое не меньше $-9$ и не больше $-2$.`,
|
||
opts: mc('$-7$', '$-11$', '$11$', '$-1$', '$0$'),
|
||
answer: 'а',
|
||
sol: R`Условие $-9\le x\le-2$ выполнено только для $-7$.` },
|
||
|
||
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 1,
|
||
text: R`Точка $C$ делит отрезок $AB$ в отношении $5:3$, считая от точки $A$. Если длина отрезка $AB$ равна $24$, то длина отрезка $CB$ равна:`,
|
||
opts: mc('$14{,}4$', '$9{,}6$', '$6$', '$9$', '$15$'),
|
||
answer: 'г',
|
||
sol: R`$AC:CB=5:3$, поэтому $CB=24\cdot\dfrac{3}{8}=9$.` },
|
||
|
||
{ idx: 6, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 2,
|
||
text: R`В магазин поступило $43$ коробки с маслом по $110$ пачек масла в каждой. Какое наименьшее количество пачек масла необходимо продавать ежедневно, чтобы масло было распродано не более чем за $60$ дней?`,
|
||
opts: mc('$78$', '$81$', '$79$', '$83$', '$77$'),
|
||
answer: 'в',
|
||
sol: R`Всего $43\cdot110=4730$ пачек. $\dfrac{4730}{60}=78{,}8\ldots$, поэтому ежедневно нужно продавать не менее $79$ пачек.` },
|
||
|
||
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
|
||
text: R`На промежутке $[-6;6]$ функция $y=f(x)$ удовлетворяет неравенству $f(x)\le-3$ ровно при $x\in[-5;-2]\cup[1;4]$. Найдите количество целых значений $x$, при которых $f(x)\le-3$.`,
|
||
opts: mc('$7$', '$6$', '$5$', '$9$', '$8$'),
|
||
answer: 'д',
|
||
sol: R`Целые $x$ из $[-5;-2]$: $-5,-4,-3,-2$ (четыре); из $[1;4]$: $1,2,3,4$ (четыре). Всего $8$.` },
|
||
|
||
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-fractions', diff: 2,
|
||
text: R`Результат упрощения выражения $|a-6|-|a|$ при $\dfrac16<a<\dfrac38$ имеет вид:`,
|
||
opts: mc('$-6$', '$2a+6$', '$-2a-6$', '$6-2a$', '$6$'),
|
||
answer: 'г',
|
||
sol: R`При $0<a<6$: $|a|=a$, $|a-6|=6-a$. Тогда $|a-6|-|a|=(6-a)-a=6-2a$.` },
|
||
|
||
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
|
||
text: R`Значение выражения $\log_7 98-\log_7 8+\log_7\dfrac47$ равно:`,
|
||
opts: mc('$1$', '$2$', '$\log_7 2$', '$0$', '$3$'),
|
||
answer: 'а',
|
||
sol: R`$\log_7\dfrac{98\cdot4}{8\cdot7}=\log_7\dfrac{392}{56}=\log_7 7=1$.` },
|
||
|
||
{ idx: 10, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||
text: R`В первый день велосипедист проехал $52$ км, а во второй день — на 15 % меньше, чем в первый. Сколько километров проехал велосипедист за два дня?`,
|
||
opts: mc('$102{,}4$', '$96{,}2$', '$89$', '$88{,}4$', '$98{,}2$'),
|
||
answer: 'б',
|
||
sol: R`Второй день: $52\cdot0{,}85=44{,}2$ км. Всего $52+44{,}2=96{,}2$ км.` },
|
||
|
||
{ idx: 11, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 2,
|
||
text: R`Найдите произведение координат точки пересечения прямых $6x-y=4$ и $y-18=0$.`,
|
||
opts: mc('$4$', '$18$', '$72$', '$78$', '$66$'),
|
||
answer: 'д',
|
||
sol: R`$y=18$, $6x-18=4$, $x=\dfrac{11}{3}$. Произведение $\dfrac{11}{3}\cdot18=66$.` },
|
||
|
||
{ idx: 12, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
|
||
text: R`Укажите номера функций, которые являются чётными (запишите цифрами в порядке возрастания).<br>$1)\ y=0{,}2x^{2}$; $\ 2)\ y=8^{\frac{x^{4}-16}{2|x|}}$; $\ 3)\ y=-\dfrac3x$; $\ 4)\ y=x^{2}-x+2$; $\ 5)\ y=\sin2x$.`,
|
||
answer: '12',
|
||
sol: R`Чётны функции $1$ ($y=0{,}2x^{2}$) и $2$ (показатель $\frac{x^{4}-16}{2|x|}$ — чётная функция). Функции $3$ и $5$ нечётны, $4$ — общего вида.` },
|
||
|
||
{ idx: 13, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 3,
|
||
text: R`Площадь прямоугольного треугольника равна $2$, а радиус описанной около него окружности равен $R$. Укажите номер формулы, которой может выражаться сумма катетов $a$ и $b$.<br>$1)\ a+b=\dfrac{R^{2}+4}{R}$; $\ 2)\ a+b=\sqrt{R^{2}+2}$; $\ 3)\ a+b=2\sqrt{R^{2}+4}$; $\ 4)\ a+b=\dfrac{R^{2}+2}{R}$; $\ 5)\ a+b=2\sqrt{R^{2}+2}$.`,
|
||
opts: mc('$\dfrac{R^{2}+4}{R}$', '$\sqrt{R^{2}+2}$', '$2\sqrt{R^{2}+4}$', '$\dfrac{R^{2}+2}{R}$', '$2\sqrt{R^{2}+2}$'),
|
||
answer: 'д',
|
||
sol: R`Гипотенуза $c=2R$, площадь $\tfrac12 ab=2$, значит $ab=4$. $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=4R^{2}+8$, поэтому $a+b=2\sqrt{R^{2}+2}$.` },
|
||
|
||
{ idx: 14, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 3,
|
||
text: R`Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle A=20^\circ$, $\angle C=25^\circ$, а радиус описанной около него окружности равен $\sqrt7$. Найдите длину диагонали грани $AA_1C_1C$, если площадь этой грани равна $2\sqrt{35}$.`,
|
||
opts: mc('$3\sqrt3$', '$\sqrt5$', '$2\sqrt6$', '$4\sqrt6$', '$9\sqrt3$'),
|
||
answer: 'в',
|
||
sol: R`$\angle B=135^\circ$, $AC=2R\sin B=2\sqrt7\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\sqrt{14}$. Из $AC\cdot AA_1=2\sqrt{35}$: $AA_1=\sqrt{10}$. Диагональ грани $\sqrt{AC^{2}+AA_1^{2}}=\sqrt{14+10}=2\sqrt6$.` },
|
||
|
||
{ idx: 15, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 2,
|
||
text: R`Парабола $y=2x^{2}+bx+c$ пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами $3$ и $4$. Найдите сумму $b+c$.`,
|
||
opts: mc('$12$', '$5$', '$20$', '$10$', '$14$'),
|
||
answer: 'г',
|
||
sol: R`$y=2(x-3)(x-4)=2x^{2}-14x+24$, поэтому $b=-14$, $c=24$ и $b+c=10$.` },
|
||
|
||
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-quadratic', diff: 3,
|
||
text: R`Укажите номера уравнений, которые являются равносильными (запишите цифрами в порядке возрастания).<br>$1)\ (x-6)(x+6)=0$; $\ 2)\ \sqrt{x+10}=2$; $\ 3)\ x^{2}+36=0$; $\ 4)\ \dfrac{x-x^{2}-5}{4}+\dfrac{x^{2}-x-3}{3}=\dfrac14$; $\ 5)\ |x|-6=0$.`,
|
||
answer: '15',
|
||
sol: R`Множества решений: 1) $\{-6;6\}$; 2) $\{-6\}$; 3) корней нет; 4) $\{-5;6\}$; 5) $\{-6;6\}$. Совпадают решения у уравнений $1$ и $5$.` },
|
||
|
||
{ idx: 17, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 3,
|
||
text: R`Треугольник $ABC$ имеет вершины $A(0;2)$, $B(6;3)$, $C(-2;-4)$ (узлы сетки). Укажите номер уравнения прямой, содержащей медиану, проведённую из вершины $B$.<br>$1)\ 7y=3x+3$; $\ 2)\ 5y=4x-1$; $\ 3)\ y=3$; $\ 4)\ y=5x+4$; $\ 5)\ 7y=4x-3$.`,
|
||
opts: mc('$7y=3x+3$', '$5y=4x-1$', '$y=3$', '$y=5x+4$', '$7y=4x-3$'),
|
||
answer: 'д',
|
||
sol: R`Медиана из $B$ идёт в середину $AC$ — точку $M(-1;-1)$. Прямая через $B(6;3)$ и $M(-1;-1)$ имеет угловой коэффициент $\dfrac{3-(-1)}{6-(-1)}=\dfrac47$ и уравнение $7y=4x-3$.` },
|
||
|
||
{ idx: 18, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 5,
|
||
text: R`$SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны $48$. Точка $M$ — середина ребра $SD$, точка $N$ на ребре $SC$ такова, что $CN:NS=1:3$. Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки $M$ и $N$ параллельно ребру $SA$, пересекает основание $ABCD$.`,
|
||
opts: mc('$16\sqrt{13}$', '$16\sqrt{10}$', '$8\sqrt{37}$', '$12\sqrt{17}$', '$56$'),
|
||
answer: 'б',
|
||
sol: R`В координатах с центром основания секущая плоскость пересекает основание по прямой $x-3y=-24$. Внутри квадрата отрезок идёт от стороны $AD$ (точка $(-24;0)$) до стороны $BC$ (точка $(24;16)$); его длина $\sqrt{48^{2}+16^{2}}=\sqrt{2560}=16\sqrt{10}$.` },
|
||
|
||
// ── Часть B: В1–В14 ──────────────────────────────────────────────────────
|
||
{ idx: 19, type: 'long', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 3,
|
||
text: R`На диаграмме (см. таблицу) показано количество посещений сайта по дням недели. Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание $1$–$6$.<br>А) В какой день количество посещений было на $20$ больше, чем в предыдущий?<br>Б) В какой день количество посещений было на 35 % меньше, чем во вторник?<br>В) В какой день количество посещений было на 10 % больше, чем в предыдущий?<br>Окончания: 1) вторник; 2) среда; 3) четверг; 4) пятница; 5) суббота; 6) воскресенье.`,
|
||
fig: R`<table class="task-fig" style="border-collapse:collapse;margin:6px 0"><tr><th ${TD}>День</th><th ${TD}>вт</th><th ${TD}>ср</th><th ${TD}>чт</th><th ${TD}>пт</th><th ${TD}>сб</th><th ${TD}>вс</th></tr><tr><td ${TD}>Посещений</td><td ${TD}>400</td><td ${TD}>440</td><td ${TD}>260</td><td ${TD}>300</td><td ${TD}>640</td><td ${TD}>660</td></tr></table>`,
|
||
answer: 'А6Б3В2',
|
||
ansShow: 'А6Б3В2',
|
||
sol: R`А) на $20$ больше предыдущего — воскресенье ($660-640=20$), окончание 6. Б) на 35 % меньше вторника — $400\cdot0{,}65=260$ — четверг, окончание 3. В) на 10 % больше предыдущего — среда ($400\cdot1{,}1=440$), окончание 2. Ответ: А6Б3В2.` },
|
||
|
||
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 4,
|
||
text: R`Выберите номера трёх верных утверждений (запишите цифрами в порядке возрастания).<br>$1)$ если $\cos(\arccos a)=\cos\left(\arccos\tfrac1{18}\right)$, то $a=\tfrac1{18}$;<br>$2)$ если $\cos\alpha=-\cos\tfrac{\pi}{18}$, то $\arccos(\cos\alpha)=-\tfrac{\pi}{18}$;<br>$3)$ если $\sin\alpha=\sin\tfrac{17\pi}{18}$, то $\arcsin(\sin\alpha)=\tfrac{17\pi}{18}$;<br>$4)$ если $\arccos a=\tfrac{\pi}{18}$, то $a=\cos\tfrac{\pi}{18}$;<br>$5)$ если $\sin\alpha=\sin\tfrac{\pi}{18}$, то $\alpha=-\tfrac{\pi}{18}$;<br>$6)$ если $\sin\alpha=\sin\tfrac{\pi}{18}$, то $\arcsin(\sin\alpha)=\tfrac{\pi}{18}$.`,
|
||
answer: '146',
|
||
sol: R`1) $\cos(\arccos a)=a$, значит $a=\tfrac1{18}$ — верно. 4) $\arccos a=\tfrac{\pi}{18}\Rightarrow a=\cos\tfrac{\pi}{18}$ — верно. 6) $\arcsin\left(\sin\tfrac{\pi}{18}\right)=\tfrac{\pi}{18}$ — верно. Утверждения $2,3,5$ неверны (значения арккосинуса/арксинуса лежат в своих главных промежутках). Верны $1,4,6$.` },
|
||
|
||
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-basics', diff: 4,
|
||
text: R`Две перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$, точка $A$ принадлежит плоскости $\beta$. Выберите номера трёх верных утверждений (запишите цифрами в порядке возрастания).<br>$1)$ любая прямая, проходящая через $A$ и пересекающая $\alpha$, пересекает прямую $a$;<br>$2)$ существует единственная прямая, проходящая через $A$ и перпендикулярная плоскости $\alpha$;<br>$3)$ прямая, проходящая через $A$ и перпендикулярная $\beta$, перпендикулярна $\alpha$;<br>$4)$ любая точка прямой $a$ лежит в плоскостях $\alpha$ и $\beta$;<br>$5)$ любая прямая, лежащая в $\alpha$ и перпендикулярная прямой $a$, перпендикулярна $\beta$;<br>$6)$ любая прямая, перпендикулярная прямой $a$, принадлежит плоскости $\beta$.`,
|
||
answer: '245',
|
||
sol: R`Верны: $2$ (через точку — единственная прямая, перпендикулярная плоскости), $4$ (прямая $a$ — линия пересечения), $5$ (характеристическое свойство перпендикулярных плоскостей). Утверждения $1,3,6$ неверны. Верны $2,4,5$.` },
|
||
|
||
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 3,
|
||
text: R`На пастбище квадратной формы огорожен загон — прямоугольник со сторонами $a$ и $2a$ (в метрах); сторона квадратного пастбища равна $a+140$. Найдите площадь загона (в м²), если площадь пастбища в $32$ раза больше площади загона.`,
|
||
answer: '800',
|
||
sol: R`Площадь загона $2a^{2}$, площадь пастбища $(a+140)^{2}$. Из $(a+140)^{2}=32\cdot2a^{2}=64a^{2}$ следует $a+140=8a$, $a=20$. Площадь загона $2\cdot20^{2}=800$ м².` },
|
||
|
||
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 3,
|
||
text: R`Найдите значение выражения $\sqrt8\cdot\sqrt[3]{-343}\cdot\sqrt{32}-7\cdot\dfrac{\sqrt[5]{64}}{\sqrt[5]{-2}}$.`,
|
||
answer: '-98',
|
||
sol: R`$\sqrt8\cdot\sqrt{32}=\sqrt{256}=16$, $\sqrt[3]{-343}=-7$, поэтому первое слагаемое $16\cdot(-7)=-112$. $\dfrac{\sqrt[5]{64}}{\sqrt[5]{-2}}=\sqrt[5]{-32}=-2$, поэтому $7\cdot(-2)=-14$. Значение $-112-(-14)=-98$.` },
|
||
|
||
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 4,
|
||
text: R`Площадь боковой поверхности цилиндра равна $15\pi$. Найдите объём $V$ цилиндра, если радиус его основания больше высоты на $3{,}5$. В ответ запишите значение выражения $\dfrac{6V}{\pi}$.`,
|
||
answer: '225',
|
||
sol: R`$2\pi rh=15\pi\Rightarrow rh=7{,}5$, $r=h+3{,}5$. Тогда $(h+3{,}5)h=7{,}5$, $h=1{,}5$, $r=5$. $V=\pi r^{2}h=37{,}5\pi$, и $\dfrac{6V}{\pi}=225$.` },
|
||
|
||
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 4,
|
||
text: R`Решите уравнение $\sqrt3\cos\left(\dfrac{5\pi}{18}+\pi x\right)=-1{,}5$. В ответ запишите увеличенное в $3$ раза произведение наибольшего корня (в радианах) на количество корней этого уравнения на промежутке $[3;9]$.`,
|
||
answer: '160',
|
||
sol: R`$\cos\left(\tfrac{5\pi}{18}+\pi x\right)=-\tfrac{\sqrt3}{2}$, откуда $x=\tfrac59+2k$ или $x=-\tfrac{10}{9}+2k$. На $[3;9]$ корни $\tfrac{41}{9},\tfrac{59}{9},\tfrac{77}{9},\tfrac{44}{9},\tfrac{62}{9},\tfrac{80}{9}$ — всего $6$; наибольший $\tfrac{80}{9}$. Тогда $3\cdot\tfrac{80}{9}\cdot6=160$.` },
|
||
|
||
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
|
||
text: R`Найдите сумму всех целых решений неравенства $\log_{0{,}3}\log_{4{,}7}\left(2^{x+9{,}1}-1\right)\ge0$.`,
|
||
answer: '-15',
|
||
sol: R`Основание $0{,}3<1$, поэтому $0<\log_{4{,}7}\left(2^{x+9{,}1}-1\right)\le1$, откуда $1<2^{x+9{,}1}-1\le4{,}7$, то есть $2<2^{x+9{,}1}\le5{,}7$. Значит $-8{,}1<x\le-6{,}59\ldots$. Целые решения $-8$ и $-7$; их сумма $-15$.` },
|
||
|
||
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 5,
|
||
text: R`$AC$ — общая гипотенуза прямоугольных треугольников $ABC$ и $ADC$. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите квадрат длины отрезка $BD$, если $AB=9\sqrt3$, $BC=9\sqrt5$, $AD=DC$.`,
|
||
answer: '324',
|
||
sol: R`$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=243+405=648$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ADC$: $AD=DC=18$. Введя координаты (плоскости $ABC$ и $ADC$ перпендикулярны и содержат $AC$), получаем $BD^{2}=324$.` },
|
||
|
||
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 4,
|
||
text: R`Числовая последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n=2n^{2}-15n$. Найдите наименьший член $a_m$ этой последовательности и его номер $m$. В ответ запишите значение выражения $m\cdot a_m$.`,
|
||
answer: '-112',
|
||
sol: R`Вершина параболы $a_n=2n^{2}-15n$ при $n=3{,}75$, поэтому минимум среди целых при $n=4$: $a_4=32-60=-28$. Значит $m=4$, $a_m=-28$, и $m\cdot a_m=-112$.` },
|
||
|
||
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 5,
|
||
text: R`Найдите увеличенную в $25$ раз сумму квадратов корней уравнения $10\sqrt{\dfrac{x^{2}}{14+5x-x^{2}}}-2\sqrt{\dfrac{14+5x-x^{2}}{x^{2}}}=19$.`,
|
||
answer: '960',
|
||
sol: R`Пусть $t=\sqrt{\dfrac{x^{2}}{14+5x-x^{2}}}\ge0$. Тогда $10t-\dfrac2t=19$, $10t^{2}-19t-2=0$, $t=2$. Отсюда $x^{2}=4(14+5x-x^{2})$, то есть $5x^{2}-20x-56=0$. Сумма квадратов корней $4^{2}-2\cdot\left(-\tfrac{56}{5}\right)=\tfrac{192}{5}$; увеличенная в $25$ раз — $960$.` },
|
||
|
||
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 5,
|
||
text: R`Прямая, проходящая через вершину $K$ треугольника $KMN$, делит его медиану $MA$ в отношении $8:3$, считая от вершины $M$, и пересекает сторону $MN$ в точке $B$. Найдите площадь треугольника $KMN$, если площадь треугольника $KMB$ равна $16$.`,
|
||
answer: '28',
|
||
sol: R`В координатах $M(0;0)$, $N(1;0)$, $K(0;1)$ прямая $KB$ пересекает $MN$ в точке $B\left(\tfrac47;0\right)$. Тогда $\dfrac{[KMN]}{[KMB]}=\dfrac{1/2}{2/7}=\dfrac74$, поэтому $[KMN]=16\cdot\dfrac74=28$.` },
|
||
|
||
{ idx: 31, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 5,
|
||
text: R`Петя записал на доске два различных натуральных числа. Затем он их сложил, перемножил, вычел из большего записанного числа меньшее и разделил большее на меньшее. Сложив четыре полученных результата, Петя получил число $1521$. Найдите все такие пары натуральных чисел. В ответ запишите их сумму.`,
|
||
answer: '460',
|
||
sol: R`Для чисел $a>b$ (с $b\mid a$, $a=bq$) сумма результатов равна $q(b+1)^{2}=1521=3^{2}\cdot13^{2}$. Получаем пары $(338;2)$ и $(108;12)$. Сумма всех чисел $338+2+108+12=460$.` },
|
||
|
||
{ idx: 32, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 5,
|
||
text: R`Основанием пирамиды $SABCD$ является выпуклый четырёхугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ которого перпендикулярны и пересекаются в точке $O$, причём $AO=9$, $OC=16$, $BO=OD=12$. Вершина $S$ удалена на расстояние $\dfrac{61}{7}$ от каждой из прямых $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$. Через середину высоты пирамиды параллельно её основанию проведена секущая плоскость, делящая пирамиду на две части. Найдите значение выражения $10\cdot V$, где $V$ — объём большей из частей.`,
|
||
answer: '1375',
|
||
sol: R`Стороны $AB=AD=15$, $BC=CD=20$; $AB+CD=BC+AD$, значит четырёхугольник описанный. Площадь основания $\tfrac12\cdot25\cdot24=300$, полупериметр $35$, радиус вписанной окружности $r=\tfrac{300}{35}=\tfrac{60}{7}$. Высота $h=\sqrt{\left(\tfrac{61}{7}\right)^{2}-\left(\tfrac{60}{7}\right)^{2}}=\tfrac{11}{7}$. Объём пирамиды $\tfrac13\cdot300\cdot\tfrac{11}{7}=\tfrac{1100}{7}$. Сечение на половине высоты отсекает сверху подобную пирамиду объёмом $\tfrac18$; большая часть $\tfrac78\cdot\tfrac{1100}{7}=137{,}5$. Тогда $10V=1375$.` },
|
||
];
|
||
|
||
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
|
||
function ansShowOf(t) {
|
||
if (t.ansShow != null) return t.ansShow;
|
||
if (t.type === 'mc') return `${t.answer})`;
|
||
return `$${t.answer}$`;
|
||
}
|
||
function buildSolution(t) {
|
||
const ans = ansShowOf(t);
|
||
let html = `${t.sol}<div class="sol-ans">Ответ: ${ans}</div>`;
|
||
if (t.ref) html += `<div class="sol-ref" style="margin-top:6px;font-size:.85em;opacity:.7">Учебник: ${t.ref}</div>`;
|
||
return html;
|
||
}
|
||
|
||
/* ── Самопроверка (повтор логики checkAnswerServer из exam-prep.js) ────────── */
|
||
const EPS = 1e-6;
|
||
function srvToNumber(s) {
|
||
if (s == null) return NaN;
|
||
let t = String(s).trim().replace(/\$/g, '').replace(/\s+/g, '').replace(',', '.');
|
||
const f = t.match(/^(-?\d+(?:\.\d+)?)\s*\/\s*(-?\d+(?:\.\d+)?)$/);
|
||
if (f) { const n = Number(f[1]), d = Number(f[2]); return d === 0 ? NaN : n / d; }
|
||
const n = Number(t); return Number.isFinite(n) ? n : NaN;
|
||
}
|
||
function checkAnswerServer(userInput, canonical) {
|
||
if (userInput == null || canonical == null) return false;
|
||
const c = String(canonical).trim();
|
||
if (/^[а-д]$/.test(c)) return String(userInput).trim().toLowerCase() === c.toLowerCase();
|
||
if (/^[^;]+;[^;]+$/.test(c)) return false;
|
||
const cn = srvToNumber(c), un = srvToNumber(userInput);
|
||
if (Number.isNaN(cn) || Number.isNaN(un)) return false;
|
||
return Math.abs(cn - un) < EPS;
|
||
}
|
||
|
||
/* ── Валидация набора ──────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
const problems = [];
|
||
if (TASKS.length !== N_TASKS) problems.push(`Ожидалось ${N_TASKS} заданий, получено ${TASKS.length}`);
|
||
const seen = new Set();
|
||
for (const t of TASKS) {
|
||
if (seen.has(t.idx)) problems.push(`Дубль task_idx=${t.idx}`); seen.add(t.idx);
|
||
if (t.idx < 1 || t.idx > N_TASKS) problems.push(`task_idx вне 1..${N_TASKS}: ${t.idx}`);
|
||
if (!['mc', 'open', 'long'].includes(t.type)) problems.push(`#${t.idx}: тип ${t.type}`);
|
||
if (t.type === 'mc') {
|
||
if (!Array.isArray(t.opts) || t.opts.length !== 5) problems.push(`#${t.idx}: mc должен иметь 5 вариантов`);
|
||
if (!t.opts.some(o => o[0] === t.answer)) problems.push(`#${t.idx}: answer "${t.answer}" не среди меток`);
|
||
}
|
||
if (!t.text || !t.sol) problems.push(`#${t.idx}: пустой text/sol`);
|
||
if (t.type !== 'long' && !checkAnswerServer(t.answer, t.answer))
|
||
problems.push(`#${t.idx}: answer "${t.answer}" не проходит self-check (Unicode-минус? пробел?)`);
|
||
if (/−/.test(String(t.answer))) problems.push(`#${t.idx}: Unicode-минус в answer`);
|
||
}
|
||
|
||
/* ── Экспорт для тестов/тиража (без запуска main при require) ──────────────── */
|
||
module.exports = { TASKS, buildSolution, ansShowOf, checkAnswerServer, EXAM, VARIANT, PROV };
|
||
if (require.main !== module) return;
|
||
|
||
/* ── Открытие БД ───────────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
const DB = path.join(__dirname, '..', 'data', 'learnspace.db');
|
||
const db = new DatabaseSync(DB);
|
||
|
||
const track = db.prepare(`SELECT exam_key, variants_count FROM exam_tracks WHERE exam_key=?`).get(EXAM);
|
||
if (!track) { console.error(`✗ Трек '${EXAM}' не найден в exam_tracks. Прерывание.`); process.exit(1); }
|
||
|
||
/* ── DRY-RUN сводка ────────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
console.log(`\n=== seed_ctmath_ct2021_v1 (${PROV}) variant=${VARIANT} ===`);
|
||
console.log(`Режим: ${APPLY ? 'APPLY (запись)' : 'DRY-RUN (только проверка)'}\n`);
|
||
|
||
const byType = TASKS.reduce((a, t) => (a[t.type] = (a[t.type] || 0) + 1, a), {});
|
||
console.log('Типы:', JSON.stringify(byType), '\n');
|
||
|
||
console.log('idx | type | subtopic | d | answer');
|
||
console.log('----+------+-----------------------+---+----------');
|
||
for (const t of TASKS) {
|
||
console.log(`${String(t.idx).padStart(3)} | ${t.type.padEnd(4)} | ${String(t.subtopic).padEnd(21)} | ${t.diff} | ${String(t.answer)}`);
|
||
}
|
||
|
||
if (problems.length) {
|
||
console.error(`\n✗ ПРОБЛЕМЫ (${problems.length}):`);
|
||
problems.forEach(p => console.error(' - ' + p));
|
||
console.error('\nЗапись отменена из-за ошибок валидации.');
|
||
db.close();
|
||
process.exit(1);
|
||
}
|
||
console.log(`\n✓ Валидация и self-check ответов пройдены (${N_TASKS}/${N_TASKS}).`);
|
||
|
||
/* ── APPLY: upsert ─────────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
if (!APPLY) {
|
||
console.log('\nDRY-RUN: ничего не записано. Для записи: node backend/scripts/seed_ctmath_ct2021_v1.js --apply\n');
|
||
db.close();
|
||
process.exit(0);
|
||
}
|
||
|
||
const upsert = db.prepare(`
|
||
INSERT INTO exam_tasks
|
||
(exam_key, variant, task_idx, task_type, text_html, figure_html,
|
||
opts_json, answer, solution_html, topic, subtopic, difficulty)
|
||
VALUES (?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?)
|
||
ON CONFLICT(exam_key, variant, task_idx) DO UPDATE SET
|
||
task_type = excluded.task_type,
|
||
text_html = excluded.text_html,
|
||
figure_html = excluded.figure_html,
|
||
opts_json = excluded.opts_json,
|
||
answer = excluded.answer,
|
||
solution_html = excluded.solution_html,
|
||
topic = excluded.topic,
|
||
subtopic = excluded.subtopic,
|
||
difficulty = excluded.difficulty
|
||
`);
|
||
|
||
let n = 0;
|
||
db.exec('BEGIN');
|
||
try {
|
||
for (const t of TASKS) {
|
||
upsert.run(
|
||
EXAM, VARIANT, t.idx, t.type,
|
||
t.text,
|
||
t.fig || null,
|
||
t.type === 'mc' ? JSON.stringify(t.opts) : null,
|
||
t.answer,
|
||
buildSolution(t),
|
||
t.topic, t.subtopic, t.diff
|
||
);
|
||
n++;
|
||
}
|
||
const distinct = db.prepare(`SELECT COUNT(DISTINCT variant) c FROM exam_tasks WHERE exam_key=? AND variant BETWEEN 101 AND 1999`).get(EXAM).c;
|
||
db.prepare(`UPDATE exam_tracks SET variants_count=? WHERE exam_key=?`).run(distinct, EXAM);
|
||
db.exec('COMMIT');
|
||
console.log(`\n✓ Записано/обновлено ${n} заданий (variant=${VARIANT}).`);
|
||
console.log(`✓ exam_tracks.variants_count = ${distinct} (различных вариантов).`);
|
||
console.log(`\nПробник доступен: /exam-prep/ctmath → «Варианты» → «ЦТ-2021».\n`);
|
||
} catch (e) {
|
||
db.exec('ROLLBACK');
|
||
console.error('\n✗ Ошибка записи, откат транзакции:', e.message);
|
||
process.exitCode = 1;
|
||
}
|
||
db.close();
|