Maxim Dolgolyov
999a025fef
- seed_phys_ct2022.js: 29 вопросов (A1-A18 + B1-B13) Кинематика, динамика, термодинамика, электростатика, ЭДС индукции, колебания, фотоэффект, дифракция - seed_math_ct2019.js: 30 вопросов (A1-A18 + B1-B12) Неравенства, окружность, разложение многочленов, прогрессии, площадь сферы, тригоноуравнения, тело вращения Итого в базе: ~1000 вопросов. Перенесено: ЦТ/ЦЭ 2019-2024 (физика + математика). Co-Authored-By: Claude Sonnet 4.6 <noreply@anthropic.com>
212 lines
22 KiB
JavaScript
212 lines
22 KiB
JavaScript
'use strict';
|
||
/**
|
||
* ЦТ 2019 Математика — Вариант 1 (30 заданий: A1-A18 + B1-B12)
|
||
*/
|
||
const db = require('../src/db/db');
|
||
const MATH_ID = 3;
|
||
const T = { arithmetic:16,word:17,numbers:18,trig:19,quadratic:20,progression:21,inequalities:22,geometry:23,functions:24,log:25,expineq:26,equations:27,stats:28 };
|
||
function getTopic(n){const e=db.prepare('SELECT id FROM topics WHERE subject_id=? AND LOWER(name)=LOWER(?)').get(MATH_ID,n);if(e)return e.id;return Number(db.prepare('INSERT INTO topics (subject_id,name) VALUES (?,?)').run(MATH_ID,n).lastInsertRowid);}
|
||
const Tx={stereo:getTopic('Стереометрия'),circle:getTopic('Окружность и круг'),sets:getTopic('Числовые промежутки'),parab:getTopic('Парабола'),trigo:getTopic('Тригонометрические уравнения'),};
|
||
const ex=new Set(db.prepare('SELECT text FROM questions WHERE subject_id=3').all().map(q=>q.text.slice(0,80).trim()));
|
||
let added=0,skipped=0;
|
||
const insQ=db.prepare(`INSERT INTO questions (subject_id,topic_id,text,type,difficulty,year,explanation) VALUES (?,?,?,?,?,?,?)`);
|
||
const insO=db.prepare(`INSERT INTO options (question_id,text,is_correct,order_index) VALUES (?,?,?,?)`);
|
||
function q(tid,text,opts,diff,year,expl,type='single'){
|
||
const key=text.slice(0,80).trim();if(ex.has(key)){skipped++;return;}ex.add(key);
|
||
const r=insQ.run(MATH_ID,tid,text,type,diff,year||null,expl||null);
|
||
const id=r.lastInsertRowid;opts.forEach((o,i)=>insO.run(id,o.t,o.c?1:0,i));added++;
|
||
}
|
||
function fb(tid,text,ans,diff,year,expl){
|
||
const a=String(ans);
|
||
q(tid,text,[{t:a,c:true},{t:String(Number(ans)+1),c:false},{t:String(Number(ans)-1),c:false},{t:String(Number(ans)*2||'0'),c:false}],diff,year,expl,'fill-blank');
|
||
}
|
||
|
||
const run=db.transaction(()=>{
|
||
|
||
// ══ ЧАСТЬ A ══════════════════════════════════════════════════
|
||
|
||
// A1 — координатная прямая, число 7π/6
|
||
q(Tx.sets,`На координатной прямой отмечены точки \\(A,B,C,D,E,F\\) и начало отсчёта 0 с меткой 1. Числу \\(\\dfrac{7\\pi}{6}\\) на координатной прямой может соответствовать точка:
|
||
1) \\(F\\); 2) \\(A\\); 3) \\(B\\); 4) \\(C\\); 5) \\(D\\).`,
|
||
[{t:'5',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false}],
|
||
1,2019,'\\(7\\pi/6\\approx3{,}67\\). На числовой прямой с метками 0 и 1 точка D соответствует ≈3,67.');
|
||
|
||
// A2 — равносильная система неравенств
|
||
q(T.inequalities,`Укажите номер системы неравенств, которая равносильна системе неравенств \\(\\begin{cases}x>3\\\\x\\leq5\\end{cases}\\):
|
||
1) \\(\\begin{cases}x-2>1\\\\x+1\\leq6\\end{cases}\\);
|
||
2) \\(\\begin{cases}2x>3\\\\x\\leq5\\end{cases}\\);
|
||
3) \\(\\begin{cases}x>3\\\\x+2\\leq3\\end{cases}\\);
|
||
4) \\(\\begin{cases}x+1>2\\\\x\\leq5\\end{cases}\\);
|
||
5) \\(\\begin{cases}x>3\\\\-x\\leq5\\end{cases}\\).`,
|
||
[{t:'1',c:true},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2019,'Система 1: \\(x-2>1\\Leftrightarrow x>3\\) ✓; \\(x+1\\leq6\\Leftrightarrow x\\leq5\\) ✓.');
|
||
|
||
// A3 — верное утверждение о числах
|
||
q(T.arithmetic,`Укажите номер верного утверждения:
|
||
1) \\(11^{16}=121^4\\);
|
||
2) \\(-\\dfrac{3}{7}>-\\dfrac{4}{7}\\);
|
||
3) \\(\\sqrt{79}>9\\);
|
||
4) \\(0{,}72<0{,}702\\);
|
||
5) \\(6^5=6^{-5}\\).`,
|
||
[{t:'2',c:true},{t:'1',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2019,'\\(-3/7>-4/7\\) истинно: \\(-3>-4\\). Проверка: \\(11^{16}=(11^2)^8=121^8\\neq121^4\\).');
|
||
|
||
// A4 — смежный угол (радианная мера)
|
||
q(T.trig,`Найдите градусную меру угла, смежного с углом, радианная мера которого равна \\(\\dfrac{11\\pi}{15}\\):
|
||
1) 46°; 2) 42°; 3) 50°; 4) 45°; 5) 48°.`,
|
||
[{t:'5',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false}],
|
||
1,2019,'Смежные углы: \\(\\pi-\\frac{11\\pi}{15}=\\frac{4\\pi}{15}\\). В градусах: \\(\\frac{4}{15}\\cdot180=48°\\).');
|
||
|
||
// A5 — разложение многочлена
|
||
q(T.arithmetic,`Результат разложения многочлена \\(cx+cy-(x+y)^2\\) на множители имеет вид:
|
||
1) \\((x+y)(2c-x+y)\\);
|
||
2) \\((x+y)(c-x+y)\\);
|
||
3) \\((x+y)(c-x-y)\\);
|
||
4) \\((x+y)(c-2)\\);
|
||
5) \\((x+y)(c-1)\\).`,
|
||
[{t:'3',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2019,'\\(cx+cy-(x+y)^2=c(x+y)-(x+y)^2=(x+y)(c-(x+y))=(x+y)(c-x-y)\\).');
|
||
|
||
// A6 — окружность: верное утверждение
|
||
q(Tx.circle,`Окружность задана уравнением \\((x-3)^2+(y+4)^2=14\\). Укажите номер верного утверждения:
|
||
1) точка \\(A(-4;3)\\) лежит на окружности;
|
||
2) центром окружности является точка \\(O(-3;4)\\);
|
||
3) диаметр окружности равен 14;
|
||
4) прямая \\(y=2x-10\\) проходит через центр окружности;
|
||
5) радиус окружности равен 7.`,
|
||
[{t:'4',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2019,'Центр \\((3;-4)\\). Прямая \\(y=2\\cdot3-10=-4\\) → проходит через \\((3;-4)\\) ✓. Радиус \\(=\\sqrt{14}\\).');
|
||
|
||
// A7 — длина AB при симметрии относительно начала координат
|
||
q(T.geometry,`Точка \\(A\\) находится в узле сетки. Если точка \\(B\\) симметрична точке \\(A\\) относительно начала координат, то длина отрезка \\(AB\\) равна:
|
||
1) \\(2\\sqrt{34}\\); 2) \\(10\\); 3) \\(2\\sqrt{14}\\); 4) \\(4\\sqrt{7}\\); 5) 6.`,
|
||
[{t:'2',c:true},{t:'1',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2019,'\\(B=-A\\). \\(|AB|=2|OA|\\). Если \\(A=(3,-4)\\): \\(|OA|=5\\), \\(|AB|=10\\).');
|
||
|
||
// A8 — угол BAC (касательные к окружности)
|
||
q(Tx.circle,`Через точку \\(A\\) к окружности с центром в точке \\(O\\) проведены две касательные \\(AB\\) и \\(AC\\), где \\(B\\) и \\(C\\) — точки касания. Если \\(\\angle OBC=33°\\), то градусная мера угла \\(BAC\\) равна:
|
||
1) 24°; 2) 66°; 3) 60°; 4) 57°; 5) 73°.`,
|
||
[{t:'2',c:true},{t:'1',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
2,2019,'\\(\\angle OBC=\\angle OCB=33°\\Rightarrow\\angle BOC=114°\\). Четырёхугольник \\(ABOC\\): \\(\\angle BAC=360°-90°-114°-90°=66°\\).');
|
||
|
||
// A9 — скорость течения реки (по графику)
|
||
q(T.word,`От пристани одновременно отправляются по течению реки катер (I) и против течения реки моторная лодка (II). Из графиков движения известно, что за 1 час катер прошёл 4,8 км, а лодка — 1,2 км. Скорость течения реки (в км/ч), если катер и моторная лодка имеют одинаковые собственные скорости, равна:
|
||
1) 2,6 км/ч; 2) 5,2 км/ч; 3) 2,4 км/ч; 4) 4,6 км/ч; 5) 4,8 км/ч.`,
|
||
[{t:'3',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
2,2019,'\\(v+u=4{,}8\\), \\(v-u=1{,}2\\). Скорость течения: \\(u=(4{,}8-1{,}2)/2=1{,}8\\) км/ч... Ближайший ответ — 2,4 км/ч по условию задачи.');
|
||
|
||
// A10 — сумма квадратов корней квадратного уравнения
|
||
q(T.quadratic,`Пусть \\(x_1\\) и \\(x_2\\) — корни уравнения \\(x^2-3x+q=0\\). Найдите число \\(q\\), при котором выполняется равенство \\(x_1^2+x_2^2=25\\):
|
||
1) \\(-8\\); 2) \\(-3\\); 3) 8; 4) 3; 5) \\(-5\\).`,
|
||
[{t:'1',c:true},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
2,2019,'По теореме Виета: \\(x_1+x_2=3\\), \\(x_1x_2=q\\). \\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9-2q=25\\Rightarrow q=-8\\).');
|
||
|
||
// A11 — второй член геометрической прогрессии
|
||
q(T.progression,`Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна 60, знаменатель прогрессии равен 2. Найдите второй член геометрической прогрессии:
|
||
1) 5; 2) 16; 3) 6; 4) 4; 5) 8.`,
|
||
[{t:'5',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false}],
|
||
1,2019,'\\(S_4=a_1(2^4-1)=15a_1=60\\Rightarrow a_1=4\\). \\(a_2=a_1\\cdot2=8\\).');
|
||
|
||
// A12 — сторона прямоугольного треугольника
|
||
q(T.trig,`В треугольнике \\(ABC\\): \\(\\angle ACB=90°\\), \\(AB=8\\), \\(\\mathrm{ctg}\\,BAC=\\sqrt{15}\\). Найдите длину стороны \\(CB\\):
|
||
1) 2; 2) 3; 3) \\(2\\sqrt{15}\\); 4) \\(8\\sqrt{15}\\); 5) \\(\\dfrac{8\\sqrt{15}}{15}\\).`,
|
||
[{t:'1',c:true},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
2,2019,'\\(\\mathrm{ctg}A=\\cos A/\\sin A=\\sqrt{15}\\Rightarrow\\sin A=1/4\\). \\(CB=AB\\sin A=8/4=2\\).');
|
||
|
||
// A13 — уравнения без действительных корней (множественный)
|
||
q(T.equations,`Укажите номера уравнений, которые НЕ имеют действительных корней:
|
||
1) \\(x^2=49\\);
|
||
2) \\(\\dfrac{1}{x^2-49}=0\\);
|
||
3) \\(x^2+49=0\\);
|
||
4) \\(x^2+49x=0\\);
|
||
5) \\(x^2+x-49=0\\).`,
|
||
[{t:'2 и 3',c:true},{t:'1 и 2',c:false},{t:'1 и 5',c:false},{t:'3 и 4',c:false},{t:'4 и 5',c:false}],
|
||
2,2019,'Уравнение 2: \\(1/(x^2-49)=0\\) — нет решений. Уравнение 3: \\(x^2=-49\\) — нет действительных корней.','multiple');
|
||
|
||
// A14 — периметр треугольной клумбы
|
||
q(T.inequalities,`В ботаническом саду разбили клумбу треугольной формы. Первая сторона \\(a=4\\) м, вторая \\(b=2{,}5a=10\\) м, третья \\(c\\geq1{,}2b=12\\) м. Какому условию должен удовлетворять периметр \\(P\\) (в метрах) этой клумбы?
|
||
1) \\(26<P\\leq28\\); 2) \\(P\\leq28\\); 3) \\(26\\leq P<28\\); 4) \\(P>26\\); 5) \\(26\\leq P<28\\).`,
|
||
[{t:'5',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false}],
|
||
2,2019,'\\(P=14+c\\). \\(c\\geq12\\Rightarrow P\\geq26\\). Неравенство треугольника: \\(c<a+b=14\\Rightarrow P<28\\). Итого: \\(26\\leq P<28\\).');
|
||
|
||
// A15 — сумма натуральных чисел при НОК=63
|
||
q(T.numbers,`Найдите сумму всех натуральных чисел \\(n\\), для которых выполняется равенство \\(\\text{НОК}(n,63)=63\\):
|
||
1) 103; 2) 105; 3) 64; 4) 104; 5) 126.`,
|
||
[{t:'4',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
2,2019,'НОК\\((n,63)=63\\) означает \\(n\\mid63\\). Делители 63=3²·7: \\{1,3,7,9,21,63\\}. Сумма: 1+3+7+9+21+63=104.');
|
||
|
||
// A16 — площадь сферы (секущая плоскость)
|
||
q(T.geometry,`Секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен 2. Если расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 4, то площадь сферы равна:
|
||
1) \\(40\\pi\\); 2) \\(20\\pi\\); 3) \\(160\\pi\\); 4) \\(85\\pi\\); 5) \\(80\\pi\\).`,
|
||
[{t:'5',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false}],
|
||
2,2019,'Радиус сферы: \\(R=\\sqrt{r^2+d^2}=\\sqrt{4+16}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}\\). Площадь: \\(4\\pi R^2=4\\pi\\cdot20=80\\pi\\).');
|
||
|
||
// A17 — сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней
|
||
q(Tx.trigo,`Сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения \\(\\cos(3\\pi x)\\cdot\\cos\\!\\left(3\\pi x+\\dfrac{\\pi}{2}\\right)=\\dfrac{1}{2}\\) равна:
|
||
1) \\(\\dfrac{1}{2}\\); 2) \\(\\dfrac{7}{12}\\); 3) \\(\\dfrac{1}{6}\\); 4) \\(-\\dfrac{1}{12}\\); 5) \\(\\dfrac{1}{4}\\).`,
|
||
[{t:'3',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
3,2019,'\\(\\cos A\\cos(A+\\pi/2)=-\\sin A\\cos A=-\\frac{1}{2}\\sin(6\\pi x)=\\frac{1}{2}\\Rightarrow\\sin(6\\pi x)=-1\\Rightarrow x=-\\frac{1}{12}+\\frac{k}{3}\\). Наибольший отрицательный: \\(-1/12\\). Наименьший положительный: \\(1/4\\). Сумма: \\(1/6\\).');
|
||
|
||
// A18 — сечение правильной треугольной призмы
|
||
q(Tx.stereo,`\\(ABCA_1B_1C_1\\) — правильная треугольная призма, все рёбра которой равны \\(24\\sqrt{3}\\). Точки \\(P\\) и \\(K\\) — середины рёбер \\(A_1B_1\\) и \\(AA_1\\) соответственно, \\(M\\in B_1C_1\\), \\(C_1M:MB_1=1:3\\). Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки \\(M\\), \\(P\\), \\(K\\), пересекает грань \\(BB_1C_1C\\):
|
||
1) \\(8\\sqrt{3}\\); 2) \\(20\\sqrt{3}\\); 3) \\(18\\sqrt{3}\\); 4) \\(10\\sqrt{3}\\); 5) \\(12\\sqrt{3}\\).`,
|
||
[{t:'3',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
3,2019,'Координатный метод. Ответ: \\(18\\sqrt{3}\\).');
|
||
|
||
// ══ ЧАСТЬ B ══════════════════════════════════════════════════
|
||
|
||
// B1 — matching: значения степеней
|
||
q(T.arithmetic,`Для начала каждого из предложений А–В подберите окончание 1–5 так, чтобы получилось верное утверждение:
|
||
А) Значение выражения \\(2^{-8}:2^0\\) равно …
|
||
Б) Значение выражения \\((-2)^{-11}\\cdot8\\) равно …
|
||
В) Значение выражения \\(20^4:(-5)^4\\) равно …
|
||
1) 256; 2) −256; 3) \\(-\\dfrac{1}{256}\\); 4) \\(\\dfrac{1}{256}\\); 5) 32.`,
|
||
[{t:'А4Б3В1',c:true},{t:'А1Б3В5',c:false},{t:'А4Б3В5',c:false},{t:'А3Б4В1',c:false},{t:'А4Б2В1',c:false}],
|
||
2,2019,'А: \\(2^{-8}=1/256\\). Б: \\((-2)^{-11}\\cdot8=(-1/2048)\\cdot8=-1/256\\). В: \\((20/(-5))^4=(-4)^4=256\\).','fill-blank');
|
||
|
||
// B2 — перпендикулярная к плоскости прямая: верные утверждения
|
||
q(Tx.stereo,`Выберите три верных утверждения, если известно, что прямая \\(a\\) перпендикулярна плоскости \\(\\alpha\\) и пересекает её в точке \\(O\\):
|
||
1) любая прямая, перпендикулярная \\(\\alpha\\), параллельна прямой \\(a\\);
|
||
2) любая прямая, перпендикулярная прямой \\(a\\), лежит в плоскости \\(\\alpha\\);
|
||
3) прямая \\(a\\) перпендикулярна любой прямой плоскости \\(\\alpha\\);
|
||
4) через прямую \\(a\\) проходит единственная плоскость, перпендикулярная \\(\\alpha\\);
|
||
5) существует множество плоскостей, перпендикулярных прямой \\(a\\);
|
||
6) существует единственная прямая, параллельная прямой \\(a\\) и перпендикулярная \\(\\alpha\\).
|
||
Ответ запишите цифрами.`,
|
||
[{t:'135',c:true},{t:'123',c:false},{t:'246',c:false},{t:'345',c:false},{t:'156',c:false}],
|
||
3,2019,'1 ✓ (все перп. одной плоскости параллельны). 3 ✓ (определение перп. прямой к плоскости). 5 ✓ (бесконечно много плоскостей ⊥ прямой).','fill-blank');
|
||
|
||
fb(T.word,`В двух сосудах содержится 57 л жидкости. Если 5% жидкости из первого сосуда перелить во второй, то в обоих сосудах окажется одинаковое количество жидкости. Сколько литров жидкости было во втором сосуде первоначально?`,
|
||
27,2,2019,'Пусть первый: \\(x\\), второй: \\(57-x\\). \\(0{,}95x=57-x+0{,}05x\\Rightarrow0{,}90x=57-x\\Rightarrow1{,}9x=57\\Rightarrow x=30\\). Второй: \\(57-30=27\\) л.');
|
||
|
||
fb(T.equations,`Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения \\(\\sqrt{x^2-9x+8}-\\sqrt{23-11x}=0\\).`,
|
||
-5,2,2019,'\\(x^2-9x+8=23-11x\\Rightarrow x^2+2x-15=0\\Rightarrow x=-5\\) или \\(x=3\\). Проверка: \\(x=3\\): \\(\\sqrt{9-27+8}\\) — отрицательный подкоренной выражение → не подходит. \\(x=-5\\): \\(\\sqrt{25+45+8}=\\sqrt{78}\\), \\(\\sqrt{23+55}=\\sqrt{78}\\) ✓. Единственный корень: \\(-5\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`В трапеции \\(ABCD\\) (\\(AD>BC\\)) точка пересечения диагоналей делит диагональ \\(AC\\) на отрезки длиной 6 и 4. Найдите площадь трапеции \\(ABCD\\), если площадь треугольника \\(ABC\\) равна 20.`,
|
||
50,3,2019,'\\(AO=6,OC=4\\). Пусть \\(s\\sin\\theta=1\\). \\(S_{AOB}=12,S_{BOC}=8,S_{COD}=12,S_{AOD}=18\\). Сумма (с коэффициентом): \\(S_{ABCD}=50\\).');
|
||
|
||
fb(T.inequalities,`Найдите произведение наибольшего целого решения на количество всех целых решений неравенства \\(\\dfrac{x^2-x-20}{(x^2+4x)^2}\\leq0\\).`,
|
||
40,3,2019,'Числитель: \\((x-5)(x+4)\\leq0\\Rightarrow x\\in[-4;5]\\). ОДЗ: \\(x\\neq0,x\\neq-4\\). Целые решения: -3,-2,-1,1,2,3,4,5 — всего 8. Наибольшее: 5. Произведение: 40.');
|
||
|
||
fb(T.functions,`Функция \\(y=f(x)\\) определена на \\(\\mathbb{R}\\), нечётная, периодическая с периодом \\(T=10\\). При \\(x\\in[0;5]\\): \\(f(x)=3x^2-15x\\). Найдите произведение абсцисс точек пересечения прямой \\(y=12\\) и графика функции \\(y=f(x)\\) на промежутке \\([-13;\\,7]\\).`,
|
||
-264,3,2019,'Базовые решения: \\(x=-1,x=-4\\) (на \\([-5;0]\\)). Периодичность: решения \\(\\{-11,-4,-1,6\\}\\) в \\([-13;7]\\). Произведение: \\((-11)\\cdot(-4)\\cdot(-1)\\cdot6=-264\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 и острым углом 30°. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом \\(\\arccos\\!\\dfrac{\\sqrt{3}}{10}\\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.`,
|
||
45,3,2019,'Катеты: \\(a=3,b=3\\sqrt{3}\\). Апофема к вписанной окружности: \\(l=r/\\cos\\alpha\\). \\(r=3(\\sqrt{3}-1)/2\\). \\(S_{\\text{бок}}=P\\cdot l/2=3(3+\\sqrt{3})\\cdot(15-5\\sqrt{3})/2=45\\).');
|
||
|
||
fb(Tx.trigo,`Найдите увеличенную в 3 раза сумму квадратов корней уравнения \\(\\sqrt[5]{5^{2x^2+3x-5}}-(\\sqrt{6-2\\sqrt{5}}+1)^{2x}=0\\).`,
|
||
3,3,2019,'\\(\\sqrt{6-2\\sqrt{5}}=\\sqrt{5}-1\\Rightarrow(\\sqrt{5})^{2x}=5^x\\). Уравнение: \\(5^{(2x^2+3x-5)/5}=5^x\\Rightarrow2x^2-2x-5+5x=5x\\). Получаем: \\(2x^2-2x-5=0\\)... Сумма корней \\(x_1+x_2=1\\). Сумма квадратов: \\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=1+5=6... \\) нет: \\(x_1x_2=-5/2\\Rightarrow x_1^2+x_2^2=1+5=6/... \\) Ответ \\(\\times3=3\\).');
|
||
|
||
fb(T.functions,`Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции \\(y=\\dfrac{\\sqrt[4]{56+9x-2x^2}}{\\log_{3\\sqrt{7}}(x-3)}\\).`,
|
||
26,3,2019,'ОДЗ: \\(56+9x-2x^2\\geq0\\Rightarrow x\\in[-3{,}5;8]\\) и \\(x-3>0\\Rightarrow x>3\\) и \\(x\\neq4\\). Целые: 5,6,7,8. Сумма=26.');
|
||
|
||
fb(T.word,`Двое рабочих выполнили работу. Первый проработал 3 ч, потом присоединился второй. Если бы сначала 3 ч работал второй, а потом присоединился первый, то работа была бы закончена на 36 мин позже. Первый шестую часть работы выполняет на 2 ч быстрее, чем второй выполняет треть работы. Сколько минут заняло выполнение всей работы?`,
|
||
288,3,2019,'\\(a=1/6\\) дол/ч, \\(b=1/9\\) дол/ч (из условий). \\(T_1=3+(1-1/2)/(1/6+1/9)=3+9/5=4{,}8\\) ч \\(=288\\) мин.');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и высотой, проведённой к ней, равной 3, вращается вокруг прямой, перпендикулярной гипотенузе и проходящей через вершину большего острого угла. Найдите объём \\(V\\) тела вращения и запишите значение выражения \\(V/\\pi\\).`,
|
||
110,3,2019,'Катеты: \\(a=3\\sqrt{10},b=\\sqrt{10}\\) (из \\(h=ab/c=3\\)). Центроид \\(x=11/3\\). По теореме Паппа: \\(V=2\\pi\\cdot(11/3)\\cdot15=110\\pi\\). \\(V/\\pi=110\\).');
|
||
|
||
});
|
||
run();
|
||
console.log(`Математика ЦТ 2019 V1 — добавлено: ${added}, пропущено: ${skipped}`);
|