Maxim Dolgolyov
6cd0a81d88
Завершающий пробник РТ-2024/25 (полный охват: тела вращения, сфера, производная, сечения, параметрически сложные задачи). По 1 варианту на Этап. 1 чертёж из PDF (три окружности, А2). KaTeX-рендер 30/30, self-сверка ответов. РТ-2024/25 оцифрован целиком: Этапы I/II/III = variants 101/102/103. Co-Authored-By: Claude Opus 4.8 (1M context) <noreply@anthropic.com>
295 lines
33 KiB
JavaScript
295 lines
33 KiB
JavaScript
'use strict';
|
||
/* ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||
seed_ctmath_rt2425_e3v1.js — РТ–2024/2025, Этап III, Вариант 1 → variant=103
|
||
Чистый 30-задачный пробник (А1–А10 + В1–В20). Этап III — завершающий, полный
|
||
охват программы (стереометрия тел вращения, сфера, производная, сечения).
|
||
Перенабрано вручную в KaTeX по PDF (…\РТ\2024-2025\МАТ РТ-3 24_25 В1.pdf).
|
||
Правило тиража: 1 вариант на Этап. Только А2 содержит данные на чертеже.
|
||
|
||
Запуск: node backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e3v1.js [--apply]
|
||
─────────────────────────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
|
||
const { DatabaseSync } = require('node:sqlite');
|
||
const path = require('path');
|
||
|
||
const APPLY = process.argv.includes('--apply');
|
||
const EXAM = 'ctmath';
|
||
const VARIANT = 103;
|
||
const PROV = 'РТ–2024/2025, Этап III, Вариант 1';
|
||
const FIGDIR = 'rt2425_e3v1';
|
||
const R = String.raw;
|
||
|
||
const FIG = (name, alt) =>
|
||
`<img src="/img/ct/math/${FIGDIR}/${name}" alt="${alt}" ` +
|
||
`style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px auto;` +
|
||
`background:#fff;border-radius:8px;padding:6px;">`;
|
||
|
||
const L = ['а', 'б', 'в', 'г', 'д'];
|
||
const mc = (...html) => html.map((h, i) => [L[i], h]);
|
||
|
||
const TASKS = [
|
||
// ── Часть A ──────────────────────────────────────────────────────────────
|
||
{ idx: 1, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
|
||
text: R`Среди чисел $-0{,}5;\ 2^{-1};\ -0{,}2;\ -\sqrt2;\ 2$ укажите число, противоположное числу $\dfrac12$.`,
|
||
opts: mc('$-0{,}5$', '$2^{-1}$', '$-0{,}2$', '$-\sqrt2$', '$2$'),
|
||
answer: 'а',
|
||
sol: R`Противоположные числа имеют равные модули, но разные знаки. Числу $\dfrac12$ противоположно число $-\dfrac12=-0{,}5$.`,
|
||
ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 4, § 2' },
|
||
|
||
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 2,
|
||
text: R`На рисунке изображены три окружности с центрами $O$, $A$, $B$, радиусы которых равны $R$, $\dfrac R4$, $\dfrac R3$ соответственно. Найдите длину отрезка $AB$, если $R=12$.`,
|
||
opts: mc('$13$', '$18$', '$15$', '$17$', '$19$'),
|
||
answer: 'г',
|
||
sol: R`Отрезок $AB$ лежит на диаметре большой окружности (радиус $R=12$, диаметр $24$). Меньшие окружности касаются большой изнутри, их радиусы $\dfrac R4=3$ и $\dfrac R3=4$. Тогда $AB=24-3-4=17$.`,
|
||
ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 1, § 4',
|
||
fig: FIG('a2.png', 'Большая окружность с центром O и две внутренние окружности A и B на диаметре') },
|
||
|
||
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
|
||
text: R`Укажите номер множества чисел, которое может являться областью определения нечётной функции.`,
|
||
opts: mc('$[-7;7]$', '$(-6;0)\cup(0;6]$', '$[-5;10]$', '$[-9;2)\cup(2;9]$', '$(-11;0)\cup(0;11)$'),
|
||
answer: 'д',
|
||
sol: R`Область определения нечётной функции симметрична относительно нуля. Из предложенных множеств этим свойством обладает $(-11;0)\cup(0;11)$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 8' },
|
||
|
||
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 2,
|
||
text: R`Укажите номер показательного уравнения, корнем которого является число $-2$.`,
|
||
opts: mc('$(0{,}3)^{x-6}=(0{,}3)^{6x+4}$', '$2^{2x}=64$', '$(0{,}5)^{x^2+4}=1$', '$16x+35=3$', '$7^x=11$'),
|
||
answer: 'а',
|
||
sol: R`Подставим $x=-2$: $(0{,}3)^{-2-6}=(0{,}3)^{6\cdot(-2)+4}$, то есть $(0{,}3)^{-8}=(0{,}3)^{-8}$ — верно. Остальные показательные уравнения числу $-2$ не удовлетворяют (а уравнение 4 не является показательным).`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 5' },
|
||
|
||
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
|
||
text: R`Найдите значение выражения $\sqrt[7]{(-49)^7}-|5{,}25-6|$.`,
|
||
opts: mc('$-48{,}25$', '$-49{,}75$', '$-49{,}25$', '$-48{,}75$', '$-50$'),
|
||
answer: 'б',
|
||
sol: R`$\sqrt[7]{(-49)^7}=-49$ (корень нечётной степени), $|5{,}25-6|=0{,}75$. Тогда $-49-0{,}75=-49{,}75$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 14' },
|
||
|
||
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 2,
|
||
text: R`Укажите номера пар, состоящих из подобных одночленов.<br>1) $2ab^2$ и $-2a^2b$;<br>2) $\dfrac13 m$ и $-m^3$;<br>3) $5xy$ и $-0{,}2xy$;<br>4) $-16$ и $-16n$;<br>5) $-1{,}2c^8$ и $-8c^8$.<br><i>Ответ запишите номерами в порядке возрастания, без пробелов.</i>`,
|
||
answer: '35', ansShow: '3, 5',
|
||
sol: R`Подобные одночлены отличаются только числовым коэффициентом (одинаковая буквенная часть). $\ 3)\ 5xy$ и $-0{,}2xy$ — подобны. $\ 5)\ -1{,}2c^8$ и $-8c^8$ — подобны. Остальные пары различаются буквенной частью.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 6–7' },
|
||
|
||
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||
text: R`Юра, редактируя изображение шириной $27$ см и высотой $36$ см, уменьшил ширину на $6$ см так, что отношение ширины к высоте полученного изображения не изменилось. Найдите высоту полученного изображения (в см).`,
|
||
opts: mc('$31$', '$27$', '$28$', '$30$', '$26$'),
|
||
answer: 'в',
|
||
sol: R`Новая ширина $27-6=21$ см. Отношение сохранилось: $\dfrac{27}{36}=\dfrac{21}{x}$, откуда $x=\dfrac{36\cdot21}{27}=28$ см.`,
|
||
ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2, § 3' },
|
||
|
||
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
|
||
text: R`Найдите значение выражения $\operatorname{arcctg}(-\sqrt3)+\dfrac\pi2$.`,
|
||
opts: mc('$\dfrac\pi3$', '$\dfrac{7\pi}{6}$', '$\dfrac\pi6$', '$\dfrac{4\pi}{3}$', '$\dfrac{3\pi}{2}$'),
|
||
answer: 'г',
|
||
sol: R`$\operatorname{arcctg}(-\sqrt3)=\dfrac{5\pi}{6}$ (так как $\dfrac{5\pi}{6}\in(0;\pi)$ и $\operatorname{ctg}\dfrac{5\pi}{6}=-\sqrt3$). Тогда $\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac\pi2=\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{8\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{3}$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 7' },
|
||
|
||
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 3,
|
||
text: R`Из точки $A$, отстоящей на $\sqrt3$ от плоскости $\alpha$, проведена наклонная $AB$. Проекция наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$ равна $\sqrt{13}$. Найдите косинус угла между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$.`,
|
||
opts: mc('$\dfrac{\sqrt3}{4}$', '$\dfrac{\sqrt{13}}{4}$', '$\dfrac{\sqrt{39}}{13}$', '$\dfrac14$', '$\dfrac{\sqrt3}{2}$'),
|
||
answer: 'б',
|
||
sol: R`Пусть $O$ — основание перпендикуляра: $AO=\sqrt3$, проекция $OB=\sqrt{13}$. По теореме Пифагора $AB=\sqrt{(\sqrt3)^2+(\sqrt{13})^2}=\sqrt{16}=4$. Искомый угол — $\angle ABO$, $\cos\angle ABO=\dfrac{OB}{AB}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.`,
|
||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3, § 9' },
|
||
|
||
{ idx: 10, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
|
||
text: R`Укажите номера верных утверждений.<br>1) функция $f(x)=(\sqrt3-1)^x$ является возрастающей на области определения;<br>2) график функции $f(x)=3^x$ пересекает прямую $y=1$;<br>3) значение функции $f(x)=\log_{0{,}5}x$ меньше нуля при $x=\dfrac23$;<br>4) функция $f(x)=\log_{2{,}02}x$ является возрастающей на области определения;<br>5) $f(3{,}5)>f(4{,}2)$, если $f(x)=\left(\dfrac13\right)^x$.<br><i>Ответ запишите номерами в порядке возрастания, без пробелов.</i>`,
|
||
answer: '245', ansShow: '2, 4, 5',
|
||
sol: R`$1)$ неверно: $0<\sqrt3-1<1$, функция убывает. $\ 2)$ верно: график $y=3^x$ пересекает $y=1$ в точке $(0;1)$. $\ 3)$ неверно: $\log_{0{,}5}\dfrac23>0$. $\ 4)$ верно: $2{,}02>1$, функция возрастает. $\ 5)$ верно: при основании $\dfrac13$ функция убывает, и из $3{,}5<4{,}2$ следует $f(3{,}5)>f(4{,}2)$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 4; гл. 3, § 8' },
|
||
|
||
// ── Часть B ──────────────────────────────────────────────────────────────
|
||
{ idx: 11, type: 'long', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 3,
|
||
text: R`Конус получен вращением равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет, равный $\sqrt{21}$. Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.<br><b>Начало:</b><br>А) Диаметр основания конуса равен …<br>Б) Площадь осевого сечения конуса равна …<br>В) Объём конуса, если в качестве числа $\pi$ взято число Архимеда $\dfrac{22}{7}$, равен …<br><b>Окончание:</b><br>1) $42$; 2) $22\sqrt{21}$; 3) $66\sqrt{21}$; 4) $21$; 5) $2\sqrt{21}$; 6) $\sqrt{21}$.<br><i>Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.</i>`,
|
||
answer: 'А5Б4В2', ansShow: 'А5Б4В2',
|
||
sol: R`Радиус и высота конуса равны катету $\sqrt{21}$. А) Диаметр $=2\sqrt{21}$ — окончание 5. Б) Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2\sqrt{21}$ и высотой $\sqrt{21}$: $S=\tfrac12\cdot2\sqrt{21}\cdot\sqrt{21}=21$ — окончание 4. В) $V=\tfrac13\cdot\dfrac{22}{7}\cdot(\sqrt{21})^2\cdot\sqrt{21}=\tfrac13\cdot\dfrac{22}{7}\cdot21\sqrt{21}=22\sqrt{21}$ — окончание 2.`,
|
||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2, § 4' },
|
||
|
||
{ idx: 12, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 3,
|
||
text: R`Выберите верные утверждения.<br>1) значение выражения $(-1)^{-5}\cdot(-2)^2$ равно $-4$;<br>2) значение выражения $8^{1/3}\cdot12^0$ равно $-2$;<br>3) значение выражения $5^{-1/7}:25^{-4/7}$ равно $0{,}2$;<br>4) значение выражения $4-64^{1/3}$ равно $8$;<br>5) значение выражения $16^{-1/4}$ равно $0{,}5$;<br>6) значение выражения $2\cdot49^{0{,}5}+\left(2^{-1{,}5}\right)^{-2}$ равно $22$.<br><i>Ответ запишите номерами в порядке возрастания, без пробелов.</i>`,
|
||
answer: '156', ansShow: '1, 5, 6',
|
||
sol: R`$1)\ (-1)^{-5}\cdot(-2)^2=-1\cdot4=-4$ — верно. $\ 2)\ 8^{1/3}\cdot1=2\ne-2$ — неверно. $\ 3)\ 5^{-1/7}:5^{-8/7}=5^{1}=5\ne0{,}2$ — неверно. $\ 4)\ 4-4=0\ne8$ — неверно. $\ 5)\ 16^{-1/4}=2^{-1}=0{,}5$ — верно. $\ 6)\ 2\cdot7+2^3=14+8=22$ — верно.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 1, § 1' },
|
||
|
||
{ idx: 13, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
|
||
text: R`Первый диспетчер такси принял за день $155$ заявок. Найдите наибольшее число заявок, принятых вторым диспетчером, если число заявок, принятых двумя диспетчерами вместе, не превосходит $300$ и кратно $9$.`,
|
||
answer: '142',
|
||
sol: R`Наибольшее не превосходящее $300$ число, кратное $9$, равно $297$. Тогда наибольшее число заявок второго диспетчера $297-155=142$.`,
|
||
ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 13' },
|
||
|
||
{ idx: 14, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 2,
|
||
text: R`В параллелограмме $ABCD$ угол $BAD$ равен $45^\circ$, $BH$ — высота, проведённая к стороне $AD$, $AH=4$, $DH=8$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.`,
|
||
answer: '48',
|
||
sol: R`Так как $\angle BAD=45^\circ$, прямоугольный треугольник $BHA$ равнобедренный, поэтому $BH=AH=4$. Сторона $AD=AH+HD=12$. Площадь $S=AD\cdot BH=12\cdot4=48$.`,
|
||
ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 2, § 14' },
|
||
|
||
{ idx: 15, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
|
||
text: R`Найдите значение выражения $x_0-4$, где $x_0$ — корень уравнения $\log_{81}(7-x)-1\dfrac14=0$.`,
|
||
answer: '-240',
|
||
sol: R`$\log_{81}(7-x)=\dfrac54$, $\dfrac14\log_3(7-x)=\dfrac54$, $\log_3(7-x)=5$, $7-x=3^5=243$, $x=-236$. Тогда $x_0-4=-236-4=-240$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 9' },
|
||
|
||
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 3,
|
||
text: R`Найдите количество всех целых значений аргумента, при которых функция $f(x)=\dfrac1{12}(x-8)^2-3$ принимает отрицательные значения.`,
|
||
answer: '11',
|
||
sol: R`Нули функции: $\dfrac1{12}(x-8)^2-3=0$, $(x-8)^2=36$, $x_1=2$, $x_2=14$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому функция отрицательна на $(2;14)$. Целых значений на этом промежутке — $11$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3, § 14' },
|
||
|
||
{ idx: 17, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 3,
|
||
text: R`Найдите значение выражения $64\cos 2\alpha$, если $\sin\alpha=\dfrac18$.`,
|
||
answer: '62',
|
||
sol: R`$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\dfrac1{64}=\dfrac{62}{64}$. Тогда $64\cos2\alpha=64\cdot\dfrac{62}{64}=62$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 11' },
|
||
|
||
{ idx: 18, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 4,
|
||
text: R`Два дачных участка прямоугольной формы имеют одинаковую длину. Площадь первого участка равна $434$ м$^2$, площадь второго участка равна $558$ м$^2$. Найдите (в метрах) периметр второго участка, если известно, что сумма ширин двух участков составляет $320$ дм.`,
|
||
answer: '98',
|
||
sol: R`$320$ дм $=32$ м. Пусть ширина второго участка $x$ м, первого $(32-x)$ м, общая длина $y$ м. Тогда $\begin{cases}(32-x)y=434,\\ xy=558.\end{cases}$ Подставив $xy=558$: $32y-558=434$, $32y=992$, $y=31$, $x=18$. Второй участок $31\times18$, периметр $2(31+18)=98$ м.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 11' },
|
||
|
||
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 4,
|
||
text: R`В арифметической прогрессии $(a_n)$ четвёртый, пятый и шестой члены имеют вид $a_4=-2x$; $\ a_5=15-3x$; $\ a_6=55-5x$. Найдите сумму тридцати первых членов этой прогрессии.`,
|
||
answer: '-4950',
|
||
sol: R`По свойству $a_5=\dfrac{a_4+a_6}{2}$: $15-3x=\dfrac{-2x+55-5x}{2}$, $30-6x=-7x+55$, $x=25$. Тогда $a_4=-50$, $a_5=-60$, $a_6=-70$, разность $d=-10$, $a_1=a_4-3d=-20$. $S_{30}=\dfrac{2a_1+d(30-1)}{2}\cdot30=\dfrac{-40-290}{2}\cdot30=-4950$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4, § 15–16' },
|
||
|
||
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 4,
|
||
text: R`Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен $3\sqrt2$. Тупой угол равнобедренной трапеции равен $120^\circ$. Найдите значение выражения $P^2$, где $P$ — периметр равнобедренной трапеции.`,
|
||
answer: '1536',
|
||
sol: R`Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: $BK=6\sqrt2$. В прямоугольном треугольнике с острым углом $30^\circ$ боковая сторона $AB=\dfrac{BK}{\sin60^\circ}=\dfrac{6\sqrt2}{\sqrt3/?}$… Для описанной окружностью трапеции $AB+CD=BC+AD$, $AB=CD=4\sqrt6$, поэтому сумма оснований $BC+AD=8\sqrt6$. Периметр $P=2\cdot8\sqrt6=16\sqrt6$, тогда $P^2=256\cdot6=1536$.`,
|
||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 2, § 10' },
|
||
|
||
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 3,
|
||
text: R`Найдите сумму всех целых решений совокупности неравенств $\left[\begin{array}{l}\dfrac{x-2}{7}<\dfrac{x+2}{2}-\dfrac1{14},\\[4pt] (x-3)^2+5<(x+2)^2-20\end{array}\right.$ на промежутке $[-7;7]$.`,
|
||
answer: '22',
|
||
sol: R`Первое неравенство: $2x-4<7x+14-1$, $-5x<17$, $x>-3{,}4$. Второе: $x^2-6x+9+5<x^2+4x+4-20$, $-10x<-30$, $x>3$. Объединение совокупности — луч $(-3{,}4;+\infty)$. Пересечение с $[-7;7]$ даёт $(-3{,}4;7]$. Сумма целых от $-3$ до $7$ равна $22$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 6' },
|
||
|
||
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 3,
|
||
text: R`Имеется $28$ кг сплава меди с цинком, содержащего $34{,}5\%$ меди. Сколько меди (в граммах) необходимо добавить к этому сплаву, чтобы получить сплав, содержащий $60\%$ меди?`,
|
||
answer: '17850',
|
||
sol: R`Масса меди в исходном сплаве $28\cdot0{,}345=9{,}66$ кг. Пусть добавили $x$ кг меди: $(9{,}66+x)=(28+x)\cdot0{,}6$, $9{,}66+x=16{,}8+0{,}6x$, $0{,}4x=7{,}14$, $x=17{,}85$ кг $=17850$ г.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 16' },
|
||
|
||
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 4,
|
||
text: R`Найдите произведение корней (корень, если он единственный) уравнения $\sqrt{2x^2+11x-14}=-x-2$.`,
|
||
answer: '-9',
|
||
sol: R`Возведём в квадрат: $2x^2+11x-14=x^2+4x+4$, $x^2+7x-18=0$, корни $-9$ и $2$. Проверка: при $x=-9$ $\sqrt{49}=7=-(-9)-2$ — верно; при $x=2$ $\sqrt{16}=4\ne-4$ — посторонний. Единственный корень $-9$; произведение равно $-9$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
|
||
|
||
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 5,
|
||
text: R`$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, у которого длина ребра равна $6\sqrt3$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$. Через точки $M$, $N$ и $C_1$ проведена секущая плоскость. Найдите значение выражения $n\cdot a^2$, где $n$ — количество вершин многоугольника сечения, $a$ — длина отрезка, по которому секущая плоскость пересекает грань $AA_1D_1D$.`,
|
||
answer: '195',
|
||
sol: R`Сечение — пятиугольник $C_1LNMK$, поэтому $n=5$. Сторона $NL$ (по грани $AA_1D_1D$): из построения и подобия $DL=2\sqrt3$, $DN=3\sqrt3$, тогда $NL=\sqrt{DL^2+DN^2}=\sqrt{(2\sqrt3)^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{39}$, то есть $a=\sqrt{39}$. Значение $n\cdot a^2=5\cdot39=195$.`,
|
||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 3' },
|
||
|
||
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 5,
|
||
text: R`Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $\sin 3x\cos 3x\cos 6x=-\dfrac{\sqrt3}{8}$ на промежутке $[-60^\circ;0^\circ]$.`,
|
||
answer: '-90',
|
||
sol: R`$\tfrac12\sin6x\cos6x=-\dfrac{\sqrt3}{8}$, $\tfrac14\sin12x=-\dfrac{\sqrt3}{8}$, $\sin12x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. Тогда $12x=(-1)^{k+1}60^\circ+180^\circ k$, $x=(-1)^{k+1}5^\circ+15^\circ k$. На $[-60^\circ;0^\circ]$ корни: $-5^\circ,\ -10^\circ,\ -35^\circ,\ -40^\circ$. Их сумма $-90^\circ$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8; § 11' },
|
||
|
||
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 5,
|
||
text: R`Сфера касается всех сторон равнобедренного треугольника $ABC$, у которого длина основания $AC$ равна $10$ и длина боковой стороны $AB$ равна $11$. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника $ABC$ равно $\dfrac{5\sqrt{42}}{4}$. Найдите значение выражения $\dfrac{S}{\pi}$, где $S$ — площадь сферы.`,
|
||
answer: '300',
|
||
sol: R`Точки касания равноудалены от проекции $O_1$ центра сферы, значит $O_1$ — центр вписанной в $ABC$ окружности. Площадь по Герону: $p=16$, $S_{ABC}=\sqrt{16\cdot5\cdot5\cdot6}=20\sqrt6$, радиус вписанной $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{20\sqrt6}{16}=\dfrac{5\sqrt6}{4}$. Радиус сферы $OK=\sqrt{OO_1^2+r^2}=\sqrt{\dfrac{25\cdot42}{16}+\dfrac{25\cdot6}{16}}=\sqrt{75}=5\sqrt3$. Площадь сферы $S=4\pi R^2=4\pi\cdot75=300\pi$, поэтому $\dfrac{S}{\pi}=300$.`,
|
||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 3, § 5' },
|
||
|
||
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
|
||
text: R`Найдите сумму всех целых решений неравенства $\log_{\lg 8}(8-x)-\log_{\lg 8}(x-4)\ge 0$.`,
|
||
answer: '13',
|
||
sol: R`Так как $0<\lg8<1$, функция $\log_{\lg8}t$ убывает, поэтому неравенство $\log_{\lg8}(8-x)\ge\log_{\lg8}(x-4)$ равносильно системе $8-x\le x-4$ и $8-x>0$, то есть $x\ge6$ и $x<8$. Решение $[6;8)$, целые $6$ и $7$, сумма $13$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 10' },
|
||
|
||
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 4,
|
||
text: R`Найдите произведение наименьшего целого решения на количество всех целых решений неравенства $\left(\sqrt2-1\right)^{\frac{(x+9)^2(3-x)}{x-6}}\le 1$.`,
|
||
answer: '-36',
|
||
sol: R`Так как $\sqrt2-1\in(0;1)$, неравенство равносильно $\dfrac{(x+9)^2(3-x)}{x-6}\ge0$, или $\dfrac{(x+9)^2(x-3)}{x-6}\le0$. Методом интервалов (нули $-9,3$; разрыв $6$): решение $\{-9\}\cup[3;6)$. Целых решений $4$ ($-9,3,4,5$), наименьшее $-9$. Произведение $-9\cdot4=-36$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 6' },
|
||
|
||
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-derivative', diff: 5,
|
||
text: R`Дана функция $f(x)=\dfrac{2x^2-x}{x+5}$. Найдите значение выражения $a\cdot n$, где $a$ — наименьшее целое число из промежутков убывания данной функции, $n$ — количество всех целых чисел из промежутков убывания данной функции.`,
|
||
answer: '-100',
|
||
sol: R`$f'(x)=\dfrac{2x^2+20x-5}{(x+5)^2}$. Убывание: $f'(x)<0$ при $\dfrac{-10-\sqrt{110}}{2}<x<-5$ и $-5<x<\dfrac{-10+\sqrt{110}}{2}$ (то есть примерно на $(-10{,}2;-5)$ и $(-5;0{,}2)$). Наименьшее целое из этих промежутков $a=-10$, количество целых $n=10$. Значение $a\cdot n=-100$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 3, § 20' },
|
||
|
||
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 5,
|
||
text: R`В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна $8$ и один из острых углов равен $60^\circ$. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом, равным $\operatorname{arcctg}\dfrac{\sqrt5}{2}$. Найдите значение выражения $\left(3\sqrt5+\sqrt{15}\right)\cdot V$, где $V$ — объём данной пирамиды.`,
|
||
answer: '64',
|
||
sol: R`Высота пирамиды опущена в центр вписанной в основание окружности (двугранные углы при основании равны). В прямоугольном треугольнике $BC=4$, $AB=4\sqrt3$, $S_{ABC}=\tfrac12\cdot4\sqrt3\cdot4=8\sqrt3$, $r=\dfrac{AB+BC-AC}{2}=2\sqrt3-2$. Высота $SO=\dfrac{r}{\operatorname{ctg}\angle SMO}=\dfrac{2\sqrt3-2}{\sqrt5/2}=\dfrac{4\sqrt{15}-4\sqrt5}{5}$. Объём $V=\tfrac13\cdot8\sqrt3\cdot SO=\dfrac{32(3\sqrt5-\sqrt{15})}{15}$. Тогда $\left(3\sqrt5+\sqrt{15}\right)\cdot V=64$.`,
|
||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2, § 3' },
|
||
];
|
||
|
||
/* ── машинерия ─────────────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
function ansShowOf(t) { if (t.ansShow != null) return t.ansShow; if (t.type === 'mc') return `${t.answer})`; return `$${t.answer}$`; }
|
||
function buildSolution(t) {
|
||
let html = `${t.sol}<div class="sol-ans">Ответ: ${ansShowOf(t)}</div>`;
|
||
if (t.ref) html += `<div class="sol-ref" style="margin-top:6px;font-size:.85em;opacity:.7">Учебник: ${t.ref}</div>`;
|
||
return html;
|
||
}
|
||
const EPS = 1e-6;
|
||
function srvToNumber(s) {
|
||
if (s == null) return NaN;
|
||
let t = String(s).trim().replace(/\$/g, '').replace(/\s+/g, '').replace(',', '.');
|
||
const f = t.match(/^(-?\d+(?:\.\d+)?)\s*\/\s*(-?\d+(?:\.\d+)?)$/);
|
||
if (f) { const n = Number(f[1]), d = Number(f[2]); return d === 0 ? NaN : n / d; }
|
||
const n = Number(t); return Number.isFinite(n) ? n : NaN;
|
||
}
|
||
function checkAnswerServer(u, c0) {
|
||
if (u == null || c0 == null) return false;
|
||
const c = String(c0).trim();
|
||
if (/^[а-д]$/.test(c)) return String(u).trim().toLowerCase() === c.toLowerCase();
|
||
if (/^[^;]+;[^;]+$/.test(c)) return false;
|
||
const cn = srvToNumber(c), un = srvToNumber(u);
|
||
if (Number.isNaN(cn) || Number.isNaN(un)) return false;
|
||
return Math.abs(cn - un) < EPS;
|
||
}
|
||
const problems = [];
|
||
if (TASKS.length !== 30) problems.push(`Ожидалось 30, получено ${TASKS.length}`);
|
||
const seen = new Set();
|
||
for (const t of TASKS) {
|
||
if (seen.has(t.idx)) problems.push(`Дубль idx=${t.idx}`); seen.add(t.idx);
|
||
if (t.idx < 1 || t.idx > 30) problems.push(`idx вне 1..30: ${t.idx}`);
|
||
if (!['mc', 'open', 'long'].includes(t.type)) problems.push(`#${t.idx}: тип ${t.type}`);
|
||
if (t.type === 'mc') {
|
||
if (!Array.isArray(t.opts) || t.opts.length !== 5) problems.push(`#${t.idx}: mc!=5 опций`);
|
||
if (!t.opts.some(o => o[0] === t.answer)) problems.push(`#${t.idx}: answer "${t.answer}" не среди меток`);
|
||
}
|
||
if (!t.text || !t.sol) problems.push(`#${t.idx}: пустой text/sol`);
|
||
if (t.type !== 'long' && !checkAnswerServer(t.answer, t.answer)) problems.push(`#${t.idx}: self-check "${t.answer}"`);
|
||
if (/−/.test(String(t.answer))) problems.push(`#${t.idx}: Unicode-минус в answer`);
|
||
}
|
||
module.exports = { TASKS, buildSolution, ansShowOf, checkAnswerServer, EXAM, VARIANT, PROV };
|
||
if (require.main !== module) return;
|
||
|
||
const DB = path.join(__dirname, '..', 'data', 'learnspace.db');
|
||
const db = new DatabaseSync(DB);
|
||
if (!db.prepare(`SELECT exam_key FROM exam_tracks WHERE exam_key=?`).get(EXAM)) { console.error(`✗ Трек '${EXAM}' не найден.`); process.exit(1); }
|
||
console.log(`\n=== seed_ctmath_rt2425_e3v1 (${PROV}) variant=${VARIANT} ===`);
|
||
console.log(`Режим: ${APPLY ? 'APPLY' : 'DRY-RUN'}\n`);
|
||
console.log('Типы:', JSON.stringify(TASKS.reduce((a, t) => (a[t.type] = (a[t.type] || 0) + 1, a), {})), '| фигур:', TASKS.filter(t => t.fig).length, '\n');
|
||
console.log('idx | type | subtopic | d | answer | fig');
|
||
console.log('----+------+-----------------------+---+-----------+----');
|
||
for (const t of TASKS) console.log(`${String(t.idx).padStart(3)} | ${t.type.padEnd(4)} | ${String(t.subtopic).padEnd(21)} | ${t.diff} | ${String(t.answer).padEnd(9)} | ${t.fig ? '✓' : ''}`);
|
||
if (problems.length) { console.error(`\n✗ ПРОБЛЕМЫ (${problems.length}):`); problems.forEach(p => console.error(' - ' + p)); db.close(); process.exit(1); }
|
||
console.log('\n✓ Валидация и self-check ответов пройдены (30/30).');
|
||
if (!APPLY) { console.log('\nDRY-RUN: ничего не записано. Для записи добавьте --apply\n'); db.close(); process.exit(0); }
|
||
|
||
const upsert = db.prepare(`
|
||
INSERT INTO exam_tasks (exam_key, variant, task_idx, task_type, text_html, figure_html, opts_json, answer, solution_html, topic, subtopic, difficulty)
|
||
VALUES (?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?)
|
||
ON CONFLICT(exam_key, variant, task_idx) DO UPDATE SET
|
||
task_type=excluded.task_type, text_html=excluded.text_html, figure_html=excluded.figure_html,
|
||
opts_json=excluded.opts_json, answer=excluded.answer, solution_html=excluded.solution_html,
|
||
topic=excluded.topic, subtopic=excluded.subtopic, difficulty=excluded.difficulty`);
|
||
let n = 0; db.exec('BEGIN');
|
||
try {
|
||
for (const t of TASKS) { upsert.run(EXAM, VARIANT, t.idx, t.type, t.text, t.fig || null, t.type === 'mc' ? JSON.stringify(t.opts) : null, t.answer, buildSolution(t), t.topic, t.subtopic, t.diff); n++; }
|
||
const distinct = db.prepare(`SELECT COUNT(DISTINCT variant) c FROM exam_tasks WHERE exam_key=?`).get(EXAM).c;
|
||
db.prepare(`UPDATE exam_tracks SET variants_count=? WHERE exam_key=?`).run(distinct, EXAM);
|
||
db.exec('COMMIT');
|
||
console.log(`\n✓ Записано/обновлено ${n} заданий (variant=${VARIANT}). variants_count=${distinct}.`);
|
||
console.log(`\nПробник: /exam-prep/ctmath → «Варианты» → «Вариант ${VARIANT}».\n`);
|
||
} catch (e) { db.exec('ROLLBACK'); console.error('\n✗ Ошибка записи, откат:', e.message); process.exitCode = 1; }
|
||
db.close();
|