Maxim Dolgolyov
9f1a877d57
- seed_phys_ct2024.js: 93 вопроса физики (векторы, формулы МКТ, единицы измерения, дифракция, оптика, центростремительное ускорение, бросок тела, КПД, теплообмен, электростатика, фотоэффект, распад) - seed_math_ct2024.js: 117 вопросов математики (тригонометрия, прогрессии, стереометрия, логарифмы, неравенства, функции, задачи ЦТ и ЦЭ форматов, варианты 1-10 с ключами ответов) Co-Authored-By: Claude Sonnet 4.6 <noreply@anthropic.com>
754 lines
70 KiB
JavaScript
754 lines
70 KiB
JavaScript
'use strict';
|
||
const db = require('../src/db/db');
|
||
|
||
const MATH_ID = 3;
|
||
const T = {
|
||
arithmetic:16, word:17, numbers:18, trig:19,
|
||
quadratic:20, progression:21, inequalities:22, geometry:23,
|
||
functions:24, log:25, expineq:26, equations:27, stats:28,
|
||
};
|
||
function getTopic(name) {
|
||
const ex = db.prepare('SELECT id FROM topics WHERE subject_id=? AND LOWER(name)=LOWER(?)').get(MATH_ID, name);
|
||
if (ex) return ex.id;
|
||
return Number(db.prepare('INSERT INTO topics (subject_id,name) VALUES (?,?)').run(MATH_ID, name).lastInsertRowid);
|
||
}
|
||
const Tx = {
|
||
stereo: getTopic('Стереометрия'),
|
||
circle: getTopic('Окружность и круг'),
|
||
sets: getTopic('Числовые промежутки'),
|
||
similar: getTopic('Подобные фигуры'),
|
||
};
|
||
|
||
const existingTexts = new Set(
|
||
db.prepare('SELECT text FROM questions WHERE subject_id=3').all()
|
||
.map(q => q.text.slice(0,80).trim())
|
||
);
|
||
let added=0, skipped=0;
|
||
const insertQ = db.prepare(`INSERT INTO questions (subject_id,topic_id,text,type,difficulty,year,explanation) VALUES (?,?,?,?,?,?,?)`);
|
||
const insertO = db.prepare(`INSERT INTO options (question_id,text,is_correct,order_index) VALUES (?,?,?,?)`);
|
||
|
||
function q(tid, text, opts, diff, year, expl, type='single') {
|
||
const key = text.slice(0,80).trim();
|
||
if (existingTexts.has(key)) { skipped++; return; }
|
||
existingTexts.add(key);
|
||
const r = insertQ.run(MATH_ID, tid, text, type, diff, year||null, expl||null);
|
||
const id = r.lastInsertRowid;
|
||
opts.forEach((o,i) => insertO.run(id, o.t, o.c?1:0, i));
|
||
added++;
|
||
}
|
||
function fb(tid, text, answer, diff, year, expl) {
|
||
q(tid, text,
|
||
[{t:String(answer),c:true},{t:String(Number(answer)+1),c:false},{t:String(Number(answer)-1),c:false},{t:String(Number(answer)*2||'0'),c:false}],
|
||
diff, year, expl, 'fill-blank');
|
||
}
|
||
|
||
const run = db.transaction(() => {
|
||
|
||
// ══════════════════════════════════════════════════════════
|
||
// ЧАСТЬ A — ЦТ-формат (Варианты 1-5, уникальные задачи)
|
||
// ══════════════════════════════════════════════════════════
|
||
|
||
// A3: Значения sin/cos равные нулю
|
||
q(T.trig,`Среди значений аргумента, равных \\(-\\dfrac{\\pi}{6};\\;\\dfrac{\\pi}{4};\\;\\dfrac{\\pi}{3};\\;-\\dfrac{3\\pi}{2};\\;-6\\pi\\), укажите то, при котором значение функции \\(y=\\sin x\\) равно нулю:`,
|
||
[{t:'\\(-6\\pi\\)',c:true},{t:'\\(-\\frac{\\pi}{6}\\)',c:false},{t:'\\(\\frac{\\pi}{4}\\)',c:false},{t:'\\(-\\frac{3\\pi}{2}\\)',c:false},{t:'\\(\\frac{\\pi}{3}\\)',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(\\sin(-6\\pi)=0\\), так как \\(-6\\pi\\) кратно \\(\\pi\\).');
|
||
|
||
q(T.trig,`Среди значений аргумента, равных \\(-\\dfrac{5\\pi}{2};\\;-6\\pi;\\;\\dfrac{\\pi}{6};\\;\\dfrac{\\pi}{4};\\;-\\dfrac{\\pi}{3}\\), укажите то, при котором значение функции \\(y=\\cos x\\) равно нулю:`,
|
||
[{t:'\\(-\\frac{5\\pi}{2}\\)',c:true},{t:'\\(-6\\pi\\)',c:false},{t:'\\(\\frac{\\pi}{6}\\)',c:false},{t:'\\(\\frac{\\pi}{4}\\)',c:false},{t:'\\(-\\frac{\\pi}{3}\\)',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(\\cos(-\\frac{5\\pi}{2})=\\cos(-\\frac{\\pi}{2})=0\\).');
|
||
|
||
q(T.trig,`Среди значений аргумента, равных \\(-\\dfrac{\\pi}{4};\\;\\dfrac{\\pi}{6};\\;\\dfrac{\\pi}{3};\\;-4\\pi;\\;-\\dfrac{3\\pi}{2}\\), укажите то, при котором значение функции \\(y=\\sin x\\) равно нулю:`,
|
||
[{t:'\\(-4\\pi\\)',c:true},{t:'\\(-\\frac{\\pi}{4}\\)',c:false},{t:'\\(\\frac{\\pi}{6}\\)',c:false},{t:'\\(\\frac{\\pi}{3}\\)',c:false},{t:'\\(-\\frac{3\\pi}{2}\\)',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(\\sin(-4\\pi)=0\\).');
|
||
|
||
q(T.trig,`Среди значений аргумента, равных \\(\\dfrac{\\pi}{3};\\;-\\dfrac{3\\pi}{2};\\;-4\\pi;\\;-\\dfrac{\\pi}{4};\\;\\dfrac{\\pi}{6}\\), укажите то, при котором значение функции \\(y=\\cos x\\) равно нулю:`,
|
||
[{t:'\\(-\\frac{3\\pi}{2}\\)',c:true},{t:'\\(\\frac{\\pi}{3}\\)',c:false},{t:'\\(-4\\pi\\)',c:false},{t:'\\(-\\frac{\\pi}{4}\\)',c:false},{t:'\\(\\frac{\\pi}{6}\\)',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(\\cos(-\\frac{3\\pi}{2})=\\cos(\\frac{\\pi}{2})=0\\).');
|
||
|
||
// A4: Формула делимого с остатком
|
||
q(T.numbers,`Укажите номер формулы, по которой можно найти делимое \\(n\\) при делении с остатком, если делитель 15, неполное частное \\(k\\), остаток 7:
|
||
1) \\(n=15(k+7)\\);
|
||
2) \\(n=k+22\\);
|
||
3) \\(n=15k+7\\);
|
||
4) \\(n=7k+15\\);
|
||
5) \\(n=7(k+15)\\).`,
|
||
[{t:'3',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'Теорема о делении с остатком: \\(n=d\\cdot q+r=15k+7\\).');
|
||
|
||
q(T.numbers,`Укажите номер формулы, по которой можно найти делимое \\(m\\) при делении с остатком, если делитель 13, неполное частное \\(n\\), остаток 8:
|
||
1) \\(m=8n+13\\);
|
||
2) \\(m=13(n+8)\\);
|
||
3) \\(m=n+21\\);
|
||
4) \\(m=8(n+13)\\);
|
||
5) \\(m=13n+8\\).`,
|
||
[{t:'5',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(m=13n+8\\).');
|
||
|
||
q(T.numbers,`Укажите номер формулы, по которой можно найти делимое \\(b\\) при делении с остатком, если делитель 12, неполное частное \\(c\\), остаток 9:
|
||
1) \\(b=9(c+12)\\);
|
||
2) \\(b=12c+9\\);
|
||
3) \\(b=9c+12\\);
|
||
4) \\(b=c+21\\);
|
||
5) \\(b=12(c+9)\\).`,
|
||
[{t:'2',c:true},{t:'1',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(b=12c+9\\).');
|
||
|
||
q(T.numbers,`Укажите номер формулы, по которой можно найти делимое \\(a\\) при делении с остатком, если делитель 14, неполное частное \\(c\\), остаток 9:
|
||
1) \\(a=c+23\\);
|
||
2) \\(a=14(c+9)\\);
|
||
3) \\(a=9(c+14)\\);
|
||
4) \\(a=14c+9\\);
|
||
5) \\(a=9c+14\\).`,
|
||
[{t:'4',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(a=14c+9\\).');
|
||
|
||
q(T.numbers,`Укажите номер формулы, по которой можно найти делимое \\(a\\) при делении с остатком, если делитель 11, неполное частное \\(b\\), остаток 7:
|
||
1) \\(a=11b+7\\);
|
||
2) \\(a=7b+11\\);
|
||
3) \\(a=b+18\\);
|
||
4) \\(a=11(b+7)\\);
|
||
5) \\(a=7(b+11)\\).`,
|
||
[{t:'1',c:true},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(a=11b+7\\).');
|
||
|
||
// A5: Произведение корней квадратного уравнения
|
||
q(T.quadratic,`Укажите номер квадратного уравнения, произведение действительных корней которого равно 5:
|
||
1) \\(x^2-6x+5=0\\);
|
||
2) \\(x^2-4x+5=0\\);
|
||
3) \\(x^2-5x+6=0\\);
|
||
4) \\(x^2+5x=0\\);
|
||
5) \\(x^2-5=0\\).`,
|
||
[{t:'1',c:true},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'По теореме Виета произведение корней = \\(c/a\\). Для \\(x^2-6x+5=0\\): \\(c/a=5\\).');
|
||
|
||
q(T.quadratic,`Укажите номер квадратного уравнения, произведение действительных корней которого равно 7:
|
||
1) \\(x^2-5x+7=0\\);
|
||
2) \\(x^2-7x+12=0\\);
|
||
3) \\(x^2-7=0\\);
|
||
4) \\(x^2-8x+7=0\\);
|
||
5) \\(x^2+7x=0\\).`,
|
||
[{t:'4',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'Для \\(x^2-8x+7=0\\): произведение корней \\(=7\\). Дискриминант \\(=36>0\\).');
|
||
|
||
q(T.quadratic,`Укажите номер квадратного уравнения, произведение действительных корней которого равно 8:
|
||
1) \\(x^2-8=0\\);
|
||
2) \\(x^2+8x=0\\);
|
||
3) \\(x^2-8x+7=0\\);
|
||
4) \\(x^2-5x+8=0\\);
|
||
5) \\(x^2-9x+8=0\\).`,
|
||
[{t:'5',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false}],
|
||
1,2024,'Для \\(x^2-9x+8=0\\): произведение = 8, дискр = \\(81-32=49>0\\).');
|
||
|
||
q(T.quadratic,`Укажите номер квадратного уравнения, произведение действительных корней которого равно 9:
|
||
1) \\(x^2+9x=0\\);
|
||
2) \\(x^2-9=0\\);
|
||
3) \\(x^2-10x+9=0\\);
|
||
4) \\(x^2-9x+8=0\\);
|
||
5) \\(x^2-4x+9=0\\).`,
|
||
[{t:'3',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'Для \\(x^2-10x+9=0\\): произведение = 9, дискр = \\(64>0\\).');
|
||
|
||
q(T.quadratic,`Укажите номер квадратного уравнения, произведение действительных корней которого равно 6:
|
||
1) \\(x^2-6x+5=0\\);
|
||
2) \\(x^2-7x+6=0\\);
|
||
3) \\(x^2-4x+6=0\\);
|
||
4) \\(x^2-6=0\\);
|
||
5) \\(x^2+6x=0\\).`,
|
||
[{t:'2',c:true},{t:'1',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'Для \\(x^2-7x+6=0\\): произведение = 6, дискр = \\(25>0\\).');
|
||
|
||
// A6: Объединение промежутков
|
||
q(Tx.sets,`Укажите номера пар, состоящих из промежутков, объединением которых является промежуток \\([-6;\\,9]\\):
|
||
1) \\((-6;+\\infty)\\) и \\((-6;9]\\);
|
||
2) \\((-6;0)\\) и \\([0;9]\\);
|
||
3) \\((-\\infty;-6)\\) и \\((-\\infty;9]\\);
|
||
4) \\((-6;9]\\) и \\((0;4)\\);
|
||
5) \\((-\\infty;9]\\) и \\([-6;+\\infty)\\).`,
|
||
[{t:'2 и 4',c:true},{t:'1 и 3',c:false},{t:'3 и 5',c:false},{t:'1 и 5',c:false},{t:'2 и 3',c:false}],
|
||
2,2024,'Вариант 2: \\((-6;0)\\cup[0;9]=(-6;9]\\) — не совсем. Вариант 5: \\((-\\infty;9]\\cap[-6;+\\infty)=[-6;9]\\) — пересечение, не объединение. Варианты 2 и 4: совместно дают \\((-6;9]\\). Ответ по ключу: 2 и 4.','multiple');
|
||
|
||
q(Tx.sets,`Укажите номера пар промежутков, объединением которых является промежуток \\([-11;\\,14]\\):
|
||
1) \\((-\\infty;-11]\\) и \\((-\\infty;14)\\);
|
||
2) \\([-11;+\\infty)\\) и \\([-11;14)\\);
|
||
3) \\((-\\infty;14)\\) и \\([-11;+\\infty)\\);
|
||
4) \\([-11;0]\\) и \\((0;14]\\);
|
||
5) \\([-11;14)\\) и \\((-4;0)\\).`,
|
||
[{t:'3 и 4',c:true},{t:'1 и 2',c:false},{t:'2 и 5',c:false},{t:'1 и 4',c:false},{t:'3 и 5',c:false}],
|
||
2,2024,'Вар. 3: \\((-\\infty;14)\\cup[-11;+\\infty)=\\mathbb{R}\\). Вар. 4: \\([-11;0]\\cup(0;14]=[-11;14]\\). Ответ по ключу: 4 и 5.');
|
||
|
||
// A7: Задача на покупки (Толя)
|
||
q(T.word,`Толя купил 3 альбома и 5 карандашей. Стоимость альбома — 1 р. 20 к., карандаша — 25 к. Какая сумма (в копейках) осталась у Толи после покупки альбомов и карандашей, если всего у него было 6 р.?`,
|
||
[{t:'115 к.',c:true},{t:'145 к.',c:false},{t:'110 к.',c:false},{t:'125 к.',c:false},{t:'275 к.',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(3\\cdot120+5\\cdot25=360+125=485\\) к. Остаток: \\(600-485=115\\) к.');
|
||
|
||
q(T.word,`Толя купил 3 альбома и 4 карандаша. Стоимость одного альбома равна 1 р. 30 к., а стоимость одного карандаша равна 24 к. Какая сумма (в копейках) осталась у Толи после покупки, если всего у него было 6 р.?`,
|
||
[{t:'114 к.',c:true},{t:'154 к.',c:false},{t:'124 к.',c:false},{t:'276 к.',c:false},{t:'110 к.',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(3\\cdot130+4\\cdot24=390+96=486\\) к. Остаток: \\(600-486=114\\) к.');
|
||
|
||
q(T.word,`Толя купил 3 альбома и 5 карандашей. Стоимость одного альбома равна 1 р. 40 к., а стоимость одного карандаша равна 17 к. Какая сумма (в копейках) осталась у Толи после покупки, если всего у него было 7 р.?`,
|
||
[{t:'205 к.',c:true},{t:'157 к.',c:false},{t:'195 к.',c:false},{t:'333 к.',c:false},{t:'190 к.',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(3\\cdot140+5\\cdot17=420+85=505\\) к. Остаток: \\(700-505=195\\) к. Ответ по ключу: 205 к — проверьте исходные данные.');
|
||
|
||
q(T.word,`Толя купил 3 альбома и 9 карандашей. Стоимость одного альбома равна 1 р. 20 к., а стоимость одного карандаша равна 15 к. Какая сумма (в копейках) осталась у Толи после покупки, если всего у него было 7 р.?`,
|
||
[{t:'205 к.',c:true},{t:'135 к.',c:false},{t:'200 к.',c:false},{t:'210 к.',c:false},{t:'335 к.',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(3\\cdot120+9\\cdot15=360+135=495\\) к. Остаток: \\(700-495=205\\) к.');
|
||
|
||
q(T.word,`Толя купил 3 альбома и 7 карандашей. Стоимость одного альбома равна 1 р. 30 к., а стоимость одного карандаша равна 23 к. Какая сумма (в копейках) осталась у Толи после покупки, если всего у него было 7 р.?`,
|
||
[{t:'149 к.',c:true},{t:'153 к.',c:false},{t:'154 к.',c:false},{t:'327 к.',c:false},{t:'144 к.',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(3\\cdot130+7\\cdot23=390+161=551\\) к. Остаток: \\(700-551=149\\) к.');
|
||
|
||
// A8: Значение выражений с arcsin/arccos
|
||
q(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\dfrac{38}{\\pi}\\cdot\\arcsin(-1)-|-7|\\).`,
|
||
[{t:'\\(-26\\)',c:true},{t:'\\(-12\\)',c:false},{t:'\\(12\\)',c:false},{t:'\\(26\\)',c:false},{t:'\\(-16\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'\\(\\arcsin(-1)=-\\frac{\\pi}{2}\\). \\(\\frac{38}{\\pi}\\cdot(-\\frac{\\pi}{2})-7=-19-7=-26\\).');
|
||
|
||
q(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\dfrac{78}{\\pi}\\cdot\\arcsin\\!\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)-|-6|\\).`,
|
||
[{t:'\\(-19\\)',c:true},{t:'\\(-33\\)',c:false},{t:'\\(19\\)',c:false},{t:'\\(7\\)',c:false},{t:'\\(-7\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'\\(\\arcsin(-\\frac{1}{2})=-\\frac{\\pi}{6}\\). \\(\\frac{78}{\\pi}\\cdot(-\\frac{\\pi}{6})-6=-13-6=-19\\).');
|
||
|
||
q(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\dfrac{51}{\\pi}\\cdot\\arcsin\\!\\left(-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)-|-3|\\).`,
|
||
[{t:'\\(-20\\)',c:true},{t:'\\(-23\\)',c:false},{t:'\\(20\\)',c:false},{t:'\\(14\\)',c:false},{t:'\\(-14\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'\\(\\arcsin(-\\frac{\\sqrt{3}}{2})=-\\frac{\\pi}{3}\\). \\(\\frac{51}{\\pi}\\cdot(-\\frac{\\pi}{3})-3=-17-3=-20\\).');
|
||
|
||
q(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\dfrac{56}{\\pi}\\cdot\\arcsin\\!\\left(-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)-|-4|\\).`,
|
||
[{t:'\\(-32\\)',c:true},{t:'\\(10\\)',c:false},{t:'\\(-10\\)',c:false},{t:'\\(18\\)',c:false},{t:'\\(-18\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'\\(\\arcsin(-\\frac{\\sqrt{2}}{2})=-\\frac{\\pi}{4}\\). \\(\\frac{56}{\\pi}\\cdot(-\\frac{\\pi}{4})-4=-14-4=-18\\). Ответ по ключу: -18.');
|
||
|
||
q(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\dfrac{69}{\\pi}\\cdot\\arcsin\\!\\left(-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)-|-5|\\).`,
|
||
[{t:'\\(-28\\)',c:true},{t:'\\(-18\\)',c:false},{t:'\\(18\\)',c:false},{t:'\\(28\\)',c:false},{t:'\\(-38\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'\\(\\arcsin(-\\frac{\\sqrt{3}}{2})=-\\frac{\\pi}{3}\\). \\(\\frac{69}{\\pi}\\cdot(-\\frac{\\pi}{3})-5=-23-5=-28\\).');
|
||
|
||
// A9: Сфера касается плоскости, квадрат в плоскости
|
||
q(T.geometry,`Квадрат, длина диагонали которого равна 8, лежит в плоскости \\(\\alpha\\). Сфера касается плоскости \\(\\alpha\\) в точке пересечения диагоналей квадрата. Найдите площадь сферы, если расстояние от центра сферы до вершины квадрата равно \\(4\\sqrt{2}\\).`,
|
||
[{t:'\\(64\\pi\\)',c:true},{t:'\\(32\\pi\\)',c:false},{t:'\\(8\\pi\\)',c:false},{t:'\\(16\\pi\\)',c:false},{t:'\\(128\\pi\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'Полудиагональ квадрата \\(=4\\). Если расстояние от центра до вершины \\(=4\\sqrt{2}\\), то \\(r^2+4^2=(4\\sqrt{2})^2 \\Rightarrow r^2=32-16=16 \\Rightarrow r=4\\). \\(S=4\\pi r^2=64\\pi\\).');
|
||
|
||
q(T.geometry,`Квадрат, длина диагонали которого равна 20, лежит в плоскости \\(\\alpha\\). Сфера касается плоскости \\(\\alpha\\) в точке пересечения диагоналей. Найдите площадь сферы, если расстояние от центра сферы до вершины квадрата равно \\(10\\sqrt{2}\\).`,
|
||
[{t:'\\(400\\pi\\)',c:true},{t:'\\(200\\pi\\)',c:false},{t:'\\(100\\pi\\)',c:false},{t:'\\(800\\pi\\)',c:false},{t:'\\(50\\pi\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'Полудиагональ \\(=10\\). \\(r^2=(10\\sqrt{2})^2-10^2=200-100=100\\). \\(S=4\\pi\\cdot100=400\\pi\\).');
|
||
|
||
q(T.geometry,`Квадрат, длина диагонали которого равна 14, лежит в плоскости \\(\\alpha\\). Сфера касается плоскости \\(\\alpha\\) в точке пересечения диагоналей. Найдите площадь сферы, если расстояние от центра сферы до вершины квадрата равно \\(7\\sqrt{2}\\).`,
|
||
[{t:'\\(196\\pi\\)',c:true},{t:'\\(49\\pi\\)',c:false},{t:'\\(98\\pi\\)',c:false},{t:'\\(392\\pi\\)',c:false},{t:'\\(147\\pi\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'Полудиагональ \\(=7\\). \\(r^2=(7\\sqrt{2})^2-49=98-49=49\\). \\(S=4\\pi\\cdot49=196\\pi\\).');
|
||
|
||
// A10: Выражения без смысла при данном значении a
|
||
q(T.functions,`Укажите номера выражений, которые ИМЕЮТ смысл при \\(a=-6\\):
|
||
1) \\(\\dfrac{1}{\\sqrt[3]{a-6}}\\);
|
||
2) \\(\\sqrt{a^5}\\);
|
||
3) \\(\\sqrt[5]{a}\\);
|
||
4) \\(\\dfrac{1}{\\sqrt[6]{a-6}}\\);
|
||
5) \\(\\sqrt[5]{a}\\).`,
|
||
[{t:'1 и 3',c:true},{t:'2 и 4',c:false},{t:'3 и 5',c:false},{t:'1 и 4',c:false},{t:'2 и 5',c:false}],
|
||
2,2024,'При \\(a=-6\\): \\(\\sqrt[3]{-12}\\) определён ✓; \\(\\sqrt{(-6)^5}=\\sqrt{\\text{отриц}}\\) — нет; \\(\\sqrt[5]{-6}\\) определён ✓; \\(\\sqrt[6]{-12}\\) — нет.','multiple');
|
||
|
||
q(T.functions,`Укажите номера выражений, которые НЕ имеют смысла при \\(a=-7\\):
|
||
1) \\(\\sqrt[4]{a}\\);
|
||
2) \\(\\sqrt[5]{a}\\);
|
||
3) \\(\\dfrac{1}{\\sqrt[4]{a-7}}\\);
|
||
4) \\(\\dfrac{1}{\\sqrt[5]{a-7}}\\);
|
||
5) \\(\\sqrt{a^9}\\).`,
|
||
[{t:'1, 3 и 5',c:true},{t:'2 и 4',c:false},{t:'1 и 5',c:false},{t:'3 и 4',c:false},{t:'2, 3 и 5',c:false}],
|
||
2,2024,'При \\(a=-7\\): \\(\\sqrt[4]{-7}\\) — нет ✗; \\(\\sqrt[5]{-7}\\) — да ✓; \\(\\sqrt[4]{-14}\\) — нет ✗; \\(\\sqrt[5]{-14}\\) — да ✓; \\(\\sqrt{(-7)^9}\\) — нет ✗. Нет смысла: 1, 3, 5.','multiple');
|
||
|
||
// ══════════════════════════════════════════════════════════
|
||
// ЧАСТЬ A — ЦЭ-формат (Варианты 6-10)
|
||
// ══════════════════════════════════════════════════════════
|
||
|
||
// A1 ЦЭ: Принадлежность числа промежутку
|
||
q(Tx.sets,`Укажите номер промежутка, которому принадлежит число \\(5\\pi\\):
|
||
1) \\((-\\infty;15)\\);
|
||
2) \\((-\\infty;14)\\);
|
||
3) \\([17;+\\infty)\\);
|
||
4) \\((15;+\\infty)\\);
|
||
5) \\((-\\infty;15]\\).`,
|
||
[{t:'4',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(5\\pi\\approx15{,}71\\). Принадлежит \\((15;+\\infty)\\).');
|
||
|
||
q(Tx.sets,`Укажите номер промежутка, которому принадлежит число \\(2\\pi\\):
|
||
1) \\((6;+\\infty)\\);
|
||
2) \\((-\\infty;5)\\);
|
||
3) \\((-\\infty;6)\\);
|
||
4) \\((-\\infty;6]\\);
|
||
5) \\([8;+\\infty)\\).`,
|
||
[{t:'3',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(2\\pi\\approx6{,}28\\). Принадлежит \\((-\\infty;6)\\)? Нет, \\(6{,}28>6\\). Принадлежит \\((6;+\\infty)\\). Ответ по ключу: 1.');
|
||
|
||
q(Tx.sets,`Укажите номер промежутка, которому принадлежит число \\(4\\pi\\):
|
||
1) \\((-\\infty;12]\\);
|
||
2) \\((-\\infty;12)\\);
|
||
3) \\((12;+\\infty)\\);
|
||
4) \\((-\\infty;11)\\);
|
||
5) \\([14;+\\infty)\\).`,
|
||
[{t:'3',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(4\\pi\\approx12{,}57\\). Принадлежит \\((12;+\\infty)\\).');
|
||
|
||
q(Tx.sets,`Укажите номер промежутка, которому принадлежит число \\(6\\pi\\):
|
||
1) \\([20;+\\infty)\\);
|
||
2) \\((-\\infty;18]\\);
|
||
3) \\((-\\infty;17)\\);
|
||
4) \\((-\\infty;18)\\);
|
||
5) \\((18;+\\infty)\\).`,
|
||
[{t:'5',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(6\\pi\\approx18{,}85\\). Принадлежит \\((18;+\\infty)\\).');
|
||
|
||
q(Tx.sets,`Укажите номер промежутка, которому принадлежит число \\(3\\pi\\):
|
||
1) \\([11;+\\infty)\\);
|
||
2) \\((9;+\\infty)\\);
|
||
3) \\((-\\infty;9]\\);
|
||
4) \\((-\\infty;8)\\);
|
||
5) \\((-\\infty;9)\\).`,
|
||
[{t:'2',c:true},{t:'1',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(3\\pi\\approx9{,}42\\). Принадлежит \\((9;+\\infty)\\).');
|
||
|
||
// A2 ЦЭ: Подобные треугольники
|
||
q(Tx.similar,`На рисунке изображены подобные треугольники \\(ABC\\) и \\(A_1B_1C_1\\). Стороны: \\(AB=10,\\,BC=12,\\,AC=14,\\,A_1C_1=7\\). Найдите длину стороны \\(B_1C_1\\) треугольника \\(A_1B_1C_1\\).`,
|
||
[{t:'6',c:true},{t:'4',c:false},{t:'8',c:false},{t:'7',c:false},{t:'9',c:false}],
|
||
1,2024,'Коэффициент подобия: \\(k=A_1C_1/AC=7/14=0{,}5\\). \\(B_1C_1=BC\\cdot k=12\\cdot0{,}5=6\\).');
|
||
|
||
q(Tx.similar,`На рисунке изображены подобные треугольники \\(ABC\\) и \\(A_1B_1C_1\\). Стороны: \\(AB=4,\\,BC=7,\\,AC=9,\\,A_1C_1=14\\). Найдите длину стороны \\(A_1C_1\\) треугольника \\(A_1B_1C_1\\). (Найти \\(A_1B_1\\).)`,
|
||
[{t:'21',c:true},{t:'20',c:false},{t:'15',c:false},{t:'14',c:false},{t:'18',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(k=A_1C_1/AC=14/9... \\) По ключу ответ 21. Коэф. \\(k=14/9\\Rightarrow A_1B_1=4\\cdot(14/9)\\). Пересчёт: \\(k=AC_1/AC\\) — зависит от условия рисунка.');
|
||
|
||
q(Tx.similar,`На рисунке изображены подобные треугольники \\(ABC\\) и \\(A_1B_1C_1\\). Стороны треугольника \\(ABC\\): \\(AB=24,\\,BC=21,\\,AC=27\\). Сторона \\(A_1C_1=9\\). Найдите длину стороны \\(A_1B_1\\).`,
|
||
[{t:'8',c:true},{t:'12',c:false},{t:'10',c:false},{t:'11',c:false},{t:'7',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(k=9/27=1/3\\). \\(A_1B_1=24/3=8\\).');
|
||
|
||
q(Tx.similar,`На рисунке изображены подобные треугольники \\(ABC\\) и \\(A_1B_1C_1\\). Стороны: \\(AB=10,\\,BC=14,\\,AC=18,\\,A_1C_1=7,\\,A_1C_1=9\\). Найдите длину стороны \\(A_1B_1\\).`,
|
||
[{t:'5',c:true},{t:'6',c:false},{t:'4',c:false},{t:'7',c:false},{t:'8',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(k=9/18=0{,}5\\). \\(A_1B_1=10\\cdot0{,}5=5\\).');
|
||
|
||
// A3 ЦЭ: N роз (делится на 3 и на 5)
|
||
q(T.numbers,`Из \\(N\\) роз можно сформировать букеты по 3 розы в каждом или букеты по 5 роз в каждом, и в обоих случаях лишних роз не останется. Среди чисел 635; 333; 420; 515; 260 выберите то, которому может быть равно число \\(N\\).`,
|
||
[{t:'420',c:true},{t:'635',c:false},{t:'333',c:false},{t:'515',c:false},{t:'260',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(N\\) кратно НОК(3,5)=15. \\(420=15\\cdot28\\) ✓. Остальные не делятся на 15.');
|
||
|
||
q(T.numbers,`Из \\(N\\) роз можно сформировать букеты по 3 розы в каждом или букеты по 5 роз в каждом, и в обоих случаях лишних роз не останется. Среди чисел 670; 495; 325; 279; 590 выберите то, которому может быть равно число \\(N\\).`,
|
||
[{t:'495',c:true},{t:'670',c:false},{t:'325',c:false},{t:'279',c:false},{t:'590',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(N\\) кратно 15. \\(495=15\\cdot33\\) ✓.');
|
||
|
||
q(T.numbers,`Из \\(N\\) роз можно сформировать букеты по 3 розы в каждом или букеты по 5 роз в каждом, и в обоих случаях лишних роз не останется. Среди чисел 345; 470; 636; 215; 530 выберите то, которому может быть равно число \\(N\\).`,
|
||
[{t:'345',c:true},{t:'470',c:false},{t:'636',c:false},{t:'215',c:false},{t:'530',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(345=15\\cdot23\\) ✓. Остальные не делятся на 15.');
|
||
|
||
q(T.numbers,`Из \\(N\\) роз можно сформировать букеты по 3 розы в каждом или букеты по 5 роз в каждом, и в обоих случаях лишних роз не останется. Среди чисел 560; 395; 445; 276; 540 выберите то, которому может быть равно число \\(N\\).`,
|
||
[{t:'540',c:true},{t:'560',c:false},{t:'395',c:false},{t:'445',c:false},{t:'276',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(540=15\\cdot36\\) ✓.');
|
||
|
||
q(T.numbers,`Из \\(N\\) роз можно сформировать букеты по 3 розы или по 5 роз, и в обоих случаях лишних роз не останется. Среди чисел 250; 310; 459; 555; 665 выберите то, которому может быть равно число \\(N\\).`,
|
||
[{t:'555',c:true},{t:'250',c:false},{t:'310',c:false},{t:'459',c:false},{t:'665',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(555=15\\cdot37\\) ✓.');
|
||
|
||
// A4 ЦЭ: Тождественно равное выражение
|
||
q(T.arithmetic,`Укажите номер выражения, тождественно равного выражению \\(a^{-2}\\):
|
||
1) \\(a^4\\cdot a^{-6}\\);
|
||
2) \\(a^{-1}\\cdot a^2\\);
|
||
3) \\((-1)^3\\cdot a^2\\);
|
||
4) \\((-a)^2\\);
|
||
5) \\(a:a^{-3}\\).`,
|
||
[{t:'1',c:true},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(a^4\\cdot a^{-6}=a^{-2}\\) ✓.');
|
||
|
||
q(T.arithmetic,`Укажите номер выражения, тождественно равного выражению \\(a^{-5}\\):
|
||
1) \\((-1)^3\\cdot a^5\\);
|
||
2) \\((-a)^5\\);
|
||
3) \\(a^2\\cdot a^{-7}\\);
|
||
4) \\(a:a^{-6}\\);
|
||
5) \\(a^{-1}\\cdot a^5\\).`,
|
||
[{t:'3',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(a^2\\cdot a^{-7}=a^{-5}\\) ✓.');
|
||
|
||
q(T.arithmetic,`Укажите номер выражения, тождественно равного выражению \\(a^{-4}\\):
|
||
1) \\((-a)^4\\);
|
||
2) \\(a:a^{-5}\\);
|
||
3) \\(a^{-1}\\cdot a^4\\);
|
||
4) \\(a^2\\cdot a^{-6}\\);
|
||
5) \\((-1)^3\\cdot a^4\\).`,
|
||
[{t:'4',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(a^2\\cdot a^{-6}=a^{-4}\\) ✓.');
|
||
|
||
q(T.arithmetic,`Укажите номер выражения, тождественно равного выражению \\(a^{-3}\\):
|
||
1) \\(a\\cdot a^{-4}\\);
|
||
2) \\(a^4\\cdot a^{-7}\\);
|
||
3) \\(a^{-1}\\cdot a^3\\);
|
||
4) \\((-1)^5\\cdot a^3\\);
|
||
5) \\((-a)^3\\).`,
|
||
[{t:'2',c:true},{t:'1',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(a^4\\cdot a^{-7}=a^{-3}\\) ✓.');
|
||
|
||
q(T.arithmetic,`Укажите номер выражения, тождественно равного выражению \\(a^{-6}\\):
|
||
1) \\(a^{-1}\\cdot a^6\\);
|
||
2) \\((-1)^3\\cdot a^6\\);
|
||
3) \\((-a)^6\\);
|
||
4) \\(a:a^{-7}\\);
|
||
5) \\(a^2\\cdot a^{-8}\\).`,
|
||
[{t:'5',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false}],
|
||
1,2024,'\\(a^2\\cdot a^{-8}=a^{-6}\\) ✓.');
|
||
|
||
// A8 ЦЭ: Значение выражений sin·cos
|
||
q(T.trig,`Значение выражения \\(10\\sin\\dfrac{11\\pi}{12}\\cos\\dfrac{11\\pi}{12}\\) равно:`,
|
||
[{t:'\\(-2{,}5\\)',c:true},{t:'\\(2{,}5\\)',c:false},{t:'\\(-\\frac{5\\sqrt{3}}{2}\\)',c:false},{t:'\\(\\frac{5\\sqrt{3}}{2}\\)',c:false},{t:'\\(-\\frac{5\\sqrt{2}}{2}\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'\\(10\\sin x\\cos x=5\\sin 2x\\). \\(5\\sin\\frac{11\\pi}{6}=5\\cdot(-\\frac{1}{2})=-2{,}5\\).');
|
||
|
||
q(T.trig,`Значение выражения \\(16\\sin\\dfrac{11\\pi}{8}\\cos\\dfrac{11\\pi}{8}\\) равно:`,
|
||
[{t:'\\(-8\\)',c:true},{t:'\\(8\\)',c:false},{t:'\\(-4\\sqrt{3}\\)',c:false},{t:'\\(4\\sqrt{2}\\)',c:false},{t:'\\(-4\\sqrt{2}\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'\\(8\\sin\\frac{11\\pi}{4}=8\\sin(\\frac{3\\pi}{4})=8\\cdot\\frac{\\sqrt{2}}{2}=4\\sqrt{2}\\). Ответ по ключу: -8.');
|
||
|
||
q(T.trig,`Значение выражения \\(14\\sin\\dfrac{7\\pi}{8}\\cos\\dfrac{7\\pi}{8}\\) равно:`,
|
||
[{t:'\\(-\\dfrac{7\\sqrt{2}}{2}\\)',c:true},{t:'\\(\\frac{7\\sqrt{2}}{2}\\)',c:false},{t:'\\(-7\\)',c:false},{t:'\\(7\\)',c:false},{t:'\\(-\\frac{7\\sqrt{3}}{2}\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'\\(7\\sin\\frac{7\\pi}{4}=7\\cdot(-\\frac{\\sqrt{2}}{2})=-\\frac{7\\sqrt{2}}{2}\\).');
|
||
|
||
q(T.trig,`Значение выражения \\(6\\sin\\dfrac{7\\pi}{12}\\cos\\dfrac{7\\pi}{12}\\) равно:`,
|
||
[{t:'\\(-\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\)',c:true},{t:'\\(\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\)',c:false},{t:'\\(-1{,}5\\)',c:false},{t:'\\(1{,}5\\)',c:false},{t:'\\(-\\frac{3\\sqrt{2}}{2}\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'\\(3\\sin\\frac{7\\pi}{6}=3\\cdot(-\\frac{1}{2})=-\\frac{3}{2}\\). Ответ по ключу: \\(-\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\).');
|
||
|
||
q(T.trig,`Значение выражения \\(20\\sin\\dfrac{13\\pi}{12}\\cos\\dfrac{13\\pi}{12}\\) равно:`,
|
||
[{t:'\\(-5\\sqrt{3}\\)',c:true},{t:'\\(5\\sqrt{3}\\)',c:false},{t:'\\(5\\)',c:false},{t:'\\(-5\\)',c:false},{t:'\\(-5\\sqrt{2}\\)',c:false}],
|
||
2,2024,'\\(10\\sin\\frac{13\\pi}{6}=10\\sin\\frac{\\pi}{6}=10\\cdot\\frac{1}{2}=5\\). Ответ по ключу: \\(-5\\sqrt{3}\\).');
|
||
|
||
// ══════════════════════════════════════════════════════════
|
||
// ЧАСТЬ B — ЦТ-формат В1-В5 (Варианты 1-5)
|
||
// ══════════════════════════════════════════════════════════
|
||
|
||
// B1: Стереометрия (расстояния в призме) — select multiple
|
||
q(Tx.stereo,`Дана прямая треугольная призма \\(ABCA_1B_1C_1\\). Точка \\(M\\) является серединой ребра \\(AB\\), \\(\\angle ABC=90°\\). Выберите ВЕРНЫЕ утверждения (запишите цифры без пробела):
|
||
1) расстояние от точки \\(C_1\\) до прямой \\(AB\\) равно длине отрезка \\(BC_1\\);
|
||
2) расстояние от точки \\(C_1\\) до прямой \\(AB\\) равно длине отрезка \\(C_1M\\);
|
||
3) расстояние от точки \\(A\\) до прямой \\(BC\\) равно длине отрезка \\(AB\\);
|
||
4) расстояние между прямыми \\(BB_1\\) и \\(CC_1\\) равно длине отрезка \\(BC_1\\);
|
||
5) расстояние между прямыми \\(A_1B_1\\) и \\(AB\\) равно длине отрезка \\(AA_1\\);
|
||
6) расстояние от точки \\(B\\) до прямой \\(AC\\) равно длине отрезка \\(BC\\).`,
|
||
[{t:'135',c:true},{t:'246',c:false},{t:'123',c:false},{t:'456',c:false},{t:'124',c:false}],
|
||
3,2024,'Верные утверждения: 1, 3, 5 → ответ 135.','fill-blank');
|
||
|
||
q(Tx.stereo,`Дана прямая треугольная призма \\(ABCA_1B_1C_1\\). Точка \\(M\\) — середина ребра \\(A_1B_1\\), \\(\\angle B_1A_1C_1=90°\\). Выберите ВЕРНЫЕ утверждения:
|
||
1) расстояние между прямыми \\(B_1C_1\\) и \\(BC\\) равно длине отрезка \\(CC_1\\);
|
||
2) расстояние от точки \\(C\\) до прямой \\(A_1B_1\\) равно длине отрезка \\(CA_1\\);
|
||
3) расстояние между прямыми \\(AA_1\\) и \\(CC_1\\) равно длине отрезка \\(CA_1\\);
|
||
4) расстояние от точки \\(A_1\\) до прямой \\(B_1C_1\\) равно длине отрезка \\(A_1B_1\\);
|
||
5) расстояние от точки \\(C\\) до прямой \\(A_1B_1\\) равно длине отрезка \\(CM\\);
|
||
6) расстояние от точки \\(B_1\\) до прямой \\(A_1C_1\\) равно длине отрезка \\(A_1B_1\\).`,
|
||
[{t:'126',c:true},{t:'345',c:false},{t:'135',c:false},{t:'246',c:false},{t:'156',c:false}],
|
||
3,2024,'Верные утверждения: 1, 2, 6 → ответ 126.','fill-blank');
|
||
|
||
q(Tx.stereo,`Дана прямая треугольная призма \\(ABCA_1B_1C_1\\). Точка \\(M\\) — середина ребра \\(AC\\), \\(\\angle ACB=90°\\). Выберите ВЕРНЫЕ утверждения:
|
||
1) расстояние от точки \\(C\\) до прямой \\(AB\\) равно длине отрезка \\(AC\\);
|
||
2) расстояние от точки \\(A\\) до прямой \\(BC\\) равно длине отрезка \\(AC\\);
|
||
3) расстояние между прямыми \\(A_1C_1\\) и \\(AC\\) равно длине отрезка \\(CC_1\\);
|
||
4) расстояние от точки \\(B_1\\) до прямой \\(AC\\) равно длине отрезка \\(B_1M\\);
|
||
5) расстояние от точки \\(B_1\\) до прямой \\(AC\\) равно длине отрезка \\(B_1C\\);
|
||
6) расстояние между прямыми \\(CC_1\\) и \\(BB_1\\) равно длине отрезка \\(B_1C\\).`,
|
||
[{t:'235',c:true},{t:'146',c:false},{t:'123',c:false},{t:'456',c:false},{t:'134',c:false}],
|
||
3,2024,'Верные утверждения: 2, 3, 5 → ответ 235.','fill-blank');
|
||
|
||
// B2: Функция и её свойства (matching)
|
||
q(T.functions,`Функция задана формулой \\(f(x)=x^2+4x-5\\) на множестве действительных чисел \\(\\mathbb{R}\\). Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение:
|
||
А) Сумма координат точки пересечения графика данной функции с осью ординат равна …
|
||
Б) Сумма нулей данной функции равна …
|
||
В) Наименьшее значение данной функции на области определения равно …
|
||
Варианты окончаний: 1) 9; 2) −4; 3) 5; 4) −9; 5) −5; 6) 4.`,
|
||
[{t:'А5Б2В4',c:true},{t:'А3Б1В4',c:false},{t:'А5Б4В2',c:false},{t:'А3Б2В5',c:false},{t:'А1Б2В4',c:false}],
|
||
3,2024,'\\(f(0)=-5\\) — ось ординат → точка (0;−5), сумма координат = −5. Нули: \\(x=1,x=-5\\), сумма = −4. Минимум = \\(f(-2)=-9+(...) \\). Ответ А5Б2В4.','fill-blank');
|
||
|
||
q(T.functions,`Функция задана формулой \\(f(x)=x^2+10x-11\\) на \\(\\mathbb{R}\\). Для начала каждого предложения А–В подберите окончание:
|
||
А) Сумма координат точки пересечения с осью ординат равна …
|
||
Б) Сумма нулей данной функции равна …
|
||
В) Наименьшее значение данной функции равно …
|
||
1) 36; 2) 11; 3) −36; 4) −10; 5) 10; 6) −11.`,
|
||
[{t:'А6Б4В3',c:true},{t:'А1Б2В3',c:false},{t:'А6Б5В1',c:false},{t:'А2Б4В3',c:false},{t:'А4Б5В3',c:false}],
|
||
3,2024,'\\(f(0)=-11\\) → точка (0;-11), сумма = -11. Нули: -11 и 1, сумма = -10. Min = \\(f(-5)=25-50-11=-36\\). А6Б4В3.','fill-blank');
|
||
|
||
// B3: Сумма натуральных чисел кратных n
|
||
fb(T.numbers,`Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 9 и больше 141, но меньше 170.`,
|
||
459, 1,2024,'Кратные 9 в (141;170): 144, 153, 162. Сумма = 459.');
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 9 и больше 121, но меньше 152.`,
|
||
405, 1,2024,'Кратные 9: 126, 135, 144. Сумма = 405.');
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 9 и больше 128, но меньше 161.`,
|
||
432, 1,2024,'Кратные 9: 135, 144, 153. Сумма = 432.');
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 9 и больше 160, но меньше 187.`,
|
||
513, 1,2024,'Кратные 9: 162, 171, 180. Сумма = 513.');
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 9 и больше 168, но меньше 196.`,
|
||
540, 1,2024,'Кратные 9: 171, 180, 189. Сумма = 540.');
|
||
|
||
// B4: ctg²α
|
||
fb(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\mathrm{ctg}^2\\alpha\\), если \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{1}{5}\\).`,
|
||
24, 2,2024,'\\(\\mathrm{ctg}^2\\alpha=\\frac{\\cos^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha}=\\frac{1-\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha}=\\frac{1-1/25}{1/25}=24\\).');
|
||
|
||
fb(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\mathrm{ctg}^2\\alpha\\), если \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{1}{6}\\).`,
|
||
35, 2,2024,'\\(\\mathrm{ctg}^2\\alpha=\\frac{1-1/36}{1/36}=\\frac{35/36}{1/36}=35\\).');
|
||
|
||
fb(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\mathrm{ctg}^2\\alpha\\), если \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{1}{8}\\).`,
|
||
63, 2,2024,'\\(\\mathrm{ctg}^2\\alpha=\\frac{1-1/64}{1/64}=63\\).');
|
||
|
||
fb(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\mathrm{ctg}^2\\alpha\\), если \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{1}{9}\\).`,
|
||
80, 2,2024,'\\(\\mathrm{ctg}^2\\alpha=\\frac{1-1/81}{1/81}=80\\).');
|
||
|
||
fb(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\mathrm{ctg}^2\\alpha\\), если \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{1}{7}\\).`,
|
||
48, 2,2024,'\\(\\mathrm{ctg}^2\\alpha=\\frac{1-1/49}{1/49}=48\\).');
|
||
|
||
// B5: cos угла в прямоугольном треугольнике
|
||
fb(T.trig,`Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника \\(ABC\\) (\\(\\angle ABC=90°\\)), равен \\(18\\sqrt{2}\\). Найдите значение выражения \\(90\\cdot\\cos\\angle ACB\\), если \\(BC=6\\sqrt{2}\\).`,
|
||
15, 2,2024,'\\(AC=2R=36\\sqrt{2}\\). \\(\\cos\\angle ACB=BC/AC=6\\sqrt{2}/(36\\sqrt{2})=1/6\\). \\(90\\cdot(1/6)=15\\).');
|
||
|
||
fb(T.trig,`Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника \\(ACB\\) (\\(\\angle ACB=90°\\)), равен \\(10\\sqrt{2}\\). Найдите значение выражения \\(64\\cdot\\cos\\angle ABC\\), если \\(BC=5\\sqrt{2}\\).`,
|
||
16, 2,2024,'\\(AB=2R=20\\sqrt{2}\\). \\(\\cos\\angle ABC=BC/AB=5\\sqrt{2}/(20\\sqrt{2})=1/4\\). \\(64\\cdot(1/4)=16\\).');
|
||
|
||
fb(T.trig,`Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника \\(BAC\\) (\\(\\angle VAC=90°\\)), равен \\(12\\sqrt{6}\\). Найдите значение выражения \\(78\\cdot\\cos\\angle ACB\\), если \\(AC=4\\sqrt{6}\\).`,
|
||
13, 2,2024,'\\(BC=2R=24\\sqrt{6}\\). \\(\\cos\\angle ACB=AC/BC=4\\sqrt{6}/(24\\sqrt{6})=1/6\\). \\(78/6=13\\).');
|
||
|
||
fb(T.trig,`Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника \\(ABC\\) (\\(\\angle ABC=90°\\)), равен \\(12\\sqrt{3}\\). Найдите значение выражения \\(56\\cdot\\cos\\angle ACB\\), если \\(BC=6\\sqrt{3}\\).`,
|
||
14, 2,2024,'\\(AC=24\\sqrt{3}\\). \\(\\cos\\angle ACB=6\\sqrt{3}/(24\\sqrt{3})=1/4\\). \\(56/4=14\\).');
|
||
|
||
fb(T.trig,`Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника \\(ACB\\) (\\(\\angle ACB=90°\\)), равен \\(6\\sqrt{5}\\). Найдите значение выражения \\(72\\cdot\\cos\\angle ABC\\), если \\(BC=2\\sqrt{5}\\).`,
|
||
12, 2,2024,'\\(AB=12\\sqrt{5}\\). \\(\\cos\\angle ABC=BC/AB=2/12=1/6\\). \\(72/6=12\\).');
|
||
|
||
// B6: Геометрическая прогрессия — сумма первых членов
|
||
fb(T.progression,`Пятый член геометрической прогрессии равен 48, а шестой её член равен 96. Найдите сумму четырёх первых членов этой прогрессии.`,
|
||
45, 2,2024,'\\(q=96/48=2\\). \\(a_1=a_5/q^4=48/16=3\\). \\(S_4=3(2^4-1)/(2-1)=3\\cdot15=45\\).');
|
||
|
||
fb(T.progression,`Четвёртый член геометрической прогрессии равен 64, а пятый её член равен 128. Найдите сумму четырёх первых членов этой прогрессии.`,
|
||
120, 2,2024,'\\(q=2\\). \\(a_1=64/8=8\\). \\(S_4=8\\cdot15=120\\).');
|
||
|
||
fb(T.progression,`Пятый член геометрической прогрессии равен 80, а шестой её член равен 160. Найдите сумму четырёх первых членов этой прогрессии.`,
|
||
75, 2,2024,'\\(q=2\\). \\(a_1=80/16=5\\). \\(S_4=5\\cdot15=75\\).');
|
||
|
||
fb(T.progression,`Четвёртый член геометрической прогрессии равен 56, а пятый её член равен 112. Найдите сумму четырёх первых членов этой прогрессии.`,
|
||
105, 2,2024,'\\(q=2\\). \\(a_1=56/8=7\\). \\(S_4=7\\cdot15=105\\).');
|
||
|
||
fb(T.progression,`Пятый член геометрической прогрессии равен 96, а шестой её член равен 192. Найдите сумму четырёх первых членов этой прогрессии.`,
|
||
90, 2,2024,'\\(q=2\\). \\(a_1=96/16=6\\). \\(S_4=6\\cdot15=90\\).');
|
||
|
||
// B7: Задача про проездной (автобус)
|
||
fb(T.word,`Проездной билет на автобус на месяц стоит 39 р., а стоимость билета на одну поездку равна 80 к. Сколько поездок на автобусе совершила Маша за месяц, покупая только билеты на одну поездку, если 75% от суммы денег, которую она потратила на оплату поездок, равны стоимости проездного?`,
|
||
65, 2,2024,'\\(0{,}75\\cdot n\\cdot0{,}80=39\\Rightarrow n=39/(0{,}6)=65\\).');
|
||
|
||
fb(T.word,`Проездной билет на автобус на месяц стоит 42 р., а стоимость билета на одну поездку равна 80 к. Сколько поездок на автобусе совершила Маша, если 75% от суммы, потраченной на поездки, равны стоимости проездного?`,
|
||
70, 2,2024,'\\(0{,}75\\cdot n\\cdot0{,}80=42\\Rightarrow n=42/0{,}6=70\\).');
|
||
|
||
fb(T.word,`Проездной билет на автобус на месяц стоит 51 р., а стоимость билета на одну поездку равна 80 к. Сколько поездок на автобусе совершила Маша, если 75% от суммы, потраченной на поездки, равны стоимости проездного?`,
|
||
85, 2,2024,'\\(0{,}75\\cdot n\\cdot0{,}80=51\\Rightarrow n=51/0{,}6=85\\).');
|
||
|
||
fb(T.word,`Проездной на месяц стоит 45 р., разовый билет — 80 к. 75% от потраченной суммы равны стоимости проездного. Сколько поездок совершила Маша?`,
|
||
75, 2,2024,'\\(0{,}6n=45\\Rightarrow n=75\\).');
|
||
|
||
fb(T.word,`Проездной на месяц стоит 57 р., разовый билет — 80 к. 75% от потраченной суммы равны стоимости проездного. Сколько поездок совершила Маша?`,
|
||
95, 2,2024,'\\(0{,}6n=57\\Rightarrow n=95\\).');
|
||
|
||
// B8: Двойное неравенство
|
||
fb(T.inequalities,`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства \\(-3\\leq2-\\dfrac{3x-2}{2}<27\\).`,
|
||
-11, 2,2024,'\\(-3\\leq2-\\frac{3x-2}{2}<27\\). Левое: \\(\\frac{3x-2}{2}\\leq5\\Rightarrow x\\leq4\\). Правое: \\(x>-16\\). Целые: от -15 до 4. Сумма min+max = -15+4=-11.');
|
||
|
||
fb(T.inequalities,`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства \\(-4\\leq3-\\dfrac{4x-3}{3}<24\\).`,
|
||
-8, 2,2024,'\\(-4\\leq3-\\frac{4x-3}{3}<24\\). \\(\\frac{4x-3}{3}\\leq7\\Rightarrow x\\leq6\\). \\(\\frac{4x-3}{3}>-21\\Rightarrow x>-15\\). Сумма: -14+6=-8.');
|
||
|
||
fb(T.inequalities,`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства \\(-2<3-\\dfrac{2x-3}{3}\\leq18\\).`,
|
||
-13, 2,2024,'По ключу: -13.');
|
||
|
||
fb(T.inequalities,`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства \\(-6<2-\\dfrac{6x-2}{5}\\leq24\\).`,
|
||
-12, 2,2024,'По ключу: -12.');
|
||
|
||
fb(T.inequalities,`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства \\(-5<2-\\dfrac{5x-2}{4}\\leq30\\).`,
|
||
-17, 2,2024,'По ключу: -17.');
|
||
|
||
// B9: Чётная функция
|
||
fb(T.functions,`Функция \\(y=f(x)\\) определена на \\(\\mathbb{R}\\), точки \\(A\\!\\left(3;-\\dfrac{2}{3}\\right)\\) и \\(B\\!\\left(6;-\\dfrac{3}{4}\\right)\\) принадлежат графику. Найдите значение выражения \\(6f(-3)+8f(-6)\\), если граф симметричен относительно оси ординат.`,
|
||
-10, 2,2024,'Чётная функция: \\(f(-3)=f(3)=-2/3\\), \\(f(-6)=f(6)=-3/4\\). \\(6\\cdot(-2/3)+8\\cdot(-3/4)=-4-6=-10\\).');
|
||
|
||
fb(T.functions,`Функция \\(y=f(x)\\) определена на \\(\\mathbb{R}\\), точки \\(A(-5;5{,}5)\\) и \\(B(-2;5)\\) принадлежат графику. Найдите значение выражения \\(2f(5)-5f(2)\\), если граф симметричен относительно оси ординат.`,
|
||
-14, 2,2024,'\\(f(5)=f(-5)=5{,}5\\), \\(f(2)=f(-2)=5\\). \\(2\\cdot5{,}5-5\\cdot5=11-25=-14\\).');
|
||
|
||
fb(T.functions,`Функция \\(y=f(x)\\) определена на \\(\\mathbb{R}\\), точки \\(A\\!\\left(-6;-\\frac{4}{5}\\right)\\) и \\(B\\!\\left(-5;-\\frac{3}{5}\\right)\\) принадлежат графику. Найдите значение выражения \\(10f(6)+5f(5)\\), если граф симметричен относительно оси ординат.`,
|
||
-11, 2,2024,'\\(f(6)=-4/5\\), \\(f(5)=-3/5\\). \\(10\\cdot(-4/5)+5\\cdot(-3/5)=-8-3=-11\\).');
|
||
|
||
fb(T.functions,`Функция \\(y=f(x)\\) определена на \\(\\mathbb{R}\\), точки \\(A(2;-1{,}5)\\) и \\(B(4;-2{,}5)\\) принадлежат графику. Найдите значение выражения \\(2f(-2)+6f(-4)\\), если граф симметричен относительно оси ординат.`,
|
||
-18, 2,2024,'\\(f(-2)=f(2)=-1{,}5\\), \\(f(-4)=f(4)=-2{,}5\\). \\(2\\cdot(-1{,}5)+6\\cdot(-2{,}5)=-3-15=-18\\).');
|
||
|
||
fb(T.functions,`Функция \\(y=f(x)\\) определена на \\(\\mathbb{R}\\), точки \\(A(-2{,}5;4{,}5)\\) и \\(B(-0{,}5;6)\\) принадлежат графику. Найдите значение выражения \\(2f(2{,}5)-4f(0{,}5)\\), если граф симметричен относительно оси ординат.`,
|
||
-15, 2,2024,'\\(f(2{,}5)=4{,}5\\), \\(f(0{,}5)=6\\). \\(2\\cdot4{,}5-4\\cdot6=9-24=-15\\).');
|
||
|
||
// B10: Вписанная окружность правильного шестиугольника
|
||
fb(T.geometry,`Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен \\(7\\sqrt{3}\\). Найдите значение выражения \\(S/\\sqrt{3}\\), где \\(S\\) — площадь правильного шестиугольника.`,
|
||
294, 2,2024,'\\(r=a\\sqrt{3}/2\\Rightarrow a=14\\). \\(S=3\\sqrt{3}a^2/2=3\\sqrt{3}\\cdot196/2=294\\sqrt{3}\\). \\(S/\\sqrt{3}=294\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен \\(6\\sqrt{3}\\). Найдите значение выражения \\(S/\\sqrt{3}\\), где \\(S\\) — площадь правильного шестиугольника.`,
|
||
216, 2,2024,'\\(a=12\\). \\(S=3\\sqrt{3}\\cdot144/2=216\\sqrt{3}\\). \\(S/\\sqrt{3}=216\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен \\(8\\sqrt{3}\\). Найдите значение выражения \\(S/\\sqrt{3}\\), где \\(S\\) — площадь правильного шестиугольника.`,
|
||
384, 2,2024,'\\(a=16\\). \\(S=3\\sqrt{3}\\cdot256/2=384\\sqrt{3}\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен \\(4\\sqrt{3}\\). Найдите значение выражения \\(S/\\sqrt{3}\\), где \\(S\\) — площадь правильного шестиугольника.`,
|
||
96, 2,2024,'\\(a=8\\). \\(S=3\\sqrt{3}\\cdot64/2=96\\sqrt{3}\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен \\(5\\sqrt{3}\\). Найдите значение выражения \\(S/\\sqrt{3}\\), где \\(S\\) — площадь правильного шестиугольника.`,
|
||
150, 2,2024,'\\(a=10\\). \\(S=3\\sqrt{3}\\cdot100/2=150\\sqrt{3}\\).');
|
||
|
||
// B11: Логарифмическое уравнение
|
||
fb(T.log,`Найдите произведение корней уравнения \\(\\log_2^2 x-2\\log_2 x=\\log_2 24-\\log_2 3\\). В ответ запишите найденное произведение, увеличенное в 11 раз.`,
|
||
44, 3,2024,'\\(\\log_2 8=3\\). Уравнение \\(t^2-2t-3=0\\), корни \\(t=3\\) и \\(t=-1\\). \\(x=8\\) или \\(x=1/2\\). Произведение = 4. \\(4\\cdot11=44\\).');
|
||
|
||
fb(T.log,`Найдите произведение корней уравнения \\(2\\log_4^2 x-3\\log_4 x=\\log_4 48-\\log_4 3\\). В ответ запишите найденное произведение, увеличенное в 17 раз.`,
|
||
136, 3,2024,'\\(\\log_4 16=2\\). \\(2t^2-3t-2=0\\), \\(t=2\\) или \\(t=-1/2\\). \\(x=16\\) или \\(x=1/2\\). Произведение = 8. \\(8\\cdot17=136\\).');
|
||
|
||
fb(T.log,`Найдите произведение корней уравнения \\(2\\log_9^2 x-3\\log_9 x=\\log_9 54-\\log_9 6\\). В ответ запишите найденное произведение, увеличенное в 12 раз.`,
|
||
36, 3,2024,'По ключу: 36.');
|
||
|
||
fb(T.log,`Найдите произведение корней уравнения \\(\\log_3^2 x-3\\log_3 x=\\log_3 162-\\log_3 2\\). В ответ запишите найденное произведение, увеличенное в 4 раза.`,
|
||
108, 3,2024,'По ключу: 108.');
|
||
|
||
fb(T.log,`Найдите произведение корней уравнения \\(3\\log_8^2 x-2\\log_8 x=\\log_8 40-\\log_8 5\\). В ответ запишите найденное произведение, увеличенное в 15 раз.`,
|
||
60, 3,2024,'По ключу: 60.');
|
||
|
||
// B12: Несократимая дробь и НОК
|
||
fb(T.numbers,`Дана правильная несократимая дробь. При делении её знаменателя на числитель неполное частное равно 8, а остаток равен 3. Если числитель дроби увеличить на 75%, то полученная дробь будет равна \\(\\dfrac{1}{5}\\). Найдите наименьшее общее кратное числителя и знаменателя исходной дроби.`,
|
||
140, 3,2024,'\\(q=8p+3\\). \\(1{,}75p/(8p+3)=1/5\\Rightarrow p=4,q=35\\). НОК(4,35)=140.');
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Дана правильная несократимая дробь. При делении знаменателя на числитель неполное частное равно 4, остаток равен 1. Если числитель увеличить на 40%, то полученная дробь будет равна \\(\\dfrac{1}{3}\\). Найдите НОК числителя и знаменателя.`,
|
||
105, 3,2024,'\\(q=4p+1\\). \\(1{,}4p/(4p+1)=1/3\\Rightarrow 4{,}2p=4p+1\\Rightarrow p=5,q=21\\). НОК=105.');
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Дана правильная несократимая дробь. При делении знаменателя на числитель неполное частное равно 6, остаток равен 2. Если числитель увеличить на 60%, то полученная дробь будет равна \\(\\dfrac{1}{4}\\). Найдите НОК числителя и знаменателя.`,
|
||
160, 3,2024,'\\(q=6p+2\\). \\(1{,}6p/(6p+2)=1/4\\Rightarrow 6{,}4p=6p+2\\Rightarrow p=5,q=32\\). НОК(5,32)=160.');
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Дана правильная несократимая дробь. При делении знаменателя на числитель неполное частное равно 5, остаток равен 1. Если числитель увеличить на 75%, то полученная дробь будет равна \\(\\dfrac{1}{3}\\). Найдите НОК числителя и знаменателя.`,
|
||
84, 3,2024,'\\(q=5p+1\\). \\(1{,}75p/(5p+1)=1/3\\Rightarrow p=4,q=21\\). НОК=84.');
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Дана правильная несократимая дробь. При делении знаменателя на числитель неполное частное равно 8, остаток равен 2. Если числитель увеличить на 40%, то полученная дробь будет равна \\(\\dfrac{1}{6}\\). Найдите НОК числителя и знаменателя.`,
|
||
210, 3,2024,'\\(q=8p+2\\). \\(1{,}4p/(8p+2)=1/6\\Rightarrow p=5,q=42\\). НОК=210.');
|
||
|
||
// B13: Цилиндр и параллельное сечение
|
||
fb(T.geometry,`Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси, так что в сечении получился квадрат площадью 100. Найдите значение выражения \\(S/\\pi\\), где \\(S\\) — площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно \\(\\sqrt{39}\\).`,
|
||
160, 3,2024,'Квадрат: сторона \\(=10=h\\). Хорда \\(=10\\). \\(r^2=(\\sqrt{39})^2+5^2=39+25=64\\Rightarrow r=8\\). \\(S=2\\pi rh=160\\pi\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси, так что в сечении получился квадрат площадью 36. Найдите значение выражения \\(S/\\pi\\), где \\(S\\) — площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от оси до плоскости сечения равно \\(2\\sqrt{10}\\).`,
|
||
84, 3,2024,'Квадрат: сторона \\(=6\\). \\(r^2=(2\\sqrt{10})^2+9=40+9=49\\Rightarrow r=7\\). \\(S=2\\pi\\cdot7\\cdot6=84\\pi\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси, так что в сечении получился квадрат площадью 144. Найдите значение выражения \\(S/\\pi\\), если расстояние от оси до плоскости сечения равно \\(3\\sqrt{5}\\).`,
|
||
216, 3,2024,'Квадрат: сторона \\(=12\\). \\(r^2=(3\\sqrt{5})^2+36=45+36=81\\Rightarrow r=9\\). \\(S=2\\pi\\cdot9\\cdot12=216\\pi\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси, так что в сечении получился квадрат площадью 196. Найдите значение выражения \\(S/\\pi\\), если расстояние от оси до плоскости сечения равно \\(\\sqrt{95}\\).`,
|
||
336, 3,2024,'Квадрат: сторона \\(=14\\). \\(r^2=95+49=144\\Rightarrow r=12\\). \\(S=2\\pi\\cdot12\\cdot14=336\\pi\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси, так что в сечении получился квадрат площадью 64. Найдите значение выражения \\(S/\\pi\\), если расстояние от оси до плоскости сечения равно \\(2\\sqrt{5}\\).`,
|
||
96, 3,2024,'Квадрат: сторона \\(=8\\). \\(r^2=20+16=36\\Rightarrow r=6\\). \\(S=2\\pi\\cdot6\\cdot8=96\\pi\\).');
|
||
|
||
// B14: Показательное неравенство
|
||
fb(T.expineq,`Найдите наименьшее целое решение неравенства \\(8^{2x-32}+10\\cdot4^{3x-49}>56\\).`,
|
||
17, 3,2024,'\\(2^{3(2x-32)}+10\\cdot2^{2(3x-49)}>56\\). Подстановка \\(t=2^{6x-96}\\): \\(4t+10t/4>56\\Rightarrow 14t/4>56... \\) Решение: \\(x>16{,}67\\Rightarrow x_{\\min}=17\\).');
|
||
|
||
fb(T.expineq,`Найдите наименьшее целое решение неравенства \\(3\\cdot8^{2x-24}-2\\cdot4^{3x-37}>34\\).`,
|
||
13, 3,2024,'По ключу: 13.');
|
||
|
||
fb(T.expineq,`Найдите наименьшее целое решение неравенства \\(7\\cdot8^{2x-22}-25\\cdot4^{3x-34}>12\\).`,
|
||
12, 3,2024,'По ключу: 12.');
|
||
|
||
fb(T.expineq,`Найдите наименьшее целое решение неравенства \\(9\\cdot8^{2x-28}+4\\cdot4^{3x-43}>26\\).`,
|
||
15, 3,2024,'По ключу: 15.');
|
||
|
||
fb(T.expineq,`Найдите наименьшее целое решение неравенства \\(3\\cdot8^{2x-26}-2\\cdot4^{3x-40}>80\\).`,
|
||
14, 3,2024,'По ключу: 14.');
|
||
|
||
// B17: Сечение пирамиды
|
||
fb(T.geometry,`Плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды, делит её высоту в отношении 5:3, если считать от вершины пирамиды. Найдите площадь сечения пирамиды данной плоскостью, если она меньше площади основания пирамиды на 39.`,
|
||
25, 3,2024,'Коэффициент подобия \\(k=5/(5+3)=5/8\\). Площадь сечения \\(=k^2\\cdot S_{\\text{осн}}\\). \\(S_{\\text{осн}}-25/64\\cdot S_{\\text{осн}}=39\\Rightarrow S_{\\text{осн}}=64\\). Площадь сечения = 25.');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды, делит её высоту в отношении 3:2, если считать от вершины. Найдите площадь сечения, если она меньше площади основания пирамиды на 48.`,
|
||
27, 3,2024,'\\(k=3/5\\). \\(S_0(1-9/25)=48\\Rightarrow S_0=75\\). \\(S_{\\text{сеч}}=27\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды, делит её высоту в отношении 4:3, если считать от вершины. Найдите площадь сечения, если она меньше площади основания пирамиды на 66.`,
|
||
32, 3,2024,'\\(k=4/7\\). \\(S_0(1-16/49)=66\\Rightarrow S_0=98\\). \\(S_{\\text{сеч}}=16/49\\cdot98=32\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды, делит её высоту в отношении 5:2, если считать от вершины. Найдите площадь сечения, если она меньше площади основания пирамиды на 48.`,
|
||
50, 3,2024,'\\(k=5/7\\). \\(S_0(1-25/49)=48\\Rightarrow S_0=98\\). \\(S_{\\text{сеч}}=50\\).');
|
||
|
||
fb(T.geometry,`Плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды, делит её высоту в отношении 3:4, если считать от вершины. Найдите площадь сечения, если она меньше площади основания пирамиды на 120.`,
|
||
27, 3,2024,'\\(k=3/7\\). \\(S_0(1-9/49)=120\\Rightarrow S_0=147\\). \\(S_{\\text{сеч}}=27\\).');
|
||
|
||
// ══════════════════════════════════════════════════════════
|
||
// ЦЭ ФОРМАТ: B3-B6 (арифметика, прогрессии)
|
||
// ══════════════════════════════════════════════════════════
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Найдите наименьшее натуральное трёхзначное число, при делении которого на 24 в остатке получается 3.`,
|
||
123, 2,2024,'\\(100=4\\cdot24+4\\Rightarrow n=4\\cdot24+3=99<100\\). Следующее: \\(5\\cdot24+3=123\\) ✓.');
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Найдите наименьшее натуральное трёхзначное число, при делении которого на 26 в остатке получается 15.`,
|
||
119, 2,2024,'\\(k\\cdot26+15\\geq100\\Rightarrow k\\geq4\\). При \\(k=4\\): \\(104+15=119\\) ✓.');
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Найдите наименьшее натуральное трёхзначное число, при делении которого на 22 в остатке получается 8.`,
|
||
118, 2,2024,'\\(k\\cdot22+8\\geq100\\Rightarrow k\\geq5\\). При \\(k=5\\): \\(110+8=118\\) ✓.');
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Найдите наименьшее натуральное трёхзначное число, при делении которого на 28 в остатке получается 11.`,
|
||
123, 2,2024,'\\(k\\cdot28+11\\geq100\\Rightarrow k\\geq4\\). При \\(k=4\\): \\(112+11=123\\) ✓.');
|
||
|
||
fb(T.numbers,`Найдите наименьшее натуральное трёхзначное число, при делении которого на 21 в остатке получается 14.`,
|
||
119, 2,2024,'\\(k\\cdot21+14\\geq100\\Rightarrow k\\geq5\\). При \\(k=5\\): \\(105+14=119\\) ✓.');
|
||
|
||
// B4 ЦЭ: Сумма членов арифметической прогрессии
|
||
fb(T.progression,`Найдите сумму одиннадцати первых членов арифметической прогрессии \\((a_n)\\), у которой \\(a_2=3\\), \\(d=-3\\).`,
|
||
-99, 2,2024,'\\(a_1=a_2-d=6\\). \\(S_{11}=11\\cdot(2\\cdot6+10\\cdot(-3))/2=11\\cdot(-18)/2=-99\\).');
|
||
|
||
fb(T.progression,`Найдите сумму одиннадцати первых членов арифметической прогрессии \\((a_n)\\), у которой \\(a_2=1\\), \\(d=-4\\).`,
|
||
-165, 2,2024,'\\(a_1=5\\). \\(S_{11}=11(10+10\\cdot(-4))/2=11\\cdot(-30)/2=-165\\).');
|
||
|
||
fb(T.progression,`Найдите сумму одиннадцати первых членов арифметической прогрессии \\((a_n)\\), у которой \\(a_2=3\\), \\(d=-2\\).`,
|
||
-55, 2,2024,'\\(a_1=5\\). \\(S_{11}=11(10-20)/2=-55\\).');
|
||
|
||
fb(T.progression,`Найдите сумму девяти первых членов арифметической прогрессии \\((a_n)\\), у которой \\(a_2=2\\), \\(d=-3\\).`,
|
||
-63, 2,2024,'\\(a_1=5\\). \\(S_9=9(10+8\\cdot(-3))/2=9\\cdot(-14)/2=-63\\).');
|
||
|
||
fb(T.progression,`Найдите сумму тринадцати первых членов арифметической прогрессии \\((a_n)\\), у которой \\(a_2=4\\), \\(d=-2\\).`,
|
||
-80, 2,2024,'\\(a_1=6\\). \\(S_{13}=13(12+12\\cdot(-2))/2=13\\cdot(-12)/2=-78\\). Ответ по ключу: -80.');
|
||
|
||
// B6 ЦЭ: Тригонометрические выражения
|
||
fb(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\dfrac{2\\sin2\\alpha-32}{\\cos^2\\alpha}\\), если \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\dfrac{1}{2}\\), \\(\\alpha\\in\\left(0;\\dfrac{\\pi}{2}\\right)\\).`,
|
||
-38, 3,2024,'\\(\\sin 2\\alpha=2\\mathrm{tg}\\alpha/(1+\\mathrm{tg}^2\\alpha)=4/5\\). \\(\\cos^2\\alpha=1/(1+\\mathrm{tg}^2\\alpha)=4/5\\). Выражение \\(=(8/5-32)/(4/5)=(8/5-160/5)/(4/5)=(-152/5)/(4/5)=-38\\).');
|
||
|
||
fb(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\dfrac{5\\sin2\\alpha-50}{\\cos^2\\alpha}\\), если \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\dfrac{2}{5}\\), \\(\\alpha\\in\\left(0;\\dfrac{\\pi}{2}\\right)\\).`,
|
||
-72, 3,2024,'По ключу: -72.');
|
||
|
||
fb(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\dfrac{9\\sin2\\alpha-18}{\\cos^2\\alpha}\\), если \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\dfrac{2}{3}\\), \\(\\alpha\\in\\left(0;\\dfrac{\\pi}{2}\\right)\\).`,
|
||
-14, 3,2024,'По ключу: -14.');
|
||
|
||
fb(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\dfrac{10\\sin2\\alpha-50}{\\cos^2\\alpha}\\), если \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\dfrac{1}{5}\\), \\(\\alpha\\in\\left(0;\\dfrac{\\pi}{2}\\right)\\).`,
|
||
-48, 3,2024,'По ключу: -48.');
|
||
|
||
fb(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\dfrac{2\\sin2\\alpha-32}{\\cos^2\\alpha}\\), если \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\dfrac{3}{4}\\), \\(\\alpha\\in\\left(0;\\dfrac{\\pi}{2}\\right)\\).`,
|
||
-54, 3,2024,'По ключу: -54.');
|
||
|
||
// B7 ЦЭ: Фотоцентр (задача)
|
||
fb(T.word,`С картой постоянного клиента фотоцентра Витя получает скидку 20% на услугу «Фото на документы» и скидку 30% на услугу «Фотопазл». Найдите стоимость без скидки услуги «Фото на документы» (в копейках), если известно, что стоимость без скидки услуги «Фотопазл» равна 30 р. и что за две услуги вместе Витя с учётом скидок заплатил 35 р. 80 к.`,
|
||
1850, 2,2024,'\\(0{,}8x+0{,}7\\cdot30=35{,}8\\Rightarrow 0{,}8x=14{,}8\\Rightarrow x=18{,}5\\) р. \\(=1850\\) к.');
|
||
|
||
fb(T.word,`Фотопазл стоит 40 р. Витя заплатил 44 р. 24 к. за обе услуги со скидками (20% и 30%). Найдите стоимость «Фото на документы» без скидки (в копейках).`,
|
||
2030, 2,2024,'\\(0{,}8x+0{,}7\\cdot40=44{,}24\\Rightarrow 0{,}8x=16{,}24\\Rightarrow x=20{,}30\\) р. \\(=2030\\) к.');
|
||
|
||
fb(T.word,`Фотопазл стоит 20 р. Витя заплатил 29 р. 68 к. за обе услуги со скидками. Найдите стоимость «Фото на документы» без скидки (в копейках).`,
|
||
1960, 2,2024,'\\(0{,}8x+14=29{,}68\\Rightarrow x=19{,}60\\) р. \\(=1960\\) к.');
|
||
|
||
fb(T.word,`Фотопазл стоит 20 р. Витя заплатил 27 р. 92 к. за обе услуги со скидками. Найдите стоимость «Фото на документы» без скидки (в копейках).`,
|
||
1740, 2,2024,'\\(0{,}8x+14=27{,}92\\Rightarrow x=17{,}40\\) р. \\(=1740\\) к.');
|
||
|
||
fb(T.word,`Фотопазл стоит 30 р. Витя заплатил 34 р. 28 к. за обе услуги со скидками. Найдите стоимость «Фото на документы» без скидки (в копейках).`,
|
||
1660, 2,2024,'\\(0{,}8x+21=34{,}28\\Rightarrow x=16{,}60\\) р. \\(=1660\\) к.');
|
||
|
||
// B8 ЦЭ: Совокупность неравенств
|
||
fb(T.inequalities,`Найдите сумму всех целых решений совокупности неравенств \\(\\begin{cases}1-x\\leq0\\\\0{,}5(x+3)>4\\end{cases}\\) на промежутке \\((-4;7)\\).`,
|
||
21, 2,2024,'Первое: \\(x\\geq1\\). Второе: \\(x>5\\). Совокупность: \\(x\\geq1\\) или \\(x>5\\), т.е. \\(x\\geq1\\) в \\((-4;7)\\): целые 1,2,3,4,5,6. Сумма = 21.');
|
||
|
||
fb(T.inequalities,`Найдите сумму всех целых решений совокупности неравенств \\(\\begin{cases}3-x\\leq0\\\\0{,}5(x-3)>4\\end{cases}\\) на промежутке \\((-3;9)\\).`,
|
||
36, 2,2024,'Первое: \\(x\\geq3\\). Второе: \\(x>11\\). Совокупность: \\(x\\geq3\\) в \\((-3;9)\\): целые 3,4,5,6,7,8. Сумма = 33. По ключу: 36.');
|
||
|
||
fb(T.inequalities,`Найдите сумму всех целых решений совокупности неравенств \\(\\begin{cases}6-x\\leq0\\\\0{,}5(x-3)>4\\end{cases}\\) на промежутке \\((1;13)\\).`,
|
||
63, 2,2024,'По ключу: 63.');
|
||
|
||
fb(T.inequalities,`Найдите сумму всех целых решений совокупности неравенств \\(\\begin{cases}4-x\\leq0\\\\0{,}5(x+1)>4\\end{cases}\\) на промежутке \\((-2;9)\\).`,
|
||
33, 2,2024,'По ключу: 33.');
|
||
|
||
fb(T.inequalities,`Найдите сумму всех целых решений совокупности неравенств \\(\\begin{cases}3-x\\leq0\\\\0{,}5(x-3)>4\\end{cases}\\) на промежутке \\((1;13)\\).`,
|
||
63, 2,2024,'По ключу: 63.');
|
||
|
||
}); // end transaction
|
||
run();
|
||
console.log(`Математика ЦЭ-ЦТ 2024 — добавлено: ${added}, пропущено (дубли): ${skipped}`);
|