maxim.dolgolyov/Learn_System
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

feat: exam9 — Экзамен 9 класс по математике (80 вариантов)

Browse Source 
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace:
- 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG)
- Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check)
- Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002)
- Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента
- Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial)
- Возобновление последнего варианта при возврате

Структура:
  frontend/exam9.html              — страница (LearnSpace layout)
  frontend/js/exam9/app.js         — рендерер
  frontend/js/exam9/variants/      — 80 файлов с данными
  frontend/img/exam9/              — 22 PNG/JPG фигур заданий

Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически.

Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
This commit is contained in:
Maxim Dolgolyov
2026-05-16 12:53:49 +03:00
parent ae31e4c4e8
commit 6cff327e88
107 changed files with 16507 additions and 0 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
backend/src/db/migrations/002_feature_exam9.sql
+1
View File
@@ -0,0 +1 @@
INSERT OR IGNORE INTO app_settings (key, value) VALUES ('feature_exam9_enabled', '1');
frontend/exam9.html
+338
View File
@@ -0,0 +1,338 @@
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" />
<title>Экзамен 9 класс — Математика — LearnSpace</title>
<link rel="icon" href="/favicon.svg" type="image/svg+xml" />
<link href="https://fonts.googleapis.com/css2?family=Unbounded:wght@400;700;800&family=Manrope:wght@400;500;600;700&display=swap" rel="stylesheet" />
<link rel="stylesheet" href="/css/ls.css" />
<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.16.11/dist/katex.min.css" />
<script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.16.11/dist/katex.min.js"></script>
<script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.16.11/dist/contrib/auto-render.min.js" onload="onKatexLoad()"></script>
<style>
.sb-content { padding: 0; overflow-y: auto; }
.ex-wrap { max-width: 920px; margin: 0 auto; padding: 32px 24px 80px; width: 100%; }
/* ── Header ── */
.ex-header { display:flex; align-items:center; gap:14px; margin-bottom:24px; flex-wrap:wrap; }
.ex-icon {
width:52px; height:52px; border-radius:14px; flex-shrink:0;
background: linear-gradient(135deg, rgba(155,93,229,.25), rgba(6,214,224,.18));
border:1.5px solid rgba(255,255,255,.1);
display:flex; align-items:center; justify-content:center;
}
.ex-icon svg { width:26px; height:26px; stroke:#9B5DE5; stroke-width:1.8; fill:none; }
.ex-title { font-family:'Unbounded',sans-serif; font-size:1.35rem; font-weight:800; letter-spacing:-.02em; }
.ex-sub { font-size:.82rem; color:var(--text-2); margin-top:2px; }
.ex-header-right { margin-left:auto; display:flex; align-items:center; gap:8px; }
.ex-picker-btn {
display:flex; align-items:center; gap:8px;
padding:9px 16px; border-radius:10px;
border:1.5px solid var(--border-h); background:var(--surface); color:var(--text);
font-family:'Manrope',sans-serif; font-size:.88rem; font-weight:700;
cursor:pointer; transition:all .15s; white-space:nowrap;
}
.ex-picker-btn:hover { border-color:var(--violet); color:var(--violet); }
.ex-picker-btn .ex-chev { width:14px; height:14px; transition:transform .2s; }
.ex-picker-btn.open .ex-chev { transform:rotate(180deg); }
/* ── Picker overlay ── */
.ex-overlay {
display:none; position:fixed; inset:0;
background:rgba(15,23,42,.55); z-index:300;
align-items:flex-start; justify-content:center; padding-top:80px;
backdrop-filter:blur(2px);
}
.ex-overlay.visible { display:flex; }
.ex-panel {
background:var(--surface); border:1.5px solid var(--border);
border-radius:16px; box-shadow:0 24px 64px rgba(0,0,0,.32);
width:min(680px, 94vw); max-height:calc(100vh - 120px);
overflow-y:auto; padding:22px 22px 26px;
animation: panelIn .18s ease;
}
@keyframes panelIn {
from { opacity:0; transform:translateY(-12px); }
to { opacity:1; transform:translateY(0); }
}
.ex-panel-head {
display:flex; align-items:center; justify-content:space-between; margin-bottom:18px;
}
.ex-panel-head h2 { font-family:'Unbounded',sans-serif; font-size:1rem; font-weight:800; }
.ex-panel-close {
width:32px; height:32px; border:none; background:none;
color:var(--text-2); cursor:pointer; border-radius:8px;
display:flex; align-items:center; justify-content:center; transition:background .15s;
}
.ex-panel-close:hover { background:var(--border); color:var(--text); }
.ex-panel-close svg { width:18px; height:18px; }
/* ── Variants grid ── */
.ex-grid {
display:grid; grid-template-columns:repeat(10, 1fr); gap:6px;
}
.vg-btn {
aspect-ratio:1; border:1.5px solid var(--border-h); border-radius:8px;
background:transparent; color:var(--text-2);
font-family:'Manrope',sans-serif; font-size:.82rem; font-weight:700;
cursor:pointer; transition:all .12s; line-height:1;
}
.vg-btn:hover { border-color:var(--violet); color:var(--violet); }
.vg-btn.active { background:var(--violet); border-color:var(--violet); color:#fff; }
.vg-btn.done { background:rgba(6,214,160,.15); border-color:#06D6A0; color:#06D6A0; }
.vg-btn.done:hover { background:rgba(6,214,160,.25); }
.vg-btn.done.active { background:#06D6A0; border-color:#06D6A0; color:#fff; }
.vg-btn.partial { background:rgba(248,150,30,.13); border-color:#F8961E; color:#F8961E; }
.vg-btn.partial:hover { background:rgba(248,150,30,.22); }
@media (max-width: 540px) {
.ex-grid { grid-template-columns:repeat(8, 1fr); }
}
/* ── Variant header + tasks ── */
.variant-title {
font-family:'Unbounded',sans-serif; font-size:1.45rem; font-weight:800;
letter-spacing:-.02em; margin-bottom:22px;
}
.variant-title small {
font-family:'Manrope',sans-serif; font-size:.85rem; font-weight:500;
color:var(--text-2); margin-left:10px;
}
.task-card {
background:var(--surface); border:1.5px solid var(--border);
border-radius:14px; margin-bottom:16px; overflow:hidden;
transition:border-color .15s;
}
.task-card:hover { border-color:var(--border-h); }
.task-header {
display:flex; align-items:center; gap:12px;
padding:12px 22px; background:rgba(155,93,229,.04);
border-bottom:1.5px solid var(--border);
}
.task-num {
width:30px; height:30px; border-radius:50%;
background:var(--violet); color:#fff;
font-family:'Unbounded',sans-serif; font-size:.82rem; font-weight:800;
display:flex; align-items:center; justify-content:center; flex-shrink:0;
}
.task-label {
font-family:'Unbounded',sans-serif; font-size:.85rem; font-weight:700;
color:var(--text-2); letter-spacing:.02em;
}
.task-body { padding:20px 26px; font-size:1rem; line-height:1.8; }
.task-text .katex-display { margin:14px 0 8px; overflow-x:auto; }
.opts {
display:flex; flex-wrap:wrap; gap:10px 32px;
margin-top:16px; padding-top:14px; border-top:1px solid var(--border);
align-items:center;
}
.opts-vertical {
display:flex; flex-direction:column; gap:8px;
margin-top:14px; padding-top:14px; border-top:1px solid var(--border);
}
.opt { display:inline-flex; align-items:flex-start; gap:6px; }
.opt-lbl {
font-family:'Unbounded',sans-serif; font-weight:800;
color:var(--violet); font-size:.92rem; white-space:nowrap;
}
.task-figure { margin:14px 0 4px; }
.task-fig { max-width:100%; height:auto; border-radius:6px; }
/* ── Solutions ── */
.sol-wrap { padding:0 22px 16px; }
.sol-btn {
display:inline-flex; align-items:center; gap:7px;
padding:6px 14px; border:1.5px solid #06D6A0; border-radius:8px;
background:transparent; color:#06D6A0;
font-family:'Manrope',sans-serif; font-size:.85rem; font-weight:700;
cursor:pointer; transition:all .15s;
}
.sol-btn:hover { background:rgba(6,214,160,.12); }
.sol-btn.open { background:#06D6A0; border-color:#06D6A0; color:#fff; }
.sol-btn svg { width:13px; height:13px; transition:transform .2s; }
.sol-btn.open svg { transform:rotate(90deg); }
.sol-panel {
display:none; margin-top:14px; padding:18px 22px;
background:rgba(6,214,160,.06); border-radius:10px;
border-left:3px solid #06D6A0;
line-height:1.85; font-size:.96rem;
}
.sol-panel.visible { display:block; }
.sol-ans {
display:inline-block; margin-top:12px; padding:4px 14px;
background:rgba(6,214,160,.2); border-radius:6px;
font-family:'Unbounded',sans-serif; font-weight:800; color:#06D6A0;
}
.sol-panel ul { margin:6px 0 6px 22px; }
.sol-panel li { margin:3px 0; }
.sol-panel .katex-display { margin:10px 0 6px; overflow-x:auto; }
/* Empty state */
.ex-empty {
padding:60px 20px; text-align:center; color:var(--text-3);
}
.ex-empty svg { width:48px; height:48px; opacity:.5; margin-bottom:14px; stroke:var(--text-3); }
@media (max-width: 600px) {
.ex-wrap { padding:20px 16px 60px; }
.ex-title { font-size:1.15rem; }
.task-body { padding:16px 18px; }
.sol-wrap { padding:0 18px 14px; }
.sol-panel { padding:14px 16px; }
.opts { gap:8px 18px; }
}
</style>
</head>
<body>
<div class="app-layout">
<aside class="sidebar" id="app-sidebar"></aside>
<div class="sb-content">
<div class="ex-wrap">
<header class="ex-header">
<div class="ex-icon">
<svg viewBox="0 0 24 24" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<rect x="9" y="2" width="6" height="4" rx="1"/>
<path d="M9 4H6a2 2 0 0 0-2 2v14a2 2 0 0 0 2 2h12a2 2 0 0 0 2-2V6a2 2 0 0 0-2-2h-3"/>
<path d="m9 14 2 2 4-4"/>
</svg>
</div>
<div>
<div class="ex-title">Экзамен 9 класс — Математика</div>
<div class="ex-sub">2025 · 80 вариантов · решения с разбором</div>
</div>
<div class="ex-header-right">
<button class="ex-picker-btn" id="picker-btn" onclick="togglePicker()">
<span id="picker-label">Выбрать вариант</span>
<svg class="ex-chev" viewBox="0 0 24 24" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="2.5" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"><polyline points="6 9 12 15 18 9"/></svg>
</button>
</div>
</header>
<main id="ex-main">
<div class="ex-empty">
<svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"><path d="M14 2H6a2 2 0 0 0-2 2v16a2 2 0 0 0 2 2h12a2 2 0 0 0 2-2V8z"/><polyline points="14 2 14 8 20 8"/></svg>
<div>Загрузка вариантов…</div>
</div>
</main>
</div>
</div>
</div>
<div class="ex-overlay" id="picker-overlay" onclick="onOverlayClick(event)">
<div class="ex-panel" onclick="event.stopPropagation()">
<div class="ex-panel-head">
<h2>Выберите вариант</h2>
<button class="ex-panel-close" onclick="closePicker()" title="Закрыть">
<svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="2.2" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"><line x1="18" y1="6" x2="6" y2="18"/><line x1="6" y1="6" x2="18" y2="18"/></svg>
</button>
</div>
<div class="ex-grid" id="variant-grid"></div>
</div>
</div>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/lucide@0.469.0/dist/umd/lucide.min.js"></script>
<script src="/js/api.js"></script>
<script src="/js/sidebar.js"></script>
<script src="/js/notifications.js"></script>
<script src="/js/search.js"></script>
<script src="/js/mobile.js"></script>
<script>
LS.initPage();
LS.showBoardIfAllowed();
LS.hideDisabledFeatures();
window.VARIANTS = {};
</script>
<script src="/js/exam9/variants/v01.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v02.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v03.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v04.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v05.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v06.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v07.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v08.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v09.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v10.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v11.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v12.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v13.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v14.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v15.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v16.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v17.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v18.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v19.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v20.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v21.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v22.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v23.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v24.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v25.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v26.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v27.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v28.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v29.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v30.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v31.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v32.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v33.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v34.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v35.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v36.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v37.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v38.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v39.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v40.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v41.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v42.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v43.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v44.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v45.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v46.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v47.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v48.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v49.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v50.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v51.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v52.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v53.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v54.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v55.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v56.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v57.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v58.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v59.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v60.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v61.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v62.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v63.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v64.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v65.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v66.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v67.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v68.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v69.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v70.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v71.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v72.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v73.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v74.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v75.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v76.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v77.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v78.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v79.js"></script>
<script src="/js/exam9/variants/v80.js"></script>
<script src="/js/exam9/app.js"></script>
</body>
</html>
frontend/img/exam9/v17_t1.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 116 KiB

frontend/img/exam9/v18_t1.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 117 KiB

frontend/img/exam9/v19_t1.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 105 KiB

frontend/img/exam9/v20_t1.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 96 KiB

frontend/img/exam9/v57_t1.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 94 KiB

frontend/img/exam9/v58_t1.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 92 KiB

frontend/img/exam9/v59_t1.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 127 KiB

frontend/img/exam9/v60_t1.jpg
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 36 KiB

frontend/img/exam9/v61_t10.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 58 KiB

frontend/img/exam9/v61_t7.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 44 KiB

frontend/img/exam9/v62_t10.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 64 KiB

frontend/img/exam9/v62_t7.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 44 KiB

frontend/img/exam9/v69_t6.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 22 KiB

frontend/img/exam9/v70_t6.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 25 KiB

frontend/img/exam9/v71_t8.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 31 KiB

frontend/img/exam9/v72_t8.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 35 KiB

frontend/img/exam9/v73_t1.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 64 KiB

frontend/img/exam9/v74_t1.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 131 KiB

frontend/img/exam9/v79_t6.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 47 KiB

frontend/img/exam9/v79_t9.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 72 KiB

frontend/img/exam9/v80_t6.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 49 KiB

frontend/img/exam9/v80_t9.png
BIN
View File
Binary file not shown.
Side by Side

After

Width:  |  Height:  |  Size: 72 KiB

frontend/js/exam9/app.js
+176
View File
@@ -0,0 +1,176 @@
'use strict';
/* ──────────────────────────────────────────────────────────────────
Exam 9 — Math 2025 renderer
Variants loaded into window.VARIANTS by /js/exam9/variants/vNN.js
────────────────────────────────────────────────────────────────── */
const STORAGE_KEY = 'exam9_progress_v1';
let currentVariant = null;
let katexLoaded = false;
/* ── KaTeX bootstrap ────────────────────────────────────────────── */
function onKatexLoad() {
katexLoaded = true;
if (currentVariant !== null) runKatex(document.getElementById('ex-main'));
}
function runKatex(el) {
if (!katexLoaded || !el) return;
try {
renderMathInElement(el, {
delimiters: [
{ left: '$$', right: '$$', display: true },
{ left: '$', right: '$', display: false },
],
throwOnError: false,
});
} catch {}
}
/* ── Progress in localStorage ───────────────────────────────────── */
function loadProgress() {
try { return JSON.parse(localStorage.getItem(STORAGE_KEY) || '{}'); }
catch { return {}; }
}
function saveProgress(p) {
try { localStorage.setItem(STORAGE_KEY, JSON.stringify(p)); } catch {}
}
function markSolutionViewed(variantNum, taskIdx) {
const p = loadProgress();
p[variantNum] = p[variantNum] || [];
if (!p[variantNum].includes(taskIdx)) {
p[variantNum].push(taskIdx);
saveProgress(p);
}
}
/* ── Variant picker ─────────────────────────────────────────────── */
function buildGrid() {
const grid = document.getElementById('variant-grid');
const progress = loadProgress();
grid.innerHTML = '';
Object.keys(VARIANTS).sort((a, b) => Number(a) - Number(b)).forEach(n => {
const v = VARIANTS[n];
const total = (v.tasks || []).length;
const viewed = (progress[n] || []).length;
let cls = '';
if (viewed === total && total > 0) cls = ' done';
else if (viewed > 0) cls = ' partial';
const isActive = Number(n) === currentVariant ? ' active' : '';
const btn = document.createElement('button');
btn.className = 'vg-btn' + cls + isActive;
btn.textContent = n;
btn.title = `${v.label}${viewed === total ? ' ✓' : viewed > 0 ? ` (${viewed}/${total})` : ''}`;
btn.onclick = () => { selectVariant(Number(n)); closePicker(); };
grid.appendChild(btn);
});
}
function togglePicker() {
const overlay = document.getElementById('picker-overlay');
const btn = document.getElementById('picker-btn');
if (overlay.classList.contains('visible')) closePicker();
else {
buildGrid();
overlay.classList.add('visible');
btn.classList.add('open');
document.addEventListener('keydown', onEsc);
}
}
function closePicker() {
document.getElementById('picker-overlay').classList.remove('visible');
document.getElementById('picker-btn').classList.remove('open');
document.removeEventListener('keydown', onEsc);
}
function onOverlayClick(e) {
if (e.target === document.getElementById('picker-overlay')) closePicker();
}
function onEsc(e) { if (e.key === 'Escape') closePicker(); }
/* ── Task rendering ─────────────────────────────────────────────── */
function buildOpts(opts) {
const isLong = opts.some(([, t]) => t.length > 40 && !t.startsWith('$'));
const cls = isLong ? 'opts-vertical' : 'opts';
return `<div class="${cls}">` +
opts.map(([l, t]) =>
`<span class="opt"><span class="opt-lbl">${l})</span><span>${t}</span></span>`
).join('') + `</div>`;
}
const SOL_ICON_CLOSED = `<svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="2.5" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"><polyline points="9 18 15 12 9 6"/></svg>`;
function renderVariant(num) {
const main = document.getElementById('ex-main');
const v = VARIANTS[num];
if (!v) {
main.innerHTML = '<div class="ex-empty">Вариант не найден</div>';
return;
}
main.innerHTML =
`<div class="variant-title">${v.label}<small>${v.tasks.length} заданий</small></div>` +
v.tasks.map((t, i) => `
<div class="task-card">
<div class="task-header">
<div class="task-num">${i + 1}</div>
<div class="task-label">Задание ${i + 1}</div>
</div>
<div class="task-body">
<div class="task-text">${t.text}</div>
${t.figure ? `<div class="task-figure">${t.figure}</div>` : ''}
${t.opts ? buildOpts(t.opts) : ''}
</div>
${t.sol ? `<div class="sol-wrap">
<button class="sol-btn" data-task="${i}" onclick="toggleSol(this, ${num}, ${i})">
${SOL_ICON_CLOSED}<span>Показать решение</span>
</button>
<div class="sol-panel">${t.sol}</div>
</div>` : ''}
</div>`
).join('');
runKatex(main);
}
function toggleSol(btn, variantNum, taskIdx) {
const panel = btn.nextElementSibling;
const open = panel.classList.contains('visible');
panel.classList.toggle('visible', !open);
btn.classList.toggle('open', !open);
btn.querySelector('span').textContent = open ? 'Показать решение' : 'Скрыть решение';
if (!open) {
if (!panel.dataset.k) { runKatex(panel); panel.dataset.k = '1'; }
markSolutionViewed(variantNum, taskIdx);
}
}
function selectVariant(num) {
currentVariant = num;
document.getElementById('picker-label').textContent = VARIANTS[num].label;
document.querySelectorAll('.vg-btn').forEach(b => {
b.classList.toggle('active', Number(b.textContent) === num);
});
renderVariant(num);
// Persist last opened variant
try { localStorage.setItem('exam9_last_variant', String(num)); } catch {}
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
/* ── Boot ───────────────────────────────────────────────────────── */
(function boot() {
const keys = Object.keys(VARIANTS);
if (!keys.length) {
document.getElementById('ex-main').innerHTML = '<div class="ex-empty">Варианты не загружены</div>';
return;
}
// Resume last opened variant or open first one
let initial = Number(keys[0]);
try {
const last = Number(localStorage.getItem('exam9_last_variant'));
if (last && VARIANTS[last]) initial = last;
} catch {}
selectVariant(initial);
})();
frontend/js/exam9/variants/v01.js
+203
View File
@@ -0,0 +1,203 @@
VARIANTS[1] = {
label: "Вариант 1",
tasks: [
{
text: `Какое из следующих чисел является натуральным:`,
opts: [
["а", "$-1$"], ["б", "$0$"], ["в", "$1{,}65$"],
["г", "$36$"], ["д", "$\\dfrac{9}{50}$"],
],
sol: `Натуральные числа — это 1, 2, 3, … (положительные целые).
<ul>
<li>а) $-1$ — отрицательное;</li>
<li>б) $0$ — нуль, не натуральное;</li>
<li>в) $1{,}65$ — дробное;</li>
<li>г) $36 = 6^2$ — натуральное ✓</li>
<li>д) $\\dfrac{9}{50}$ — правильная дробь.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$36$</div>`
},
{
text: `Результат упрощения выражения $5a^4 : a^{-15}$ имеет вид:`,
opts: [
["а", "$5a^{-11}$"], ["б", "$5a^{19}$"], ["в", "$\\dfrac{5}{a^{19}}$"],
["г", "$5a^{11}$"], ["д", "$\\dfrac{a^{11}}{5}$"],
],
sol: `При делении степеней с одним основанием показатели <em>вычитаются</em>:
$$5a^4 : a^{-15} = 5\\cdot a^{4-(-15)} = 5\\cdot a^{4+15} = 5a^{19}$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$5a^{19}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "вертикальные углы равны между собой;"],
["б", "если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;"],
["в", "противоположные стороны параллелограмма равны;"],
["г", "диагонали любого ромба равны между собой?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Вертикальные углы равны — <b>верно</b></li>
<li>б) Два равных угла ⟹ равнобедренный — <b>верно</b></li>
<li>в) Противоположные стороны параллелограмма равны — <b>верно</b></li>
<li>г) Диагонали любого ромба равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам, но равны по длине лишь у <b>квадрата</b> — частного случая ромба.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Определите наименьшее целое решение совокупности неравенств
$$\\left[\\begin{array}{l} x^2 - 3x \\leq 0, \\\\[4pt] x > -2{,}5. \\end{array}\\right.$$`,
sol: `Совокупность «$[\\,$» означает объединение: решение удовлетворяет <em>хотя бы одному</em> из неравенств.
<br><b>Неравенство 1:</b> $x^2-3x\\leq 0\\Rightarrow x(x-3)\\leq 0\\Rightarrow 0\\leq x\\leq 3$
<br><b>Неравенство 2:</b> $x>-2{,}5$
<br>Объединение: $(0\\leq x\\leq 3)\\cup(x>-2{,}5) = x>-2{,}5$
<svg viewBox="0 0 268 50" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:268px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0"><defs><marker id="arr4sol" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs><line x1="8" y1="25" x2="256" y2="25" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#arr4sol)"/><line x1="50" y1="21" x2="50" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="50" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−2</text><line x1="85" y1="21" x2="85" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="85" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text><line x1="120" y1="21" x2="120" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="120" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text><line x1="155" y1="21" x2="155" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="155" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">1</text><line x1="190" y1="21" x2="190" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="190" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">2</text><line x1="225" y1="21" x2="225" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="225" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3</text><line x1="32" y1="25" x2="250" y2="25" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/><circle cx="32" cy="25" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/><text x="32" y="14" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">−2,5</text></svg>Наименьшее целое число, большее $-2{,}5$: это $-2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-2$</div>`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25}$
и найдите значение полученной дроби при $x = 3$.`,
sol: `<b>Теорема Виета (обратная):</b> если $x_1+x_2=-b/a$ и $x_1\\cdot x_2=c/a$, то $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
<br><b>Формула квадрата суммы:</b> $(x\\pm a)^2 = x^2\\pm 2ax+a^2$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Разложим <em>числитель</em> на множители. Ищем такие $x_1$ и $x_2$, что $x_1+x_2=12$ и $x_1\\cdot x_2=35$.
<br>Подходят $x_1=5$ и $x_2=7$, поэтому:
$$x^2-12x+35 = (x-5)(x-7)$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим <em>знаменатель</em>. Замечаем, что это полный квадрат:
$$x^2-10x+25 = x^2-2\\cdot 5\\cdot x+5^2 = (x-5)^2$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(x-5)$ (так как $x\\neq 5$, иначе знаменатель обращается в нуль):
$$\\dfrac{(x-5)(x-7)}{(x-5)^2} = \\dfrac{x-7}{x-5}$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $x=3$ в полученную дробь:
$$\\dfrac{3-7}{3-5} = \\dfrac{-4}{-2} = 2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $2$</div>`
},
{
text: `Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BC = 10$ см.
Высота, проведённая из вершины $C$ к стороне $AD$, равна $6$ см.
Найдите площадь треугольника $AOB$.`,
sol: `<b>Свойства параллелограмма:</b> противоположные стороны равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам и разбивают параллелограмм на <b>4 равновеликих треугольника</b>.
<br><b>Формула площади параллелограмма:</b> $S = a\\cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота к ней.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Так как $BC$ и $AD$ — противоположные стороны параллелограмма, то $AD = BC = 10$ см.
<br><b>Шаг 2.</b> Высота из $C$ к $AD$ равна $6$ см, поскольку $BC\\parallel AD$, значит высота от стороны $BC$ к $AD$ — это расстояние между параллельными прямыми.
<br><b>Шаг 3.</b> Находим площадь всего параллелограмма:
$$S_{ABCD} = AD\\cdot h = 10\\cdot 6 = 60\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 4.</b> Точка $O$ — пересечение диагоналей. Диагонали разбивают параллелограмм на четыре треугольника, у которых равные площади (каждая равна $S/4$):
<svg viewBox="0 0 250 145" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:250px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0"><polygon points="20,118 205,118 222,28 37,28" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/><polygon points="20,118 205,118 115,73" fill="rgba(37,99,235,0.25)" stroke="none"/><line x1="20" y1="118" x2="222" y2="28" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/><line x1="205" y1="118" x2="37" y2="28" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/><circle cx="115" cy="73" r="3" fill="#1e293b"/><text x="4" y="123" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text><text x="208" y="123" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text><text x="224" y="24" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text><text x="26" y="24" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text><text x="120" y="70" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">O</text><text x="110" y="108" font-size="11" fill="#1d4ed8" text-anchor="middle">S/4</text></svg>
<b>Шаг 5.</b> Поэтому:
$$S_{AOB} = \\dfrac{S_{ABCD}}{4} = \\dfrac{60}{4} = 15\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $15$ см²</div>`
},
{
text: `Отчисления в бюджет по фиксированной ставке с доходов физических лиц
в Беларуси составляют $13\\%$ от заработной платы. После удержания налога
на доходы сотрудник предприятия получил $1305$ р.
Сколько рублей составляет заработная плата сотрудника без вычета налога?`,
sol: `<b>Метод уравнения для задачи на проценты:</b> неизвестную величину обозначаем переменной, выражаем её через известные данные и составляем уравнение.
<br><b>Свойство:</b> если из величины удерживают $p\\%$, то остаётся $(100-p)\\%$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Обозначим за $x$ заработную плату до удержания налога — это и есть то, что мы ищем.
<br><b>Шаг 2.</b> По условию налог составляет $13\\%$ от $x$. Значит, на руки сотрудник получает оставшиеся $100\\%-13\\%=87\\%$ от $x$:
$$0{,}87\\cdot x = 1305$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем уравнение — делим обе части на $0{,}87$:
$$x = \\dfrac{1305}{0{,}87} = \\dfrac{1305\\cdot 100}{87} = \\dfrac{130500}{87}$$
<b>Шаг 4.</b> Выполняем деление: $130500:87 = 1500$.
$$x = 1500\\text{ р.}$$
<b>Проверка:</b> $13\\%$ от $1500$ — это $0{,}13\\cdot 1500=195$ р.; на руки $1500-195=1305$ р. ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $1500$ р.</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $x_1 \\cdot x_2 + y_1 \\cdot y_2$,
где $(x_1;\\, y_1)$, $(x_2;\\, y_2)$ — решения системы уравнений
$$\\begin{cases} x^2 - y = 21, \\\\[4pt] x + y = 9. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Метод подстановки</b> для системы уравнений: выражаем одну переменную через другую и подставляем.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> для $x^2+px+q=0$ корни $x_1,x_2$ удовлетворяют $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из второго уравнения системы выразим $y$ через $x$:
$$y = 9 - x$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим это выражение в первое уравнение:
$$x^2 - (9-x) = 21$$
$$x^2 + x - 30 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1+x_2=-1$, $x_1\\cdot x_2=-30$. Подходят $-6$ и $5$:
$$(x+6)(x-5)=0 \\implies x_1=-6,\\; x_2=5$$
<b>Шаг 4.</b> Для каждого корня находим соответствующий $y$ по формуле $y=9-x$:
<table style="border-collapse:collapse;margin:8px 0"><tr><td style="padding:2px 14px 2px 0"><b>$x_1=-6$:</b></td><td>$y_1=9-(-6)=15$</td></tr><tr><td style="padding:2px 14px 2px 0"><b>$x_2=5$:</b></td><td>$y_2=9-5=4$</td></tr></table>
<b>Шаг 5.</b> Вычисляем нужное выражение:
$$x_1 x_2 + y_1 y_2 = (-6)\\cdot 5 + 15\\cdot 4 = -30+60 = 30$$
<div class="sol-ans">Ответ: $30$</div>`
},
{
text: `Функция $y = f(x)$ нечётная и для $x > 0$ задаётся формулой
$f(x) = -x^2 - \\dfrac{1}{x}$.
Найдите значение выражения $f(-2) - f\\!\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)$.`,
sol: `<b>Свойство нечётной функции:</b> $f(-x)=-f(x)$ для всех $x$ из области определения.
<br><b>Идея решения:</b> формула $f(x)=-x^2-\\dfrac{1}{x}$ дана только при $x\\gt 0$. Чтобы найти значения функции в отрицательных точках, используем свойство нечётности: $f(-a)=-f(a)$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Вычисляем $f(2)$ по данной формуле (так как $2\\gt 0$):
$$f(2) = -2^2 - \\dfrac{1}{2} = -4 - \\dfrac{1}{2} = -\\dfrac{9}{2}$$
<b>Шаг 2.</b> Так как функция нечётная, то $f(-2) = -f(2)$:
$$f(-2) = -\\left(-\\dfrac{9}{2}\\right) = \\dfrac{9}{2}$$
<b>Шаг 3.</b> Вычисляем $f\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)$ по той же формуле (так как $\\dfrac{1}{2}\\gt 0$):
$$f\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right) = -\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2 - \\dfrac{1}{1/2} = -\\dfrac{1}{4} - 2 = -\\dfrac{9}{4}$$
<b>Шаг 4.</b> По свойству нечётности:
$$f\\!\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = -f\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right) = -\\left(-\\dfrac{9}{4}\\right) = \\dfrac{9}{4}$$
<b>Шаг 5.</b> Находим требуемую разность:
$$f(-2) - f\\!\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = \\dfrac{9}{2} - \\dfrac{9}{4} = \\dfrac{18}{4} - \\dfrac{9}{4} = \\dfrac{9}{4}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{9}{4}$</div>`
},
{
text: `В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности
делит гипотенузу на отрезки длиной $5$ см и $3$ см.
Найдите площадь треугольника.`,
sol: `<b>Обозначения.</b> Пусть прямой угол в точке $C$, катеты $CA=b$, $CB=a$, гипотенуза $AB=c$. Вписанная окружность имеет радиус $r$ и касается гипотенузы в точке $P$: $AP=5$, $PB=3$.
<svg viewBox="0 0 200 180" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<path d="M20,158 L32,158 L32,146" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.3"/>
<line x1="20" y1="18" x2="20" y2="158" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="158" x2="115" y2="158" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="115" y1="158" x2="20" y2="18" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="51" cy="127" r="31" fill="rgba(37,99,235,0.09)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
<line x1="51" y1="127" x2="20" y2="127" stroke="#2563eb" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="51" y1="127" x2="51" y2="158" stroke="#2563eb" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<circle cx="20" cy="127" r="2.5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="51" cy="158" r="2.5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="77" cy="109" r="2.5" fill="#dc2626"/>
<text x="6" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="117" y="168" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="5" y="168" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="79" y="106" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">P</text>
<text x="7" y="95" font-size="10" fill="#2563eb">r</text>
<text x="33" y="170" font-size="10" fill="#2563eb">r</text>
<text x="40" y="88" font-size="11" fill="#c2410c" font-weight="bold">5</text>
<text x="96" y="140" font-size="11" fill="#c2410c" font-weight="bold">3</text>
<text x="7" y="57" font-size="10" fill="#475569">5</text>
<text x="38" y="168" font-size="10" fill="#475569">r</text>
<text x="7" y="147" font-size="10" fill="#475569">r</text>
</svg>
<b>Шаг 1. Свойство касательных.</b>
<br>Из каждой вершины отрезки до двух точек касания равны. Поэтому:
<ul>
<li>Из $A$: касательная к гипотенузе $AP=5$, касательная к катету $CA$ тоже $=5$.</li>
<li>Из $B$: касательная к гипотенузе $BP=3$, касательная к катету $CB$ тоже $=3$.</li>
<li>Из $C$ (прямой угол): обе касательные равны $r$.</li>
</ul>
Значит:
$$AB = 5+3 = 8\\text{ см}, \\quad CA = 5+r, \\quad CB = 3+r$$
<b>Шаг 2. Теорема Пифагора.</b>
$$CA^2 + CB^2 = AB^2$$
$$(5+r)^2 + (3+r)^2 = 8^2$$
Раскрываем скобки:
$$(25+10r+r^2)+(9+6r+r^2)=64$$
$$2r^2+16r+34=64$$
$$2r^2+16r-30=0$$
$$r^2+8r-15=0 \\quad (*)$$
<b>Шаг 3. Площадь без нахождения $r$.</b>
<br>Площадь прямоугольного треугольника:
$$S=\\dfrac{1}{2}\\cdot CA\\cdot CB = \\dfrac{1}{2}(5+r)(3+r)$$
Раскрываем скобки:
$$S=\\dfrac{1}{2}\\bigl(15+8r+r^2\\bigr)$$
Из уравнения $(*)$: $r^2+8r=15$. Подставляем:
$$S=\\dfrac{1}{2}\\bigl(15+15\\bigr)=\\dfrac{1}{2}\\cdot30=15\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $15$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v02.js
+197
View File
@@ -0,0 +1,197 @@
VARIANTS[2] = {
label: "Вариант 2",
tasks: [
{
text: `Какое из следующих чисел является натуральным:`,
opts: [
["а", "$-6$"], ["б", "$0$"], ["в", "$2{,}5$"],
["г", "$\\dfrac{7}{30}$"], ["д", "$143$"],
],
sol: `Натуральные числа — это 1, 2, 3, … (положительные целые).
<ul>
<li>а) $-6$ — отрицательное;</li>
<li>б) $0$ — нуль, не натуральное;</li>
<li>в) $2{,}5$ — дробное;</li>
<li>г) $\\dfrac{7}{30}$ — правильная дробь;</li>
<li>д) $143$ — натуральное ✓</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$143$</div>`
},
{
text: `Результат упрощения выражения $4a^6 : a^{-12}$ имеет вид:`,
opts: [
["а", "$4a^{-6}$"], ["б", "$4a^6$"], ["в", "$\\dfrac{4}{a^{18}}$"],
["г", "$4a^{18}$"], ["д", "$\\dfrac{a^6}{4}$"],
],
sol: `При делении степеней с одним основанием показатели <em>вычитаются</em>:
$$4a^6 : a^{-12} = 4\\cdot a^{6-(-12)} = 4\\cdot a^{6+12} = 4a^{18}$$
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$4a^{18}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;"],
["б", "сумма смежных углов равна $180^{\\circ}$;"],
["в", "у любого параллелограмма все стороны равны;"],
["г", "диагонали любого ромба перпендикулярны?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Углы при основании равнобедренного треугольника равны — <b>верно</b></li>
<li>б) Сумма смежных углов равна $180°$ — <b>верно</b></li>
<li>в) У любого параллелограмма все стороны равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>г) Диагонали любого ромба перпендикулярны — <b>верно</b></li>
</ul>
Все стороны равны лишь у <b>ромба</b> — частного случая параллелограмма; в общем параллелограмме противоположные стороны равны, но смежные стороны могут различаться.
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Определите наименьшее целое решение совокупности неравенств
$$\\left[\\begin{array}{l} x^2 - 4x \\leq 0, \\\\[4pt] x > -1{,}5. \\end{array}\\right.$$`,
sol: `Совокупность «$[\\,$» означает объединение: решение удовлетворяет <em>хотя бы одному</em> из неравенств.
<br><b>Неравенство 1:</b> $x^2-4x\\leq 0\\Rightarrow x(x-4)\\leq 0\\Rightarrow 0\\leq x\\leq 4$
<br><b>Неравенство 2:</b> $x>-1{,}5$
<br>Объединение: $(0\\leq x\\leq 4)\\cup(x>-1{,}5) = x>-1{,}5$
<svg viewBox="0 0 268 50" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:268px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0"><defs><marker id="arrv2t4" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs><line x1="8" y1="25" x2="256" y2="25" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#arrv2t4)"/><line x1="70" y1="21" x2="70" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="70" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">&#x2212;1</text><line x1="120" y1="21" x2="120" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="120" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text><line x1="170" y1="21" x2="170" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="170" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">1</text><line x1="220" y1="21" x2="220" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="220" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">2</text><line x1="45" y1="25" x2="250" y2="25" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/><circle cx="45" cy="25" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/><text x="45" y="14" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">&#x2212;1,5</text></svg>Наименьшее целое число, большее $-1{,}5$: это $-1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-1$</div>`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{x^2 + x - 12}{x^2 + 8x + 16}$
и найдите значение полученной дроби при $x = -3$.`,
sol: `<b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><b>Формула квадрата суммы:</b> $(x+a)^2 = x^2+2ax+a^2$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Разложим <em>числитель</em> на множители. Ищем числа с суммой $-1$ и произведением $-12$. Подходят $-3$ и $4$:
$$x^2+x-12 = (x+4)(x-3)$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим <em>знаменатель</em>. Это полный квадрат:
$$x^2+8x+16 = x^2+2\\cdot 4\\cdot x + 4^2 = (x+4)^2$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(x+4)$ (так как $x\\neq -4$, иначе знаменатель равен нулю):
$$\\dfrac{(x+4)(x-3)}{(x+4)^2} = \\dfrac{x-3}{x+4}$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $x=-3$:
$$\\dfrac{-3-3}{-3+4} = \\dfrac{-6}{1} = -6$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-6$</div>`
},
{
text: `Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AD = 8$ см.
Высота, проведённая из вершины $A$ к стороне $BC$, равна $4$ см.
Найдите площадь треугольника $AOD$.`,
sol: `<b>Свойства параллелограмма:</b> противоположные стороны равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам и разбивают параллелограмм на <b>4 равновеликих треугольника</b>.
<br><b>Формула площади параллелограмма:</b> $S = a\\cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота к ней.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Так как $AD$ и $BC$ — противоположные стороны параллелограмма, то $BC = AD = 8$ см.
<br><b>Шаг 2.</b> Высота из вершины $A$ к стороне $BC$ длиной $4$ см — это расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$.
<br><b>Шаг 3.</b> Находим площадь всего параллелограмма:
$$S_{ABCD} = AD\\cdot h = 8\\cdot 4 = 32\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 4.</b> Точка $O$ — пересечение диагоналей. Диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника:
<svg viewBox="0 0 250 145" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:250px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0"><polygon points="20,118 205,118 222,28 37,28" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/><polygon points="20,118 222,28 115,73" fill="rgba(37,99,235,0.25)" stroke="none"/><line x1="20" y1="118" x2="222" y2="28" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/><line x1="205" y1="118" x2="37" y2="28" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/><circle cx="115" cy="73" r="3" fill="#1e293b"/><text x="4" y="123" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text><text x="208" y="123" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text><text x="224" y="24" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text><text x="26" y="24" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text><text x="120" y="70" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">O</text><text x="72" y="100" font-size="11" fill="#1d4ed8" text-anchor="middle">S/4</text></svg>
<b>Шаг 5.</b> Значит:
$$S_{AOD} = \\dfrac{S_{ABCD}}{4} = \\dfrac{32}{4} = 8\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $8$ см²</div>`
},
{
text: `Отчисления в бюджет по фиксированной ставке с доходов физических лиц
в Беларуси составляют $13\\%$ от заработной платы. После удержания налога
на доходы сотрудник предприятия получил $1131$ р.
Сколько рублей составляет заработная плата сотрудника без вычета налога?`,
sol: `<b>Метод уравнения для задачи на проценты:</b> неизвестную величину обозначаем переменной и выражаем условие задачи как уравнение.
<br><b>Свойство:</b> если из величины удерживают $p\\%$, то остаётся $(100-p)\\%$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Обозначим за $x$ заработную плату сотрудника до удержания налога.
<br><b>Шаг 2.</b> По условию налог $= 13\\%$ от $x$. Значит, на руки сотрудник получает оставшиеся $100\\%-13\\%=87\\%$ от $x$:
$$0{,}87\\cdot x = 1131$$
<b>Шаг 3.</b> Делим обе части уравнения на $0{,}87$:
$$x = \\dfrac{1131}{0{,}87} = \\dfrac{1131\\cdot 100}{87} = \\dfrac{113100}{87}$$
<b>Шаг 4.</b> Выполняем деление: $113100:87 = 1300$.
$$x = 1300\\text{ р.}$$
<b>Проверка:</b> $13\\%$ от $1300$ — это $0{,}13\\cdot 1300=169$ р.; на руки $1300-169=1131$ р. ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $1300$ р.</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $x_1 \\cdot x_2 + y_1 \\cdot y_2$,
где $(x_1;\\, y_1)$, $(x_2;\\, y_2)$ — решения системы уравнений
$$\\begin{cases} x^2 - y = 16, \\\\[4pt] x + y = 4. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Метод подстановки</b> для системы уравнений: выражаем одну переменную через другую и подставляем.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> для $x^2+px+q=0$ корни $x_1,x_2$ удовлетворяют $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$$y = 4 - x$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим в первое уравнение:
$$x^2 - (4-x) = 16$$
$$x^2 + x - 20 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> По теореме Виета ищем корни: $x_1+x_2=-1$, $x_1\\cdot x_2=-20$. Подходят $-5$ и $4$:
$$(x+5)(x-4)=0 \\implies x_1=-5,\\; x_2=4$$
<b>Шаг 4.</b> По формуле $y = 4-x$ находим $y$ для каждого корня:
<table style="border-collapse:collapse;margin:8px 0"><tr><td style="padding:2px 14px 2px 0"><b>$x_1=-5$:</b></td><td>$y_1=4-(-5)=9$</td></tr><tr><td style="padding:2px 14px 2px 0"><b>$x_2=4$:</b></td><td>$y_2=4-4=0$</td></tr></table>
<b>Шаг 5.</b> Вычисляем требуемое выражение:
$$x_1 x_2 + y_1 y_2 = (-5)\\cdot 4 + 9\\cdot 0 = -20+0 = -20$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-20$</div>`
},
{
text: `Функция $y = f(x)$ нечётная и для $x > 0$ задаётся формулой
$f(x) = \\dfrac{1}{x} - x^2$.
Найдите значение выражения $f\\!\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) - f(-3)$.`,
sol: `<b>Свойство нечётной функции:</b> $f(-x)=-f(x)$ для всех $x$ из области определения.
<br><b>Идея решения:</b> формула задана только при $x\\gt 0$. Чтобы найти значения функции в отрицательных точках, применяем свойство нечётности.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Вычислим $f\\!\\left(\\dfrac{1}{3}\\right)$ по данной формуле (так как $\\dfrac{1}{3}\\gt 0$):
$$f\\!\\left(\\dfrac{1}{3}\\right) = \\dfrac{1}{1/3} - \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^2 = 3 - \\dfrac{1}{9} = \\dfrac{27-1}{9} = \\dfrac{26}{9}$$
<b>Шаг 2.</b> По свойству нечётности:
$$f\\!\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) = -f\\!\\left(\\dfrac{1}{3}\\right) = -\\dfrac{26}{9}$$
<b>Шаг 3.</b> Вычислим $f(3)$ по той же формуле:
$$f(3) = \\dfrac{1}{3} - 3^2 = \\dfrac{1}{3} - 9 = \\dfrac{1-27}{3} = -\\dfrac{26}{3}$$
<b>Шаг 4.</b> По свойству нечётности:
$$f(-3) = -f(3) = -\\left(-\\dfrac{26}{3}\\right) = \\dfrac{26}{3}$$
<b>Шаг 5.</b> Находим требуемую разность. Приведём дроби к общему знаменателю $9$:
$$f\\!\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) - f(-3) = -\\dfrac{26}{9} - \\dfrac{26}{3} = -\\dfrac{26}{9} - \\dfrac{78}{9} = -\\dfrac{104}{9}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{104}{9}$</div>`
},
{
text: `В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности
делит гипотенузу на отрезки длиной $4$ см и $3$ см.
Найдите площадь треугольника.`,
sol: `<b>Обозначения.</b> Пусть прямой угол в точке $C$, катеты $CA=b$, $CB=a$, гипотенуза $AB=c$. Вписанная окружность касается гипотенузы в точке $P$: $AP=4$, $PB=3$.
<svg viewBox="0 0 200 180" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<path d="M20,158 L32,158 L32,146" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.3"/>
<line x1="20" y1="18" x2="20" y2="158" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="158" x2="115" y2="158" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="115" y1="158" x2="20" y2="18" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="51" cy="127" r="31" fill="rgba(37,99,235,0.09)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
<line x1="51" y1="127" x2="20" y2="127" stroke="#2563eb" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="51" y1="127" x2="51" y2="158" stroke="#2563eb" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<circle cx="20" cy="127" r="2.5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="51" cy="158" r="2.5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="77" cy="109" r="2.5" fill="#dc2626"/>
<text x="6" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="117" y="168" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="5" y="168" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="79" y="106" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">P</text>
<text x="7" y="95" font-size="10" fill="#2563eb">r</text>
<text x="33" y="170" font-size="10" fill="#2563eb">r</text>
<text x="40" y="88" font-size="11" fill="#c2410c" font-weight="bold">4</text>
<text x="96" y="140" font-size="11" fill="#c2410c" font-weight="bold">3</text>
<text x="7" y="57" font-size="10" fill="#475569">4</text>
<text x="38" y="168" font-size="10" fill="#475569">r</text>
<text x="7" y="147" font-size="10" fill="#475569">r</text>
</svg>
<b>Шаг 1. Свойство касательных.</b>
<br>Из каждой вершины отрезки до двух точек касания равны:
<ul>
<li>Из $A$: касательная к гипотенузе $AP=4$, касательная к катету $CA$ тоже $=4$.</li>
<li>Из $B$: касательная к гипотенузе $BP=3$, касательная к катету $CB$ тоже $=3$.</li>
<li>Из $C$ (прямой угол): обе касательные равны $r$.</li>
</ul>
Значит:
$$AB = 4+3 = 7\\text{ см}, \\quad CA = 4+r, \\quad CB = 3+r$$
<b>Шаг 2. Теорема Пифагора.</b>
$$(4+r)^2 + (3+r)^2 = 7^2$$
$$16+8r+r^2+9+6r+r^2=49$$
$$2r^2+14r+25=49$$
$$2r^2+14r-24=0$$
$$r^2+7r-12=0 \\quad (*)$$
<b>Шаг 3. Площадь без нахождения $r$.</b>
$$S=\\dfrac{1}{2}(4+r)(3+r)=\\dfrac{1}{2}\\bigl(12+7r+r^2\\bigr)$$
Из уравнения $(*)$: $r^2+7r=12$. Подставляем:
$$S=\\dfrac{1}{2}\\bigl(12+12\\bigr)=\\dfrac{1}{2}\\cdot24=12\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $12$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v03.js
+231
View File
@@ -0,0 +1,231 @@
VARIANTS[3] = {
label: "Вариант 3",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из следующих равенств верно:`,
opts: [
["а", "$a^2 \\cdot a^8 = a^{10}$"], ["б", "$a^2 \\cdot a^8 = 10a$"],
["в", "$a^2 \\cdot a^8 = a^{16}$"], ["г", "$a^2 \\cdot a^8 = a^6$"],
["д", "$a^2 \\cdot a^8 = a^{64}$"],
],
sol: `При умножении степеней с одним основанием показатели <em>складываются</em>:
$$a^2 \\cdot a^8 = a^{2+8} = a^{10}$$
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$a^{10}$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $17\\dfrac{11}{23} - 5\\dfrac{14}{23}$ равно:`,
opts: [
["а", "$12\\dfrac{3}{23}$"], ["б", "$11\\dfrac{20}{23}$"],
["в", "$12\\dfrac{20}{23}$"], ["г", "$11\\dfrac{19}{23}$"],
["д", "$13\\dfrac{1}{23}$"],
],
sol: `$$17\\tfrac{11}{23} - 5\\tfrac{14}{23} = (17-5) + \\left(\\tfrac{11}{23}-\\tfrac{14}{23}\\right) = 12 - \\tfrac{3}{23} = 11\\tfrac{23}{23} - \\tfrac{3}{23} = 11\\tfrac{20}{23}$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$11\\dfrac{20}{23}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "на плоскости через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной;"],
["б", "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;"],
["в", "у прямоугольника диагонали равны между собой;"],
["г", "сумма всех углов квадрата равна $180^{\\circ}$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Единственная перпендикуляр из точки к прямой — <b>верно</b></li>
<li>б) Углы при основании равнобедренного треугольника равны — <b>верно</b></li>
<li>в) Диагонали прямоугольника равны — <b>верно</b></li>
<li>г) Сумма углов квадрата = $180°$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
Квадрат — четырёхугольник, сумма его углов $= 4\\times 90^\\circ = 360^\\circ \\neq 180^\\circ$.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Определите количество целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} x \\leq 7, \\\\[4pt] 3 - x < 0. \\end{cases}$$`,
sol: `Из второго неравенства: $3-x < 0 \\Rightarrow x > 3$.
<br>Система: $3 < x \\leq 7$
<br>Целые числа: $4,\\ 5,\\ 6,\\ 7$ — ровно <b>4</b> числа.
<div class="sol-ans">Ответ: 4</div>`
},
{
text: `В окружность с радиусом $10$ см вписан треугольник, одна из сторон которого
является диаметром, а другая — равна $16$ см. Найдите площадь этого треугольника.`,
sol: `<b>Теорема Фалеса (о вписанном угле):</b> вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой ($90°$).
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза.
<br><b>Формула площади прямоугольного треугольника:</b> $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$ (полупроизведение катетов).
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Одна сторона треугольника — диаметр окружности, значит:
$$d = 2R = 2\\cdot 10 = 20\\text{ см}$$
<b>Шаг 2.</b> По теореме Фалеса вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90°$. Значит, треугольник <em>прямоугольный</em>, а его гипотенуза $= 20$ см.
<svg viewBox="0 0 200 115" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<circle cx="100" cy="60" r="55" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="45,60 155,60 100,5" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<path d="M97,5 L97,17 L109,17" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<text x="30" y="73" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="158" y="73" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="98" y="0" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="90" y="80" font-size="10" fill="#2563eb">20 см</text>
<text x="55" y="38" font-size="10" fill="#e11d48">16 см</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> По условию один катет равен $16$ см. По теореме Пифагора находим второй катет:
$$b = \\sqrt{20^2-16^2} = \\sqrt{400-256} = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}$$
<b>Шаг 4.</b> Площадь прямоугольного треугольника — полупроизведение катетов:
$$S = \\tfrac{1}{2}\\cdot 16\\cdot 12 = 96\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $96$ см²</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{a - 7}{a - 2\\sqrt{7a} + 7}$ при $a = 28$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Формула квадрата разности:</b> $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
<br><b>Идея:</b> при работе с радикалами полезно представить $a$ как $(\\sqrt{a})^2$, чтобы увидеть структуру формул сокращённого умножения.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Разложим <em>знаменатель</em>. Представим $a = (\\sqrt{a})^2$ и $7=(\\sqrt{7})^2$. Тогда:
$$a - 2\\sqrt{7a} + 7 = (\\sqrt{a})^2 - 2\\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{7} + (\\sqrt{7})^2 = (\\sqrt{a}-\\sqrt{7})^2$$
(это квадрат разности).
<br><b>Шаг 2.</b> Разложим <em>числитель</em> по формуле разности квадратов:
$$a - 7 = (\\sqrt{a})^2 - (\\sqrt{7})^2 = (\\sqrt{a}-\\sqrt{7})(\\sqrt{a}+\\sqrt{7})$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(\\sqrt{a}-\\sqrt{7})$:
$$\\dfrac{(\\sqrt{a}-\\sqrt{7})(\\sqrt{a}+\\sqrt{7})}{(\\sqrt{a}-\\sqrt{7})^2} = \\dfrac{\\sqrt{a}+\\sqrt{7}}{\\sqrt{a}-\\sqrt{7}}$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $a=28$. Заметим, что $\\sqrt{28} = \\sqrt{4\\cdot 7} = 2\\sqrt{7}$:
$$\\dfrac{\\sqrt{28}+\\sqrt{7}}{\\sqrt{28}-\\sqrt{7}} = \\dfrac{2\\sqrt{7}+\\sqrt{7}}{2\\sqrt{7}-\\sqrt{7}} = \\dfrac{3\\sqrt{7}}{\\sqrt{7}} = 3$$
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
},
{
text: `Функция задана формулой $f(x) = \\dfrac{5}{x}$.
Расположите в порядке возрастания $f(-3{,}5)$, $f(-10{,}3)$, $f(-\\sqrt{5})$.
Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Свойство гиперболы $y=\\dfrac{k}{x}$ при $k\\gt 0$:</b> функция <em>убывает</em> на каждом из промежутков $(-\\infty;0)$ и $(0;+\\infty)$.
<br><b>Правило сравнения значений убывающей функции:</b> чем больше аргумент, тем меньше значение функции (на промежутке убывания).
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Определим характер функции. У функции $f(x)=\\dfrac{5}{x}$ коэффициент $k=5\\gt 0$, поэтому на промежутке $(-\\infty;0)$ функция <b>убывает</b>.
<br><b>Шаг 2.</b> Все три аргумента отрицательны, значит, лежат на промежутке убывания. Сравним их между собой.
<br>Оценим $\\sqrt{5}$: так как $2^2=4\\lt 5\\lt 9=3^2$, имеем $2\\lt\\sqrt{5}\\lt 3$, точнее $\\sqrt{5}\\approx 2{,}24$, поэтому $-\\sqrt{5}\\approx -2{,}24$.
<br>Расставим аргументы по возрастанию (от меньшего к большему на числовой прямой):
$$-10{,}3 \\lt -3{,}5 \\lt -\\sqrt{5}$$
<b>Шаг 3.</b> Так как функция $f$ убывает, при увеличении аргумента значение $f$ уменьшается. Значит, неравенства между значениями функции имеют противоположный смысл:
$$f(-10{,}3) \\gt f(-3{,}5) \\gt f(-\\sqrt{5})$$
<b>Шаг 4.</b> Перепишем «по возрастанию» (от меньшего к большему):
$$f(-\\sqrt{5}) \\lt f(-3{,}5) \\lt f(-10{,}3)$$
<b>Проверка вычислением:</b> $f(-\\sqrt{5})=-\\dfrac{5}{\\sqrt{5}}=-\\sqrt{5}\\approx -2{,}24$; $f(-3{,}5)\\approx -1{,}43$; $f(-10{,}3)\\approx -0{,}49$. Действительно, $-2{,}24\\lt -1{,}43\\lt -0{,}49$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ (по возрастанию): $f(-\\sqrt{5}) \\lt f(-3{,}5) \\lt f(-10{,}3)$</div>`
},
{
text: `Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел,
которые при делении на $13$ дают в остатке $7$.`,
sol: `<b>Теорема о делении с остатком:</b> если число $n$ при делении на $d$ даёт остаток $r$, то $n = d\\cdot k + r$, где $k$ — натуральное число или ноль.
<br><b>Формула суммы арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2}$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем общий вид искомых чисел. По условию число делится на $13$ с остатком $7$, поэтому имеет вид:
$$n = 13k + 7,\\quad k = 0, 1, 2, \\ldots$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём, какие значения $k$ дают двузначные числа. Должно выполняться: $10\\leq 13k+7\\leq 99$.
<br>Левое неравенство: $13k\\geq 3 \\Rightarrow k\\geq 1$ (так как $k$ — целое).
<br>Правое неравенство: $13k\\leq 92 \\Rightarrow k\\leq 7$ (так как $13\\cdot 7=91\\leq 92$, а $13\\cdot 8=104\\gt 92$).
<br>Итак, $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ — всего $7$ значений.
<br><b>Шаг 3.</b> Выпишем все двузначные числа, удовлетворяющие условию:
$$20,\\ 33,\\ 46,\\ 59,\\ 72,\\ 85,\\ 98$$
Это <b>арифметическая прогрессия</b> с первым членом $a_1=20$, разностью $d=13$ и числом членов $n=7$. Последний член $a_7=98$.
<br><b>Шаг 4.</b> По формуле суммы арифметической прогрессии:
$$S = \\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2} = \\dfrac{(20+98)\\cdot 7}{2} = \\dfrac{118\\cdot 7}{2} = 59\\cdot 7 = 413$$
<div class="sol-ans">Ответ: $413$</div>`
},
{
text: `Внутри угла $A$, равного $60^{\\circ}$, взята точка $M$.
Расстояния от точки $M$ до сторон угла равны $4$ см и $8$ см.
Найдите расстояние от точки $M$ до вершины угла $A$.`,
sol: `Опустим перпендикуляры $MH_1=4$ и $MH_2=8$ на стороны угла.
<svg viewBox="0 0 215 158" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:215px;width:100%;height:auto;display:block;margin:12px 0">
<!-- описанная окружность (диаметр = AM) -->
<circle cx="80" cy="88" r="62" fill="none" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- диаметр AM -->
<line x1="22" y1="108" x2="138" y2="68" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,3"/>
<text x="62" y="97" font-size="8" fill="#94a3b8" font-style="italic">d=AM</text>
<!-- четырёхугольник AH₁MH₂ -->
<polygon points="22,108 138,108 138,68 69,28" fill="rgba(37,99,235,0.1)" stroke="#2563eb" stroke-width="0.8" stroke-dasharray="3,2"/>
<!-- стороны угла -->
<line x1="22" y1="108" x2="192" y2="108" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="22" y1="108" x2="72" y2="21" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- дуга 60° при A -->
<path d="M52,108 A30,30 0 0,0 37,82" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2"/>
<text x="55" y="97" font-size="10" fill="#555">60°</text>
<!-- метка A -->
<text x="5" y="114" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<!-- точка M -->
<circle cx="138" cy="68" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<text x="143" y="67" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
<!-- MH₁: перпендикуляр к нижней стороне (вертикальный) -->
<line x1="138" y1="68" x2="138" y2="108" stroke="#2563eb" stroke-width="2" stroke-dasharray="4,2"/>
<path d="M131,108 L131,101 L138,101" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.3"/>
<circle cx="138" cy="108" r="2.5" fill="#2563eb"/>
<text x="141" y="93" font-size="12" fill="#2563eb" font-weight="bold">4</text>
<text x="128" y="122" font-size="10" fill="#334155">H₁</text>
<!-- MH₂: перпендикуляр к верхней стороне -->
<!-- верхняя сторона: направление (0.5, -0.866); нормаль к ней (0.866, 0.5) -->
<!-- H₂ = M - 80×(0.866,0.5) = (138-69.3, 68-40) = (68.7,28) ≈ (69,28) -->
<line x1="138" y1="68" x2="69" y2="28" stroke="#e11d48" stroke-width="2" stroke-dasharray="4,2"/>
<!-- прямой угол при H₂: вдоль верхней стороны (0.5,-0.866) на 7px, вдоль нормали (0.866,0.5) на 7px -->
<!-- P1 = H₂+7×(0.5,-0.866)=(69+3.5,28-6.1)=(72.5,21.9) -->
<!-- P2 = H₂+7×(0.866,0.5)=(69+6.1,28+3.5)=(75.1,31.5) -->
<!-- corner = P1+7×(0.866,0.5)=(72.5+6.1,21.9+3.5)=(78.6,25.4) -->
<path d="M72.5,21.9 L78.6,25.4 L75.1,31.5" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.3"/>
<circle cx="69" cy="28" r="2.5" fill="#e11d48"/>
<text x="97" y="42" font-size="12" fill="#e11d48" font-weight="bold">8</text>
<text x="55" y="22" font-size="10" fill="#334155">H₂</text>
<!-- хорда H₁H₂ -->
<line x1="138" y1="108" x2="69" y2="28" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
<!-- метка 4√7 рядом с серединой хорды -->
<text x="86" y="75" font-size="10" fill="#16a34a" font-weight="bold">4√7</text>
<!-- дуга 120° при M -->
<!-- начало: M + 22×(0,1) = (138,90) [на луче MH₁, вниз] -->
<!-- конец: M + 22×(-0.866,-0.5) = (138-19.05,68-11)=(119,57) [на луче MH₂] -->
<!-- по часовой стрелке sweep=1, large-arc=0 -->
<path d="M138,90 A22,22 0 0,1 119,57" fill="none" stroke="#333" stroke-width="1.5"/>
<!-- метка 120° у середины дуги: θ≈150° от M -->
<!-- M + 30×(cos150°,sin150°) = (138+30×(-0.866),68+30×(-0.5)) = (138-26,68-15) = (112,53) -->
<text x="100" y="53" font-size="10" fill="#333" font-weight="bold">120°</text>
<!-- центр описанной окружности -->
<circle cx="80" cy="88" r="2" fill="#94a3b8"/>
<text x="83" y="86" font-size="8" fill="#94a3b8" font-style="italic">O</text>
</svg>
<b>Шаг 1 — угол при M.</b><br>
Четырёхугольник $AH_1MH_2$ имеет три известных угла. Так как сумма углов любого четырёхугольника равна $360°$:
$$\\angle H_1MH_2 = 360° - \\underbrace{90°}_{\\angle H_1} - \\underbrace{60°}_{\\angle A} - \\underbrace{90°}_{\\angle H_2} = \\boldsymbol{120°}$$
<b>Шаг 2 — длина отрезка H₁H₂.</b><br>
Теорема косинусов в $\\triangle H_1MH_2$:
$$H_1H_2^2 = 4^2 + 8^2 - 2\\cdot4\\cdot8\\cdot\\cos120° = 16+64-64\\cdot\\left(-\\tfrac{1}{2}\\right) = 112$$
$$H_1H_2 = 4\\sqrt{7}$$
<b>Шаг 3 — четыре точки на одной окружности.</b><br>
Так как $\\angle AH_1M = \\angle AH_2M = 90°$, по <b>обратной теореме Фалеса</b>: точки $H_1$ и $H_2$ лежат на окружности с диаметром $AM$.<br>
Итого все четыре точки $A, H_1, H_2, M$ вписаны в одну окружность, диаметр которой равен $AM$.
<br><br>
<b>Шаг 4 — теорема синусов.</b><br>
В описанной окружности (диаметр $= AM$) вписанный угол $\\angle H_1AH_2 = 60°$ опирается на хорду $H_1H_2$.
По <b>теореме синусов</b>:
$$\\dfrac{H_1H_2}{\\sin\\angle H_1AH_2} = AM \\implies \\dfrac{4\\sqrt{7}}{\\sin 60°} = AM$$
$$AM = \\dfrac{4\\sqrt{7}}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{8\\sqrt{7}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{8\\sqrt{21}}{3} \\approx 12{,}2\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{8\\sqrt{21}}{3}$ см</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $(x^2 + 4x + 5)^2 - 16(x^2 + 4x + 5) = 17$.
В ответ запишите целые корни уравнения,
удовлетворяющие неравенству $|x| \\leq 3$.`,
sol: `<b>Метод замены переменной:</b> если в уравнении повторяется одно и то же выражение, удобно обозначить его новой буквой и решить как обычное квадратное уравнение.
<br><b>Теорема Виета (обратная)</b> для $t^2+pt+q=0$: $t_1+t_2=-p$, $t_1\\cdot t_2=q$.
<br><b>Дискриминант:</b> $D=b^2-4ac$; при $D\\lt 0$ корней нет.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Замечаем, что выражение $x^2+4x+5$ встречается дважды. Сделаем замену:
$$t = x^2+4x+5$$
Тогда уравнение примет вид:
$$t^2 - 16t - 17 = 0$$
<b>Шаг 2.</b> По теореме Виета: $t_1+t_2=16$, $t_1\\cdot t_2=-17$. Подходят $17$ и $-1$:
$$(t-17)(t+1)=0 \\implies t=17 \\text{ или } t=-1$$
<b>Шаг 3.</b> Возвращаемся к переменной $x$. Рассмотрим два случая.
<br><b>Случай 1:</b> $x^2+4x+5=17$, то есть $x^2+4x-12=0$.
<br>Раскладываем: $(x+6)(x-2)=0 \\Rightarrow x=-6$ или $x=2$.
<br>Проверяем условие $|x|\\leq 3$: $x=2$ подходит, $x=-6$ — нет.
<br><b>Случай 2:</b> $x^2+4x+5=-1$, то есть $x^2+4x+6=0$.
<br>Дискриминант: $D=16-24=-8\\lt 0$, значит вещественных корней нет.
<br><b>Шаг 4.</b> Из всех найденных корней условию $|x|\\leq 3$ удовлетворяет только $x=2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x=2$</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v04.js
+216
View File
@@ -0,0 +1,216 @@
VARIANTS[4] = {
label: "Вариант 4",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из следующих равенств верно:`,
opts: [
["а", "$b^2 \\cdot b^9 = b^{18}$"], ["б", "$b^2 \\cdot b^9 = 11b$"],
["в", "$b^2 \\cdot b^9 = b^{11}$"], ["г", "$b^2 \\cdot b^9 = b^7$"],
["д", "$b^2 \\cdot b^9 = 18b$"],
],
sol: `При умножении степеней с одним основанием показатели <em>складываются</em>:
$$b^2 \\cdot b^9 = b^{2+9} = b^{11}$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$b^{11}$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $14\\dfrac{10}{21} - 2\\dfrac{12}{21}$ равно:`,
opts: [
["а", "$12\\dfrac{2}{21}$"], ["б", "$12\\dfrac{19}{21}$"],
["в", "$11\\dfrac{19}{21}$"], ["г", "$10\\dfrac{19}{21}$"],
["д", "$11\\dfrac{2}{21}$"],
],
sol: `$$14\\tfrac{10}{21} - 2\\tfrac{12}{21} = (14-2) + \\left(\\tfrac{10}{21}-\\tfrac{12}{21}\\right) = 12 - \\tfrac{2}{21} = 11\\tfrac{21}{21} - \\tfrac{2}{21} = 11\\tfrac{19}{21}$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$11\\dfrac{19}{21}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "на плоскости через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной;"],
["б", "если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;"],
["в", "у любого прямоугольника диагонали перпендикулярны;"],
["г", "сумма двух соседних углов параллелограмма равна $180^{\\circ}$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Через точку на плоскости проходит ровно одна прямая, параллельная данной — <b>верно</b> (аксиома параллельных)</li>
<li>б) Два равных угла ⟹ равнобедренный треугольник — <b>верно</b></li>
<li>в) У любого прямоугольника диагонали перпендикулярны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>г) Сумма двух соседних углов параллелограмма $= 180°$ — <b>верно</b></li>
</ul>
Диагонали прямоугольника <em>равны</em> между собой, но не обязательно перпендикулярны — перпендикулярны диагонали ромба.
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Определите количество целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} x < 8, \\\\[4pt] 5 - x \\leq 0. \\end{cases}$$`,
sol: `Из второго неравенства: $5-x \\leq 0 \\Rightarrow x \\geq 5$.
<br>Система: $5 \\leq x \\lt 8$
<br>Целые числа: $5,\\ 6,\\ 7$ — ровно <b>3</b> числа.
<div class="sol-ans">Ответ: 3</div>`
},
{
text: `В окружность с радиусом $25$ см вписан треугольник, одна сторона которого
является диаметром, а другая — равна $14$ см. Найдите площадь этого треугольника.`,
sol: `<b>Теорема Фалеса (о вписанном угле):</b> вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $90°$.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза.
<br><b>Формула площади прямоугольного треугольника:</b> $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Одна сторона треугольника — диаметр окружности, значит:
$$d = 2R = 2\\cdot 25 = 50\\text{ см}$$
<b>Шаг 2.</b> По теореме Фалеса вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой ($90°$). Значит, треугольник <em>прямоугольный</em>, его гипотенуза $= 50$ см.
<svg viewBox="0 0 200 115" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<circle cx="100" cy="60" r="55" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="45,60 155,60 100,5" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<path d="M97,5 L97,17 L109,17" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<text x="30" y="73" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="158" y="73" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="98" y="0" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="88" y="80" font-size="10" fill="#2563eb">50 см</text>
<text x="55" y="38" font-size="10" fill="#e11d48">14 см</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> По условию один катет равен $14$ см. По теореме Пифагора находим второй катет:
$$b = \\sqrt{50^2-14^2} = \\sqrt{2500-196} = \\sqrt{2304} = 48\\text{ см}$$
<b>Шаг 4.</b> Площадь прямоугольного треугольника — полупроизведение катетов:
$$S = \\tfrac{1}{2}\\cdot 14\\cdot 48 = 336\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $336$ см²</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{b - 5}{b - 2\\sqrt{5b} + 5}$ при $b = 20$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Формула квадрата разности:</b> $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
<br><b>Идея:</b> при работе с радикалами представляем $b$ как $(\\sqrt{b})^2$, чтобы увидеть структуру формул сокращённого умножения.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Разложим <em>знаменатель</em>. Представим $b=(\\sqrt{b})^2$ и $5=(\\sqrt{5})^2$:
$$b - 2\\sqrt{5b} + 5 = (\\sqrt{b})^2 - 2\\sqrt{b}\\cdot\\sqrt{5} + (\\sqrt{5})^2 = (\\sqrt{b}-\\sqrt{5})^2$$
(это квадрат разности).
<br><b>Шаг 2.</b> Разложим <em>числитель</em> по формуле разности квадратов:
$$b - 5 = (\\sqrt{b})^2 - (\\sqrt{5})^2 = (\\sqrt{b}-\\sqrt{5})(\\sqrt{b}+\\sqrt{5})$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(\\sqrt{b}-\\sqrt{5})$:
$$\\dfrac{(\\sqrt{b}-\\sqrt{5})(\\sqrt{b}+\\sqrt{5})}{(\\sqrt{b}-\\sqrt{5})^2} = \\dfrac{\\sqrt{b}+\\sqrt{5}}{\\sqrt{b}-\\sqrt{5}}$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $b=20$. Заметим, что $\\sqrt{20} = \\sqrt{4\\cdot 5} = 2\\sqrt{5}$:
$$\\dfrac{\\sqrt{20}+\\sqrt{5}}{\\sqrt{20}-\\sqrt{5}} = \\dfrac{2\\sqrt{5}+\\sqrt{5}}{2\\sqrt{5}-\\sqrt{5}} = \\dfrac{3\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = 3$$
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
},
{
text: `Функция задана формулой $f(x) = \\dfrac{3}{x}$.
Расположите в порядке возрастания $f(-2{,}3)$, $f(-11{,}5)$, $f(-\\sqrt{3})$.
Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Свойство гиперболы $y=\\dfrac{k}{x}$ при $k\\gt 0$:</b> функция <em>убывает</em> на каждом из промежутков $(-\\infty;0)$ и $(0;+\\infty)$.
<br><b>Правило сравнения значений убывающей функции:</b> чем больше аргумент, тем меньше значение функции.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Определим характер функции. У функции $f(x)=\\dfrac{3}{x}$ коэффициент $k=3\\gt 0$, поэтому на промежутке $(-\\infty;0)$ функция <b>убывает</b>.
<br><b>Шаг 2.</b> Все три аргумента отрицательны, значит, лежат на промежутке убывания.
<br>Оценим $\\sqrt{3}$: так как $1\\lt 3\\lt 4$, то $1\\lt\\sqrt{3}\\lt 2$, точнее $\\sqrt{3}\\approx 1{,}73$, поэтому $-\\sqrt{3}\\approx -1{,}73$.
<br>Расставим аргументы по возрастанию:
$$-11{,}5 \\lt -2{,}3 \\lt -\\sqrt{3}$$
<b>Шаг 3.</b> Так как функция убывает, при увеличении аргумента значение $f$ уменьшается:
$$f(-11{,}5) \\gt f(-2{,}3) \\gt f(-\\sqrt{3})$$
<b>Шаг 4.</b> Перепишем по возрастанию (от меньшего к большему):
$$f(-\\sqrt{3}) \\lt f(-2{,}3) \\lt f(-11{,}5)$$
<b>Проверка вычислением:</b> $f(-\\sqrt{3})=-\\sqrt{3}\\approx -1{,}73$; $f(-2{,}3)\\approx -1{,}30$; $f(-11{,}5)\\approx -0{,}26$. Действительно, $-1{,}73\\lt -1{,}30\\lt -0{,}26$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ (по возрастанию): $f(-\\sqrt{3}) \\lt f(-2{,}3) \\lt f(-11{,}5)$</div>`
},
{
text: `Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел,
которые при делении на $11$ дают в остатке $6$.`,
sol: `<b>Теорема о делении с остатком:</b> если число $n$ при делении на $d$ даёт остаток $r$, то $n = d\\cdot k + r$, где $k$ — целое неотрицательное число.
<br><b>Формула суммы арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2}$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем общий вид искомых чисел. По условию число делится на $11$ с остатком $6$, поэтому имеет вид:
$$n = 11k + 6,\\quad k = 0, 1, 2, \\ldots$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём, при каких $k$ число будет двузначным: $10\\leq 11k+6\\leq 99$.
<br>Левое неравенство: $11k\\geq 4 \\Rightarrow k\\geq 1$.
<br>Правое неравенство: $11k\\leq 93 \\Rightarrow k\\leq 8$ (так как $11\\cdot 8=88\\leq 93$, а $11\\cdot 9=99\\gt 93$).
<br>Итак, $k = 1, 2, \\ldots, 8$ — всего $8$ значений.
<br><b>Шаг 3.</b> Выпишем все двузначные числа:
$$17,\\ 28,\\ 39,\\ 50,\\ 61,\\ 72,\\ 83,\\ 94$$
Это <b>арифметическая прогрессия</b> с $a_1=17$, разностью $d=11$, $n=8$, $a_8=94$.
<br><b>Шаг 4.</b> По формуле суммы арифметической прогрессии:
$$S = \\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2} = \\dfrac{(17+94)\\cdot 8}{2} = \\dfrac{111\\cdot 8}{2} = 111\\cdot 4 = 444$$
<div class="sol-ans">Ответ: $444$</div>`
},
{
text: `Внутри угла $B$, равного $60^{\\circ}$, взята точка $K$.
Расстояния от точки $K$ до сторон угла равны $2$ см и $3$ см.
Найдите расстояние от точки $K$ до вершины угла $B$.`,
sol: `Опустим перпендикуляры $KH_1=2$ и $KH_2=3$ на стороны угла.
<svg viewBox="0 0 215 158" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:215px;width:100%;height:auto;display:block;margin:12px 0">
<!-- описанная окружность (диаметр = BK) -->
<circle cx="80" cy="88" r="62" fill="none" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- диаметр BK -->
<line x1="22" y1="108" x2="138" y2="68" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,3"/>
<text x="62" y="97" font-size="8" fill="#94a3b8" font-style="italic">d=BK</text>
<!-- четырёхугольник BH₁KH₂ -->
<polygon points="22,108 138,108 138,68 69,28" fill="rgba(37,99,235,0.1)" stroke="#2563eb" stroke-width="0.8" stroke-dasharray="3,2"/>
<!-- стороны угла -->
<line x1="22" y1="108" x2="192" y2="108" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="22" y1="108" x2="72" y2="21" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- дуга 60° при B -->
<path d="M52,108 A30,30 0 0,0 37,82" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2"/>
<text x="55" y="97" font-size="10" fill="#555">60°</text>
<!-- метка B -->
<text x="5" y="114" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<!-- точка K -->
<circle cx="138" cy="68" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<text x="143" y="67" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<!-- KH₁: перпендикуляр к нижней стороне -->
<line x1="138" y1="68" x2="138" y2="108" stroke="#2563eb" stroke-width="2" stroke-dasharray="4,2"/>
<path d="M131,108 L131,101 L138,101" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.3"/>
<circle cx="138" cy="108" r="2.5" fill="#2563eb"/>
<text x="141" y="93" font-size="12" fill="#2563eb" font-weight="bold">2</text>
<text x="128" y="122" font-size="10" fill="#334155">H₁</text>
<!-- KH₂: перпендикуляр к верхней стороне -->
<line x1="138" y1="68" x2="69" y2="28" stroke="#e11d48" stroke-width="2" stroke-dasharray="4,2"/>
<path d="M72.5,21.9 L78.6,25.4 L75.1,31.5" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.3"/>
<circle cx="69" cy="28" r="2.5" fill="#e11d48"/>
<text x="97" y="42" font-size="12" fill="#e11d48" font-weight="bold">3</text>
<text x="55" y="22" font-size="10" fill="#334155">H₂</text>
<!-- хорда H₁H₂ -->
<line x1="138" y1="108" x2="69" y2="28" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
<text x="86" y="75" font-size="10" fill="#16a34a" font-weight="bold">√19</text>
<!-- дуга 120° при K -->
<path d="M138,90 A22,22 0 0,1 119,57" fill="none" stroke="#333" stroke-width="1.5"/>
<text x="100" y="53" font-size="10" fill="#333" font-weight="bold">120°</text>
<!-- центр описанной окружности -->
<circle cx="80" cy="88" r="2" fill="#94a3b8"/>
<text x="83" y="86" font-size="8" fill="#94a3b8" font-style="italic">O</text>
</svg>
<b>Шаг 1 — угол при K.</b><br>
Четырёхугольник $BH_1KH_2$ имеет три известных угла. Сумма углов четырёхугольника $= 360°$:
$$\\angle H_1KH_2 = 360° - 90° - 60° - 90° = 120°$$
<b>Шаг 2 — длина отрезка H₁H₂.</b><br>
Теорема косинусов в $\\triangle H_1KH_2$:
$$H_1H_2^2 = 2^2 + 3^2 - 2\\cdot2\\cdot3\\cdot\\cos120° = 4+9-12\\cdot\\left(-\\tfrac{1}{2}\\right) = 13+6 = 19$$
$$H_1H_2 = \\sqrt{19}$$
<b>Шаг 3 — четыре точки на одной окружности.</b><br>
Так как $\\angle BH_1K = \\angle BH_2K = 90°$, по обратной теореме Фалеса все четыре точки $B, H_1, K, H_2$ лежат на одной окружности с диаметром $BK$.
<br><br>
<b>Шаг 4 — теорема синусов.</b><br>
В описанной окружности (диаметр $= BK$) вписанный угол $\\angle H_1BH_2 = 60°$ опирается на хорду $H_1H_2$:
$$\\dfrac{H_1H_2}{\\sin\\angle H_1BH_2} = BK \\implies BK = \\dfrac{\\sqrt{19}}{\\sin 60°} = \\dfrac{\\sqrt{19}}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{2\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{2\\sqrt{57}}{3}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{2\\sqrt{57}}{3}$ см</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $(x^2 + 2x + 3)^2 - 17(x^2 + 2x + 3) = 18$.
В ответ запишите целые корни уравнения,
удовлетворяющие неравенству $|x| \\leq 4$.`,
sol: `<b>Метод замены переменной:</b> если в уравнении повторяется одно и то же выражение, обозначаем его новой буквой и сводим к квадратному уравнению.
<br><b>Теорема Виета (обратная)</b> для $t^2+pt+q=0$: $t_1+t_2=-p$, $t_1\\cdot t_2=q$.
<br><b>Дискриминант:</b> $D=b^2-4ac$; при $D\\lt 0$ вещественных корней нет.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Выражение $x^2+2x+3$ встречается дважды. Сделаем замену:
$$t = x^2+2x+3$$
Уравнение примет вид:
$$t^2 - 17t - 18 = 0$$
<b>Шаг 2.</b> По теореме Виета: $t_1+t_2=17$, $t_1\\cdot t_2=-18$. Подходят $18$ и $-1$:
$$(t-18)(t+1)=0 \\implies t=18 \\text{ или } t=-1$$
<b>Шаг 3.</b> Возвращаемся к $x$.
<br><b>Случай 1:</b> $x^2+2x+3=18$, то есть $x^2+2x-15=0$.
<br>Раскладываем: $(x+5)(x-3)=0 \\Rightarrow x=-5$ или $x=3$.
<br>Проверяем условие $|x|\\leq 4$: $x=3$ подходит, $x=-5$ — нет.
<br><b>Случай 2:</b> $x^2+2x+3=-1$, то есть $x^2+2x+4=0$.
<br>Дискриминант: $D=4-16=-12\\lt 0$, значит корней нет.
<br><b>Шаг 4.</b> Условию $|x|\\leq 4$ удовлетворяет только $x=3$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x=3$</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v05.js
+205
View File
@@ -0,0 +1,205 @@
VARIANTS[5] = {
label: "Вариант 5",
tasks: [
{
text: `Определите наименьшее целое число, принадлежащее промежутку $[-8{,}5;\\, 3{,}4]$:`,
opts: [
["а", "$-9$"], ["б", "$-8$"], ["в", "$0$"], ["г", "$3$"], ["д", "$-1$"],
],
sol: `Промежуток $[-8{,}5;\\, 3{,}4]$ включает $-8{,}5$ (закрытый конец).
<br>Ближайшее целое $\\geq -8{,}5$ — это $-8$.
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$-8$</div>`
},
{
text: `Второй член арифметической прогрессии $(a_n)$,
у которой $d = 2$ и $a_1 = \\dfrac{1}{2}$, равен:`,
opts: [
["а", "$1$"], ["б", "$1\\dfrac{1}{2}$"], ["в", "$2\\dfrac{1}{2}$"],
["г", "$2$"], ["д", "$-1\\dfrac{1}{2}$"],
],
sol: `$$a_2 = a_1 + d = \\dfrac{1}{2} + 2 = \\dfrac{5}{2} = 2\\dfrac{1}{2}$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$2\\dfrac{1}{2}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\\circ}$;"],
["б", "диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам;"],
["в", "любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов отрезка;"],
["г", "если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого, то такие треугольники равны?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Сумма острых углов прямоугольного треугольника $= 90°$ — <b>верно</b></li>
<li>б) Диагонали параллелограмма делятся пополам — <b>верно</b></li>
<li>в) Точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов — <b>верно</b></li>
<li>г) Три равных угла → равные треугольники — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
Три равных угла означают лишь <b>подобие</b> треугольников, но не равенство (они могут иметь разные стороны).
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $2x^2 - 0{,}4x = 0$.
В ответ запишите среднее арифметическое корней уравнения.`,
sol: `Выносим $x$ за скобку:
$$x(2x - 0{,}4) = 0 \\implies x_1=0,\\quad x_2 = \\frac{0{,}4}{2} = 0{,}2$$
Среднее арифметическое: $\\dfrac{x_1+x_2}{2} = \\dfrac{0+0{,}2}{2} = 0{,}1$
<div class="sol-ans">Ответ: $0{,}1$</div>`
},
{
text: `Высоты параллелограмма, проведённые из вершины тупого угла, равны $6$ см и $9$ см.
Периметр параллелограмма равен $40$ см. Найдите площадь параллелограмма.`,
figure: `<svg viewBox="0 0 195 112" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="55,95 165,95 130,20 20,20" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<path d="M85,95 A30,30 0 0,1 42,67" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2"/>
<text x="74" y="90" font-size="9" fill="#888">тупой</text>
<text x="38" y="110" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="167" y="110" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="132" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="5" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="100" y="108" font-size="10" fill="#475569" font-style="italic">a</text>
<text x="18" y="62" font-size="10" fill="#475569" font-style="italic">b</text>
<line x1="55" y1="95" x2="55" y2="20" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
<path d="M48,20 L48,27 L55,27" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1"/>
<text x="58" y="62" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">h₁=6</text>
<line x1="55" y1="95" x2="143" y2="49" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
<path d="M140.2,43.7 L145.5,40.9 L148.3,46.2" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1"/>
<text x="95" y="61" font-size="11" fill="#e11d48" font-weight="bold">h₂=9</text>
</svg>`,
sol: `Пусть стороны параллелограмма $a$ и $b$. Высоты из вершины тупого угла перпендикулярны к <b>смежным</b> сторонам: $h_a=6$ (к стороне $a$) и $h_b=9$ (к стороне $b$).
<br>Площадь одна и та же: $S = a\\cdot h_a = b\\cdot h_b$, значит:
$$6a = 9b \\implies \\frac{a}{b} = \\frac{3}{2}$$
Периметр: $2(a+b)=40 \\Rightarrow a+b=20$.
<br>С учётом $a=3k,\\ b=2k$: $5k=20 \\Rightarrow k=4$, т.е. $a=12$, $b=8$.
$$S = a\\cdot h_a = 12\\cdot 6 = 72\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $72$ см²</div>`
},
{
text: `При каких натуральных значениях $n$ верно неравенство
$4{,}8(n - 4) - 3{,}7(2 - n) < 24{,}4$?`,
sol: `<b>Свойства линейных неравенств:</b> можно прибавлять одинаковое число к обеим частям и умножать/делить на положительное число, не меняя знак неравенства.
<br><b>Натуральные числа:</b> $1, 2, 3, \\ldots$ — положительные целые.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Раскроем скобки слева:
$$4{,}8(n-4) = 4{,}8n - 19{,}2$$
$$-3{,}7(2-n) = -7{,}4 + 3{,}7n$$
Неравенство примет вид:
$$4{,}8n - 19{,}2 - 7{,}4 + 3{,}7n \\lt 24{,}4$$
<b>Шаг 2.</b> Приведём подобные слагаемые:
$$8{,}5n - 26{,}6 \\lt 24{,}4$$
<b>Шаг 3.</b> Перенесём $-26{,}6$ вправо со сменой знака:
$$8{,}5n \\lt 51$$
<b>Шаг 4.</b> Разделим обе части на $8{,}5$ (положительное число, знак сохраняется):
$$n \\lt 6$$
<b>Шаг 5.</b> Выбираем натуральные значения, удовлетворяющие $n\\lt 6$:
$$n \\in \\{1,\\ 2,\\ 3,\\ 4,\\ 5\\}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $n = 1,\\ 2,\\ 3,\\ 4,\\ 5$</div>`
},
{
text: `Известно, что график функции $y = f(x)$ симметричен относительно оси ординат
и $f(-3) = 5$, $f(2) = -6$.
Найдите значение выражения $f(3) + 2f(-2)$.`,
sol: `<b>Признак чётной функции:</b> график функции симметричен относительно оси ординат тогда и только тогда, когда функция чётная.
<br><b>Свойство чётной функции:</b> $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> По признаку чётной функции из симметрии графика относительно оси $Oy$ следует:
$$f(-x) = f(x)$$
<b>Шаг 2.</b> Применяем это свойство, чтобы выразить нужные значения через известные.
<br>Так как $f(3) = f(-3)$, то по условию:
$$f(3) = f(-3) = 5$$
<b>Шаг 3.</b> Аналогично для $f(-2)$:
$$f(-2) = f(2) = -6$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем найденные значения в выражение:
$$f(3) + 2f(-2) = 5 + 2\\cdot(-6) = 5 - 12 = -7$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-7$</div>`
},
{
text: `Определите число решений системы уравнений
$$\\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\\\[4pt] y = -x^2 + 4. \\end{cases}$$
Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Метод подстановки:</b> подставляем выражение для $y$ из одного уравнения в другое.
<br><b>Формула квадрата суммы:</b> $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
<br><b>Геометрический смысл:</b> первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $4$; второе — параболу с вершиной $(0;4)$, ветви вниз.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из второго уравнения возьмём выражение $y=-x^2+4$ и подставим в первое:
$$x^2+(-x^2+4)^2=16$$
<b>Шаг 2.</b> Раскрываем квадрат:
$$x^2+x^4-8x^2+16=16$$
<b>Шаг 3.</b> Приводим подобные и упрощаем:
$$x^4-7x^2=0$$
$$x^2(x^2-7)=0$$
<b>Шаг 4.</b> Произведение равно нулю, когда один из множителей нуль:
<ul>
<li>$x^2=0 \\Rightarrow x=0$</li>
<li>$x^2-7=0 \\Rightarrow x=\\pm\\sqrt{7}$</li>
</ul>
Получили три значения $x$. Поскольку $y$ однозначно определяется как $y=-x^2+4$, каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$:
<table style="border-collapse:collapse;margin:8px 0"><tr><td style="padding:2px 12px 2px 0">$x=0$:</td><td>$y=4$</td><td style="padding:2px 0 2px 12px">— точка $(0,4)$</td></tr><tr><td>$x=\\pm\\sqrt{7}$:</td><td>$y=-3$</td><td style="padding:2px 0 2px 12px">— точки $(\\pm\\sqrt{7},\\,-3)$</td></tr></table>
<b>Шаг 5.</b> Итого — три решения системы:
<svg viewBox="0 0 200 195" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="arrs5" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="10" y1="100" x2="190" y2="100" stroke="#bbb" stroke-width="1" marker-end="url(#arrs5)"/>
<line x1="100" y1="185" x2="100" y2="10" stroke="#bbb" stroke-width="1" marker-end="url(#arrs5)"/>
<text x="186" y="97" font-size="10" fill="#555">x</text><text x="102" y="12" font-size="10" fill="#555">y</text>
<circle cx="100" cy="100" r="80" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<text x="155" y="38" font-size="10" fill="#2563eb">x²+y²=16</text>
<path d="M28,164 Q64,20 100,20 Q136,20 172,164" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1.8"/>
<text x="140" y="175" font-size="10" fill="#e11d48">y=−x²+4</text>
<circle cx="100" cy="20" r="4" fill="#16a34a"/><text x="105" y="18" font-size="9" fill="#16a34a">(0,4)</text>
<circle cx="153" cy="160" r="4" fill="#16a34a"/><text x="155" y="158" font-size="9" fill="#16a34a">(√7,−3)</text>
<circle cx="47" cy="160" r="4" fill="#16a34a"/><text x="2" y="158" font-size="9" fill="#16a34a">(−√7,−3)</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: 3 решения</div>`
},
{
text: `К раствору, содержащему $30$ г соли, добавили $100$ г воды,
после чего концентрация соли уменьшилась на $5\\%$.
Найдите первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.`,
sol: `Пусть $m$ — начальная масса раствора. Соли — $30$ г, она не меняется.
<br><br>
<table style="border-collapse:collapse;width:100%;font-size:.93rem">
<tr style="background:#f1f5f9"><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 10px"></th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 10px">Масса раствора</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 10px">Масса соли</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 10px">Концентрация</th></tr>
<tr><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 10px"><b>До</b></td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 10px">$m$</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 10px">$30$ г</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 10px">$c = \\dfrac{30}{m}$</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 10px"><b>После</b></td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 10px">$m+100$</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 10px">$30$ г</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 10px">$c' = \\dfrac{30}{m+100}$</td></tr>
</table>
<br>
<b>Шаг 1.</b> По условию концентрация уменьшилась на $5\\% = 0{,}05$:
$$\\frac{30}{m} - \\frac{30}{m+100} = 0{,}05$$
<b>Шаг 2.</b> Приведём к общему знаменателю:
$$\\frac{30(m+100) - 30m}{m(m+100)} = 0{,}05 \\implies \\frac{3000}{m(m+100)} = \\frac{1}{20}$$
$$m(m+100) = 60000$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем квадратное уравнение $m^2 + 100m - 60000 = 0$:
$$D = 100^2 + 4\\cdot60000 = 10000 + 240000 = 250000 = 500^2$$
$$m = \\frac{-100 + 500}{2} = 200\\text{ г} \\quad (m > 0)$$
<b>Шаг 4.</b> Начальная концентрация:
$$c = \\frac{30}{200} = 0{,}15 = 15\\%$$
<b>Проверка:</b> после добавления $c' = \\dfrac{30}{300} = 10\\% = 15\\% - 5\\%$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $15\\%$</div>`
},
{
text: `Найдите площадь сектора круга, угол которого равен $30^{\\circ}$,
а длина дуги — $4$ см. Ответ округлите до целых см², взяв $\\pi \\approx 3{,}14$.`,
sol: `<b>Формула длины дуги:</b> $l = \\dfrac{\\pi r\\alpha°}{180°}$, где $\\alpha°$ — центральный угол сектора в градусах.
<br><b>Формула площади сектора через длину дуги:</b> $S = \\dfrac{l\\cdot r}{2}$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> По формуле длины дуги при $l=4$ и $\\alpha=30°$ найдём радиус:
$$4 = \\dfrac{\\pi r\\cdot 30}{180} = \\dfrac{\\pi r}{6}$$
Отсюда:
$$r = \\dfrac{24}{\\pi}$$
<b>Шаг 2.</b> Подставляем найденный радиус в формулу площади сектора:
$$S = \\dfrac{l\\cdot r}{2} = \\dfrac{4\\cdot\\dfrac{24}{\\pi}}{2} = \\dfrac{48}{\\pi}$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем $\\pi\\approx 3{,}14$ и округляем:
$$S \\approx \\dfrac{48}{3{,}14} \\approx 15{,}3 \\approx 15\\text{ см}^2$$
<svg viewBox="0 0 120 115" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:120px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<path d="M60,60 L60,15 A45,45 0 0,1 98,82 Z" fill="rgba(37,99,235,0.2)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<path d="M60,60 L60,15" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<path d="M60,60 L98,82" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="60" cy="60" r="45" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
<path d="M77,52 A20,20 0 0,1 72,72" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<text x="78" y="62" font-size="10" fill="#555">30°</text>
<text x="62" y="40" font-size="10" fill="#2563eb">r</text>
<text x="62" y="35" font-size="9" fill="#e11d48" transform="rotate(30,62,35)">l=4</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $15$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v06.js
+194
View File
@@ -0,0 +1,194 @@
VARIANTS[6] = {
label: "Вариант 6",
tasks: [
{
text: `Определите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку $[-10{,}5;\\, -1{,}4]$:`,
opts: [
["а", "$-11$"], ["б", "$-10$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$-2$"], ["д", "$0$"],
],
sol: `Промежуток $[-10{,}5;\\, -1{,}4]$ имеет правый конец $-1{,}4$ (открытый).
<br>Наибольшее целое $\\leq -1{,}4$ — это $-2$.
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$-2$</div>`
},
{
text: `Второй член арифметической прогрессии $(a_n)$,
у которой $d = 1{,}5$ и $a_1 = -0{,}5$, равен:`,
opts: [
["а", "$1$"], ["б", "$1{,}5$"], ["в", "$-2$"], ["г", "$2$"], ["д", "$-0{,}75$"],
],
sol: `$$a_2 = a_1 + d = -0{,}5 + 1{,}5 = 1$$
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$1$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "в равностороннем треугольнике все углы равны по $30^{\\circ}$;"],
["б", "диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника;"],
["в", "любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла;"],
["г", "если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то такие треугольники равны?"],
],
sol: `<ul><li>а) В равностороннем треугольнике все углы равны по $30^\\circ$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li><li>б) Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника — <b>верно</b></li><li>в) Точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла — <b>верно</b></li><li>г) Три равных стороны → равные треугольники — <b>верно</b></li></ul>В равностороннем треугольнике каждый угол $= 60^\\circ$, а не $30^\\circ$.<div class="sol-ans">Ответ: а)</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $3x^2 + 0{,}6x = 0$.
В ответ запишите среднее арифметическое корней уравнения.`,
sol: `Выносим $x$ за скобку:
$$x(3x + 0{,}6) = 0 \\implies x_1=0,\\quad x_2 = -\\frac{0{,}6}{3} = -0{,}2$$
Среднее арифметическое: $\\dfrac{x_1+x_2}{2} = \\dfrac{0+(-0{,}2)}{2} = -0{,}1$
<div class="sol-ans">Ответ: $-0{,}1$</div>`
},
{
text: `Высоты параллелограмма, проведённые из вершины тупого угла, равны $10$ см и $6$ см.
Периметр параллелограмма равен $48$ см. Найдите площадь параллелограмма.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 195 112" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="55,95 165,95 130,20 20,20" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<path d="M85,95 A30,30 0 0,1 42,67" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2"/>
<text x="74" y="90" font-size="9" fill="#888">тупой</text>
<text x="38" y="110" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="167" y="110" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="132" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="5" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="100" y="108" font-size="10" fill="#475569" font-style="italic">a</text>
<text x="18" y="62" font-size="10" fill="#475569" font-style="italic">b</text>
<line x1="55" y1="95" x2="55" y2="20" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
<path d="M48,20 L48,27 L55,27" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1"/>
<text x="58" y="62" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">h₁=10</text>
<line x1="55" y1="95" x2="143" y2="49" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
<path d="M140.2,43.7 L145.5,40.9 L148.3,46.2" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1"/>
<text x="95" y="61" font-size="11" fill="#e11d48" font-weight="bold">h₂=6</text>
</svg>
Пусть стороны параллелограмма $a$ и $b$. Высоты из вершины тупого угла перпендикулярны к <b>смежным</b> сторонам: $h_a=10$ (к стороне $a$) и $h_b=6$ (к стороне $b$).
<br>Площадь одна и та же: $S = a\\cdot h_a = b\\cdot h_b$, значит:
$$10a = 6b \\implies \\frac{a}{b} = \\frac{3}{5}$$
Периметр: $2(a+b)=48 \\Rightarrow a+b=24$.
<br>С учётом $a=3k,\\ b=5k$: $8k=24 \\Rightarrow k=3$, т.е. $a=9$, $b=15$.
$$S = a\\cdot h_a = 9\\cdot 10 = 90\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $90$ см²</div>`
},
{
text: `При каких натуральных значениях $n$ верно неравенство
$5{,}6(n - 3) - 3{,}2(2 - n) < 20{,}8$?`,
sol: `<b>Свойства линейных неравенств:</b> можно прибавлять к обеим частям одно и то же число и делить на положительное число — знак неравенства сохраняется.
<br><b>Натуральные числа:</b> $1, 2, 3, \\ldots$
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Раскроем скобки в левой части:
$$5{,}6(n-3) = 5{,}6n - 16{,}8$$
$$-3{,}2(2-n) = -6{,}4 + 3{,}2n$$
Неравенство:
$$5{,}6n - 16{,}8 - 6{,}4 + 3{,}2n \\lt 20{,}8$$
<b>Шаг 2.</b> Приведём подобные:
$$8{,}8n - 23{,}2 \\lt 20{,}8$$
<b>Шаг 3.</b> Перенесём $-23{,}2$ направо:
$$8{,}8n \\lt 44$$
<b>Шаг 4.</b> Разделим на $8{,}8$ (положительное число — знак сохраняется):
$$n \\lt 5$$
<b>Шаг 5.</b> Натуральные значения, удовлетворяющие $n\\lt 5$:
$$n \\in \\{1,\\ 2,\\ 3,\\ 4\\}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $n = 1,\\ 2,\\ 3,\\ 4$</div>`
},
{
text: `Известно, что график функции $y = f(x)$ симметричен относительно оси ординат
и $f(-5) = 2$, $f(4) = -5$.
Найдите значение выражения $2f(5) - f(-4)$.`,
sol: `<b>Признак чётной функции:</b> график функции симметричен относительно оси ординат тогда и только тогда, когда функция чётная.
<br><b>Свойство чётной функции:</b> $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из симметрии графика относительно оси $Oy$ следует, что функция чётная, то есть:
$$f(-x) = f(x)$$
<b>Шаг 2.</b> Выразим $f(5)$ через известное значение $f(-5)$, используя $f(5)=f(-5)$:
$$f(5) = f(-5) = 2$$
<b>Шаг 3.</b> Аналогично для $f(-4)$:
$$f(-4) = f(4) = -5$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем найденные значения:
$$2f(5) - f(-4) = 2\\cdot 2 - (-5) = 4 + 5 = 9$$
<div class="sol-ans">Ответ: $9$</div>`
},
{
text: `Определите число решений системы уравнений
$$\\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\\\[4pt] y = -x^2 + 3. \\end{cases}$$
Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Метод подстановки</b> для системы уравнений: подставляем выражение для $y$ из одного уравнения в другое.
<br><b>Геометрический смысл:</b> первое уравнение — окружность радиуса $3$ с центром в начале координат; второе — парабола с вершиной $(0;3)$ и ветвями вниз.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из второго уравнения возьмём $y=-x^2+3$ и подставим в первое:
$$x^2+(-x^2+3)^2=9$$
<b>Шаг 2.</b> Раскрываем квадрат и приводим подобные:
$$x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = 9$$
$$x^4 - 5x^2 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Вынесем общий множитель:
$$x^2(x^2-5)=0$$
Произведение равно нулю, когда один из множителей нуль: $x=0$ или $x^2=5$, то есть $x=\\pm\\sqrt{5}$.
<br><b>Шаг 4.</b> Для каждого $x$ находим $y$ по формуле $y=-x^2+3$:
<ul>
<li>$x=0 \\Rightarrow y=3$ — точка $(0;3)$;</li>
<li>$x=\\pm\\sqrt{5} \\Rightarrow y=-5+3=-2$ — точки $(\\pm\\sqrt{5};-2)$.</li>
</ul>
<b>Шаг 5.</b> Получили три точки пересечения, значит, у системы 3 решения.
<svg viewBox="0 0 200 195" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="arrs6t8" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="10" y1="100" x2="190" y2="100" stroke="#bbb" stroke-width="1" marker-end="url(#arrs6t8)"/>
<line x1="100" y1="185" x2="100" y2="10" stroke="#bbb" stroke-width="1" marker-end="url(#arrs6t8)"/>
<text x="186" y="97" font-size="10" fill="#555">x</text><text x="102" y="12" font-size="10" fill="#555">y</text>
<circle cx="100" cy="100" r="60" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<text x="148" y="48" font-size="10" fill="#2563eb">x²+y²=9</text>
<path d="M38,156 Q69,40 100,40 Q131,40 162,156" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1.8"/>
<text x="132" y="170" font-size="10" fill="#e11d48">y=−x²+3</text>
<circle cx="100" cy="40" r="4" fill="#16a34a"/><text x="105" y="38" font-size="9" fill="#16a34a">(0,3)</text>
<circle cx="145" cy="140" r="4" fill="#16a34a"/><text x="148" y="138" font-size="9" fill="#16a34a">(√5,−2)</text>
<circle cx="55" cy="140" r="4" fill="#16a34a"/><text x="6" y="138" font-size="9" fill="#16a34a">(−√5,−2)</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: 3 решения</div>`
},
{
text: `К раствору, содержащему $40$ г соли, добавили $200$ г воды,
после чего концентрация соли уменьшилась на $10\\%$.
Найдите первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.`,
sol: `<b>Формула концентрации:</b> $c = \\dfrac{m_{\\text{соли}}}{m_{\\text{раствора}}}$ — отношение массы соли к массе всего раствора.
<br><b>Ключевое наблюдение:</b> при добавлении воды масса соли <em>не меняется</em>, изменяется только масса всего раствора и, следовательно, концентрация.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Введём переменную: пусть $m$ (г) — начальная масса раствора.
<br>В нём $40$ г соли. После добавления $200$ г воды масса раствора стала $m+200$ г, а соли по-прежнему $40$ г.
<br><b>Шаг 2.</b> Запишем концентрации до и после:
$$c_{\\text{до}} = \\dfrac{40}{m},\\qquad c_{\\text{после}} = \\dfrac{40}{m+200}$$
<b>Шаг 3.</b> По условию концентрация <em>уменьшилась на $10\\%$</em>, то есть $c_{\\text{до}} - c_{\\text{после}} = 0{,}1$:
$$\\dfrac{40}{m} - \\dfrac{40}{m+200} = 0{,}1$$
<b>Шаг 4.</b> Приводим к общему знаменателю $m(m+200)$:
$$\\dfrac{40(m+200) - 40m}{m(m+200)} = 0{,}1$$
$$\\dfrac{8000}{m(m+200)} = 0{,}1$$
$$m(m+200) = 80000$$
<b>Шаг 5.</b> Раскрываем скобки и получаем квадратное уравнение:
$$m^2 + 200m - 80000 = 0$$
Дискриминант: $D = 200^2 + 4\\cdot 80000 = 40000 + 320000 = 360000 = 600^2$.
$$m = \\dfrac{-200 + 600}{2} = 200\\text{ г}\\quad (m\\gt 0)$$
<b>Шаг 6.</b> Находим начальную концентрацию:
$$c_{\\text{до}} = \\dfrac{40}{200} = 0{,}2 = 20\\%$$
<b>Проверка:</b> после добавления $c_{\\text{после}} = \\dfrac{40}{400} = 10\\% = 20\\%-10\\%$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $20\\%$</div>`
},
{
text: `Найдите площадь сектора круга, угол которого равен $150^{\\circ}$,
а длина дуги — $6$ см. Ответ округлите до целых см², взяв $\\pi \\approx 3{,}14$.`,
sol: `<b>Формула длины дуги:</b> $l = \\dfrac{\\pi r\\alpha°}{180°}$.
<br><b>Формула площади сектора через длину дуги:</b> $S = \\dfrac{l\\cdot r}{2}$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из формулы длины дуги при $l=6$, $\\alpha=150°$ найдём радиус:
$$6 = \\dfrac{\\pi r\\cdot 150}{180} = \\dfrac{5\\pi r}{6}$$
$$r = \\dfrac{36}{5\\pi}$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим в формулу площади:
$$S = \\dfrac{l\\cdot r}{2} = \\dfrac{6\\cdot\\dfrac{36}{5\\pi}}{2} = \\dfrac{108}{5\\pi}$$
<b>Шаг 3.</b> Подставим $\\pi\\approx 3{,}14$:
$$S \\approx \\dfrac{108}{5\\cdot 3{,}14} = \\dfrac{108}{15{,}7} \\approx 6{,}88 \\approx 7\\text{ см}^2$$
<svg viewBox="0 0 120 115" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:120px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<path d="M60,60 L60,15 A45,45 0 0,1 82.5,99 Z" fill="rgba(37,99,235,0.2)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<path d="M60,60 L60,15" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<path d="M60,60 L82.5,99" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="60" cy="60" r="45" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
<path d="M60,40 A20,20 0 0,1 70,77" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<text x="48" y="70" font-size="10" fill="#555">150°</text>
<text x="48" y="40" font-size="10" fill="#2563eb">r</text>
<text x="84" y="40" font-size="9" fill="#e11d48">l=6</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $7$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v07.js
+290
View File
@@ -0,0 +1,290 @@
VARIANTS[7] = {
label: "Вариант 7",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из следующих равенств верно:`,
opts: [
["а", "$a^{-4} = -4a$"],
["б", "$a^{-4} = -a^4$"],
["в", "$a^{-4} = \\dfrac{1}{a^4}$"],
["г", "$a^{-4} = -\\dfrac{4}{a}$"],
["д", "$a^{-4} = -\\dfrac{1}{a^4}$"],
],
sol: `По <b>определению отрицательного показателя</b>: $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}$.
$$a^{-4} = \\frac{1}{a^4}$$
Остальные варианты неверны: знаменатель $a^{-4}$ всегда положителен при $a\\neq 0$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$a^{-4}=\\dfrac{1}{a^4}$</div>`
},
{
text: `Второй член геометрической прогрессии $(b_n)$,
у которой $q = 3$ и $b_1 = \\dfrac{2}{3}$, равен:`,
opts: [
["а", "$1$"], ["б", "$2$"], ["в", "$\\dfrac{2}{9}$"],
["г", "$-2\\dfrac{1}{3}$"], ["д", "$3\\dfrac{2}{3}$"],
],
sol: `Каждый следующий член геометрической прогрессии умножается на знаменатель $q$:
$$b_2 = b_1\\cdot q = \\dfrac{2}{3}\\cdot 3 = 2$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$2$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "накрест лежащие углы при двух параллельных прямых и секущей равны между собой;"],
["б", "средняя линия треугольника параллельна основанию;"],
["в", "$\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
["г", "если диагонали параллелограмма равны, то это обязательно квадрат?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Накрест лежащие углы при ∥ прямых равны — <b>верно</b></li>
<li>б) Средняя линия треугольника ∥ основанию — <b>верно</b></li>
<li>в) $\\sin 30^\\circ = \\frac{1}{2}$ — <b>верно</b></li>
<li>г) Равные диагонали → квадрат — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
Если диагонали параллелограмма равны, он является <b>прямоугольником</b>, но не обязательно квадратом. Прямоугольник $3\\times 4$ имеет равные диагонали, но это не квадрат.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Определите наименьшее целое решение двойного неравенства
$-2 < \\dfrac{3x + 1}{2} \\leq 5$.`,
sol: `Умножим все части на $2$:
$$-4 < 3x+1 \\leq 10$$
Вычтем $1$:
$$-5 < 3x \\leq 9$$
Разделим на $3$:
$$-\\dfrac{5}{3} < x \\leq 3$$
<svg viewBox="0 0 250 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:250px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a7t4" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="238" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a7t4)"/>
<line x1="55" y1="22" x2="55" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="55" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−2</text>
<line x1="85" y1="22" x2="85" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="85" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
<line x1="115" y1="22" x2="115" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="115" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="145" y1="22" x2="145" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="145" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">1</text>
<line x1="175" y1="22" x2="175" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="175" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">2</text>
<line x1="205" y1="22" x2="205" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="205" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3</text>
<line x1="69" y1="26" x2="205" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="69" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="205" cy="26" r="5" fill="#2563eb" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<text x="69" y="15" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">−5/3</text>
</svg>
$x\\in\\left(-\\dfrac{5}{3};\\,3\\right]$. Наименьшее <em>целое</em> число, большее $-\\dfrac{5}{3}\\approx-1{,}67$: это $-1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-1$</div>`
},
{
text: `В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ точка $O$ — пересечение диагоналей,
$AD = 10$ см, $AO = 6$ см, $OC = 3$ см. Найдите среднюю линию трапеции.`,
sol: `<b>Свойство диагоналей трапеции:</b> точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ в одном и том же отношении, равном отношению оснований.
<br><b>Формула средней линии трапеции:</b> $m = \\dfrac{AD+BC}{2}$ — полусумма оснований.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Точка $O$ — пересечение диагоналей трапеции. По свойству:
$$\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC}$$
(основания $AD$ и $BC$, точка $O$ ближе к меньшему основанию).
<br><b>Шаг 2.</b> Подставляем известные значения $AO=6$, $OC=3$, $AD=10$:
$$\\dfrac{6}{3} = \\dfrac{10}{BC}$$
$$BC = \\dfrac{10\\cdot 3}{6} = 5\\text{ см}$$
<svg viewBox="0 0 195 118" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="20,100 160,100 130,25 50,25" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="100" x2="130" y2="25" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<line x1="160" y1="100" x2="50" y2="25" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<circle cx="87" cy="50" r="3" fill="#1e293b"/>
<text x="5" y="113" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="162" y="113" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="132" y="20" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="38" y="20" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="92" y="48" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="80" y="112" font-size="10" fill="#334155" text-anchor="middle">AD = 10</text>
<text x="85" y="18" font-size="10" fill="#334155" text-anchor="middle">BC = 5</text>
<text x="42" y="72" font-size="10" fill="#2563eb">AO=6</text>
<text x="97" y="40" font-size="10" fill="#e11d48">OC=3</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> Находим среднюю линию трапеции по формуле:
$$m = \\dfrac{AD + BC}{2} = \\dfrac{10+5}{2} = 7{,}5\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $7{,}5$ см</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$$\\dfrac{x - y}{\\sqrt{x} + \\sqrt{y}} - \\dfrac{x + 4\\sqrt{xy} + 4y}{\\sqrt{x} + 2\\sqrt{y}}.$$`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Формула квадрата суммы:</b> $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
<br><b>Идея:</b> представляем $x$ как $(\\sqrt{x})^2$, чтобы использовать формулы сокращённого умножения и сократить дроби.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем <em>первую дробь</em>. Числитель $x-y$ — разность квадратов:
$$x - y = (\\sqrt{x})^2 - (\\sqrt{y})^2 = (\\sqrt{x}-\\sqrt{y})(\\sqrt{x}+\\sqrt{y})$$
Сокращаем общий множитель $(\\sqrt{x}+\\sqrt{y})$:
$$\\dfrac{x-y}{\\sqrt{x}+\\sqrt{y}} = \\dfrac{(\\sqrt{x}-\\sqrt{y})(\\sqrt{x}+\\sqrt{y})}{\\sqrt{x}+\\sqrt{y}} = \\sqrt{x}-\\sqrt{y}$$
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем <em>вторую дробь</em>. Числитель — квадрат суммы:
$$x + 4\\sqrt{xy} + 4y = (\\sqrt{x})^2 + 2\\cdot\\sqrt{x}\\cdot 2\\sqrt{y} + (2\\sqrt{y})^2 = (\\sqrt{x}+2\\sqrt{y})^2$$
Сокращаем общий множитель $(\\sqrt{x}+2\\sqrt{y})$:
$$\\dfrac{(\\sqrt{x}+2\\sqrt{y})^2}{\\sqrt{x}+2\\sqrt{y}} = \\sqrt{x}+2\\sqrt{y}$$
<b>Шаг 3.</b> Вычисляем разность преобразованных выражений:
$$(\\sqrt{x}-\\sqrt{y}) - (\\sqrt{x}+2\\sqrt{y}) = \\sqrt{x} - \\sqrt{y} - \\sqrt{x} - 2\\sqrt{y} = -3\\sqrt{y}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-3\\sqrt{y}$</div>`
},
{
text: `График функции $y = g(x)$ получен из графика функции $f(x) = x^2$
сдвигом на $1$ единицу вправо вдоль оси абсцисс и на $9$ единиц вниз
вдоль оси ординат. Найдите нули функции $y = g(x)$.`,
sol: `<b>Правило сдвига графика функции:</b>
<br>• сдвиг на $a$ единиц <em>вправо</em> по оси $Ox$: $f(x) \\to f(x-a)$;
<br>• сдвиг на $b$ единиц <em>вниз</em> по оси $Oy$: $f(x) \\to f(x)-b$.
<br><b>Нули функции:</b> это значения $x$, при которых $f(x)=0$ (точки пересечения графика с осью $Ox$).
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Применим первый сдвиг: $f(x)=x^2$ сдвигаем на $1$ единицу вправо. По правилу получим:
$$f_1(x) = (x-1)^2$$
<b>Шаг 2.</b> Применим второй сдвиг: $f_1(x)$ сдвигаем на $9$ единиц вниз:
$$g(x) = (x-1)^2 - 9$$
<b>Шаг 3.</b> Чтобы найти нули, решаем уравнение $g(x)=0$:
$$(x-1)^2 - 9 = 0$$
$$(x-1)^2 = 9$$
<b>Шаг 4.</b> Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$$x-1 = \\pm 3$$
Значит, $x-1=3$ (тогда $x=4$) или $x-1=-3$ (тогда $x=-2$).
<svg viewBox="0 0 240 128" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a7t7" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker></defs>
<line x1="5" y1="40" x2="228" y2="40" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a7t7)"/>
<line x1="100" y1="122" x2="100" y2="5" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a7t7)"/>
<text x="230" y="44" font-size="10" fill="#777">x</text><text x="102" y="6" font-size="10" fill="#777">y</text>
<polyline points="34,2 56,40 78,70 100,88 122,94 144,82 166,58 188,40 210,2" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/>
<circle cx="56" cy="40" r="4.5" fill="#2563eb"/>
<text x="56" y="57" font-size="11" fill="#2563eb" text-anchor="middle" font-weight="bold">−2</text>
<circle cx="188" cy="40" r="4.5" fill="#2563eb"/>
<text x="188" y="57" font-size="11" fill="#2563eb" text-anchor="middle" font-weight="bold">4</text>
<circle cx="122" cy="94" r="3.5" fill="#e11d48"/>
<text x="128" y="108" font-size="10" fill="#e11d48">(1; −9)</text>
<text x="94" y="54" font-size="10" fill="#555">0</text>
<line x1="122" y1="38" x2="122" y2="42" stroke="#777" stroke-width="1"/>
<text x="122" y="57" font-size="10" fill="#555" text-anchor="middle">1</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -2$ и $x = 4$</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $\\dfrac{5}{x^2 - x - 6} + \\dfrac{1}{x + 2} = -1$.`,
sol: `<b>Решение дробно-рациональных уравнений</b> состоит из трёх шагов:
<br>1) найти ОДЗ — все значения переменной, при которых знаменатели не равны нулю;
<br>2) привести к общему знаменателю и упростить;
<br>3) проверить, входят ли найденные корни в ОДЗ.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Разложим знаменатель первой дроби. Ищем числа с суммой $1$ и произведением $-6$. Это $3$ и $-2$:
$$x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$$
<b>Шаг 2.</b> Запишем ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому
$$x\\neq 3,\\quad x\\neq -2$$
<b>Шаг 3.</b> Умножим обе части уравнения на $(x-3)(x+2)$, чтобы избавиться от дробей:
$$5 + (x-3) = -(x-3)(x+2)$$
<b>Шаг 4.</b> Упрощаем:
$$x+2 = -(x^2-x-6)$$
$$x+2 = -x^2+x+6$$
$$x^2 - 4 = 0$$
<b>Шаг 5.</b> Решаем как разность квадратов: $(x-2)(x+2)=0 \\Rightarrow x=2$ или $x=-2$.
<br><b>Шаг 6.</b> Проверяем ОДЗ: $x=-2$ не подходит (исключён). Проверяем $x=2$ подстановкой:
$$\\dfrac{5}{4-2-6}+\\dfrac{1}{4} = \\dfrac{5}{-4}+\\dfrac{1}{4} = -1 \\checkmark$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 2$</div>`
},
{
text: `Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится $7$
и в остатке $6$. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр,
то в частном получится $3$ и в остатке $11$. Найдите это двузначное число.`,
sol: `<b>Запись двузначного числа:</b> любое двузначное число можно представить как $10a+b$, где $a$ — цифра десятков ($1\\leq a\\leq 9$), $b$ — цифра единиц ($0\\leq b\\leq 9$).
<br><b>Теорема о делении с остатком:</b> если число $N$ при делении на $d$ даёт частное $q$ и остаток $r$, то $N = d\\cdot q + r$, причём $0\\leq r\\lt d$.
<br><b>Формула корней квадратного уравнения:</b> $x=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$, где $D=b^2-4ac$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Обозначим за $10a+b$ искомое двузначное число (где $a$ — цифра десятков, $b$ — цифра единиц).
<br><b>Шаг 2.</b> Запишем <em>первое условие</em>. Сумма цифр — это $a+b$. При делении $10a+b$ на $a+b$ получили частное $7$ и остаток $6$:
$$10a + b = 7(a+b) + 6$$
$$10a + b = 7a + 7b + 6$$
$$3a - 6b = 6$$
$$a = 2b + 2 \\quad (*)$$
<b>Шаг 3.</b> Запишем <em>второе условие</em>. Произведение цифр — $ab$. При делении на $ab$ получили частное $3$ и остаток $11$:
$$10a + b = 3ab + 11$$
<b>Шаг 4.</b> Подставим выражение $(*)$ для $a$ во второе условие:
$$10(2b+2) + b = 3(2b+2)b + 11$$
$$20b + 20 + b = 6b^2 + 6b + 11$$
$$21b + 20 = 6b^2 + 6b + 11$$
$$6b^2 - 15b - 9 = 0$$
Делим на $3$:
$$2b^2 - 5b - 3 = 0$$
<b>Шаг 5.</b> Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$$b = \\dfrac{5\\pm 7}{4} \\implies b = 3 \\text{ или } b = -\\dfrac{1}{2}$$
Цифра должна быть целым числом от $0$ до $9$, поэтому подходит только $b=3$.
<br><b>Шаг 6.</b> Из формулы $(*)$ находим $a$:
$$a = 2\\cdot 3 + 2 = 8$$
Искомое число: $\\boldsymbol{10\\cdot 8 + 3 = 83}$.
<br><b>Проверка:</b>
<br>• сумма цифр $= 8+3 = 11$; $83:11 = 7$ (ост. $6$): $7\\cdot 11+6 = 77+6=83$ ✓;
<br>• произведение цифр $= 8\\cdot 3 = 24$; $83:24 = 3$ (ост. $11$): $3\\cdot 24+11 = 72+11=83$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: $83$</div>`
},
{
text: `Внутри параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$, такая, что
$S_{BMC} = 6$ см², $S_{AMD} = 10$ см².
Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.`,
figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 265 168" width="265" height="168">
<polygon points="35,143 200,143 220,35 55,35" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
<polygon points="35,143 118,94 55,35" fill="rgba(251,146,60,0.2)"/>
<polygon points="200,143 118,94 220,35" fill="rgba(37,99,235,0.16)"/>
<line x1="118" y1="94" x2="35" y2="143" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="118" y1="94" x2="200" y2="143" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="118" y1="94" x2="220" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="118" y1="94" x2="55" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<circle cx="118" cy="94" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<text x="21" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="203" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="223" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="41" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
<text x="124" y="90" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">M</text>
<text x="65" y="98" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#c2410c">10 см²</text>
<text x="177" y="98" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#1d4ed8">6 см²</text>
</svg>`,
sol: `<b>Доказательство ключевого свойства:</b>
$$S_{\\triangle BMC} + S_{\\triangle AMD} = \\dfrac{S_{ABCD}}{2}$$
Стороны $BC \\parallel DA$ и $|BC| = |DA| = a$ (как противоположные стороны параллелограмма).
<br>Пусть $h_1$ — расстояние от $M$ до стороны $BC$, $h_2$ — расстояние от $M$ до стороны $DA$.
<svg viewBox="0 0 215 132" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:215px;width:100%;height:auto;display:block;margin:12px 0">
<!-- треугольники -->
<polygon points="20,108 90,72 40,28" fill="rgba(251,146,60,0.25)" stroke="none"/>
<polygon points="160,108 90,72 180,28" fill="rgba(37,99,235,0.18)" stroke="none"/>
<!-- параллелограмм -->
<polygon points="20,108 160,108 180,28 40,28" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- метки сторон a -->
<text x="170" y="74" font-size="11" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
<text x="18" y="74" font-size="11" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
<!-- точка M -->
<circle cx="90" cy="72" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<text x="94" y="70" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
<!-- h₁: перпендикуляр от M к BC -->
<!-- M=(90,72), foot≈(164,91) на BC -->
<line x1="90" y1="72" x2="164" y2="91" stroke="#2563eb" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="4,2"/>
<!-- прямой угол при (164,91) -->
<path d="M165.5,85.2 L160.7,84 L159.2,89.8" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<!-- метка h₁ -->
<text x="132" y="76" font-size="11" fill="#2563eb" font-style="italic" font-weight="bold">h₁</text>
<!-- h₂: перпендикуляр от M к DA -->
<!-- M=(90,72), foot≈(33,58) на DA -->
<line x1="90" y1="72" x2="33" y2="58" stroke="#c2410c" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="4,2"/>
<!-- прямой угол при (33,58) -->
<path d="M34.5,52.2 L39.4,53.4 L37.9,59.2" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<!-- метка h₂ -->
<text x="52" y="58" font-size="11" fill="#c2410c" font-style="italic" font-weight="bold">h₂</text>
<!-- Скобка H справа с надписью -->
<line x1="197" y1="28" x2="197" y2="108" stroke="#475569" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="194" y1="28" x2="200" y2="28" stroke="#475569" stroke-width="1.2"/>
<line x1="194" y1="108" x2="200" y2="108" stroke="#475569" stroke-width="1.2"/>
<text x="201" y="73" font-size="11" fill="#475569" font-style="italic">H</text>
<!-- метки вершин -->
<text x="4" y="120" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="162" y="120" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="182" y="23" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="28" y="23" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<!-- метки площадей -->
<text x="46" y="82" font-size="10" fill="#c2410c" text-anchor="middle">$S_1$</text>
<text x="142" y="82" font-size="10" fill="#1d4ed8" text-anchor="middle">$S_2$</text>
</svg>
Так как $BC \\parallel DA$, то $h_1 + h_2 = H$ (полное расстояние между параллельными сторонами).
$$S_{\\triangle BMC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h_1 \\qquad S_{\\triangle AMD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h_2$$
$$S_{\\triangle BMC}+S_{\\triangle AMD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot(h_1+h_2) = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot H = \\boxed{\\dfrac{S_{ABCD}}{2}}$$
<b>Вычисление:</b>
$$\\dfrac{S_{ABCD}}{2} = S_{\\triangle BMC}+S_{\\triangle AMD} = 6+10 = 16 \\implies S_{ABCD} = 32\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $32$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v08.js
+233
View File
@@ -0,0 +1,233 @@
VARIANTS[8] = {
label: "Вариант 8",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из следующих равенств верно:`,
opts: [
["а", "$b^{-3} = -3b$"],
["б", "$b^{-3} = -b^3$"],
["в", "$b^{-3} = \\dfrac{1}{b^3}$"],
["г", "$b^{-3} = -\\dfrac{1}{b^3}$"],
["д", "$b^{-3} = -\\dfrac{3}{b}$"],
],
sol: `По определению отрицательного показателя: $b^{-n} = \\dfrac{1}{b^n}$.
$$b^{-3} = \\frac{1}{b^3}$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$b^{-3}=\\dfrac{1}{b^3}$</div>`
},
{
text: `Второй член геометрической прогрессии $(b_n)$,
у которой $q = 4$ и $b_1 = \\dfrac{3}{8}$, равен:`,
opts: [
["а", "$1$"], ["б", "$2$"], ["в", "$\\dfrac{1}{2}$"],
["г", "$\\dfrac{2}{3}$"], ["д", "$1\\dfrac{1}{2}$"],
],
sol: `$$b_2 = b_1\\cdot q = \\dfrac{3}{8}\\cdot 4 = \\dfrac{3}{2} = 1\\dfrac{1}{2}$$
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$1\\dfrac{1}{2}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "соответственные углы при двух параллельных прямых и секущей равны между собой;"],
["б", "средняя линия трапеции параллельна основаниям;"],
["в", "$\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
["г", "если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это обязательно квадрат?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Соответственные углы при ∥ прямых равны — <b>верно</b></li>
<li>б) Средняя линия трапеции ∥ основаниям — <b>верно</b></li>
<li>в) $\\cos 60^\\circ = \\frac{1}{2}$ — <b>верно</b></li>
<li>г) Перпендикулярные диагонали → квадрат — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, он является <b>ромбом</b>, но не обязательно квадратом.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Определите наименьшее целое решение двойного неравенства
$-2 \\lt \\dfrac{2x - 1}{3} \\leq 1$.`,
sol: `Умножим все части на $3$: $-6 \\lt 2x-1 \\leq 3$. Прибавим $1$: $-5 \\lt 2x \\leq 4$. Разделим на $2$: $-2{,}5 \\lt x \\leq 2$.
<svg viewBox="0 0 250 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:250px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a8t4" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="238" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a8t4)"/>
<line x1="55" y1="22" x2="55" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="55" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
<line x1="85" y1="22" x2="85" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="85" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−2</text>
<line x1="115" y1="22" x2="115" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="115" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
<line x1="145" y1="22" x2="145" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="145" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="175" y1="22" x2="175" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="175" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">1</text>
<line x1="205" y1="22" x2="205" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="205" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">2</text>
<line x1="70" y1="26" x2="205" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="70" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="205" cy="26" r="5" fill="#2563eb" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<text x="70" y="15" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">−2,5</text>
</svg>
Наименьшее целое число, большее $-2{,}5$: это $-2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-2$</div>`
},
{
text: `В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ точка $O$ — пересечение диагоналей,
$BC = 8$ см, $BO = 4$ см, $OD = 6$ см. Найдите среднюю линию трапеции.`,
sol: `<b>Свойство диагоналей трапеции:</b> точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ в отношении, равном отношению оснований.
<br><b>Формула средней линии трапеции:</b> $m = \\dfrac{a+b}{2}$ — полусумма оснований.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> По свойству диагоналей:
$$\\dfrac{BO}{OD} = \\dfrac{BC}{AD}$$
<b>Шаг 2.</b> Подставляем $BO=4$, $OD=6$, $BC=8$:
$$\\dfrac{4}{6} = \\dfrac{8}{AD}$$
$$AD = \\dfrac{8\\cdot 6}{4} = 12\\text{ см}$$
<svg viewBox="0 0 195 118" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="20,100 160,100 130,25 50,25" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="100" x2="130" y2="25" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<line x1="160" y1="100" x2="50" y2="25" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<circle cx="87" cy="50" r="3" fill="#1e293b"/>
<text x="5" y="113" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="162" y="113" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="132" y="20" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="38" y="20" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="92" y="48" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="80" y="112" font-size="10" fill="#334155" text-anchor="middle">AD = 12</text>
<text x="85" y="18" font-size="10" fill="#334155" text-anchor="middle">BC = 8</text>
<text x="55" y="42" font-size="10" fill="#2563eb">BO=4</text>
<text x="97" y="72" font-size="10" fill="#e11d48">OD=6</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> По формуле средней линии трапеции:
$$m = \\dfrac{BC+AD}{2} = \\dfrac{8+12}{2} = 10\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $10$ см</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$$\\dfrac{x + 2\\sqrt{xy} + y}{\\sqrt{x} + \\sqrt{y}} - \\dfrac{4x - y}{2\\sqrt{x} - \\sqrt{y}}.$$`,
sol: `<b>Формула квадрата суммы:</b> $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Идея:</b> представляем $x$ как $(\\sqrt{x})^2$, чтобы использовать формулы сокращённого умножения и сократить дроби.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем <em>первую дробь</em>. Числитель — полный квадрат:
$$x + 2\\sqrt{xy} + y = (\\sqrt{x})^2 + 2\\cdot\\sqrt{x}\\cdot\\sqrt{y} + (\\sqrt{y})^2 = (\\sqrt{x}+\\sqrt{y})^2$$
Сокращаем на $(\\sqrt{x}+\\sqrt{y})$:
$$\\dfrac{(\\sqrt{x}+\\sqrt{y})^2}{\\sqrt{x}+\\sqrt{y}} = \\sqrt{x}+\\sqrt{y}$$
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем <em>вторую дробь</em>. Числитель — разность квадратов:
$$4x - y = (2\\sqrt{x})^2 - (\\sqrt{y})^2 = (2\\sqrt{x}-\\sqrt{y})(2\\sqrt{x}+\\sqrt{y})$$
Сокращаем на $(2\\sqrt{x}-\\sqrt{y})$:
$$\\dfrac{(2\\sqrt{x}-\\sqrt{y})(2\\sqrt{x}+\\sqrt{y})}{2\\sqrt{x}-\\sqrt{y}} = 2\\sqrt{x}+\\sqrt{y}$$
<b>Шаг 3.</b> Вычисляем разность:
$$(\\sqrt{x}+\\sqrt{y}) - (2\\sqrt{x}+\\sqrt{y}) = \\sqrt{x} + \\sqrt{y} - 2\\sqrt{x} - \\sqrt{y} = -\\sqrt{x}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\sqrt{x}$</div>`
},
{
text: `График функции $y = g(x)$ получен из графика функции $f(x) = x^2$
сдвигом на $2$ единицы вправо вдоль оси абсцисс и на $4$ единицы вниз
вдоль оси ординат. Найдите нули функции $y = g(x)$.`,
sol: `<b>Правило сдвига графика функции:</b>
<br>• сдвиг на $a$ единиц <em>вправо</em>: $f(x) \\to f(x-a)$;
<br>• сдвиг на $b$ единиц <em>вниз</em>: $f(x) \\to f(x)-b$.
<br><b>Нули функции:</b> значения $x$, при которых $g(x)=0$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Сдвинем график $f(x)=x^2$ на $2$ единицы вправо. По правилу:
$$f_1(x) = (x-2)^2$$
<b>Шаг 2.</b> Затем сдвинем график вниз на $4$ единицы:
$$g(x) = (x-2)^2 - 4$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём нули, решая уравнение $g(x)=0$:
$$(x-2)^2 - 4 = 0 \\implies (x-2)^2 = 4$$
<b>Шаг 4.</b> Извлекаем квадратный корень:
$$x - 2 = \\pm 2$$
Значит, $x = 4$ или $x = 0$.
<svg viewBox="0 0 240 128" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a8t7" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker></defs>
<line x1="5" y1="40" x2="228" y2="40" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a8t7)"/>
<line x1="100" y1="122" x2="100" y2="5" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a8t7)"/>
<text x="230" y="44" font-size="10" fill="#777">x</text><text x="102" y="6" font-size="10" fill="#777">y</text>
<polyline points="78,2 100,40 122,64 144,72 166,64 188,40 210,2" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/>
<circle cx="100" cy="40" r="4.5" fill="#2563eb"/>
<text x="100" y="57" font-size="11" fill="#2563eb" text-anchor="middle" font-weight="bold">0</text>
<circle cx="188" cy="40" r="4.5" fill="#2563eb"/>
<text x="188" y="57" font-size="11" fill="#2563eb" text-anchor="middle" font-weight="bold">4</text>
<circle cx="144" cy="72" r="3.5" fill="#e11d48"/>
<text x="150" y="86" font-size="10" fill="#e11d48">(2; −4)</text>
<line x1="144" y1="38" x2="144" y2="42" stroke="#777" stroke-width="1"/>
<text x="144" y="35" font-size="10" fill="#555" text-anchor="middle">2</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 0$ и $x = 4$</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $\\dfrac{7}{x^2 - x - 12} + \\dfrac{1}{x + 3} = -1$.`,
sol: `<b>Решение дробно-рациональных уравнений:</b> ищем ОДЗ, умножаем на общий знаменатель, проверяем корни.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Разложим знаменатель первой дроби. Сумма корней $1$, произведение $-12$. Подходят $4$ и $-3$:
$$x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$$
<b>Шаг 2.</b> ОДЗ: знаменатели не должны быть нулём:
$$x\\neq 4,\\quad x\\neq -3$$
<b>Шаг 3.</b> Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-4)(x+3)$:
$$7 + (x-4) = -(x-4)(x+3)$$
<b>Шаг 4.</b> Упрощаем:
$$x+3 = -(x^2-x-12) = -x^2+x+12$$
$$x^2 - 9 = 0$$
<b>Шаг 5.</b> По формуле разности квадратов: $(x-3)(x+3)=0 \\Rightarrow x=3$ или $x=-3$.
<br><b>Шаг 6.</b> Проверка ОДЗ: $x=-3$ исключён. Проверяем $x=3$:
$$\\dfrac{7}{9-3-12}+\\dfrac{1}{6} = \\dfrac{7}{-6}+\\dfrac{1}{6} = -1 \\checkmark$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 3$</div>`
},
{
text: `Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится $4$
и в остатке $3$. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр,
то в частном получится $3$ и в остатке $5$. Найдите это двузначное число.`,
sol: `<b>Запись двузначного числа:</b> $10a+b$, где $a$ — цифра десятков ($1\\leq a\\leq 9$), $b$ — цифра единиц ($0\\leq b\\leq 9$).
<br><b>Теорема о делении с остатком:</b> если $N$ при делении на $d$ даёт частное $q$ и остаток $r$, то $N = d\\cdot q + r$, $0\\leq r\\lt d$.
<br><b>Формула корней квадратного уравнения:</b> $x=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$, $D=b^2-4ac$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Обозначим за $10a+b$ искомое двузначное число.
<br><b>Шаг 2.</b> <em>Первое условие:</em> при делении на $a+b$ получили частное $4$ и остаток $3$:
$$10a + b = 4(a+b) + 3$$
$$10a + b = 4a + 4b + 3$$
$$6a - 3b = 3$$
$$b = 2a - 1 \\quad (*)$$
<b>Шаг 3.</b> <em>Второе условие:</em> при делении на $ab$ получили частное $3$ и остаток $5$:
$$10a + b = 3ab + 5$$
<b>Шаг 4.</b> Подставим $(*)$ во второе условие:
$$10a + (2a-1) = 3a(2a-1) + 5$$
$$12a - 1 = 6a^2 - 3a + 5$$
$$6a^2 - 15a + 6 = 0$$
Делим на $3$:
$$2a^2 - 5a + 2 = 0$$
<b>Шаг 5.</b> Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$$a = \\dfrac{5\\pm 3}{4} \\implies a = 2 \\text{ или } a = \\dfrac{1}{2}$$
Цифра должна быть целой, значит $a = 2$.
<br><b>Шаг 6.</b> Из $(*)$: $b = 2\\cdot 2 - 1 = 3$. Число $= 23$.
<br><b>Проверка:</b>
<br>• сумма цифр $= 5$; $23:5 = 4$ (ост. $3$): $4\\cdot 5+3=23$ ✓;
<br>• произведение цифр $= 6$; $23:6 = 3$ (ост. $5$): $3\\cdot 6+5=23$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: $23$</div>`
},
{
text: `Внутри параллелограмма $ABCD$ взята точка $K$, такая, что
$S_{BKC} = 12$ см², $S_{AKD} = 20$ см².
Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.`,
figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 265 168" width="265" height="168">
<polygon points="35,143 200,143 220,35 55,35" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
<polygon points="35,143 118,94 55,35" fill="rgba(251,146,60,0.2)"/>
<polygon points="200,143 118,94 220,35" fill="rgba(37,99,235,0.16)"/>
<line x1="118" y1="94" x2="35" y2="143" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="118" y1="94" x2="200" y2="143" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="118" y1="94" x2="220" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="118" y1="94" x2="55" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<circle cx="118" cy="94" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<text x="21" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="203" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="223" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="41" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
<text x="124" y="90" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">K</text>
<text x="65" y="98" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#c2410c">20 см²</text>
<text x="177" y="98" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#1d4ed8">12 см²</text>
</svg>`,
sol: `<b>Свойство точки внутри параллелограмма:</b> для любой точки $K$ внутри параллелограмма $ABCD$ сумма площадей двух треугольников, опирающихся на противоположные стороны, равна половине площади параллелограмма:
$$S_{\\triangle BKC} + S_{\\triangle AKD} = \\dfrac{S_{ABCD}}{2}$$
<br>(Доказательство: $BC$ и $AD$ — противоположные стороны параллелограмма, $BC=AD=a$. Расстояния от $K$ до этих параллельных сторон $h_1$ и $h_2$ в сумме дают высоту параллелограмма $H$. Поэтому $S_{\\triangle BKC}+S_{\\triangle AKD}=\\tfrac{1}{2}a(h_1+h_2)=\\tfrac{1}{2}aH=\\tfrac{1}{2}S_{ABCD}$.)
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> По свойству, доказанному выше:
$$\\dfrac{S_{ABCD}}{2} = S_{\\triangle BKC}+S_{\\triangle AKD}$$
<b>Шаг 2.</b> Подставляем известные площади:
$$\\dfrac{S_{ABCD}}{2} = 12 + 20 = 32$$
<b>Шаг 3.</b> Умножаем обе части на 2:
$$S_{ABCD} = 64\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $64$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v09.js
+251
View File
@@ -0,0 +1,251 @@
VARIANTS[9] = {
label: "Вариант 9",
tasks: [
{
text: `Определите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке:`,
figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 250 54" width="250" height="54">
<line x1="12" y1="26" x2="228" y2="26" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="232,26 223,22 223,30" fill="#334155"/>
<line x1="108" y1="21" x2="108" y2="31" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<line x1="108" y1="26" x2="223" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4.5" stroke-linecap="round" opacity="0.65"/>
<circle cx="108" cy="26" r="5.5" fill="#2563eb" stroke="#1d4ed8" stroke-width="1.5"/>
<text x="108" y="48" text-anchor="middle" font-size="13" font-family="serif" fill="#334155">&#x2212;2</text>
<text x="237" y="30" font-size="13" font-family="serif" fill="#334155">x</text>
</svg>`,
opts: [
["а", "$x < -2$"], ["б", "$x \\leq -2$"], ["в", "$x > -2$"],
["г", "$x \\geq -2$"], ["д", "$x \\in \\mathbb{R}$"],
],
sol: `На рисунке: луч идёт вправо от точки $-2$, точка <b>закрашена</b> (включена).
<br>Закрашенная точка → $\\geq$; луч вправо → $x \\geq -2$.
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$x \\geq -2$</div>`
},
{
text: `$15\\%$ от числа $30$ равны:`,
opts: [
["а", "$0{,}45$"], ["б", "$4{,}5$"], ["в", "$450$"], ["г", "$200$"], ["д", "$2$"],
],
sol: `$$15\\% \\text{ от } 30 = \\frac{15}{100}\\cdot 30 = 0{,}15\\cdot 30 = 4{,}5$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$4{,}5$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$;"],
["б", "сумма всех углов параллелограмма равна $360^{\\circ}$;"],
["в", "синусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе;"],
["г", "биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является и медианой?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Площадь квадрата $= a^2$ — <b>верно</b></li>
<li>б) Сумма углов параллелограмма $= 360°$ — <b>верно</b></li>
<li>в) <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>: $\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$</li>
<li>г) Биссектриса к основанию равнобедренного ∆ = медиана — <b>верно</b></li>
</ul>
В утверждении в) описана <em>косинус</em>, а не синус: $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Приведите одночлен $4ab^2 \\cdot ab \\cdot b^4a \\cdot (-0{,}5)$ к стандартному виду.`,
sol: `Числовой коэффициент: $4\\cdot 1\\cdot 1\\cdot(-0{,}5) = -2$.
<br>Степени: $a^{1+1+1}=a^3$;&ensp; $b^{2+1+4}=b^7$.
$$4ab^2\\cdot ab\\cdot b^4a\\cdot(-0{,}5) = -2a^3b^7$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-2a^3b^7$</div>`
},
{
text: `Для квадратичной функции $y = -x^2 + 4x$ найдите значения аргумента,
при которых значение функции равно $3$.`,
sol: `<b>Чтобы найти аргумент при заданном значении функции</b>, надо приравнять формулу функции к этому значению и решить полученное уравнение относительно $x$.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> По условию $y=3$. Приравняем формулу функции к $3$:
$$-x^2+4x = 3$$
<b>Шаг 2.</b> Перенесём всё в одну часть, сменив знаки:
$$x^2-4x+3=0$$
<b>Шаг 3.</b> По теореме Виета ищем корни: $x_1+x_2=4$, $x_1\\cdot x_2=3$. Подходят $1$ и $3$:
$$(x-1)(x-3)=0 \\implies x=1 \\text{ или } x=3$$
<svg viewBox="0 0 195 105" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a9t5" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker></defs>
<line x1="5" y1="72" x2="182" y2="72" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a9t5)"/>
<line x1="30" y1="98" x2="30" y2="5" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a9t5)"/>
<text x="183" y="76" font-size="10" fill="#777">x</text><text x="32" y="5" font-size="10" fill="#777">y</text>
<!-- parabola y=-x²+4x: vertex (2,4), zeros (0,0) and (4,0) -->
<!-- px(x)=30+35x, py(y)=72-12y -->
<polyline points="30,72 47.5,57 65,36 82.5,25 100,24 117.5,25 135,36 152.5,57 170,72" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/>
<!-- y=3 horizontal line -->
<line x1="5" y1="36" x2="182" y2="36" stroke="#e11d48" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<text x="3" y="34" font-size="9" fill="#e11d48">3</text>
<!-- intersection points x=1 and x=3 -->
<circle cx="65" cy="36" r="4.5" fill="#e11d48"/>
<text x="65" y="54" font-size="11" fill="#e11d48" text-anchor="middle" font-weight="bold">1</text>
<circle cx="135" cy="36" r="4.5" fill="#e11d48"/>
<text x="135" y="54" font-size="11" fill="#e11d48" text-anchor="middle" font-weight="bold">3</text>
<!-- vertex label -->
<text x="97" y="18" font-size="9" fill="#475569">(2; 4)</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 1$ и $x = 3$</div>`
},
{
text: `Треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\\angle C = 90^{\\circ}$), $AC = 4$ см,
проекция катета $BC$ на гипотенузу равна $6$ см.
Найдите длину гипотенузы треугольника $ABC$.`,
sol: `Опустим высоту $CH$ из прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.
<svg viewBox="0 0 130 115" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:130px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- A=(10,100), B=(100,100), H=(30,100), C=(30,65) -->
<polygon points="10,100 100,100 30,65" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- altitude CH -->
<line x1="30" y1="65" x2="30" y2="100" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,2"/>
<!-- right angle at H -->
<path d="M23,100 L23,93 L30,93" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<!-- right angle at C -->
<path d="M27.5,69.3 L31.8,71.1 L29.5,75.2" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<!-- labels -->
<text x="2" y="112" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="102" y="112" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="33" y="60" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="22" y="113" font-size="10" fill="#334155">H</text>
<!-- AC = 4 label -->
<text x="12" y="83" font-size="10" fill="#2563eb">AC=4</text>
<!-- BH = 6 (projection of BC) label -->
<text x="55" y="112" font-size="10" fill="#e11d48">BH=6</text>
<!-- AB = ? label -->
<text x="48" y="96" font-size="10" fill="#334155" text-anchor="middle">AB=?</text>
</svg>
<b>Свойство высоты в прямоугольном треугольнике:</b>
$$AC^2 = AH \\cdot AB \\quad \\text{и} \\quad BC^2 = BH \\cdot AB$$
Из второго соотношения: $BH = \\dfrac{BC^2}{AB}$ — это и есть <em>проекция</em> $BC$ на гипотенузу $= 6$.
<br>Из первого: $AH = \\dfrac{AC^2}{AB} = \\dfrac{16}{AB}$.
<br>Так как $AH + BH = AB$:
$$\\dfrac{16}{AB} + 6 = AB$$
$$AB^2 - 6\\cdot AB - 16 = 0$$
$$(AB-8)(AB+2)=0 \\implies AB = 8\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $8$ см</div>`
},
{
text: `Решите систему уравнений
$$\\begin{cases} x - 4y = 2, \\\\[4pt] xy + 2y = 8. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Метод подстановки</b> для решения системы: из одного уравнения выражаем одну переменную через другую, подставляем в другое и решаем относительно одной переменной.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $y^2+py+q=(y-y_1)(y-y_2)$, где $y_1+y_2=-p$, $y_1\\cdot y_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$$x = 2 + 4y$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим $x$ во второе уравнение:
$$(2+4y)y + 2y = 8$$
$$2y + 4y^2 + 2y = 8$$
$$4y^2 + 4y - 8 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Разделим обе части на $4$, чтобы упростить:
$$y^2 + y - 2 = 0$$
<b>Шаг 4.</b> По теореме Виета: $y_1+y_2=-1$, $y_1\\cdot y_2=-2$. Подходят $-2$ и $1$:
$$(y+2)(y-1)=0 \\implies y=-2 \\text{ или } y=1$$
<b>Шаг 5.</b> По формуле $x=2+4y$ находим $x$ для каждого $y$:
<table style="border-collapse:collapse;margin:8px 0"><tr><td style="padding:2px 14px 2px 0"><b>$y=-2$:</b></td><td>$x=2+4(-2)=-6$ &rarr; $(-6;\\,-2)$</td></tr><tr><td style="padding:2px 14px 2px 0"><b>$y=1$:</b></td><td>$x=2+4(1)=6$ &rarr; $(6;\\,1)$</td></tr></table>
<b>Шаг 6.</b> Проверка $(-6;-2)$: $-6-4(-2)=-6+8=2$ ✓; $(-6)(-2)+2(-2)=12-4=8$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $(-6;\\,-2)$ и $(6;\\,1)$</div>`
},
{
text: `Для перевозки $105$ т груза фирма рассматривала модели грузовых автомобилей МАЗ-4371СО.
Чтобы выполнить работы в срок, было решено использовать грузовой автомобиль
грузоподъёмностью на $2$ т больше. В результате для перевозки груза было сделано
на $6$ рейсов меньше, чем планировалось.
Найдите грузоподъёмность машины, на которой перевезли груз.`,
sol: `Пусть первоначальная грузоподъёмность $= p$ т. Число плановых рейсов $= \\dfrac{105}{p}$.
<br>Новая грузоподъёмность $= p+2$ т. Число фактических рейсов $= \\dfrac{105}{p+2}$.
<br>Условие — на $6$ рейсов меньше:
$$\\frac{105}{p} - \\frac{105}{p+2} = 6$$
$$105\\cdot\\frac{(p+2)-p}{p(p+2)} = 6 \\implies \\frac{210}{p(p+2)}=6$$
$$p(p+2) = 35 \\implies p^2+2p-35=0 \\implies (p+7)(p-5)=0$$
$p=5$ (т.к. $p>0$). Грузоподъёмность использованной машины: $p+2 = 7$ т.
<div class="sol-ans">Ответ: $7$ т</div>`
},
{
text: `Определите количество целых решений неравенства
$$\\dfrac{(-x^2 - x + 6)\\,x^2}{x^2 - x - 2} \\geq 0.$$`,
sol: `<b>Шаг 1 — разложим на множители.</b>
$$-x^2-x+6 = -(x^2+x-6) = -(x+3)(x-2)$$
$$x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$$
Выражение: $\\dfrac{-x^2(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+1)}$. <b>ОДЗ:</b> $x\\neq 2$, $x\\neq -1$.
<br><b>Шаг 2 — сократим</b> $(x-2)$ при $x\\neq 2$:
$$\\frac{-x^2(x+3)}{x+1} \\geq 0 \\iff \\frac{x^2(x+3)}{x+1} \\leq 0$$
<b>Шаг 3 — знаковый анализ.</b>
$x^2 \\geq 0$ всегда. При $x=0$: выражение $=0$ ✓. При $x\\neq 0$: $x^2>0$, нужно $\\dfrac{x+3}{x+1}\\leq 0$.
<br>Критические точки: $x=-3$ (числитель $=0$), $x=-1$ (знаменатель $=0$, исключён).
<br>$\\dfrac{x+3}{x+1}\\leq 0$ выполняется при $-3\\leq x < -1$.
<svg viewBox="0 0 265 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:265px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a9t9" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="255" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a9t9)"/>
<line x1="50" y1="22" x2="50" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="50" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−4</text>
<line x1="80" y1="22" x2="80" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="80" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
<line x1="110" y1="22" x2="110" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="110" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−2</text>
<line x1="140" y1="22" x2="140" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="140" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
<line x1="170" y1="22" x2="170" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="170" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="200" y1="22" x2="200" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="200" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">1</text>
<!-- solution [-3,-1) highlighted -->
<line x1="80" y1="26" x2="140" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="80" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="140" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<!-- isolated point x=0 -->
<circle cx="170" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
</svg>
Решение: $-3\\leq x < -1$ или $x=0$.
<br>Целые числа: $x=-3,\\,-2,\\,0$ — итого <b>3</b>.
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
},
{
text: `В прямоугольную трапецию с основаниями $4$ и $8$ вписана окружность.
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `Пусть $a=8$ (большее основание), $b=4$ (меньшее), $h$ — высота, $r$ — радиус окружности.
<svg viewBox="0 0 185 120" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:185px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- A=(15,96), B=(87,96), C=(87,48), D=(51,48) -->
<!-- Circle: center (63,72), r=24 -->
<polygon points="15,96 87,96 87,48 51,48" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="63" cy="72" r="24" fill="rgba(37,99,235,0.08)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
<!-- right angle at B -->
<path d="M80,96 L80,89 L87,89" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<!-- right angle at C -->
<path d="M80,48 L80,55 L87,55" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<!-- labels -->
<text x="5" y="110" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="89" y="110" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="89" y="44" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="38" y="44" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<!-- a=8 label on AB -->
<text x="48" y="110" font-size="11" fill="#334155" text-anchor="middle">a = 8</text>
<!-- b=4 label on DC -->
<text x="67" y="43" font-size="11" fill="#334155" text-anchor="middle">b = 4</text>
<!-- h label on BC -->
<text x="95" y="75" font-size="11" fill="#334155">h</text>
<!-- r label -->
<line x1="63" y1="72" x2="87" y2="72" stroke="#2563eb" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<text x="72" y="68" font-size="10" fill="#2563eb" font-style="italic">r</text>
<!-- center dot -->
<circle cx="63" cy="72" r="2.5" fill="#2563eb"/>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности:
$$h = 2r$$
(окружность касается обоих оснований снизу и сверху, поэтому её диаметр = расстояние между ними).
<br><br>
<b>Шаг 2.</b> Найдём наклонную боковую сторону $AD$.
<br>Из свойства вписанной окружности в трапецию: <em>сумма оснований = сумма боковых сторон</em>:
$$AB + CD = BC + AD$$
$$8 + 4 = h + AD$$
$$AD = 12 - h = 12 - 2r$$
<br>
<b>Шаг 3.</b> Применим теорему Пифагора к наклонной стороне $AD$.
<br>В прямоугольной трапеции $AD$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $(a-b)$:
$$AD^2 = h^2 + (a-b)^2$$
Подставим $AD = 12-2r$ и $h=2r$, $a-b=8-4=4$:
$$(12-2r)^2 = (2r)^2 + 4^2$$
$$144 - 48r + 4r^2 = 4r^2 + 16$$
$$144 - 48r = 16$$
$$48r = 128$$
$$r = \\frac{128}{48} = \\frac{8}{3}\\text{ см}$$
<br>
<b>Шаг 4.</b> Высота трапеции:
$$h = 2r = 2\\cdot\\frac{8}{3} = \\frac{16}{3}\\text{ см}$$
<br>
<b>Шаг 5.</b> Площадь трапеции:
$$S = \\frac{a+b}{2}\\cdot h = \\frac{8+4}{2}\\cdot\\frac{16}{3} = \\frac{12}{2}\\cdot\\frac{16}{3} = 6\\cdot\\frac{16}{3} = \\frac{96}{3} = 32\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $32$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v10.js
+219
View File
@@ -0,0 +1,219 @@
VARIANTS[10] = {
label: "Вариант 10",
tasks: [
{
text: `Определите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке:`,
figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 250 54" width="250" height="54">
<line x1="12" y1="26" x2="228" y2="26" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="232,26 223,22 223,30" fill="#334155"/>
<line x1="80" y1="21" x2="80" y2="31" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<line x1="80" y1="26" x2="223" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4.5" stroke-linecap="round" opacity="0.65"/>
<circle cx="80" cy="26" r="5.5" fill="#2563eb" stroke="#1d4ed8" stroke-width="1.5"/>
<text x="80" y="48" text-anchor="middle" font-size="13" font-family="serif" fill="#334155">&#x2212;4</text>
<text x="237" y="30" font-size="13" font-family="serif" fill="#334155">x</text>
</svg>`,
opts: [
["а", "$x < -4$"], ["б", "$x \\leq -4$"], ["в", "$x > -4$"],
["г", "$x \\geq -4$"], ["д", "$x \\in \\mathbb{R}$"],
],
sol: `На рисунке: луч идёт вправо от точки $-4$, точка <b>закрашена</b> (включена).
<br>Закрашенная точка → $\\geq$; луч вправо → $x \\geq -4$.
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$x \\geq -4$</div>`
},
{
text: `$25\\%$ от числа $40$ равны:`,
opts: [
["а", "$1$"], ["б", "$10$"], ["в", "$1000$"], ["г", "$160$"], ["д", "$1{,}6$"],
],
sol: `$$25\\% \\text{ от } 40 = \\frac{25}{100}\\cdot 40 = 0{,}25\\cdot 40 = 10$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$10$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $ab$;"],
["б", "сумма всех углов трапеции равна $360^{\\circ}$;"],
["в", "косинусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе;"],
["г", "биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является и высотой?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Площадь прямоугольника $= ab$ — <b>верно</b></li>
<li>б) Сумма углов трапеции $= 360°$ — <b>верно</b></li>
<li>в) <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>: $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$, а не <em>противолежащий</em></li>
<li>г) Биссектриса к основанию равнобедренного $\\triangle$ — также высота — <b>верно</b></li>
</ul>
В утверждении в) описан <em>синус</em>: $\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Приведите одночлен $8nm^3 \\cdot nm \\cdot n^5 \\cdot (-0{,}5)$ к стандартному виду.`,
sol: `Числовой коэффициент: $8\\cdot 1\\cdot 1\\cdot(-0{,}5) = -4$.
<br>Степени: $n^{1+1+5}=n^7$;&ensp; $m^{3+1}=m^4$.
$$8nm^3\\cdot nm\\cdot n^5\\cdot(-0{,}5) = -4n^7m^4$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-4n^7m^4$</div>`
},
{
text: `Для квадратичной функции $y = -x^2 + 2x$ найдите значения аргумента,
при которых значение функции равно $-3$.`,
sol: `<b>Чтобы найти аргумент по значению функции</b>, приравниваем формулу функции к этому значению и решаем уравнение.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> По условию $y=-3$. Приравняем формулу функции к $-3$:
$$-x^2+2x = -3$$
<b>Шаг 2.</b> Перенесём всё в одну часть, поменяв знаки:
$$x^2-2x-3 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> По теореме Виета: $x_1+x_2=2$, $x_1\\cdot x_2=-3$. Подходят $3$ и $-1$:
$$(x-3)(x+1)=0 \\implies x=3 \\text{ или } x=-1$$
<svg viewBox="0 0 195 110" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a10t5" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker></defs>
<line x1="5" y1="62" x2="182" y2="62" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a10t5)"/>
<line x1="40" y1="100" x2="40" y2="5" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a10t5)"/>
<text x="183" y="66" font-size="10" fill="#777">x</text><text x="42" y="5" font-size="10" fill="#777">y</text>
<polyline points="10,104 40,62 70,48 100,62 130,104" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/>
<line x1="5" y1="104" x2="182" y2="104" stroke="#e11d48" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<text x="3" y="102" font-size="9" fill="#e11d48">&#x2212;3</text>
<circle cx="10" cy="104" r="4.5" fill="#e11d48"/>
<text x="10" y="92" font-size="11" fill="#e11d48" text-anchor="middle" font-weight="bold">&#x2212;1</text>
<circle cx="130" cy="104" r="4.5" fill="#e11d48"/>
<text x="130" y="92" font-size="11" fill="#e11d48" text-anchor="middle" font-weight="bold">3</text>
<text x="68" y="42" font-size="9" fill="#475569">(1; 1)</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -1$ и $x = 3$</div>`
},
{
text: `Треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\\angle C = 90^{\\circ}$), $BC = 6$ см,
проекция катета $AC$ на гипотенузу равна $5$ см.
Найдите длину гипотенузы треугольника $ABC$.`,
sol: `<b>Свойство проекций катетов на гипотенузу</b> (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике): если $CH$ — высота, проведённая из прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$, то
$$AC^2 = AH\\cdot AB,\\qquad BC^2 = BH\\cdot AB$$
где $AH$ и $BH$ — проекции катетов $AC$ и $BC$ на гипотенузу.
<br><br>
Опустим высоту $CH$ из прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.
<svg viewBox="0 0 140 120" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:140px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="10,108 120,108 65,50" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="65" y1="50" x2="65" y2="108" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,2"/>
<path d="M58,108 L58,101 L65,101" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<path d="M62,55 L67,58 L64,63" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<text x="2" y="118" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="122" y="118" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="68" y="45" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="57" y="118" font-size="10" fill="#334155">H</text>
<text x="10" y="82" font-size="10" fill="#2563eb">AH=5</text>
<text x="80" y="116" font-size="10" fill="#e11d48">BC=6</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> Проекция катета $AC$ на гипотенузу — это $AH$, по условию $AH=5$ см.
<br><b>Шаг 2.</b> Из соотношения $BC^2 = BH\\cdot AB$ выразим $BH$ через $AB$:
$$BH = \\dfrac{BC^2}{AB} = \\dfrac{36}{AB}$$
<b>Шаг 3.</b> Так как $H$ лежит между $A$ и $B$, то $AH + BH = AB$:
$$5 + \\dfrac{36}{AB} = AB$$
<b>Шаг 4.</b> Умножим обе части на $AB$ (так как $AB\\gt 0$):
$$AB^2 - 5\\cdot AB - 36 = 0$$
<b>Шаг 5.</b> По теореме Виета: сумма корней $=5$, произведение $=-36$. Подходят $9$ и $-4$:
$$(AB-9)(AB+4) = 0$$
Так как $AB\\gt 0$, выбираем $AB=9$ см.
<div class="sol-ans">Ответ: $9$ см</div>`
},
{
text: `Решите систему уравнений
$$\\begin{cases} x - 3y = 4, \\\\[4pt] xy - 7y = 6. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Метод подстановки:</b> выражаем одну переменную из одного уравнения и подставляем в другое.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $y^2+py+q=(y-y_1)(y-y_2)$, где $y_1+y_2=-p$, $y_1\\cdot y_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$$x = 4 + 3y$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим $x$ во второе уравнение:
$$(4+3y)y - 7y = 6$$
$$4y + 3y^2 - 7y = 6$$
$$3y^2 - 3y - 6 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Разделим обе части на $3$:
$$y^2 - y - 2 = 0$$
<b>Шаг 4.</b> По теореме Виета: $y_1+y_2=1$, $y_1\\cdot y_2=-2$. Подходят $2$ и $-1$:
$$(y-2)(y+1)=0 \\implies y=2 \\text{ или } y=-1$$
<b>Шаг 5.</b> Для каждого $y$ находим $x$ по формуле $x=4+3y$:
<table style="border-collapse:collapse;margin:8px 0"><tr><td style="padding:2px 14px 2px 0"><b>$y=2$:</b></td><td>$x=4+6=10$ &rarr; $(10;\\,2)$</td></tr><tr><td style="padding:2px 14px 2px 0"><b>$y=-1$:</b></td><td>$x=4-3=1$ &rarr; $(1;\\,-1)$</td></tr></table>
<b>Шаг 6.</b> Проверка $(10;\\,2)$: $10-3\\cdot 2=4$ ✓; $10\\cdot 2-7\\cdot 2=20-14=6$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $(10;\\,2)$ и $(1;\\,-1)$</div>`
},
{
text: `Для перевозки $140$ т груза фирма рассматривала модели грузовых автомобилей МАЗ-5551.
После изучения условий аренды было решено использовать грузовой автомобиль
грузоподъёмностью на $3$ т меньше. В результате для перевозки груза
понадобилось сделать на $6$ рейсов больше, чем планировалось.
Найдите грузоподъёмность машины, на которой перевезли груз.`,
sol: `Пусть первоначальная грузоподъёмность $= p$ т. Число плановых рейсов $= \\dfrac{140}{p}$.
<br>Новая грузоподъёмность $= p-3$ т. Число фактических рейсов $= \\dfrac{140}{p-3}$.
<br>Условие — на $6$ рейсов больше:
$$\\frac{140}{p-3} - \\frac{140}{p} = 6$$
$$140\\cdot\\frac{p-(p-3)}{p(p-3)} = 6 \\implies \\frac{420}{p(p-3)} = 6$$
$$p(p-3) = 70 \\implies p^2-3p-70 = 0 \\implies (p-10)(p+7) = 0$$
$p=10$ (т.к. $p \\gt 3$). Грузоподъёмность использованной машины: $p-3 = 7$ т.
<div class="sol-ans">Ответ: $7$ т</div>`
},
{
text: `Определите количество целых решений неравенства
$$\\dfrac{(-x^2 - 4x + 5)\\,x^2}{x^2 - 2x - 3} \\geq 0.$$`,
sol: `<b>Шаг 1 — разложим на множители.</b>
$$-x^2-4x+5 = -(x^2+4x-5) = -(x+5)(x-1)$$
$$x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$$
Выражение: $\\dfrac{-x^2(x+5)(x-1)}{(x-3)(x+1)}$. <b>ОДЗ:</b> $x\\neq 3$, $x\\neq -1$.
<br><b>Шаг 2 — перепишем условие.</b>
$$\\frac{-x^2(x+5)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\geq 0 \\iff \\frac{x^2(x+5)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\leq 0$$
<b>Шаг 3 — знаковый анализ.</b>
При $x=0$ или $x=1$: выражение $=0$ ✓.
При $x\\neq 0,\\,1$: $x^2 \\gt 0$, нужно $\\dfrac{(x+5)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\leq 0$.
<br>Критические точки: $x=-5$, $x=-1$ (искл.), $x=1$, $x=3$ (искл.).
<br>Методом интервалов (числитель меняет знак в $-5$ и $1$; знаменатель в $-1$ и $3$):
<svg viewBox="0 0 295 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:295px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a10t9" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="285" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a10t9)"/>
<line x1="35" y1="22" x2="35" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="35" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">&#x2212;5</text>
<line x1="88" y1="22" x2="88" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="88" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">&#x2212;1</text>
<line x1="140" y1="22" x2="140" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="140" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="185" y1="22" x2="185" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="185" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">1</text>
<line x1="240" y1="22" x2="240" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="240" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3</text>
<line x1="35" y1="26" x2="88" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="35" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="88" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="140" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<line x1="185" y1="26" x2="240" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="185" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="240" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
</svg>
Решение: $-5 \\leq x \\lt -1$, или $x=0$, или $1 \\leq x \\lt 3$.
<br>Целые числа: $x=-5,\\,-4,\\,-3,\\,-2$ и $x=0$ и $x=1,\\,2$ — итого <b>7</b>.
<div class="sol-ans">Ответ: $7$</div>`
},
{
text: `В прямоугольную трапецию с основаниями $6$ и $12$ вписана окружность.
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `Пусть $a=12$ (большее основание), $b=6$ (меньшее), $h$ — высота, $r$ — радиус вписанной окружности.
<svg viewBox="0 0 200 130" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="15,106 103,106 103,42 67,42" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="77" cy="74" r="32" fill="rgba(37,99,235,0.08)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
<path d="M96,106 L96,99 L103,99" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<path d="M96,42 L96,49 L103,49" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<text x="5" y="118" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="105" y="118" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="105" y="38" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="52" y="38" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="55" y="120" font-size="11" fill="#334155" text-anchor="middle">a = 12</text>
<text x="83" y="37" font-size="11" fill="#334155" text-anchor="middle">b = 6</text>
<text x="110" y="80" font-size="11" fill="#334155">h</text>
<line x1="77" y1="74" x2="103" y2="74" stroke="#2563eb" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<text x="86" y="70" font-size="10" fill="#2563eb" font-style="italic">r</text>
<circle cx="77" cy="74" r="2.5" fill="#2563eb"/>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> Высота равна диаметру вписанной окружности: $h = 2r$.
<br><b>Шаг 2.</b> Из свойства вписанной окружности в трапецию ($a+b = h+AD$):
$$12+6 = 2r+AD \\implies AD = 18-2r$$
<b>Шаг 3.</b> Теорема Пифагора (наклонная боковая $AD$, разность оснований $a-b=6$):
$$(18-2r)^2 = (2r)^2+6^2$$
$$324-72r+4r^2 = 4r^2+36$$
$$72r = 288 \\implies r = 4\\text{ см}$$
<b>Шаг 4.</b> Высота: $h = 2r = 8$ см.
<br><b>Шаг 5.</b> Площадь:
$$S = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot h = \\dfrac{12+6}{2}\\cdot 8 = 9\\cdot 8 = 72\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $72$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v11.js
+213
View File
@@ -0,0 +1,213 @@
VARIANTS[11] = {
label: "Вариант 11",
tasks: [
{
text: `Определите, графиком какой из следующих функций является прямая:`,
opts: [
["а", "$y = \\dfrac{4}{x}$"], ["б", "$y = \\dfrac{x}{4}$"], ["в", "$y = 4x^2$"],
["г", "$y = 4\\sqrt{x}$"], ["д", "$y = 4|x|$"],
],
sol: `<ul>
<li>а) $y=4/x$ — гипербола</li>
<li><b>б) $y=x/4=(1/4)x$</b> — линейная функция вида $y=kx$, её график — <b>прямая</b> ✓</li>
<li>в) $y=4x^2$ — парабола</li>
<li>г) $y=4\\sqrt{x}$ — ветвь параболы (только $x\\geq 0$)</li>
<li>д) $y=4|x|$ — две полупрямые (V-образный график)</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$y=\\dfrac{x}{4}$</div>`
},
{
text: `Выражение, тождественно равное выражению $(a^5)^{-1} \\cdot a^{-13}$, имеет вид:`,
opts: [
["а", "$a^{-9}$"], ["б", "$a^{-18}$"], ["в", "$a^8$"],
["г", "$a^{18}$"], ["д", "$a^{17}$"],
],
sol: `$$(a^5)^{-1}\\cdot a^{-13} = a^{-5}\\cdot a^{-13} = a^{-5+(-13)} = a^{-18}$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$a^{-18}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон;"],
["б", "сумма углов треугольника равна $360^{\\circ}$;"],
["в", "средняя линия трапеции равна полусумме оснований;"],
["г", "на плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Неравенство треугольника — <b>верно</b></li>
<li>б) Сумма углов треугольника $= 360°$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>в) Средняя линия трапеции $=\\frac{a+b}{2}$ — <b>верно</b></li>
<li>г) Транзитивность параллельности — <b>верно</b></li>
</ul>
Сумма углов любого треугольника равна $\\mathbf{180°}$, а не $360°$.
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $0{,}64 - x^2 = 0$.
В ответ запишите наименьший корень уравнения.`,
sol: `$$x^2 = 0{,}64 = \\left(\\frac{8}{10}\\right)^2 \\implies x = \\pm 0{,}8$$
Наименьший корень: $x = -0{,}8$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-0{,}8$</div>`
},
{
text: `Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе,
и одним из катетов равен $60^{\\circ}$. Второй катет равен $16$ см.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.`,
sol: `В прямоугольном $\\triangle ABC$ ($\\angle C=90°$) высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$.
<svg viewBox="0 0 175 112" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:175px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="20,102 148,102 52,47" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="52" y1="47" x2="52" y2="102" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,2"/>
<path d="M45,102 L45,95 L52,95" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<path d="M50,51 L54,54 L56,50" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<path d="M52,67 A20,20 0 0,1 69,57" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1.3"/>
<text x="67" y="72" font-size="10" fill="#e11d48">60°</text>
<text x="2" y="112" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="150" y="112" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="54" y="42" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="43" y="112" font-size="10" fill="#334155">H</text>
<text x="18" y="78" font-size="10" fill="#2563eb">AC=16</text>
<text x="78" y="110" font-size="10" fill="#334155">2R = AB = ?</text>
</svg>
<b>Свойство высоты в прямоугольном треугольнике:</b> угол между высотой $CH$ и катетом $BC$ равен $\\angle A$.
$$\\angle BCH = \\angle A = 60°$$
Значит $\\angle A=60°$, $\\angle B=30°$.
<br>«Второй катет» $AC$ — тот, что не связан напрямую с $60°$:
$$\\sin(\\angle B) = \\frac{AC}{AB} \\implies \\sin 30° = \\frac{16}{AB} \\implies \\frac{1}{2} = \\frac{16}{AB}$$
$$AB = 32\\text{ см}$$
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника:
$$R = \\frac{AB}{2} = \\frac{32}{2} = 16\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $R = 16$ см</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$\\dfrac{1}{1+\\sqrt{2}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{3}+2}$.`,
sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы избавиться от радикала в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на <em>сопряжённое выражение</em> — то же выражение с противоположным знаком.
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ — позволяет «сворачивать» произведение сопряжённых выражений.
<br><b>Идея:</b> после рационализации возникает <b>телескопическая сумма</b>, в которой соседние слагаемые попарно сокращаются.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Рационализируем <em>первую дробь</em>. Сопряжённое выражение для $1+\\sqrt{2}$ — это $\\sqrt{2}-1$. Умножим числитель и знаменатель на него:
$$\\dfrac{1}{1+\\sqrt{2}} = \\dfrac{\\sqrt{2}-1}{(1+\\sqrt{2})(\\sqrt{2}-1)} = \\dfrac{\\sqrt{2}-1}{(\\sqrt{2})^2-1^2} = \\dfrac{\\sqrt{2}-1}{2-1} = \\sqrt{2}-1$$
<b>Шаг 2.</b> Рационализируем <em>вторую дробь</em>. Сопряжённое к $\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$ — $\\sqrt{3}-\\sqrt{2}$:
$$\\dfrac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})} = \\dfrac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{3-2} = \\sqrt{3}-\\sqrt{2}$$
<b>Шаг 3.</b> Рационализируем <em>третью дробь</em>. Сопряжённое к $\\sqrt{3}+2$ — $2-\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{1}{\\sqrt{3}+2} = \\dfrac{2-\\sqrt{3}}{(\\sqrt{3}+2)(2-\\sqrt{3})} = \\dfrac{2-\\sqrt{3}}{4-3} = 2-\\sqrt{3}$$
<b>Шаг 4.</b> Складываем полученные выражения. Заметим, что сумма телескопическая — соседние слагаемые сокращаются:
$$(\\sqrt{2}-1) + (\\sqrt{3}-\\sqrt{2}) + (2-\\sqrt{3})$$
Группируем подобные:
$$= -1 + (\\sqrt{2}-\\sqrt{2}) + (\\sqrt{3}-\\sqrt{3}) + 2 = -1 + 0 + 0 + 2 = 1$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
},
{
text: `Определите количество целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} \\dfrac{x+2}{2} - 3 \\leq \\dfrac{x-3}{3}, \\\\[6pt] x^2 < 5x + 6. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Решение системы неравенств:</b> решаем каждое неравенство отдельно, затем берём <em>пересечение</em> множеств решений.
<br><b>Метод интервалов</b> для квадратного неравенства: раскладываем квадратный трёхчлен на множители $(x-x_1)(x-x_2)$ и находим знаки на интервалах между корнями.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Решаем первое неравенство. Умножим обе части на $6$ (общий знаменатель):
$$3(x+2) - 18 \\leq 2(x-3)$$
$$3x + 6 - 18 \\leq 2x - 6$$
$$3x - 12 \\leq 2x - 6$$
$$x \\leq 6$$
<b>Шаг 2.</b> Решаем второе неравенство. Перенесём всё влево:
$$x^2 - 5x - 6 \\lt 0$$
<b>Шаг 3.</b> По теореме Виета: $x_1+x_2=5$, $x_1\\cdot x_2=-6$. Подходят $6$ и $-1$:
$$(x-6)(x+1) \\lt 0$$
Произведение отрицательно, когда множители разных знаков, что выполнено при $-1\\lt x\\lt 6$.
<br><b>Шаг 4.</b> Берём пересечение решений двух неравенств: $\\{x\\leq 6\\}\\cap\\{-1\\lt x\\lt 6\\} = \\{-1\\lt x\\lt 6\\}$.
<br><b>Шаг 5.</b> Считаем целые числа из промежутка $(-1;6)$: $0,1,2,3,4,5$ — всего <b>6</b> чисел.
<div class="sol-ans">Ответ: $6$</div>`
},
{
text: `Найдите все значения переменной, при которых разность дробей
$\\dfrac{x}{x+1}$ и $\\dfrac{1}{x}$ равна дроби $\\dfrac{1}{x^2+x}$.`,
sol: `<b>Решение дробно-рациональных уравнений:</b> 1) найти ОДЗ (знаменатели $\\neq 0$); 2) привести к общему знаменателю или умножить обе части на него; 3) решить полученное уравнение; 4) проверить, входят ли корни в ОДЗ.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем условие в виде уравнения:
$$\\dfrac{x}{x+1} - \\dfrac{1}{x} = \\dfrac{1}{x^2+x}$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим знаменатель правой части: $x^2+x = x(x+1)$. Это и есть общий знаменатель всех трёх дробей.
<br>ОДЗ: знаменатели не равны нулю, поэтому $x\\neq 0$ и $x\\neq -1$.
<br><b>Шаг 3.</b> Умножим обе части уравнения на $x(x+1)$:
$$\\dfrac{x}{x+1}\\cdot x(x+1) - \\dfrac{1}{x}\\cdot x(x+1) = \\dfrac{1}{x(x+1)}\\cdot x(x+1)$$
$$x\\cdot x - (x+1)\\cdot 1 = 1$$
$$x^2 - (x+1) = 1$$
<b>Шаг 4.</b> Раскрываем скобки и приводим к стандартному виду:
$$x^2 - x - 1 = 1$$
$$x^2 - x - 2 = 0$$
<b>Шаг 5.</b> По теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1\\cdot x_2=-2$. Подходят $-1$ и $2$:
$$(x+1)(x-2) = 0 \\implies x = -1 \\text{ или } x = 2$$
<b>Шаг 6.</b> Проверяем ОДЗ: $x=-1$ не входит в ОДЗ (отбрасываем). Остаётся $x=2$.
<br><b>Проверка</b> подстановкой $x=2$:
$$\\dfrac{2}{3} - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{4-3}{6} = \\dfrac{1}{6};\\quad \\dfrac{1}{4+2} = \\dfrac{1}{6} \\checkmark$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 2$</div>`
},
{
text: `Число $a$ равно $70\\%$ от числа $b$, число $c$ на $42$ больше числа $b$.
Найдите значение выражения $a + b + c$,
если известно, что число $a$ равно $40\\%$ от числа $c$.`,
sol: `<b>Перевод процентов в дроби:</b> $p\\%$ от числа $N$ — это $\\dfrac{p}{100}\\cdot N$.
<br><b>Метод составления уравнения:</b> переводим условия с процентами в равенства, получаем систему и решаем её.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем каждое условие в виде уравнения.
<br>• «$a$ равно $70\\%$ от $b$»:
$$a = 0{,}7b \\quad (1)$$
<br>• «$c$ на $42$ больше $b$»:
$$c = b + 42 \\quad (2)$$
<br>• «$a$ равно $40\\%$ от $c$»:
$$a = 0{,}4c \\quad (3)$$
<b>Шаг 2.</b> Подставляем $(1)$ и $(2)$ в $(3)$, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $b$:
$$0{,}7b = 0{,}4(b+42)$$
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки:
$$0{,}7b = 0{,}4b + 16{,}8$$
$$0{,}3b = 16{,}8$$
$$b = 56$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $a$ из $(1)$ и $c$ из $(2)$:
$$a = 0{,}7\\cdot 56 = 39{,}2$$
$$c = 56 + 42 = 98$$
<b>Проверка</b> $(3)$: $0{,}4\\cdot 98 = 39{,}2 = a$ ✓
<br><b>Шаг 5.</b> Вычисляем сумму:
$$a + b + c = 39{,}2 + 56 + 98 = 193{,}2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $193{,}2$</div>`
},
{
text: `Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята точка $K$, такая, что
$AK$ — биссектриса угла $A$, а $DK$ — биссектриса угла $D$ параллелограмма.
Найдите площадь параллелограмма, если $AK = 8$ см, $DK = 6$ см.`,
figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 265 168" width="265" height="168">
<polygon points="35,143 200,143 220,35 55,35" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
<line x1="35" y1="143" x2="208" y2="107" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<line x1="55" y1="35" x2="208" y2="107" stroke="#c2410c" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="208" cy="107" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<text x="21" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="203" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="223" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="41" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
<text x="215" y="105" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">K</text>
<text x="108" y="136" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#1d4ed8">AK = 8 см</text>
<text x="120" y="72" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#c2410c">DK = 6 см</text>
</svg>`,
sol: `<b>Шаг 1 — угол при K в треугольнике AKD.</b>
<br>В параллелограмме $\\angle A + \\angle D = 180°$. Делим на 2:
$$\\angle KAD + \\angle KDA = \\frac{\\angle A}{2}+\\frac{\\angle D}{2} = 90°$$
В $\\triangle AKD$ сумма углов $= 180°$:
$$\\angle AKD = 180° - (\\angle KAD + \\angle KDA) = 180° - 90° = \\mathbf{90°}$$
Треугольник $AKD$ — <b>прямоугольный</b>!
<br><br>
<b>Шаг 2 — длина AD.</b>
$$AD = \\sqrt{AK^2 + DK^2} = \\sqrt{64+36} = \\sqrt{100} = 10\\text{ см}$$
<b>Шаг 3 — длина AB.</b>
<br>В $\\triangle ABK$: $\\angle BAK = \\angle A/2$, $\\angle ABK = 180°-\\angle A$, поэтому $\\angle AKB = \\angle A/2$.
<br>Треугольник $ABK$ — <b>равнобедренный</b>: $BK = AB$.
<br>Аналогично в $\\triangle DKC$: $KC = DC = AB$.
$$BC = BK + KC = AB + AB = 2\\cdot AB$$
Так как $BC = AD = 10$: $\\quad AB = 5$ см.
<br><br>
<b>Шаг 4 — площадь.</b>
<br>Из $\\triangle AKD$: $\\sin(\\angle KAD) = \\dfrac{DK}{AD} = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}$, $\\cos(\\angle KAD) = \\dfrac{4}{5}$.
$$\\sin(\\angle A) = \\sin(2\\angle KAD) = 2\\cdot\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{4}{5} = \\frac{24}{25}$$
$$S = AB\\cdot AD\\cdot\\sin(\\angle A) = 5\\cdot 10\\cdot\\frac{24}{25} = \\frac{1200}{25} = 48\\text{ см}^2$$
<i>Проверка через части:</i> $S_{ABK}+S_{AKD}+S_{DKC} = 12+24+12 = 48$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $48$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v12.js
+212
View File
@@ -0,0 +1,212 @@
VARIANTS[12] = {
label: "Вариант 12",
tasks: [
{
text: `Определите, графиком какой из следующих функций является прямая:`,
opts: [
["а", "$y = -\\dfrac{1}{5x}$"], ["б", "$y = \\dfrac{1}{5}x^2$"], ["в", "$y = -\\dfrac{1}{5}x$"],
["г", "$y = \\dfrac{\\sqrt{x}}{5}$"], ["д", "$y = 5|x|$"],
],
sol: `<ul>
<li>а) $y=-\\dfrac{1}{5x}$ — гипербола</li>
<li>б) $y=\\dfrac{1}{5}x^2$ — парабола</li>
<li><b>в) $y=-\\dfrac{1}{5}x = \\left(-\\dfrac{1}{5}\\right)x$</b> — линейная функция вида $y=kx$, её график — <b>прямая</b> ✓</li>
<li>г) $y=\\dfrac{\\sqrt{x}}{5}$ — ветвь параболы (только $x\\geq 0$)</li>
<li>д) $y=5|x|$ — V-образный график (две полупрямые)</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$y=-\\dfrac{1}{5}x$</div>`
},
{
text: `Выражение, тождественно равное выражению $(b^{-2})^{-4} \\cdot b^3$, имеет вид:`,
opts: [
["а", "$b^{-3}$"], ["б", "$b^{-5}$"], ["в", "$b^{11}$"],
["г", "$b^5$"], ["д", "$b^{-9}$"],
],
sol: `$$(b^{-2})^{-4}\\cdot b^3 = b^{(-2)\\cdot(-4)}\\cdot b^3 = b^8\\cdot b^3 = b^{8+3} = b^{11}$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$b^{11}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета;"],
["б", "сумма углов четырёхугольника равна $180^{\\circ}$;"],
["в", "средняя линия треугольника равна половине основания;"],
["г", "на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Гипотенуза — наибольшая сторона прямоугольного треугольника — <b>верно</b></li>
<li>б) Сумма углов четырёхугольника $= 180°$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>в) Средняя линия треугольника $= \\dfrac{1}{2}$ основания — <b>верно</b></li>
<li>г) Транзитивность перпендикулярности на плоскости — <b>верно</b></li>
</ul>
Сумма углов любого четырёхугольника равна $\\mathbf{360°}$, а не $180°$.
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $0{,}49 - x^2 = 0$.
В ответ запишите наибольший корень уравнения.`,
sol: `$$x^2 = 0{,}49 = \\left(\\frac{7}{10}\\right)^2 \\implies x = \\pm 0{,}7$$
Наибольший корень: $x = 0{,}7$.
<div class="sol-ans">Ответ: $0{,}7$</div>`
},
{
text: `Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе,
и катетом, длина которого $12$ см, равен $30^{\\circ}$.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.`,
sol: `В прямоугольном $\\triangle ABC$ ($\\angle C=90°$) высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$.
<svg viewBox="0 0 175 112" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:175px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="20,102 148,102 52,47" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="52" y1="47" x2="52" y2="102" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,2"/>
<path d="M45,102 L45,95 L52,95" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<path d="M50,51 L54,54 L56,50" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<path d="M52,67 A20,20 0 0,1 67,58" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1.3"/>
<text x="60" y="72" font-size="10" fill="#e11d48">30°</text>
<text x="2" y="112" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="150" y="112" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="54" y="42" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="43" y="112" font-size="10" fill="#334155">H</text>
<text x="84" y="110" font-size="10" fill="#2563eb">BC=12</text>
<text x="78" y="88" font-size="10" fill="#334155">2R = AB = ?</text>
</svg>
<b>Свойство высоты в прямоугольном треугольнике:</b> угол между высотой $CH$ и катетом $BC$ равен $\\angle A$.
$$\\angle BCH = \\angle A = 30°$$
Значит $\\angle A=30°$, $\\angle B=60°$.
<br>Катет $BC=12$ см, $\\angle A=30°$:
$$\\sin(\\angle A) = \\dfrac{BC}{AB} \\implies \\sin 30° = \\dfrac{12}{AB} \\implies \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{12}{AB}$$
$$AB = 24\\text{ см}$$
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника:
$$R = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{24}{2} = 12\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $R = 12$ см</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$\\dfrac{1}{2-\\sqrt{3}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{2}-1}$.`,
sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы избавиться от радикала в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на <em>сопряжённое выражение</em>.
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ — позволяет «сворачивать» произведение сопряжённых.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Рационализируем <em>первую дробь</em>. Сопряжённое к $2-\\sqrt{3}$ — это $2+\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{1}{2-\\sqrt{3}} = \\dfrac{2+\\sqrt{3}}{(2-\\sqrt{3})(2+\\sqrt{3})} = \\dfrac{2+\\sqrt{3}}{4-3} = 2+\\sqrt{3}$$
<b>Шаг 2.</b> Рационализируем <em>вторую дробь</em>. Сопряжённое к $\\sqrt{2}-\\sqrt{3}$ — это $\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{1}{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{(\\sqrt{2})^2-(\\sqrt{3})^2} = \\dfrac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{2-3} = -(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})$$
<b>Шаг 3.</b> Рационализируем <em>третью дробь</em>. Сопряжённое к $\\sqrt{2}-1$ — это $\\sqrt{2}+1$:
$$\\dfrac{1}{\\sqrt{2}-1} = \\dfrac{\\sqrt{2}+1}{(\\sqrt{2}-1)(\\sqrt{2}+1)} = \\dfrac{\\sqrt{2}+1}{2-1} = \\sqrt{2}+1$$
<b>Шаг 4.</b> Складываем полученные выражения и группируем подобные:
$$(2+\\sqrt{3}) + \\bigl(-(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})\\bigr) + (\\sqrt{2}+1)$$
$$= 2 + \\sqrt{3} - \\sqrt{2} - \\sqrt{3} + \\sqrt{2} + 1$$
$$= 2 + 1 + (\\sqrt{3}-\\sqrt{3}) + (-\\sqrt{2}+\\sqrt{2}) = 3$$
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
},
{
text: `Определите количество целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} x^2 \\leq 6 - x, \\\\[6pt] \\dfrac{x+3}{2} - 1 > \\dfrac{x-4}{7}. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Решение системы неравенств:</b> решаем каждое неравенство отдельно, затем берём <em>пересечение</em> множеств решений.
<br><b>Метод интервалов</b> для квадратного неравенства: раскладываем квадратный трёхчлен и определяем знаки.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Решаем первое неравенство. Перенесём $6-x$ влево:
$$x^2 + x - 6 \\leq 0$$
По теореме Виета корни — $-3$ и $2$ (так как $x_1+x_2=-1$, $x_1\\cdot x_2=-6$). Раскладываем:
$$(x+3)(x-2) \\leq 0$$
Произведение неположительно при $-3\\leq x\\leq 2$.
<br><b>Шаг 2.</b> Решаем второе неравенство. Умножим обе части на $14$ (общий знаменатель):
$$7(x+3) - 14 \\gt 2(x-4)$$
$$7x + 21 - 14 \\gt 2x - 8$$
$$7x + 7 \\gt 2x - 8$$
$$5x \\gt -15$$
$$x \\gt -3$$
<b>Шаг 3.</b> Берём пересечение: $\\{-3\\leq x\\leq 2\\}\\cap\\{x\\gt -3\\} = \\{-3\\lt x\\leq 2\\}$.
<br><b>Шаг 4.</b> Целые числа из $(-3;2]$: $-2,-1,0,1,2$ — всего <b>5</b> чисел.
<div class="sol-ans">Ответ: $5$</div>`
},
{
text: `Найдите все значения переменной, при которых разность дробей
$\\dfrac{x}{x-2}$ и $\\dfrac{1}{x}$ равна дроби $\\dfrac{4}{x^2-2x}$.`,
sol: `<b>Решение дробно-рациональных уравнений:</b> 1) находим ОДЗ; 2) умножаем обе части на общий знаменатель; 3) решаем полученное уравнение; 4) проверяем корни на принадлежность ОДЗ.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем уравнение:
$$\\dfrac{x}{x-2} - \\dfrac{1}{x} = \\dfrac{4}{x^2-2x}$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим знаменатель правой части: $x^2-2x = x(x-2)$ — это и есть общий знаменатель.
<br>ОДЗ: $x\\neq 0$ и $x\\neq 2$.
<br><b>Шаг 3.</b> Умножим обе части на $x(x-2)$:
$$\\dfrac{x}{x-2}\\cdot x(x-2) - \\dfrac{1}{x}\\cdot x(x-2) = \\dfrac{4}{x(x-2)}\\cdot x(x-2)$$
$$x\\cdot x - (x-2) = 4$$
$$x^2 - x + 2 = 4$$
$$x^2 - x - 2 = 0$$
<b>Шаг 4.</b> По теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1\\cdot x_2=-2$. Подходят $2$ и $-1$:
$$(x-2)(x+1) = 0 \\implies x=2 \\text{ или } x=-1$$
<b>Шаг 5.</b> Проверяем ОДЗ: $x=2$ не входит (отбрасываем). Остаётся $x=-1$.
<br><b>Проверка</b> $x=-1$:
$$\\dfrac{-1}{-3} - \\dfrac{1}{-1} = \\dfrac{1}{3} + 1 = \\dfrac{4}{3};\\quad \\dfrac{4}{1+2} = \\dfrac{4}{3} \\checkmark$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -1$</div>`
},
{
text: `Число $a$ равно $80\\%$ от числа $b$. Число $c$ равно $140\\%$ от числа $b$.
Найдите значение выражения $a + b + c$,
если известно, что число $c$ на $72$ больше числа $a$.`,
sol: `<b>Перевод процентов в дроби:</b> $p\\%$ от числа $N$ — это $\\dfrac{p}{100}\\cdot N$.
<br><b>Метод составления уравнения:</b> переводим условия с процентами в равенства и решаем.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем условия в виде уравнений.
<br>• «$a$ равно $80\\%$ от $b$»:
$$a = 0{,}8b \\quad (1)$$
<br>• «$c$ равно $140\\%$ от $b$»:
$$c = 1{,}4b \\quad (2)$$
<br>• «$c$ на $72$ больше $a$»:
$$c - a = 72 \\quad (3)$$
<b>Шаг 2.</b> Подставляем $(1)$ и $(2)$ в $(3)$:
$$1{,}4b - 0{,}8b = 72$$
$$0{,}6b = 72$$
$$b = 120$$
<b>Шаг 3.</b> Находим $a$ из $(1)$ и $c$ из $(2)$:
$$a = 0{,}8\\cdot 120 = 96$$
$$c = 1{,}4\\cdot 120 = 168$$
<b>Проверка</b> $(3)$: $c - a = 168 - 96 = 72$ ✓
<br><b>Шаг 4.</b> Вычисляем сумму:
$$a + b + c = 96 + 120 + 168 = 384$$
<div class="sol-ans">Ответ: $384$</div>`
},
{
text: `Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $AD$ взята точка $M$, такая, что
$BM$ — биссектриса угла $B$, а $CM$ — биссектриса угла $C$ параллелограмма.
Найдите площадь параллелограмма, если $BM = 12$ см, $CM = 16$ см.`,
figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 265 168" width="265" height="168">
<polygon points="35,143 200,143 220,35 55,35" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
<line x1="200" y1="143" x2="45" y2="89" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<line x1="220" y1="35" x2="45" y2="89" stroke="#c2410c" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="45" cy="89" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<text x="21" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="203" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="223" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="41" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
<text x="30" y="87" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">M</text>
<text x="118" y="130" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#1d4ed8">BM = 12 см</text>
<text x="120" y="60" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#c2410c">CM = 16 см</text>
</svg>`,
sol: `<b>Свойство параллелограмма:</b> сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$ (соседние углы дополнительны).
<br><b>Свойство биссектрис:</b> биссектриса делит угол пополам.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2+b^2$.
<br><b>Формула площади параллелограмма:</b> $S = a\\cdot b\\cdot\\sin\\alpha$, где $\\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$.
<br><b>Формула синуса двойного угла:</b> $\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha$.
<br><br>
<b>Шаг 1 — найдём угол BMC.</b> В параллелограмме $\\angle B + \\angle C = 180°$ (соседние углы). Делим на 2:
$$\\angle MBC + \\angle MCB = \\dfrac{\\angle B}{2} + \\dfrac{\\angle C}{2} = 90°$$
В $\\triangle BMC$ сумма углов $180°$, значит:
$$\\angle BMC = 180° - 90° = 90°$$
Треугольник $BMC$ — <b>прямоугольный</b>!
<br><b>Шаг 2 — длина BC.</b> По теореме Пифагора:
$$BC = \\sqrt{BM^2 + CM^2} = \\sqrt{144+256} = \\sqrt{400} = 20\\text{ см}$$
<b>Шаг 3 — длина AB.</b> В $\\triangle ABM$: углы $\\angle BAM = \\angle A/2$ и $\\angle AMB = \\angle MAD = \\angle A/2$ (накрест лежащие при параллельных $BC$ и $AD$). Значит, $\\triangle ABM$ — <em>равнобедренный</em>, и $AM = AB$.
<br>Аналогично в $\\triangle DCM$: $DM = DC = AB$.
<br>Так как $AD = AM + MD$:
$$AD = AB + AB = 2\\cdot AB$$
$AD = BC = 20$, значит $AB = 10$ см.
<br><b>Шаг 4 — синус угла B.</b> Из прямоугольного $\\triangle BMC$:
$$\\sin(\\angle MBC) = \\dfrac{CM}{BC} = \\dfrac{16}{20} = \\dfrac{4}{5},\\quad \\cos(\\angle MBC) = \\dfrac{BM}{BC} = \\dfrac{12}{20} = \\dfrac{3}{5}$$
Поскольку $\\angle B = 2\\angle MBC$, применяем формулу двойного угла:
$$\\sin(\\angle B) = 2\\sin(\\angle MBC)\\cos(\\angle MBC) = 2\\cdot\\dfrac{4}{5}\\cdot\\dfrac{3}{5} = \\dfrac{24}{25}$$
<b>Шаг 5 — площадь.</b>
$$S = AB\\cdot BC\\cdot\\sin(\\angle B) = 10\\cdot 20\\cdot\\dfrac{24}{25} = \\dfrac{4800}{25} = 192\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $192$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v13.js
+234
View File
@@ -0,0 +1,234 @@
VARIANTS[13] = {
label: "Вариант 13",
tasks: [
{
text: `Определите, какая из следующих пар чисел является вершиной параболы
$y = -(x-3)^2 + 1$:`,
opts: [
["а", "$(3;\\ 1)$"], ["б", "$(3;\\ {-1})$"], ["в", "$(-3;\\ 1)$"],
["г", "$(-1;\\ 3)$"], ["д", "$(1;\\ {-3})$"],
],
sol: `Парабола $y = a(x-h)^2 + k$ имеет вершину $(h;\\,k)$.
<br>Здесь $a=-1$, $h=3$, $k=1$ — вершина $(3;\\,1)$.
<svg viewBox="0 0 175 145" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:175px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a13t1" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker></defs>
<line x1="5" y1="70" x2="168" y2="70" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a13t1)"/>
<line x1="20" y1="138" x2="20" y2="5" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a13t1)"/>
<text x="169" y="74" font-size="10" fill="#777">x</text><text x="22" y="6" font-size="10" fill="#777">y</text>
<polyline points="56,140 76,70 90,44 104,35 118,44 132,70 152,140" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/>
<circle cx="104" cy="35" r="5" fill="#e11d48"/>
<text x="108" y="32" font-size="10" fill="#e11d48" font-weight="bold">(3; 1)</text>
<text x="14" y="64" font-size="9" fill="#555">1</text>
<line x1="100" y1="68" x2="100" y2="72" stroke="#777" stroke-width="1"/>
<text x="96" y="82" font-size="9" fill="#555">3</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$(3;\\,1)$</div>`
},
{
text: `Определите, какие из чисел <b>НЕ</b> являются решением двойного неравенства
$-6 < 2x < 8$:`,
opts: [
["а", "$-2$"], ["б", "$0$"], ["в", "$5$"], ["г", "$-3$"], ["д", "$1$"],
],
sol: `Разделим на $2$: $-3 < x < 4$.
<br>Проверяем каждое число:
<ul>
<li>а) $-2$: $-3<-2<4$ ✓ — решение</li>
<li>б) $0$: ✓ — решение</li>
<li>в) $5$: $5>4$ ✗ — <b>НЕ решение</b></li>
<li>г) $-3$: $-3$ не строго больше $-3$ ✗ — <b>НЕ решение</b></li>
<li>д) $1$: ✓ — решение</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в) и г)</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке;"],
["б", "периметр квадрата со стороной $a$ равен $4a$;"],
["в", "углы при основании равнобедренной трапеции равны между собой;"],
["г", "у любого параллелограмма все углы равны между собой?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Высоты пересекаются в ортоцентре — <b>верно</b></li>
<li>б) Периметр квадрата $= 4a$ — <b>верно</b></li>
<li>в) Углы при основании равнобедренной трапеции равны — <b>верно</b></li>
<li>г) Все углы параллелограмма равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $180°$. Равны все только у прямоугольника.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $6x - 12$,
если $\\dfrac{3x^2 - 5x}{x} = 0$.`,
sol: `При $x\\neq 0$:
$$\\frac{3x^2-5x}{x} = \\frac{x(3x-5)}{x} = 3x-5 = 0 \\implies x = \\frac{5}{3}$$
$$6x-12 = 6\\cdot\\frac{5}{3}-12 = 10-12 = -2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-2$</div>`
},
{
text: `Периметр ромба $ABCD$ равен $48$ см. Угол между стороной $AD$ и диагональю $AC$
равен $30^{\\circ}$. Найдите диагональ $BD$ ромба.`,
sol: `<b>Свойства ромба:</b> все четыре стороны равны; диагонали перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и делят углы ромба пополам (являются биссектрисами).
<br><b>Признак равностороннего треугольника:</b> равнобедренный треугольник с углом $60°$ является равносторонним.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Так как все стороны ромба равны, найдём сторону через периметр:
$$a = \\dfrac{P}{4} = \\dfrac{48}{4} = 12\\text{ см}$$
<svg viewBox="0 0 170 118" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:170px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- равносторонний треугольник ABD (светло-оранжевый) -->
<polygon points="20,90 92,90 56,28" fill="rgba(251,146,60,0.2)" stroke="none"/>
<!-- ромб -->
<polygon points="20,90 92,90 128,28 56,28" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- диагональ AC (синяя, дана) -->
<line x1="20" y1="90" x2="128" y2="28" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- диагональ BD (зелёная, ищем) -->
<line x1="92" y1="90" x2="56" y2="28" stroke="#16a34a" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- дуга ∠DAC = 30° (между AD и AC, начало на AD, конец на AC) -->
<!-- AD: A+18×(0.502,−0.865)=(29,74); AC: A+18×(0.867,−0.498)=(36,81) -->
<path d="M29,74 A18,18 0 0,1 36,81" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5"/>
<text x="38" y="76" font-size="10" fill="#e11d48" font-weight="bold">30°</text>
<!-- дуга ∠DAB = 60° (между AB и AD, пунктир) -->
<!-- AB: A+(20,0)=(40,90); AD: A+20×(0.502,−0.865)=(30,73) -->
<path d="M40,90 A20,20 0 0,0 30,73" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<text x="44" y="88" font-size="9" fill="#94a3b8">60°</text>
<!-- метки вершин -->
<text x="3" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="94" y="102" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="130" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="44" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<!-- подписи -->
<text x="56" y="100" font-size="10" fill="#334155" text-anchor="middle">12</text>
<text x="69" y="57" font-size="10" fill="#2563eb">AC</text>
<text x="69" y="72" font-size="10" fill="#16a34a" font-weight="bold">BD = ?</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$ ромба, поэтому $\\angle DAC = \\dfrac{\\angle DAB}{2}$. По условию $\\angle DAC = 30°$, значит:
$$\\angle DAB = 2\\cdot 30° = 60°$$
<b>Шаг 3.</b> Рассмотрим треугольник $ABD$:
<ul>
<li>$AB = AD = 12$ (стороны ромба равны),</li>
<li>$\\angle DAB = 60°$.</li>
</ul>
Это равнобедренный треугольник с углом $60°$ — значит, он <b>равносторонний</b>, и все стороны равны:
$$BD = AB = 12\\text{ см}$$
<i>Проверка по теореме косинусов:</i> $BD^2 = 12^2+12^2-2\\cdot 12\\cdot 12\\cdot\\cos 60° = 144$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $BD = 12$ см</div>`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{4n^2 - 9m^2}{9m^2 + 4n^2 + 12mn}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Формула квадрата суммы:</b> $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Разложим <em>числитель</em> по формуле разности квадратов ($a=2n$, $b=3m$):
$$4n^2 - 9m^2 = (2n)^2 - (3m)^2 = (2n-3m)(2n+3m)$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим <em>знаменатель</em>. Замечаем, что это квадрат суммы:
$$9m^2 + 4n^2 + 12mn = (3m)^2 + 2\\cdot 3m\\cdot 2n + (2n)^2 = (3m+2n)^2$$
Так как $3m+2n = 2n+3m$, можно записать:
$$(3m+2n)^2 = (2n+3m)^2$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(2n+3m)$:
$$\\dfrac{(2n-3m)(2n+3m)}{(2n+3m)^2} = \\dfrac{2n-3m}{2n+3m}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{2n-3m}{2n+3m}$</div>`
},
{
text: `Решите систему уравнений
$$\\begin{cases} x - 4y = 2, \\\\[4pt] xy + 2y = 8 \\end{cases}$$
и найдите значение выражения $x_1 \\cdot y_1 + x_2 \\cdot y_2$,
где $(x_1;\\, y_1)$, $(x_2;\\, y_2)$ — решения системы.`,
sol: `<b>Метод подстановки:</b> выражаем одну переменную через другую и подставляем.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $y^2+py+q=(y-y_1)(y-y_2)$, где $y_1+y_2=-p$, $y_1\\cdot y_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из первого уравнения выразим $x$:
$$x = 2 + 4y$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим во второе уравнение:
$$(2+4y)y + 2y = 8$$
$$2y + 4y^2 + 2y = 8$$
$$4y^2 + 4y - 8 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Разделим на $4$:
$$y^2 + y - 2 = 0$$
<b>Шаг 4.</b> По теореме Виета: $y_1+y_2=-1$, $y_1\\cdot y_2=-2$. Подходят $-2$ и $1$:
$$(y+2)(y-1)=0$$
<b>Шаг 5.</b> Для каждого $y$ находим $x = 2+4y$:
<table style="border-collapse:collapse;margin:6px 0"><tr><td style="padding:2px 12px 2px 0"><b>$y_1=-2$:</b></td><td>$x_1=2-8=-6$</td></tr><tr><td><b>$y_2=1$:</b></td><td>$x_2=2+4=6$</td></tr></table>
<b>Шаг 6.</b> Вычисляем требуемое выражение:
$$x_1y_1+x_2y_2 = (-6)(-2)+(6)(1) = 12+6 = 18$$
<div class="sol-ans">Ответ: $18$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $\\sqrt{8 - 2\\sqrt{7}} + \\sqrt{32 - 10\\sqrt{7}}$.
В ответ запишите число, обратное полученному.`,
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
<br><b>Формула выноса корня из квадрата:</b> $\\sqrt{a^2}=|a|$. При $a\\geq 0$ модуль раскрывается как $|a|=a$, при $a\\lt 0$ — как $|a|=-a$.
<br><b>Идея:</b> подкоренное выражение вида $A - 2\\sqrt{B}$ часто можно представить как квадрат разности $(\\sqrt{m}-\\sqrt{n})^2$, где $m+n=A$ и $mn=B$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем <em>первое</em> подкоренное выражение: $8 - 2\\sqrt{7}$.
<br>Ищем представление в виде $(\\sqrt{m}-\\sqrt{n})^2 = m + n - 2\\sqrt{mn}$. Нужно $m+n=8$ и $mn=7$. Подходят $m=7$, $n=1$:
$$8 - 2\\sqrt{7} = 7 - 2\\sqrt{7} + 1 = (\\sqrt{7})^2 - 2\\cdot\\sqrt{7}\\cdot 1 + 1^2 = (\\sqrt{7}-1)^2$$
Извлекаем корень. Так как $\\sqrt{7}\\approx 2{,}65\\gt 1$, выражение $\\sqrt{7}-1\\gt 0$:
$$\\sqrt{8-2\\sqrt{7}} = \\sqrt{(\\sqrt{7}-1)^2} = \\sqrt{7}-1$$
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем <em>второе</em> подкоренное выражение: $32 - 10\\sqrt{7}$. Здесь $2\\sqrt{mn}=10\\sqrt{7}$, то есть $\\sqrt{mn}=5\\sqrt{7}$, $mn=175$. И $m+n=32$. Подходят $m=25$, $n=7$:
$$32 - 10\\sqrt{7} = 25 - 10\\sqrt{7} + 7 = 5^2 - 2\\cdot 5\\cdot\\sqrt{7} + (\\sqrt{7})^2 = (5-\\sqrt{7})^2$$
Так как $5\\gt\\sqrt{7}$, имеем $5-\\sqrt{7}\\gt 0$:
$$\\sqrt{32-10\\sqrt{7}} = 5-\\sqrt{7}$$
<b>Шаг 3.</b> Складываем оба корня:
$$\\sqrt{8-2\\sqrt{7}} + \\sqrt{32-10\\sqrt{7}} = (\\sqrt{7}-1) + (5-\\sqrt{7}) = -1 + 5 + (\\sqrt{7}-\\sqrt{7}) = 4$$
<b>Шаг 4.</b> Запишем число, обратное $4$:
$$\\dfrac{1}{4}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{1}{4}$</div>`
},
{
text: `Периметр параллелограмма равен $30$ см, соседние стороны относятся как $2:3$.
Угол между высотами, проведёнными к соседним сторонам из вершины тупого угла
параллелограмма, равен $60^{\\circ}$. Найдите площадь параллелограмма.`,
sol: `<b>Шаг 1 — стороны.</b>
<br>Пусть $a=2k$, $b=3k$. Периметр: $2(2k+3k)=30 \\Rightarrow k=3$, т.е. $a=6$, $b=9$ см.
<br><b>Шаг 2 — острый угол.</b>
<svg viewBox="0 0 180 128" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:180px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="50,110 158,110 122,48 14,48" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- h₁: от A(50,110) до H₁(131,63) на стороне BC -->
<line x1="50" y1="110" x2="131" y2="63" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
<circle cx="131" cy="63" r="2.5" fill="#2563eb"/>
<!-- знак прямого угла при H₁(131,63): BC→(-0.502,−0.865), к A→(−0.868,0.504) -->
<!-- P1=H₁+5×BC=(129,59), P2=H₁+5×(к A)=(127,66), corner=(124,61) -->
<path d="M129,59 L124,61 L127,66" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<!-- h₂: от A(50,110) до H₂(50,48) на стороне CD -->
<line x1="50" y1="110" x2="50" y2="48" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
<circle cx="50" cy="48" r="2.5" fill="#e11d48"/>
<!-- знак прямого угла при H₂(50,48): CD горизонтальна, h₂ вертикальна -->
<path d="M44,48 L44,54 L50,54" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<path d="M50,88 A22,22 0 0,1 69,99" fill="none" stroke="#333" stroke-width="1.3"/>
<text x="59" y="87" font-size="10" fill="#333" font-weight="bold">60°</text>
<text x="32" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="160" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="124" y="43" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="4" y="43" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="140" y="69" font-size="10" fill="#2563eb">$h_1$</text>
<text x="36" y="80" font-size="10" fill="#e11d48">$h_2$</text>
</svg>
Из геометрии параллелограмма можно показать, что угол между двумя высотами из вершины тупого угла равен <b>острому углу</b> параллелограмма. Значит, острый угол $\\beta = 60°$.
<br><b>Шаг 3 — площадь.</b>
$$S = a\\cdot b\\cdot\\sin\\beta = 6\\cdot 9\\cdot\\sin 60° = 54\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2} = 27\\sqrt{3}\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $27\\sqrt{3}$ см²</div>`
},
{
text: `Во время строительных работ на Всебелорусской молодёжной стройке в Хатыни
двое студентов были определены на подсобные работы. Работая с одной скоростью,
они выполнили половину отведённой работы, затем увеличили скорость: один — на $20\\%$,
а второй — на $16\\%$, и вторую половину работы выполнили на один день раньше
запланированного времени. Успеют ли студенты выполнить работу за $14$ дней?
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Пусть $n$ — плановое число дней. Скорость каждого $s = \\dfrac{1}{2n}$ ед/день, вместе: $\\dfrac{1}{n}$.
<br><b>Первая половина</b> (работа $=\\tfrac{1}{2}$) — скорость не менялась:
$$t_1 = \\frac{1/2}{1/n} = \\frac{n}{2}\\text{ дней}$$
<b>Вторая половина</b> — скорости увеличились:
$$\\text{1-й: }1{,}2s,\\quad \\text{2-й: }1{,}16s,\\quad \\text{вместе: }2{,}36s = \\frac{2{,}36}{2n} = \\frac{1{,}18}{n}$$
$$t_2 = \\frac{1/2}{1{,}18/n} = \\frac{n}{2{,}36} = \\frac{25n}{59}\\text{ дней}$$
<b>Фактическое время:</b>
$$t = t_1+t_2 = \\frac{n}{2}+\\frac{25n}{59} = \\frac{59n+50n}{118} = \\frac{109n}{118}$$
<b>Условие «на 1 день раньше»:</b>
$$n - \\frac{109n}{118} = \\frac{9n}{118} = 1 \\implies n = \\frac{118}{9} \\approx 13{,}1\\text{ дней}$$
<b>Фактическое время выполнения:</b>
$$t = \\frac{109n}{118} = \\frac{109}{9} = 12\\frac{1}{9} \\approx 12{,}1\\text{ дней}$$
Так как $12{,}1 < 14$, студенты <b>успеют</b> выполнить работу за $14$ дней — с запасом около $2$ дней.
<div class="sol-ans">Ответ: да, успеют ($\\approx 12{,}1$ дней $< 14$ дней)</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v14.js
+234
View File
@@ -0,0 +1,234 @@
VARIANTS[14] = {
label: "Вариант 14",
tasks: [
{
text: `Определите, какая из следующих пар чисел является вершиной параболы
$y = -(x-2)^2 - 1$:`,
opts: [
["а", "$(2;\\ 1)$"], ["б", "$(2;\\ {-1})$"], ["в", "$(-2;\\ 1)$"],
["г", "$(-2;\\ {-1})$"], ["д", "$(-1;\\ {-2})$"],
],
sol: `Парабола $y = a(x-h)^2 + k$ имеет вершину $(h;\\,k)$. Здесь $h=2$, $k=-1$.
<svg viewBox="0 0 175 145" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:175px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a14t1" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker></defs>
<line x1="5" y1="20" x2="168" y2="20" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a14t1)"/>
<line x1="44" y1="138" x2="44" y2="5" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a14t1)"/>
<text x="169" y="24" font-size="10" fill="#777">x</text><text x="46" y="6" font-size="10" fill="#777">y</text>
<polyline points="44,120 66,60 88,40 110,60 132,120" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/>
<circle cx="88" cy="40" r="5" fill="#e11d48"/>
<text x="92" y="37" font-size="10" fill="#e11d48" font-weight="bold">(2; −1)</text>
<line x1="86" y1="18" x2="86" y2="22" stroke="#777" stroke-width="1"/>
<text x="86" y="14" font-size="9" fill="#555" text-anchor="middle">2</text>
<text x="34" y="44" font-size="9" fill="#555">−1</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$(2;\\,-1)$</div>`
},
{
text: `Определите, какие из чисел <b>НЕ</b> являются решением двойного неравенства
$-6 < 3x \\leq 12$:`,
opts: [
["а", "$-2$"], ["б", "$0$"], ["в", "$4$"], ["г", "$-3$"], ["д", "$1$"],
],
sol: `Разделим на $3$: $-2 \\lt x \\leq 4$.
<br>Проверяем каждое число:
<ul>
<li>а) $-2$: не строго больше $-2$ ✗ — <b>НЕ решение</b></li>
<li>б) $0$: $-2\\lt 0\\leq4$ ✓ — решение</li>
<li>в) $4$: $-2\\lt 4\\leq4$ ✓ — решение</li>
<li>г) $-3$: $-3\\lt-2$ ✗ — <b>НЕ решение</b></li>
<li>д) $1$: ✓ — решение</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а) и г)</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "медианы треугольника пересекаются в одной точке;"],
["б", "периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $3a$;"],
["в", "основания равнобедренной трапеции равны;"],
["г", "у прямоугольника все углы равны между собой?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Медианы пересекаются в центроиде — <b>верно</b></li>
<li>б) Периметр равностороннего треугольника $= 3a$ — <b>верно</b></li>
<li>в) Основания равнобедренной трапеции равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>г) У прямоугольника все углы по $90°$ — <b>верно</b></li>
</ul>
В равнобедренной трапеции равны <em>боковые стороны</em> и <em>углы при основаниях</em>, но основания по определению различны по длине.
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $4x - 9$,
если $\\dfrac{2x^2 - 7x}{x} = 0$.`,
sol: `При $x\\neq 0$:
$$\\frac{2x^2-7x}{x} = \\frac{x(2x-7)}{x} = 2x-7 = 0 \\implies x = \\frac{7}{2}$$
$$4x-9 = 4\\cdot\\frac{7}{2}-9 = 14-9 = 5$$
<div class="sol-ans">Ответ: $5$</div>`
},
{
text: `Диагональ $BD$ ромба $ABCD$ равна $24$ см. Угол между стороной $AB$
и диагональю $AC$ равен $30^{\\circ}$. Найдите периметр ромба.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 170 118" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:170px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- равносторонний треугольник ABD (светло-оранжевый) -->
<polygon points="20,90 92,90 56,28" fill="rgba(251,146,60,0.2)" stroke="none"/>
<!-- ромб -->
<polygon points="20,90 92,90 128,28 56,28" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- диагональ AC (синяя, дана) -->
<line x1="20" y1="90" x2="128" y2="28" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- диагональ BD (зелёная, дана) -->
<line x1="92" y1="90" x2="56" y2="28" stroke="#16a34a" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- дуга ∠BAC = 30° (между AB и AC) -->
<!-- AB: A+18×(1,0)=(38,90); AC: A+18×(0.867,−0.498)=(36,81) -->
<path d="M38,90 A18,18 0 0,0 36,81" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5"/>
<text x="40" y="85" font-size="10" fill="#e11d48" font-weight="bold">30°</text>
<!-- дуга ∠DAB = 60° (между AB и AD, пунктир) -->
<path d="M40,90 A20,20 0 0,0 30,73" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<text x="20" y="80" font-size="9" fill="#94a3b8">60°</text>
<!-- метки вершин -->
<text x="3" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="94" y="102" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="130" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="44" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<!-- подписи -->
<text x="56" y="102" font-size="10" fill="#334155" text-anchor="middle">a = ?</text>
<text x="69" y="57" font-size="10" fill="#2563eb">AC</text>
<text x="69" y="72" font-size="10" fill="#16a34a" font-weight="bold">BD = 24</text>
</svg>
<b>Свойства ромба:</b> все четыре стороны равны; диагонали — биссектрисы углов ромба.
<br><b>Признак равностороннего треугольника:</b> равнобедренный треугольник с углом $60°$ является равносторонним.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$ ромба, поэтому $\\angle BAC = \\dfrac{\\angle BAD}{2}$. По условию $\\angle BAC = 30°$, значит:
$$\\angle BAD = 2\\cdot 30° = 60°$$
<b>Шаг 2.</b> Рассмотрим треугольник $ABD$:
<ul>
<li>$AB = AD = a$ (стороны ромба равны),</li>
<li>$\\angle BAD = 60°$.</li>
</ul>
Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60°$ — <b>равносторонний</b>. Значит, $BD = AB = a$.
<br><b>Шаг 3.</b> По условию $BD = 24$ см, поэтому $a = 24$ см.
<br><b>Шаг 4.</b> Периметр ромба:
$$P = 4a = 4\\cdot 24 = 96\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $P = 96$ см</div>`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{25m^2 - 4n^2}{4n^2 + 25m^2 + 20mn}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Формула квадрата суммы:</b> $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Разложим <em>числитель</em> по формуле разности квадратов ($a=5m$, $b=2n$):
$$25m^2 - 4n^2 = (5m)^2 - (2n)^2 = (5m-2n)(5m+2n)$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим <em>знаменатель</em>. Это квадрат суммы:
$$25m^2 + 20mn + 4n^2 = (5m)^2 + 2\\cdot 5m\\cdot 2n + (2n)^2 = (5m+2n)^2$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(5m+2n)$:
$$\\dfrac{(5m-2n)(5m+2n)}{(5m+2n)^2} = \\dfrac{5m-2n}{5m+2n}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{5m-2n}{5m+2n}$</div>`
},
{
text: `Решите систему уравнений
$$\\begin{cases} x - 3y = 4, \\\\[4pt] xy - 7y = 6 \\end{cases}$$
и найдите значение выражения $x_1 \\cdot y_1 + x_2 \\cdot y_2$,
где $(x_1;\\, y_1)$, $(x_2;\\, y_2)$ — решения системы.`,
sol: `<b>Метод подстановки:</b> выражаем одну переменную через другую и подставляем.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $y^2+py+q=(y-y_1)(y-y_2)$, где $y_1+y_2=-p$, $y_1\\cdot y_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из первого уравнения выразим $x$:
$$x = 4 + 3y$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим во второе:
$$(4+3y)y - 7y = 6$$
$$4y + 3y^2 - 7y = 6$$
$$3y^2 - 3y - 6 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Разделим на $3$:
$$y^2 - y - 2 = 0$$
<b>Шаг 4.</b> По теореме Виета: $y_1+y_2=1$, $y_1\\cdot y_2=-2$. Подходят $2$ и $-1$:
$$(y-2)(y+1)=0$$
<b>Шаг 5.</b> Находим $x = 4+3y$ для каждого $y$:
<table style="border-collapse:collapse;margin:6px 0"><tr><td style="padding:2px 12px 2px 0"><b>$y_1=2$:</b></td><td>$x_1=4+6=10$</td></tr><tr><td><b>$y_2=-1$:</b></td><td>$x_2=4-3=1$</td></tr></table>
<b>Шаг 6.</b> Вычисляем требуемое выражение:
$$x_1y_1+x_2y_2 = 10\\cdot 2 + 1\\cdot(-1) = 20-1 = 19$$
<div class="sol-ans">Ответ: $19$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $\\sqrt{19 - 6\\sqrt{10}} + \\sqrt{26 - 8\\sqrt{10}}$.
В ответ запишите число, противоположное полученному.`,
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
<br><b>Формула выноса корня из квадрата:</b> $\\sqrt{a^2}=|a|$. Если $a\\geq 0$, то $|a|=a$; если $a\\lt 0$, то $|a|=-a$.
<br><b>Идея:</b> подкоренное выражение вида $A - 2\\sqrt{B}$ часто можно представить как квадрат разности $(\\sqrt{m}-\\sqrt{n})^2$, где $m+n=A$ и $mn=B$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем <em>первое</em> подкоренное выражение: $19 - 6\\sqrt{10}$.
<br>Здесь $2\\sqrt{mn}=6\\sqrt{10}$, то есть $\\sqrt{mn}=3\\sqrt{10}$, $mn=90$. И $m+n=19$. Подходят $m=9$, $n=10$:
$$19 - 6\\sqrt{10} = 9 - 6\\sqrt{10} + 10 = 3^2 - 2\\cdot 3\\cdot\\sqrt{10} + (\\sqrt{10})^2 = (3-\\sqrt{10})^2$$
Извлекаем корень. Оценим $\\sqrt{10}$: так как $9\\lt 10\\lt 16$, имеем $3\\lt\\sqrt{10}\\lt 4$, точнее $\\sqrt{10}\\approx 3{,}16$. Значит, $3-\\sqrt{10}\\lt 0$, и модуль раскрывается как $|3-\\sqrt{10}|=\\sqrt{10}-3$:
$$\\sqrt{19-6\\sqrt{10}} = |3-\\sqrt{10}| = \\sqrt{10}-3$$
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем <em>второе</em> подкоренное выражение: $26 - 8\\sqrt{10}$. Здесь $2\\sqrt{mn}=8\\sqrt{10}$, $mn=160$, $m+n=26$. Подходят $m=16$, $n=10$:
$$26 - 8\\sqrt{10} = 16 - 8\\sqrt{10} + 10 = 4^2 - 2\\cdot 4\\cdot\\sqrt{10} + (\\sqrt{10})^2 = (4-\\sqrt{10})^2$$
Так как $\\sqrt{10}\\approx 3{,}16\\lt 4$, имеем $4-\\sqrt{10}\\gt 0$:
$$\\sqrt{26-8\\sqrt{10}} = 4-\\sqrt{10}$$
<b>Шаг 3.</b> Складываем оба корня:
$$(\\sqrt{10}-3) + (4-\\sqrt{10}) = -3 + 4 + (\\sqrt{10}-\\sqrt{10}) = 1$$
<b>Шаг 4.</b> Запишем число, противоположное $1$:
$$-1$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-1$</div>`
},
{
text: `Периметр параллелограмма равен $32$ см, соседние стороны относятся как $3:5$.
Угол между высотами, проведёнными к соседним сторонам из вершины тупого угла
параллелограмма, равен $30^{\\circ}$. Найдите площадь параллелограмма.`,
sol: `<b>Формула периметра параллелограмма:</b> $P = 2(a+b)$.
<br><b>Формула площади параллелограмма:</b> $S = a\\cdot b\\cdot\\sin\\alpha$, где $\\alpha$ — угол между сторонами.
<br><b>Свойство:</b> угол между двумя высотами, проведёнными из вершины тупого угла параллелограмма к соседним сторонам, равен острому углу параллелограмма.
<br><br>
<b>Шаг 1 — стороны.</b>
<br>Пусть соседние стороны $a = 3k$ и $b = 5k$ (по условию относятся как $3:5$). Из формулы периметра:
$$2(3k + 5k) = 32$$
$$16k = 32 \\implies k = 2$$
Значит, $a = 6$ см, $b = 10$ см.
<br><b>Шаг 2 — острый угол параллелограмма.</b>
<svg viewBox="0 0 180 128" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:180px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="50,110 158,110 122,48 14,48" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- h₁: от A(50,110) до H₁(131,63) на стороне BC -->
<line x1="50" y1="110" x2="131" y2="63" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
<circle cx="131" cy="63" r="2.5" fill="#2563eb"/>
<path d="M129,59 L124,61 L127,66" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<!-- h₂: от A(50,110) до H₂(50,48) на стороне CD -->
<line x1="50" y1="110" x2="50" y2="48" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
<circle cx="50" cy="48" r="2.5" fill="#e11d48"/>
<path d="M44,48 L44,54 L50,54" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<path d="M50,88 A22,22 0 0,1 69,99" fill="none" stroke="#333" stroke-width="1.3"/>
<text x="59" y="87" font-size="10" fill="#333" font-weight="bold">30°</text>
<text x="32" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="160" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="124" y="43" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="4" y="43" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="140" y="69" font-size="10" fill="#2563eb">$h_1$</text>
<text x="36" y="80" font-size="10" fill="#e11d48">$h_2$</text>
</svg>
Так как угол между двумя высотами из вершины тупого угла равен <b>острому углу</b> параллелограмма, получаем $\\beta = 30°$.
<br><b>Шаг 3 — площадь.</b>
<br>По формуле площади параллелограмма:
$$S = a\\cdot b\\cdot\\sin\\beta = 6\\cdot 10\\cdot\\sin 30° = 60\\cdot\\dfrac{1}{2} = 30\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $30$ см²</div>`
},
{
text: `Во время строительных работ на Всебелорусской молодёжной стройке в Брестской
крепости двое студентов были определены на подсобные работы. Работая с одной
скоростью, они выполнили половину отведённой работы, затем увеличили скорость:
один — на $25\\%$, а второй — на $30\\%$, и вторую половину работы выполнили
на один день раньше запланированного времени. Успеют ли студенты выполнить
работу за $7$ дней? Ответ обоснуйте.`,
sol: `Пусть $n$ — плановое число дней. Скорость каждого $s = \\dfrac{1}{2n}$, вместе: $\\dfrac{1}{n}$.
<br><b>Первая половина</b>:
$$t_1 = \\frac{1/2}{1/n} = \\frac{n}{2}\\text{ дней}$$
<b>Вторая половина</b> — скорости увеличились:
$$\\text{1-й: }1{,}25s,\\quad \\text{2-й: }1{,}30s,\\quad \\text{вместе: }2{,}55s = \\frac{1{,}275}{n}$$
$$t_2 = \\frac{1/2}{1{,}275/n} = \\frac{n}{2{,}55} = \\frac{20n}{51}\\text{ дней}$$
<b>Фактическое время:</b>
$$t = \\frac{n}{2}+\\frac{20n}{51} = \\frac{51n+40n}{102} = \\frac{91n}{102}$$
<b>Условие «на 1 день раньше»:</b>
$$n - \\frac{91n}{102} = \\frac{11n}{102} = 1 \\implies n = \\frac{102}{11} \\approx 9{,}3$$
<b>Фактическое время:</b>
$$t = \\frac{91}{11} = 8\\frac{3}{11} \\approx 8{,}3\\text{ дней}$$
Так как $8{,}3 \\gt 7$, студенты <b>не успеют</b> за $7$ дней.
<div class="sol-ans">Ответ: нет, не успеют ($\\approx 8{,}3$ дней $\\gt 7$ дней)</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v15.js
+223
View File
@@ -0,0 +1,223 @@
VARIANTS[15] = {
label: "Вариант 15",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из следующих множеств может быть областью определения
чётной функции:`,
opts: [
["а", "$(-7;\\ 7]$"],
["б", "$[-9;\\ {-1}) \\cup (-1;\\ 9]$"],
["в", "$[-10;\\ 10]$"],
["г", "$[-8;\\ {-1}) \\cup (-1;\\ 1) \\cup (1;\\ 8]$"],
["д", "$[-11;\\ 11]$"],
],
sol: `Область определения чётной функции должна быть <b>симметрична относительно нуля</b>: если $x$ входит, то и $-x$ входит.
<ul>
<li>а) $(-7;7]$: $x=7$ входит, $-7$ не входит (открытый конец) ✗</li>
<li>б) $[-9;{-1})\\cup(-1;9]$: $x=1$ входит, $-1$ не входит (исключена из обоих) ✗</li>
<li>в) $[-10;10]$: симметрично ✓</li>
<li>г) $[-8;{-1})\\cup(-1;1)\\cup(1;8]$: $\\pm1$ оба исключены симметрично, $\\pm8$ оба включены ✓</li>
<li>д) $[-11;11]$: симметрично ✓</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в), г) и д) — все три симметричны; наиболее простой пример: <b>в)</b></div>`
},
{
text: `Запись числового выражения $3^4 : 3^3 \\cdot 3^5$ в виде степени с основанием $3$
имеет вид:`,
opts: [
["а", "$3^{12}$"], ["б", "$3^{-4}$"], ["в", "$3^6$"],
["г", "$3^2$"], ["д", "$3^5$"],
],
sol: `Деление — вычитаем показатели, умножение — складываем:
$$3^4 : 3^3 \\cdot 3^5 = 3^{4-3} \\cdot 3^5 = 3^1 \\cdot 3^5 = 3^{1+5} = 3^6$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$3^6$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины;"],
["б", "$\\cos 120^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
["в", "диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен его стороне;"],
["г", "биссектриса любого угла делит этот угол на два равных угла?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Медианы делятся в отношении $2:1$ — <b>верно</b></li>
<li>б) $\\cos120°=\\frac{1}{2}$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>: $\\cos120° = -\\frac{1}{2}$</li>
<li>в) Диаметр вписанной в квадрат окружности $= a$ (сторона) — <b>верно</b></li>
<li>г) Биссектриса делит угол пополам — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Найдите третий член последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 + 6n + 1$.`,
sol: `$$a_3 = 3^2 + 6\\cdot 3 + 1 = 9 + 18 + 1 = 28$$
<div class="sol-ans">Ответ: $28$</div>`
},
{
text: `Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $P$ — точка пересечения диагоналей,
$\\angle ADB = 72^{\\circ}$, $\\angle CBD = 64^{\\circ}$. Найдите $\\angle APB$.`,
sol: `<b>Теорема о вписанных углах:</b> вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
<svg viewBox="0 0 190 155" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:190px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<circle cx="88" cy="73" r="65" fill="none" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="44,28 152,73 108,135 24,73" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="44" y1="28" x2="108" y2="135" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<line x1="152" y1="73" x2="24" y2="73" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<circle cx="72" cy="73" r="3" fill="#1e293b"/>
<text x="70" y="67" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">P</text>
<text x="38" y="23" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="155" y="76" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="110" y="149" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="8" y="76" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="36" y="67" font-size="10" fill="#e11d48">72°</text>
<text x="128" y="73" font-size="10" fill="#2563eb">64°</text>
</svg>
$\\angle ADB = 72°$ — вписанный угол, опирается на дугу $AB$:
$$\\overset{\\frown}{AB} = 2\\cdot72° = 144°$$
$\\angle CBD = 64°$ — вписанный угол, опирается на дугу $CD$:
$$\\overset{\\frown}{CD} = 2\\cdot64° = 128°$$
<b>Угол между хордами</b> равен полусумме перехваченных дуг:
$$\\angle APB = \\frac{\\overset{\\frown}{AB} + \\overset{\\frown}{CD}}{2} = \\frac{144° + 128°}{2} = \\frac{272°}{2} = 136°$$
<div class="sol-ans">Ответ: $136°$</div>`
},
{
text: `Упростите выражение $|x - 3| + |x + 2| - 3$, если $x \\in (-2;\\ 0]$.`,
sol: `<b>Определение модуля:</b> $|A| = A$, если $A\\geq 0$, и $|A| = -A$, если $A\\lt 0$.
<br><b>Идея:</b> чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак подмодульного выражения на заданном промежутке.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Определим знак $x-3$ при $x\\in(-2;\\,0]$.
<br>Так как $x\\leq 0$, то $x-3\\leq 0-3=-3\\lt 0$. Значит, $x-3\\lt 0$, и по определению модуля:
$$|x-3| = -(x-3) = 3-x$$
<b>Шаг 2.</b> Определим знак $x+2$ при $x\\in(-2;\\,0]$.
<br>Так как $x\\gt -2$ (по условию), то $x+2\\gt 0$. По определению модуля:
$$|x+2| = x+2$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем раскрытые модули в исходное выражение:
$$|x-3| + |x+2| - 3 = (3-x) + (x+2) - 3$$
<b>Шаг 4.</b> Приводим подобные слагаемые:
$$3 - x + x + 2 - 3 = (3 + 2 - 3) + (-x + x) = 2$$
Выражение оказалось <em>постоянным</em> на всём данном промежутке.
<div class="sol-ans">Ответ: $2$ (константа на всём промежутке)</div>`
},
{
text: `Найдите все значения переменной, при которых значение выражения
$\\dfrac{x + 3}{x + 2} - \\dfrac{2x}{x^2 - 4}$ равно нулю.`,
sol: `<b>Решение дробно-рациональных уравнений:</b> 1) находим ОДЗ; 2) умножаем обе части на общий знаменатель; 3) решаем полученное уравнение; 4) проверяем корни на принадлежность ОДЗ.
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем уравнение:
$$\\dfrac{x+3}{x+2} - \\dfrac{2x}{x^2-4} = 0$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим знаменатель $x^2-4$ по формуле разности квадратов: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Это и есть общий знаменатель.
<br>ОДЗ: $x\\neq 2$ и $x\\neq -2$.
<br><b>Шаг 3.</b> Умножим обе части на $(x-2)(x+2)$:
$$(x+3)(x-2) - 2x = 0$$
<b>Шаг 4.</b> Раскрываем скобки:
$$x^2 + 3x - 2x - 6 - 2x = 0$$
$$x^2 - x - 6 = 0$$
<b>Шаг 5.</b> По теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1\\cdot x_2=-6$. Подходят $3$ и $-2$:
$$(x-3)(x+2) = 0 \\implies x = 3 \\text{ или } x = -2$$
<b>Шаг 6.</b> Проверяем ОДЗ: $x=-2$ не входит (отбрасываем). Остаётся $x=3$.
<br><b>Проверка</b> $x=3$:
$$\\dfrac{3+3}{3+2} - \\dfrac{2\\cdot 3}{9-4} = \\dfrac{6}{5} - \\dfrac{6}{5} = 0 \\checkmark$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x=3$</div>`
},
{
text: `Если двузначное число разделить на сумму его цифр, в частном получим $7$,
а в остатке — $6$. Если число, составленное из тех же цифр в обратном порядке,
разделить на произведение цифр, то в частном получим $1$, а в остатке — $14$.
Найдите это число.`,
sol: `Пусть число $=10a+b$.
<br><b>Условие 1:</b> $10a+b = 7(a+b)+6 \\Rightarrow 3a=6b+6 \\Rightarrow a=2b+2$
<br><b>Условие 2:</b> $10b+a = 1\\cdot ab+14$ (остаток $< $ делителя: $14 < ab$).
<br>Подставим $a=2b+2$:
$$10b+(2b+2) = (2b+2)b+14$$
$$12b+2 = 2b^2+2b+14$$
$$2b^2-10b+12=0 \\implies b^2-5b+6=0 \\implies (b-2)(b-3)=0$$
$b=2$: $a=6$, число $62$. Проверим условие 2: $26\\div 12 = 2$ ост. $2\\neq 14$ ✗ (остаток должен быть $<$ делителя, $14>12$, значит $b=2$ не подходит).
<br>$b=3$: $a=8$, число $83$.
<br><b>Проверка:</b> $83\\div 11=7$ ост. $6$ ✓; $38\\div 24=1$ ост. $14$ ✓ ($14<24$ ✓)
<div class="sol-ans">Ответ: $83$</div>`
},
{
text: `Найдите разность наибольшего и наименьшего целых решений двойного неравенства
$16 - 6x < x^2 \\leq 24 - 10x$.`,
sol: `<b>Двойное неравенство</b> $A \\lt B \\leq C$ равносильно системе $\\{A\\lt B,\\; B\\leq C\\}$, поэтому решаем каждую часть отдельно и находим пересечение.
<br><b>Метод интервалов</b> для квадратного неравенства: раскладываем трёхчлен на множители и определяем знак на интервалах.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Решаем первую часть: $x^2 \\gt 16-6x$.
<br>Переносим всё влево:
$$x^2 + 6x - 16 \\gt 0$$
По теореме Виета: $x_1+x_2=-6$, $x_1\\cdot x_2=-16$. Подходят $-8$ и $2$:
$$(x+8)(x-2) \\gt 0$$
Произведение положительно вне корней: $x\\lt -8$ или $x\\gt 2$.
<br><b>Шаг 2.</b> Решаем вторую часть: $x^2 \\leq 24-10x$.
<br>Переносим всё влево:
$$x^2 + 10x - 24 \\leq 0$$
По теореме Виета: $x_1+x_2=-10$, $x_1\\cdot x_2=-24$. Подходят $-12$ и $2$:
$$(x+12)(x-2) \\leq 0$$
Произведение неположительно между корнями: $-12\\leq x\\leq 2$.
<br><b>Шаг 3.</b> Берём пересечение решений:
$$(x\\lt -8 \\text{ или } x\\gt 2)\\cap(-12\\leq x\\leq 2) = -12\\leq x \\lt -8$$
<svg viewBox="0 0 265 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:265px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a15t9" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="255" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a15t9)"/>
<line x1="35" y1="22" x2="35" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="35" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−12</text>
<line x1="80" y1="22" x2="80" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="80" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−10</text>
<line x1="125" y1="22" x2="125" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="125" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−8</text>
<line x1="170" y1="22" x2="170" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="170" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−6</text>
<line x1="215" y1="22" x2="215" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="215" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−4</text>
<line x1="35" y1="26" x2="125" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="35" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="125" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
</svg>
<b>Шаг 4.</b> Выписываем целые числа из $[-12;\\,-8)$: $-12,\\,-11,\\,-10,\\,-9$.
<br>Наибольшее $= -9$, наименьшее $= -12$.
<br><b>Шаг 5.</b> Разность:
$$-9 - (-12) = 3$$
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
},
{
text: `Точка $M$ — середина стороны $CD$ параллелограмма $ABCD$ с площадью $360$ см².
Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $F$.
Найдите площадь четырёхугольника $AFMD$.`,
sol: `<b>Шаг 1 — находим отношение AF:FC.</b>
<br>Рассмотрим треугольники $ABF$ и $CMF$:
<ul style="margin:4px 0 4px 16px">
<li>$AB\\parallel CM$ (т.к. $AB\\parallel DC$, а $CM$ — часть $DC$)</li>
<li>$\\angle FAB = \\angle FCM$ (накрест лежащие при параллельных)</li>
<li>$\\angle AFB = \\angle CFM$ (вертикальные углы)</li>
</ul>
$\\Rightarrow$ треугольники <b>подобны</b>. Так как $AB = DC$ и $CM = DC/2$ (M — середина), то:
$$\\frac{AB}{CM} = \\frac{2}{1} \\Rightarrow \\frac{AF}{FC} = \\frac{AB}{CM} = 2 \\Rightarrow AF:FC = 2:1$$
<b>Шаг 2 — площадь треугольника ABM.</b>
<br>Точка $M$ лежит на $DC\\parallel AB$, значит высота от $M$ до $AB$ равна высоте параллелограмма $h$.
$$S_{ABM} = \\tfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot h = \\tfrac{1}{2}\\cdot S_{ABCD} = 180$$
<b>Шаг 3 — площадь треугольника AMD.</b>
<br>В треугольнике $ACD$ отрезок $AM$ — медиана (M — середина $CD$), поэтому:
$$S_{AMD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot S_{ACD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 180 = 90$$
<b>Шаг 4 — площадь четырёхугольника ABMD.</b>
$$S_{ABMD} = S_{ABM} + S_{AMD} = 180 + 90 = 270$$
<b>Шаг 5 — площадь треугольника ABF.</b>
<br>Треугольники $ABF$ и $ABC$ имеют общую вершину $B$ и основания $AF$ и $AC$ на одной прямой:
$$\\frac{S_{ABF}}{S_{ABC}} = \\frac{AF}{AC} = \\frac{2}{3} \\Rightarrow S_{ABF} = \\frac{2}{3}\\cdot 180 = 120$$
<b>Шаг 6 — итог.</b>
$$S_{AFMD} = S_{ABMD} - S_{ABF} = 270 - 120 = 150\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $150$ см²</div>`,
figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 265 168" width="265" height="168">
<polygon points="35,143 200,143 220,35 55,35" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
<polygon points="35,143 159,71 138,35 55,35" fill="rgba(251,146,60,0.2)" stroke="none"/>
<line x1="35" y1="143" x2="220" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="200" y1="143" x2="138" y2="35" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="159" cy="71" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<circle cx="138" cy="35" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<text x="21" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="203" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="223" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="41" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
<text x="143" y="27" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">M</text>
<text x="164" y="68" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">F</text>
<text x="75" y="105" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#c2410c">AFMD</text>
</svg>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v16.js
+231
View File
@@ -0,0 +1,231 @@
VARIANTS[16] = {
label: "Вариант 16",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из следующих множеств <b>НЕ</b> может быть областью определения
нечётной функции:`,
opts: [
["а", "$(-\\infty;\\ {+\\infty})$"],
["б", "$[-9;\\ 0) \\cup (0;\\ 9]$"],
["в", "$[-10;\\ 10]$"],
["г", "$(-8;\\ {-1}) \\cup (-1;\\ 1) \\cup (1;\\ 8)$"],
["д", "$[-11;\\ 11)$"],
],
sol: `Область нечётной функции симметрична относительно нуля.
<ul>
<li>а–г) все симметричны ✓</li>
<li>д) $[-11;11)$: $-11$ включён, $11$ исключён — <b style="color:#dc2626">несимметрично</b> ✗</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: д)</div>`
},
{
text: `Запись числового выражения $3^4 \\cdot 3^3 : 3^2$ в виде степени с основанием $3$
имеет вид:`,
opts: [
["а", "$3^9$"], ["б", "$3^{-1}$"], ["в", "$3^3$"],
["г", "$3^4$"], ["д", "$3^5$"],
],
sol: `Умножение — складываем показатели, деление — вычитаем:
$$3^4\\cdot3^3:3^2 = 3^{4+3-2} = 3^5$$
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$3^5$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;"],
["б", "$\\sin 150^{\\circ} = -\\dfrac{1}{2}$;"],
["в", "диаметр окружности, описанной около квадрата, равен его диагонали;"],
["г", "медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Биссектрисы пересекаются в инцентре — <b>верно</b></li>
<li>б) $\\sin150°=-\\dfrac{1}{2}$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>: $\\sin150°=+\\dfrac{1}{2}$</li>
<li>в) Диаметр описанной окружности квадрата равен его диагонали — <b>верно</b></li>
<li>г) Медиана проведена к середине стороны — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Найдите второй член последовательности, заданной формулой $a_n = 2n^2 + 5n + 1$.`,
sol: `$$a_2 = 2\\cdot2^2+5\\cdot2+1 = 8+10+1 = 19$$
<div class="sol-ans">Ответ: $19$</div>`
},
{
text: `Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $P$ — точка пересечения диагоналей,
$\\angle ACB = 48^{\\circ}$, $\\angle CAD = 54^{\\circ}$. Найдите $\\angle CPD$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 190 155" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:190px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<circle cx="88" cy="73" r="65" fill="none" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="44,28 152,73 108,135 24,73" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="44" y1="28" x2="108" y2="135" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<line x1="152" y1="73" x2="24" y2="73" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<circle cx="72" cy="73" r="3" fill="#1e293b"/>
<text x="70" y="67" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">P</text>
<text x="38" y="23" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="155" y="76" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="110" y="149" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="8" y="76" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="92" y="120" font-size="10" fill="#2563eb">48°</text>
<text x="50" y="48" font-size="10" fill="#e11d48">54°</text>
</svg>
<b>Теорема о вписанном угле:</b> вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается; равносильно, дуга равна удвоенному вписанному углу.
<br><b>Теорема об угле между хордами:</b> угол между двумя пересекающимися внутри окружности хордами равен полусумме двух перехваченных дуг.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Угол $\\angle ACB = 48°$ — вписанный, опирается на дугу $AB$. По теореме о вписанном угле:
$$\\overset{\\frown}{AB} = 2\\cdot\\angle ACB = 2\\cdot 48° = 96°$$
<b>Шаг 2.</b> Угол $\\angle CAD = 54°$ — вписанный, опирается на дугу $CD$:
$$\\overset{\\frown}{CD} = 2\\cdot\\angle CAD = 2\\cdot 54° = 108°$$
<b>Шаг 3.</b> Точка $P$ — пересечение диагоналей $AC$ и $BD$ внутри окружности. Угол $\\angle CPD$ — между хордами $AC$ и $BD$, причём он перехватывает дуги $CD$ и $AB$ (противоположные дуги).
<br><b>Шаг 4.</b> По теореме об угле между хордами:
$$\\angle CPD = \\dfrac{\\overset{\\frown}{CD}+\\overset{\\frown}{AB}}{2} = \\dfrac{108°+96°}{2} = \\dfrac{204°}{2} = 102°$$
<div class="sol-ans">Ответ: $102°$</div>`
},
{
text: `Упростите выражение $|x - 4| + |x + 4| - 2$, если $x \\in (-4;\\ 0]$.`,
sol: `<b>Определение модуля:</b> $|A| = A$, если $A\\geq 0$, и $|A| = -A$, если $A\\lt 0$.
<br><b>Идея:</b> для раскрытия модуля нужно определить знак подмодульного выражения на заданном промежутке.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Определим знак $x-4$ при $x\\in(-4;\\,0]$.
<br>Так как $x\\leq 0$, то $x-4\\leq -4\\lt 0$. По определению модуля:
$$|x-4| = -(x-4) = 4-x$$
<b>Шаг 2.</b> Определим знак $x+4$ на промежутке $(-4;\\,0]$.
<br>Так как $x\\gt -4$ (по условию), то $x+4\\gt 0$. По определению модуля:
$$|x+4| = x+4$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем раскрытые модули в исходное выражение:
$$|x-4| + |x+4| - 2 = (4-x) + (x+4) - 2$$
<b>Шаг 4.</b> Приводим подобные слагаемые:
$$4 - x + x + 4 - 2 = (4+4-2) + (-x+x) = 6$$
Выражение оказалось <em>постоянным</em> на всём данном промежутке.
<div class="sol-ans">Ответ: $6$ (константа на всём промежутке)</div>`
},
{
text: `Найдите все значения переменной, при которых значение выражения
$\\dfrac{x + 2}{x + 3} + \\dfrac{2x}{x^2 - 9}$ равно нулю.`,
sol: `<b>Решение дробно-рациональных уравнений:</b> 1) находим ОДЗ; 2) умножаем обе части на общий знаменатель; 3) решаем полученное уравнение; 4) проверяем корни на принадлежность ОДЗ.
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем уравнение:
$$\\dfrac{x+2}{x+3} + \\dfrac{2x}{x^2-9} = 0$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим знаменатель $x^2-9$ по формуле разности квадратов: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Это общий знаменатель.
<br>ОДЗ: $x\\neq 3$ и $x\\neq -3$.
<br><b>Шаг 3.</b> Умножим обе части уравнения на $(x-3)(x+3)$:
$$(x+2)(x-3) + 2x = 0$$
<b>Шаг 4.</b> Раскрываем скобки:
$$x^2 + 2x - 3x - 6 + 2x = 0$$
$$x^2 + x - 6 = 0$$
<b>Шаг 5.</b> По теореме Виета: $x_1+x_2=-1$, $x_1\\cdot x_2=-6$. Подходят $-3$ и $2$:
$$(x+3)(x-2) = 0 \\implies x = -3 \\text{ или } x = 2$$
<b>Шаг 6.</b> Проверяем ОДЗ: $x=-3$ не входит (отбрасываем). Остаётся $x=2$.
<br><b>Проверка</b> $x=2$:
$$\\dfrac{2+2}{2+3} + \\dfrac{2\\cdot 2}{4-9} = \\dfrac{4}{5} + \\dfrac{4}{-5} = \\dfrac{4}{5} - \\dfrac{4}{5} = 0 \\checkmark$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x=2$</div>`
},
{
text: `Если двузначное число разделить на сумму его цифр, в частном получим $6$,
а в остатке — $5$. Если число, записанное теми же цифрами в обратном порядке,
разделить на произведение цифр, то в частном получим $2$, а в остатке — $5$.
Найдите это число.`,
sol: `<b>Запись двузначного числа:</b> $10a+b$, где $a$ — цифра десятков ($1\\leq a\\leq 9$), $b$ — цифра единиц ($0\\leq b\\leq 9$). Число с теми же цифрами в обратном порядке: $10b+a$.
<br><b>Теорема о делении с остатком:</b> если $N$ при делении на $d$ даёт частное $q$ и остаток $r$, то $N = d\\cdot q + r$, $0\\leq r\\lt d$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Обозначим за $10a+b$ исходное число.
<br><b>Шаг 2.</b> <em>Первое условие:</em> деление на сумму цифр $a+b$ даёт частное $6$ и остаток $5$:
$$10a + b = 6(a+b) + 5$$
$$10a + b = 6a + 6b + 5$$
$$4a - 5b = 5 \\quad (*)$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём пары цифр $(a;b)$, удовлетворяющие $(*)$. Преобразуем:
$$4a = 5b + 5 = 5(b+1)$$
Левая часть делится на $5$, поэтому $a$ кратно $5$, то есть $a=5$ (другой кратный $5$ — это $0$, что невозможно для двузначного числа).
<br>При $a=5$: $20 = 5(b+1) \\Rightarrow b+1 = 4 \\Rightarrow b = 3$.
<br>Получаем число $\\boldsymbol{53}$.
<br><b>Шаг 4.</b> <em>Второе условие</em> (проверка): число в обратном порядке $= 10b+a = 35$. Произведение цифр $= 5\\cdot 3 = 15$. По условию частное $2$, остаток $5$:
$$2\\cdot 15 + 5 = 30 + 5 = 35 \\checkmark$$
И остаток $5\\lt 15$ — корректно.
<br><b>Проверка условия 1:</b> сумма цифр $= 8$; $53:8 = 6$ (ост. $5$), так как $6\\cdot 8+5 = 48+5=53$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: $53$</div>`
},
{
text: `Найдите разность наибольшего и наименьшего целых решений двойного неравенства
$x + 6 \\leq x^2 < 24 - 5x$.`,
sol: `<b>Двойное неравенство</b> $A\\leq B\\lt C$ равносильно системе $\\{A\\leq B,\\; B\\lt C\\}$. Решаем каждую часть и берём пересечение.
<br><b>Метод интервалов</b> для квадратного неравенства: раскладываем трёхчлен на множители.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Решаем первую часть: $x+6 \\leq x^2$, то есть $x^2 \\geq x+6$.
<br>Переносим всё влево:
$$x^2 - x - 6 \\geq 0$$
По теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1\\cdot x_2=-6$. Подходят $3$ и $-2$:
$$(x-3)(x+2) \\geq 0$$
Произведение неотрицательно вне корней: $x\\leq -2$ или $x\\geq 3$.
<br><b>Шаг 2.</b> Решаем вторую часть: $x^2 \\lt 24-5x$.
<br>Переносим всё влево:
$$x^2 + 5x - 24 \\lt 0$$
По теореме Виета: $x_1+x_2=-5$, $x_1\\cdot x_2=-24$. Подходят $-8$ и $3$:
$$(x+8)(x-3) \\lt 0$$
Произведение отрицательно между корнями: $-8\\lt x\\lt 3$.
<br><b>Шаг 3.</b> Берём пересечение:
$$(x\\leq -2 \\text{ или } x\\geq 3) \\cap (-8\\lt x\\lt 3) = -8 \\lt x \\leq -2$$
<svg viewBox="0 0 265 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:265px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a16t9" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="255" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a16t9)"/>
<line x1="35" y1="22" x2="35" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="35" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−9</text>
<line x1="80" y1="22" x2="80" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="80" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−7</text>
<line x1="125" y1="22" x2="125" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="125" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−5</text>
<line x1="170" y1="22" x2="170" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="170" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
<line x1="215" y1="22" x2="215" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="215" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
<line x1="57" y1="26" x2="193" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="57" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="193" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
</svg>
<b>Шаг 4.</b> Целые числа из $(-8;\\,-2]$: $-7,\\,-6,\\,-5,\\,-4,\\,-3,\\,-2$.
<br>Наибольшее $= -2$, наименьшее $= -7$.
<br><b>Шаг 5.</b> Разность:
$$-2 - (-7) = 5$$
<div class="sol-ans">Ответ: $5$</div>`
},
{
text: `Точка $M$ — середина стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$ с площадью $240$ см².
Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $F$.
Найдите площадь четырёхугольника $FMCD$.`,
figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 265 168" width="265" height="168">
<polygon points="35,143 200,143 220,35 55,35" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
<polygon points="152,107 210,89 220,35 55,35" fill="rgba(251,146,60,0.2)" stroke="none"/>
<line x1="200" y1="143" x2="55" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="35" y1="143" x2="210" y2="89" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="152" cy="107" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<circle cx="210" cy="89" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<text x="21" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="203" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="223" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="41" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
<text x="216" y="87" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">M</text>
<text x="140" y="105" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">F</text>
<text x="148" y="62" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#c2410c">FMCD</text>
</svg>`,
sol: `<b>Метод координат:</b> вводим координаты вершин параллелограмма, чтобы свести задачу к вычислениям. Площадь от выбора координат не зависит — отношение площадей сохраняется.
<br><b>Формула Гаусса (площадь многоугольника по координатам):</b> для четырёхугольника с вершинами $(x_i;y_i)$:
$$2S = \\left|\\sum_i x_i(y_{i+1}-y_{i-1})\\right|$$
<br><br>
<b>Шаг 1 — выбираем координаты.</b>
<br>Поместим вершины параллелограмма так: $A=(0;0)$, $B=(1;0)$, $C=(1;1)$, $D=(0;1)$ (получится квадрат единичной площади, но отношения площадей такие же, как в любом параллелограмме).
<br>$M$ — середина $BC$, поэтому $M=\\bigl(1;\\tfrac{1}{2}\\bigr)$.
<br><b>Шаг 2 — находим точку F.</b>
<br>Прямая $AM$: точки вида $(t;\\tfrac{t}{2})$, где $t\\in[0;1]$.
<br>Прямая $BD$: точки вида $(1-s;s)$, где $s\\in[0;1]$.
<br>В точке $F$ обе прямые пересекаются:
$$t = 1-s,\\quad \\tfrac{t}{2} = s$$
Подставляем $s = \\tfrac{t}{2}$ в первое: $t = 1-\\tfrac{t}{2} \\Rightarrow \\tfrac{3t}{2}=1 \\Rightarrow t=\\tfrac{2}{3}$, $s=\\tfrac{1}{3}$.
<br>Получаем $F=\\bigl(\\tfrac{2}{3};\\tfrac{1}{3}\\bigr)$.
<br><b>Шаг 3 — площадь FMCD по формуле Гаусса.</b>
<br>Вершины (в порядке обхода): $F\\bigl(\\tfrac{2}{3};\\tfrac{1}{3}\\bigr)$, $M\\bigl(1;\\tfrac{1}{2}\\bigr)$, $C(1;1)$, $D(0;1)$.
<br>Применяем формулу:
$$2S = \\left|\\tfrac{2}{3}\\bigl(\\tfrac{1}{2}-1\\bigr)+1\\bigl(1-\\tfrac{1}{3}\\bigr)+1\\bigl(1-\\tfrac{1}{2}\\bigr)+0\\bigl(\\tfrac{1}{2}-1\\bigr)\\right|$$
$$= \\left|-\\tfrac{1}{3}+\\tfrac{2}{3}+\\tfrac{1}{2}\\right| = \\tfrac{5}{6}$$
Значит $S = \\tfrac{5}{12}$ от площади выбранного «единичного» параллелограмма.
<br><b>Шаг 4 — итог.</b>
<br>Реальная площадь параллелограмма $= 240$ см², поэтому:
$$S_{FMCD} = \\tfrac{5}{12}\\cdot 240 = 100\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $100$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v17.js
+202
View File
@@ -0,0 +1,202 @@
VARIANTS[17] = {
label: "Вариант 17",
tasks: [
{
text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = \\sqrt{x} - 1$:`,
figure: `<img src="/img/exam9/v17_t1.png" class="task-fig" />`,
sol: `Функция $y=\\sqrt{x}-1$:
<ul>
<li>Область определения: $x\\geq 0$ (начинается с нуля)</li>
<li>При $x=0$: $y=-1$ — <b>начало кривой в точке $(0;\\,-1)$</b></li>
<li>При $x=1$: $y=0$ — пересекает ось $Ox$ в точке $(1;\\,0)$</li>
<li>Возрастает при $x>0$</li>
</ul>
На рисунке ищем кривую, которая начинается НИЖЕ оси $Ox$ при $x=0$.
<div class="sol-ans">Ответ: д)</div>`
},
{
text: `Из данных чисел выберите те, которые <b>НЕ</b> входят в область определения выражения $\\dfrac{2}{\\sqrt{2x-4}}$:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{1}{2}$"], ["б", "$2{,}5$"], ["в", "$2$"],
["г", "$3$"], ["д", "$4$"],
],
sol: `Знаменатель не равен нулю и подкоренное выражение положительно: $2x-4>0 \\Rightarrow x>2$.
<br>ОДЗ: $x>2$. Проверяем:
<ul>
<li>а) $\\frac{1}{2}<2$ ✗ — <b>НЕ входит</b></li>
<li>б) $2{,}5>2$ ✓ — входит</li>
<li>в) $2=2$ → знаменатель $=0$ ✗ — <b>НЕ входит</b></li>
<li>г) $3>2$ ✓ — входит</li>
<li>д) $4>2$ ✓ — входит</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а) и в)</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "у правильного $n$-угольника все стороны равны между собой;"],
["б", "по теореме косинусов для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ верно, что $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha$;"],
["в", "площадь ромба равна половине произведения диагоналей;"],
["г", "площадь круга с радиусом $r$ равна $2\\pi r$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Правильный $n$-угольник — все стороны равны <b>верно</b></li>
<li>б) Теорема косинусов $a^2=b^2+c^2-2bc\\cos\\alpha$ — <b>верно</b></li>
<li>в) $S_{\\text{ромб}}=\\frac{d_1 d_2}{2}$ — <b>верно</b></li>
<li>г) Площадь круга $=2\\pi r$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
$S_{\\text{круга}} = \\pi r^2$, а $2\\pi r$ — это <em>длина окружности</em>.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $x \\cdot y$, где $(x;\\, y)$ — решение системы уравнений
$$\\begin{cases} x + y = 5, \\\\[4pt] 2x - y = 4. \\end{cases}$$`,
sol: `Сложим оба уравнения: $3x=9 \\Rightarrow x=3$.
<br>Из первого: $y=5-3=2$.
$$x\\cdot y = 3\\cdot 2 = 6$$
<div class="sol-ans">Ответ: $6$</div>`
},
{
text: `Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, центр $O$ окружности лежит на стороне $AD$.
Найдите угол $CAD$, если угол $ABC$ равен $118^{\\circ}$.`,
sol: `<b>Ключевой факт:</b> $O$ лежит на $AD$ $\\Rightarrow$ $AD$ — диаметр окружности.
<svg viewBox="0 0 195 155" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- окружность: O=(90,80), R=60 -->
<circle cx="90" cy="80" r="60" fill="none" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1.2"/>
<!-- четырёхугольник ABCD: B(60,28) и C(120,28) лежат на окружности -->
<polygon points="30,80 60,28 120,28 150,80" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- диаметр AD (горизонталь, так как O лежит на AD) -->
<line x1="30" y1="80" x2="150" y2="80" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
<!-- диагональ AC (синяя) -->
<line x1="30" y1="80" x2="120" y2="28" stroke="#2563eb" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- центр O на AD -->
<circle cx="90" cy="80" r="3.5" fill="#e11d48"/>
<text x="88" y="94" font-size="10" fill="#e11d48" text-anchor="middle">O</text>
<!-- знак прямого угла при C(120,28): ∠ACD=90° -->
<!-- CA=(-90,52)/103.9≈(-0.867,0.501), CD=(30,52)/60≈(0.500,0.867) -->
<!-- P1=C+6×CA=(114.8,31), P2=C+6×CD=(123,33.2), corner=(117.8,36.2) -->
<path d="M114.8,31 L117.8,36.2 L123,33.2" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3"/>
<text x="122" y="44" font-size="10" fill="#16a34a">90°</text>
<!-- дуга ∠CAD=28° при A=(30,80) -->
<!-- от AC-луча (A+18×(0.867,-0.501)=(45.6,71)) до AD-луча (A+(18,0)=(48,80)) -->
<path d="M45.6,71 A18,18 0 0,1 48,80" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<text x="43" y="76" font-size="9" fill="#334155">28°</text>
<!-- дуга ∠ADC=62° при D=(150,80) -->
<!-- от DA-луча (D+18×(-1,0)=(132,80)) до DC-луча (D+18×(-0.5,-0.867)=(141,64)) -->
<path d="M132,80 A18,18 0 0,0 141,64" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<text x="128" y="73" font-size="9" fill="#334155">62°</text>
<!-- метки вершин -->
<text x="13" y="88" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="153" y="88" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="45" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="122" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<!-- ∠ABC=118° при B -->
<text x="38" y="52" font-size="10" fill="#e11d48">118°</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> $AD$ — диаметр $\\Rightarrow$ $\\angle ACD = 90°$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
<br><b>Шаг 2.</b> $ABCD$ — вписанный четырёхугольник, противоположные углы в сумме дают $180°$:
$$\\angle ADC = 180° - \\angle ABC = 180° - 118° = 62°$$
<b>Шаг 3.</b> В треугольнике $ACD$: $\\angle ACD=90°$, $\\angle ADC=62°$:
$$\\angle CAD = 180° - 90° - 62° = 28°$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\angle CAD = 28°$</div>`
},
{
text: `Найдите количество целых решений неравенства $x^2 + 5x < 14$.`,
sol: `<b>Метод интервалов для квадратного неравенства:</b> приводим к виду $ax^2+bx+c\\lt 0$, раскладываем на множители и определяем знаки.
<br><b>Шаг 1.</b> Переносим всё в одну часть: $x^2+5x-14\\lt 0$.
<br><b>Шаг 2.</b> Раскладываем левую часть на множители. Ищем два числа, произведение которых равно $-14$, а сумма $5$. Это $7$ и $-2$, значит $x^2+5x-14=(x+7)(x-2)$.
<br><b>Шаг 3.</b> Решаем неравенство $(x+7)(x-2)\\lt 0$. Произведение двух множителей отрицательно, когда они разных знаков, поэтому $-7\\lt x\\lt 2$.
<svg viewBox="0 0 260 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a17t6" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="248" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a17t6)"/>
<line x1="25" y1="22" x2="25" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="25" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−7</text>
<line x1="70" y1="22" x2="70" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="70" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−5</text>
<line x1="115" y1="22" x2="115" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="115" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
<line x1="160" y1="22" x2="160" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="160" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
<line x1="205" y1="22" x2="205" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="205" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">1</text>
<line x1="227" y1="22" x2="227" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="227" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">2</text>
<line x1="25" y1="26" x2="227" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="25" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="227" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
</svg>
<b>Шаг 4.</b> Выписываем целые числа из интервала $(-7;\\;2)$ — концы не входят, поскольку неравенство строгое: $-6,\\,-5,\\,-4,\\,-3,\\,-2,\\,-1,\\,0,\\,1$ — всего <b>8</b> чисел.
<div class="sol-ans">Ответ: $8$</div>`
},
{
text: `Найдите $55\\%$ от значения выражения $\\dfrac{71^2 - 23^2 + 94 \\cdot 42}{62^2 - 32^2}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. <b>Правило процентов:</b> $p\\%$ от числа $N$ равно $\\dfrac{p}{100}\\cdot N$.
<br><b>Шаг 1.</b> Преобразуем числитель. По формуле разности квадратов:
$$71^2-23^2 = (71-23)(71+23) = 48\\cdot 94.$$
Значит, в числителе $48\\cdot 94 + 94\\cdot 42$. Так как множитель $94$ общий, выносим его за скобки:
$$48\\cdot 94 + 94\\cdot 42 = 94\\cdot(48+42) = 94\\cdot 90 = 8460.$$
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем знаменатель по той же формуле:
$$62^2-32^2 = (62-32)(62+32) = 30\\cdot 94 = 2820.$$
<b>Шаг 3.</b> Делим числитель на знаменатель. Замечаем, что общий множитель $94$ сокращается:
$$\\dfrac{94\\cdot 90}{30\\cdot 94} = \\dfrac{90}{30} = 3.$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $55\\%$ от полученного числа. По правилу процентов:
$$55\\%\\text{ от }3 = \\dfrac{55}{100}\\cdot 3 = 0{,}55\\cdot 3 = 1{,}65.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1{,}65$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $a + x_0$, где $a$ — положительное число,
при котором левая часть уравнения $4x^2 - ax + 25 = 0$ является квадратом разности,
а $x_0$ — корень уравнения.`,
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Чтобы $4x^2 - ax + 25$ был квадратом разности, надо представить его в виде $(A-B)^2$. Так как $4x^2=(2x)^2$ и $25=5^2$, берём $A=2x$ и $B=5$ (положительное, так как по условию $a\\gt 0$, а средний член имеет знак минус).
<br><b>Шаг 2.</b> Сравниваем средние члены: $-ax$ и $-2AB = -2\\cdot 2x\\cdot 5 = -20x$. Значит $a=20$.
<br><b>Шаг 3.</b> Подставляем $a=20$ и решаем уравнение:
$$4x^2-20x+25 = (2x-5)^2 = 0 \\;\\implies\\; 2x-5=0 \\;\\implies\\; x_0 = \\dfrac{5}{2}$$
<b>Шаг 4.</b> Находим искомое выражение:
$$a+x_0 = 20+\\dfrac{5}{2} = 22{,}5$$
<div class="sol-ans">Ответ: $22{,}5$</div>`
},
{
text: `В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведена высота $BK$.
Найдите площадь трапеции, если $BK = 6$ см, диагональ $AC = 10$ см.`,
sol: `В равнобедренной трапеции $AD\\parallel BC$, высота $BK\\perp AD$.
<svg viewBox="0 0 195 100" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="20,80 164,80 116,8 68,8" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="68" y1="8" x2="68" y2="80" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
<path d="M61,80 L61,73 L68,73" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<line x1="20" y1="80" x2="116" y2="8" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
<text x="5" y="92" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="166" y="92" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="117" y="5" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="54" y="5" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="57" y="92" font-size="10" fill="#334155">K</text>
<text x="72" y="50" font-size="11" fill="#e11d48">BK=6</text>
<text x="55" y="44" font-size="11" fill="#2563eb">AC=10</text>
</svg>
Введём координаты: $A=(0,0)$, основание $AD$ по оси $Ox$, высота $h=BK=6$.
<br>Тогда $B=(p,\\ 6)$ и $C=(p+b,\\ 6)$, где $p=\\dfrac{AD-BC}{2}$ — горизонтальное смещение.
<br><br>
Диагональ $AC$ идёт от $A(0,0)$ до $C(p+b,\; 6)$:
$$AC^2 = (p+b)^2 + 6^2$$
Заметим, что $p+b = \\dfrac{AD-BC}{2}+BC = \\dfrac{AD+BC}{2} = \\text{средняя линия}$.
<br>Из условия $AC=10$:
$$\\text{средняя линия} = \\sqrt{AC^2 - h^2} = \\sqrt{100-36} = \\sqrt{64} = 8$$
$$S = \\text{средняя линия}\\times h = 8\\times 6 = 48\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $48$ см²</div>`
},
{
text: `В аквапарке «Лебяжий», который расположен в городе Минске, один из бассейнов
до максимальной метки можно заполнять через две трубы, причём через первую —
на $5$ часов дольше, чем через вторую. Заполнение бассейна через обе трубы
одновременно продолжается не менее $6$ часов.
За какое наименьшее количество часов можно заполнить бассейн через первую трубу?`,
sol: `Пусть первая труба заполняет за $t_1$ часов, вторая — за $t_2=t_1-5$ часов.
<br>Совместная скорость заполнения: $\\dfrac{1}{t_1}+\\dfrac{1}{t_1-5}$ (бассейнов в час).
<br>Условие «<b>не менее 6 часов</b>» вместе означает скорость $\\leq \\dfrac{1}{6}$:
$$\\frac{1}{t_1}+\\frac{1}{t_1-5} \\leq \\frac{1}{6}$$
$$\\frac{2t_1-5}{t_1(t_1-5)} \\leq \\frac{1}{6}$$
$$6(2t_1-5) \\leq t_1(t_1-5)$$
$$12t_1-30 \\leq t_1^2-5t_1$$
$$t_1^2-17t_1+30 \\geq 0$$
$$(t_1-15)(t_1-2) \\geq 0$$
$$t_1 \\leq 2 \\quad\\text{или}\\quad t_1 \\geq 15$$
Так как $t_2=t_1-5>0$, необходимо $t_1>5$. Поэтому $t_1\\geq 15$.
<br><b>Проверка</b> $t_1=15$: $t_2=10$, вместе: $\\frac{1}{15}+\\frac{1}{10}=\\frac{1}{6}$ (ровно 6 ч) ✓
<div class="sol-ans">Ответ: не менее $15$ часов</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v18.js
+197
View File
@@ -0,0 +1,197 @@
VARIANTS[18] = {
label: "Вариант 18",
tasks: [
{
text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = |x| + 1$:`,
figure: `<img src="/img/exam9/v18_t1.png" class="task-fig" />`,
sol: `Функция $y=|x|+1$:
<ul>
<li>При $x=0$: $y=1$ — <b>вершина V-образной фигуры в точке $(0;\\,1)$</b></li>
<li>Пересечение с осью $Ox$: $|x|+1=0 \\implies |x|=-1$ — <b>нет пересечений</b> (весь график выше оси $Ox$)</li>
<li>При $x>0$: $y=x+1$ (луч вправо-вверх); при $x<0$: $y=-x+1$ (луч влево-вверх)</li>
<li>График симметричен относительно оси $Oy$</li>
</ul>
На рисунке ищем V-образную кривую с вершиной в точке $(0;\\,1)$, целиком выше оси $Ox$.
<div class="sol-ans">Ответ: рисунок с V-образным графиком, вершина которого в точке $(0;\\,1)$</div>`
},
{
text: `Из данных чисел выберите те, которые <b>НЕ</b> входят в область определения выражения $\\dfrac{2}{\\sqrt{3x-9}}$:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{1}{3}$"], ["б", "$3{,}5$"], ["в", "$3$"],
["г", "$4$"], ["д", "$5$"],
],
sol: `Знаменатель не равен нулю и подкоренное выражение положительно: $3x-9>0 \\Rightarrow x>3$.
<br>ОДЗ: $x>3$. Проверяем:
<ul>
<li>а) $\\frac{1}{3}<3$ ✗ — <b>НЕ входит</b></li>
<li>б) $3{,}5>3$ ✓ — входит</li>
<li>в) $3=3$ → знаменатель $=0$ ✗ — <b>НЕ входит</b></li>
<li>г) $4>3$ ✓ — входит</li>
<li>д) $5>3$ ✓ — входит</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а) и в)</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "у правильного $n$-угольника все углы равны;"],
["б", "по теореме косинусов для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ верно, что $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\\cos\\beta$;"],
["в", "площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов;"],
["г", "длина окружности с радиусом $R$ равна $\\pi R$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Правильный $n$-угольник — все углы равны — <b>верно</b></li>
<li>б) Теорема косинусов $b^2=a^2+c^2-2ac\\cos\\beta$ — <b>верно</b></li>
<li>в) $S=\\frac{1}{2}\\cdot\\text{катет}_1\\cdot\\text{катет}_2$ — <b>верно</b></li>
<li>г) Длина окружности $=\\pi R$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
Длина окружности равна $2\\pi R$, а не $\\pi R$.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $x \\cdot y$, где $(x;\\, y)$ — решение системы уравнений
$$\\begin{cases} x + y = 5, \\\\[4pt] 3x - y = 7. \\end{cases}$$`,
sol: `Сложим оба уравнения: $4x=12 \\Rightarrow x=3$.
<br>Из первого: $y=5-3=2$.
$$x\\cdot y = 3\\cdot 2 = 6$$
<div class="sol-ans">Ответ: $6$</div>`
},
{
text: `Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, центр $O$ окружности лежит на стороне $AD$.
Найдите угол $BCD$, если угол $ADB$ равен $32^{\\circ}$.`,
sol: `<b>Ключевой факт:</b> $O$ лежит на $AD$ $\\Rightarrow$ $AD$ — диаметр окружности.
<svg viewBox="0 0 195 155" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- окружность: O=(90,90), R=60 -->
<circle cx="90" cy="90" r="60" fill="none" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1.2"/>
<!-- четырёхугольник ABCD: A=(30,90), D=(150,90), B=(60,38), C=(130,38) на окружности -->
<polygon points="30,90 60,38 130,38 150,90" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- диаметр AD (горизонталь) -->
<line x1="30" y1="90" x2="150" y2="90" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
<!-- диагональ DB (синяя) -->
<line x1="150" y1="90" x2="60" y2="38" stroke="#2563eb" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- центр O на AD -->
<circle cx="90" cy="90" r="3.5" fill="#e11d48"/>
<text x="88" y="104" font-size="10" fill="#e11d48" text-anchor="middle">O</text>
<!-- знак прямого угла при B: ∠ABD=90° -->
<path d="M55,44 L61,50 L67,44" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3"/>
<text x="52" y="60" font-size="10" fill="#16a34a">90°</text>
<!-- дуга ∠ADB=32° при D=(150,90) -->
<path d="M132,90 A18,18 0 0,0 137,73" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<text x="118" y="82" font-size="9" fill="#334155">32°</text>
<!-- метки вершин -->
<text x="13" y="98" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="153" y="98" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="44" y="32" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="132" y="32" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<!-- ∠BCD при C -->
<text x="110" y="55" font-size="10" fill="#e11d48">122°</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> $AD$ — диаметр $\\Rightarrow$ $\\angle ABD = 90°$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
<br><b>Шаг 2.</b> В треугольнике $ABD$: $\\angle ABD=90°$, $\\angle ADB=32°$:
$$\\angle BAD = 180° - 90° - 32° = 58°$$
<b>Шаг 3.</b> $ABCD$ — вписанный четырёхугольник, противоположные углы в сумме дают $180°$:
$$\\angle BCD = 180° - \\angle BAD = 180° - 58° = 122°$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\angle BCD = 122°$</div>`
},
{
text: `Найдите количество целых решений неравенства $x^2 + 4x < 12$.`,
sol: `<b>Метод интервалов для квадратного неравенства:</b> переносим всё в одну часть, раскладываем на множители и находим знаки.
<br><b>Шаг 1.</b> Переносим $12$ влево: $x^2+4x-12\\lt 0$.
<br><b>Шаг 2.</b> Раскладываем на множители. Ищем два числа с произведением $-12$ и суммой $4$ — это $6$ и $-2$, поэтому $x^2+4x-12=(x+6)(x-2)$.
<br><b>Шаг 3.</b> Решаем $(x+6)(x-2)\\lt 0$. Произведение отрицательно, когда множители разных знаков, значит $-6\\lt x\\lt 2$.
<svg viewBox="0 0 260 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="a18t6" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="248" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a18t6)"/>
<line x1="30" y1="22" x2="30" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="30" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−6</text>
<line x1="75" y1="22" x2="75" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="75" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−4</text>
<line x1="120" y1="22" x2="120" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="120" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−2</text>
<line x1="165" y1="22" x2="165" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="165" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="210" y1="22" x2="210" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="210" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">2</text>
<line x1="30" y1="26" x2="210" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="30" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="210" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
</svg>
<b>Шаг 4.</b> Выписываем целые числа из интервала $(-6;\\;2)$, не включая концы (неравенство строгое): $-5,\\,-4,\\,-3,\\,-2,\\,-1,\\,0,\\,1$ — всего <b>7</b> чисел.
<div class="sol-ans">Ответ: $7$</div>`
},
{
text: `Найдите $75\\%$ от значения выражения $\\dfrac{62^2 - 12^2 + 74 \\cdot 46}{53^2 - 21^2}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. <b>Правило процентов:</b> $p\\%$ от числа $N$ равно $\\dfrac{p}{100}\\cdot N$.
<br><b>Шаг 1.</b> Преобразуем числитель. По формуле разности квадратов:
$$62^2-12^2 = (62-12)(62+12) = 50\\cdot 74.$$
Значит, в числителе $50\\cdot 74 + 74\\cdot 46$. Множитель $74$ общий, выносим его за скобки:
$$50\\cdot 74 + 74\\cdot 46 = 74\\cdot(50+46) = 74\\cdot 96 = 7104.$$
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем знаменатель аналогично:
$$53^2-21^2 = (53-21)(53+21) = 32\\cdot 74 = 2368.$$
<b>Шаг 3.</b> Делим числитель на знаменатель — общий множитель $74$ сокращается:
$$\\dfrac{74\\cdot 96}{32\\cdot 74} = \\dfrac{96}{32} = 3.$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $75\\%$ от полученного числа:
$$75\\%\\text{ от }3 = \\dfrac{75}{100}\\cdot 3 = 0{,}75\\cdot 3 = 2{,}25.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $2{,}25$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $a + x_0$, где $a$ — отрицательное число,
при котором левая часть уравнения $4x^2 + ax + 9 = 0$ является квадратом разности,
а $x_0$ — корень уравнения.`,
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Заметим, что $4x^2=(2x)^2$ и $9=3^2$. Значит, представляем выражение в виде $(2x-3)^2$ или $(2x+3)^2$.
<br><b>Шаг 2.</b> Раскрываем квадраты:
<br>$(2x-3)^2 = 4x^2-12x+9$ — здесь средний коэффициент $-12$;
<br>$(2x+3)^2 = 4x^2+12x+9$ — здесь средний коэффициент $+12$.
<br><b>Шаг 3.</b> По условию $a$ отрицательное, значит $a=-12$.
<br><b>Шаг 4.</b> Решаем уравнение $4x^2-12x+9=(2x-3)^2=0$. Отсюда $2x-3=0$, и $x_0=\\dfrac{3}{2}$.
<br><b>Шаг 5.</b> Находим $a+x_0$:
$$a+x_0 = -12+\\dfrac{3}{2} = -10{,}5$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-10{,}5$</div>`
},
{
text: `В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведена высота $CH$.
Найдите площадь трапеции, если $CH = 12$ см, диагональ $BD = 15$ см.`,
sol: `<b>Свойство равнобедренной трапеции:</b> если из вершины меньшего основания опустить высоту на большее основание, то её основание отстоит от ближайшей вершины большего основания на $\\dfrac{AD-BC}{2}$.
<br><b>Формула площади трапеции:</b> $S = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$ — произведение средней линии на высоту.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2=a^2+b^2$.
<svg viewBox="0 0 195 100" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="20,80 164,80 116,8 68,8" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="116" y1="8" x2="116" y2="80" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
<path d="M109,80 L109,73 L116,73" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<line x1="164" y1="80" x2="68" y2="8" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
<text x="5" y="92" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="166" y="92" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="117" y="5" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="54" y="5" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="117" y="92" font-size="10" fill="#334155">H</text>
<text x="118" y="50" font-size="11" fill="#e11d48">CH=12</text>
<text x="80" y="54" font-size="11" fill="#2563eb">BD=15</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> Введём координаты: $A=(0;0)$, $D=(AD;0)$, $C=(AD - p;\\,12)$, $B=(p;\\,12)$, где $p=\\dfrac{AD-BC}{2}$. Это даёт высоту $CH=12$, опущенную из $C$ в точку $H=(AD-p;\\,0)$.
<br><b>Шаг 2.</b> Найдём $DH$ — отрезок от $D$ до основания высоты:
$$DH = AD - (AD-p) = p = \\dfrac{AD-BC}{2}$$
<b>Шаг 3.</b> Замечаем: средняя линия трапеции равна $\\dfrac{AD+BC}{2}$, а длина $BH$ (горизонтальная проекция диагонали $BD$) как раз и равна $AD-p = \\dfrac{AD+BC}{2}$ — это средняя линия.
<br><b>Шаг 4.</b> Треугольник $BHD$ прямоугольный (так как $CH\\perp AD$ и $BH\\parallel AD$). По теореме Пифагора:
$$\\text{средняя линия} = BH = \\sqrt{BD^2 - CH^2} = \\sqrt{15^2-12^2} = \\sqrt{225-144} = \\sqrt{81} = 9\\text{ см}$$
<b>Шаг 5.</b> Применяем формулу площади:
$$S = \\text{средняя линия}\\cdot h = 9\\cdot 12 = 108\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $108$ см²</div>`
},
{
text: `В аквацентре, который расположен в городе Гродно, один из бассейнов можно заполнять
через две трубы, причём заполнение до максимальной метки через вторую —
на $5$ часов быстрее, чем через первую. Заполнение бассейна через обе трубы
одновременно продолжается не более $6$ часов.
За какое наибольшее количество часов можно заполнить бассейн через вторую трубу?`,
sol: `Пусть вторая труба заполняет за $t_2$ часов, тогда первая — за $t_1=t_2+5$ часов.
<br>Условие «<b>не более 6 часов</b>» означает, что совместная скорость $\\geq \\dfrac{1}{6}$:
$$\\frac{1}{t_1}+\\frac{1}{t_2} \\geq \\frac{1}{6}$$
$$\\frac{1}{t_2+5}+\\frac{1}{t_2} \\geq \\frac{1}{6}$$
$$\\frac{2t_2+5}{t_2(t_2+5)} \\geq \\frac{1}{6}$$
$$6(2t_2+5) \\geq t_2(t_2+5)$$
$$12t_2+30 \\geq t_2^2+5t_2$$
$$t_2^2-7t_2-30 \\leq 0$$
$$(t_2-10)(t_2+3) \\leq 0$$
$$-3 \\leq t_2 \\leq 10$$
Так как $t_2>0$, получаем $0 < t_2 \\leq 10$.
<br><b>Проверка</b> $t_2=10$: $t_1=15$, вместе: $\\frac{1}{15}+\\frac{1}{10}=\\frac{1}{6}$ (ровно 6 ч) ✓
<div class="sol-ans">Ответ: не более $10$ часов</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v19.js
+200
View File
@@ -0,0 +1,200 @@
VARIANTS[19] = {
label: "Вариант 19",
tasks: [
{
text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = (x+1)^3$:`,
figure: `<img src="/img/exam9/v19_t1.png" class="task-fig" />`,
sol: `Функция $y=(x+1)^3$ — это график $y=x^3$, сдвинутый на $1$ единицу <b>влево</b>.
<br>Ключевые свойства:
<ul>
<li>Точка перегиба: $(-1;\\,0)$ — на оси $Ox$ при $x=-1$</li>
<li>$y$-пересечение: при $x=0$, $y=1$ — точка $(0;\\,1)$</li>
<li>Возрастает на всей $\\mathbb{R}$ (классическая S-образная форма куба)</li>
<li>Проходит через $(-2;\\,-1)$, так как $(-2+1)^3=-1$</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: график, пересекающий ось $Ox$ в точке $(-1;\\,0)$</div>`
},
{
text: `Какие из данных чисел являются решениями системы неравенств
$$\\left\\{\\begin{array}{l} x < 7, \\\\[4pt] x \\geq -\\dfrac{1}{2}; \\end{array}\\right.$$`,
opts: [
["а", "$6$"], ["б", "$7$"], ["в", "$0$"],
["г", "$-\\dfrac{3}{4}$"], ["д", "$-1$"],
],
sol: `Решение системы: $-\\dfrac{1}{2}\\leq x<7$.
<svg viewBox="0 0 240 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<defs><marker id="a19t2" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="228" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a19t2)"/>
<line x1="40" y1="22" x2="40" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="40" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
<line x1="80" y1="22" x2="80" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="80" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="200" y1="22" x2="200" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="200" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">7</text>
<line x1="60" y1="26" x2="200" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="60" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="200" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<text x="60" y="14" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">−1/2</text>
</svg>
Проверяем каждое:
<ul>
<li>а) $6$: $-\\frac{1}{2}\\leq 6<7$ ✓</li>
<li>б) $7$: условие $x<7$ нарушено ✗</li>
<li>в) $0$: $-\\frac{1}{2}\\leq 0<7$ ✓</li>
<li>г) $-\\frac{3}{4}=-0{,}75$: $-0{,}75 < -0{,}5$ ✗</li>
<li>д) $-1<-\\frac{1}{2}$ ✗</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а) и в)</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам;"],
["б", "площадь квадрата со стороной $4$ см равна $16$ см²;"],
["в", "если четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, то $\\angle A + \\angle B = 180^{\\circ}$;"],
["г", "если у $\\triangle ABC$ $\\angle C = 90^{\\circ}$, $AC = 3$, $BC = 4$, то $\\operatorname{tg} A = \\dfrac{4}{3}$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Диагонали параллелограмма делятся пополам — <b>верно</b></li>
<li>б) $S_{\\text{кв}}=4^2=16$ см² — <b>верно</b></li>
<li>в) Во вписанном четырёхугольнике $\\angle A+\\angle B=180°$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>г) $\\operatorname{tg}A = \\dfrac{BC}{AC}=\\dfrac{4}{3}$ — <b>верно</b></li>
</ul>
В вписанном четырёхугольнике в сумме $180°$ дают <em>противоположные</em> углы: $\\angle A+\\angle C=180°$ и $\\angle B+\\angle D=180°$. Углы $A$ и $B$ — соседние, их сумма не обязательно равна $180°$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $10A$,
если $A = \\sqrt{0{,}36} \\cdot \\sqrt{100} - \\sqrt{1{,}69}$.`,
sol: `Извлекаем корни:
$$\\sqrt{0{,}36}=0{,}6;\\quad \\sqrt{100}=10;\\quad \\sqrt{1{,}69}=1{,}3$$
Подставляем:
$$A = 0{,}6\\cdot 10 - 1{,}3 = 6 - 1{,}3 = 4{,}7$$
$$10A = 10\\cdot 4{,}7 = 47$$
<div class="sol-ans">Ответ: $47$</div>`
},
{
text: `Первый член арифметической прогрессии равен $-3\\dfrac{3}{4}$,
разность прогрессии равна $-0{,}25$.
Является ли членом данной прогрессии число $-8$? Ответ обоснуйте.`,
sol: `Дано: $a_1 = -3\\dfrac{3}{4} = -\\dfrac{15}{4}$, $d = -0{,}25 = -\\dfrac{1}{4}$.
<br>Формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
<br>Если $-8$ — член прогрессии, найдём его номер $n$:
$$-8 = -\\dfrac{15}{4} + (n-1)\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{4}\\right)$$
Умножим обе части на $-4$:
$$32 = 15 + (n-1)$$
$$n-1 = 17 \\implies n = 18$$
Получили <b>натуральное число</b> $n=18$, значит $-8$ — это <b>18-й член</b> прогрессии.
<div class="sol-ans">Ответ: да, $-8$ — член прогрессии (18-й по счёту)</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник с периметром $22$ см,
сторона $AB$ на $5$ см меньше стороны $AD$.
Найдите площадь прямоугольника.`,
sol: `<b>Формула периметра прямоугольника:</b> $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — соседние стороны.
<br><b>Формула площади прямоугольника:</b> $S = a\\cdot b$.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим $AD = x$ см. Тогда по условию $AB = x-5$ см, так как сторона $AB$ на $5$ см меньше $AD$.
<br><b>Шаг 2.</b> Составим уравнение по формуле периметра:
$$2(AD+AB) = 22 \\;\\implies\\; 2(x + x-5) = 22$$
$$2(2x-5) = 22 \\;\\implies\\; 2x-5 = 11 \\;\\implies\\; x = 8$$
<b>Шаг 3.</b> Находим стороны: $AD = 8$ см, $AB = 8-5 = 3$ см.
<svg viewBox="0 0 175 80" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:175px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,65 140,65 140,15 20,15" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<text x="6" y="71" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="142" y="71" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="142" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="6" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="80" y="76" font-size="11" fill="#334155" text-anchor="middle">AD = 8</text>
<text x="11" y="42" font-size="11" fill="#334155">AB=3</text>
</svg>
<b>Шаг 4.</b> Применяем формулу площади:
$$S = AD\\cdot AB = 8\\cdot 3 = 24\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $24$ см²</div>`
},
{
text: `Оптовая стоимость справочного издания «Памятные места Беларуси» $20$ р.
Какое наибольшее количество данных книг по розничной цене можно купить на $7000$ р.,
если розничная цена на $30\\%$ выше оптовой?`,
sol: `<b>Правило увеличения числа на $p$ процентов:</b> новое значение равно $N\\cdot\\left(1+\\dfrac{p}{100}\\right)$.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём розничную цену. По условию она на $30\\%$ выше оптовой, значит:
$$20\\cdot\\left(1+\\dfrac{30}{100}\\right) = 20\\cdot 1{,}3 = 26\\text{ р.}$$
<b>Шаг 2.</b> Чтобы узнать, сколько книг можно купить на $7000$ р., делим бюджет на цену одной книги:
$$\\dfrac{7000}{26} = 269{,}23\\ldots$$
<b>Шаг 3.</b> Количество книг — натуральное число, поэтому округляем результат <b>вниз</b>: получаем $269$ книг.
<br><b>Шаг 4.</b> Проверим граничные значения:
<br>$\\bullet$ $269\\cdot 26 = 6994$ р. — меньше $7000$, значит на $269$ книг денег хватит;
<br>$\\bullet$ $270\\cdot 26 = 7020$ р. — больше $7000$, значит $270$ книг купить уже нельзя.
<div class="sol-ans">Ответ: $269$ книг</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$$\\left(\\dfrac{x-4}{x^2-2x+1} - \\dfrac{x+2}{x^2+x-2}\\right) : \\dfrac{1}{(2x-2)^2}.$$`,
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. <b>Разложение квадратного трёхчлена:</b> $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, так как корни $-2$ и $1$. <b>Правило деления дробей:</b> $\\dfrac{A}{B}:\\dfrac{C}{D}=\\dfrac{A}{B}\\cdot\\dfrac{D}{C}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим все знаменатели на множители:
$$x^2-2x+1 = (x-1)^2;$$
$$x^2+x-2 = (x+2)(x-1);$$
$$(2x-2)^2 = \\bigl(2(x-1)\\bigr)^2 = 4(x-1)^2.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит $x\\neq 1$ и $x\\neq -2$.
<br><b>Шаг 3.</b> Сократим вторую дробь в скобках — множитель $(x+2)$ есть в числителе и в знаменателе:
$$\\dfrac{x+2}{(x+2)(x-1)} = \\dfrac{1}{x-1}.$$
<b>Шаг 4.</b> Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $(x-1)^2$. Дробь $\\dfrac{1}{x-1}$ умножаем на $\\dfrac{x-1}{x-1}$:
$$\\dfrac{x-4}{(x-1)^2} - \\dfrac{x-1}{(x-1)^2} = \\dfrac{(x-4)-(x-1)}{(x-1)^2} = \\dfrac{-3}{(x-1)^2}.$$
<b>Шаг 5.</b> По правилу деления заменяем деление умножением на обратную дробь:
$$\\dfrac{-3}{(x-1)^2} : \\dfrac{1}{(2x-2)^2} = \\dfrac{-3}{(x-1)^2}\\cdot 4(x-1)^2.$$
Множители $(x-1)^2$ сокращаются:
$$\\dfrac{-3}{(x-1)^2}\\cdot 4(x-1)^2 = -3\\cdot 4 = -12.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-12$</div>`
},
{
text: `Найдите сумму координат точки пересечения прямых,
заданных уравнениями $1{,}2x + 3{,}4y = 12$ и $2{,}5x + 1{,}4y = 25$.`,
sol: `<b>Метод решения:</b> чтобы найти точку пересечения двух прямых, решаем систему из их уравнений. Используем метод сложения (исключаем одну переменную).
<br><b>Шаг 1.</b> Запишем систему:
$$\\begin{cases} 1{,}2x + 3{,}4y = 12 \\\\ 2{,}5x + 1{,}4y = 25 \\end{cases}$$
<b>Шаг 2.</b> Уравняем коэффициенты при $x$. Умножим первое уравнение на $25$, второе — на $12$:
$$\\begin{cases} 30x + 85y = 300 \\\\ 30x + 16{,}8y = 300 \\end{cases}$$
<b>Шаг 3.</b> Вычтем второе уравнение из первого:
$$(85 - 16{,}8)y = 0 \\;\\implies\\; 68{,}2y = 0 \\;\\implies\\; y = 0$$
<b>Шаг 4.</b> Подставим $y=0$ в первое уравнение системы:
$$1{,}2x = 12 \\;\\implies\\; x = 10$$
<b>Шаг 5.</b> Значит, точка пересечения — $(10;\\,0)$. Тогда сумма координат:
$$x+y = 10+0 = 10$$
<div class="sol-ans">Ответ: $10$</div>`
},
{
text: `Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD \\| BC$) пересекаются в точке $O$.
Площади треугольников $ABO$ и $BOC$ равны соответственно $16$ см² и $8$ см².
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 205 110" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:205px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="20,90 60,20 100,43" fill="rgba(37,99,235,0.22)" stroke="none"/>
<polygon points="60,20 100,43 140,20" fill="rgba(251,146,60,0.28)" stroke="none"/>
<polygon points="140,20 100,43 180,90" fill="rgba(22,163,74,0.20)" stroke="none"/>
<polygon points="20,90 100,43 180,90" fill="rgba(225,29,72,0.16)" stroke="none"/>
<polygon points="20,90 60,20 140,20 180,90" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="90" x2="140" y2="20" stroke="#475569" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<line x1="60" y1="20" x2="180" y2="90" stroke="#475569" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<circle cx="100" cy="43" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<text x="103" y="40" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="6" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="183" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="50" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="142" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="62" y="58" font-size="11" fill="#1d4ed8" font-weight="bold">16</text>
<text x="98" y="32" font-size="11" fill="#c2410c" font-weight="bold">8</text>
<text x="138" y="58" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">?</text>
<text x="98" y="80" font-size="11" fill="#be123c" font-weight="bold">?</text>
</svg>
<b>Шаг 1 — отношение оснований.</b><br>
Треугольники $ABO$ и $BOC$ имеют общую вершину $B$, а основания $AO$ и $OC$ лежат на одной прямой $AC$. Значит, отношение площадей равно отношению оснований:
$$\\dfrac{S_{ABO}}{S_{BOC}} = \\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{16}{8} = 2$$
По свойству трапеции $\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC}$, значит $\\dfrac{AD}{BC} = 2$.
<br><br>
<b>Шаг 2 — площадь треугольника AOD.</b><br>
Треугольники $AOD$ и $BOC$ <b>подобны</b> (т.к. $AD\\parallel BC$), коэффициент подобия $k = \\dfrac{AD}{BC} = 2$. Отношение площадей $= k^2 = 4$:
$$S_{AOD} = 4\\cdot S_{BOC} = 4\\cdot 8 = 32\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 3 — площадь треугольника COD.</b><br>
В трапеции с диагоналями: $S_{ABO} = S_{COD}$ (известное свойство). Значит, $S_{COD} = 16$ см².
<br><br>
<b>Шаг 4 — итог.</b>
$$S_{ABCD} = S_{ABO}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD} = 16+8+16+32 = 72\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $72$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v20.js
+198
View File
@@ -0,0 +1,198 @@
VARIANTS[20] = {
label: "Вариант 20",
tasks: [
{
text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = (x-1)^2$:`,
figure: `<img src="/img/exam9/v20_t1.png" class="task-fig" />`,
sol: `Функция $y=(x-1)^2$ — это парабола $y=x^2$, сдвинутая на $1$ единицу <b>вправо</b>.
<ul>
<li>Вершина параболы: $(1;\\,0)$ — точка на оси $Ox$</li>
<li>$y$-пересечение: при $x=0$, $y=1$ — точка $(0;\\,1)$</li>
<li>Ветви параболы направлены <b>вверх</b></li>
<li>График симметричен относительно прямой $x=1$</li>
</ul>
На рисунке ищем параболу с вершиной в точке $(1;\\,0)$, ветви направлены вверх.
<div class="sol-ans">Ответ: рисунок с параболой, вершина которой в точке $(1;\\,0)$</div>`
},
{
text: `Какие из данных чисел являются решениями системы неравенств
$$\\left\\{\\begin{array}{l} a > -4, \\\\[4pt] a \\leq 3\\dfrac{1}{2}; \\end{array}\\right.$$`,
opts: [
["а", "$3$"], ["б", "$-4$"], ["в", "$0$"],
["г", "$4{,}5$"], ["д", "$-4{,}5$"],
],
sol: `Решение системы: $-4 < a \\leq 3{,}5$.
<svg viewBox="0 0 240 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<defs><marker id="a20t2" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="228" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a20t2)"/>
<line x1="40" y1="22" x2="40" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="40" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−4</text>
<line x1="100" y1="22" x2="100" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="100" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="175" y1="22" x2="175" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="175" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3,5</text>
<line x1="40" y1="26" x2="175" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="40" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="175" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
</svg>
Проверяем каждое:
<ul>
<li>а) $3$: $-4 < 3 \\leq 3{,}5$ ✓</li>
<li>б) $-4$: условие $a>-4$ нарушено ✗</li>
<li>в) $0$: $-4 < 0 \\leq 3{,}5$ ✓</li>
<li>г) $4{,}5 > 3{,}5$ ✗</li>
<li>д) $-4{,}5 < -4$ ✗</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а) и в)</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся пополам;"],
["б", "периметр квадрата со стороной $6$ см равен $24$ см;"],
["в", "если у четырёхугольника $ABCD$ $\\angle A + \\angle C = 180^{\\circ}$, то около него можно описать окружность;"],
["г", "если у $\\triangle ABC$ $\\angle C = 90^{\\circ}$, $AC = 3$, $BC = 4$, то $\\operatorname{ctg} A = \\dfrac{3}{4}$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Диагонали равнобедренной трапеции <em>равны</em>, но делятся точкой пересечения <b>не пополам</b> — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>б) Периметр квадрата со стороной $6$: $4\\cdot6=24$ см — <b>верно</b></li>
<li>в) Условие вписанности четырёхугольника: $\\angle A+\\angle C=180°$ — <b>верно</b></li>
<li>г) $\\operatorname{ctg}A = \\dfrac{AC}{BC}=\\dfrac{3}{4}$ — <b>верно</b></li>
</ul>
Диагонали равнобедренной трапеции равны по длине, но не делятся пополам в точке пересечения (это свойство параллелограмма).
<div class="sol-ans">Ответ: а)</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $10A$,
если $A = \\sqrt{0{,}49} \\cdot \\sqrt{25} - \\sqrt{1{,}96}$.`,
sol: `Извлекаем корни:
$$\\sqrt{0{,}49}=0{,}7;\\quad \\sqrt{25}=5;\\quad \\sqrt{1{,}96}=1{,}4$$
Подставляем:
$$A = 0{,}7\\cdot 5 - 1{,}4 = 3{,}5 - 1{,}4 = 2{,}1$$
$$10A = 10\\cdot 2{,}1 = 21$$
<div class="sol-ans">Ответ: $21$</div>`
},
{
text: `Первый член арифметической прогрессии равен $-4\\dfrac{1}{2}$,
разность прогрессии равна $-0{,}5$.
Является ли членом данной прогрессии число $-10$? Ответ обоснуйте.`,
sol: `Дано: $a_1 = -4\\dfrac{1}{2} = -\\dfrac{9}{2}$, $d = -0{,}5 = -\\dfrac{1}{2}$.
<br>Формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
<br>Если $-10$ — член прогрессии, найдём его номер $n$:
$$-10 = -\\dfrac{9}{2} + (n-1)\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)$$
Умножим обе части на $-2$:
$$20 = 9 + (n-1)$$
$$n-1 = 11 \\implies n = 12$$
Получили <b>натуральное число</b> $n=12$, значит $-10$ — это <b>12-й член</b> прогрессии.
<div class="sol-ans">Ответ: да, $-10$ — член прогрессии (12-й по счёту)</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник с периметром $36$ см,
сторона $AD$ в $2$ раза больше стороны $AB$.
Найдите площадь прямоугольника.`,
sol: `<b>Формула периметра прямоугольника:</b> $P = 2(a+b)$.
<br><b>Формула площади прямоугольника:</b> $S = a\\cdot b$.
<br><b>Шаг 1.</b> Введём обозначение: пусть $AB = x$ см. Тогда $AD = 2x$ см, так как по условию $AD$ в $2$ раза больше $AB$.
<br><b>Шаг 2.</b> Составим уравнение по формуле периметра:
$$2(AB+AD) = 36 \\;\\implies\\; 2(x+2x) = 36 \\;\\implies\\; 6x = 36 \\;\\implies\\; x = 6$$
<b>Шаг 3.</b> Находим стороны: $AB = 6$ см, $AD = 12$ см.
<svg viewBox="0 0 195 80" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,65 164,65 164,15 20,15" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<text x="6" y="71" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="166" y="71" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="166" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="6" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="92" y="76" font-size="11" fill="#334155" text-anchor="middle">AD = 12</text>
<text x="5" y="42" font-size="11" fill="#334155">AB=6</text>
</svg>
<b>Шаг 4.</b> Подставляем в формулу площади:
$$S = AD\\cdot AB = 12\\cdot 6 = 72\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $72$ см²</div>`
},
{
text: `Оптовая стоимость справочного издания «Образование в Беларуси: истоки, история, современность» $28$ р.
Какое наибольшее количество данных книг по розничной цене можно купить на $5500$ р.,
если розничная цена на $25\\%$ выше оптовой?`,
sol: `<b>Правило увеличения числа на $p$ процентов:</b> новое значение равно $N\\cdot\\left(1+\\dfrac{p}{100}\\right)$.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём розничную цену. Так как она на $25\\%$ выше оптовой:
$$28\\cdot\\left(1+\\dfrac{25}{100}\\right) = 28\\cdot 1{,}25 = 35\\text{ р.}$$
<b>Шаг 2.</b> Делим имеющуюся сумму на цену одной книги, чтобы узнать, сколько книг можно купить:
$$\\dfrac{5500}{35} = 157{,}14\\ldots$$
<b>Шаг 3.</b> Так как количество книг — натуральное число, округляем результат <b>вниз</b>: получаем $157$ книг.
<br><b>Шаг 4.</b> Проверим граничные значения:
<br>$\\bullet$ $157\\cdot 35 = 5495$ р. — меньше $5500$, значит $157$ книг купить можно;
<br>$\\bullet$ $158\\cdot 35 = 5530$ р. — больше $5500$, значит $158$ книг купить уже нельзя.
<div class="sol-ans">Ответ: $157$ книг</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$$\\left(\\dfrac{y+2}{y^2-y-6} - \\dfrac{y}{y^2-6y+9}\\right) : \\dfrac{1}{(2y-6)^2}.$$`,
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. <b>Разложение квадратного трёхчлена:</b> $y^2-y-6=(y-3)(y+2)$, так как корни $3$ и $-2$. <b>Правило деления дробей:</b> $\\dfrac{A}{B}:\\dfrac{C}{D}=\\dfrac{A}{B}\\cdot\\dfrac{D}{C}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим знаменатели на множители:
$$y^2-y-6 = (y-3)(y+2);$$
$$y^2-6y+9 = (y-3)^2;$$
$$(2y-6)^2 = \\bigl(2(y-3)\\bigr)^2 = 4(y-3)^2.$$
<b>Шаг 2.</b> Запишем ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит $y\\neq 3$ и $y\\neq -2$.
<br><b>Шаг 3.</b> Сократим первую дробь в скобках — множитель $(y+2)$ есть в числителе и в знаменателе:
$$\\dfrac{y+2}{(y-3)(y+2)} = \\dfrac{1}{y-3}.$$
<b>Шаг 4.</b> Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $(y-3)^2$. Дробь $\\dfrac{1}{y-3}$ умножим на $\\dfrac{y-3}{y-3}$:
$$\\dfrac{y-3}{(y-3)^2} - \\dfrac{y}{(y-3)^2} = \\dfrac{(y-3)-y}{(y-3)^2} = \\dfrac{-3}{(y-3)^2}.$$
<b>Шаг 5.</b> Заменим деление умножением на обратную дробь:
$$\\dfrac{-3}{(y-3)^2} : \\dfrac{1}{(2y-6)^2} = \\dfrac{-3}{(y-3)^2}\\cdot 4(y-3)^2.$$
Сокращаем $(y-3)^2$:
$$\\dfrac{-3}{(y-3)^2}\\cdot 4(y-3)^2 = -3\\cdot 4 = -12.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-12$</div>`
},
{
text: `Найдите сумму координат точки пересечения прямых,
заданных уравнениями $2x + 3y = -23$ и $x - y = 11(10 + y)$.`,
sol: `<b>Метод решения:</b> точка пересечения двух прямых — общее решение их уравнений. Используем метод подстановки.
<br><b>Шаг 1.</b> Упростим второе уравнение, раскрыв скобки в правой части:
$$x - y = 110 + 11y \\;\\implies\\; x = 110 + 12y$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим $x = 110+12y$ в первое уравнение и решим относительно $y$:
$$2(110+12y)+3y = -23$$
$$220+24y+3y = -23$$
$$27y = -243 \\;\\implies\\; y = -9$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём $x$, подставив $y=-9$:
$$x = 110 + 12\\cdot(-9) = 110 - 108 = 2$$
<b>Шаг 4.</b> Точка пересечения — $(2;\\,-9)$. Сумма координат:
$$x+y = 2+(-9) = -7$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-7$</div>`
},
{
text: `Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD \\| BC$) пересекаются в точке $O$.
Площади треугольников $AOD$ и $COD$ равны соответственно $54$ см² и $18$ см².
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 205 110" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:205px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="20,90 60,20 100,43" fill="rgba(37,99,235,0.22)" stroke="none"/>
<polygon points="60,20 100,43 140,20" fill="rgba(251,146,60,0.28)" stroke="none"/>
<polygon points="140,20 100,43 180,90" fill="rgba(22,163,74,0.20)" stroke="none"/>
<polygon points="20,90 100,43 180,90" fill="rgba(225,29,72,0.16)" stroke="none"/>
<polygon points="20,90 60,20 140,20 180,90" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="90" x2="140" y2="20" stroke="#475569" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<line x1="60" y1="20" x2="180" y2="90" stroke="#475569" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<circle cx="100" cy="43" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<text x="103" y="40" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="6" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="183" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="50" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="142" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="62" y="58" font-size="11" fill="#1d4ed8" font-weight="bold">18</text>
<text x="98" y="32" font-size="11" fill="#c2410c" font-weight="bold">6</text>
<text x="138" y="58" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">54</text>
<text x="98" y="80" font-size="11" fill="#be123c" font-weight="bold">18</text>
</svg>
<b>Шаг 1 — отношение оснований.</b><br>
Треугольники $AOD$ и $COD$ имеют общую вершину $D$, основания $AO$ и $OC$ лежат на диагонали $AC$. Отношение площадей равно отношению оснований:
$$\\dfrac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{54}{18} = 3$$
По свойству трапеции $\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC}$, значит $\\dfrac{AD}{BC} = 3$.
<br><br>
<b>Шаг 2 — площадь треугольника BOC.</b><br>
Треугольники $AOD$ и $BOC$ <b>подобны</b> (т.к. $AD\\parallel BC$), коэффициент подобия $k = 3$. Отношение площадей $= k^2 = 9$:
$$S_{BOC} = \\dfrac{S_{AOD}}{9} = \\dfrac{54}{9} = 6\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 3 — площадь треугольника ABO.</b><br>
В трапеции: $S_{ABO} = S_{COD}$ (известное свойство). Значит, $S_{ABO} = 18$ см².
<br><br>
<b>Шаг 4 — итог.</b>
$$S_{ABCD} = S_{ABO}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD} = 18+6+18+54 = 96\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $96$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v21.js
+212
View File
@@ -0,0 +1,212 @@
VARIANTS[21] = {
label: "Вариант 21",
tasks: [
{
text: `Значение выражения $\\dfrac{3}{4} : \\dfrac{7}{3}$ равно:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{28}{9}$"], ["б", "$\\dfrac{21}{12}$"], ["в", "$\\dfrac{9}{28}$"],
["г", "$\\dfrac{7}{4}$"], ["д", "$\\dfrac{4}{7}$"],
],
sol: `Деление дробей — умножаем первую на обратную второй:
$$\\dfrac{3}{4} : \\dfrac{7}{3} = \\dfrac{3}{4} \\cdot \\dfrac{3}{7} = \\dfrac{9}{28}$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$\\dfrac{9}{28}$</div>`
},
{
text: `Определите, какое из чисел является решением уравнения $3 = -6x$:`,
opts: [
["а", "$-2$"], ["б", "$2$"], ["в", "$\\dfrac{1}{2}$"],
["г", "$-\\dfrac{1}{2}$"], ["д", "$-3$"],
],
sol: `$$3 = -6x \\implies x = \\dfrac{3}{-6} = -\\dfrac{1}{2}$$
<b>Проверка:</b> $-6\\cdot\\bigl(-\\tfrac{1}{2}\\bigr)=3$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$-\\dfrac{1}{2}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "сумма смежных углов равна $180^{\\circ}$;"],
["б", "на плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой;"],
["в", "в любом параллелограмме противоположные углы равны между собой;"],
["г", "существует треугольник со сторонами, равными $3$ см, $5$ см и $8$ см?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Сумма смежных углов $=180°$ — <b>верно</b></li>
<li>б) Транзитивность параллельности — <b>верно</b></li>
<li>в) Противоположные углы параллелограмма равны — <b>верно</b></li>
<li>г) Стороны $3$, $5$, $8$: $3+5=8$, но для треугольника нужно <em>строгое</em> неравенство $a+b>c$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b> (вырожденный «треугольник»)</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Упростите выражение $2(a - 3b) - 3(2a + b)$.`,
sol: `Раскрываем скобки и собираем подобные:
$$2(a-3b)-3(2a+b) = 2a-6b-6a-3b = -4a-9b$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-4a-9b$</div>`
},
{
text: `Таня затратила на выполнение домашнего задания $2$ ч.
На выполнение домашнего задания по алгебре она затратила $\\dfrac{1}{3}$ всего времени.
Сколько минут Таня выполняла оставшуюся часть домашнего задания?`,
sol: `<b>Правило нахождения части от числа:</b> чтобы найти $\\dfrac{m}{n}$ от числа $A$, умножают $A$ на $\\dfrac{m}{n}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Переведём общее время в минуты, так как ответ нужен именно в минутах:
$$2\\text{ ч} = 2\\cdot 60 = 120\\text{ мин}.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём время, затраченное на алгебру. По условию это $\\dfrac{1}{3}$ всего времени:
$$\\dfrac{1}{3}\\cdot 120 = 40\\text{ мин}.$$
<b>Шаг 3.</b> Оставшаяся часть задания — это разность общего времени и времени на алгебру:
$$120 - 40 = 80\\text{ мин}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $80$ мин</div>`
},
{
text: `Сумма длин гипотенузы и катета, лежащего в данном треугольнике против угла в $30^{\\circ}$,
равна $24$ см. Найдите площадь круга, описанного около треугольника.`,
sol: `<b>Свойство прямоугольного треугольника с углом $30°$:</b> катет, лежащий против угла $30°$, равен половине гипотенузы.
<br><b>Свойство описанной окружности прямоугольного треугольника:</b> центр окружности лежит в середине гипотенузы, поэтому $R = \\dfrac{c}{2}$, где $c$ — гипотенуза.
<br><b>Формула площади круга:</b> $S = \\pi R^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим гипотенузу через $c$. Тогда катет, лежащий против угла $30°$, равен $\\dfrac{c}{2}$.
<br><b>Шаг 2.</b> Составим уравнение из условия «сумма равна $24$»:
$$c + \\dfrac{c}{2} = 24 \\;\\implies\\; \\dfrac{3c}{2} = 24 \\;\\implies\\; c = 16\\text{ см}$$
<svg viewBox="0 0 230 185" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:230px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<circle cx="110" cy="150" r="66" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="44,150 176,150 143,93" fill="rgba(37,99,235,0.09)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<polygon points="143,93 137,96 141,102 147,99" fill="none" stroke="#15803d" stroke-width="1.3"/>
<path d="M 64 150 A 20 20 0 0 0 61 140" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<line x1="110" y1="150" x2="143" y2="93" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,3"/>
<circle cx="110" cy="150" r="3" fill="#334155"/>
<text x="30" y="164" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="178" y="164" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="145" y="88" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="105" y="144" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#334155">O</text>
<text x="131" y="115" font-size="11" fill="#2563eb" font-style="italic">R</text>
<text x="66" y="137" font-size="10" fill="#555">30°</text>
<text x="96" y="170" font-size="10" fill="#334155">AB = 16 см</text>
<text x="152" y="130" font-size="10" fill="#64748b">BC=8</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> Так как гипотенуза — диаметр описанной окружности, радиус:
$$R = \\dfrac{c}{2} = \\dfrac{16}{2} = 8\\text{ см}$$
<b>Шаг 4.</b> Применяем формулу площади круга:
$$S = \\pi R^2 = \\pi\\cdot 8^2 = 64\\pi\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $64\\pi$ см²</div>`
},
{
text: `Найдите наибольшее целое решение неравенства
$\\dfrac{(x-9)^2}{x^2+x-12} \\leq 0$.`,
sol: `<b>Метод интервалов для дробного неравенства:</b> сначала находим ОДЗ (знаменатель $\\neq 0$), затем определяем знаки числителя и знаменателя.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим знаменатель на множители. Ищем числа с произведением $-12$ и суммой $1$ — это $4$ и $-3$:
$$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$$
<b>ОДЗ:</b> $x\\neq -4$ и $x\\neq 3$, иначе знаменатель равен нулю.
<br><b>Шаг 2.</b> Числитель $(x-9)^2$ — квадрат, значит он всегда неотрицателен. Дробь будет $\\leq 0$ в двух случаях:
<ul>
<li>числитель равен нулю, то есть $x=9$ (тогда вся дробь $=0$; знаменатель при $x=9$ равен $9^2+9-12=78\\neq 0$, ОДЗ соблюдено);</li>
<li>числитель строго больше нуля, а знаменатель отрицателен (дробь отрицательна).</li>
</ul>
<b>Шаг 3.</b> Решаем неравенство $(x+4)(x-3)\\lt 0$. Произведение двух множителей отрицательно, когда они разных знаков, поэтому $-4\\lt x\\lt 3$.
<br><b>Шаг 4.</b> Объединяем оба случая: $x\\in(-4;\\,3)\\cup\\{9\\}$.
<br><b>Шаг 5.</b> Целые числа в $(-4;\\;3)$: $-3,-2,-1,0,1,2$. И ещё $x=9$.
<br>Наибольшее из всех целых решений — $x=9$.
<div class="sol-ans">Ответ: наибольшее целое решение $x = 9$</div>`
},
{
text: `Постройте графики уравнений системы
$$\\begin{cases} x + y = 5, \\\\[4pt] y - x^2 = 3 \\end{cases}$$
и найдите сумму ординат точек пересечения.`,
sol: `<b>Метод решения:</b> точки пересечения графиков — это решения системы. Решаем методом подстановки.
<br><b>Шаг 1.</b> Из первого уравнения выразим $y$: $y = 5 - x$.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставим во второе уравнение $y - x^2 = 3$:
$$(5-x)-x^2 = 3 \\;\\implies\\; -x^2 - x + 2 = 0 \\;\\implies\\; x^2+x-2=0$$
<b>Шаг 3.</b> Раскладываем на множители (по теореме Виета: сумма корней $-1$, произведение $-2$, значит корни $-2$ и $1$):
$$(x+2)(x-1)=0 \\;\\implies\\; x_1 = -2,\\; x_2 = 1$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $y$ по формуле $y = 5 - x$:
<br>при $x = -2$:&ensp;$y = 5 - (-2) = 7$;
<br>при $x = 1$:&ensp;$y = 5 - 1 = 4$.
<svg viewBox="0 0 220 212" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:220px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<defs>
<marker id="v21ax" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker>
<marker id="v21ay" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker>
</defs>
<line x1="8" y1="200" x2="216" y2="200" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v21ax)"/>
<line x1="80" y1="208" x2="80" y2="8" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v21ay)"/>
<line x1="40" y1="196" x2="40" y2="204" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="40" y="212" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#64748b">−2</text>
<line x1="60" y1="196" x2="60" y2="204" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="60" y="212" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#64748b">−1</text>
<line x1="100" y1="196" x2="100" y2="204" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="100" y="212" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#64748b">1</text>
<line x1="120" y1="196" x2="120" y2="204" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="120" y="212" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#64748b">2</text>
<line x1="140" y1="196" x2="140" y2="204" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="140" y="212" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#64748b">3</text>
<line x1="76" y1="60" x2="84" y2="60" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="72" y="64" font-size="9" text-anchor="end" fill="#64748b">7</text>
<line x1="76" y1="120" x2="84" y2="120" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="72" y="124" font-size="9" text-anchor="end" fill="#64748b">4</text>
<line x1="76" y1="140" x2="84" y2="140" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="72" y="144" font-size="9" text-anchor="end" fill="#64748b">3</text>
<polyline points="36,43 40,60 50,95 60,120 70,135 80,140 90,135 100,120 110,95 120,60 124,43" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<line x1="28" y1="50" x2="180" y2="200" stroke="#dc2626" stroke-width="2"/>
<circle cx="40" cy="60" r="4.5" fill="#16a34a" stroke="white" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="100" cy="120" r="4.5" fill="#16a34a" stroke="white" stroke-width="1.5"/>
<text x="43" y="55" font-size="9" fill="#15803d">(−2; 7)</text>
<text x="103" y="115" font-size="9" fill="#15803d">(1; 4)</text>
<text x="148" y="82" font-size="10" fill="#dc2626" font-style="italic">y=5−x</text>
<text x="122" y="52" font-size="10" fill="#2563eb" font-style="italic">y=x²+3</text>
<text x="207" y="204" font-size="11" fill="#555" font-style="italic">x</text>
<text x="83" y="14" font-size="11" fill="#555" font-style="italic">y</text>
</svg>
<b>Шаг 5.</b> Точки пересечения: $(-2;\\,7)$ и $(1;\\,4)$. Сумма ординат:
$$7 + 4 = 11$$
<div class="sol-ans">Ответ: $11$</div>`
},
{
text: `Три числа, дающие в сумме $36$, являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Если от первого числа вычесть $5$, от второго вычесть $6$, а третье число увеличить вдвое,
то полученные числа будут последовательными членами геометрической прогрессии.
Найдите эти числа.`,
sol: `Пусть три члена АП: $12-d$, $12$, $12+d$ (сумма $=3\\cdot12=36$).
<br>После преобразований получаем три члена ГП: $(7-d)$,&ensp;$6$,&ensp;$(24+2d)$.
<br>Условие ГП ($b^2=ac$):
$$6^2=(7-d)(24+2d) \\implies 36=168-10d-2d^2$$
$$2d^2+10d-132=0 \\implies d^2+5d-66=0$$
$$D=25+264=289=17^2 \\implies d=\\dfrac{-5\\pm17}{2}$$
<b>$d=6$:</b> АП: $6,12,18$.&ensp;ГП: $1,6,36$ (знаменатель $6$) ✓
<br><b>$d=-11$:</b> АП: $23,12,1$.&ensp;ГП: $18,6,2$ (знаменатель $\\tfrac{1}{3}$) ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $6,\\ 12,\\ 18$ или $1,\\ 12,\\ 23$</div>`
},
{
text: `$AM$ — медиана треугольника $ABC$, площадь которого $120$ см².
Точка $E$ — середина медианы $AM$.
Луч $BE$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$.
Найдите площадь четырёхугольника $МЕКС$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 258 215" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:258px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="125,185 113,105 142,78 225,185" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="none"/>
<polygon points="100,25 25,185 225,185" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="100" y1="25" x2="125" y2="185" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="25" y1="185" x2="155" y2="63" stroke="#f97316" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="125,185 113,105 142,78 225,185" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="125" cy="185" r="3.5" fill="#334155"/>
<circle cx="113" cy="105" r="3.5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="142" cy="78" r="3.5" fill="#f97316"/>
<text x="96" y="18" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="10" y="198" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="227" y="198" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="121" y="200" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
<text x="96" y="103" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">E</text>
<text x="145" y="73" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#f97316">K</text>
<text x="158" y="158" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">МЕКС</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> Медиана $AM$ делит $\\triangle ABC$ пополам:
$$S_{ABM} = S_{ACM} = 60\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 2. Ключевой факт: $S_{ABK} = S_{MBK}$.</b>
<br>Треугольники $ABK$ и $MBK$ имеют общее основание $BK$. Точка $E$ — середина $AM$ — лежит на луче $BK$ (по условию). Значит, прямая $BK$ пересекает отрезок $AM$ ровно в его середине, то есть $A$ и $M$ находятся по разные стороны от прямой $BK$ на <em>одинаковом</em> расстоянии. Следовательно, высоты из $A$ и $M$ на $BK$ равны, и:
$$S_{ABK} = S_{MBK}$$
<b>Шаг 3.</b> $M$ — середина $BC$ ⟹ треугольники $MBK$ и $CBK$ имеют основания $MB$ и $CB$ при одинаковой высоте из $K$:
$$\\dfrac{S_{MBK}}{S_{CBK}} = \\dfrac{MB}{CB} = \\dfrac{1}{2} \\implies S_{CBK} = 2\\cdot S_{ABK}$$
<b>Шаг 4.</b> Обозначим $S_{ABK} = p$. Тогда $S_{CBK} = 2p$. Точка $K$ на $AC$ делит $\\triangle ABC$ на два треугольника:
$$p + 2p = 120 \\implies p = 40$$
Итак, $S_{ABK}=40$ см², $S_{CBK}=80$ см².
<br><b>Шаг 5.</b> $M$ — середина $BC$ ⟹
$$S_{MKC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot S_{CBK} = 40\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 6.</b> Из $S_{ABK}=40$ находим $AK:KC$. Треугольники $ABK$ и $ABC$ — общая вершина $B$, основания $AK$ и $AC$:
$$\\dfrac{AK}{AC} = \\dfrac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \\dfrac{40}{120} = \\dfrac{1}{3}$$
<b>Шаг 7.</b> Треугольники $AMK$ и $AMC$ — общая вершина $M$, основания на $AC$:
$$S_{AMK} = \\dfrac{AK}{AC}\\cdot S_{AMC} = \\dfrac{1}{3}\\cdot 60 = 20\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 8.</b> $E$ — середина $AM$ ⟹ треугольники $AEK$ и $AMK$ имеют основания $AE$ и $AM$:
$$S_{AEK} = \\dfrac{AE}{AM}\\cdot S_{AMK} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 20 = 10\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 9.</b> $S_{MEK} = S_{AMK} - S_{AEK} = 20 - 10 = 10$ см².
<br><b>Итог:</b>
$$S_{МЕКС} = S_{MEK} + S_{MKC} = 10 + 40 = 50\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $50$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v22.js
+202
View File
@@ -0,0 +1,202 @@
VARIANTS[22] = {
label: "Вариант 22",
tasks: [
{
text: `Значение выражения $\\dfrac{3}{7} : \\dfrac{7}{8}$ равно:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{49}{24}$"], ["б", "$\\dfrac{21}{8}$"], ["в", "$\\dfrac{24}{49}$"],
["г", "$\\dfrac{3}{8}$"], ["д", "$\\dfrac{8}{3}$"],
],
sol: `Деление дробей — умножаем первую на обратную второй:
$$\\dfrac{3}{7} : \\dfrac{7}{8} = \\dfrac{3}{7} \\cdot \\dfrac{8}{7} = \\dfrac{24}{49}$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$\\dfrac{24}{49}$</div>`
},
{
text: `Определите, какое из чисел является решением уравнения $-5 = 10x$:`,
opts: [
["а", "$-2$"], ["б", "$2$"], ["в", "$\\dfrac{1}{2}$"],
["г", "$-\\dfrac{1}{2}$"], ["д", "$-5$"],
],
sol: `$$-5 = 10x \\implies x = \\dfrac{-5}{10} = -\\dfrac{1}{2}$$
<b>Проверка:</b> $10\\cdot\\bigl(-\\tfrac{1}{2}\\bigr)=-5$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$-\\dfrac{1}{2}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "вертикальные углы равны;"],
["б", "на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой;"],
["в", "в любой трапеции углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме равны $180^{\\circ}$;"],
["г", "существует треугольник со сторонами, равными $10$ см, $6$ см и $4$ см?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Вертикальные углы равны — <b>верно</b></li>
<li>б) На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой — <b>верно</b></li>
<li>в) В любой трапеции углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме равны $180^{\\circ}$ — <b>верно</b></li>
<li>г) Стороны $10$, $6$, $4$: $6+4=10$, но для треугольника нужно <em>строгое</em> неравенство $a+b>c$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b> (вырожденный «треугольник»)</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Упростите выражение $-2(m - n) - 3(m + n)$.`,
sol: `Раскрываем скобки и собираем подобные:
$$-2(m-n)-3(m+n) = -2m+2n-3m-3n = -5m-n$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-5m-n$</div>`
},
{
text: `На уроке математики, который длится $45$ минут, $\\dfrac{4}{9}$ всего времени
учащиеся выполняли самостоятельную работу, а оставшееся время изучали новую тему.
Сколько минут учащиеся изучали новую тему?`,
sol: `<b>Правило нахождения части от числа:</b> чтобы найти $\\dfrac{m}{n}$ от числа $A$, умножают $A$ на $\\dfrac{m}{n}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём время, затраченное на самостоятельную работу. По условию оно составляет $\\dfrac{4}{9}$ от всего времени урока:
$$\\dfrac{4}{9}\\cdot 45 = \\dfrac{4\\cdot 45}{9} = \\dfrac{180}{9} = 20\\text{ мин}.$$
<b>Шаг 2.</b> Оставшееся время — это разность между длительностью урока и временем на самостоятельную работу:
$$45 - 20 = 25\\text{ мин}.$$
Значит, новую тему изучали $25$ минут.
<div class="sol-ans">Ответ: $25$ минут</div>`
},
{
text: `Разность длин гипотенузы и катета, лежащего в данном треугольнике против угла в $30^{\\circ}$,
равна $12$ см. Найдите длину окружности, описанной около треугольника.`,
sol: `<b>Свойство прямоугольного треугольника с углом $30°$:</b> катет, лежащий против угла $30°$, равен половине гипотенузы.
<br><b>Свойство описанной окружности прямоугольного треугольника:</b> гипотенуза является диаметром окружности, описанной около треугольника, поэтому $R=\\dfrac{c}{2}$.
<br><b>Формула длины окружности:</b> $L = 2\\pi R$.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим гипотенузу $c$. Тогда катет против $30°$ равен $\\dfrac{c}{2}$.
<br><b>Шаг 2.</b> Составим уравнение из условия «разность равна $12$»:
$$c - \\dfrac{c}{2} = 12 \\;\\implies\\; \\dfrac{c}{2} = 12 \\;\\implies\\; c = 24\\text{ см}$$
<svg viewBox="0 0 230 185" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:230px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<circle cx="110" cy="150" r="66" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="44,150 176,150 143,93" fill="rgba(37,99,235,0.09)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<polygon points="143,93 137,96 141,102 147,99" fill="none" stroke="#15803d" stroke-width="1.3"/>
<path d="M 64 150 A 20 20 0 0 0 61 140" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<line x1="110" y1="150" x2="143" y2="93" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,3"/>
<circle cx="110" cy="150" r="3" fill="#334155"/>
<text x="30" y="164" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="178" y="164" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="145" y="88" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="105" y="144" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#334155">O</text>
<text x="131" y="115" font-size="11" fill="#2563eb" font-style="italic">R</text>
<text x="66" y="137" font-size="10" fill="#555">30°</text>
<text x="90" y="170" font-size="10" fill="#334155">AB = 24 см</text>
<text x="152" y="130" font-size="10" fill="#64748b">BC=12</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> Радиус описанной окружности:
$$R = \\dfrac{c}{2} = \\dfrac{24}{2} = 12\\text{ см}$$
<b>Шаг 4.</b> Применяем формулу длины окружности:
$$L = 2\\pi R = 2\\pi\\cdot 12 = 24\\pi\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $24\\pi$ см</div>`
},
{
text: `Найдите наименьшее целое решение неравенства
$\\dfrac{(x-5)^2}{x^2+x-20} \\leq 0$.`,
sol: `<b>Метод интервалов для дробного неравенства:</b> сначала находим ОДЗ (знаменатель $\\neq 0$), затем определяем знаки числителя и знаменателя.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим знаменатель на множители. Ищем два числа с произведением $-20$ и суммой $1$ — это $5$ и $-4$:
$$x^2+x-20=(x+5)(x-4)$$
<b>ОДЗ:</b> $x\\neq -5$ и $x\\neq 4$, иначе знаменатель равен нулю.
<br><b>Шаг 2.</b> Числитель $(x-5)^2$ — квадрат, поэтому $\\geq 0$. Значит дробь $\\leq 0$ в двух случаях:
<ul>
<li>числитель равен нулю: $x=5$ (знаменатель при $x=5$ равен $25+5-20=10\\neq 0$, ОДЗ соблюдено);</li>
<li>числитель строго положителен, а знаменатель отрицателен.</li>
</ul>
<b>Шаг 3.</b> Решаем $(x+5)(x-4)\\lt 0$. Произведение отрицательно, когда множители разных знаков: $-5\\lt x\\lt 4$.
<br><b>Шаг 4.</b> Объединяем: $x\\in(-5;\\,4)\\cup\\{5\\}$.
<br><b>Шаг 5.</b> Целые числа в интервале $(-5;\\;4)$: $-4,-3,-2,-1,0,1,2,3$, и ещё $x=5$.
<br>Наименьшее целое решение — $x=-4$.
<div class="sol-ans">Ответ: наименьшее целое решение $x = -4$</div>`
},
{
text: `Постройте графики уравнений системы
$$\\begin{cases} 3x + y = 5, \\\\[4pt] y - x^2 = 1 \\end{cases}$$
и найдите сумму ординат точек пересечения.`,
sol: `<b>Метод решения:</b> точки пересечения графиков — это решения системы. Используем метод подстановки.
<br><b>Шаг 1.</b> Из первого уравнения выразим $y$: $y = 5 - 3x$.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставим во второе уравнение $y - x^2 = 1$:
$$(5-3x)-x^2 = 1 \\;\\implies\\; -x^2 - 3x + 4 = 0 \\;\\implies\\; x^2+3x-4=0$$
<b>Шаг 3.</b> По теореме Виета ищем корни: сумма $-3$, произведение $-4$ — это $-4$ и $1$:
$$(x+4)(x-1)=0 \\;\\implies\\; x_1 = -4,\\; x_2 = 1$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $y$ по формуле $y = 5 - 3x$:
<br>при $x = -4$:&ensp;$y = 5 - 3\\cdot(-4) = 5 + 12 = 17$;
<br>при $x = 1$:&ensp;$y = 5 - 3\\cdot 1 = 2$.
<svg viewBox="0 0 240 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<defs>
<marker id="v22ax" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker>
<marker id="v22ay" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker>
</defs>
<line x1="8" y1="210" x2="232" y2="210" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v22ax)"/>
<line x1="170" y1="222" x2="170" y2="8" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v22ay)"/>
<line x1="50" y1="206" x2="50" y2="214" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="50" y="222" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#64748b">−4</text>
<line x1="80" y1="206" x2="80" y2="214" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="80" y="222" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#64748b">−3</text>
<line x1="110" y1="206" x2="110" y2="214" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="110" y="222" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#64748b">−2</text>
<line x1="140" y1="206" x2="140" y2="214" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="140" y="222" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#64748b">−1</text>
<line x1="200" y1="206" x2="200" y2="214" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="200" y="222" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#64748b">1</text>
<line x1="166" y1="30" x2="174" y2="30" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="162" y="34" font-size="9" text-anchor="end" fill="#64748b">17</text>
<line x1="166" y1="180" x2="174" y2="180" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="162" y="184" font-size="9" text-anchor="end" fill="#64748b">2</text>
<line x1="166" y1="195" x2="174" y2="195" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1"/><text x="162" y="199" font-size="9" text-anchor="end" fill="#64748b">1</text>
<polyline points="50,30 65,76 80,116 95,150 110,178 125,196 140,206 155,210 170,206 185,196 200,180" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<line x1="50" y1="30" x2="220" y2="200" stroke="#dc2626" stroke-width="2"/>
<circle cx="50" cy="30" r="4.5" fill="#16a34a" stroke="white" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="200" cy="180" r="4.5" fill="#16a34a" stroke="white" stroke-width="1.5"/>
<text x="54" y="27" font-size="9" fill="#15803d">(−4; 17)</text>
<text x="160" y="175" font-size="9" fill="#15803d">(1; 2)</text>
<text x="40" y="80" font-size="10" fill="#dc2626" font-style="italic">y=5−3x</text>
<text x="190" y="76" font-size="10" fill="#2563eb" font-style="italic">y=x²+1</text>
<text x="223" y="214" font-size="11" fill="#555" font-style="italic">x</text>
<text x="173" y="14" font-size="11" fill="#555" font-style="italic">y</text>
</svg>
<b>Шаг 5.</b> Точки пересечения: $(-4;\\,17)$ и $(1;\\,2)$. Сумма ординат:
$$17 + 2 = 19$$
<div class="sol-ans">Ответ: $19$</div>`
},
{
text: `Три числа, дающие в сумме $18$, являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Если от первого числа вычесть $2$, от второго вычесть $3$, а третье число оставить без изменения,
то полученные числа будут последовательными членами геометрической прогрессии.
Найдите эти числа.`,
sol: `Пусть три члена АП: $6-d$, $6$, $6+d$ (сумма $=3\\cdot6=18$).
<br>После преобразований получаем три члена ГП: $(4-d)$,&ensp;$3$,&ensp;$(6+d)$.
<br>Условие ГП ($b^2=ac$):
$$3^2=(4-d)(6+d) \\implies 9=24+4d-6d-d^2$$
$$9=24-2d-d^2 \\implies d^2+2d-15=0$$
$$D=4+60=64=8^2 \\implies d=\\dfrac{-2\\pm8}{2}$$
<b>$d=3$:</b> АП: $3,\\ 6,\\ 9$.&ensp;ГП: $1,\\ 3,\\ 9$ (знаменатель $3$) ✓
<br><b>$d=-5$:</b> АП: $11,\\ 6,\\ 1$.&ensp;ГП: $9,\\ 3,\\ 1$ (знаменатель $\\tfrac{1}{3}$) ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $3,\\ 6,\\ 9$ или $1,\\ 6,\\ 11$</div>`
},
{
text: `$CK$ — медиана треугольника $ABC$, площадь которого $240$ см².
Точка $E$ — середина медианы $CK$.
Луч $AE$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$.
Найдите площадь четырёхугольника $КЕМВ$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 258 215" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:258px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="125,185 113,105 142,78 225,185" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="none"/>
<polygon points="100,25 25,185 225,185" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="100" y1="25" x2="125" y2="185" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="25" y1="185" x2="155" y2="63" stroke="#f97316" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="125,185 113,105 142,78 225,185" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="125" cy="185" r="3.5" fill="#334155"/>
<circle cx="113" cy="105" r="3.5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="142" cy="78" r="3.5" fill="#f97316"/>
<text x="96" y="18" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="10" y="198" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="227" y="198" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="121" y="200" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<text x="96" y="103" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">E</text>
<text x="145" y="73" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#f97316">M</text>
<text x="158" y="158" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">КЕМВ</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> Медиана $CK$ делит $\\triangle ABC$ пополам ($K$ — середина $AB$):
$$S_{ACK} = S_{BCK} = 120\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 2. Находим точку $M$ на $BC$.</b>
<br>Координаты: $A=(0,0)$, $B=(2,0)$, $C=(0,h)$, $K=(1,0)$, $E=\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{h}{2}\bigr)$.
<br>Прямая $AE$: $y=hx$. Прямая $BC$: $hx+2y=2h$.
<br>Подставляем $y=hx$: $3hx=2h \\implies x=\\dfrac{2}{3}$, $y=\\dfrac{2h}{3}$.
<b>Шаг 3.</b> $S_{\\triangle KEM}$ (вершины $K=(1,0)$, $E=(\tfrac{1}{2},\tfrac{h}{2})$, $M=(\tfrac{2}{3},\tfrac{2h}{3})$):
$$S_{KEM}=\\dfrac{1}{2}\\left|\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\cdot\\dfrac{2h}{3}-\\dfrac{h}{2}\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right)\\right|=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{h}{6}=\\dfrac{h}{12}$$
<b>Шаг 4.</b> $S_{\\triangle BKM}$: основание $BK=1$, высота из $M$ на $BK$ равна $\\dfrac{2h}{3}$:
$$S_{BKM}=\\dfrac{1}{2}\cdot1\\cdot\\dfrac{2h}{3}=\\dfrac{h}{3}$$
<b>Шаг 5.</b> $S_{\\triangle ABC}=h=240$.
$$S_{\\text{КЕМВ}}=S_{KEM}+S_{BKM}=\\dfrac{240}{12}+\\dfrac{240}{3}=20+80=100\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $100$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v23.js
+202
View File
@@ -0,0 +1,202 @@
VARIANTS[23] = {
label: "Вариант 23",
tasks: [
{
text: `Какая из следующих точек является центром окружности,
заданной уравнением $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 1$:`,
opts: [
["а", "$A(-3;\\;1)$"], ["б", "$B(-3;\\;{-1})$"], ["в", "$C(3;\\;{-1})$"],
["г", "$D(3;\\;1)$"], ["д", "$E(-1;\\;3)$"],
],
sol: `Стандартное уравнение окружности: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, центр $= (a,\\,b)$.
<br>Сравниваем: $(x-3)^2+(y+1)^2=1$ — здесь $a=3$, $b=-1$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$C(3;\\;{-1})$</div>`
},
{
text: `Произведение дробей $\\dfrac{a}{a+b} \\cdot \\dfrac{a+b}{b}$ равно:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{a}{b}$"], ["б", "$\\dfrac{a+b}{b}$"], ["в", "$\\dfrac{a+b}{a}$"],
["г", "$1$"], ["д", "$a+b$"],
],
sol: `Сокращаем множитель $(a+b)$:
$$\\dfrac{a}{a+b}\\cdot\\dfrac{a+b}{b} = \\dfrac{a\\cdot(a+b)}{(a+b)\\cdot b} = \\dfrac{a}{b}$$
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$\\dfrac{a}{b}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "через точку, лежащую на окружности, можно провести только одну касательную к этой окружности;"],
["б", "площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов;"],
["в", "если два угла одного треугольника равны $20^{\\circ}$ и $80^{\\circ}$, другого — $80^{\\circ}$ и $20^{\\circ}$, то треугольники подобны между собой;"],
["г", "$\\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Единственная касательная через точку на окружности — <b>верно</b></li>
<li>б) «Площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Правильная формула: $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$ (половина произведения катетов). Без множителя $\\tfrac{1}{2}$ формула неверна.</li>
<li>в) Одинаковые наборы углов ($20°, 80°, 80°$) ⟹ треугольники подобны — <b>верно</b></li>
<li>г) $\\cos30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Определите, принадлежит ли точка $A(1;\\;{-1})$ графику функции $y = 4x + 3$.
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Подставляем координаты точки $A(1;\\,-1)$ в уравнение $y=4x+3$:
$$y = 4\\cdot1+3 = 7$$
Получили $y=7$, но у точки $A$ координата $y=-1$.
<br>Так как $-1\\neq 7$, точка $A(1;\\,-1)$ <b>не принадлежит</b> графику.
<div class="sol-ans">Ответ: нет, не принадлежит</div>`
},
{
text: `Учащемуся в возрасте $12$ лет требуется не менее $8$–$9$ часов сна.
Выполняется ли это требование, если он спит $\\dfrac{1}{3}$ суток? Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Правило нахождения части от числа:</b> чтобы найти $\\dfrac{m}{n}$ от числа $A$, нужно умножить $A$ на $\\dfrac{m}{n}$. <b>Длительность суток:</b> $24$ часа.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём, сколько часов составляет $\\dfrac{1}{3}$ суток:
$$\\dfrac{1}{3}\\cdot 24 = \\dfrac{24}{3} = 8\\text{ ч}.$$
<b>Шаг 2.</b> Сравним полученное время с нижней границей нормы. По условию требуется <b>не менее $8$ часов</b> сна, значит нужно, чтобы фактическое время сна было $\\geq 8$ ч.
<br>Так как $8\\geq 8$, требование выполняется: продолжительность сна равна нижней границе нормы.
<div class="sol-ans">Ответ: да, требование выполняется — ровно $8$ часов сна</div>`
},
{
text: `Сравните значение выражения
$\\dfrac{16}{7} \\cdot \\left(-\\dfrac{7}{8}\\right) - \\dfrac{1}{4} \\cdot \\left(-\\dfrac{5}{8}\\right) + \\dfrac{1}{5} \\cdot \\left(-\\dfrac{2}{5}\\right)$
с числом $-2{,}5$.`,
sol: `<b>Порядок действий:</b> сначала выполняем умножения, затем сложение и вычитание. <b>Правило умножения дробей:</b> $\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{ac}{bd}$. <b>Знак произведения:</b> минус на плюс даёт минус, минус на минус — плюс.
<br><b>Шаг 1.</b> Вычислим каждое произведение по отдельности.
$$\\dfrac{16}{7}\\cdot\\left(-\\dfrac{7}{8}\\right) = -\\dfrac{16\\cdot 7}{7\\cdot 8} = -\\dfrac{16}{8} = -2;$$
$$\\dfrac{1}{4}\\cdot\\left(-\\dfrac{5}{8}\\right) = -\\dfrac{5}{32}\\;\\;\\text{(минус на плюс — минус)};$$
$$\\dfrac{1}{5}\\cdot\\left(-\\dfrac{2}{5}\\right) = -\\dfrac{2}{25}.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим найденные произведения. По условию второе слагаемое идёт со знаком «минус», поэтому $-\\left(-\\dfrac{5}{32}\\right)=+\\dfrac{5}{32}$:
$$-2 + \\dfrac{5}{32} - \\dfrac{2}{25}.$$
<b>Шаг 3.</b> Приведём дроби $\\dfrac{5}{32}$ и $\\dfrac{2}{25}$ к общему знаменателю $800$ (это наименьшее общее кратное $32$ и $25$):
$$\\dfrac{5}{32}=\\dfrac{125}{800},\\qquad \\dfrac{2}{25}=\\dfrac{64}{800}.$$
$$-2 + \\dfrac{125}{800} - \\dfrac{64}{800} = -2 + \\dfrac{61}{800}.$$
<b>Шаг 4.</b> Запишем $-2$ как $-\\dfrac{1600}{800}$ и сложим:
$$-\\dfrac{1600}{800} + \\dfrac{61}{800} = -\\dfrac{1539}{800}.$$
<b>Шаг 5.</b> Сравним $-\\dfrac{1539}{800}$ и $-2{,}5=-\\dfrac{2000}{800}$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше:
$$|-1539|=1539\\lt 2000=|-2000| \\;\\implies\\; -\\dfrac{1539}{800}\\gt -\\dfrac{2000}{800}.$$
Значит, значение выражения больше, чем $-2{,}5$.
<div class="sol-ans">Ответ: выражение $\\gt -2{,}5$</div>`
},
{
text: `Найдите площадь треугольника со сторонами $9$ см, $12$ см и $15$ см.`,
sol: `<b>Теорема, обратная теореме Пифагора:</b> если для сторон $a$, $b$, $c$ треугольника выполняется $a^2+b^2=c^2$, то треугольник прямоугольный, $c$ — гипотенуза.
<br><b>Формула площади прямоугольного треугольника:</b> $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$, где $a$ и $b$ — катеты.
<br><b>Шаг 1.</b> Проверим, является ли треугольник прямоугольным. Для этого квадрат большей стороны сравниваем с суммой квадратов двух других:
$$9^2+12^2 = 81+144 = 225$$
$$15^2 = 225$$
Поскольку $9^2+12^2=15^2$, треугольник прямоугольный, катеты — $9$ и $12$, гипотенуза — $15$.
<svg viewBox="0 0 162 168" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:162px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,148 110,148 20,28" fill="rgba(37,99,235,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<polygon points="20,148 32,148 32,136 20,136" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<text x="6" y="23" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="112" y="157" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="5" y="158" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="4" y="92" font-size="11" fill="#334155">12 см</text>
<text x="55" y="162" font-size="11" fill="#334155">9 см</text>
<text x="72" y="78" font-size="11" fill="#334155">15 см</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Применяем формулу площади:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 9\\cdot 12 = \\dfrac{108}{2} = 54\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $54$ см²</div>`
},
{
text: `Найдите частное $a$ и $b$, если
$a = 3^6 \\cdot (5^{-1})^{-2} \\cdot \\dfrac{1}{4^{-2}}$
и $b = 3^8 \\cdot 5^3 \\cdot \\dfrac{1}{4^{-1}}$.`,
sol: `<b>Свойства степеней:</b> $(x^m)^n=x^{mn}$,&ensp; $\\dfrac{1}{x^{-n}}=x^n$,&ensp; $\\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$,&ensp; $x^{-n}=\\dfrac{1}{x^n}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Упростим выражение $a$. По правилу степени степени $(5^{-1})^{-2}=5^{(-1)\\cdot(-2)}=5^2$, а $\\dfrac{1}{4^{-2}}=4^2$:
$$a = 3^6\\cdot 5^2\\cdot 4^2.$$
<b>Шаг 2.</b> Упростим $b$. Аналогично $\\dfrac{1}{4^{-1}}=4^1=4$:
$$b = 3^8\\cdot 5^3\\cdot 4.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём частное. Сгруппируем одинаковые основания и применим правило $\\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$:
$$\\dfrac{a}{b} = \\dfrac{3^6\\cdot 5^2\\cdot 4^2}{3^8\\cdot 5^3\\cdot 4} = 3^{6-8}\\cdot 5^{2-3}\\cdot 4^{2-1} = 3^{-2}\\cdot 5^{-1}\\cdot 4.$$
<b>Шаг 4.</b> Запишем отрицательные степени как дроби:
$$3^{-2}\\cdot 5^{-1}\\cdot 4 = \\dfrac{4}{3^2\\cdot 5} = \\dfrac{4}{9\\cdot 5} = \\dfrac{4}{45}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{a}{b}=\\dfrac{4}{45}$</div>`
},
{
text: `Бобруйскому заводу тракторных деталей и агрегатов поступил заказ
на изготовление $800$ малогабаритных прицепов для трактора к определённому сроку.
Работая точно по графику, рабочие выполнили $25\\%$ заказа,
а затем стали собирать на $10$ прицепов больше и выполнили заказ за $2$ дня
до назначенного срока. За сколько дней рабочие выполнили заказ?`,
sol: `Пусть плановая выработка $= x$ прицепов в день.
<br><b>По плану:</b> весь заказ занял бы $\\dfrac{800}{x}$ дней.
<br><b>Фактически:</b>
<ul>
<li>$25\\%$ от $800 = 200$ прицепов — сделали за $\\dfrac{200}{x}$ дней по плану</li>
<li>Оставшиеся $600$ — делали с темпом $(x+10)$ за $\\dfrac{600}{x+10}$ дней</li>
</ul>
Закончили на $2$ дня раньше:
$$\\dfrac{800}{x} - \\left(\\dfrac{200}{x}+\\dfrac{600}{x+10}\\right) = 2$$
$$\\dfrac{600}{x} - \\dfrac{600}{x+10} = 2$$
Умножаем на $x(x+10)$:
$$600(x+10)-600x = 2x(x+10)$$
$$6000 = 2x^2+20x$$
$$x^2+10x-3000=0$$
$$D = 100+12000 = 12100 = 110^2$$
$$x = \\dfrac{-10+110}{2} = 50$$
<b>Плановый срок:</b> $\\dfrac{800}{50}=16$ дней. Фактически: $16-2=14$ дней.
<br><b>Проверка:</b> $\\dfrac{200}{50}+\\dfrac{600}{60} = 4+10 = 14$ дней ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $14$ дней</div>`
},
{
text: `В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$,
которые пересекаются в точке $K$, $AK = 2$, $KB = 6$, $DK = 3$.
Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.`,
sol: `<b>Шаг 1. Находим $CK$ — теорема о пересекающихся хордах.</b>
<br>При пересечении хорд произведения отрезков равны: $AK\\cdot KB = CK\\cdot KD$:
$$2\\cdot6 = CK\\cdot3 \\implies CK = 4$$
Длины хорд: $AB = 2+6 = 8$ см,&ensp;$CD = 4+3 = 7$ см.
<br><b>Шаг 2. Серединные перпендикуляры проходят через центр.</b>
<br>Обозначим $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$. По свойству хорд:
$$OM \\perp AB \\quad \\text{и} \\quad ON \\perp CD$$
<b>Шаг 3. Строим прямоугольник $ONKM$.</b>
<br>Так как $AB \\perp CD$:
<ul>
<li>$OM\\perp AB$ и $AB\\perp CD$ ⟹ $OM\\parallel CD$</li>
<li>$ON\\perp CD$ и $AB\\perp CD$ ⟹ $ON\\parallel AB$</li>
</ul>
Четырёхугольник $ONKM$ — <b>прямоугольник</b>. Его стороны:
$$KM = AM - AK = 4 - 2 = 2$$
Точка $N$ — середина $CD$, $CN=\\dfrac{7}{2}=3{,}5$. Так как $CK=4>3{,}5$, то $N$ лежит между $C$ и $K$:
$$KN = CK - CN = 4 - 3{,}5 = 0{,}5 = \\dfrac{1}{2}$$
Противоположные стороны прямоугольника равны:
$$ON = KM = 2, \\qquad OM = KN = \\dfrac{1}{2}$$
<svg viewBox="0 0 270 228" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:400px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<circle cx="145" cy="110" r="81" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="145,110 105,110 105,120 145,120" fill="rgba(234,179,8,0.18)" stroke="#ca8a04" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,2"/>
<line x1="65" y1="120" x2="225" y2="120" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<line x1="105" y1="40" x2="105" y2="180" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<polygon points="105,120 113,120 113,112 105,112" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<line x1="65" y1="120" x2="145" y2="110" stroke="rgba(22,163,74,0.5)" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="145" cy="120" r="3" fill="#ca8a04"/>
<circle cx="105" cy="110" r="3" fill="#ca8a04"/>
<circle cx="145" cy="110" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<circle cx="105" cy="120" r="3" fill="#1e293b"/>
<text x="48" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">A</text>
<text x="227" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">B</text>
<text x="108" y="34" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">C</text>
<text x="108" y="190" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">D</text>
<text x="88" y="133" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<text x="148" y="107" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="147" y="133" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#ca8a04">M</text>
<text x="88" y="108" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#ca8a04">N</text>
<text x="79" y="114" font-size="10" fill="#2563eb">2</text>
<text x="162" y="114" font-size="10" fill="#2563eb">6</text>
<text x="109" y="78" font-size="10" fill="#dc2626">4</text>
<text x="109" y="155" font-size="10" fill="#dc2626">3</text>
<text x="119" y="134" font-size="10" fill="#ca8a04">KM=2</text>
<text x="147" y="116" font-size="9" fill="#ca8a04">OM=½</text>
<text x="50" y="107" font-size="10" fill="#16a34a" font-style="italic">R</text>
</svg>
<b>Шаг 4. Находим радиус по теореме Пифагора.</b>
<br>В прямоугольном треугольнике $OMA$ (прямой угол у $M$, $OA = R$):
$$R^2 = OM^2 + AM^2 = \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2 + 4^2 = \\dfrac{1}{4} + 16 = \\dfrac{65}{4}$$
<b>Шаг 5. Площадь круга.</b>
$$S = \\pi R^2 = \\dfrac{65\\pi}{4}\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{65\\pi}{4}$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v24.js
+191
View File
@@ -0,0 +1,191 @@
VARIANTS[24] = {
label: "Вариант 24",
tasks: [
{
text: `Какая из следующих точек является центром окружности,
заданной уравнением $(x+4)^2 + (y-3)^2 = 2$:`,
opts: [
["а", "$A(-4;\\;3)$"], ["б", "$B(-4;\\;{-3})$"], ["в", "$C(4;\\;{-3})$"],
["г", "$D(4;\\;3)$"], ["д", "$E(3;\\;{-4})$"],
],
sol: `Стандартное уравнение окружности: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, центр $= (a,\\,b)$.
<br>Сравниваем: $(x+4)^2+(y-3)^2=2$ — здесь $a=-4$, $b=3$.
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$A(-4;\\;3)$</div>`
},
{
text: `Произведение дробей $\\dfrac{1}{a-b} \\cdot \\dfrac{a^2-b^2}{1}$ равно:`,
opts: [
["а", "$a+b$"], ["б", "$\\dfrac{a+b}{b}$"], ["в", "$\\dfrac{a+b}{a}$"],
["г", "$1$"], ["д", "$\\dfrac{1}{a+b}$"],
],
sol: `Разложим $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и сократим $(a-b)$:
$$\\dfrac{1}{a-b}\\cdot\\dfrac{a^2-b^2}{1} = \\dfrac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b$$
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$a+b$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "через точку, лежащую вне окружности, можно провести ровно две касательные к этой окружности;"],
["б", "площадь ромба равна произведению диагоналей;"],
["в", "если стороны одного треугольника равны $6$, $8$ и $10$, другого — $3$, $4$ и $5$, то треугольники подобны между собой;"],
["г", "$\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Через внешнюю точку окружности проходят ровно две касательные — <b>верно</b></li>
<li>б) «Площадь ромба равна произведению диагоналей» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Правильная формула: $S=\\dfrac{1}{2}d_1 d_2$ (половина произведения диагоналей).</li>
<li>в) Стороны $6:8:10=3:4:5$, коэффициент подобия $2$ — <b>верно</b></li>
<li>г) $\\cos60°=\\dfrac{1}{2}$ — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Определите, принадлежит ли точка $A(-1;\\;1)$ графику функции $y = 3x + 4$.
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Подставляем координаты точки $A(-1;\\,1)$ в уравнение $y=3x+4$:
$$y = 3\\cdot(-1)+4 = -3+4 = 1$$
Получили $y=1$, и у точки $A$ координата $y=1$.
<br>Так как $1=1$, точка $A(-1;\\,1)$ <b>принадлежит</b> графику функции.
<div class="sol-ans">Ответ: да, принадлежит</div>`
},
{
text: `Учащемуся в возрасте $10$ лет требуется не менее $9$–$10$ часов сна.
Выполняется ли это требование, если он спит $\\dfrac{5}{12}$ суток? Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Правило нахождения части от числа:</b> чтобы найти $\\dfrac{m}{n}$ от числа $A$, нужно умножить $A$ на $\\dfrac{m}{n}$. <b>Длительность суток:</b> $24$ часа.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём, сколько часов составляет $\\dfrac{5}{12}$ суток:
$$\\dfrac{5}{12}\\cdot 24 = \\dfrac{5\\cdot 24}{12} = \\dfrac{120}{12} = 10\\text{ ч}.$$
<b>Шаг 2.</b> Сравним полученное время с нижней границей нормы. По условию требуется <b>не менее $9$ часов</b>, значит нужно, чтобы фактическое время сна было $\\geq 9$ ч.
<br>Так как $10\\geq 9$, требование выполняется.
<div class="sol-ans">Ответ: да, требование выполняется — ровно $10$ часов сна</div>`
},
{
text: `Сравните значение выражения
$\\dfrac{5}{12} \\cdot \\left(-\\dfrac{3}{5}\\right) + \\dfrac{1}{4} \\cdot \\left(-\\dfrac{3}{8}\\right) - \\dfrac{1}{7} \\cdot \\dfrac{4}{7}$
с числом $-2$.`,
sol: `<b>Порядок действий:</b> сначала умножения, потом сложение и вычитание. <b>Правило умножения дробей:</b> $\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{ac}{bd}$. <b>Знак произведения:</b> минус на плюс — минус, плюс на плюс — плюс.
<br><b>Шаг 1.</b> Вычислим каждое произведение, сокращая по ходу:
$$\\dfrac{5}{12}\\cdot\\left(-\\dfrac{3}{5}\\right) = -\\dfrac{5\\cdot 3}{12\\cdot 5} = -\\dfrac{3}{12} = -\\dfrac{1}{4};$$
$$\\dfrac{1}{4}\\cdot\\left(-\\dfrac{3}{8}\\right) = -\\dfrac{3}{32};$$
$$\\dfrac{1}{7}\\cdot\\dfrac{4}{7} = \\dfrac{4}{49}.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим найденные значения в исходное выражение:
$$-\\dfrac{1}{4} + \\left(-\\dfrac{3}{32}\\right) - \\dfrac{4}{49} = -\\dfrac{1}{4} - \\dfrac{3}{32} - \\dfrac{4}{49}.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём общий знаменатель. НОК$(4;32;49) = 32\\cdot 49 = 1568$. Приведём дроби:
$$-\\dfrac{1}{4} = -\\dfrac{392}{1568},\\quad -\\dfrac{3}{32} = -\\dfrac{147}{1568},\\quad -\\dfrac{4}{49} = -\\dfrac{128}{1568}.$$
<b>Шаг 4.</b> Сложим числители:
$$-\\dfrac{392+147+128}{1568} = -\\dfrac{667}{1568}\\approx -0{,}43.$$
<b>Шаг 5.</b> Сравним с числом $-2$. Так как $-0{,}43\\gt -2$ (отрицательное число с меньшим модулем больше), получаем:
<div class="sol-ans">Ответ: выражение $\\gt -2$</div>`
},
{
text: `Найдите площадь треугольника со сторонами $10$ см, $24$ см и $26$ см.`,
sol: `<b>Теорема, обратная теореме Пифагора:</b> если для сторон $a$, $b$, $c$ треугольника выполнено равенство $a^2+b^2=c^2$, то треугольник прямоугольный, а $c$ — гипотенуза.
<br><b>Формула площади прямоугольного треугольника:</b> $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$, где $a$ и $b$ — катеты.
<br><b>Шаг 1.</b> Проверим, прямоугольный ли треугольник. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других:
$$10^2+24^2 = 100+576 = 676$$
$$26^2 = 676$$
Поскольку $10^2+24^2=26^2$, треугольник прямоугольный, его катеты — $10$ и $24$.
<svg viewBox="0 0 130 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:130px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,180 100,180 20,20" fill="rgba(37,99,235,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<polygon points="20,180 32,180 32,168 20,168" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<text x="6" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="102" y="189" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="5" y="190" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="0" y="100" font-size="11" fill="#334155">24 см</text>
<text x="50" y="194" font-size="11" fill="#334155">10 см</text>
<text x="65" y="98" font-size="11" fill="#334155">26 см</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Применяем формулу площади:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10\\cdot 24 = 120\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $120$ см²</div>`
},
{
text: `Найдите частное $m$ и $n$, если
$m = 3^{-2} \\cdot 3^2 \\cdot \\dfrac{(7^{-1})^{-2}}{3^{-5}}$
и $n = \\dfrac{1}{7^{-2}} \\cdot 9^{-1} \\cdot \\dfrac{1}{3^{-5}}$.`,
sol: `<b>Свойства степеней:</b> $x^m\\cdot x^n=x^{m+n}$,&ensp; $(x^m)^n=x^{mn}$,&ensp; $\\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$,&ensp; $\\dfrac{1}{x^{-n}}=x^n$.
<br><b>Шаг 1.</b> Упростим $m$. По свойству степени степени $(7^{-1})^{-2}=7^2$, а деление на $3^{-5}$ равно умножению на $3^5$:
$$m = 3^{-2}\\cdot 3^2\\cdot 7^2\\cdot 3^5 = 3^{-2+2+5}\\cdot 7^2 = 3^5\\cdot 7^2.$$
<b>Шаг 2.</b> Упростим $n$. Имеем $\\dfrac{1}{7^{-2}}=7^2$, $9^{-1}=3^{-2}$ (так как $9=3^2$), $\\dfrac{1}{3^{-5}}=3^5$:
$$n = 7^2\\cdot 3^{-2}\\cdot 3^5 = 7^2\\cdot 3^{-2+5} = 7^2\\cdot 3^3.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём частное. Сокращаем $7^2$ и применяем правило $\\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$:
$$\\dfrac{m}{n} = \\dfrac{3^5\\cdot 7^2}{3^3\\cdot 7^2} = 3^{5-3} = 3^2 = 9.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{m}{n}=9$</div>`
},
{
text: `Барановичскому станкостроительному заводу поступил заказ на изготовление $1200$ дробилок,
которые используют для дробления пластиковых деталей к определённому сроку.
Работая точно по графику, рабочие изготовили $25\\%$ заказа,
а затем стали производить в день на $50$ дробилок больше и выполнили заказ за $3$ дня
до назначенного срока. За сколько дней рабочие выполнили заказ?`,
sol: `<b>Метод введения переменной:</b> обозначим неизвестную плановую выработку буквой $x$ и составим уравнение по условию о сроках.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть $x$ — количество дробилок, которое нужно было выпускать в день по плану. Тогда плановый срок выполнения заказа: $\\dfrac{1200}{x}$ дней.
<br><b>Шаг 2.</b> Сначала рабочие изготовили $25\\%$ заказа, то есть $\\dfrac{25}{100}\\cdot 1200 = 300$ дробилок. По плановой выработке это заняло $\\dfrac{300}{x}$ дней.
<br><b>Шаг 3.</b> Оставшиеся $1200-300=900$ дробилок делали по $x+50$ штук в день. Это заняло $\\dfrac{900}{x+50}$ дней.
<br><b>Шаг 4.</b> Закончили на $3$ дня раньше плана, значит фактический срок на $3$ меньше планового:
$$\\dfrac{1200}{x} - \\left(\\dfrac{300}{x}+\\dfrac{900}{x+50}\\right) = 3.$$
Упрощаем левую часть, $\\dfrac{1200}{x}-\\dfrac{300}{x}=\\dfrac{900}{x}$:
$$\\dfrac{900}{x} - \\dfrac{900}{x+50} = 3.$$
<b>Шаг 5.</b> Умножим обе части на $x(x+50)$, чтобы избавиться от знаменателей:
$$900(x+50) - 900x = 3x(x+50);$$
$$45000 = 3x^2+150x \\;\\implies\\; x^2+50x-15000 = 0.$$
<b>Шаг 6.</b> Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$$D = 50^2 + 4\\cdot 15000 = 2500+60000 = 62500 = 250^2;$$
$$x = \\dfrac{-50+250}{2} = 100\\;\\;\\text{(второй корень отрицательный, не подходит)}.$$
<b>Шаг 7.</b> Найдём фактический срок. По плану заказ занял бы $\\dfrac{1200}{100}=12$ дней, фактически — на $3$ дня меньше: $12-3=9$ дней.
<br><b>Проверка:</b> первые $\\dfrac{300}{100}=3$ дня + последние $\\dfrac{900}{150}=6$ дней = $9$ дней.
<div class="sol-ans">Ответ: $9$ дней</div>`
},
{
text: `В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$,
которые пересекаются в точке $K$, $AK = 4$, $KB = 9$, $DK = 3$.
Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.`,
sol: `<b>Теорема о пересекающихся хордах:</b> если две хорды пересекаются в точке $K$, то $AK\\cdot KB = CK\\cdot KD$.
<br><b>Свойство хорды:</b> серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2+b^2$ для прямоугольного треугольника.
<br><b>Формула площади круга:</b> $S=\\pi R^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> По теореме о пересекающихся хордах:
$$AK\\cdot KB = CK\\cdot KD \\;\\implies\\; 4\\cdot 9 = CK\\cdot 3 \\;\\implies\\; CK = 12$$
Длины хорд: $AB = AK+KB = 4+9 = 13$,&ensp;$CD = CK+KD = 12+3 = 15$.
<br><b>Шаг 2.</b> Пусть $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$. Тогда $OM\\perp AB$ и $ON\\perp CD$ (по свойству перпендикуляра из центра к хорде).
<br><b>Шаг 3.</b> Так как $AB\\perp CD$ и $OM\\perp AB$, $ON\\perp CD$, четырёхугольник $ONKM$ — прямоугольник, поэтому $OM=KN$ и $ON=KM$.
<br><b>Шаг 4.</b> Находим $AM$ и $KM$:
$$AM = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{13}{2} = 6{,}5$$
$$KM = AM - AK = 6{,}5 - 4 = 2{,}5$$
<b>Шаг 5.</b> Находим $CN$ и $KN$:
$$CN = \\dfrac{CD}{2} = \\dfrac{15}{2} = 7{,}5$$
$$KN = CK - CN = 12 - 7{,}5 = 4{,}5$$
Значит $OM=KN=4{,}5$.
<svg viewBox="0 0 270 228" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:400px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<circle cx="145" cy="110" r="81" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="145,110 105,110 105,120 145,120" fill="rgba(234,179,8,0.18)" stroke="#ca8a04" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,2"/>
<line x1="65" y1="120" x2="225" y2="120" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<line x1="105" y1="40" x2="105" y2="180" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<polygon points="105,120 113,120 113,112 105,112" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<line x1="65" y1="120" x2="145" y2="110" stroke="rgba(22,163,74,0.5)" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="145" cy="120" r="3" fill="#ca8a04"/>
<circle cx="105" cy="110" r="3" fill="#ca8a04"/>
<circle cx="145" cy="110" r="3.5" fill="#1e293b"/>
<circle cx="105" cy="120" r="3" fill="#1e293b"/>
<text x="48" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">A</text>
<text x="227" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">B</text>
<text x="108" y="34" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">C</text>
<text x="108" y="190" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">D</text>
<text x="88" y="133" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<text x="148" y="107" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="147" y="133" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#ca8a04">M</text>
<text x="88" y="108" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#ca8a04">N</text>
<text x="79" y="114" font-size="10" fill="#2563eb">4</text>
<text x="162" y="114" font-size="10" fill="#2563eb">9</text>
<text x="109" y="78" font-size="10" fill="#dc2626">12</text>
<text x="109" y="155" font-size="10" fill="#dc2626">3</text>
<text x="115" y="134" font-size="10" fill="#ca8a04">KM=2,5</text>
<text x="147" y="116" font-size="9" fill="#ca8a04">OM=4,5</text>
<text x="50" y="107" font-size="10" fill="#16a34a" font-style="italic">R</text>
</svg>
<b>Шаг 6.</b> В прямоугольном треугольнике $OMA$ (прямой угол при $M$): $OA = R$, $OM = 4{,}5$, $AM = 6{,}5$. По теореме Пифагора:
$$R^2 = OM^2 + AM^2 = 4{,}5^2 + 6{,}5^2 = 20{,}25 + 42{,}25 = 62{,}5 = \\dfrac{125}{2}$$
<b>Шаг 7.</b> Площадь круга:
$$S = \\pi R^2 = \\dfrac{125\\pi}{2}\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{125\\pi}{2}$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v25.js
+226
View File
@@ -0,0 +1,226 @@
VARIANTS[25] = {
label: "Вариант 25",
tasks: [
{
text: `Какое из приведённых ниже выражений тождественно равно произведению $-2(-5-a)$:`,
opts: [
["а", "$10-a$"], ["б", "$2a-10$"], ["в", "$10+2a$"],
["г", "$10-2a$"], ["д", "$2a-5$"],
],
sol: `Раскрываем скобки:
$$-2(-5-a) = (-2)\\cdot(-5) + (-2)\\cdot(-a) = 10 + 2a$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$10+2a$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $68{,}3 - 50{,}08$ равно:`,
opts: [
["а", "$8{,}38$"], ["б", "$8{,}22$"], ["в", "$18{,}32$"],
["г", "$7{,}32$"], ["д", "$18{,}22$"],
],
sol: `$$68{,}30 - 50{,}08 = 18{,}22$$
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$18{,}22$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "треугольник со сторонами $3$, $4$, $5$ — прямоугольный;"],
["б", "центр описанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам;"],
["в", "если у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник;"],
["г", "вписанный угол равен соответствующему центральному углу?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) $3^2+4^2=25=5^2$ ⟹ прямоугольный — <b>верно</b></li>
<li>б) Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров — <b>верно</b></li>
<li>в) Если диагонали параллелограмма равны — это прямоугольник — <b>верно</b></li>
<li>г) «Вписанный угол равен центральному» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Вписанный угол равен <em>половине</em> центрального угла, опирающегося на ту же дугу.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Последовательность $-18;\\; -16;\\; -14;\\; \\ldots$ — арифметическая прогрессия.
Продолжите её далее, записав ещё три члена прогрессии.`,
sol: `Разность прогрессии: $d = -16-(-18) = 2$.
<br>Продолжаем, прибавляя $2$ к каждому члену:
$$-14+2=-12; \\ -12+2=-10; \\ -10+2=-8$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-12;\;-10;\;-8$</div>`
},
{
text: `В треугольнике две стороны равны $6$ см и $10$ см,
а сумма углов, противолежащих этим сторонам, равна $120^{\\circ}$.
Найдите третью сторону треугольника.`,
sol: `Пусть $a=6$, $b=10$ — данные стороны, $\\alpha$ и $\\beta$ — углы, им противолежащие.
<br>По условию: $\\alpha+\\beta=120°$. Значит, третий угол:
$$\\gamma = 180°-120°=60°$$
Угол $\\gamma$ заключён <em>между</em> сторонами $a=6$ и $b=10$.
<svg viewBox="0 0 275 175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:275px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="80,152 220,152 122,79" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<path d="M 100 152 A 20 20 0 0 0 94 135" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<text x="66" y="166" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="222" y="166" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="120" y="73" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="100" y="138" font-size="10" fill="#555">60°</text>
<text x="70" y="116" font-size="12" fill="#334155">6</text>
<text x="148" y="165" font-size="12" fill="#334155">10</text>
<text x="175" y="108" font-size="12" fill="#1d4ed8">$c$</text>
</svg>
По теореме косинусов (для стороны $c$, противолежащей углу $\\gamma=60°$):
$$c^2 = a^2+b^2-2ab\\cos\\gamma = 6^2+10^2-2\\cdot6\\cdot10\\cdot\\cos60°$$
$$c^2 = 36+100-120\\cdot\\tfrac{1}{2} = 136-60 = 76$$
$$c = \\sqrt{76} = 2\\sqrt{19}\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $2\\sqrt{19}$ см</div>`
},
{
text: `После проведения профилактических мероприятий необходимо наполнить один из бассейнов
спорткомплекса объёмом $1500$ л.
Через первый кран в бассейн вливается $30$ л воды в минуту, а через второй — $20$ л в минуту.
За какое время бассейн будет наполнен, если открыть оба крана одновременно?`,
sol: `<b>Правило совместной работы:</b> при одновременной работе производительности (скорости наполнения) складываются. <b>Формула времени:</b> $t=\\dfrac{V}{v}$, где $V$ — объём, $v$ — суммарная производительность.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём суммарную производительность двух кранов. Так как краны работают одновременно, объёмы воды, поступающие в минуту, складываются:
$$v = 30 + 20 = 50\\text{ л/мин}.$$
<b>Шаг 2.</b> Делим объём бассейна на совместную производительность, чтобы найти время наполнения:
$$t = \\dfrac{V}{v} = \\dfrac{1500}{50} = 30\\text{ мин}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $30$ минут</div>`
},
{
text: `Найдите наибольшее целое число, принадлежащее множеству решений системы неравенств
$$\\begin{cases} \\dfrac{1}{3}(x+3) \\geq \\dfrac{6x-7}{4}, \\\\[6pt] \\dfrac{1}{4}x + 3 \\leq 6{,}5x + 2. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Метод решения системы неравенств:</b> решаем каждое неравенство отдельно, затем берём пересечение решений.
<br><b>Шаг 1. Решаем первое неравенство.</b> Умножим обе части на $12$ (общий знаменатель), чтобы избавиться от дробей:
$$\\dfrac{1}{3}(x+3) \\geq \\dfrac{6x-7}{4} \\;\\;\\bigg|\\cdot 12$$
$$4(x+3) \\geq 3(6x-7)$$
$$4x+12 \\geq 18x-21$$
$$12+21 \\geq 18x-4x$$
$$33 \\geq 14x \\;\\implies\\; x \\leq \\dfrac{33}{14}\\approx 2{,}36$$
<b>Шаг 2. Решаем второе неравенство.</b>
$$\\dfrac{1}{4}x + 3 \\leq 6{,}5x + 2$$
$$3-2 \\leq 6{,}5x - 0{,}25x$$
$$1 \\leq 6{,}25x \\;\\implies\\; x \\geq \\dfrac{1}{6{,}25}=\\dfrac{4}{25}=0{,}16$$
<b>Шаг 3. Пересечение решений:</b> $\\dfrac{4}{25}\\leq x\\leq\\dfrac{33}{14}$, то есть приблизительно $0{,}16\\leq x\\leq 2{,}36$.
<svg viewBox="0 0 280 56" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:280px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
<defs><marker id="v25t7" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="28" x2="272" y2="28" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v25t7)"/>
<line x1="55" y1="24" x2="55" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="55" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="115" y1="24" x2="115" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="115" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">1</text>
<line x1="175" y1="24" x2="175" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="175" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">2</text>
<line x1="235" y1="24" x2="235" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="235" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3</text>
<line x1="65" y1="28" x2="207" y2="28" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.5"/>
<circle cx="65" cy="28" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="207" cy="28" r="5" fill="#2563eb"/>
<text x="65" y="16" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">4/25</text>
<text x="207" y="16" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">33/14</text>
<circle cx="175" cy="28" r="4" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
<text x="175" y="16" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#16a34a">2</text>
</svg>
<b>Шаг 4.</b> Среди целых чисел в промежутке $[0{,}16;\\,2{,}36]$ есть $1$ и $2$. Наибольшее из них — $x=2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $2$</div>`
},
{
text: `Постройте график функции $y = \\dfrac{(2x-5)^2}{2x-5}$.
Определите, при каких значениях аргумента значение функции не больше $7$.`,
sol: `<b>Правило сокращения дроби:</b> если множитель встречается в числителе и в знаменателе, его можно сократить, но только при условии, что он не равен нулю.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём ОДЗ. Знаменатель не должен равняться нулю:
$$2x-5\\neq 0 \\;\\implies\\; x\\neq\\dfrac{5}{2}.$$
<b>Шаг 2.</b> Упростим выражение. В числителе $(2x-5)^2=(2x-5)\\cdot(2x-5)$, поэтому при $x\\neq\\dfrac{5}{2}$ один множитель $(2x-5)$ сокращается:
$$y = \\dfrac{(2x-5)^2}{2x-5} = 2x-5,\\quad x\\neq\\dfrac{5}{2}.$$
Значит, график — это прямая $y=2x-5$ с <b>выколотой точкой</b> при $x=\\dfrac{5}{2}$, где $y=2\\cdot\\dfrac{5}{2}-5=0$.
<svg viewBox="0 0 215 220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:215px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<defs>
<marker id="v25ax" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker>
<marker id="v25ay" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker>
</defs>
<line x1="10" y1="165" x2="208" y2="165" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v25ax)"/>
<line x1="70" y1="212" x2="70" y2="12" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v25ay)"/>
<line x1="84" y1="207" x2="168" y2="39" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<line x1="10" y1="67" x2="205" y2="67" stroke="#dc2626" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="154" y1="165" x2="154" y2="67" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<circle cx="105" cy="165" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="154" cy="67" r="4" fill="#16a34a"/>
<line x1="66" y1="67" x2="74" y2="67" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/><text x="56" y="71" font-size="9" fill="#64748b">7</text>
<line x1="66" y1="165" x2="74" y2="165" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<line x1="84" y1="161" x2="84" y2="169" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/><text x="84" y="180" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#64748b">1</text>
<line x1="154" y1="161" x2="154" y2="169" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/><text x="154" y="180" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#16a34a">6</text>
<text x="105" y="179" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">5/2</text>
<text x="170" y="44" font-size="10" fill="#2563eb" font-style="italic">y=2x−5</text>
<text x="158" y="62" font-size="10" fill="#dc2626">y=7</text>
<text x="200" y="169" font-size="11" fill="#555" font-style="italic">x</text>
<text x="73" y="18" font-size="11" fill="#555" font-style="italic">y</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> Решаем неравенство $y\\leq 7$. Подставляем упрощённое выражение:
$$2x-5\\leq 7 \\;\\implies\\; 2x\\leq 12 \\;\\implies\\; x\\leq 6.$$
<b>Шаг 4.</b> Учитываем ОДЗ — точка $x=\\dfrac{5}{2}$ выколота из графика, значит её исключаем из ответа.
<div class="sol-ans">Ответ: $x\\leq 6$, $x\\neq\\dfrac{5}{2}$</div>`
},
{
text: `На плане размеры прямоугольника $32$ мм $\\times$ $25$ мм.
В реальности площадь прямоугольника равна $200$ см².
Изобразите в заданном масштабе квадрат, если по реальным измерениям
его периметр на $230$ мм больше периметра прямоугольника.`,
sol: `<b>Шаг 1. Масштаб.</b>
<br>Площадь прямоугольника на плане: $32\\cdot25=800$ мм². В реальности: $200$ см² $=20000$ мм².
$$k^2=\\dfrac{20000}{800}=25 \\implies k=5$$
Масштаб $1:5$ (1 мм на плане = 5 мм в реальности).
<br><b>Шаг 2. Периметр прямоугольника (реальный).</b>
<br>Реальные размеры: $32\\cdot5=160$ мм и $25\\cdot5=125$ мм.
$$P_{\\text{пр}} = 2(160+125) = 570\\text{ мм}$$
<b>Шаг 3. Сторона квадрата.</b>
$$P_{\\text{кв}} = 570+230 = 800\\text{ мм} \\implies a = \\dfrac{800}{4}=200\\text{ мм}$$
<b>Шаг 4. Сторона квадрата на плане.</b>
$$a_{\\text{план}} = \\dfrac{200}{5} = 40\\text{ мм}$$
<svg viewBox="0 0 310 165" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:310px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<rect x="12" y="18" width="112" height="88" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<text x="62" y="72" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#334155">Прямоугольник</text>
<text x="62" y="120" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#475569">32 мм × 25 мм</text>
<rect x="155" y="12" width="140" height="140" fill="rgba(22,163,74,0.09)" stroke="#15803d" stroke-width="1.8"/>
<text x="225" y="87" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#15803d">Квадрат</text>
<text x="225" y="166" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#475569">40 мм × 40 мм</text>
<text x="12" y="13" font-size="9" fill="#64748b">план (масштаб 1:5)</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: квадрат со стороной $40$ мм на плане ($200$ мм в реальности)</div>`
},
{
text: `Точка $M$ — середина стороны $BC$ квадрата $ABCD$, площадь которого равна $20$ см².
К отрезку $AM$ проведён перпендикуляр $DK$.
Найдите площадь четырёхугольника $DKMC$.`,
sol: `Пусть сторона квадрата $a$, тогда $a^2=20$.
<svg viewBox="0 0 218 215" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:218px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,25 180,25 180,185 20,185" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="20,25 84,153 180,105 180,25" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="185" x2="180" y2="105" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="20" y1="25" x2="84" y2="153" stroke="#f97316" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="84,153 80,146 87,142 91,149" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="180" cy="105" r="3.5" fill="#334155"/>
<circle cx="84" cy="153" r="3.5" fill="#f97316"/>
<text x="6" y="192" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="183" y="192" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="183" y="21" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="6" y="21" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="184" y="108" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
<text x="68" y="162" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#f97316">K</text>
<text x="108" y="90" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">DKMC</text>
</svg>
Пусть сторона квадрата $a$, тогда $a^2=20$.
<br><b>Шаг 1.</b> Квадрат разбивается отрезком $AM$ и перпендикуляром $DK$ на три части:
$$S_{ABCD} = S_{\\triangle ABM} + S_{\\triangle ADK} + S_{DKMC}$$
<b>Шаг 2. Находим $S_{\\triangle ABM}$.</b>
<br>Прямой угол при $B$, катеты $AB=a$ и $BM=\\dfrac{a}{2}$:
$$S_{\\triangle ABM}=\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot\\dfrac{a}{2}=\\dfrac{a^2}{4}=5\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 3. Находим $AM$.</b>
<br>В прямоугольном $\\triangle ABM$ по теореме Пифагора:
$$AM=\\sqrt{AB^2+BM^2}=\\sqrt{a^2+\\dfrac{a^2}{4}}=\\dfrac{a\\sqrt{5}}{2}$$
<b>Шаг 4. Находим $S_{\\triangle ADM}$.</b>
<br>Основание $AD=a$, высота из $M$ на $AD$ = ширина квадрата $= a$:
$$S_{\\triangle ADM}=\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a=\\dfrac{a^2}{2}=10\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 5. Находим $DK$.</b>
<br>$DK$ — высота треугольника $ADM$, проведённая к основанию $AM$:
$$S_{\\triangle ADM}=\\dfrac{1}{2}\\cdot AM\\cdot DK \\implies DK=\\dfrac{2\\cdot S_{\\triangle ADM}}{AM}=\\dfrac{2\\cdot\\dfrac{a^2}{2}}{\\dfrac{a\\sqrt{5}}{2}}=\\dfrac{2a}{\\sqrt{5}}$$
<b>Шаг 6. Находим $AK$.</b>
<br>В прямоугольном $\\triangle ADK$ (прямой угол при $K$) по теореме Пифагора:
$$AK=\\sqrt{AD^2-DK^2}=\\sqrt{a^2-\\dfrac{4a^2}{5}}=\\sqrt{\\dfrac{a^2}{5}}=\\dfrac{a}{\\sqrt{5}}$$
<b>Шаг 7. Находим $S_{\\triangle ADK}$.</b>
$$S_{\\triangle ADK}=\\dfrac{1}{2}\\cdot AK\\cdot DK=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{a}{\\sqrt{5}}\\cdot\\dfrac{2a}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{a^2}{5}=4\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 8. Итог.</b>
$$S_{DKMC}=S_{ABCD}-S_{\\triangle ABM}-S_{\\triangle ADK}=20-5-4=11\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $11$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v26.js
+220
View File
@@ -0,0 +1,220 @@
VARIANTS[26] = {
label: "Вариант 26",
tasks: [
{
text: `Какое из приведённых ниже выражений тождественно равно произведению $-3(-4-a)$:`,
opts: [
["а", "$12-a$"], ["б", "$3a-12$"], ["в", "$12+3a$"],
["г", "$12-3a$"], ["д", "$3a-4$"],
],
sol: `Раскрываем скобки:
$$-3(-4-a) = (-3)\\cdot(-4) + (-3)\\cdot(-a) = 12 + 3a$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$12+3a$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $126{,}4 - 100{,}97$ равно:`,
opts: [
["а", "$25{,}78$"], ["б", "$25{,}52$"], ["в", "$125{,}97$"],
["г", "$25{,}43$"], ["д", "$125{,}42$"],
],
sol: `$$126{,}40 - 100{,}97 = 25{,}43$$
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$25{,}43$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то это ромб;"],
["б", "центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении его биссектрис;"],
["в", "треугольник со сторонами $5$, $12$, $13$ — прямоугольный;"],
["г", "центральный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны — это ромб — <b>верно</b></li>
<li>б) Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис — <b>верно</b></li>
<li>в) $5^2+12^2=25+144=169=13^2$ ⟹ прямоугольный — <b>верно</b></li>
<li>г) «Центральный угол равен <em>половине</em> дуги» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Центральный угол в градусах <em>равен</em> градусной мере дуги, на которую он опирается (а не половине).</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Последовательность $-9;\\; -6;\\; -3;\\; \\ldots$ — арифметическая прогрессия.
Продолжите её далее, записав ещё три члена прогрессии.`,
sol: `Разность прогрессии: $d = -6-(-9) = 3$.
<br>Продолжаем, прибавляя $3$ к каждому члену:
$$-3+3=0; \\ 0+3=3; \\ 3+3=6$$
<div class="sol-ans">Ответ: $0;\\;3;\\;6$</div>`
},
{
text: `В треугольнике две стороны равны $5$ см и $8$ см,
а внешний угол при вершине, противолежащей третьей стороне, равен $120^{\\circ}$.
Найдите третью сторону треугольника.`,
sol: `<b>Свойство внешнего угла:</b> внешний и внутренний углы при одной вершине в сумме дают $180°$.
<br><b>Теорема косинусов:</b> $c^2 = a^2+b^2-2ab\\cos C$, где $C$ — угол между сторонами $a$ и $b$, $c$ — противолежащая сторона.
<br><b>Шаг 1.</b> Внешний угол при вершине $C$ равен $120°$. Тогда внутренний угол:
$$\\angle C = 180°-120° = 60°$$
<b>Шаг 2.</b> По условию вершина $C$ противолежит третьей стороне, значит стороны $a=5$ и $b=8$ выходят из этой вершины — угол $C$ заключён между ними.
<svg viewBox="0 0 275 175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:275px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="80,152 220,152 122,79" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<path d="M 100 152 A 20 20 0 0 0 94 135" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<text x="66" y="166" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="222" y="166" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="120" y="73" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="100" y="138" font-size="10" fill="#555">60°</text>
<text x="70" y="116" font-size="12" fill="#334155">5</text>
<text x="148" y="165" font-size="12" fill="#334155">8</text>
<text x="175" y="108" font-size="12" fill="#1d4ed8">$c$</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> Применяем теорему косинусов, подставив $a=5$, $b=8$, $\\angle C=60°$ и зная, что $\\cos 60°=\\dfrac{1}{2}$:
$$c^2 = a^2+b^2-2ab\\cos C = 5^2+8^2-2\\cdot 5\\cdot 8\\cdot\\dfrac{1}{2}$$
$$c^2 = 25+64-40 = 49$$
<b>Шаг 4.</b> Извлекаем корень:
$$c = \\sqrt{49} = 7\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $7$ см</div>`
},
{
text: `После проведения профилактических мероприятий необходимо наполнить один из бассейнов
спорткомплекса объёмом $2500$ л.
Через первый кран в бассейн вливается $60$ л воды в минуту.
Сколько литров воды в минуту вливается через второй кран, если при работе двух кранов
одновременно бассейн заполняется через $20$ минут?`,
sol: `<b>Метод введения переменной:</b> неизвестную скорость наполнения второго крана обозначим за $x$. <b>Правило совместной работы:</b> при одновременной работе кранов их производительности складываются.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть второй кран вливает $x$ л воды в минуту.
<br><b>Шаг 2.</b> Запишем выражение для объёма воды, поступающего в бассейн за $20$ минут. Первый кран за это время даст $20\\cdot 60 = 1200$ л, второй — $20\\cdot x$ л. Суммарно бассейн заполняется на $2500$ л:
$$20\\cdot 60 + 20\\cdot x = 2500.$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем уравнение:
$$1200 + 20x = 2500;$$
$$20x = 2500-1200 = 1300;$$
$$x = \\dfrac{1300}{20} = 65\\text{ л/мин}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $65$ л/мин</div>`
},
{
text: `Найдите наименьшее целое число, принадлежащее множеству решений системы неравенств
$$\\begin{cases} \\dfrac{1}{3}(3-6x) + 3x \\leq 1, \\\\[6pt] \\dfrac{1}{2}(2x-12) - 5x \\leq 0. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Метод решения:</b> решаем каждое неравенство отдельно и берём пересечение решений.
<br><b>Шаг 1. Решаем первое неравенство.</b> Раскроем скобки:
$$\\dfrac{1}{3}(3-6x)+3x \\leq 1$$
$$1 - 2x + 3x \\leq 1$$
$$1 + x \\leq 1 \\;\\implies\\; x \\leq 0$$
<b>Шаг 2. Решаем второе неравенство.</b> Раскроем скобки:
$$\\dfrac{1}{2}(2x-12) - 5x \\leq 0$$
$$x - 6 - 5x \\leq 0$$
$$-4x \\leq 6 \\;\\implies\\; x \\geq -\\dfrac{3}{2}$$
(при делении на $-4$ знак неравенства меняется)
<br><b>Шаг 3. Пересечение решений:</b> $-\\dfrac{3}{2}\\leq x \\leq 0$, то есть $x\\in[-1{,}5;\\;0]$.
<svg viewBox="0 0 260 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
<defs><marker id="v26t7" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="28" x2="252" y2="28" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v26t7)"/>
<line x1="60" y1="24" x2="60" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="60" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−2</text>
<line x1="120" y1="24" x2="120" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="120" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
<line x1="180" y1="24" x2="180" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="180" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="90" y1="28" x2="180" y2="28" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="90" cy="28" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="180" cy="28" r="5" fill="#2563eb"/>
<text x="85" y="16" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">−3/2</text>
</svg>
<b>Шаг 4.</b> Целые числа в $[-1{,}5;\\;0]$ — это $-1$ и $0$. Наименьшее из них — $-1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-1$</div>`
},
{
text: `Постройте график функции $y = \\dfrac{(x-4)^2}{x-4}$.
Определите, при каких значениях аргумента значение функции не меньше $-2$.`,
sol: `<b>Правило сокращения дроби:</b> множитель из числителя и знаменателя можно сократить только при условии, что он не равен нулю.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$$x-4\\neq 0 \\;\\implies\\; x\\neq 4.$$
<b>Шаг 2.</b> Упростим выражение. Числитель $(x-4)^2=(x-4)\\cdot(x-4)$, поэтому при $x\\neq 4$ один множитель $(x-4)$ сокращается:
$$y = \\dfrac{(x-4)^2}{x-4} = x-4,\\quad x\\neq 4.$$
Значит, график — прямая $y=x-4$ с <b>выколотой точкой</b> при $x=4$, где $y=4-4=0$.
<svg viewBox="0 0 215 220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:215px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<defs>
<marker id="v26ax" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker>
<marker id="v26ay" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker>
</defs>
<line x1="10" y1="145" x2="208" y2="145" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v26ax)"/>
<line x1="50" y1="212" x2="50" y2="12" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v26ay)"/>
<line x1="10" y1="189" x2="205" y2="4" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<line x1="10" y1="105" x2="205" y2="105" stroke="#dc2626" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="90" y1="145" x2="90" y2="105" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<circle cx="130" cy="145" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="90" cy="105" r="4" fill="#16a34a"/>
<line x1="46" y1="105" x2="54" y2="105" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/><text x="34" y="109" font-size="9" fill="#64748b">−2</text>
<line x1="46" y1="145" x2="54" y2="145" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<line x1="90" y1="141" x2="90" y2="149" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/><text x="90" y="161" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#16a34a">2</text>
<text x="130" y="159" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">4</text>
<text x="165" y="12" font-size="10" fill="#2563eb" font-style="italic">y=x−4</text>
<text x="168" y="101" font-size="10" fill="#dc2626">y=−2</text>
<text x="200" y="149" font-size="11" fill="#555" font-style="italic">x</text>
<text x="53" y="18" font-size="11" fill="#555" font-style="italic">y</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> Решаем неравенство $y\\geq -2$. Подставляем упрощённое выражение:
$$x-4\\geq -2 \\;\\implies\\; x\\geq 2.$$
<b>Шаг 4.</b> С учётом ОДЗ исключаем точку $x=4$ из ответа.
<div class="sol-ans">Ответ: $x\\geq 2$, $x\\neq 4$</div>`
},
{
text: `На плане размеры прямоугольника $20$ мм $\\times$ $15$ мм.
В реальности площадь прямоугольника равна $300$ см².
Изобразите в заданном масштабе квадрат, если по реальным измерениям
его периметр на $100$ мм больше периметра прямоугольника.`,
sol: `<b>Шаг 1. Масштаб.</b>
<br>Площадь на плане: $20\\cdot15=300$ мм². В реальности: $300$ см² $=30000$ мм².
$$k^2=\\dfrac{30000}{300}=100 \\implies k=10$$
Масштаб $1:10$ (1 мм на плане = 10 мм в реальности).
<br><b>Шаг 2. Периметр прямоугольника (реальный).</b>
<br>Реальные размеры: $20\\cdot10=200$ мм и $15\\cdot10=150$ мм.
$$P_{\\text{пр}} = 2(200+150) = 700\\text{ мм}$$
<b>Шаг 3. Сторона квадрата.</b>
$$P_{\\text{кв}} = 700+100 = 800\\text{ мм} \\implies a = \\dfrac{800}{4}=200\\text{ мм}$$
<b>Шаг 4. Сторона квадрата на плане.</b>
$$a_{\\text{план}} = \\dfrac{200}{10} = 20\\text{ мм}$$
<svg viewBox="0 0 310 165" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:310px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<rect x="12" y="30" width="100" height="75" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<text x="62" y="72" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#334155">Прямоугольник</text>
<text x="62" y="120" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#475569">20 мм × 15 мм</text>
<rect x="155" y="18" width="100" height="100" fill="rgba(22,163,74,0.09)" stroke="#15803d" stroke-width="1.8"/>
<text x="205" y="73" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#15803d">Квадрат</text>
<text x="205" y="134" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#475569">20 мм × 20 мм</text>
<text x="12" y="13" font-size="9" fill="#64748b">план (масштаб 1:10)</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: квадрат со стороной $20$ мм на плане ($200$ мм в реальности)</div>`
},
{
text: `Точка $M$ — середина стороны $BC$ квадрата $ABCD$, площадь которого равна $40$ см².
К отрезку $DM$ проведён перпендикуляр $AK$.
Найдите площадь четырёхугольника $ABMK$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 218 215" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:218px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,25 180,25 180,185 20,185" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="20,185 180,185 180,105 84,57" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="25" x2="180" y2="105" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="20" y1="185" x2="84" y2="57" stroke="#f97316" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="84,57 88,64 81,68 77,61" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="180" cy="105" r="3.5" fill="#334155"/>
<circle cx="84" cy="57" r="3.5" fill="#f97316"/>
<text x="6" y="192" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="183" y="192" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="183" y="21" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="6" y="21" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="184" y="108" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
<text x="68" y="52" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#f97316">K</text>
<text x="108" y="130" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">ABMK</text>
</svg>
<b>Формула площади квадрата:</b> $S_{ABCD}=a^2$, где $a$ — сторона. По условию $a^2 = 40$.
<br><b>Метод решения:</b> используем координаты, чтобы найти точку $K$ — пересечение прямой $DM$ и проходящего через $A$ перпендикуляра к ней.
<br><b>Шаг 1.</b> Введём координаты: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$. Точка $M$ — середина $BC$, поэтому $M\\bigl(a;\\,\\dfrac{a}{2}\\bigr)$.
<br><b>Шаг 2.</b> Уравнение прямой $DM$: проходит через $D(0;a)$ и $M(a;\\,a/2)$. Угловой коэффициент:
$$k_{DM} = \\dfrac{a/2-a}{a-0} = -\\dfrac{1}{2}$$
Уравнение: $y = -\\dfrac{1}{2}x + a$.
<br><b>Шаг 3.</b> Прямая $AK$ перпендикулярна $DM$. Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно $-1$, значит $k_{AK}=2$. Прямая проходит через $A(0;0)$, поэтому $y=2x$.
<br><b>Шаг 4.</b> Точка $K$ — пересечение этих прямых:
$$2x = -\\dfrac{1}{2}x + a \\;\\implies\\; \\dfrac{5}{2}x = a \\;\\implies\\; x = \\dfrac{2a}{5}$$
$$y = 2\\cdot\\dfrac{2a}{5} = \\dfrac{4a}{5}$$
Значит, $K\\bigl(\\dfrac{2a}{5};\\,\\dfrac{4a}{5}\\bigr)$.
<br><b>Шаг 5.</b> Найдём площадь четырёхугольника $ABMK$ (вершины обходятся по порядку $A\\to B\\to M\\to K$) по формуле площади многоугольника через координаты (формула «шнурков»):
$$S = \\dfrac{1}{2}|x_A(y_B-y_K)+x_B(y_M-y_A)+x_M(y_K-y_B)+x_K(y_A-y_M)|$$
$$= \\dfrac{1}{2}\\left|0+a\\cdot\\dfrac{a}{2}+a\\cdot\\dfrac{4a}{5}+\\dfrac{2a}{5}\\cdot\\left(-\\dfrac{a}{2}\\right)\\right|$$
$$= \\dfrac{1}{2}\\left|\\dfrac{a^2}{2}+\\dfrac{4a^2}{5}-\\dfrac{a^2}{5}\\right| = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{11a^2}{10} = \\dfrac{11a^2}{20}$$
<b>Шаг 6.</b> Подставим $a^2=40$:
$$S = \\dfrac{11\\cdot 40}{20} = 22\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $22$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v27.js
+236
View File
@@ -0,0 +1,236 @@
VARIANTS[27] = {
label: "Вариант 27",
tasks: [
{
text: `Какое из приведённых ниже выражений тождественно равно произведению $-x(-x+3)$:`,
opts: [
["а", "$x^2-3x$"], ["б", "$x^2+3x$"], ["в", "$x^2+3$"],
["г", "$x^2-3$"], ["д", "$3x-x^2$"],
],
sol: `Раскрываем скобки:
$$-x(-x+3) = (-x)\\cdot(-x) + (-x)\\cdot3 = x^2 - 3x$$
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$x^2-3x$</div>`
},
{
text: `Определите промежуток, которому принадлежит значение выражения
$\\left(1\\dfrac{4}{5}+1\\right):2$:`,
opts: [
["а", "$(1;\\;2)$"], ["б", "$(2;\\;3)$"], ["в", "$(1;\\;1{,}1)$"],
["г", "$(0;\\;1)$"], ["д", "$(0;\\;0{,}5)$"],
],
sol: `Переводим смешанное число: $1\\dfrac{4}{5} = \\dfrac{9}{5}$.
$$\\left(\\dfrac{9}{5}+1\\right):2 = \\dfrac{14}{5}:2 = \\dfrac{14}{10} = \\dfrac{7}{5} = 1{,}4$$
Так как $1 < 1{,}4 < 2$, значение принадлежит промежутку $(1;\\,2)$.
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$(1;\\;2)$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту;"],
["б", "медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $3:1$;"],
["в", "касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания;"],
["г", "катет в любом прямоугольном треугольнике всегда меньше гипотенузы?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) $S_{\\text{трап}}=\\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$ — <b>верно</b></li>
<li>б) Медианы делятся точкой пересечения в отношении $\\mathbf{2:1}$ от вершины, а не $3:1$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>в) Касательная $\\perp$ радиусу в точке касания — <b>верно</b></li>
<li>г) Катет $<$ гипотенузы — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Решите неравенство $\\dfrac{(x-3)^2(x+1)}{(x-2)^3} \\leq 0$ и запишите ответ.`,
sol: `<b>Числитель:</b> $(x-3)^2\\geq0$ всегда, обнуляется при $x=3$. Знак числителя = знак $(x+1)$:
<ul>
<li>$x < -1$: числитель $< 0$</li>
<li>$x = -1$: числитель $= 0$</li>
<li>$x > -1$, $x\\neq3$: числитель $> 0$</li>
<li>$x = 3$: числитель $= 0$</li>
</ul>
<b>Знаменатель:</b> $(x-2)^3$ имеет знак $(x-2)$: отрицателен при $x<2$, равен $0$ при $x=2$ (ОДЗ: $x\\neq2$), положителен при $x>2$.
<br><b>Дробь $\\leq0$:</b>
<table style="border-collapse:collapse;font-size:13px;margin:6px 0">
<tr><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">Случай</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">Числитель</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">Знаменатель</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">Дробь</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$x<-1$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$-$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$-$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$+$ ✗</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$x=-1$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$0$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$-$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$0$ ✓</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$-1\\lt x\\lt 2$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$+$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$-$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$-$ ✓</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$x=2$</td><td colspan="3" style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">не определена ✗</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$2\\lt x\\lt 3$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$+$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$+$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$+$ ✗</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$x=3$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$0$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$+$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$0$ ✓</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$x>3$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$+$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$+$</td><td style="padding:3px 8px;border:1px solid #cbd5e1">$+$ ✗</td></tr>
</table>
<svg viewBox="0 0 290 56" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:290px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
<defs><marker id="v27t4" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="28" x2="282" y2="28" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v27t4)"/>
<line x1="60" y1="24" x2="60" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="60" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
<line x1="140" y1="24" x2="140" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="140" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">2</text>
<line x1="210" y1="24" x2="210" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="210" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3</text>
<line x1="60" y1="28" x2="140" y2="28" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
<circle cx="60" cy="28" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="140" cy="28" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="210" cy="28" r="5" fill="#2563eb"/>
<text x="95" y="16" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">≤ 0</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $x\\in[-1;\\;2)\\cup\\{3\\}$</div>`
},
{
text: `Для украшения двух этажей поместья Деда Мороза было использовано $150$ лампочек.
Для украшения первого этажа потребовалось вдвое больше лампочек, чем для второго.
Сколько лампочек было использовано для украшения второго этажа?`,
sol: `<b>Метод введения переменной:</b> то, о чём спрашивают, обозначим переменной и составим уравнение по условию задачи.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть для украшения второго этажа использовали $x$ лампочек. По условию для первого этажа потребовалось вдвое больше, значит $2x$ лампочек.
<br><b>Шаг 2.</b> Всего на оба этажа израсходовано $150$ лампочек, значит:
$$x + 2x = 150.$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем уравнение, приводя подобные слагаемые:
$$3x = 150 \\;\\implies\\; x = \\dfrac{150}{3} = 50.$$
<b>Шаг 4.</b> Значит, для второго этажа использовали $50$ лампочек (а для первого — $2\\cdot 50=100$, сумма $100+50=150$ — сходится с условием).
<div class="sol-ans">Ответ: $50$ лампочек</div>`
},
{
text: `Дан треугольник $ABC$, серединные перпендикуляры к его сторонам $AC$ и $BC$
пересекаются в точке $O$. Докажите, что серединный перпендикуляр к стороне $AB$
проходит через точку $O$.`,
sol: `<b>Доказательство.</b>
<svg viewBox="0 0 280 250" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="40,185 226,185 115,40" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<line x1="133" y1="36" x2="133" y2="195" stroke="#16a34a" stroke-width="2" stroke-dasharray="7,4"/>
<line x1="44" y1="95" x2="160" y2="156" stroke="#dc2626" stroke-width="2" stroke-dasharray="7,4"/>
<line x1="200" y1="92" x2="108" y2="160" stroke="#9333ea" stroke-width="2" stroke-dasharray="7,4"/>
<polygon points="133,185 143,185 143,175 133,175" fill="rgba(22,163,74,0.12)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="78,113 83,104 92,109 87,118" fill="rgba(220,38,38,0.1)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="171,113 165,105 157,111 163,119" fill="rgba(147,51,234,0.1)" stroke="#9333ea" stroke-width="1.5"/>
<line x1="133" y1="141" x2="40" y2="185" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="133" y1="141" x2="226" y2="185" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="133" y1="141" x2="115" y2="40" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="86" y1="160" x2="89" y2="166" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2"/>
<line x1="82" y1="162" x2="85" y2="168" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2"/>
<line x1="181" y1="160" x2="178" y2="166" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2"/>
<line x1="185" y1="162" x2="182" y2="168" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2"/>
<line x1="121" y1="92" x2="127" y2="90" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2"/>
<line x1="121" y1="88" x2="127" y2="86" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2"/>
<circle cx="133" cy="141" r="5" fill="#1e293b"/>
<text x="22" y="200" font-size="16" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="231" y="200" font-size="16" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="110" y="30" font-size="16" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="138" y="138" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">O</text>
<text x="52" y="168" font-size="12" fill="#2563eb" font-style="italic">OA</text>
<text x="188" y="168" font-size="12" fill="#2563eb" font-style="italic">OB</text>
<text x="118" y="78" font-size="12" fill="#2563eb" font-style="italic">OC</text>
<text x="16" y="118" font-size="11" fill="#dc2626">⊥ к AC</text>
<text x="193" y="118" font-size="11" fill="#9333ea">⊥ к BC</text>
<text x="137" y="210" font-size="11" fill="#16a34a" text-anchor="middle">⊥ к AB</text>
<text x="140" y="240" font-size="12" text-anchor="middle" fill="#2563eb" font-weight="bold">OA = OB = OC</text>
</svg>
На рисунке: три серединных перпендикуляра (<span style="color:#dc2626">к $AC$</span>, <span style="color:#9333ea">к $BC$</span>, <span style="color:#16a34a">к $AB$</span>) сходятся в одной точке $O$. Двойные засечки показывают $OA=OB=OC$.
<br><br>
Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$:
$$OA = OC \\quad \\text{(все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка)}$$
Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $BC$:
$$OB = OC$$
Из двух равенств:
$$OA = OC = OB \\implies OA = OB$$
Значит, $O$ равноудалена от $A$ и $B$, то есть лежит на серединном перпендикуляре к $AB$. ∎
<div class="sol-ans">Доказано: $OA=OC=OB$, поэтому $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $0{,}2(x-2) = 2{,}5 : 0{,}5$
и запишите число, обратное корню уравнения.`,
sol: `<b>Свойство обратного числа:</b> число, обратное $a$ (при $a\\neq 0$), равно $\\dfrac{1}{a}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Сначала упростим правую часть. По правилу деления: $2{,}5 : 0{,}5 = \\dfrac{2{,}5}{0{,}5} = 5$. Получаем уравнение:
$$0{,}2(x-2) = 5$$
<b>Шаг 2.</b> Чтобы найти $x-2$, разделим обе части на $0{,}2$:
$$x-2 = \\dfrac{5}{0{,}2} = 25$$
<b>Шаг 3.</b> Прибавим $2$ к обеим частям:
$$x = 25 + 2 = 27$$
<b>Шаг 4.</b> Число, обратное корню $x=27$, равно:
$$\\dfrac{1}{27}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{1}{27}$</div>`
},
{
text: `К задуманному числу $x$, умноженному на $4$, прибавили число, в $2$ раза большее задуманного.
Полученную сумму умножили на $5$ и от полученного произведения вычли число,
в $8$ раз большее $x$. В результате получили число $y$.
Определите вид зависимости числа $y$ от числа $x$.`,
sol: `<b>Прямая пропорциональность:</b> это зависимость вида $y=kx$, где $k$ — постоянное число, отличное от нуля. График такой функции — прямая, проходящая через начало координат.
<br><b>Шаг 1.</b> Запишем по условию, что значит «задуманное число $x$, умноженное на $4$»: это $4x$. Число, в $2$ раза большее задуманного, — это $2x$.
<br><b>Шаг 2.</b> Найдём сумму этих чисел:
$$4x + 2x = 6x.$$
<b>Шаг 3.</b> По условию полученную сумму умножили на $5$:
$$5\\cdot 6x = 30x.$$
<b>Шаг 4.</b> Из этого произведения вычли число, в $8$ раз большее $x$ (то есть $8x$):
$$y = 30x - 8x = 22x.$$
<b>Шаг 5.</b> Получили зависимость $y=22x$. Так как это запись вида $y=kx$ с $k=22\\neq 0$, перед нами прямая пропорциональность.
<div class="sol-ans">Ответ: прямая пропорциональность $y=22x$</div>`
},
{
text: `Сколько решений имеет система уравнений
$$\\begin{cases} x^2 + xy = 15, \\\\[4pt] y^2 + xy = 10? \\end{cases}$$
Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Формула квадрата суммы:</b> $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.
<br><b>Метод решения:</b> комбинируя уравнения (сложение и вычитание), сводим систему к простой.
<br><b>Шаг 1.</b> Сложим уравнения почленно:
$$x^2+xy+y^2+xy = 15+10$$
$$x^2+2xy+y^2 = 25 \\;\\implies\\; (x+y)^2 = 25$$
Отсюда $x+y = 5$ или $x+y = -5$.
<br><b>Шаг 2.</b> Вычтем второе уравнение из первого:
$$x^2+xy - (y^2+xy) = 15 - 10$$
$$x^2 - y^2 = 5 \\;\\implies\\; (x-y)(x+y) = 5$$
<b>Шаг 3. Случай 1:</b> $x+y = 5$. Подставим в $(x-y)(x+y) = 5$:
$$(x-y)\\cdot 5 = 5 \\;\\implies\\; x-y = 1$$
Решаем систему $x+y=5$ и $x-y=1$: $x=3$, $y=2$.
<br><b>Шаг 4. Случай 2:</b> $x+y = -5$. Подставим:
$$(x-y)\\cdot (-5) = 5 \\;\\implies\\; x-y = -1$$
Решаем систему $x+y=-5$ и $x-y=-1$: $x=-3$, $y=-2$.
<br><b>Шаг 5. Проверка.</b>
<br>Для $(3;\\,2)$:&ensp;$3^2+3\\cdot 2 = 9+6 = 15$ ✓,&ensp;$2^2+3\\cdot 2 = 4+6 = 10$ ✓.
<br>Для $(-3;\\,-2)$:&ensp;$(-3)^2+(-3)\\cdot(-2) = 9+6 = 15$ ✓,&ensp;$(-2)^2+(-3)\\cdot(-2) = 4+6 = 10$ ✓.
<br>Получили ровно $2$ решения.
<div class="sol-ans">Ответ: $2$ решения — $(3;\\,2)$ и $(-3;\\,-2)$</div>`
},
{
text: `В параллелограмме $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны.
Высота $BH$, проведённая к стороне $AD$, пересекает диагональ $AC$ в точке $K$;
$BK = 10$ см, $KH = 6$ см. Найдите площадь параллелограмма.`,
sol: `<b>Шаг 1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб.</b>
<br>В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Если они ещё и перпендикулярны, то по теореме Пифагора все стороны равны (ромб). Обозначим сторону $a$, угол $\\angle DAB = \\beta$.
<svg viewBox="0 0 225 140" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:280px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,115 80,35 180,35 120,115" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="80" y1="35" x2="80" y2="115" stroke="#f97316" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="115" x2="180" y2="35" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="80" y1="35" x2="120" y2="115" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="80,115 88,115 88,107 80,107" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="100" cy="75" r="3" fill="#334155"/>
<circle cx="80" cy="85" r="3.5" fill="#f97316"/>
<text x="6" y="123" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="73" y="28" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="183" y="30" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="122" y="128" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="73" y="123" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">H</text>
<text x="83" y="83" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#f97316">K</text>
<text x="103" y="72" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="85" y="62" font-size="10" fill="#f97316">10</text>
<text x="85" y="102" font-size="10" fill="#f97316">6</text>
</svg>
<b>Шаг 2. Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$ в ромбе.</b>
<br>В ромбе диагональ делит угол пополам: $\\angle DAC = \\angle BAC = \\dfrac{\\beta}{2}$.
<br><b>Шаг 3. Применяем теорему о биссектрисе к $\\triangle ABH$.</b>
<br>В прямоугольном $\\triangle ABH$ ($\\angle H = 90°$) отрезок $AK$ является <b>биссектрисой</b> угла $A$ (т.к. $AK$ лежит на диагонали ромба $AC$, которая делит $\\angle BAH = \\beta$ пополам).
<br>По теореме о биссектрисе треугольника биссектриса делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон:
$$\\dfrac{BK}{KH} = \\dfrac{AB}{AH}$$
В прямоугольном $\\triangle ABH$: $AH = AB\\cos\\beta$, поэтому:
$$\\dfrac{BK}{KH} = \\dfrac{AB}{AB\\cos\\beta} = \\dfrac{1}{\\cos\\beta}$$
$$\\cos\\beta = \\dfrac{KH}{BK} = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}$$
<b>Шаг 4. Находим $\\sin\\beta$.</b>
$$\\sin\\beta = \\sqrt{1 - \\cos^2\\beta} = \\sqrt{1 - \\dfrac{9}{25}} = \\sqrt{\\dfrac{16}{25}} = \\dfrac{4}{5}$$
<b>Шаг 5. Находим сторону ромба $a$.</b>
<br>В прямоугольном $\\triangle ABH$: $BH = AB\\cdot\\sin\\beta$:
$$BH = BK + KH = 10 + 6 = 16\\text{ см}$$
$$a = AB = \\dfrac{BH}{\\sin\\beta} = \\dfrac{16}{\\tfrac{4}{5}} = 20\\text{ см}$$
<b>Шаг 6. Площадь параллелограмма.</b>
$$S = AD\\cdot BH = a\\cdot BH = 20\\cdot16 = 320\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $320$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v28.js
+190
View File
@@ -0,0 +1,190 @@
VARIANTS[28] = {
label: "Вариант 28",
tasks: [
{
text: `Какое из приведённых ниже выражений тождественно равно произведению $-x(x-4)$:`,
opts: [
["а", "$x^2+4x$"], ["б", "$x^2-4x$"], ["в", "$x^2+4$"],
["г", "$x^2-4$"], ["д", "$4x-x^2$"],
],
sol: `Раскрываем скобки:
$$-x(x-4) = (-x)\\cdot x + (-x)\\cdot(-4) = -x^2+4x = 4x-x^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$4x-x^2$</div>`
},
{
text: `Определите промежуток, которому принадлежит значение выражения
$\\left(1\\dfrac{1}{4}+1\\right):3$:`,
opts: [
["а", "$(2;\\;3)$"], ["б", "$(3;\\;4)$"], ["в", "$(0;\\;0{,}5)$"],
["г", "$(1;\\;2)$"], ["д", "$(0;\\;1)$"],
],
sol: `Переводим: $1\\dfrac{1}{4} = \\dfrac{5}{4}$.
$$\\left(\\dfrac{5}{4}+1\\right):3 = \\dfrac{9}{4}:3 = \\dfrac{3}{4} = 0{,}75$$
Так как $0 \\lt 0{,}75 \\lt 1$, значение принадлежит $(0;\\,1)$.
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$(0;\\;1)$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту;"],
["б", "медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $1:1$;"],
["в", "секущая имеет с окружностью ровно две общие точки;"],
["г", "гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше любого из катетов?"],
],
sol: `<ul><li>а) верно</li><li>б) Медианы делятся в отношении $\\mathbf{2:1}$, а не $1:1$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li><li>в) верно</li><li>г) верно</li></ul><div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Решите неравенство $\\dfrac{(x-3)^2(x+1)^2}{(x-2)^4} \\leq 0$ и запишите ответ.`,
sol: `$(x-3)^2(x+1)^2\\geq0$ всегда; $(x-2)^4\\gt0$ при $x\\neq2$. Дробь $\\leq0$ только когда числитель $=0$: $x=3$ или $x=-1$.
<svg viewBox="0 0 290 56" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:290px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
<defs><marker id="v28t4" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="28" x2="282" y2="28" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v28t4)"/>
<line x1="60" y1="24" x2="60" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="60" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
<line x1="140" y1="24" x2="140" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="140" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">2</text>
<line x1="210" y1="24" x2="210" y2="32" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="210" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3</text>
<circle cx="60" cy="28" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="140" cy="28" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="210" cy="28" r="5" fill="#2563eb"/>
<text x="135" y="16" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">= 0</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $x=-1$ или $x=3$</div>`
},
{
text: `В банк заданий для подготовки к экзамену включено $180$ задач.
Из них задач по алгебре на $50$ больше, чем по геометрии.
Сколько задач по алгебре включено в банк?`,
sol: `<b>Метод введения переменной:</b> обозначим за $x$ количество того, чего меньше, и составим уравнение по сумме.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть в банке $x$ задач по геометрии. Тогда задач по алгебре на $50$ больше, то есть $x+50$.
<br><b>Шаг 2.</b> Всего задач $180$, значит:
$$x + (x+50) = 180.$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем уравнение, приведя подобные слагаемые:
$$2x + 50 = 180 \\;\\implies\\; 2x = 130 \\;\\implies\\; x = 65.$$
<b>Шаг 4.</b> Это количество задач по геометрии. По алгебре их на $50$ больше:
$$x + 50 = 65 + 50 = 115.$$
<b>Проверка:</b> $65+115 = 180$ — совпадает с условием.
<div class="sol-ans">Ответ: $115$ задач по алгебре</div>`
},
{
text: `Дан треугольник $ABC$, биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$.
Докажите, что биссектриса угла $B$ проходит через точку $O$.`,
sol: `<b>Доказательство.</b>
<svg viewBox="0 0 280 250" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="40,185 226,185 115,40" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<line x1="40" y1="185" x2="170" y2="113" stroke="#dc2626" stroke-width="2" stroke-dasharray="7,4"/>
<line x1="226" y1="185" x2="95" y2="113" stroke="#9333ea" stroke-width="2" stroke-dasharray="7,4"/>
<line x1="115" y1="40" x2="133" y2="185" stroke="#16a34a" stroke-width="2" stroke-dasharray="7,4"/>
<line x1="133" y1="143" x2="133" y2="185" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="133" y1="143" x2="90" y2="113" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="133" y1="143" x2="176" y2="113" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="3,2"/>
<polygon points="133,185 141,185 141,177 133,177" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="90,113 96,107 102,113 96,119" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="176,113 170,107 164,113 170,119" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="133" cy="143" r="5" fill="#1e293b"/>
<text x="22" y="200" font-size="16" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="231" y="200" font-size="16" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="110" y="30" font-size="16" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="138" y="140" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">O</text>
<text x="50" y="118" font-size="11" fill="#dc2626">бисс. A</text>
<text x="173" y="118" font-size="11" fill="#9333ea">бисс. C</text>
<text x="137" y="65" font-size="11" fill="#16a34a">бисс. B</text>
<text x="140" y="240" font-size="12" text-anchor="middle" fill="#2563eb" font-weight="bold">d(O,AB)=d(O,BC)=d(O,AC)</text>
</svg>
Точка $O$ на биссектрисе угла $A$ — $d(O,AB)=d(O,AC)$. Точка $O$ на биссектрисе угла $C$ — $d(O,BC)=d(O,AC)$. Следовательно $d(O,AB)=d(O,BC)$ — $O$ на биссектрисе угла $B$. &#8718;<div class="sol-ans">Доказано: $O$ равноудалена от сторон $AB$ и $BC$, значит лежит на биссектрисе угла $B$</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $(x+2) \\cdot 0{,}5 = \\dfrac{2}{3} \\cdot 2$
и запишите число, противоположное корню уравнения.`,
sol: `<b>Свойство противоположного числа:</b> число, противоположное $a$, равно $-a$.
<br><b>Шаг 1.</b> Вычислим правую часть уравнения:
$$\\dfrac{2}{3}\\cdot 2 = \\dfrac{4}{3}$$
Получаем уравнение:
$$(x+2)\\cdot 0{,}5 = \\dfrac{4}{3}$$
<b>Шаг 2.</b> Чтобы найти $x+2$, разделим обе части на $0{,}5$ (то есть умножим на $2$):
$$x+2 = \\dfrac{4}{3}\\cdot 2 = \\dfrac{8}{3}$$
<b>Шаг 3.</b> Вычтем $2$ из обеих частей:
$$x = \\dfrac{8}{3} - 2 = \\dfrac{8}{3} - \\dfrac{6}{3} = \\dfrac{2}{3}$$
<b>Шаг 4.</b> Число, противоположное корню $x=\\dfrac{2}{3}$, равно $-\\dfrac{2}{3}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{2}{3}$</div>`
},
{
text: `К задуманному числу $x$, умноженному на $2$, прибавили число, в $3$ раза большее задуманного.
Полученную сумму умножили на $7$ и от полученного произведения вычли число,
в $7$ раз большее $x$. В результате получили число $y$.
Определите вид зависимости числа $y$ от числа $x$.`,
sol: `<b>Прямая пропорциональность:</b> зависимость вида $y=kx$, где $k$ — постоянное число, отличное от нуля.
<br><b>Шаг 1.</b> Запишем по условию: задуманное число $x$, умноженное на $2$, — это $2x$. Число, в $3$ раза большее задуманного, — это $3x$.
<br><b>Шаг 2.</b> Найдём их сумму:
$$2x + 3x = 5x.$$
<b>Шаг 3.</b> Полученную сумму умножили на $7$:
$$7\\cdot 5x = 35x.$$
<b>Шаг 4.</b> Из произведения вычли число, в $7$ раз большее $x$ (то есть $7x$):
$$y = 35x - 7x = 28x.$$
<b>Шаг 5.</b> Получили зависимость $y=28x$. Это запись вида $y=kx$ с $k=28\\neq 0$, значит перед нами прямая пропорциональность.
<div class="sol-ans">Ответ: прямая пропорциональность $y=28x$</div>`
},
{
text: `Сколько решений имеет система уравнений
$$\\begin{cases} x^2 - xy = 9, \\\\[4pt] y^2 - xy = 16? \\end{cases}$$
Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$.
<br><b>Метод решения:</b> комбинируя уравнения (сложение и вычитание), сводим систему к более простой.
<br><b>Шаг 1.</b> Сложим уравнения почленно:
$$x^2-xy+y^2-xy = 9+16$$
$$x^2-2xy+y^2 = 25 \\;\\implies\\; (x-y)^2 = 25$$
Отсюда $x-y = 5$ или $x-y = -5$.
<br><b>Шаг 2.</b> Вычтем первое уравнение из второго:
$$y^2-xy - (x^2-xy) = 16 - 9$$
$$y^2 - x^2 = 7 \\;\\implies\\; (y-x)(y+x) = 7$$
<b>Шаг 3. Случай 1:</b> $x-y = 5$, значит $y-x = -5$. Подставляем:
$$-5\\cdot(y+x) = 7 \\;\\implies\\; y+x = -\\dfrac{7}{5}$$
Решаем систему $x-y=5$ и $x+y=-\\dfrac{7}{5}$. Складывая: $2x = 5-\\dfrac{7}{5} = \\dfrac{18}{5}$, откуда $x=\\dfrac{9}{5}$, а $y = x-5 = -\\dfrac{16}{5}$.
<br><b>Шаг 4. Случай 2:</b> $x-y = -5$, значит $y-x = 5$:
$$5\\cdot(y+x) = 7 \\;\\implies\\; y+x = \\dfrac{7}{5}$$
Решаем $x-y=-5$ и $x+y=\\dfrac{7}{5}$. Складывая: $2x = -5+\\dfrac{7}{5} = -\\dfrac{18}{5}$, поэтому $x=-\\dfrac{9}{5}$, $y=\\dfrac{16}{5}$.
<br><b>Шаг 5.</b> Получили ровно $2$ решения: $\\bigl(\\dfrac{9}{5};\\,-\\dfrac{16}{5}\\bigr)$ и $\\bigl(-\\dfrac{9}{5};\\,\\dfrac{16}{5}\\bigr)$.
<div class="sol-ans">Ответ: $2$ решения — $(9/5;\\,-16/5)$ и $(-9/5;\\,16/5)$</div>`
},
{
text: `В параллелограмме $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны.
Высота $BK$, проведённая к стороне $AD$, пересекает диагональ $AC$ в точке $H$;
$HK = 9$ см, $BH = 15$ см. Найдите площадь параллелограмма.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 225 140" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:280px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,115 80,35 180,35 120,115" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="80" y1="35" x2="80" y2="115" stroke="#f97316" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="115" x2="180" y2="35" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="80" y1="35" x2="120" y2="115" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="80,115 88,115 88,107 80,107" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="100" cy="75" r="3" fill="#334155"/>
<circle cx="80" cy="85" r="3.5" fill="#f97316"/>
<text x="6" y="123" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="73" y="28" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="183" y="30" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="122" y="128" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="73" y="123" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<text x="83" y="83" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#f97316">H</text>
<text x="103" y="72" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="85" y="62" font-size="10" fill="#f97316">15</text>
<text x="85" y="102" font-size="10" fill="#f97316">9</text>
</svg>
<b>Свойство параллелограмма с перпендикулярными диагоналями:</b> такой параллелограмм является ромбом (то есть все стороны равны).
<br><b>Свойство диагонали ромба:</b> диагональ ромба делит угол ромба пополам, то есть является биссектрисой.
<br><b>Основное тригонометрическое тождество:</b> $\\sin^2\\beta + \\cos^2\\beta = 1$.
<br><b>Формула площади параллелограмма:</b> $S = AD\\cdot BK$, где $BK$ — высота к стороне $AD$.
<br><b>Шаг 1.</b> Из условия диагонали параллелограмма перпендикулярны, значит $ABCD$ — ромб со стороной $a$. Обозначим $\\angle DAB = \\beta$.
<br><b>Шаг 2.</b> Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$, значит $\\angle BAC = \\angle DAC = \\dfrac{\\beta}{2}$. В прямоугольном треугольнике $ABK$ (прямой угол при $K$) точка $H$ лежит на биссектрисе $AH$ угла $A$.
<br><b>Шаг 3.</b> По теореме о биссектрисе треугольника $ABK$:
$$\\dfrac{BH}{HK} = \\dfrac{AB}{AK}$$
В $\\triangle ABK$ имеем $AK = AB\\cos\\beta$. Поэтому:
$$\\dfrac{BH}{HK} = \\dfrac{1}{\\cos\\beta} \\;\\implies\\; \\cos\\beta = \\dfrac{HK}{BH} = \\dfrac{9}{15} = \\dfrac{3}{5}$$
<b>Шаг 4.</b> По основному тригонометрическому тождеству:
$$\\sin\\beta = \\sqrt{1-\\cos^2\\beta} = \\sqrt{1-\\dfrac{9}{25}} = \\sqrt{\\dfrac{16}{25}} = \\dfrac{4}{5}$$
<b>Шаг 5.</b> Находим $BK$: это вся высота, $BK = BH + HK = 15 + 9 = 24$ см.
<br><b>Шаг 6.</b> Из прямоугольного $\\triangle ABK$: $BK = AB\\cdot\\sin\\beta$, значит:
$$a = AB = \\dfrac{BK}{\\sin\\beta} = \\dfrac{24}{\\tfrac{4}{5}} = 24\\cdot\\dfrac{5}{4} = 30\\text{ см}$$
<b>Шаг 7.</b> Применяем формулу площади параллелограмма:
$$S = AD\\cdot BK = 30\\cdot 24 = 720\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $720$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v29.js
+180
View File
@@ -0,0 +1,180 @@
VARIANTS[29] = {
label: "Вариант 29",
tasks: [
{
text: `Какой из промежутков является решением неравенства $-x > -3$:`,
opts: [
["а", "$(-\\infty;\\; 3)$"], ["б", "$(-\\infty;\\; {-3})$"], ["в", "$(3;\\; {+\\infty})$"],
["г", "$(-3;\\; {+\\infty})$"], ["д", "$[-3;\\; {+\\infty})$"],
],
sol: `Делим обе части на $-1$ (знак неравенства меняется):
$$-x > -3 \\implies x < 3$$
<svg viewBox="0 0 245 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:245px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
<defs><marker id="v29t1r" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="237" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v29t1r)"/>
<line x1="50" y1="22" x2="50" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="50" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
<line x1="110" y1="22" x2="110" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="110" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="170" y1="22" x2="170" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="170" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3</text>
<line x1="8" y1="26" x2="170" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.5"/>
<circle cx="170" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<text x="8" y="16" font-size="9" fill="#2563eb">$x &lt; 3$</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$(-\\infty;\\;3)$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $\\dfrac{0{,}6 \\cdot 0{,}3}{-0{,}6}$ равно:`,
opts: [
["а", "$0{,}3$"], ["б", "$-0{,}3$"], ["в", "$0{,}18$"],
["г", "$-0{,}18$"], ["д", "$-0{,}12$"],
],
sol: `$$\\dfrac{0{,}6\\cdot0{,}3}{-0{,}6} = \\dfrac{0{,}18}{-0{,}6} = -0{,}3$$
или короче: сокращаем $0{,}6$: $\\dfrac{\\cancel{0{,}6}\\cdot0{,}3}{-\\cancel{0{,}6}} = -0{,}3$.
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$-0{,}3$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "у любого параллелограмма диагонали перпендикулярны;"],
["б", "сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна $360^{\\circ}$;"],
["в", "квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;"],
["г", "вписанные углы окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) «У любого параллелограмма диагонали перпендикулярны» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Диагонали перпендикулярны только в <em>ромбе</em>. Например, в прямоугольнике диагонали равны, но не перпендикулярны.</li>
<li>б) Сумма углов четырёхугольника $= 360°$ — <b>верно</b></li>
<li>в) Теорема Пифагора — <b>верно</b></li>
<li>г) Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а)</div>`
},
{
text: `Приведите подобные слагаемые $2xy - 4xy + 9x + 4xy - 2x$.`,
sol: `Группируем слагаемые с $xy$ и с $x$:
$$(2xy - 4xy + 4xy) + (9x - 2x) = 2xy + 7x$$
<div class="sol-ans">Ответ: $2xy + 7x$</div>`
},
{
text: `Найдите периметр ромба, диагонали которого равны $18$ см и $24$ см.`,
sol: `<b>Свойство диагоналей ромба:</b> диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$.
<br><b>Формула периметра ромба:</b> $P = 4a$, где $a$ — сторона.
<br><b>Шаг 1.</b> По свойству диагоналей ромба они делятся точкой пересечения пополам и взаимно перпендикулярны. Половины диагоналей: $\\dfrac{18}{2}=9$ см и $\\dfrac{24}{2}=12$ см.
<svg viewBox="0 0 200 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="46,100 100,28 154,100 100,172" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="46" y1="100" x2="154" y2="100" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<line x1="100" y1="28" x2="100" y2="172" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="100,100 108,100 108,92 100,92" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="100" cy="100" r="2.5" fill="#334155"/>
<text x="28" y="106" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="102" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="158" y="106" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="102" y="186" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="103" y="97" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="62" y="95" font-size="11" fill="#475569">9</text>
<text x="126" y="95" font-size="11" fill="#475569">9</text>
<text x="104" y="68" font-size="11" fill="#475569">12</text>
<text x="104" y="140" font-size="11" fill="#475569">12</text>
<text x="50" y="58" font-size="12" fill="#1d4ed8" font-style="italic">a</text>
<text x="5" y="106" font-size="9" fill="#475569">18 см</text>
<text x="155" y="72" font-size="9" fill="#475569">24 см</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Половины диагоналей являются катетами прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза — сторона ромба $a$. По теореме Пифагора:
$$a = \\sqrt{9^2 + 12^2} = \\sqrt{81+144} = \\sqrt{225} = 15\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> Применяем формулу периметра:
$$P = 4a = 4\\cdot 15 = 60\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $60$ см</div>`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{a^2-64}{-a-8}$ и найдите значение полученного выражения при $a = -4$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Шаг 1.</b> Числитель раскладываем по формуле разности квадратов ($64 = 8^2$):
$$a^2-64 = a^2-8^2 = (a-8)(a+8)$$
<b>Шаг 2.</b> В знаменателе вынесем общий множитель $-1$:
$$-a-8 = -(a+8)$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(a+8)$ (при условии $a\\neq -8$, иначе знаменатель равен нулю):
$$\\dfrac{(a-8)(a+8)}{-(a+8)} = -(a-8) = 8-a$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $a = -4$:
$$8-(-4) = 8+4 = 12$$
<div class="sol-ans">Ответ: $8-a$;&ensp; при $a=-4$ значение равно $12$</div>`
},
{
text: `Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память.
Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии от каждой подруги,
потребовалось $42$ фотографии. Сколько было подруг?`,
sol: `<b>Метод введения переменной:</b> неизвестное количество подруг обозначим за $n$. <b>Принцип подсчёта:</b> каждая из $n$ подруг дарит свою фотографию каждой из $n-1$ остальных подруг.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть подруг было $n$. Каждая девочка дарит свою фотографию каждой из оставшихся $n-1$ подруг.
<br><b>Шаг 2.</b> Общее количество подаренных фотографий — это произведение числа дарителей на число получателей у каждой:
$$n\\cdot(n-1) = 42.$$
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем и приводим к квадратному уравнению:
$$n^2 - n - 42 = 0.$$
<b>Шаг 4.</b> Решаем через дискриминант:
$$D = (-1)^2 + 4\\cdot 42 = 1+168 = 169 = 13^2;$$
$$n = \\dfrac{1+13}{2} = 7\\;\\;\\text{(отрицательный корень не подходит, так как $n$ — натуральное)}.$$
<b>Шаг 5. Проверка:</b> $7\\cdot 6 = 42$ — совпадает с условием.
<div class="sol-ans">Ответ: $7$ подруг</div>`
},
{
text: `Найдите $\\text{НОД}(174;\\; 841;\\; 3364)$ и определите, какому множеству он принадлежит:
а) составных чисел; б) простых чисел.`,
sol: `<b>Правило нахождения НОД:</b> наибольший общий делитель — это произведение общих простых множителей чисел, взятых в наименьших степенях. <b>Простое число:</b> натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя — $1$ и само число.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим каждое число на простые множители.
$$174 = 2\\cdot 87 = 2\\cdot 3\\cdot 29;$$
$$841 = 29\\cdot 29 = 29^2;$$
$$3364 = 4\\cdot 841 = 2^2\\cdot 29^2.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём общие простые множители. В разложении $841$ нет ни $2$, ни $3$, поэтому общий множитель только один — это $29$ (в первой степени, так как наименьшая степень $29$ среди трёх разложений равна $1$):
$$\\text{НОД}(174;\\,841;\\,3364) = 29.$$
<b>Шаг 3.</b> Определим вид числа $29$. Так как $29$ делится только на $1$ и на $29$, оно является простым.
<div class="sol-ans">Ответ: НОД $= 29$, принадлежит множеству <b>простых чисел</b> (ответ б)</div>`
},
{
text: `В арифметической прогрессии сумма трёх первых членов равна $246$.
Чему равна сумма пяти первых членов этой прогрессии,
если её первый член равен разности прогрессии?`,
sol: `<b>Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:</b> $a_n = a_1 + (n-1)d$.
<br><b>Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\\cdot n$.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_1 = d$. Тогда члены прогрессии:
<br>$a_1 = d$,&ensp;$a_2 = 2d$,&ensp;$a_3 = 3d$,&ensp;$a_4 = 4d$,&ensp;$a_5 = 5d$.
<br><b>Шаг 2.</b> Сумма трёх первых членов:
$$S_3 = a_1+a_2+a_3 = d+2d+3d = 6d$$
По условию $S_3 = 246$, значит $6d = 246$, откуда $d = 41$.
<br><b>Шаг 3.</b> Сумма пяти первых членов:
$$S_5 = d+2d+3d+4d+5d = 15d = 15\\cdot 41 = 615$$
<div class="sol-ans">Ответ: $S_5 = 615$</div>`
},
{
text: `Даны треугольник $ABC$ и окружность, которая проходит через вершины $B$ и $C$
и пересекает стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках $M$ и $N$,
где $BM = 14$ см, $AN = 8$ см, $NC = 7$ см.
Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\\cos A = \\dfrac{\\sqrt{19}}{10}$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 215 175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<circle cx="102" cy="110" r="58" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="110,20 46,122 158,96" fill="rgba(22,163,74,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="91" cy="51" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="135" cy="61" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<text x="112" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="30" y="132" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="161" y="106" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="75" y="47" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
<text x="138" y="57" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">N</text>
<text x="113" y="37" font-size="10" fill="#475569">AM=?</text>
<text x="48" y="82" font-size="10" fill="#475569">BM=14</text>
<text x="132" y="38" font-size="10" fill="#475569">AN=8</text>
<text x="154" y="78" font-size="10" fill="#475569">NC=7</text>
</svg>
<b>Шаг 1. Степень точки $A$ относительно окружности.</b>
<br>Точка $A$ — внешняя, из неё проведены две секущие: $AMB$ и $ANC$. По свойству секущих:
$$AM\\cdot AB = AN\\cdot AC$$
Обозначим $AM = x$. Тогда $AB = x + 14$, $AC = 8 + 7 = 15$.
$$x(x+14) = 8\\cdot15 = 120$$
$$x^2 + 14x - 120 = 0$$
$$D = 196 + 480 = 676 = 26^2$$
$$x = \\dfrac{-14+26}{2} = 6\\text{ см}$$
Значит $AM = 6$, $AB = 6+14 = 20$ см.
<br><b>Шаг 2. Синус угла $A$.</b>
$$\\sin A = \\sqrt{1-\\cos^2 A} = \\sqrt{1 - \\dfrac{19}{100}} = \\sqrt{\\dfrac{81}{100}} = \\dfrac{9}{10}$$
<b>Шаг 3. Площадь треугольника $ABC$.</b>
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot AC\\cdot\\sin A = \\dfrac{1}{2}\\cdot20\\cdot15\\cdot\\dfrac{9}{10} = \\dfrac{1}{2}\\cdot270 = 135\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $135$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v30.js
+176
View File
@@ -0,0 +1,176 @@
VARIANTS[30] = {
label: "Вариант 30",
tasks: [
{
text: `Какой из промежутков является решением неравенства $-2x \\geq 1$:`,
opts: [
["а", "$(2;\\; {+\\infty})$"], ["б", "$(-2;\\; {+\\infty})$"], ["в", "$(-\\infty;\\; 0{,}5]$"],
["г", "$(-\\infty;\\; {-0{,}5}]$"], ["д", "$(-\\infty;\\; {-0{,}5})$"],
],
sol: `Делим обе части на $-2$ (знак неравенства меняется):
$$-2x \\geq 1 \\implies x \\leq -\\dfrac{1}{2} = -0{,}5$$
<svg viewBox="0 0 245 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:245px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
<defs><marker id="v30t1r" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="237" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v30t1r)"/>
<line x1="130" y1="22" x2="130" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="130" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="90" y1="22" x2="90" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="90" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−0,5</text>
<line x1="8" y1="26" x2="90" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.5"/>
<circle cx="90" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<text x="8" y="16" font-size="9" fill="#2563eb">$x \\leq -0{,}5$</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$(-\\infty;\\;{-0{,}5}]$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $\\dfrac{1{,}6 \\cdot 0{,}6}{-0{,}6}$ равно:`,
opts: [
["а", "$1{,}6$"], ["б", "$-1{,}6$"], ["в", "$-0{,}6$"],
["г", "$-0{,}18$"], ["д", "$-0{,}90$"],
],
sol: `$$\\dfrac{1{,}6\\cdot0{,}6}{-0{,}6} = \\dfrac{0{,}96}{-0{,}6} = -1{,}6$$
или короче: сокращаем $0{,}6$: $\\dfrac{1{,}6\\cdot\\cancel{0{,}6}}{-\\cancel{0{,}6}} = -1{,}6$.
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$-1{,}6$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "у любого параллелограмма диагонали равны;"],
["б", "сумма внутренних углов треугольника равна $180^{\\circ}$;"],
["в", "если квадрат некоторой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямоугольный;"],
["г", "вписанный угол окружности, опирающийся на диаметр, равен $90^{\\circ}$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) «У любого параллелограмма диагонали равны» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Диагонали равны только у <em>прямоугольника</em>. В произвольном параллелограмме они, как правило, неравны.</li>
<li>б) Сумма углов треугольника равна $180°$ — <b>верно</b></li>
<li>в) Обратная теорема Пифагора — <b>верно</b></li>
<li>г) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90°$ — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а)</div>`
},
{
text: `Приведите подобные слагаемые $5xy - 6xy + 9x + xy - 10x$.`,
sol: `Группируем слагаемые с $xy$ и с $x$:
$$(5xy - 6xy + xy) + (9x - 10x) = 0 + (-x) = -x$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-x$</div>`
},
{
text: `Найдите периметр ромба, диагонали которого равны $24$ см и $10$ см.`,
sol: `<b>Свойство диагоналей ромба:</b> диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2+b^2$.
<br><b>Формула периметра ромба:</b> $P = 4a$, где $a$ — сторона.
<br><b>Шаг 1.</b> Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны. Половины диагоналей: $\\dfrac{24}{2}=12$ см и $\\dfrac{10}{2}=5$ см.
<svg viewBox="0 0 240 140" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="24,70 120,22 216,70 120,118" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="24" y1="70" x2="216" y2="70" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<line x1="120" y1="22" x2="120" y2="118" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="120,70 128,70 128,62 120,62" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="120" cy="70" r="2.5" fill="#334155"/>
<text x="6" y="76" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="122" y="16" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="220" y="76" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="122" y="132" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="123" y="67" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="65" y="65" font-size="11" fill="#475569">12</text>
<text x="170" y="65" font-size="11" fill="#475569">12</text>
<text x="124" y="50" font-size="11" fill="#475569">5</text>
<text x="124" y="94" font-size="11" fill="#475569">5</text>
<text x="50" y="36" font-size="12" fill="#1d4ed8" font-style="italic">a</text>
<text x="0" y="92" font-size="9" fill="#475569">24 см</text>
<text x="190" y="42" font-size="9" fill="#475569">10 см</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Половины диагоналей — катеты прямоугольного треугольника, в котором сторона ромба $a$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:
$$a = \\sqrt{12^2 + 5^2} = \\sqrt{144+25} = \\sqrt{169} = 13\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> Применяем формулу периметра:
$$P = 4a = 4\\cdot 13 = 52\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $52$ см</div>`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{a^2-25}{a+5}$ и найдите значение полученного выражения при $a = -3$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Шаг 1.</b> Числитель раскладываем по формуле разности квадратов ($25 = 5^2$):
$$a^2-25 = a^2-5^2 = (a-5)(a+5)$$
<b>Шаг 2.</b> Сокращаем общий множитель $(a+5)$ (при условии $a\\neq -5$):
$$\\dfrac{(a-5)(a+5)}{a+5} = a-5$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем $a = -3$:
$$a-5 = -3-5 = -8$$
<div class="sol-ans">Ответ: $a-5$;&ensp; при $a=-3$ значение равно $-8$</div>`
},
{
text: `В соревнованиях по мини-футболу каждая команда сыграла с каждой по одному разу.
Оказалось, что сыграно всего $30$ игр.
Сколько команд участвовало в соревнованиях?`,
sol: `<b>Метод введения переменной:</b> неизвестное количество команд обозначим за $n$ и составим уравнение по подсчёту числа игр.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть в соревнованиях участвовало $n$ команд. Каждая из них провела ровно по $n-1$ игр (со всеми остальными командами).
<br><b>Шаг 2.</b> Подсчитаем сумму игр всех команд: $n\\cdot(n-1)$. По условию задачи это число равно $30$:
$$n(n-1) = 30.$$
<b>Шаг 3.</b> Раскроем и получим квадратное уравнение:
$$n^2 - n - 30 = 0.$$
<b>Шаг 4.</b> Решаем через дискриминант:
$$D = (-1)^2 + 4\\cdot 30 = 1+120 = 121 = 11^2;$$
$$n = \\dfrac{1+11}{2} = 6\\;\\;\\text{(отрицательный корень не подходит, так как $n$ — натуральное число)}.$$
<b>Шаг 5. Проверка:</b> $6\\cdot 5 = 30$ — совпадает с условием.
<div class="sol-ans">Ответ: $6$ команд</div>`
},
{
text: `Найдите $\\text{НОД}(158;\\; 237;\\; 790)$ и определите, какому множеству он принадлежит:
а) составных чисел; б) простых чисел.`,
sol: `<b>Правило нахождения НОД:</b> наибольший общий делитель — это произведение общих простых множителей чисел, взятых в наименьших степенях. <b>Простое число:</b> натуральное число, имеющее ровно два делителя — $1$ и само число.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим каждое число на простые множители:
$$158 = 2\\cdot 79;$$
$$237 = 3\\cdot 79;$$
$$790 = 2\\cdot 5\\cdot 79.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём общие простые множители. В первом числе нет $3$ и $5$, во втором — нет $2$ и $5$. Значит, общим для всех трёх чисел является только множитель $79$:
$$\\text{НОД}(158;\\,237;\\,790) = 79.$$
<b>Шаг 3.</b> Определим вид числа $79$. Перебором делителей: $79$ не делится на $2,\\,3,\\,5,\\,7$, а $\\sqrt{79}\\lt 9$. Значит, $79$ делится только на $1$ и на $79$ — это простое число.
<div class="sol-ans">Ответ: НОД $= 79$, принадлежит множеству <b>простых чисел</b> (ответ б)</div>`
},
{
text: `В арифметической прогрессии сумма четырёх первых членов равна $80$.
Чему равна сумма шести первых членов этой прогрессии,
если её первый член равен разности прогрессии?`,
sol: `<b>Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:</b> $a_n = a_1 + (n-1)d$.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_1 = d$. Тогда члены прогрессии:
<br>$a_1=d$,&ensp;$a_2=2d$,&ensp;$a_3=3d$,&ensp;$a_4=4d$,&ensp;$a_5=5d$,&ensp;$a_6=6d$.
<br><b>Шаг 2.</b> Сумма четырёх первых членов:
$$S_4 = d+2d+3d+4d = 10d$$
По условию $S_4 = 80$, значит $10d = 80$, откуда $d = 8$.
<br><b>Шаг 3.</b> Сумма шести первых членов:
$$S_6 = d+2d+3d+4d+5d+6d = 21d = 21\\cdot 8 = 168$$
<div class="sol-ans">Ответ: $S_6=168$</div>`
},
{
text: `Даны треугольник $ABC$ и окружность, которая проходит через вершины $A$ и $B$
и пересекает стороны $AC$ и $BC$ соответственно в точках $N$ и $M$,
где $AN = 13$ см, $BM = 8$ см, $MC = 4$ см.
Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\\cos C = \\dfrac{\\sqrt{11}}{6}$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 215 175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<circle cx="102" cy="110" r="58" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="110,20 46,122 158,96" fill="rgba(22,163,74,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="91" cy="51" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="135" cy="61" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<text x="112" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="30" y="132" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="161" y="106" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="75" y="47" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">N</text>
<text x="138" y="57" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
<text x="113" y="37" font-size="10" fill="#475569">CN=?</text>
<text x="48" y="82" font-size="10" fill="#475569">AN=13</text>
<text x="132" y="38" font-size="10" fill="#475569">CM=4</text>
<text x="154" y="78" font-size="10" fill="#475569">MB=8</text>
</svg>
<b>Теорема о двух секущих:</b> если из внешней точки проведены две секущие, то произведения «целая секущая на её внешнюю часть» равны: $CM\\cdot CB = CN\\cdot CA$.
<br><b>Основное тригонометрическое тождество:</b> $\\sin^2 C + \\cos^2 C = 1$.
<br><b>Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними:</b> $S = \\dfrac{1}{2}ab\\sin C$.
<br><b>Шаг 1.</b> Точка $C$ — внешняя для окружности. Через неё проходят две секущие: $CMB$ и $CNA$, причём $CB = CM+MB = 4+8 = 12$ см. Обозначим $CN = x$, тогда $CA = x+13$ см.
<br><b>Шаг 2.</b> По теореме о двух секущих:
$$CM\\cdot CB = CN\\cdot CA$$
$$4\\cdot 12 = x(x+13)$$
$$x^2 + 13x - 48 = 0$$
По теореме Виета или через дискриминант: $D = 169 + 192 = 361 = 19^2$, $x = \\dfrac{-13+19}{2} = 3$ (берём положительный корень). Значит $CN = 3$, $CA = 16$ см.
<br><b>Шаг 3.</b> Находим $\\sin C$ по основному тригонометрическому тождеству:
$$\\sin C = \\sqrt{1-\\cos^2 C} = \\sqrt{1-\\dfrac{11}{36}} = \\sqrt{\\dfrac{25}{36}} = \\dfrac{5}{6}$$
<b>Шаг 4.</b> Площадь треугольника $ABC$ по формуле через две стороны и угол $C$ (это угол между сторонами $CA$ и $CB$):
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot CA\\cdot CB\\cdot\\sin C = \\dfrac{1}{2}\\cdot 16\\cdot 12\\cdot\\dfrac{5}{6} = 80\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $80$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v31.js
+209
View File
@@ -0,0 +1,209 @@
VARIANTS[31] = {
label: "Вариант 31",
tasks: [
{
text: `Значение выражения $3 : \\dfrac{3}{5} + 7$ равно:`,
opts: [
["а", "$9$"], ["б", "$12$"], ["в", "$8{,}4$"],
["г", "$7{,}2$"], ["д", "$11$"],
],
sol: `$$3:\\dfrac{3}{5}+7 = 3\\cdot\\dfrac{5}{3}+7 = 5+7 = 12$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$12$</div>`
},
{
text: `Запись выражения $\\dfrac{3m}{n^3} \\cdot \\dfrac{n}{m}$ в виде дроби имеет вид:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{3}{n^3}$"], ["б", "$\\dfrac{n^4}{3m^2}$"], ["в", "$\\dfrac{3}{n^2}$"],
["г", "$\\dfrac{3m^2}{n^4}$"], ["д", "$\\dfrac{3n}{m}$"],
],
sol: `Сокращаем $m$ и одну степень $n$:
$$\\dfrac{3m}{n^3}\\cdot\\dfrac{n}{m} = \\dfrac{3\\cancel{m}\\cdot\\cancel{n}}{n^3\\cdot\\cancel{m}\\cdot\\cancel{1}} = \\dfrac{3}{n^2}$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$\\dfrac{3}{n^2}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "окружность, вписанная в треугольник, касается всех его сторон;"],
["б", "синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;"],
["в", "средняя линия треугольника равна половине его основания;"],
["г", "радиус описанной окружности треугольника со стороной $a$ и углом $\\alpha$ находится из формулы $\\dfrac{a}{\\sin\\alpha} = 2R$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Вписанная окружность касается всех сторон — <b>верно</b></li>
<li>б) «Синус равен отношению <em>прилежащего</em> катета к гипотенузе» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Синус = <em>противолежащий</em> катет / гипотенуза. Прилежащий катет / гипотенуза — это <em>косинус</em>.</li>
<li>в) Средняя линия треугольника $=$ половина основания — <b>верно</b></li>
<li>г) Теорема синусов: $\\dfrac{a}{\\sin\\alpha}=2R$ — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Расстояние между городами на карте $5$ см.
Определите это расстояние на местности, если масштаб карты $1 : 100\\,000$.`,
sol: `Масштаб $1:100\\,000$ означает: $1$ см на карте $= 100\\,000$ см $= 1$ км на местности.
$$5\\text{ см}\\times100\\,000 = 500\\,000\\text{ см} = 5\\text{ км}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $5$ км</div>`
},
{
text: `На покраску пола в спортивном зале школы израсходовали $32$ кг краски,
что составило $\\dfrac{1}{4}$ всей купленной краски.
Сколько всего килограммов краски было куплено?`,
sol: `<b>Правило нахождения числа по его части:</b> чтобы найти всё число, зная его часть $\\dfrac{m}{n}$, нужно эту часть разделить на $\\dfrac{m}{n}$ (или умножить на обратную дробь $\\dfrac{n}{m}$).
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть всего было куплено $x$ кг краски. По условию израсходованные $32$ кг составляют $\\dfrac{1}{4}$ от $x$:
$$\\dfrac{1}{4}\\cdot x = 32.$$
<b>Шаг 2.</b> Умножим обе части уравнения на $4$, чтобы найти $x$:
$$x = 32\\cdot 4 = 128\\text{ кг}.$$
<b>Проверка:</b> $\\dfrac{1}{4}\\cdot 128 = 32$ — совпадает с условием.
<div class="sol-ans">Ответ: $128$ кг</div>`
},
{
text: `Найдите наименьшее целое решение двойного неравенства $-12 < 2x - 6 \\leq 4$.`,
sol: `<b>Метод решения двойного неравенства:</b> выполняем одинаковые действия со всеми тремя частями (прибавлять, вычитать, умножать или делить на положительное число — знак сохраняется; на отрицательное — меняется).
<br><b>Шаг 1.</b> Прибавим $6$ ко всем трём частям:
$$-12+6 \\lt 2x-6+6 \\leq 4+6$$
$$-6 \\lt 2x \\leq 10$$
<b>Шаг 2.</b> Разделим все части на $2$ (положительное число, знак не меняется):
$$-3 \\lt x \\leq 5$$
<svg viewBox="0 0 260 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
<defs><marker id="v31t6" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="252" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v31t6)"/>
<line x1="28" y1="22" x2="28" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="28" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
<line x1="53" y1="22" x2="53" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="53" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−2</text>
<line x1="103" y1="22" x2="103" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="103" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="203" y1="22" x2="203" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="203" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">5</text>
<line x1="28" y1="26" x2="203" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.5"/>
<circle cx="28" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="203" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="53" cy="26" r="6" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="2.5"/>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> Так как левое неравенство строгое, $x=-3$ не подходит. Наименьшее целое число, строго большее $-3$, — это $-2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-2$</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник с периметром $28$ см, у которого $AC = 10$ см.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABD$.`,
sol: `<b>Шаг 1. Находим стороны прямоугольника.</b>
<br>Пусть $AB = a$, $AD = b$. Тогда:
$$2(a+b)=28 \\implies a+b=14$$
$$a^2+b^2 = AC^2 = 100$$
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \\implies 196 = 100+2ab \\implies ab=48$$
Из $a+b=14$, $ab=48$: решаем $t^2-14t+48=0 \\implies t=6$ или $t=8$.
Стороны: $AB=8$, $AD=6$ (или наоборот).
<svg viewBox="0 0 120 108" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:165px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<rect x="18" y="22" width="72" height="54" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3"/>
<polygon points="18,76 90,76 18,22" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="34" cy="60" r="16" fill="rgba(22,163,74,0.15)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
<path d="M18,76 L26,76 L26,68 L18,68" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<line x1="34" y1="60" x2="34" y2="76" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<text x="5" y="80" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="93" y="80" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="93" y="20" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="5" y="20" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="48" y="90" font-size="10" fill="#334155">8 см</text>
<text x="2" y="53" font-size="10" fill="#334155">6</text>
<text x="36" y="55" font-size="10" fill="#16a34a">r</text>
<text x="58" y="48" font-size="10" fill="#475569">BD=10</text>
</svg>
<b>Шаг 2. Треугольник $ABD$.</b>
<br>В прямоугольнике $\\angle DAB=90°$, поэтому $\\triangle ABD$ — <b>прямоугольный</b> с прямым углом при $A$.
Катеты: $AB=8$, $AD=6$. Гипотенуза: $BD=AC=10$.
<br><b>Шаг 3. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:</b>
$$r = \\dfrac{AB + AD - BD}{2} = \\dfrac{8+6-10}{2} = \\dfrac{4}{2} = 2\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $r = 2$ см</div>`
},
{
text: `При каких действительных значениях $a$ график функции $y = x^2 - 5x + 5a$
имеет с осью абсцисс единственную общую точку?`,
sol: `<b>Условие единственной общей точки параболы с осью $Ox$:</b> уравнение $y=0$ должно иметь ровно один корень. Для квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ это значит, что дискриминант $D = B^2-4AC$ равен нулю.
<br><b>Шаг 1.</b> Точки пересечения графика с осью $Ox$ — это корни уравнения $y=0$, то есть:
$$x^2 - 5x + 5a = 0.$$
<b>Шаг 2.</b> Чтобы было ровно одно решение, нужно $D=0$. Вычислим дискриминант ($A=1$, $B=-5$, $C=5a$):
$$D = (-5)^2 - 4\\cdot 1\\cdot 5a = 25 - 20a.$$
<b>Шаг 3.</b> Приравниваем дискриминант к нулю и решаем:
$$25 - 20a = 0 \\;\\implies\\; 20a = 25 \\;\\implies\\; a = \\dfrac{25}{20} = \\dfrac{5}{4}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $a = \\dfrac{5}{4}$</div>`
},
{
text: `Какое наименьшее число членов прогрессии $32{,}5;\\; 37{,}5;\\; 42{,}5;\\; \\ldots$
нужно взять, чтобы их сумма была больше $2160$?`,
sol: `<b>Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\\cdot n$.
<br><b>Шаг 1.</b> Из условия $a_1=32{,}5$. Разность прогрессии $d = 37{,}5-32{,}5 = 5$.
<br><b>Шаг 2.</b> Запишем формулу суммы:
$$S_n = \\dfrac{2\\cdot 32{,}5+(n-1)\\cdot 5}{2}\\cdot n = \\dfrac{65+5n-5}{2}\\cdot n = \\dfrac{n(60+5n)}{2}$$
<b>Шаг 3.</b> Запишем неравенство $S_n \\gt 2160$:
$$\\dfrac{n(60+5n)}{2} \\gt 2160$$
$$n(60+5n) \\gt 4320$$
$$5n^2+60n - 4320 \\gt 0$$
$$n^2+12n-864 \\gt 0$$
<b>Шаг 4.</b> Решаем квадратное уравнение $n^2+12n-864 = 0$:
$$D = 12^2+4\\cdot 864 = 144+3456 = 3600$$
$$\\sqrt{D} = 60,\\quad n = \\dfrac{-12+60}{2} = 24$$
Неравенство выполняется при $n \\gt 24$ (поскольку коэффициент при $n^2$ положителен и нас интересуют натуральные $n$).
<br><b>Шаг 5.</b> Проверим: при $n=24$ имеем $S_{24} = \\dfrac{24\\cdot(60+120)}{2} = \\dfrac{24\\cdot 180}{2} = 2160$ — равно, но нужно строго больше.
<br>При $n=25$: $S_{25} = \\dfrac{25\\cdot(60+125)}{2} = \\dfrac{25\\cdot 185}{2} = 2312{,}5 \\gt 2160$ ✓.
<br>Значит, наименьшее $n = 25$.
<div class="sol-ans">Ответ: наименьшее число членов $= 25$</div>`
},
{
text: `Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, $AB = CD$,
диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, угол $BAC$ равен углу $DAC$.
Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника $ACD$ равна $6$ см².`,
sol: `<b>Шаг 1. Находим угол при вершине $A$.</b>
<br>Пусть $\\angle DAC = \\angle BAC = \\alpha$. В прямоугольном $\\triangle ACD$ ($\\angle ACD=90°$):
$$\\angle DAC + \\angle ADC = 90° \\implies \\angle ADC = 90°-\\alpha$$
В равнобедренной трапеции ($AB=CD$) углы при основании $AD$ равны: $\\angle ADC = \\angle DAB$.
$$\\angle DAB = 2\\alpha \\implies 2\\alpha = 90°-\\alpha \\implies \\alpha = 30°$$
Значит, $\\angle DAB = \\angle ADC = 60°$.
<br><b>Шаг 2. Определяем размеры трапеции.</b>
<br>Треугольник $ACD$: $\\angle ACD=90°$, $\\angle DAC=30°$, $\\angle ADC=60°$ — это прямоугольный $30°$-$60°$-$90°$.
<br>Пусть $CD = a$. Тогда $AC = a\\sqrt{3}$, $AD = 2a$.
<svg viewBox="0 0 210 215" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- Треугольник ACD — зелёный -->
<polygon points="20,185 125,124 160,185" fill="rgba(22,163,74,0.20)" stroke="none"/>
<!-- Треугольник ABC — синий -->
<polygon points="20,185 55,124 125,124" fill="rgba(37,99,235,0.15)" stroke="none"/>
<!-- Контур трапеции -->
<polygon points="20,185 55,124 125,124 160,185" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<!-- Диагональ AC — красная -->
<line x1="20" y1="185" x2="125" y2="124" stroke="#dc2626" stroke-width="2.2"/>
<!-- Прямой угол при C: AC⊥CD -->
<polygon points="125,124 116,129 121,138 130,133" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.4"/>
<!-- Два равных дуговых угла при A (∠DAC = ∠BAC = 30°) -->
<path d="M 48 185 A 28 28 0 0 1 44 171" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.5"/>
<path d="M 44 171 A 28 28 0 0 1 34 161" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.5"/>
<!-- Засечки равенства на дугах -->
<line x1="45" y1="175" x2="49" y2="181" stroke="#475569" stroke-width="2"/>
<line x1="36" y1="163" x2="41" y2="168" stroke="#475569" stroke-width="2"/>
<!-- Дуга 60° при D -->
<path d="M 138 185 A 22 22 0 0 1 149 166" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.3"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="4" y="198" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="48" y="116" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="128" y="116" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="163" y="198" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
<!-- Метки углов -->
<text x="52" y="175" font-size="10" fill="#475569">30°</text>
<text x="38" y="161" font-size="10" fill="#475569">30°</text>
<text x="130" y="180" font-size="10" fill="#475569">60°</text>
<!-- Метка перпендикуляра -->
<text x="108" y="143" font-size="10" fill="#334155">90°</text>
<!-- Площади треугольников -->
<text x="102" y="168" font-size="13" fill="#15803d" font-weight="bold" text-anchor="middle">6 см²</text>
<text x="63" y="150" font-size="13" fill="#1d4ed8" font-weight="bold" text-anchor="middle">3 см²</text>
<!-- Подписи сторон -->
<text x="27" y="160" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
<text x="139" y="148" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
<text x="84" y="118" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
<text x="82" y="200" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">2a</text>
</svg>
<b>Шаг 3. Треугольник $ABC$.</b>
<br>В трапеции $AD\\|BC$, поэтому $\\angle DAB + \\angle ABC = 180°$, откуда $\\angle ABC = 120°$.
<br>В $\\triangle ABC$: $\\angle BAC=30°$, $\\angle ABC=120°$, значит $\\angle BCA = 180°-30°-120°=30°$.
<br>Поскольку $\\angle BAC = \\angle BCA = 30°$, треугольник $ABC$ — равнобедренный: $AB = BC = a$.
<br><b>Шаг 4. Площади.</b>
$$S_{ACD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot AC\\cdot CD = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\sqrt{3}\\cdot a = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} = 6$$
$$S_{ABC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot BC\\cdot\\sin(\\angle ABC) = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a\\cdot\\sin120° = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{1}{2}\\cdot6 = 3\\text{ см}^2$$
$$S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC} = 6 + 3 = 9\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $9$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v32.js
+189
View File
@@ -0,0 +1,189 @@
VARIANTS[32] = {
label: "Вариант 32",
tasks: [
{
text: `Значение выражения $7 : \\dfrac{7}{9} - 5$ равно:`,
opts: [
["а", "$1$"], ["б", "$14$"], ["в", "$4$"],
["г", "$3$"], ["д", "$2$"],
],
sol: `$7:\\dfrac{7}{9}-5 = 7\\cdot\\dfrac{9}{7}-5 = 9-5 = 4$. <div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$4$</div>`
},
{
text: `Запись выражения $\\dfrac{5a}{b^4} \\cdot \\dfrac{b}{a}$ в виде дроби имеет вид:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{5}{b^4}$"], ["б", "$\\dfrac{5a^2}{b^5}$"], ["в", "$\\dfrac{5}{b^3}$"],
["г", "$\\dfrac{b^5}{5a^2}$"], ["д", "$\\dfrac{b}{a}$"],
],
sol: `Сокращаем $a$ и $b$: $\\dfrac{5\\cancel{a}}{b^4}\\cdot\\dfrac{\\cancel{b}}{\\cancel{a}}=\\dfrac{5}{b^3}$. <div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$\\dfrac{5}{b^3}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "окружность, описанная около треугольника, проходит через все его вершины;"],
["б", "косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;"],
["в", "средняя линия трапеции равна полусумме её оснований;"],
["г", "радиус окружности, вписанной в треугольник, находится из формулы $S = pr$?"],
],
sol: `а) Описанная окружность проходит через все вершины — верно. б) «Косинус = противолежащий катет / гипотенуза» — НЕВЕРНО: это синус. Косинус = прилежащий / гипотенуза. в) Средняя линия трапеции = полусумма оснований — верно. г) $S=pr$ — верно. <div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Расстояние между городами на карте $9$ см.
Определите это расстояние на местности, если масштаб карты $1 : 1\\,000\\,000$.`,
sol: `Масштаб $1:1\\,000\\,000$: $9$ см $\\times 1\\,000\\,000 = 9\\,000\\,000$ см $= 90$ км. <div class="sol-ans">Ответ: $90$ км</div>`
},
{
text: `На подкормку рассады овощей в теплице израсходовали $12$ кг удобрений,
что составило $\\dfrac{1}{6}$ всей массы удобрений, купленных фермером.
Сколько всего килограммов удобрений было куплено?`,
sol: `<b>Правило нахождения числа по его части:</b> чтобы найти всё число, зная его часть $\\dfrac{m}{n}$, нужно эту часть разделить на $\\dfrac{m}{n}$ (или умножить на обратную дробь $\\dfrac{n}{m}$).
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть всего было куплено $x$ кг удобрений. По условию израсходованные $12$ кг составляют $\\dfrac{1}{6}$ от $x$:
$$\\dfrac{1}{6}\\cdot x = 12.$$
<b>Шаг 2.</b> Умножим обе части уравнения на $6$, чтобы выразить $x$:
$$x = 12\\cdot 6 = 72\\text{ кг}.$$
<b>Проверка:</b> $\\dfrac{1}{6}\\cdot 72 = 12$ — совпадает с условием.
<div class="sol-ans">Ответ: $72$ кг</div>`
},
{
text: `Найдите наибольшее целое решение двойного неравенства $-9 \\leq 3x - 6 < 6$.`,
sol: `<b>Метод решения двойного неравенства:</b> выполняем одинаковые действия со всеми тремя частями. При умножении или делении на отрицательное число знаки неравенств меняются; на положительное — сохраняются.
<br><b>Шаг 1.</b> Прибавим $6$ ко всем трём частям, чтобы избавиться от $-6$ в средней части:
$$-9+6 \\leq 3x-6+6 \\lt 6+6$$
$$-3 \\leq 3x \\lt 12$$
<b>Шаг 2.</b> Разделим все части на $3$ (положительное число, знаки не меняются):
$$-1 \\leq x \\lt 4$$
<svg viewBox="0 0 260 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
<defs><marker id="v32t6" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="252" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v32t6)"/>
<line x1="60" y1="22" x2="60" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="60" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
<line x1="100" y1="22" x2="100" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="100" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
<line x1="180" y1="22" x2="180" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="180" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3</text>
<line x1="220" y1="22" x2="220" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="220" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">4</text>
<line x1="60" y1="26" x2="220" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.5"/>
<circle cx="60" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="220" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="180" cy="26" r="6" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="2.5"/>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> Правое неравенство строгое, поэтому $x=4$ не подходит. Наибольшее целое, строго меньшее $4$, — это $3$.
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник с периметром $42$ см, у которого $BD = 15$ см.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ADC$.`,
sol: `<b>Формула периметра прямоугольника:</b> $P = 2(a+b)$.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2+b^2$. В прямоугольнике диагональ образует с двумя сторонами прямоугольный треугольник.
<br><b>Формула квадрата суммы:</b> $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
<br><b>Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника:</b> $r = \\dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим стороны прямоугольника $AB = a$, $AD = b$. Из периметра:
$$2(a+b) = 42 \\;\\implies\\; a+b = 21$$
<b>Шаг 2.</b> Диагональ $BD$ — гипотенуза прямоугольного $\\triangle ABD$ (прямой угол при $A$). По теореме Пифагора:
$$a^2+b^2 = BD^2 = 15^2 = 225$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём $ab$ через квадрат суммы:
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \\;\\implies\\; 21^2 = 225+2ab$$
$$441 = 225+2ab \\;\\implies\\; 2ab = 216 \\;\\implies\\; ab = 108$$
<b>Шаг 4.</b> Стороны $a$ и $b$ — корни уравнения $t^2-21t+108=0$:
$$D = 21^2-4\\cdot 108 = 441-432 = 9, \\quad \\sqrt{D} = 3$$
$$t_{1,2} = \\dfrac{21\\pm 3}{2} = 12\\text{ или } 9$$
Значит $AB=12$ см, $AD=9$ см.
<br><b>Шаг 5.</b> Треугольник $ADC$ — прямоугольный с прямым углом при $D$ (стороны прямоугольника перпендикулярны). Катеты: $AD=9$, $DC=AB=12$. Гипотенуза $AC$ равна $BD=15$ (диагонали прямоугольника равны).
<svg viewBox="0 0 120 108" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:165px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<rect x="18" y="22" width="72" height="54" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3"/>
<polygon points="18,76 18,22 90,22" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="34" cy="38" r="14" fill="rgba(22,163,74,0.15)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
<path d="M18,22 L26,22 L26,30 L18,30" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<line x1="34" y1="38" x2="18" y2="38" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<text x="5" y="80" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="93" y="80" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="93" y="20" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="5" y="20" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="48" y="18" font-size="10" fill="#334155">12 см</text>
<text x="2" y="53" font-size="10" fill="#334155">9</text>
<text x="36" y="42" font-size="10" fill="#16a34a">r</text>
<text x="42" y="58" font-size="10" fill="#475569">AC=15</text>
</svg>
<b>Шаг 6.</b> Применяем формулу радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника:
$$r = \\dfrac{AD+DC-AC}{2} = \\dfrac{9+12-15}{2} = \\dfrac{6}{2} = 3\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $r=3$ см</div>`
},
{
text: `При каких действительных значениях $a$ график функции $y = x^2 - 6x + 3a$
имеет с осью абсцисс единственную общую точку?`,
sol: `<b>Условие единственной общей точки параболы с осью $Ox$:</b> уравнение $y=0$ должно иметь ровно один корень. Для квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ это значит, что дискриминант $D=B^2-4AC$ равен нулю.
<br><b>Шаг 1.</b> Точки пересечения с осью $Ox$ — это корни уравнения $y=0$:
$$x^2 - 6x + 3a = 0.$$
<b>Шаг 2.</b> Чтобы было ровно одно решение, нужно $D=0$. Вычислим дискриминант ($A=1$, $B=-6$, $C=3a$):
$$D = (-6)^2 - 4\\cdot 1\\cdot 3a = 36 - 12a.$$
<b>Шаг 3.</b> Приравниваем к нулю и решаем:
$$36 - 12a = 0 \\;\\implies\\; 12a = 36 \\;\\implies\\; a = 3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $a = 3$</div>`
},
{
text: `Какое наименьшее число членов прогрессии $31{,}5;\\; 36{,}5;\\; 41{,}5;\\; \\ldots$
нужно взять, чтобы их сумма была больше $84$?`,
sol: `<b>Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\\cdot n$.
<br><b>Шаг 1.</b> Из условия $a_1 = 31{,}5$. Разность прогрессии $d = 36{,}5-31{,}5 = 5$.
<br><b>Шаг 2.</b> Запишем формулу суммы:
$$S_n = \\dfrac{2\\cdot 31{,}5 + (n-1)\\cdot 5}{2}\\cdot n = \\dfrac{63+5n-5}{2}\\cdot n = \\dfrac{n(58+5n)}{2}$$
<b>Шаг 3.</b> Условие $S_n \\gt 84$:
$$\\dfrac{n(58+5n)}{2} \\gt 84$$
$$5n^2+58n - 168 \\gt 0$$
<b>Шаг 4.</b> Решаем уравнение $5n^2+58n-168=0$:
$$D = 58^2+4\\cdot 5\\cdot 168 = 3364+3360 = 6724 = 82^2$$
$$n = \\dfrac{-58+82}{10} = \\dfrac{24}{10} = 2{,}4$$
Неравенство выполняется при $n \\gt 2{,}4$ (так как коэффициент при $n^2$ положителен).
<br><b>Шаг 5.</b> Наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее $n\\gt 2{,}4$, — это $n=3$.
<br><b>Проверка:</b> $S_3 = 31{,}5+36{,}5+41{,}5 = 109{,}5 \\gt 84$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
},
{
text: `Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, $AB = CD$,
диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, угол $BAC$ равен углу $DAC$.
Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника $ADC$ равна $12$ см².`,
sol: `<svg viewBox="0 0 210 215" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="20,185 125,124 160,185" fill="rgba(22,163,74,0.20)" stroke="none"/>
<polygon points="20,185 55,124 125,124" fill="rgba(37,99,235,0.15)" stroke="none"/>
<polygon points="20,185 55,124 125,124 160,185" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<line x1="20" y1="185" x2="125" y2="124" stroke="#dc2626" stroke-width="2.2"/>
<polygon points="125,124 116,129 121,138 130,133" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.4"/>
<path d="M 48 185 A 28 28 0 0 1 44 171" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.5"/>
<path d="M 44 171 A 28 28 0 0 1 34 161" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.5"/>
<line x1="45" y1="175" x2="49" y2="181" stroke="#475569" stroke-width="2"/>
<line x1="36" y1="163" x2="41" y2="168" stroke="#475569" stroke-width="2"/>
<path d="M 138 185 A 22 22 0 0 1 149 166" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.3"/>
<text x="4" y="198" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="48" y="116" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="128" y="116" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="163" y="198" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
<text x="52" y="175" font-size="10" fill="#475569">30°</text>
<text x="38" y="161" font-size="10" fill="#475569">30°</text>
<text x="130" y="180" font-size="10" fill="#475569">60°</text>
<text x="108" y="143" font-size="10" fill="#334155">90°</text>
<text x="102" y="168" font-size="13" fill="#15803d" font-weight="bold" text-anchor="middle">12 см²</text>
<text x="63" y="150" font-size="13" fill="#1d4ed8" font-weight="bold" text-anchor="middle">6 см²</text>
<text x="27" y="160" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
<text x="139" y="148" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
<text x="84" y="118" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
<text x="82" y="200" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">2a</text>
</svg>
<b>Свойство равнобедренной трапеции:</b> в равнобедренной трапеции углы при основании равны.
<br><b>Сумма углов при боковой стороне трапеции:</b> равна $180°$, так как основания параллельны.
<br><b>Свойство прямоугольного треугольника $30°$-$60°$-$90°$:</b> катет, лежащий против угла $30°$, равен половине гипотенузы.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим $\\angle DAC = \\angle BAC = \\alpha$. Тогда $\\angle DAB = 2\\alpha$.
<br><b>Шаг 2.</b> В прямоугольном $\\triangle ACD$ ($\\angle ACD = 90°$ по условию):
$$\\angle ADC = 90°-\\alpha$$
<b>Шаг 3.</b> Поскольку $ABCD$ — равнобедренная трапеция ($AB=CD$), углы при большем основании равны: $\\angle DAB = \\angle ADC$, то есть $2\\alpha = 90°-\\alpha$. Отсюда $\\alpha=30°$, значит $\\angle DAC=30°$, $\\angle ADC=60°$.
<br><b>Шаг 4.</b> В $\\triangle ACD$ обозначим $CD=a$. По свойству прямоугольного треугольника $30°$-$60°$-$90°$ катет $CD$ напротив $30°$ равен половине гипотенузы $AD$, поэтому $AD=2a$. Тогда $AC=a\\sqrt{3}$ (по теореме Пифагора или свойству).
<br><b>Шаг 5.</b> Найдём углы $\\triangle ABC$. Так как $AD\\|BC$, имеем $\\angle DAB+\\angle ABC=180°$, поэтому $\\angle ABC=180°-60°=120°$. Из суммы углов $\\triangle ABC$: $\\angle BCA = 180°-30°-120°=30°$. Поскольку $\\angle BAC=\\angle BCA=30°$, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB=BC=a$.
<br><b>Шаг 6.</b> Площадь треугольника $ABC$ (через две стороны и угол между ними):
$$S_{ABC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot BC\\cdot\\sin\\angle ABC = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a\\cdot\\sin 120° = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}$$
А площадь $\\triangle ACD$ (прямоугольный, катеты $a$ и $a\\sqrt{3}$):
$$S_{ACD} = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a\\sqrt{3} = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}$$
Видно, что $S_{ABC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot S_{ACD}$.
<br><b>Шаг 7.</b> По условию $S_{ACD}=12$ см², значит:
$$S_{ABC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 12 = 6\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 8.</b> Площадь всей трапеции:
$$S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC} = 12 + 6 = 18\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $18$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v33.js
+194
View File
@@ -0,0 +1,194 @@
VARIANTS[33] = {
label: "Вариант 33",
tasks: [
{
text: `Отношение чисел $16$ и $2$ равно:`,
opts: [
["а", "$8$"], ["б", "$32$"], ["в", "$16$"],
["г", "$14$"], ["д", "$1$"],
],
sol: `$$16 : 2 = 8$$
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$8$</div>`
},
{
text: `Запись выражения $\\dfrac{m}{n} - 1$ в виде дроби имеет вид:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{m-1}{n}$"], ["б", "$\\dfrac{1-m}{n}$"], ["в", "$\\dfrac{m-n}{n}$"],
["г", "$m - n$"], ["д", "$\\dfrac{n-m}{n}$"],
],
sol: `Приводим к общему знаменателю $n$:
$$\\dfrac{m}{n} - 1 = \\dfrac{m}{n} - \\dfrac{n}{n} = \\dfrac{m-n}{n}$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$\\dfrac{m-n}{n}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "если четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, то $\\angle A + \\angle C = 180^{\\circ}$;"],
["б", "любая медиана равнобедренного треугольника является его высотой;"],
["в", "вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается;"],
["г", "тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Противоположные углы вписанного четырёхугольника дополняют друг друга до $180°$ — <b>верно</b></li>
<li>б) «Любая медиана равнобедренного треугольника — это высота» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Медианой-высотой является только медиана, проведённая из вершинного угла к <em>основанию</em>. Медианы к боковым сторонам высотами не являются.</li>
<li>в) Вписанный угол $= \\frac{1}{2}$ дуги — <b>верно</b></li>
<li>г) $\\tan\\alpha = \\dfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{прилежащий катет}}$ — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Решите неравенство $\\dfrac{x}{2} + 3 > 0$ и укажите наименьшее целое решение этого неравенства.`,
sol: `$$\\dfrac{x}{2} > -3 \\implies x > -6$$
Решение: $x\\in(-6;\\,+\\infty)$. Наименьшее целое число, <em>строго большее</em> $-6$ — это $\\mathbf{-5}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x > -6$; наименьшее целое решение $= -5$</div>`
},
{
text: `В угол $A$ вписана окружность с центром в точке $O$, которая касается сторон угла
в точках $B$ и $C$. Найдите угол $BCO$, если $\\angle A = 64^{\\circ}$.`,
sol: `<b>Свойство касательной к окружности:</b> радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
<br>Значит, $\\angle OBA = 90°$ и $\\angle OCA = 90°$.
<svg viewBox="0 0 205 140" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:250px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<line x1="10" y1="120" x2="195" y2="120" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="30" y1="120" x2="83" y2="12" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="75" cy="92" r="28" fill="rgba(37,99,235,0.08)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
<line x1="75" y1="92" x2="75" y2="120" stroke="#2563eb" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<line x1="75" y1="92" x2="50" y2="80" stroke="#2563eb" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<line x1="75" y1="120" x2="50" y2="80" stroke="#475569" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="75,120 83,120 83,112 75,112" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="50,80 53,74 59,77 56,83" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<path d="M 48 120 A 18 18 0 0 0 38 104" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="75" cy="92" r="3" fill="#334155"/>
<circle cx="75" cy="120" r="3" fill="#2563eb"/>
<circle cx="50" cy="80" r="3" fill="#2563eb"/>
<text x="15" y="134" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="78" y="88" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="78" y="134" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">B</text>
<text x="35" y="78" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">C</text>
<text x="49" y="110" font-size="10" fill="#555">64°</text>
<text x="54" y="110" font-size="10" fill="#16a34a">32°</text>
<text x="63" y="108" font-size="10" fill="#dc2626">?</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> Найдём угол $BOC$ в четырёхугольнике $ABOC$.
<br>По <b>теореме о сумме углов четырёхугольника</b>: сумма углов любого четырёхугольника равна $360°$.
$$\\angle A + \\angle OBA + \\angle BOC + \\angle OCA = 360°$$
Подставляем известные углы:
$$64° + 90° + \\angle BOC + 90° = 360°$$
$$\\angle BOC = 360° - 244° = 116°$$
<b>Шаг 2.</b> Рассмотрим треугольник $OBC$.
<br>Так как $OB$ и $OC$ — радиусы одной окружности, то $OB = OC$. Значит, $\\triangle OBC$ <b>равнобедренный</b> с основанием $BC$.
<br>По <b>свойству равнобедренного треугольника:</b> углы при основании равны.
$$\\angle OBC = \\angle BCO$$
<b>Шаг 3.</b> Сумма углов треугольника $OBC$ равна $180°$:
$$\\angle BCO = \\dfrac{180° - \\angle BOC}{2} = \\dfrac{180° - 116°}{2} = \\dfrac{64°}{2} = 32°$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\angle BCO = 32°$</div>`
},
{
text: `В бензобак грузового автомобиля МАЗ залили $200$ л бензина.
В каждый день пути расходовалось $m$ литров бензина.
На сколько дней хватит $200$ л бензина?
Составьте формулу зависимости числа дней $k$ от количества литров бензина,
расходуемого каждый день.`,
sol: `<b>Метод составления уравнения по условию задачи.</b>
<br><b>Шаг 1.</b> Введём обозначение. Пусть $k$ — искомое число дней, на которые хватит бензина.
<br><b>Шаг 2.</b> По условию за один день расходуется $m$ литров. Значит, за $k$ дней израсходуется $m\\cdot k$ литров.
<br><b>Шаг 3.</b> Так как в баке всего $200$ л и весь бензин будет израсходован за $k$ дней, составим уравнение:
$$m\\cdot k = 200$$
<b>Шаг 4.</b> Выразим $k$. Разделим обе части на $m$ (это можно сделать, так как $m\\ne 0$):
$$k = \\dfrac{200}{m}$$
<div class="sol-ans">Ответ: бензина хватит на $\\dfrac{200}{m}$ дней;&ensp; формула: $k = \\dfrac{200}{m}$</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $\\dfrac{3}{8} : \\dfrac{3}{4} = y : \\dfrac{2}{3}$.`,
sol: `<b>Правило деления дробей:</b> чтобы разделить на дробь, надо умножить на дробь, обратную делителю: $\\dfrac{a}{b} : \\dfrac{c}{d} = \\dfrac{a}{b} \\cdot \\dfrac{d}{c}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Вычислим левую часть уравнения:
$$\\dfrac{3}{8}:\\dfrac{3}{4} = \\dfrac{3}{8}\\cdot\\dfrac{4}{3} = \\dfrac{12}{24} = \\dfrac{1}{2}$$
<b>Шаг 2.</b> Уравнение принимает вид:
$$\\dfrac{1}{2} = y : \\dfrac{2}{3}$$
По правилу деления, $y : \\dfrac{2}{3} = y \\cdot \\dfrac{3}{2}$. Значит:
$$\\dfrac{1}{2} = y \\cdot \\dfrac{3}{2}$$
<b>Шаг 3.</b> Находим $y$. Умножим обе части на $\\dfrac{2}{3}$:
$$y = \\dfrac{1}{2} \\cdot \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{1}{3}$$
<b>Проверка:</b> $\\dfrac{1}{3} : \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{1}{3} \\cdot \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{1}{2}$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $y = \\dfrac{1}{3}$</div>`
},
{
text: `Из Фаниполя в Юцковские родники, расстояние между которыми равно $20$ км, вышел турист.
Одновременно с ним по тому же маршруту из Юцковских родников в Фаниполь выехал велосипедист,
скорость которого в $4$ раза больше скорости пешехода.
Сколько километров осталось преодолеть туристу до Юцковских родников
после встречи с велосипедистом?`,
sol: `<b>Метод введения переменной и составления уравнения движения навстречу.</b> При движении навстречу скорости участников складываются: $v_{\\text{сбл}} = v_1 + v_2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть скорость пешехода равна $v$ км/ч. По условию скорость велосипедиста в $4$ раза больше, значит, она равна $4v$ км/ч.
<br><b>Шаг 2.</b> Так как они движутся навстречу друг другу, скорость сближения равна сумме скоростей:
$$v_{\\text{сбл}} = v + 4v = 5v\\text{ км/ч}$$
<br><b>Шаг 3.</b> Пусть $t$ — время от старта до встречи. За это время участники вместе прошли всё расстояние $20$ км:
$$5v\\cdot t = 20 \\implies v\\cdot t = 4$$
Значит, путь $v\\cdot t$, пройденный туристом до встречи, равен $4$ км.
<br><b>Шаг 4.</b> Так как турист шёл из Фаниполя, ему осталось пройти:
$$20 - 4 = 16\\text{ км}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $16$ км</div>`
},
{
text: `Основания трапеции равны $10$ см и $35$ см, боковые стороны — $15$ см и $20$ см.
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `<b>Формула площади трапеции:</b> $S = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.
<br>Чтобы найти высоту, опустим из вершин верхнего основания перпендикуляры $BH$ и $CK$ на нижнее основание.
<svg viewBox="0 0 225 150" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="15,122 60,62 110,62 190,122" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="60" y1="62" x2="60" y2="122" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
<line x1="110" y1="62" x2="110" y2="122" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="60,122 68,122 68,114 60,114" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="110,122 118,122 118,114 110,114" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<text x="2" y="132" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="53" y="56" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="113" y="56" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="192" y="132" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="57" y="136" font-size="10" font-family="serif" font-style="italic">H</text>
<text x="107" y="136" font-size="10" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<text x="78" y="57" font-size="11" fill="#334155" text-anchor="middle">10</text>
<text x="100" y="138" font-size="11" fill="#334155" text-anchor="middle">35</text>
<text x="30" y="98" font-size="11" fill="#334155">15</text>
<text x="158" y="98" font-size="11" fill="#334155">20</text>
<text x="64" y="96" font-size="11" fill="#16a34a">h</text>
<text x="32" y="135" font-size="10" fill="#475569">9</text>
<text x="147" y="135" font-size="10" fill="#475569">16</text>
<text x="83" y="135" font-size="10" fill="#475569">10</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> Так как $BH\\parallel CK$ и оба перпендикулярны $AD$, четырёхугольник $BCKH$ — прямоугольник. Значит, $HK = BC = 10$ см.
<br>Тогда сумма «выступов» по краям:
$$AH + KD = AD - HK = 35 - 10 = 25\\text{ см}$$
<b>Шаг 2.</b> По <b>теореме Пифагора</b> ($c^2 = a^2 + b^2$) в прямоугольных треугольниках $ABH$ и $DCK$:
$$AH^2 + h^2 = AB^2 = 15^2 = 225$$
$$KD^2 + h^2 = CD^2 = 20^2 = 400$$
<b>Шаг 3.</b> Вычтем первое равенство из второго:
$$KD^2 - AH^2 = 400 - 225 = 175$$
По <b>формуле разности квадратов</b> ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$):
$$(KD+AH)(KD-AH) = 175$$
Поскольку $KD + AH = 25$:
$$25\\cdot(KD-AH) = 175 \\implies KD - AH = 7$$
<b>Шаг 4.</b> Из системы $\\{AH + KD = 25;\\; KD - AH = 7\\}$ получаем: $AH = 9$, $KD = 16$.
<br><b>Шаг 5.</b> Находим высоту $h$ по теореме Пифагора:
$$h^2 = 225 - AH^2 = 225 - 81 = 144 \\implies h = 12\\text{ см}$$
<b>Шаг 6.</b> Подставляем в формулу площади:
$$S = \\dfrac{10+35}{2}\\cdot 12 = \\dfrac{45}{2}\\cdot 12 = 270\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $270$ см²</div>`
},
{
text: `Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $0{,}1x^2 + 0{,}7x - 1{,}2 = 0$.
Найдите значение выражения $\\dfrac{x_1 x_2}{-3x_1^2 - 3x_2^2}$.`,
sol: `<b>Теорема Виета:</b> для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют:
$$x_1 + x_2 = -p, \\quad x_1 \\cdot x_2 = q$$
<b>Шаг 1.</b> Приведём уравнение к виду $x^2 + px + q = 0$. Разделим обе части на $0{,}1$:
$$x^2 + 7x - 12 = 0$$
<b>Шаг 2.</b> По теореме Виета:
$$x_1 + x_2 = -7, \\quad x_1 \\cdot x_2 = -12$$
<b>Шаг 3.</b> Чтобы найти $x_1^2 + x_2^2$, воспользуемся <b>формулой квадрата суммы:</b>
$$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$$
Отсюда:
$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (-7)^2 - 2\\cdot(-12) = 49 + 24 = 73$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем в исходное выражение:
$$\\dfrac{x_1 x_2}{-3x_1^2 - 3x_2^2} = \\dfrac{x_1 x_2}{-3(x_1^2 + x_2^2)} = \\dfrac{-12}{-3\\cdot 73} = \\dfrac{12}{219} = \\dfrac{4}{73}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{4}{73}$</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v34.js
+186
View File
@@ -0,0 +1,186 @@
VARIANTS[34] = {
label: "Вариант 34",
tasks: [
{
text: `Отношение чисел $24$ и $4$ равно:`,
opts: [
["а", "$18$"], ["б", "$32$"], ["в", "$6$"],
["г", "$14$"], ["д", "$1$"],
],
sol: `$$24 : 4 = 6$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$6$</div>`
},
{
text: `Запись выражения $1 - \\dfrac{a}{b}$ в виде дроби имеет вид:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{1-a}{b}$"], ["б", "$\\dfrac{b-a}{b}$"], ["в", "$\\dfrac{a-b}{b}$"],
["г", "$b - a$"], ["д", "$\\dfrac{a-1}{b}$"],
],
sol: `Приводим к общему знаменателю $b$:
$$1 - \\dfrac{a}{b} = \\dfrac{b}{b} - \\dfrac{a}{b} = \\dfrac{b-a}{b}$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$\\dfrac{b-a}{b}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "если четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, то $BC + AD = AB + CD$;"],
["б", "котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему;"],
["в", "вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла;"],
["г", "любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Для описанного четырёхугольника: $BC+AD=AB+CD$ — <b>верно</b> (свойство описанного четырёхугольника)</li>
<li>б) $\\ctg\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{противолежащий катет}}$ — <b>верно</b></li>
<li>в) Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла — <b>верно</b></li>
<li>г) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Биссектриса из вершинного угла к основанию является медианой, а биссектрисы боковых углов медианами не являются.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Решите неравенство $\\dfrac{x}{2} + 4 < 0$ и укажите наибольшее целое решение этого неравенства.`,
sol: `$$\\dfrac{x}{2} \\lt -4 \\implies x \\lt -8$$
Решение: $x\\in(-\\infty;\\,-8)$. Наибольшее целое число, строго меньшее $-8$ — это $\\mathbf{-9}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x \\lt -8$; наибольшее целое решение $= -9$</div>`
},
{
text: `В угол $B$ вписана окружность с центром в точке $O$, которая касается сторон угла
в точках $A$ и $C$. Найдите угол $ABO$, если $\\angle AOC = 118^{\\circ}$.`,
sol: `<b>Свойство касательной к окружности:</b> радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
<br>Значит, $\\angle OAB = 90°$ и $\\angle OCB = 90°$.
<svg viewBox="0 0 205 140" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:250px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<line x1="10" y1="120" x2="195" y2="120" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="30" y1="120" x2="83" y2="12" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="75" cy="92" r="28" fill="rgba(37,99,235,0.08)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
<line x1="75" y1="92" x2="75" y2="120" stroke="#2563eb" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<line x1="75" y1="92" x2="50" y2="80" stroke="#2563eb" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
<line x1="75" y1="120" x2="50" y2="80" stroke="#475569" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="75,120 83,120 83,112 75,112" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="50,80 53,74 59,77 56,83" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<path d="M 48 120 A 18 18 0 0 0 38 104" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="75" cy="92" r="3" fill="#334155"/>
<circle cx="75" cy="120" r="3" fill="#2563eb"/>
<circle cx="50" cy="80" r="3" fill="#2563eb"/>
<text x="15" y="134" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="78" y="88" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="78" y="134" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">C</text>
<text x="35" y="78" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">A</text>
<text x="44" y="110" font-size="10" fill="#555">62°</text>
<text x="58" y="100" font-size="10" fill="#2563eb">118°</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> Найдём угол $B$ из четырёхугольника $ABOC$.
<br>По <b>теореме о сумме углов четырёхугольника:</b> сумма углов любого четырёхугольника равна $360°$.
$$\\angle B + \\angle OAB + \\angle AOC + \\angle OCB = 360°$$
Подставляем известные углы:
$$\\angle B + 90° + 118° + 90° = 360°$$
$$\\angle B = 360° - 298° = 62°$$
<b>Шаг 2.</b> Применим <b>свойство биссектрисы:</b> центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла (так как $OA = OC$ — оба радиуса).
<br>Значит, $BO$ — биссектриса угла $B$, и она делит его пополам:
$$\\angle ABO = \\dfrac{\\angle B}{2} = \\dfrac{62°}{2} = 31°$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\angle ABO = 31°$</div>`
},
{
text: `Путешественники залили в бензобак автомобиля Geely Atlas $58$ л бензина.
В каждый день пути расходовалось $p$ литров бензина.
На сколько дней путешественникам хватит бензина?
Составьте формулу зависимости количества дней $k$ от количества литров бензина,
расходуемого каждый день.`,
sol: `<b>Метод составления уравнения по условию задачи.</b>
<br><b>Шаг 1.</b> Введём обозначение. Пусть $k$ — искомое число дней, на которые хватит бензина.
<br><b>Шаг 2.</b> По условию за один день расходуется $p$ литров. Значит, за $k$ дней израсходуется $p\\cdot k$ литров.
<br><b>Шаг 3.</b> Так как в баке всего $58$ л и весь бензин будет израсходован за $k$ дней, составим уравнение:
$$p\\cdot k = 58$$
<b>Шаг 4.</b> Выразим $k$. Разделим обе части на $p$ (это можно сделать, так как $p\\ne 0$):
$$k = \\dfrac{58}{p}$$
<div class="sol-ans">Ответ: бензина хватит на $\\dfrac{58}{p}$ дней;&ensp; формула: $k = \\dfrac{58}{p}$</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $\\dfrac{4x+2}{3} = \\dfrac{1}{3}$.`,
sol: `<b>Свойство пропорции (или равенства дробей с одинаковыми знаменателями):</b> если $\\dfrac{a}{c} = \\dfrac{b}{c}$, то $a = b$.
<br><b>Шаг 1.</b> Знаменатели в обеих частях одинаковые ($=3$), поэтому числители равны:
$$4x + 2 = 1$$
<b>Шаг 2.</b> Переносим $2$ в правую часть (с противоположным знаком):
$$4x = 1 - 2 = -1$$
<b>Шаг 3.</b> Делим обе части на $4$:
$$x = -\\dfrac{1}{4}$$
<b>Проверка:</b> $\\dfrac{4\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{4}\\right)+2}{3} = \\dfrac{-1+2}{3} = \\dfrac{1}{3}$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -\\dfrac{1}{4}$</div>`
},
{
text: `Из Жодино в Радошковичи, расстояние между которыми равно $60$ км, выехал мотоциклист.
Одновременно с ним по тому же маршруту из Радошковичей в Жодино выехал велосипедист,
скорость которого в $5$ раз меньше скорости мотоциклиста.
Сколько километров осталось преодолеть мотоциклисту до Радошковичей
после встречи с велосипедистом?`,
sol: `<b>Метод введения переменной и составления уравнения движения навстречу.</b> При движении навстречу скорости участников складываются: $v_{\\text{сбл}} = v_1 + v_2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть скорость мотоциклиста равна $v$ км/ч. По условию скорость велосипедиста в $5$ раз меньше, значит, она равна $\\dfrac{v}{5}$ км/ч.
<br><b>Шаг 2.</b> Так как они движутся навстречу друг другу, скорость сближения равна сумме скоростей:
$$v_{\\text{сбл}} = v + \\dfrac{v}{5} = \\dfrac{6v}{5}\\text{ км/ч}$$
<br><b>Шаг 3.</b> Пусть $t$ — время от старта до встречи. За это время участники вместе преодолели всё расстояние $60$ км:
$$\\dfrac{6v}{5}\\cdot t = 60 \\implies v\\cdot t = 50$$
Значит, путь $v\\cdot t$, проделанный мотоциклистом до встречи, равен $50$ км.
<br><b>Шаг 4.</b> Так как мотоциклист ехал из Жодино, ему осталось:
$$60 - 50 = 10\\text{ км}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $10$ км</div>`
},
{
text: `Основания трапеции равны $5$ см и $15$ см, боковые стороны — $6$ см и $8$ см.
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `<b>Формула площади трапеции:</b> $S = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$, где $a$, $b$ — основания, $h$ — высота.
<br>Чтобы найти высоту, опустим из вершин $B$ и $C$ верхнего основания перпендикуляры $BH$ и $CK$ на нижнее основание.
<svg viewBox="0 0 225 150" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="15,122 75,62 125,62 190,122" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="75" y1="62" x2="75" y2="122" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
<line x1="125" y1="62" x2="125" y2="122" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="75,122 83,122 83,114 75,114" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="125,122 133,122 133,114 125,114" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<text x="2" y="132" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="68" y="56" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="128" y="56" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="192" y="132" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="72" y="136" font-size="10" font-family="serif" font-style="italic">H</text>
<text x="122" y="136" font-size="10" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<text x="98" y="57" font-size="11" fill="#334155" text-anchor="middle">5</text>
<text x="100" y="138" font-size="11" fill="#334155" text-anchor="middle">15</text>
<text x="35" y="98" font-size="11" fill="#334155">6</text>
<text x="158" y="98" font-size="11" fill="#334155">8</text>
<text x="80" y="96" font-size="11" fill="#16a34a">h</text>
<text x="38" y="135" font-size="10" fill="#475569">3,6</text>
<text x="143" y="135" font-size="10" fill="#475569">6,4</text>
<text x="98" y="135" font-size="10" fill="#475569">5</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> Так как $BH\\parallel CK$ и оба перпендикулярны $AD$, четырёхугольник $BCKH$ — прямоугольник. Значит, $HK = BC = 5$ см.
<br>Тогда сумма «выступов» по краям:
$$AH + KD = AD - HK = 15 - 5 = 10\\text{ см}$$
<b>Шаг 2.</b> По <b>теореме Пифагора</b> ($c^2 = a^2 + b^2$) в прямоугольных треугольниках $ABH$ и $DCK$:
$$AH^2 + h^2 = AB^2 = 6^2 = 36$$
$$KD^2 + h^2 = CD^2 = 8^2 = 64$$
<b>Шаг 3.</b> Вычтем первое равенство из второго:
$$KD^2 - AH^2 = 64 - 36 = 28$$
По <b>формуле разности квадратов:</b>
$$(KD+AH)(KD-AH) = 28$$
Поскольку $KD + AH = 10$:
$$10\\cdot(KD - AH) = 28 \\implies KD - AH = 2{,}8$$
<b>Шаг 4.</b> Из системы $\\{AH + KD = 10;\\; KD - AH = 2{,}8\\}$ получаем: $AH = 3{,}6$, $KD = 6{,}4$.
<br><b>Шаг 5.</b> Находим высоту $h$ по теореме Пифагора:
$$h^2 = 36 - 3{,}6^2 = 36 - 12{,}96 = 23{,}04 \\implies h = 4{,}8\\text{ см}$$
<b>Шаг 6.</b> Подставляем в формулу площади:
$$S = \\dfrac{5+15}{2}\\cdot 4{,}8 = 10\\cdot 4{,}8 = 48\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $48$ см²</div>`
},
{
text: `Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 3x - 5 = 0$.
Найдите значение выражения $\\dfrac{2x_1 x_2}{-5x_1^2 - 5x_2^2}$.`,
sol: `<b>Теорема Виета:</b> для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют:
$$x_1 + x_2 = -p, \\quad x_1 \\cdot x_2 = q$$
<b>Шаг 1.</b> Применяем теорему Виета к уравнению $x^2 - 3x - 5 = 0$ (здесь $p = -3$, $q = -5$):
$$x_1 + x_2 = 3, \\quad x_1 \\cdot x_2 = -5$$
<b>Шаг 2.</b> Чтобы найти $x_1^2 + x_2^2$, воспользуемся <b>формулой квадрата суммы:</b>
$$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$$
Отсюда:
$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 3^2 - 2\\cdot(-5) = 9 + 10 = 19$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем в исходное выражение:
$$\\dfrac{2x_1 x_2}{-5x_1^2 - 5x_2^2} = \\dfrac{2x_1 x_2}{-5(x_1^2 + x_2^2)} = \\dfrac{2\\cdot(-5)}{-5\\cdot 19} = \\dfrac{-10}{-95} = \\dfrac{2}{19}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{2}{19}$</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v35.js
+254
View File
@@ -0,0 +1,254 @@
VARIANTS[35] = {
label: "Вариант 35",
tasks: [
{
text: `При каком значении переменной выражение $\\dfrac{m}{n-2}$ <b>НЕ</b> имеет смысла:`,
opts: [
["а", "$-2$"], ["б", "$-1$"], ["в", "$0$"], ["г", "$1$"], ["д", "$2$"],
],
sol: `Дробь не имеет смысла при нулевом знаменателе:
$$n - 2 = 0 \\implies n = 2$$
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$2$</div>`
},
{
text: `Если к разности чисел $-1{,}2$ и $0{,}6$ прибавить $1{,}8$, то получится число:`,
opts: [
["а", "$-0{,}9$"], ["б", "$-0{,}8$"], ["в", "$0$"], ["г", "$1{,}2$"], ["д", "$3{,}6$"],
],
sol: `$$(-1{,}2 - 0{,}6) + 1{,}8 = -1{,}8 + 1{,}8 = 0$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$0$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "около четырёхугольника $ABCD$, где $\\angle A = 40^{\\circ}$, $\\angle C = 140^{\\circ}$, можно описать окружность;"],
["б", "$\\sin 30^{\\circ} = \\sin 150^{\\circ}$;"],
["в", "вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой;"],
["г", "в любом равнобедренном треугольнике все высоты равны между собой?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) $\\angle A + \\angle C = 40°+140°=180°$ ⟹ около него можно описать окружность — <b>верно</b></li>
<li>б) $\\sin30°=\\sin(180°-30°)=\\sin150°=0{,}5$ — <b>верно</b></li>
<li>в) Вписанный угол на диаметре $= 90°$ — <b>верно</b></li>
<li>г) «Все высоты равнобедренного треугольника равны» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. В равнобедренном (но не равностороннем) треугольнике две высоты к боковым сторонам равны, но высота к основанию — другая.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Из $4$ кг муки получается $3{,}2$ кг печенья.
Сколько надо муки, чтобы испечь $2{,}4$ кг печенья?`,
sol: `<b>Метод прямой пропорции:</b> если две величины прямо пропорциональны, то отношение их соответствующих значений равно: $\\dfrac{a_1}{b_1} = \\dfrac{a_2}{b_2}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим $x$ — искомое количество муки (в кг), необходимое для $2{,}4$ кг печенья.
<br><b>Шаг 2.</b> Так как количество печенья прямо пропорционально количеству муки (чем больше муки — тем больше печенья), составим пропорцию:
$$\\dfrac{4\\text{ кг муки}}{3{,}2\\text{ кг печенья}} = \\dfrac{x}{2{,}4\\text{ кг печенья}}$$
<b>Шаг 3.</b> По основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, откуда:
$$x = \\dfrac{4\\cdot 2{,}4}{3{,}2} = \\dfrac{9{,}6}{3{,}2} = 3\\text{ кг}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $3$ кг муки</div>`
},
{
text: `Найдите $\\text{НОК}(14;\\; 42;\\; 336)$.
В ответ запишите число, обратное полученному.`,
sol: `Разложим на простые множители:
$$14 = 2\\cdot7, \\quad 42 = 2\\cdot3\\cdot7, \\quad 336 = 2^4\\cdot3\\cdot7$$
НОК берёт <em>наибольшие</em> степени каждого простого:
$$\\text{НОК} = 2^4\\cdot3\\cdot7 = 16\\cdot21 = 336$$
Обратное число: $\\dfrac{1}{336}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{1}{336}$</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — параллелограмм, $BK$ — высота, проведённая к стороне $AD$,
$CD = 10$ см, $KD = 7$ см, $\\angle A = 60^{\\circ}$.
Найдите периметр параллелограмма.`,
sol: `<b>Свойство параллелограмма:</b> противоположные стороны параллелограмма равны.
<br>Значит, $AB = CD = 10$ см.
<svg viewBox="0 0 220 118" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,100 70,13 190,13 140,100" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="70" y1="13" x2="70" y2="100" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="70,100 78,100 78,92 70,92" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<path d="M 40 100 A 20 20 0 0 0 30 83" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="70" cy="100" r="2.5" fill="#334155"/>
<text x="4" y="110" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="63" y="8" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="193" y="8" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="142" y="110" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="63" y="110" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<text x="32" y="82" font-size="10" fill="#555">60°</text>
<text x="37" y="62" font-size="11" fill="#334155">10</text>
<text x="40" y="106" font-size="10" fill="#475569">AK=5</text>
<text x="95" y="106" font-size="10" fill="#475569">KD=7</text>
<text x="74" y="60" font-size="11" fill="#16a34a">h</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ ($\\angle BKA = 90°$, $\\angle A = 60°$, $AB = 10$ см).
<br>По <b>определению косинуса</b> острого угла прямоугольного треугольника: $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
<br>Здесь прилежащий к углу $A$ катет — $AK$, гипотенуза — $AB$:
$$\\cos 60° = \\dfrac{AK}{AB} \\implies AK = AB\\cdot\\cos 60° = 10\\cdot\\dfrac{1}{2} = 5\\text{ см}$$
<b>Шаг 2.</b> Находим длину стороны $AD$:
$$AD = AK + KD = 5 + 7 = 12\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> <b>Формула периметра параллелограмма:</b> $P = 2(a + b)$, где $a$, $b$ — соседние стороны.
$$P = 2(AB + AD) = 2(10 + 12) = 44\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $44$ см</div>`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{b^2 + 15b + 56}{b^2 + 3b - 28}$
и найдите значение полученного выражения при $b = -6$.`,
sol: `<b>Теорема Виета (для разложения квадратного трёхчлена):</b> $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$, $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$, причём $x_1 + x_2 = -p$, $x_1\\cdot x_2 = q$.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим числитель $b^2 + 15b + 56$.
<br>Подберём такие два числа, сумма которых $= -15$ (точнее, $= 15$ для $-p$), а произведение $= 56$. Это $7$ и $8$ (так как $7 + 8 = 15$ и $7\\cdot 8 = 56$):
$$b^2 + 15b + 56 = (b + 7)(b + 8)$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим знаменатель $b^2 + 3b - 28$.
<br>Подберём числа с суммой $-3$ и произведением $-28$. Это $7$ и $-4$ (так как $7 + (-4) = 3$, а $7\\cdot(-4) = -28$):
$$b^2 + 3b - 28 = (b + 7)(b - 4)$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(b + 7)$, считая $b \\neq -7$ и $b \\neq 4$:
$$\\dfrac{(b+7)(b+8)}{(b+7)(b-4)} = \\dfrac{b+8}{b-4}$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $b = -6$ в полученное выражение:
$$\\dfrac{-6+8}{-6-4} = \\dfrac{2}{-10} = -\\dfrac{1}{5}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{b+8}{b-4}$;&ensp; при $b=-6$ значение равно $-\\dfrac{1}{5}$</div>`
},
{
text: `Найдите сумму всех натуральных чисел, больших $12$ и не превосходящих $121$,
которые при делении на $6$ дают в остатке $1$.`,
sol: `<b>Формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний, $n$ — число членов.
<br><b>Шаг 1.</b> По определению деления с остатком число вида «$6k+1$» при делении на $6$ даёт остаток $1$. Значит, нужные числа имеют вид $a = 6k+1$, где $k$ — целое неотрицательное.
<br><b>Шаг 2.</b> Найдём допустимые значения $k$ из условия $12 \\lt a \\leq 121$:
$$12 \\lt 6k+1 \\leq 121 \\implies 11 \\lt 6k \\leq 120 \\implies \\dfrac{11}{6} \\lt k \\leq 20$$
Так как $k$ целое, получаем $k = 2,\\ 3,\\ \\ldots,\\ 20$.
<br><b>Шаг 3.</b> Найдём первый и последний члены последовательности:
$$a_1 = 6\\cdot 2 + 1 = 13, \\quad a_n = 6\\cdot 20 + 1 = 121$$
<b>Шаг 4.</b> Числа $13,\\ 19,\\ 25,\\ \\ldots,\\ 121$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 6$ (каждое следующее больше предыдущего на $6$).
<br><b>Шаг 5.</b> Найдём количество членов по формуле $n = \\dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$$n = \\dfrac{121 - 13}{6} + 1 = 18 + 1 = 19$$
<b>Шаг 6.</b> Применяем формулу суммы:
$$S = \\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \\dfrac{19\\cdot(13 + 121)}{2} = \\dfrac{19\\cdot 134}{2} = 19\\cdot 67 = 1273$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1273$</div>`
},
{
text: `Квадратный участок земли разбили на четыре части: газон, цветник, огород и сад.
Сад и цветник — квадраты. Периметр сада — $84$ м, а цветника — $24$ м.
Чему равен периметр газона?`,
sol: `<b>Формула периметра квадрата:</b> $P = 4a$, откуда сторона $a = \\dfrac{P}{4}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Находим стороны квадратных частей:
<br>— Сторона сада: $84 \\div 4 = 21$ м.
<br>— Сторона цветника: $24 \\div 4 = 6$ м.
<br><b>Шаг 2.</b> Участок разбит одной горизонтальной и одной вертикальной линией на 4 прямоугольные части. Сад и цветник — квадраты, значит их стороны определяют, как поделён участок:
<svg viewBox="0 0 145 145" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<rect x="10" y="10" width="120" height="120" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="10" y1="37" x2="130" y2="37" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<line x1="97" y1="10" x2="97" y2="130" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<rect x="10" y="10" width="87" height="27" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="none"/>
<rect x="97" y="10" width="33" height="27" fill="rgba(220,38,38,0.12)" stroke="none"/>
<rect x="10" y="37" width="87" height="93" fill="rgba(22,163,74,0.12)" stroke="none"/>
<rect x="97" y="37" width="33" height="93" fill="rgba(234,179,8,0.15)" stroke="none"/>
<text x="45" y="28" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#1d4ed8">Газон</text>
<text x="112" y="26" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#dc2626">Цветник</text>
<text x="50" y="87" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#15803d">Сад</text>
<text x="112" y="87" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#92400e">Огород</text>
<text x="50" y="140" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#334155">21 м</text>
<text x="112" y="140" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#334155">6 м</text>
<text x="4" y="87" font-size="10" fill="#334155" transform="rotate(-90,4,87)">21 м</text>
<text x="135" y="87" font-size="10" fill="#334155" transform="rotate(-90,135,87)">21 м</text>
<text x="4" y="26" font-size="10" fill="#334155" transform="rotate(-90,4,26)">6 м</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> Сторона всего квадратного участка $= 21 + 6 = 27$ м.
<br><b>Шаг 4.</b> Газон — прямоугольник со сторонами $21$ м и $6$ м (по рисунку).
<br>По <b>формуле периметра прямоугольника</b> $P = 2(a + b)$:
$$P_{\\text{газон}} = 2(21 + 6) = 2\\cdot 27 = 54\\text{ м}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $54$ м</div>`
},
{
text: `Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AC = 6$, $BC = 8$, $AB = 10$.
Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 295 260" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:440px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- Масштаб 17px/cm. C=(85,215), A=(187,215), B=(85,79). O=(136,147), R=85. I=(119,181), r=34 -->
<!-- Описанная окружность -->
<circle cx="136" cy="147" r="85" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="7,4"/>
<!-- Вписанная окружность -->
<circle cx="119" cy="181" r="34" fill="rgba(22,163,74,0.09)" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
<!-- Треугольник -->
<polygon points="85,215 187,215 85,79" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
<!-- Прямой угол при C -->
<polygon points="85,215 98,215 98,202 85,202" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<!-- Пунктиры от O до катетов (синий) -->
<line x1="85" y1="147" x2="136" y2="147" stroke="#2563eb" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="136" y1="147" x2="136" y2="215" stroke="#2563eb" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- Пунктиры от I до катетов (зелёный) -->
<line x1="85" y1="181" x2="119" y2="181" stroke="#16a34a" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="119" y1="181" x2="119" y2="215" stroke="#16a34a" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- Маленький прямоугольный треугольник O-M-I -->
<polygon points="119,181 136,181 136,147" fill="rgba(220,38,38,0.12)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<!-- Прямой угол у M=(136,181) -->
<polygon points="136,181 136,173 128,173 128,181" fill="none" stroke="#dc2626" stroke-width="1.2"/>
<!-- Отрезок OI -->
<line x1="136" y1="147" x2="119" y2="181" stroke="#dc2626" stroke-width="2.8"/>
<!-- Точки O и I -->
<circle cx="136" cy="147" r="5.5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="119" cy="181" r="5.5" fill="#16a34a"/>
<!-- Вершины треугольника -->
<text x="67" y="229" font-size="18" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="191" y="229" font-size="18" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="67" y="73" font-size="18" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<!-- Центры O и I -->
<text x="141" y="143" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">O</text>
<text x="100" y="180" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">I</text>
<!-- Расстояния O от катетов -->
<text x="104" y="141" font-size="14" fill="#2563eb" font-weight="bold">3</text>
<text x="140" y="186" font-size="14" fill="#2563eb" font-weight="bold">4</text>
<!-- Расстояния I от катетов -->
<text x="96" y="176" font-size="14" fill="#16a34a" font-weight="bold">2</text>
<text x="122" y="202" font-size="14" fill="#16a34a" font-weight="bold">2</text>
<!-- Катеты маленького треугольника -->
<text x="122" y="176" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">1</text>
<text x="140" y="167" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">2</text>
<!-- OI -->
<text x="106" y="158" font-size="15" fill="#dc2626" font-weight="bold">√5</text>
<!-- Стороны треугольника -->
<text x="130" y="229" font-size="13" fill="#64748b">6</text>
<text x="68" y="152" font-size="13" fill="#64748b">8</text>
<text x="150" y="138" font-size="12" fill="#64748b">10</text>
<!-- R и r -->
<text x="226" y="120" font-size="13" fill="#2563eb">R = 5</text>
<text x="121" y="196" font-size="12" fill="#16a34a">r = 2</text>
</svg>
<b>Шаг 1. Тип треугольника.</b>
$$6^2+8^2 = 36+64 = 100 = 10^2 \\checkmark$$
Треугольник <b>прямоугольный</b> — прямой угол при $C$.
<br><b>Шаг 2. Центр и радиус описанной окружности $O$.</b>
<br>В прямоугольном треугольнике гипотенуза — диаметр описанной окружности.
Значит, центр $O$ — это просто <b>середина гипотенузы</b> $AB$:
$$R = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{10}{2} = 5\\text{ см}$$
<b>Шаг 3. Центр и радиус вписанной окружности $I$.</b>
<br>Вписанная окружность касается всех трёх сторон. Её радиус:
$$r = \\dfrac{AC + BC - AB}{2} = \\dfrac{6+8-10}{2} = 2\\text{ см}$$
Центр $I$ стоит на расстоянии $r=2$ от каждой стороны треугольника.
<br><b>Шаг 4. Как далеко $O$ и $I$ от катетов?</b>
<br>Смотрим на рисунок — пунктирные линии от $O$ и $I$ до катетов.
<br><br>
<b>Центр $O$</b> — середина $AB$. Смотрим, как далеко вершины от катета $BC$:
<ul>
<li>Вершина $A$ — на расстоянии $AC = 6$ от $BC$.</li>
<li>Вершина $B$ — прямо на $BC$, расстояние $= 0$.</li>
<li>Середина $O$ — посередине: $(6 + 0) : 2 =$ <b>3</b> от $BC$.</li>
</ul>
Теперь смотрим, как далеко от катета $AC$:
<ul>
<li>Вершина $A$ — прямо на $AC$, расстояние $= 0$.</li>
<li>Вершина $B$ — на расстоянии $BC = 8$ от $AC$.</li>
<li>Середина $O$ — посередине: $(0 + 8) : 2 =$ <b>4</b> от $AC$.</li>
</ul>
<b>Центр $I$</b> — по определению на расстоянии $r=2$ от каждой стороны:
расстояние до $BC$ = <b>2</b>, до $AC$ = <b>2</b>.
<br><br>
<b>Итог таблицей:</b>
<table style="border-collapse:collapse;font-size:13px;margin:6px 0">
<tr style="background:#f1f5f9"><td style="padding:4px 12px;border:1px solid #cbd5e1"></td><td style="padding:4px 12px;border:1px solid #cbd5e1;color:#2563eb;font-weight:bold">до катета BC</td><td style="padding:4px 12px;border:1px solid #cbd5e1;color:#2563eb;font-weight:bold">до катета AC</td></tr>
<tr><td style="padding:4px 12px;border:1px solid #cbd5e1;font-weight:bold;color:#2563eb">O</td><td style="padding:4px 12px;border:1px solid #cbd5e1;text-align:center">3</td><td style="padding:4px 12px;border:1px solid #cbd5e1;text-align:center">4</td></tr>
<tr><td style="padding:4px 12px;border:1px solid #cbd5e1;font-weight:bold;color:#16a34a">I</td><td style="padding:4px 12px;border:1px solid #cbd5e1;text-align:center">2</td><td style="padding:4px 12px;border:1px solid #cbd5e1;text-align:center">2</td></tr>
<tr style="background:#fff7ed"><td style="padding:4px 12px;border:1px solid #cbd5e1;font-weight:bold;color:#dc2626">разность</td><td style="padding:4px 12px;border:1px solid #cbd5e1;text-align:center;font-weight:bold;color:#dc2626">3−2 = 1</td><td style="padding:4px 12px;border:1px solid #cbd5e1;text-align:center;font-weight:bold;color:#dc2626">4−2 = 2</td></tr>
</table>
<b>Шаг 5. Находим $OI$.</b>
<br>Разности — это катеты прямоугольного треугольника (красный на рисунке) между $O$ и $I$.
<br>По теореме Пифагора:
$$OI = \\sqrt{1^2 + 2^2} = \\sqrt{1+4} = \\sqrt{5}\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\sqrt{5}$ см</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v36.js
+211
View File
@@ -0,0 +1,211 @@
VARIANTS[36] = {
label: "Вариант 36",
tasks: [
{
text: `При каком значении переменной выражение $\\dfrac{a}{a+3}$ <b>НЕ</b> имеет смысла:`,
opts: [
["а", "$-3$"], ["б", "$-2$"], ["в", "$0$"], ["г", "$2$"], ["д", "$3$"],
],
sol: `Дробь не имеет смысла при нулевом знаменателе:
$$a + 3 = 0 \\implies a = -3$$
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$-3$</div>`
},
{
text: `Если к разности чисел $1{,}2$ и $-0{,}6$ прибавить $0{,}8$, то получится число:`,
opts: [
["а", "$-1{,}4$"], ["б", "$1$"], ["в", "$-1{,}2$"], ["г", "$2{,}6$"], ["д", "$1{,}6$"],
],
sol: `$$(1{,}2 - (-0{,}6)) + 0{,}8 = (1{,}2 + 0{,}6) + 0{,}8 = 1{,}8 + 0{,}8 = 2{,}6$$
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$2{,}6$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "около четырёхугольника $ABCD$, где $\\angle B = 30^{\\circ}$, $\\angle D = 150^{\\circ}$, можно описать окружность;"],
["б", "$\\cos 60^{\\circ} = -\\cos 120^{\\circ}$;"],
["в", "прямой вписанный угол опирается на диаметр;"],
["г", "в любом равнобедренном треугольнике все медианы равны между собой?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) $\\angle B + \\angle D = 30°+150°=180°$ ⟹ около него можно описать окружность — <b>верно</b></li>
<li>б) $\\cos60°=0{,}5$; $-\\cos120°=-(-0{,}5)=0{,}5$ ⟹ равны — <b>верно</b></li>
<li>в) Прямой вписанный угол ($90°$) опирается на диаметр — <b>верно</b></li>
<li>г) «Все медианы равнобедренного треугольника равны» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. В равнобедренном (но не равностороннем) треугольнике две медианы к боковым сторонам равны, а медиана к основанию — другая.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Из $4$ кг свежих яблок получается $0{,}5$ кг сушёных.
Сколько килограммов свежих яблок надо взять, чтобы получить $4$ кг сушёных?`,
sol: `<b>Метод прямой пропорции:</b> если две величины прямо пропорциональны, то $\\dfrac{a_1}{b_1} = \\dfrac{a_2}{b_2}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим $x$ — искомое количество свежих яблок (в кг), необходимое для получения $4$ кг сушёных.
<br><b>Шаг 2.</b> Так как масса сушёных яблок прямо пропорциональна массе свежих (чем больше свежих, тем больше получится сушёных), составим пропорцию:
$$\\dfrac{4\\text{ кг свежих}}{0{,}5\\text{ кг сушёных}} = \\dfrac{x}{4\\text{ кг сушёных}}$$
<b>Шаг 3.</b> По основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$$x = \\dfrac{4\\cdot 4}{0{,}5} = \\dfrac{16}{0{,}5} = 32\\text{ кг}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $32$ кг свежих яблок</div>`
},
{
text: `Найдите $\\text{НОК}(21;\\; 63;\\; 105)$.
В ответ запишите число, обратное полученному.`,
sol: `Разложим на простые множители:
$$21 = 3\\cdot7, \\quad 63 = 3^2\\cdot7, \\quad 105 = 3\\cdot5\\cdot7$$
НОК берёт <em>наибольшие</em> степени каждого простого:
$$\\text{НОК} = 3^2\\cdot5\\cdot7 = 9\\cdot35 = 315$$
Обратное число: $\\dfrac{1}{315}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{1}{315}$</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — параллелограмм, $CK$ — высота, проведённая к стороне $AD$,
$BC = 12$ см, $AK = 8$ см, $\\angle A = 120^{\\circ}$.
Найдите периметр параллелограмма.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 220 140" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="50,115 20,28 140,28 170,115" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="140" y1="28" x2="140" y2="115" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="140,115 132,115 132,107 140,107" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<path d="M 70 115 A 22 22 0 0 0 70 93" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="140" cy="115" r="2.5" fill="#334155"/>
<text x="35" y="125" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="13" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="142" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="172" y="125" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="142" y="125" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<text x="56" y="104" font-size="10" fill="#555">120°</text>
<text x="22" y="74" font-size="11" fill="#334155">8</text>
<text x="80" y="22" font-size="11" fill="#334155">12</text>
<text x="85" y="125" font-size="10" fill="#475569">AK=8</text>
<text x="144" y="74" font-size="11" fill="#16a34a">h</text>
</svg>
<b>Свойство параллелограмма:</b> противоположные стороны параллелограмма равны.
<br>Значит, $AD = BC = 12$ см.
<br><b>Шаг 1.</b> Так как угол $A$ тупой ($120°$), основание высоты $K$, опущенной из вершины $C$ на прямую $AD$, лежит <em>за</em> точкой $D$, то есть $AK \\gt AD$ (см. рисунок: $AK = 8$, $AD = 12$ означает, что $K$ ближе к $A$, чем $D$, на $4$ см).
<br>Точнее: смежный угол при вершине $D$ равен $180° - 120° = 60°$.
<br><b>Шаг 2.</b> Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ ($\\angle CKD = 90°$).
<br>Угол $CDK = 180° - \\angle ADC = 180° - 60° = 120°$? Нет — высота $CK$ из $C$ падает на сторону $AD$ изнутри параллелограмма. Угол $\\angle CDA$ у параллелограмма (противоположен $\\angle B$, равен $60°$, так как соседние углы дают $180°$).
<br>В $\\triangle CKD$: $\\cos\\angle CDK = \\dfrac{KD}{CD}$, при этом $KD = AD - AK = 12 - 8 = 4$ см.
<br>По <b>определению косинуса:</b>
$$\\cos 60° = \\dfrac{KD}{CD} \\implies \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{4}{CD} \\implies CD = 8\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> $AB = CD = 8$ см (противоположные стороны).
<br><b>Шаг 4.</b> <b>Формула периметра параллелограмма:</b> $P = 2(a + b)$:
$$P = 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $40$ см</div>`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{t^2 + 9t - 22}{t^2 + 7t - 44}$
и найдите значение полученного выражения при $t = -6$.`,
sol: `<b>Теорема Виета (для разложения квадратного трёхчлена):</b> $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$, $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим числитель $t^2 + 9t - 22$.
<br>Ищем два числа с суммой $-9$ (по Виете $x_1 + x_2 = -p = -9$) и произведением $-22$. Это $-11$ и $2$ (так как $-11 + 2 = -9$, $-11 \\cdot 2 = -22$):
$$t^2 + 9t - 22 = (t + 11)(t - 2)$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим знаменатель $t^2 + 7t - 44$.
<br>Ищем два числа с суммой $-7$ и произведением $-44$. Это $-11$ и $4$ (так как $-11 + 4 = -7$, $-11 \\cdot 4 = -44$):
$$t^2 + 7t - 44 = (t + 11)(t - 4)$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(t + 11)$, считая $t \\neq -11$ и $t \\neq 4$:
$$\\dfrac{(t+11)(t-2)}{(t+11)(t-4)} = \\dfrac{t-2}{t-4}$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $t = -6$ в полученное выражение:
$$\\dfrac{-6-2}{-6-4} = \\dfrac{-8}{-10} = \\dfrac{4}{5}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{t-2}{t-4}$;&ensp; при $t=-6$ значение равно $\\dfrac{4}{5}$</div>`
},
{
text: `Найдите сумму всех натуральных чисел, больших $8$ и не превосходящих $188$,
которые при делении на $8$ дают в остатке $4$.`,
sol: `<b>Формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$.
<br><b>Шаг 1.</b> По определению деления с остатком натуральные числа, дающие при делении на $8$ остаток $4$, имеют вид $a = 8k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное.
<br><b>Шаг 2.</b> Найдём допустимые значения $k$ из условия $8 \\lt a \\leq 188$:
$$8 \\lt 8k + 4 \\leq 188 \\implies 4 \\lt 8k \\leq 184 \\implies \\dfrac{1}{2} \\lt k \\leq 23$$
Так как $k$ целое, получаем $k = 1,\\ 2,\\ \\ldots,\\ 23$.
<br><b>Шаг 3.</b> Найдём первый и последний члены:
$$a_1 = 8\\cdot 1 + 4 = 12, \\quad a_n = 8\\cdot 23 + 4 = 188$$
<b>Шаг 4.</b> Числа $12,\\ 20,\\ 28,\\ \\ldots,\\ 188$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 8$.
<br><b>Шаг 5.</b> Количество членов: $n = 23$.
<br><b>Шаг 6.</b> Применим формулу суммы:
$$S = \\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \\dfrac{23\\cdot(12 + 188)}{2} = \\dfrac{23\\cdot 200}{2} = 23\\cdot 100 = 2300$$
<div class="sol-ans">Ответ: $2300$</div>`
},
{
text: `Квадратный участок земли разбили на четыре части: газон, цветник, огород и сад.
Сад и цветник — квадраты. Периметр сада — $80$ м, а цветника — $20$ м.
Чему равен периметр газона?`,
sol: `<b>Формула периметра квадрата:</b> $P = 4a$, откуда сторона $a = \\dfrac{P}{4}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Находим стороны квадратных частей:
<br>— Сторона сада: $80 \\div 4 = 20$ м.
<br>— Сторона цветника: $20 \\div 4 = 5$ м.
<br><b>Шаг 2.</b> Сторона всего квадратного участка $= 20 + 5 = 25$ м.
<svg viewBox="0 0 145 145" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<rect x="10" y="10" width="120" height="120" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="10" y1="34" x2="130" y2="34" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<line x1="106" y1="10" x2="106" y2="130" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<rect x="10" y="10" width="96" height="24" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="none"/>
<rect x="106" y="10" width="24" height="24" fill="rgba(220,38,38,0.12)" stroke="none"/>
<rect x="10" y="34" width="96" height="96" fill="rgba(22,163,74,0.12)" stroke="none"/>
<rect x="106" y="34" width="24" height="96" fill="rgba(234,179,8,0.15)" stroke="none"/>
<text x="55" y="26" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#1d4ed8">Газон</text>
<text x="118" y="26" font-size="8" text-anchor="middle" fill="#dc2626">Цветник</text>
<text x="55" y="85" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#15803d">Сад</text>
<text x="118" y="85" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#92400e">Огород</text>
<text x="55" y="140" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#334155">20 м</text>
<text x="118" y="140" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#334155">5 м</text>
<text x="4" y="85" font-size="10" fill="#334155" transform="rotate(-90,4,85)">20 м</text>
<text x="135" y="85" font-size="10" fill="#334155" transform="rotate(-90,135,85)">20 м</text>
<text x="4" y="26" font-size="10" fill="#334155" transform="rotate(-90,4,26)">5 м</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> Газон — прямоугольник со сторонами $20$ м и $5$ м (по рисунку).
<br>По <b>формуле периметра прямоугольника</b> $P = 2(a + b)$:
$$P_{\\text{газон}} = 2(20 + 5) = 50\\text{ м}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $50$ м</div>`
},
{
text: `Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AC = 9$, $BC = 12$, $AB = 15$.
Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 295 260" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:440px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<circle cx="136" cy="147" r="85" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="7,4"/>
<circle cx="119" cy="181" r="34" fill="rgba(22,163,74,0.09)" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
<polygon points="85,215 187,215 85,79" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
<polygon points="85,215 98,215 98,202 85,202" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
<line x1="85" y1="147" x2="136" y2="147" stroke="#2563eb" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="136" y1="147" x2="136" y2="215" stroke="#2563eb" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="85" y1="181" x2="119" y2="181" stroke="#16a34a" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="119" y1="181" x2="119" y2="215" stroke="#16a34a" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="119,181 136,181 136,147" fill="rgba(220,38,38,0.12)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<polygon points="136,181 136,173 128,173 128,181" fill="none" stroke="#dc2626" stroke-width="1.2"/>
<line x1="136" y1="147" x2="119" y2="181" stroke="#dc2626" stroke-width="2.8"/>
<circle cx="136" cy="147" r="5.5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="119" cy="181" r="5.5" fill="#16a34a"/>
<text x="67" y="229" font-size="18" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
<text x="191" y="229" font-size="18" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
<text x="67" y="73" font-size="18" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
<text x="141" y="143" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">O</text>
<text x="100" y="180" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">I</text>
<text x="102" y="141" font-size="13" fill="#2563eb" font-weight="bold">4,5</text>
<text x="140" y="186" font-size="14" fill="#2563eb" font-weight="bold">6</text>
<text x="96" y="176" font-size="14" fill="#16a34a" font-weight="bold">3</text>
<text x="122" y="202" font-size="14" fill="#16a34a" font-weight="bold">3</text>
<text x="120" y="176" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">1,5</text>
<text x="140" y="167" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">3</text>
<text x="98" y="158" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">3√5/2</text>
<text x="130" y="229" font-size="13" fill="#64748b">9</text>
<text x="68" y="152" font-size="13" fill="#64748b">12</text>
<text x="150" y="138" font-size="12" fill="#64748b">15</text>
<text x="226" y="120" font-size="13" fill="#2563eb">R = 7,5</text>
<text x="121" y="196" font-size="12" fill="#16a34a">r = 3</text>
</svg>
<b>Шаг 1. Определим тип треугольника</b> с помощью <b>обратной теоремы Пифагора:</b> если $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник прямоугольный.
$$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2 \\checkmark$$
Значит, $\\triangle ABC$ — прямоугольный, причём прямой угол лежит против гипотенузы $AB = 15$, т.е. $\\angle C = 90°$.
<br><b>Шаг 2. Центр и радиус описанной окружности.</b>
<br><b>Свойство:</b> в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — это <em>середина гипотенузы</em>, а её радиус равен половине гипотенузы:
$$R = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{15}{2} = 7{,}5\\text{ см}$$
<b>Шаг 3. Радиус вписанной окружности.</b>
<br>Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$:
$$r = \\dfrac{a + b - c}{2} = \\dfrac{9 + 12 - 15}{2} = \\dfrac{6}{2} = 3\\text{ см}$$
<b>Шаг 4. Координаты центров.</b>
<br>Поместим $C = (0;\\,0)$, $A = (9;\\,0)$, $B = (0;\\,12)$.
<br>— Центр $O$ описанной окружности — середина $AB$: $O = \\left(\\dfrac{9}{2};\\,\\dfrac{12}{2}\\right) = (4{,}5;\\,6)$.
<br>— Центр $I$ вписанной окружности удалён на $r = 3$ от каждого катета, значит $I = (3;\\,3)$.
<br><b>Шаг 5. Расстояние между центрами</b> по <b>формуле расстояния между точками:</b>
$$OI = \\sqrt{(4{,}5 - 3)^2 + (6 - 3)^2} = \\sqrt{1{,}5^2 + 3^2} = \\sqrt{2{,}25 + 9} = \\sqrt{11{,}25}$$
$$\\sqrt{11{,}25} = \\sqrt{\\dfrac{45}{4}} = \\dfrac{\\sqrt{45}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{5}}{2}\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{3\\sqrt{5}}{2}$ см</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v37.js
+201
View File
@@ -0,0 +1,201 @@
VARIANTS[37] = {
label: "Вариант 37",
tasks: [
{
text: `Какое из данных равенств является верным, если $f(x) = \\dfrac{6}{x}$:`,
opts: [
["а", "$f(2) = 2$"], ["б", "$f(2) = 3$"], ["в", "$f(2) = 12$"],
["г", "$f(2) = 4$"], ["д", "$f(2) = 36$"],
],
sol: `Подставляем $x=2$:
$$f(2) = \\dfrac{6}{2} = 3$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$f(2)=3$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $\\sqrt{\\dfrac{25}{16}} - \\dfrac{1}{4}$ равно:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{1}{4}$"], ["б", "$\\sqrt{\\dfrac{21}{16}}$"], ["в", "$\\sqrt{\\dfrac{29}{16}}$"],
["г", "$1$"], ["д", "$\\dfrac{3}{2}$"],
],
sol: `$$\\sqrt{\\dfrac{25}{16}} = \\dfrac{\\sqrt{25}}{\\sqrt{16}} = \\dfrac{5}{4}$$
$$\\dfrac{5}{4} - \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{4}{4} = 1$$
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$1$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $30^{\\circ}$;"],
["б", "если в треугольнике $ABC$ $R$ — радиус описанной окружности, то $\\dfrac{AC}{\\sin B} = 2R$;"],
["в", "в любой квадрат можно вписать окружность;"],
["г", "сумма углов любого треугольника равна $360^{\\circ}$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Катет $=$ половина гипотенузы ⟹ напротив угла $30°$ — <b>верно</b></li>
<li>б) Теорема синусов $\\dfrac{AC}{\\sin B}=2R$ — <b>верно</b></li>
<li>в) В любой квадрат вписывается окружность — <b>верно</b></li>
<li>г) «Сумма углов треугольника $= 360°$» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Сумма углов любого треугольника равна $\\mathbf{180°}$.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Раскройте скобки $-10 - (-5x - 12)$ и упростите полученное выражение.`,
sol: `Минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри:
$$-10 - (-5x - 12) = -10 + 5x + 12 = 5x + 2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $5x+2$</div>`
},
{
text: `Решите неравенство $2x - 5 > 17$.
Определите количество целых чисел из второго десятка, которые являются решениями этого неравенства.`,
sol: `<b>Свойства линейного неравенства:</b> к обеим частям можно прибавлять одно и то же число, а также можно делить обе части на положительное число — знак неравенства не меняется.
<br><b>Шаг 1.</b> Прибавляем $5$ к обеим частям:
$$2x - 5 + 5 > 17 + 5 \\implies 2x > 22$$
<b>Шаг 2.</b> Делим обе части на $2$ (положительное число):
$$x > 11$$
<b>Шаг 3.</b> Второй десяток — это натуральные числа от $11$ до $20$ (числа $11,\\,12,\\,\\ldots,\\,20$).
<br>Решениями (т.е. $x > 11$ строго) являются те, что <em>больше</em> $11$:
$$12,\\,13,\\,14,\\,15,\\,16,\\,17,\\,18,\\,19,\\,20$$
Всего $9$ чисел.
<div class="sol-ans">Ответ: $x>11$;&ensp;целых из второго десятка — $9$</div>`
},
{
text: `Периметр ромба $ABCD$ равен $48$ см, острый угол $A$ ромба равен $60^{\\circ}$.
Найдите меньшую диагональ $BD$ ромба.`,
sol: `Сторона ромба:&ensp;$a = \\dfrac{48}{4} = 12$ см.
<svg viewBox="0 0 230 195" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:330px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<!-- A=(20,165), B=(80,61), C=(200,61), D=(140,165) — сторона 120px=12см, угол A=60° точно -->
<polygon points="20,165 80,61 200,61 140,165" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<!-- Треугольник ABD — равносторонний (подсветка) -->
<polygon points="20,165 80,61 140,165" fill="rgba(220,38,38,0.13)" stroke="none"/>
<!-- Диагональ AC (пунктир) -->
<line x1="20" y1="165" x2="200" y2="61" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- Диагональ BD — искомая (красная) -->
<line x1="80" y1="61" x2="140" y2="165" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
<!-- Дуга 60° при A: от (42,165) до (31,146) — направление AB точно 60° -->
<path d="M 42 165 A 22 22 0 0 0 31 146" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.3"/>
<text x="6" y="178" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="73" y="55" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="203" y="55" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="143" y="180" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="33" y="158" font-size="11" fill="#555">60°</text>
<!-- Метки сторон -->
<text x="36" y="106" font-size="12" fill="#334155">12</text>
<text x="152" y="106" font-size="12" fill="#334155">12</text>
<text x="133" y="56" font-size="12" fill="#334155">12</text>
<!-- Метка BD -->
<text x="97" y="120" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">BD=12</text>
</svg>
<b>Ключевая идея.</b> В ромбе $ABCD$ рассмотрим треугольник $ABD$:
<ul>
<li>$AB = AD = 12$ см (стороны ромба)</li>
<li>$\\angle BAD = 60°$ (по условию)</li>
</ul>
Треугольник $ABD$ — <b>равнобедренный</b> с углом при вершине $60°$. Углы при основании равны $\\dfrac{180°-60°}{2}=60°$ — <b>все три угла $= 60°$</b>, т.е. треугольник <b>равносторонний</b>.
<br>Значит, $BD = AB = 12$ см.
<div class="sol-ans">Ответ: $BD = 12$ см</div>`
},
{
text: `В арифметической прогрессии второй и девятый члены соответственно равны $3$ и $10$.
Чему равна сумма третьего и десятого членов этой прогрессии?`,
sol: `<b>Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:</b> $a_n = a_1 + (n - 1)d$, где $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии.
<br>Из этой формулы следует: $a_m - a_k = (m - k)\\cdot d$ для любых номеров $m$, $k$.
<br><b>Шаг 1.</b> Находим разность $d$.
<br>Между $a_2$ и $a_9$ — $9 - 2 = 7$ шагов:
$$a_9 - a_2 = 7d \\implies 10 - 3 = 7d \\implies 7d = 7 \\implies d = 1$$
<b>Шаг 2.</b> Находим $a_3$ и $a_{10}$.
<br>$a_3 = a_2 + d = 3 + 1 = 4$ (следующий член = предыдущий $+\\,d$).
<br>$a_{10} = a_9 + d = 10 + 1 = 11$.
<br><b>Шаг 3.</b> Складываем:
$$a_3 + a_{10} = 4 + 11 = 15$$
<div class="sol-ans">Ответ: $15$</div>`
},
{
text: `Двое сотрудников производственной лаборатории Слуцкого сыродельного комбината
$6$ дней обрабатывали результаты измерений.
За какое время может выполнить эту работу первый работник, работая отдельно,
если он за $2$ дня выполняет такую же часть работы, какую второй выполняет за $3$ дня?`,
sol: `Пусть производительности (часть работы за день): первый — $r_1$, второй — $r_2$.
<br><b>Условие 1:</b> «первый за $2$ дня выполняет столько же, сколько второй за $3$»:
$$2r_1 = 3r_2 \\implies r_2 = \\dfrac{2}{3}r_1$$
<b>Условие 2:</b> вместе за $6$ дней выполнили всю работу ($=1$):
$$6(r_1 + r_2) = 1 \\implies 6\\left(r_1 + \\dfrac{2}{3}r_1\\right) = 1$$
$$6\\cdot\\dfrac{5r_1}{3} = 1 \\implies 10r_1 = 1 \\implies r_1 = \\dfrac{1}{10}$$
Первый работник один выполнит работу за время $\\dfrac{1}{r_1} = 10$ дней.
<div class="sol-ans">Ответ: $10$ дней</div>`
},
{
text: `Окружности с радиусами $4$ см и $9$ см касаются внешним образом.
Найдите отрезок общей внешней касательной, заключённый между точками касания.`,
sol: `<b>$O_1O_2 = R+r = 9+4 = 13$ см</b> (внешнее касание). Радиусы перпендикулярны касательной: $O_1T_1\\perp T_1T_2$ и $O_2T_2\\perp T_1T_2$, поэтому $O_1T_1\\parallel O_2T_2$.
<svg viewBox="0 0 230 180" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:360px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- O1=(78,118), R=54. O2=(156,118), r=24. Tangent T1=(99,68), T2=(165,96). H=(90,90) -->
<circle cx="78" cy="118" r="54" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="156" cy="118" r="24" fill="rgba(22,163,74,0.10)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
<!-- Прямоугольник O2-T2-T1-H подсветка -->
<polygon points="90,90 99,68 165,96 156,118" fill="rgba(234,179,8,0.15)" stroke="none"/>
<!-- Линия центров -->
<line x1="78" y1="118" x2="156" y2="118" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<!-- Касательная T1-T2 -->
<line x1="83" y1="57" x2="181" y2="102" stroke="#dc2626" stroke-width="2.2"/>
<!-- Радиусы O1T1, O2T2 (пунктир) -->
<line x1="78" y1="118" x2="99" y2="68" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="156" y1="118" x2="165" y2="96" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="3,2"/>
<!-- O2H (пунктир зелёный) -->
<line x1="156" y1="118" x2="90" y2="90" stroke="#ca8a04" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="4,2"/>
<!-- Прямые углы T1 и T2 (точные, перпендикулярно касательной) -->
<polygon points="99,68 96,75 103,78 106,71" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="165,96 162,103 169,106 172,99" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<!-- Прямой угол при H -->
<polygon points="90,90 96,73 103,76 97,93" fill="none" stroke="#ca8a04" stroke-width="1.1"/>
<!-- Точки -->
<circle cx="78" cy="118" r="3.5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="156" cy="118" r="3.5" fill="#16a34a"/>
<circle cx="99" cy="68" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="165" cy="96" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="90" cy="90" r="3" fill="#ca8a04"/>
<circle cx="132" cy="118" r="2.5" fill="#334155"/>
<!-- Метки -->
<text x="63" y="124" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">O₁</text>
<text x="159" y="124" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">O₂</text>
<text x="90" y="62" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">T₁</text>
<text x="168" y="95" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">T₂</text>
<text x="80" y="89" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#ca8a04">H</text>
<!-- Длины на рисунке -->
<text x="80" y="95" font-size="11" fill="#2563eb">R=9</text>
<text x="147" y="110" font-size="11" fill="#16a34a">r=4</text>
<text x="80" y="106" font-size="11" fill="#ca8a04">5</text>
<text x="121" y="98" font-size="11" fill="#ca8a04">12</text>
<text x="118" y="64" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">T₁T₂=?</text>
<text x="100" y="131" font-size="10" fill="#475569">9</text>
<text x="137" y="127" font-size="10" fill="#475569">4</text>
</svg>
<b>Ключевая идея:</b> опустим из $O_2$ перпендикуляр на прямую $O_1T_1$ — получим точку $H$.
<br>Тогда $O_2T_2T_1H$ — <b>прямоугольник</b>, значит $O_2H = T_1T_2$ (то, что ищем).
$$O_1H = O_1T_1 - T_1H = R - r = 9 - 4 = 5\\text{ см}$$
В прямоугольном $\\triangle O_1HO_2$ ($\\angle H = 90°$) — узнаём тройку <b>5–12–13</b>:
$$O_1O_2^2 = O_1H^2 + O_2H^2 \\implies 13^2 = 5^2 + (T_1T_2)^2$$
$$169 = 25 + (T_1T_2)^2 \\implies (T_1T_2)^2 = 144 \\implies T_1T_2 = 12\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $12$ см</div>`
},
{
text: `Определите знак выражения $8x_1 - x_2$, где $x_1$, $x_2$ — корни уравнения
$(6 + 2\\sqrt{5})\\,x^2 - 15x - (6 - 2\\sqrt{5}) = 0$ и $x_1 < x_2$.`,
sol: `<b>Шаг 1. Замена переменной.</b>
<br>Пусть $y = (6+2\\sqrt{5})\\,x$, тогда $x = \\dfrac{y}{6+2\\sqrt{5}}$. Подставляем в уравнение и умножаем на $(6+2\\sqrt{5})$:
$$y^2 - 15y - (6+2\\sqrt{5})(6-2\\sqrt{5}) = 0$$
По формуле разности квадратов: $(6+2\\sqrt{5})(6-2\\sqrt{5}) = 36 - 20 = 16$.
$$y^2 - 15y - 16 = 0$$
<b>Шаг 2. Решаем простое уравнение.</b>
$$D = 225 + 64 = 289 = 17^2 \\implies y = \\dfrac{15\\pm17}{2}$$
$$y_1 = -1, \\quad y_2 = 16$$
<b>Шаг 3. Возвращаемся к $x$.</b>&ensp;$x = \\dfrac{y}{6+2\\sqrt{5}}$.
<br>Так как $6+2\\sqrt{5} > 0$, знак $x$ совпадает со знаком $y$. Поэтому $x_1 < 0 < x_2$:
$$x_1 = \\dfrac{-1}{6+2\\sqrt{5}} = -\\dfrac{6-2\\sqrt{5}}{16} \\quad\\text{(домножили на сопряжённое)}$$
$$x_2 = \\dfrac{16}{6+2\\sqrt{5}} = \\dfrac{16(6-2\\sqrt{5})}{16} = 6-2\\sqrt{5}$$
<b>Шаг 4. Считаем $8x_1 - x_2$.</b>
$$8x_1 = 8\\cdot\\left(-\\dfrac{6-2\\sqrt{5}}{16}\\right) = -\\dfrac{6-2\\sqrt{5}}{2}$$
$$8x_1 - x_2 = -\\dfrac{6-2\\sqrt{5}}{2} - (6-2\\sqrt{5}) = -(6-2\\sqrt{5})\\left(\\dfrac{1}{2}+1\\right) = -\\dfrac{3(6-2\\sqrt{5})}{2}$$
Так как $6 > 2\\sqrt{5}$ (потому что $36 > 20$), значит $6-2\\sqrt{5} > 0$, и всё выражение <b>отрицательно</b>.
<div class="sol-ans">Ответ: $8x_1 - x_2 < 0$ (отрицательно)</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v38.js
+209
View File
@@ -0,0 +1,209 @@
VARIANTS[38] = {
label: "Вариант 38",
tasks: [
{
text: `Какое из данных равенств является верным, если $f(x) = \\dfrac{8}{x}$:`,
opts: [
["а", "$f(2) = 2$"], ["б", "$f(2) = 4$"], ["в", "$f(2) = 16$"],
["г", "$f(2) = 6$"], ["д", "$f(2) = 64$"],
],
sol: `Подставляем $x=2$:
$$f(2) = \\dfrac{8}{2} = 4$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$f(2)=4$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $\\sqrt{\\dfrac{9}{25}} - \\dfrac{1}{5}$ равно:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{3}{5}$"], ["б", "$\\sqrt{\\dfrac{14}{25}}$"], ["в", "$\\dfrac{4}{5}$"],
["г", "$1$"], ["д", "$\\dfrac{2}{5}$"],
],
sol: `$$\\sqrt{\\dfrac{9}{25}} = \\dfrac{\\sqrt{9}}{\\sqrt{25}} = \\dfrac{3}{5}$$
$$\\dfrac{3}{5} - \\dfrac{1}{5} = \\dfrac{2}{5}$$
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$\\dfrac{2}{5}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "если катет лежит против угла в $30^{\\circ}$, то он равен половине гипотенузы;"],
["б", "если в треугольнике $ABC$ $R$ — радиус описанной окружности, то $\\dfrac{BC}{\\sin A} = 2R$;"],
["в", "сумма углов любого четырёхугольника равна $180^{\\circ}$;"],
["г", "около любого квадрата можно описать окружность?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Катет напротив угла $30°$ равен половине гипотенузы — <b>верно</b></li>
<li>б) Теорема синусов $\\dfrac{BC}{\\sin A}=2R$ — <b>верно</b></li>
<li>в) «Сумма углов четырёхугольника $=180°$» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Сумма углов любого четырёхугольника равна $360°$.</li>
<li>г) Около любого квадрата можно описать окружность — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Раскройте скобки $-4 - (5x + 3)$ и упростите полученное выражение.`,
sol: `Минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри:
$$-4 - (5x + 3) = -4 - 5x - 3 = -5x - 7$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-5x-7$</div>`
},
{
text: `Решите неравенство $5 + 2x > 7$.
Определите количество целых чисел из первого десятка, которые являются решениями этого неравенства.`,
sol: `<b>Свойства линейного неравенства:</b> из обеих частей можно вычитать одно и то же число, а также делить обе части на положительное число — знак неравенства не меняется.
<br><b>Шаг 1.</b> Вычитаем $5$ из обеих частей:
$$5 + 2x - 5 > 7 - 5 \\implies 2x > 2$$
<b>Шаг 2.</b> Делим обе части на $2$ (положительное число):
$$x > 1$$
<b>Шаг 3.</b> Первый десяток — натуральные числа от $1$ до $10$ (числа $1,\\,2,\\,\\ldots,\\,10$).
<br>Решениями (т.е. $x > 1$ строго) являются те, что <em>больше</em> $1$:
$$2,\\,3,\\,4,\\,5,\\,6,\\,7,\\,8,\\,9,\\,10$$
Всего $9$ чисел.
<div class="sol-ans">Ответ: $x > 1$;&ensp;целых из первого десятка — $9$</div>`
},
{
text: `Меньшая диагональ $BD$ ромба $ABCD$ равна $10$ см, тупой угол $B$ ромба равен $120^{\\circ}$.
Найдите периметр ромба.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 230 195" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:330px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<!-- A=(20,165), B=(80,61), C=(200,61), D=(140,165) — сторона 120px=10см, угол A=60° -->
<polygon points="20,165 80,61 200,61 140,165" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<!-- Треугольник ABD (подсветка) -->
<polygon points="20,165 80,61 140,165" fill="rgba(220,38,38,0.13)" stroke="none"/>
<!-- Диагональ AC (пунктир) -->
<line x1="20" y1="165" x2="200" y2="61" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- Диагональ BD — данная (красная) -->
<line x1="80" y1="61" x2="140" y2="165" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
<!-- Дуга 60° при A -->
<path d="M 42 165 A 22 22 0 0 0 31 146" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.3"/>
<!-- Дуга 120° при B -->
<path d="M 102 61 A 22 22 0 0 1 91 80" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.3"/>
<text x="6" y="178" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="73" y="55" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="203" y="55" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="143" y="180" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="33" y="158" font-size="11" fill="#555">60°</text>
<text x="86" y="78" font-size="11" fill="#555">120°</text>
<!-- Метка BD -->
<text x="97" y="120" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">BD=10</text>
</svg>
<b>Свойства ромба:</b>
<br>1) Все четыре стороны ромба равны.
<br>2) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
<br>3) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим точку пересечения диагоналей через $O$. По свойству диагоналей:
$$BO = \\dfrac{BD}{2} = \\dfrac{10}{2} = 5\\text{ см}$$
<b>Шаг 2.</b> Поскольку $BD$ — биссектриса тупого угла $B = 120°$:
$$\\angle OBC = \\dfrac{\\angle B}{2} = \\dfrac{120°}{2} = 60°$$
<b>Шаг 3.</b> Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBC$ (прямой угол при $O$).
<br>По <b>определению косинуса:</b> $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
<br>Прилежащий к углу $B$ катет — $BO$, гипотенуза — $BC$:
$$\\cos 60° = \\dfrac{BO}{BC} \\implies \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{5}{BC} \\implies BC = 10\\text{ см}$$
<b>Шаг 4.</b> Периметр ромба — это сумма всех сторон, а они равны:
$$P = 4\\cdot BC = 4\\cdot 10 = 40\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $P = 40$ см</div>`
},
{
text: `В арифметической прогрессии третий и десятый члены соответственно равны $12$ и $-2$.
Чему равна сумма второго и одиннадцатого членов этой прогрессии?`,
sol: `<b>Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:</b> $a_n = a_1 + (n - 1)d$.
<br>Из неё следует: $a_m - a_k = (m - k)\\cdot d$.
<br><b>Шаг 1.</b> Находим разность $d$.
<br>Между $a_3$ и $a_{10}$ — $10 - 3 = 7$ шагов:
$$a_{10} - a_3 = 7d \\implies -2 - 12 = 7d \\implies 7d = -14 \\implies d = -2$$
<b>Шаг 2.</b> Находим $a_2$ и $a_{11}$.
<br>$a_2 = a_3 - d = 12 - (-2) = 14$ (предыдущий член = следующий $-\\,d$).
<br>$a_{11} = a_{10} + d = -2 + (-2) = -4$.
<br><b>Шаг 3.</b> Складываем:
$$a_2 + a_{11} = 14 + (-4) = 10$$
<div class="sol-ans">Ответ: $10$</div>`
},
{
text: `Двое сотрудников по озеленению Национального историко-культурного
музея-заповедника «Несвиж» могут выполнить уборку части парка за $12$ дней.
За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый сотрудник,
если он за $2$ дня выполняет такую же часть работы, какую второй выполняет за $3$ дня?`,
sol: `Пусть производительности (часть работы за день): первый — $r_1$, второй — $r_2$.
<br><b>Условие 1:</b> «первый за $2$ дня выполняет столько же, сколько второй за $3$»:
$$2r_1 = 3r_2 \\implies r_2 = \\dfrac{2}{3}r_1$$
<b>Условие 2:</b> вместе за $12$ дней выполнили всю работу ($=1$):
$$12(r_1 + r_2) = 1 \\implies 12\\left(r_1 + \\dfrac{2}{3}r_1\\right) = 1$$
$$12\\cdot\\dfrac{5r_1}{3} = 1 \\implies 20r_1 = 1 \\implies r_1 = \\dfrac{1}{20}$$
Первый сотрудник один выполнит работу за $\\dfrac{1}{r_1} = 20$ дней.
<div class="sol-ans">Ответ: $20$ дней</div>`
},
{
text: `Окружности с радиусами $9$ см и $16$ см касаются внешним образом.
Найдите отрезок общей внешней касательной, заключённый между точками касания.`,
sol: `<b>$O_1O_2 = R+r = 16+9 = 25$ см</b> (внешнее касание). Радиусы перпендикулярны касательной: $O_1T_1\\perp T_1T_2$ и $O_2T_2\\perp T_1T_2$, поэтому $O_1T_1\\parallel O_2T_2$.
<svg viewBox="0 0 230 180" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:360px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- Схематично: больший круг слева (R=16), меньший справа (r=9) -->
<circle cx="78" cy="118" r="54" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="156" cy="118" r="24" fill="rgba(22,163,74,0.10)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
<!-- Прямоугольник O2-T2-T1-H подсветка -->
<polygon points="90,90 99,68 165,96 156,118" fill="rgba(234,179,8,0.15)" stroke="none"/>
<!-- Линия центров -->
<line x1="78" y1="118" x2="156" y2="118" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<!-- Касательная T1-T2 -->
<line x1="83" y1="57" x2="181" y2="102" stroke="#dc2626" stroke-width="2.2"/>
<!-- Радиусы O1T1, O2T2 (пунктир) -->
<line x1="78" y1="118" x2="99" y2="68" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="156" y1="118" x2="165" y2="96" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="3,2"/>
<!-- O2H (пунктир жёлтый) -->
<line x1="156" y1="118" x2="90" y2="90" stroke="#ca8a04" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="4,2"/>
<!-- Прямые углы T1 и T2 -->
<polygon points="99,68 96,75 103,78 106,71" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="165,96 162,103 169,106 172,99" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<!-- Прямой угол при H -->
<polygon points="90,90 96,73 103,76 97,93" fill="none" stroke="#ca8a04" stroke-width="1.1"/>
<!-- Точки -->
<circle cx="78" cy="118" r="3.5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="156" cy="118" r="3.5" fill="#16a34a"/>
<circle cx="99" cy="68" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="165" cy="96" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="90" cy="90" r="3" fill="#ca8a04"/>
<!-- Метки -->
<text x="63" y="124" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">O₁</text>
<text x="159" y="124" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">O₂</text>
<text x="90" y="62" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">T₁</text>
<text x="168" y="95" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">T₂</text>
<text x="80" y="89" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#ca8a04">H</text>
<!-- Длины -->
<text x="80" y="95" font-size="11" fill="#2563eb">R=16</text>
<text x="147" y="110" font-size="11" fill="#16a34a">r=9</text>
<text x="80" y="106" font-size="11" fill="#ca8a04">7</text>
<text x="121" y="98" font-size="11" fill="#ca8a04">24</text>
<text x="118" y="64" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">T₁T₂=?</text>
<text x="100" y="131" font-size="10" fill="#475569">16</text>
<text x="137" y="127" font-size="10" fill="#475569">9</text>
</svg>
<b>Опустим из $O_2$ перпендикуляр на прямую $O_1T_1$</b> — получим точку $H$.
<br>Тогда $O_2T_2T_1H$ — <b>прямоугольник</b>, значит $O_2H = T_1T_2$ (то, что ищем).
$$O_1H = O_1T_1 - T_1H = R - r = 16 - 9 = 7\\text{ см}$$
В прямоугольном $\\triangle O_1HO_2$ ($\\angle H = 90°$) — узнаём тройку <b>7–24–25</b>:
$$O_1O_2^2 = O_1H^2 + O_2H^2 \\implies 25^2 = 7^2 + (T_1T_2)^2$$
$$625 = 49 + (T_1T_2)^2 \\implies (T_1T_2)^2 = 576 \\implies T_1T_2 = 24\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $24$ см</div>`
},
{
text: `Определите знак выражения $\\dfrac{2}{9}x_1 - x_2$, где $x_1$, $x_2$ — корни уравнения
$(5 - 2\\sqrt{6})\\,x^2 - 10x + 9(5 + 2\\sqrt{6}) = 0$ и $x_1 \\gt x_2$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
<br><b>Шаг 1. Подготовка.</b>
<br>Замечаем красивое равенство:
$$(5 - 2\\sqrt{6})(5 + 2\\sqrt{6}) = 5^2 - (2\\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1$$
Числа $5 - 2\\sqrt{6}$ и $5 + 2\\sqrt{6}$ — <em>взаимно обратны</em>: $\\dfrac{1}{5 - 2\\sqrt{6}} = 5 + 2\\sqrt{6}$.
<br><b>Шаг 2. Замена переменной.</b>
<br>Сделаем замену $y = (5 - 2\\sqrt{6})\\,x$. Тогда $x = y\\cdot(5 + 2\\sqrt{6})$.
<br>Подставляем в исходное уравнение, помня, что $(5 - 2\\sqrt{6})\\cdot x^2 = \\dfrac{y^2}{5 - 2\\sqrt{6}} = y^2(5 + 2\\sqrt{6})$... Удобнее иначе: умножим обе части исходного уравнения на $(5 - 2\\sqrt{6})$. Учитывая, что $9(5 + 2\\sqrt{6})\\cdot(5 - 2\\sqrt{6}) = 9\\cdot 1 = 9$:
$$(5 - 2\\sqrt{6})^2 x^2 - 10(5 - 2\\sqrt{6})\\,x + 9 = 0$$
В переменной $y = (5 - 2\\sqrt{6})\\,x$ это:
$$y^2 - 10y + 9 = 0$$
<b>Шаг 3. Решаем по теореме Виета.</b>
<br>Корни уравнения $y^2 - 10y + 9 = 0$: ищем числа с суммой $10$ и произведением $9$. Это $1$ и $9$:
$$(y - 1)(y - 9) = 0 \\implies y_1 = 1,\\; y_2 = 9$$
<b>Шаг 4. Возвращаемся к $x$.</b>
<br>$x = y\\cdot(5 + 2\\sqrt{6})$, причём $5 + 2\\sqrt{6} \\gt 0$. По условию $x_1 \\gt x_2$, поэтому большему $y$ соответствует больший $x$:
$$x_1 = 9(5 + 2\\sqrt{6}), \\quad x_2 = 5 + 2\\sqrt{6}$$
<b>Шаг 5. Вычисляем $\\dfrac{2}{9}x_1 - x_2$.</b>
$$\\dfrac{2}{9}\\cdot 9(5 + 2\\sqrt{6}) - (5 + 2\\sqrt{6}) = 2(5 + 2\\sqrt{6}) - (5 + 2\\sqrt{6}) = 5 + 2\\sqrt{6}$$
Так как $5 \\gt 0$ и $2\\sqrt{6} \\gt 0$, то $5 + 2\\sqrt{6} \\gt 0$.
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{2}{9}x_1 - x_2 \\gt 0$ (положительно)</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v39.js
+216
View File
@@ -0,0 +1,216 @@
VARIANTS[39] = {
label: "Вариант 39",
tasks: [
{
text: `Определите промежуток, которому принадлежит число $1{,}15$:`,
opts: [
["а", "$(1{,}1;\\; 1{,}145)$"], ["б", "$(1;\\; 1{,}05)$"], ["в", "$(1;\\; 1{,}1)$"],
["г", "$(1{,}2;\\; 1{,}3)$"], ["д", "$(1{,}1;\\; 1{,}2)$"],
],
sol: `Проверяем каждый вариант: $1{,}1 < 1{,}15 < 1{,}2$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$(1{,}1;\\;1{,}2)$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $4{,}5 : 9 - 0{,}4$ равно:`,
opts: [
["а", "$0{,}9$"], ["б", "$4{,}6$"], ["в", "$0{,}1$"], ["г", "$0{,}3$"], ["д", "$0{,}01$"],
],
sol: `$$4{,}5 : 9 - 0{,}4 = 0{,}5 - 0{,}4 = 0{,}1$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$0{,}1$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "если все стороны квадрата увеличить в $2$ раза, то его площадь увеличится в $2$ раза;"],
["б", "внешний угол треугольника является смежным с его внутренним углом;"],
["в", "медианы равностороннего треугольника равны между собой;"],
["г", "диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\\sqrt{2}$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Стороны $\\times2$ ⟹ площадь $\\times 2^2 = 4$, а не в $2$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>б) Внешний угол смежен с внутренним — <b>верно</b></li>
<li>в) В равностороннем треугольнике все медианы равны — <b>верно</b></li>
<li>г) Диагональ квадрата $= a\\sqrt{2}$ — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а)</div>`
},
{
text: `Выполните деление: $\\dfrac{m}{m+1} : \\dfrac{m}{m^2-1}$.`,
sol: `Деление на дробь — умножаем на обратную. ОДЗ: $m\\neq0$, $m\\neq\\pm1$.
$$\\dfrac{m}{m+1}:\\dfrac{m}{m^2-1} = \\dfrac{m}{m+1}\\cdot\\dfrac{m^2-1}{m} = \\dfrac{\\cancel{m}}{m+1}\\cdot\\dfrac{(m-1)\\cancel{(m+1)}}{\\cancel{m}} = m-1$$
<div class="sol-ans">Ответ: $m-1$</div>`
},
{
text: `Найдите больший корень уравнения $x^4 - 15x^2 - 16 = 0$.`,
sol: `<b>Метод решения биквадратного уравнения:</b> уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$ решается заменой $t = x^2$, причём $t \\geq 0$ (так как квадрат любого числа неотрицателен).
<br><b>Шаг 1.</b> Делаем замену $t = x^2$, где $t \\geq 0$:
$$t^2 - 15t - 16 = 0$$
<b>Шаг 2.</b> Решаем квадратное уравнение по <b>формуле дискриминанта</b> $D = b^2 - 4ac$:
$$D = (-15)^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$$
$$t = \\dfrac{15 \\pm 17}{2} \\implies t_1 = \\dfrac{32}{2} = 16, \\quad t_2 = \\dfrac{-2}{2} = -1$$
<b>Шаг 3.</b> Поскольку $t = x^2 \\geq 0$, корень $t_2 = -1$ <em>не подходит</em>. Остаётся $t = 16$.
<br><b>Шаг 4.</b> Возвращаемся к $x$:
$$x^2 = 16 \\implies x = \\pm\\sqrt{16} = \\pm 4$$
<b>Шаг 5.</b> Из корней $x = 4$ и $x = -4$ больший — это $x = 4$.
<div class="sol-ans">Ответ: больший корень $x = 4$</div>`
},
{
text: `В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $AC = 5$ см, $CM$ — медиана,
$\\angle ACM = \\angle BCM$. Найдите синус угла $A$.`,
sol: `<b>Шаг 1. Определяем тип треугольника.</b>
<br>$CM$ — медиана, значит $M$ — середина $AB$. Равенство $\\angle ACM=\\angle BCM$ означает, что $CM$ — <em>также</em> биссектриса угла $C$.
<br>По теореме о биссектрисе: $\\dfrac{AM}{MB} = \\dfrac{AC}{BC}$. Так как $AM=MB$ (медиана), то $AC = BC$.
$$BC = AC = 5\\text{ см}$$
Треугольник <b>равнобедренный</b> с основанием $AB=6$ и боковыми сторонами $=5$.
<svg viewBox="0 0 150 105" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:220px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,88 110,88 65,28" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="65" y1="28" x2="65" y2="88" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
<circle cx="65" cy="88" r="3" fill="#dc2626"/>
<path d="M 38 88 A 18 18 0 0 0 32 72" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<text x="6" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="113" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="61" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="60" y="100" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
<text x="37" y="56" font-size="11" fill="#334155">5</text>
<text x="82" y="56" font-size="11" fill="#334155">5</text>
<text x="60" y="83" font-size="11" fill="#334155">6</text>
<text x="27" y="80" font-size="10" fill="#555">A</text>
<text x="66" y="61" font-size="11" fill="#dc2626">h</text>
</svg>
<b>Шаг 2. Находим высоту $CM$.</b>
<br>В равнобедренном треугольнике медиана из $C$ на $AB$ является одновременно <b>высотой</b>. Из прямоугольного $\\triangle CAM$:
$$h = CM = \\sqrt{AC^2 - AM^2} = \\sqrt{25 - 9} = \\sqrt{16} = 4\\text{ см}$$
<b>Шаг 3. Синус угла $A$.</b>
$$\\sin A = \\dfrac{h}{AC} = \\dfrac{4}{5}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\sin A = \\dfrac{4}{5}$</div>`
},
{
text: `Найдите число целых решений неравенства
$\\dfrac{(x-3)(-x^2+5x+6)}{x-5} \\geq 0$.`,
sol: `<b>Раскладываем числитель:</b>
$$-x^2+5x+6 = -(x^2-5x-6) = -(x-6)(x+1)$$
Неравенство принимает вид:
$$\\dfrac{-(x-3)(x-6)(x+1)}{x-5}\\geq0 \\iff \\dfrac{(x-3)(x-6)(x+1)}{x-5}\\leq0$$
<b>Метод интервалов.</b> Корни: $x=-1,\\,3,\\,5,\\,6$ (при $x=5$ — ОДЗ).
<table style="border-collapse:collapse;font-size:12px;margin:6px 0">
<tr style="background:#f1f5f9"><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">Интервал</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">Знак</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$\\leq0$?</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$x<-1$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$+$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">✗</td></tr>
<tr style="background:#dbeafe"><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$x=-1$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$0$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">✓</td></tr>
<tr style="background:#dbeafe"><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$-1\\lt x\\lt 3$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$-$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">✓</td></tr>
<tr style="background:#dbeafe"><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$x=3$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$0$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">✓</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$3\\lt x\\lt 5$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$+$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">✗</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$x=5$</td><td colspan="2" style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">не определено</td></tr>
<tr style="background:#dbeafe"><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$5\\lt x\\lt 6$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$-$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">✓</td></tr>
<tr style="background:#dbeafe"><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$x=6$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$0$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">✓</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$x>6$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">$+$</td><td style="padding:3px 6px;border:1px solid #cbd5e1">✗</td></tr>
</table>
<b>Решение:</b> $x\\in[-1;\\,3]\\cup(5;\\,6]$.
<svg viewBox="0 0 310 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:310px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
<defs><marker id="v39t7" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="302" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v39t7)"/>
<line x1="45" y1="22" x2="45" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="45" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
<line x1="125" y1="22" x2="125" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="125" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3</text>
<line x1="185" y1="22" x2="185" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="185" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">5</text>
<line x1="225" y1="22" x2="225" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="225" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">6</text>
<line x1="45" y1="26" x2="125" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" opacity="0.55"/>
<circle cx="45" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="125" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<line x1="185" y1="26" x2="225" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" opacity="0.55"/>
<circle cx="185" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<circle cx="225" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
</svg>
Целые из $[-1;3]$: $-1,0,1,2,3$ — $5$ чисел. Из $(5;6]$: $6$ — $1$ число.
<div class="sol-ans">Ответ: $6$ целых решений</div>`
},
{
text: `График линейной функции проходит через точки $A(-2;\\; 11)$ и $B(4;\\; -10)$.
Запишите формулу, задающую эту функцию.
Найдите, при каких значениях переменной функция принимает неположительные значения.`,
sol: `<b>Линейная функция:</b> график $y = kx + b$ — прямая. Чтобы найти $k$ и $b$, подставляем координаты двух точек графика.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию график проходит через $A(-2;\\,11)$ и $B(4;\\,-10)$. Угловой коэффициент по формуле $k = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:
$$k = \\dfrac{-10 - 11}{4 - (-2)} = \\dfrac{-21}{6} = -\\dfrac{7}{2}$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём $b$, подставив координаты точки $A(-2;\\,11)$ в уравнение $y = kx + b$:
$$11 = -\\dfrac{7}{2}\\cdot(-2) + b \\implies 11 = 7 + b \\implies b = 4$$
Значит, формула функции: $f(x) = -\\dfrac{7}{2}x + 4$.
<br><b>Шаг 3. Проверка:</b> подставим $x = 4$:
$$f(4) = -\\dfrac{7}{2}\\cdot 4 + 4 = -14 + 4 = -10 \\quad \\checkmark$$
<b>Шаг 4.</b> «Функция принимает неположительные значения» означает $f(x) \\leq 0$. Решаем неравенство:
$$-\\dfrac{7}{2}x + 4 \\leq 0$$
Переносим $4$ в правую часть со сменой знака:
$$-\\dfrac{7}{2}x \\leq -4$$
Делим на $-\\dfrac{7}{2}$ (отрицательное число — знак неравенства меняется на противоположный):
$$x \\geq \\dfrac{-4}{-7/2} = \\dfrac{8}{7}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $f(x)=-\\dfrac{7}{2}x+4$;&ensp;функция неположительна при $x\\geq\\dfrac{8}{7}$</div>`
},
{
text: `Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны $6$ см и $8$ см,
а медиана, проведённая к третьей стороне, равна $5$ см.`,
sol: `<b>Шаг 1. Строим параллелограмм.</b>
<br>Пусть $M$ — середина третьей стороны $AB$, а $CM=5$ — медиана. Отметим точку $D$ так, чтобы $M$ стала серединой отрезка $CD$ (то есть $MD=CM=5$, $CD=10$).
<br>Тогда $ACBD$ — <b>параллелограмм</b>, ведь его диагонали $AB$ и $CD$ делятся точкой $M$ пополам.
<svg viewBox="0 0 155 130" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<!-- Параллелограмм ACBD (прямоугольник) -->
<polygon points="107,110 35,110 35,14 107,14" fill="rgba(234,179,8,0.10)" stroke="#ca8a04" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- Треугольник ABC (синий) -->
<polygon points="35,110 107,110 35,14" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<!-- Треугольник ACD (зелёный) -->
<polygon points="107,110 35,110 107,14" fill="rgba(22,163,74,0.12)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3"/>
<!-- Медиана CM продолжена до D -->
<line x1="35" y1="110" x2="107" y2="14" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<!-- M — середина CD -->
<circle cx="71" cy="62" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<!-- Прямой угол при C -->
<polygon points="35,110 43,110 43,102 35,102" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.2"/>
<!-- Прямой угол при A в треугольнике ACD -->
<polygon points="107,110 107,102 99,102 99,110" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="20" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="110" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="20" y="10" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="110" y="10" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="67" y="57" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
<!-- Длины -->
<text x="66" y="122" font-size="11" fill="#334155">6</text>
<text x="22" y="65" font-size="11" fill="#334155">8</text>
<text x="112" y="65" font-size="11" fill="#16a34a">8</text>
<text x="66" y="9" font-size="11" fill="#334155">6</text>
<text x="38" y="84" font-size="10" fill="#dc2626">5</text>
<text x="86" y="42" font-size="10" fill="#dc2626">5</text>
<text x="75" y="75" font-size="11" fill="#dc2626">10</text>
</svg>
<b>Шаг 2. Стороны параллелограмма.</b>
<br>В параллелограмме $ACBD$: $AC = BD = 6$ и $BC = AD = 8$ (противоположные стороны). Диагональ $CD = 2\\cdot CM = 10$.
<br><b>Шаг 3. Треугольник $ACD$ — прямоугольный.</b>
<br>Рассмотрим $\\triangle ACD$ со сторонами $AC=6$, $AD=8$, $CD=10$:
$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \\checkmark$$
По обратной теореме Пифагора: $\\angle A = 90°$ (зелёный прямой угол на рисунке).
$$S_{\\triangle ACD} = \\dfrac{1}{2}\\cdot AC\\cdot AD = \\dfrac{1}{2}\\cdot6\\cdot8 = 24\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 4. Площадь исходного треугольника.</b>
<br>Диагональ $CD$ делит параллелограмм на два равных треугольника: $\\triangle ACD$ и $\\triangle ABC$.
$$S_{\\triangle ABC} = S_{\\triangle ACD} = 24\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $24$ см²</div>`
},
{
text: `Из двух домов, расстояние между которыми $180$ м, вышли и одновременно пошли
в одном направлении в школу мальчик и девочка. Девочка идёт впереди мальчика.
Скорость мальчика $6$ км/ч, скорость девочки $60$ м/мин.
Догонит ли мальчик девочку до прихода в школу, если путь девочки занимает $4$ мин?
Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Переводим скорость мальчика:</b>
$$6\\text{ км/ч} = \\dfrac{6000\\text{ м}}{60\\text{ мин}} = 100\\text{ м/мин}$$
<b>Расстояние до школы</b> (от девочки): $60\\times4=240$ м. Мальчик стартует на $180$ м позади, значит ему до школы $240+180=420$ м.
<br><b>Скорость сближения:</b> мальчик быстрее на $100-60=40$ м/мин. Начальный разрыв $=180$ м.
<br><b>Время до нагона:</b>
$$t = \\dfrac{180}{40} = 4{,}5\\text{ мин}$$
Но девочка добирается до школы за $4$ мин, а мальчику нужно $4{,}5>4$ мин, чтобы её нагнать.
<br>Проверим по позициям (отсчёт от старта девочки):
<table style="border-collapse:collapse;font-size:12px;margin:6px 0">
<tr style="background:#f1f5f9"><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">Момент</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">Девочка</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">Мальчик</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$t=0$</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$0$ м</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$-180$ м</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$t=4$ мин</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$240$ м (школа) ✓</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$-180+400=220$ м</td></tr>
</table>
В момент, когда девочка прибыла в школу ($240$ м), мальчик находится на расстоянии $240-220=20$ м позади.
<div class="sol-ans">Ответ: нет, мальчик <b>не догонит</b> — время нагона $4{,}5$ мин, а путь девочки $4$ мин</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v40.js
+202
View File
@@ -0,0 +1,202 @@
VARIANTS[40] = {
label: "Вариант 40",
tasks: [
{
text: `Определите промежуток, которому принадлежит число $2{,}21$:`,
opts: [
["а", "$(2{,}1;\\; 2{,}121)$"], ["б", "$(2;\\; 2{,}01)$"], ["в", "$(2;\\; 2{,}1)$"],
["г", "$(2{,}2;\\; 2{,}3)$"], ["д", "$(2{,}1;\\; 2{,}2)$"],
],
sol: `Проверяем каждый вариант: $2{,}2 < 2{,}21 < 2{,}3$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$(2{,}2;\\;2{,}3)$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $-1{,}5 : 3 - 0{,}4$ равно:`,
opts: [
["а", "$-0{,}9$"], ["б", "$-0{,}1$"], ["в", "$0{,}1$"], ["г", "$0{,}9$"], ["д", "$-5{,}4$"],
],
sol: `$$-1{,}5 : 3 - 0{,}4 = -0{,}5 - 0{,}4 = -0{,}9$$
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$-0{,}9$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "если все стороны квадрата уменьшить в $2$ раза, то его площадь уменьшится в $2$ раза;"],
["б", "в треугольнике против большего угла лежит большая сторона;"],
["в", "сторона квадрата с диагональю $d$ равна $\\dfrac{d}{\\sqrt{2}}$;"],
["г", "внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Стороны $\\div2$ ⟹ площадь $\\div 2^2 = 4$, а не в $2$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>б) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — <b>верно</b></li>
<li>в) Диагональ $d = a\\sqrt{2} \\Rightarrow a = \\dfrac{d}{\\sqrt{2}}$ — <b>верно</b></li>
<li>г) Внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а)</div>`
},
{
text: `Выполните деление: $\\dfrac{m^2-1}{m} : \\dfrac{m-1}{m}$.`,
sol: `Деление на дробь — умножаем на обратную. ОДЗ: $m\\neq0$, $m\\neq1$.
$$\\dfrac{m^2-1}{m}:\\dfrac{m-1}{m} = \\dfrac{m^2-1}{m}\\cdot\\dfrac{m}{m-1} = \\dfrac{(m-1)(m+1)}{\\cancel{m}}\\cdot\\dfrac{\\cancel{m}}{m-1} = m+1$$
<div class="sol-ans">Ответ: $m+1$</div>`
},
{
text: `Найдите больший корень уравнения $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$.`,
sol: `<b>Метод решения биквадратного уравнения:</b> уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$ решается заменой $t = x^2$, где $t \\geq 0$ (квадрат числа неотрицателен).
<br><b>Шаг 1.</b> Делаем замену $t = x^2$, $t \\geq 0$:
$$t^2 - 8t - 9 = 0$$
<b>Шаг 2.</b> Решаем по <b>теореме Виета</b> (ищем числа с суммой $8$ и произведением $-9$): это $9$ и $-1$.
$$(t - 9)(t + 1) = 0 \\implies t_1 = 9,\\; t_2 = -1$$
<b>Шаг 3.</b> Корень $t_2 = -1$ <em>не подходит</em>, так как $t = x^2 \\geq 0$. Остаётся $t = 9$.
<br><b>Шаг 4.</b> Возвращаемся к $x$:
$$x^2 = 9 \\implies x = \\pm\\sqrt{9} = \\pm 3$$
<b>Шаг 5.</b> Больший из корней $\\{-3,\\,3\\}$ — это $x = 3$.
<div class="sol-ans">Ответ: больший корень $x = 3$</div>`
},
{
text: `В треугольнике $ABC$ $BC = 10$ см, $CM$ — биссектриса, $AM = MB = 8$ см.
Найдите синус угла $B$.`,
sol: `<b>Свойство:</b> если в треугольнике биссектриса является одновременно медианой, то треугольник — равнобедренный (с боковыми сторонами, выходящими из этой вершины).
<br><b>Шаг 1.</b> Условие $AM = MB = 8$ см означает, что $M$ — середина $AB$, то есть $CM$ является <em>медианой</em> из вершины $C$. По условию $CM$ — также <em>биссектриса</em>.
<br>По указанному свойству $\\triangle ABC$ равнобедренный с $AC = BC$, причём $BC = 10$ см дано, значит $AC = 10$ см.
<br>$AB = AM + MB = 8 + 8 = 16$ см.
<svg viewBox="0 0 200 105" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,88 170,88 95,28" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="95" y1="28" x2="95" y2="88" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="95,88 103,88 103,80 95,80" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="95" cy="88" r="3" fill="#dc2626"/>
<text x="6" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="173" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="91" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="90" y="100" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
<text x="50" y="56" font-size="11" fill="#334155">10</text>
<text x="132" y="56" font-size="11" fill="#334155">10</text>
<text x="90" y="102" font-size="11" fill="#334155">16</text>
<text x="99" y="61" font-size="11" fill="#dc2626">h</text>
</svg>
<br><b>Шаг 2.</b> Применим <b>теорему косинусов:</b> $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma$, где $\\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$, $c$ — сторона напротив этого угла.
<br>В $\\triangle ABC$: сторона $AC$ лежит напротив угла $B$, $BC$ и $AB$ — стороны, выходящие из вершины $B$. Поэтому:
$$AC^2 = BC^2 + AB^2 - 2\\cdot BC\\cdot AB\\cdot\\cos B$$
$$10^2 = 10^2 + 16^2 - 2\\cdot 10\\cdot 16\\cdot\\cos B$$
$$100 = 100 + 256 - 320\\cos B$$
$$320\\cos B = 256 \\implies \\cos B = \\dfrac{256}{320} = \\dfrac{4}{5}$$
<b>Шаг 3.</b> Применим <b>основное тригонометрическое тождество:</b> $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$.
<br>Угол $B$ — острый (так как $\\cos B \\gt 0$), значит $\\sin B \\gt 0$:
$$\\sin B = \\sqrt{1 - \\cos^2 B} = \\sqrt{1 - \\dfrac{16}{25}} = \\sqrt{\\dfrac{9}{25}} = \\dfrac{3}{5}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\sin B = \\dfrac{3}{5}$</div>`
},
{
text: `Найдите число целых решений неравенства
$\\dfrac{(x+3)(-x^2+3x+4)}{x+2} \\geq 0$.`,
sol: `<b>Метод интервалов</b> применяется для решения рациональных неравенств: находим корни числителя и знаменателя, отмечаем их на числовой прямой, определяем знак выражения на каждом интервале.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим квадратный трёхчлен в скобках. По <b>теореме Виета</b> ($x_1 + x_2 = 3$, $x_1 x_2 = -4$): корни $4$ и $-1$.
$$-x^2 + 3x + 4 = -(x^2 - 3x - 4) = -(x - 4)(x + 1)$$
<b>Шаг 2.</b> Подставляем в неравенство:
$$\\dfrac{(x + 3)\\cdot[-(x - 4)(x + 1)]}{x + 2} \\geq 0$$
Умножим обе части на $-1$ (знак неравенства меняется!):
$$\\dfrac{(x + 3)(x - 4)(x + 1)}{x + 2} \\leq 0$$
<b>Шаг 3.</b> Находим корни числителя ($-3,\\,-1,\\,4$) и точку, в которой выражение не определено: $x = -2$ (знаменатель равен нулю).
<br><b>Шаг 4.</b> Расставляем точки на числовой прямой и определяем знаки методом интервалов. Получаем:
$$x \\in [-3;\\,-2)\\cup[-1;\\,4]$$
(в точке $x = -2$ знаменатель обнуляется, поэтому она исключается; остальные корни числителя включаются, так как неравенство нестрогое).
<svg viewBox="0 0 310 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:310px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
<defs><marker id="v40t7" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="8" y1="26" x2="302" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v40t7)"/>
<line x1="45" y1="22" x2="45" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="45" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
<line x1="85" y1="22" x2="85" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="85" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−2</text>
<line x1="125" y1="22" x2="125" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="125" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
<line x1="245" y1="22" x2="245" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="245" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">4</text>
<line x1="45" y1="26" x2="85" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" opacity="0.55"/>
<circle cx="45" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="85" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<line x1="125" y1="26" x2="245" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" opacity="0.55"/>
<circle cx="125" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="245" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
</svg>
<b>Шаг 5.</b> Считаем целые числа в найденных интервалах:
<br>— Из $[-3;\\,-2)$: только $-3$ (1 число).
<br>— Из $[-1;\\,4]$: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$ (6 чисел).
<br>Всего: $1 + 6 = 7$.
<div class="sol-ans">Ответ: $7$ целых решений</div>`
},
{
text: `График линейной функции проходит через точки $A(-2;\\; 1)$ и $B(-1;\\; -3)$.
Запишите формулу, задающую эту функцию.
Найдите, при каких значениях переменной функция принимает неотрицательные значения.`,
sol: `<b>Линейная функция:</b> график $y = kx + b$ — прямая; коэффициенты $k$ и $b$ находятся подстановкой координат двух точек графика.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём угловой коэффициент по формуле $k = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:
$$k = \\dfrac{-3 - 1}{-1 - (-2)} = \\dfrac{-4}{1} = -4$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём $b$, подставив точку $A(-2;\\,1)$ в уравнение $y = kx + b$:
$$1 = -4\\cdot(-2) + b \\implies 1 = 8 + b \\implies b = -7$$
Значит, $f(x) = -4x - 7$.
<br><b>Шаг 3. Проверка</b> по второй точке $B(-1;\\,-3)$:
$$f(-1) = -4\\cdot(-1) - 7 = 4 - 7 = -3 \\quad \\checkmark$$
<b>Шаг 4.</b> «Функция принимает неотрицательные значения» означает $f(x) \\geq 0$. Решаем неравенство:
$$-4x - 7 \\geq 0 \\implies -4x \\geq 7$$
Делим обе части на $-4$ (отрицательное число — знак неравенства меняется):
$$x \\leq -\\dfrac{7}{4}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $f(x)=-4x-7$;&ensp;функция неотрицательна при $x\\leq-\\dfrac{7}{4}$</div>`
},
{
text: `Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны $5$ см и $12$ см,
а медиана, проведённая к третьей стороне, равна $6{,}5$ см.`,
sol: `<b>Шаг 1. Строим параллелограмм.</b>
<br>Пусть $M$ — середина третьей стороны $AB$, а $CM=6{,}5$ — медиана. Отметим точку $D$ так, чтобы $M$ стала серединой отрезка $CD$ ($MD=CM=6{,}5$, $CD=13$).
<br>Тогда $ACBD$ — <b>параллелограмм</b>, диагонали $AB$ и $CD$ делятся точкой $M$ пополам.
<svg viewBox="0 0 155 130" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="107,110 35,110 35,14 107,14" fill="rgba(234,179,8,0.10)" stroke="#ca8a04" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="35,110 107,110 35,14" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<polygon points="107,110 35,110 107,14" fill="rgba(22,163,74,0.12)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3"/>
<line x1="35" y1="110" x2="107" y2="14" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="71" cy="62" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<polygon points="35,110 43,110 43,102 35,102" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="107,110 107,102 99,102 99,110" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2"/>
<text x="20" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="110" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="20" y="10" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="110" y="10" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="67" y="57" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
<text x="66" y="122" font-size="11" fill="#334155">5</text>
<text x="22" y="65" font-size="11" fill="#334155">12</text>
<text x="112" y="65" font-size="11" fill="#16a34a">12</text>
<text x="66" y="9" font-size="11" fill="#334155">5</text>
<text x="38" y="84" font-size="10" fill="#dc2626">6,5</text>
<text x="82" y="42" font-size="10" fill="#dc2626">6,5</text>
<text x="72" y="75" font-size="11" fill="#dc2626">13</text>
</svg>
<b>Шаг 2. Стороны параллелограмма.</b>
<br>$AC=BD=5$, $BC=AD=12$, диагональ $CD=2\\cdot6{,}5=13$.
<b>Шаг 3. Треугольник $ACD$ — прямоугольный.</b>
<br>Стороны $AC=5$, $AD=12$, $CD=13$:
$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \\checkmark$$
По обратной теореме Пифагора: $\\angle A = 90°$.
$$S_{\\triangle ACD} = \\dfrac{1}{2}\\cdot AC\\cdot AD = \\dfrac{1}{2}\\cdot5\\cdot12 = 30\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 4. Площадь исходного треугольника.</b>
<br>Диагональ $CD$ делит параллелограмм на два равных треугольника:
$$S_{\\triangle ABC} = S_{\\triangle ACD} = 30\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $30$ см²</div>`
},
{
text: `Из двух домов, расстояние между которыми $280$ м, вышли и одновременно пошли
в одном направлении в школу мальчик и девочка. Девочка идёт впереди мальчика.
Скорость девочки $70$ м/мин, скорость мальчика $5{,}4$ км/ч.
Догонит ли мальчик девочку до прихода в школу, если путь девочки занимает $6$ мин?
Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Переводим скорость мальчика:</b>
$$5{,}4\\text{ км/ч} = \\dfrac{5400\\text{ м}}{60\\text{ мин}} = 90\\text{ м/мин}$$
<b>Расстояние до школы</b> (от девочки): $70\\times6=420$ м. Мальчик стартует на $280$ м позади, значит ему до школы $420+280=700$ м.
<br><b>Скорость сближения:</b> мальчик быстрее на $90-70=20$ м/мин. Начальный разрыв $=280$ м.
<br><b>Время до нагона:</b>
$$t = \\dfrac{280}{20} = 14\\text{ мин}$$
Но девочка добирается до школы за $6$ мин, а мальчику нужно $14>6$ мин, чтобы её нагнать.
<br>Проверим по позициям (отсчёт от старта девочки):
<table style="border-collapse:collapse;font-size:12px;margin:6px 0">
<tr style="background:#f1f5f9"><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">Момент</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">Девочка</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">Мальчик</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$t=0$</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$0$ м</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$-280$ м</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$t=6$ мин</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$420$ м (школа) ✓</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$-280+540=260$ м</td></tr>
</table>
В момент, когда девочка прибыла в школу ($420$ м), мальчик находится на расстоянии $420-260=160$ м позади.
<div class="sol-ans">Ответ: нет, мальчик <b>не догонит</b> — время нагона $14$ мин, а путь девочки $6$ мин</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v41.js
+186
View File
@@ -0,0 +1,186 @@
VARIANTS[41] = {
label: "Вариант 41",
tasks: [
{
text: `Определите верное равенство:`,
opts: [
["а", "$7\\% = 70$"], ["б", "$7\\% = 7$"], ["в", "$7\\% = 0{,}7$"],
["г", "$7\\% = 0{,}07$"], ["д", "$7\\% = 0{,}007$"],
],
sol: `$7\\% = \\dfrac{7}{100} = 0{,}07$
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$7\\%=0{,}07$</div>`
},
{
text: `Запишите одночлен $3a^4b \\cdot \\left(-\\dfrac{1}{3}a^3\\right)$ в стандартном виде:`,
opts: [
["а", "$-ab$"], ["б", "$-a^7b$"], ["в", "$a^4b$"],
["г", "$2\\dfrac{2}{3}ab$"], ["д", "$9a^7b$"],
],
sol: `$$3a^4b\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{3}a^3\\right) = \\left(3\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right)\\right)\\cdot a^{4+3}\\cdot b = -a^7b$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$-a^7b$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "радиус описанной окружности прямоугольного треугольника с гипотенузой $c$ находится по формуле $R = \\dfrac{c}{2}$;"],
["б", "площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ находится по формуле $S = \\dfrac{ab}{2}$;"],
["в", "расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, проведённого к этой прямой;"],
["г", "если в треугольнике $ABC$ сторона $BC$ — наибольшая, то угол $C$ — наибольший?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) $R=c/2$ для прямоугольного треугольника — <b>верно</b></li>
<li>б) $S=ab/2$ — <b>верно</b></li>
<li>в) Расстояние = длина перпендикуляра — <b>верно</b></li>
<li>г) Сторона $BC$ лежит <em>напротив</em> угла $A$. Наибольшая сторона ⟹ наибольший противолежащий угол. Значит наибольший угол — $\\angle A$, а не $\\angle C$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `График функции $y = kx - 4$ проходит через точку $K\\!\\left(-\\dfrac{1}{2};\\; 4\\right)$.
Найдите коэффициент $k$.`,
sol: `Подставляем координаты точки $K$ в уравнение:
$$4 = k\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) - 4 \\implies 8 = -\\dfrac{k}{2} \\implies k = -16$$
<div class="sol-ans">Ответ: $k = -16$</div>`
},
{
text: `Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$,
площадь треугольника $AOB$ равна $15$ см².
Высота, проведённая из вершины $C$ к $AD$, равна $6$ см.
Найдите длину стороны $BC$ параллелограмма.`,
sol: `<b>Шаг 1. Площадь параллелограмма.</b>
<br>Диагонали делят параллелограмм на $4$ равновеликих треугольника:
$$S_{ABCD} = 4\\cdot S_{AOB} = 4\\cdot15 = 60\\text{ см}^2$$
<svg viewBox="0 0 195 125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,105 130,105 165,30 55,30" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="105" x2="165" y2="30" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<line x1="130" y1="105" x2="55" y2="30" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="20,105 55,30 92.5,67.5" fill="rgba(37,99,235,0.18)" stroke="none"/>
<line x1="165" y1="30" x2="165" y2="105" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="165,105 165,97 157,97 157,105" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="92.5" cy="67.5" r="2.5" fill="#334155"/>
<text x="5" y="115" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="132" y="118" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="50" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="168" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="95" y="62" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="42" y="80" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">15</text>
<text x="169" y="70" font-size="11" fill="#16a34a">h=6</text>
</svg>
<b>Шаг 2. Длина $AD$.</b>
<br>Высота из $C$ к $AD$ — это расстояние между параллельными сторонами $BC$ и $AD$ (высота параллелограмма):
$$S_{ABCD} = AD\\cdot h \\implies 60 = AD\\cdot6 \\implies AD = 10\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> В параллелограмме $BC\\parallel AD$, поэтому $BC = AD = 10$ см.
<div class="sol-ans">Ответ: $BC = 10$ см</div>`
},
{
text: `Определите, при каких значениях переменной разность дробей
$\\dfrac{4a-3}{5}$ и $\\dfrac{4a-5}{7}$ неотрицательна.
В ответ запишите наименьшее натуральное значение переменной.`,
sol: `<b>Метод решения линейного неравенства с дробями:</b> приводим дроби к общему знаменателю, затем избавляемся от знаменателя (если он положителен — знак сохраняется).
<br><b>Шаг 1.</b> По условию разность дробей неотрицательна, значит составим неравенство:
$$\\dfrac{4a-3}{5} - \\dfrac{4a-5}{7} \\geq 0$$
<b>Шаг 2.</b> Приводим к общему знаменателю $35$:
$$\\dfrac{7(4a-3) - 5(4a-5)}{35} \\geq 0$$
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки в числителе:
$$7(4a-3) = 28a - 21, \\quad 5(4a-5) = 20a - 25$$
$$28a - 21 - (20a - 25) = 28a - 21 - 20a + 25 = 8a + 4$$
Неравенство принимает вид:
$$\\dfrac{8a + 4}{35} \\geq 0$$
<b>Шаг 4.</b> Так как $35 \\gt 0$, можно умножить обе части на $35$ без изменения знака:
$$8a + 4 \\geq 0 \\implies 8a \\geq -4 \\implies a \\geq -\\dfrac{1}{2}$$
<b>Шаг 5.</b> Среди натуральных чисел ($1, 2, 3,\\ldots$) условию $a \\geq -\\dfrac{1}{2}$ удовлетворяют все. Наименьшее натуральное число — это $a = 1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$\\left(\\dfrac{4}{3-\\sqrt{5}}\\right)^{\\!2} - \\left(\\dfrac{6-5\\sqrt{6}}{5-\\sqrt{6}}\\right)^{\\!2}$.
В ответ запишите число, противоположное найденному.`,
sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе вида $a - \\sqrt{b}$, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое $a + \\sqrt{b}$ и применяем <b>формулу разности квадратов:</b> $(a-\\sqrt{b})(a+\\sqrt{b}) = a^2 - b$.
<br><b>Шаг 1.</b> Упростим первую дробь $\\dfrac{4}{3 - \\sqrt{5}}$, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое $3 + \\sqrt{5}$:
$$\\dfrac{4}{3-\\sqrt{5}} = \\dfrac{4(3+\\sqrt{5})}{(3-\\sqrt{5})(3+\\sqrt{5})} = \\dfrac{4(3+\\sqrt{5})}{9 - 5} = \\dfrac{4(3+\\sqrt{5})}{4} = 3 + \\sqrt{5}$$
<b>Шаг 2.</b> Упростим вторую дробь $\\dfrac{6 - 5\\sqrt{6}}{5 - \\sqrt{6}}$, умножив на сопряжённое $5 + \\sqrt{6}$:
$$\\dfrac{(6-5\\sqrt{6})(5+\\sqrt{6})}{(5-\\sqrt{6})(5+\\sqrt{6})} = \\dfrac{30 + 6\\sqrt{6} - 25\\sqrt{6} - 5\\cdot 6}{25 - 6}$$
В числителе: $30 - 30 + (6 - 25)\\sqrt{6} = -19\\sqrt{6}$. В знаменателе: $19$. Значит:
$$\\dfrac{-19\\sqrt{6}}{19} = -\\sqrt{6}$$
<b>Шаг 3.</b> Подставим в исходное выражение, применяя <b>формулу квадрата суммы</b> $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$$(3+\\sqrt{5})^2 - (-\\sqrt{6})^2 = (9 + 6\\sqrt{5} + 5) - 6 = 14 + 6\\sqrt{5} - 6 = 8 + 6\\sqrt{5}$$
<b>Шаг 4.</b> По условию надо записать число, <em>противоположное</em> найденному. Противоположное к $8 + 6\\sqrt{5}$ — это $-(8 + 6\\sqrt{5})$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-(8+6\\sqrt{5})$</div>`
},
{
text: `В ботаническом саду ландшафтный дизайнер решил разместить кусты роз так,
чтобы в каждом ряду было одинаковое количество кустов,
при этом рядов — на $8$ больше, чем кустов в каждом ряду.
Определите, можно ли на клумбе посадить $128$ кустов роз. Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Метод введения переменной и составления квадратного уравнения.</b>
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть $x$ — количество кустов в каждом ряду ($x$ — натуральное число). По условию рядов на $8$ больше, значит число рядов равно $x + 8$.
<br><b>Шаг 2.</b> Общее число кустов = (число в одном ряду) $\\times$ (число рядов). По условию оно равно $128$, поэтому:
$$x(x + 8) = 128 \\implies x^2 + 8x - 128 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем квадратное уравнение по <b>формуле дискриминанта</b> $D = b^2 - 4ac$:
$$D = 8^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-128) = 64 + 512 = 576 = 24^2$$
$$x = \\dfrac{-8 \\pm 24}{2} \\implies x_1 = 8, \\quad x_2 = -16$$
<b>Шаг 4.</b> Так как $x$ — количество кустов, оно должно быть натуральным, поэтому $x_2 = -16$ <em>не подходит</em>. Остаётся $x = 8$.
<br><b>Шаг 5. Проверка:</b> $8$ кустов в каждом ряду, рядов $8 + 8 = 16$, всего кустов $8\\cdot 16 = 128$ $\\checkmark$.
<div class="sol-ans">Ответ: да, можно — $8$ кустов в ряду и $16$ рядов</div>`
},
{
text: `Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $10$ см, радиус вписанной окружности — $2$ см.
Найдите площадь треугольника.`,
sol: `<b>Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника:</b> с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$:
$$r = \\dfrac{a + b - c}{2}$$
<b>Формула площади через вписанную окружность:</b> $S = r\\cdot s$, где $s = \\dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.
<br><b>Шаг 1.</b> Из формулы радиуса находим сумму катетов:
$$2 = \\dfrac{a + b - 10}{2} \\implies a + b - 10 = 4 \\implies a + b = 14$$
<svg viewBox="0 0 145 140" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="30,115 102,115 30,19" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<polygon points="30,115 38,115 38,107 30,107" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="54" cy="91" r="24" fill="rgba(22,163,74,0.10)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
<line x1="54" y1="91" x2="54" y2="115" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="54" y1="91" x2="30" y2="91" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<circle cx="54" cy="91" r="2.5" fill="#16a34a"/>
<text x="14" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="105" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="14" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="56" y="88" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">I</text>
<text x="36" y="66" font-size="11" fill="#334155">$b$</text>
<text x="62" y="122" font-size="11" fill="#334155">$a$</text>
<text x="55" y="101" font-size="10" fill="#16a34a">r=2</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Считаем полупериметр:
$$s = \\dfrac{a + b + c}{2} = \\dfrac{14 + 10}{2} = 12\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> Находим площадь:
$$S = r\\cdot s = 2\\cdot 12 = 24\\text{ см}^2$$
<b>Проверка:</b> по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2 = 100$. Из $(a + b)^2 = 14^2 = 196$ получаем $a^2 + 2ab + b^2 = 196$, значит $2ab = 196 - 100 = 96$, то есть $ab = 48$. Площадь прямоугольного треугольника $= \\dfrac{ab}{2} = 24$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $24$ см²</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $x(x-1)(x-3)(x-4) = 40$.
В ответ запишите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x| < 5$.`,
sol: `<b>Идея решения:</b> в уравнении вида $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = k$ удобно группировать множители так, чтобы суммы корней внутри пар были одинаковы.
<br><b>Шаг 1.</b> Сгруппируем так: $\\{0,\\,4\\}$ и $\\{1,\\,3\\}$ — обе пары имеют сумму $4$.
$$[x(x - 4)]\\cdot[(x - 1)(x - 3)] = 40$$
Раскрываем скобки в каждой паре:
$$x(x - 4) = x^2 - 4x$$
$$(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$$
Тогда уравнение принимает вид:
$$(x^2 - 4x)(x^2 - 4x + 3) = 40$$
<b>Шаг 2. Замена переменной.</b> Пусть $t = x^2 - 4x$:
$$t(t + 3) = 40 \\implies t^2 + 3t - 40 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем по <b>формуле дискриминанта:</b>
$$D = 3^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$$
$$t = \\dfrac{-3 \\pm 13}{2} \\implies t_1 = 5, \\quad t_2 = -8$$
<b>Шаг 4. Случай $t = 5$:</b> $x^2 - 4x = 5 \\implies x^2 - 4x - 5 = 0$.
<br>По теореме Виета (сумма $4$, произведение $-5$): корни $5$ и $-1$.
$$(x - 5)(x + 1) = 0 \\implies x = 5\\text{ или } x = -1$$
<b>Шаг 5. Случай $t = -8$:</b> $x^2 - 4x = -8 \\implies x^2 - 4x + 8 = 0$.
$$D = 16 - 32 = -16 \\lt 0$$
Дискриминант отрицателен, поэтому вещественных корней нет.
<br><b>Шаг 6. Проверка условия $|x| \\lt 5$:</b>
<ul>
<li>$x = 5$: $|5| = 5$, неравенство $|x| \\lt 5$ строгое, поэтому <em>не подходит</em>.</li>
<li>$x = -1$: $|-1| = 1 \\lt 5$ ✓</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -1$</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v42.js
+190
View File
@@ -0,0 +1,190 @@
VARIANTS[42] = {
label: "Вариант 42",
tasks: [
{
text: `Определите верное равенство:`,
opts: [
["а", "$9\\% = 90$"], ["б", "$9\\% = 9$"], ["в", "$9\\% = 0{,}9$"],
["г", "$9\\% = 0{,}09$"], ["д", "$9\\% = 0{,}009$"],
],
sol: `$9\\% = \\dfrac{9}{100} = 0{,}09$
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$9\\%=0{,}09$</div>`
},
{
text: `Запишите одночлен $2m^5n \\cdot \\left(-\\dfrac{1}{2}m^4\\right)$ в стандартном виде:`,
opts: [
["а", "$-mn$"], ["б", "$-m^9n$"], ["в", "$-mn^9$"],
["г", "$\\dfrac{1}{2}mn$"], ["д", "$4m^9n$"],
],
sol: `$$2m^5n\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}m^4\\right) = \\left(2\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\right)\\cdot m^{5+4}\\cdot n = -m^9n$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$-m^9n$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ находится по формуле $r = \\dfrac{a+b-c}{2}$;"],
["б", "площадь прямоугольника со сторонами $a$, $b$ находится по формуле $S = ab$;"],
["в", "из данной точки, не лежащей на данной прямой, к данной прямой можно провести только один перпендикуляр;"],
["г", "если в треугольнике $ABC$ сторона $AC$ — наибольшая, то угол $A$ — наибольший?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) $r=\\dfrac{a+b-c}{2}$ — <b>верно</b></li>
<li>б) $S=ab$ для прямоугольника — <b>верно</b></li>
<li>в) один перпендикуляр — <b>верно</b></li>
<li>г) $AC$ напротив $\\angle B$ — наибольший $\\angle B$, не $\\angle A$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `График функции $y = kx + 5$ проходит через точку $K\\!\\left(-\\dfrac{1}{5};\\; 25\\right)$.
Найдите коэффициент $k$.`,
sol: `Подставляем $K\\!\\left(-\\dfrac{1}{5};\\;25\\right)$: $25=k\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{5}\\right)+5 \\implies 20=-\\dfrac{k}{5} \\implies k=-100$.
<div class="sol-ans">Ответ: $k = -100$</div>`
},
{
text: `Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$,
площадь треугольника $COD$ равна $12$ см².
Высота, проведённая из вершины $C$ к $AB$, равна $8$ см.
Найдите длину стороны $CD$ параллелограмма.`,
sol: `<b>Свойство диагоналей параллелограмма:</b> диагонали параллелограмма делят его на $4$ треугольника <em>равной площади</em> (равновеликие треугольники).
<br><b>Шаг 1.</b> По этому свойству:
$$S_{ABCD} = 4\\cdot S_{COD} = 4\\cdot 12 = 48\\text{ см}^2$$
<svg viewBox="0 0 195 125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,105 130,105 165,30 55,30" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="105" x2="165" y2="30" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<line x1="130" y1="105" x2="55" y2="30" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<!-- Треугольник COD (верхний правый) -->
<polygon points="130,105 165,30 92.5,67.5" fill="rgba(37,99,235,0.18)" stroke="none"/>
<!-- Высота из C к AB (вниз) -->
<line x1="165" y1="30" x2="165" y2="105" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="165,105 165,97 157,97 157,105" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="92.5" cy="67.5" r="2.5" fill="#334155"/>
<text x="5" y="115" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="132" y="118" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="168" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="50" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="95" y="62" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="125" y="60" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">12</text>
<text x="169" y="70" font-size="11" fill="#16a34a">h=8</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> <b>Формула площади параллелограмма:</b> $S = a\\cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота, проведённая к этой стороне.
<br>Высота, проведённая из $C$ к $AB$, и есть высота параллелограмма к стороне $AB$:
$$S_{ABCD} = AB\\cdot h \\implies 48 = AB\\cdot 8 \\implies AB = 6\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> По <b>свойству параллелограмма</b> противоположные стороны равны:
$$CD = AB = 6\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $CD = 6$ см</div>`
},
{
text: `Определите, при каких значениях переменной разность дробей
$\\dfrac{2b-5}{4}$ и $\\dfrac{4b-3}{6}$ неположительна.
В ответ запишите наименьшее целое значение переменной.`,
sol: `<b>Метод решения линейного неравенства с дробями:</b> приводим дроби к общему знаменателю, затем избавляемся от знаменателя (если он положителен — знак сохраняется).
<br><b>Шаг 1.</b> По условию разность дробей неположительна:
$$\\dfrac{2b-5}{4} - \\dfrac{4b-3}{6} \\leq 0$$
<b>Шаг 2.</b> Приводим к общему знаменателю $12$:
$$\\dfrac{3(2b-5) - 2(4b-3)}{12} \\leq 0$$
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки:
$$3(2b - 5) = 6b - 15, \\quad 2(4b - 3) = 8b - 6$$
$$6b - 15 - (8b - 6) = 6b - 15 - 8b + 6 = -2b - 9$$
Неравенство принимает вид:
$$\\dfrac{-2b - 9}{12} \\leq 0$$
<b>Шаг 4.</b> Так как $12 \\gt 0$, умножим обе части на $12$ без смены знака:
$$-2b - 9 \\leq 0 \\implies -2b \\leq 9$$
Делим на $-2$ (отрицательное число — знак неравенства меняется):
$$b \\geq -\\dfrac{9}{2} = -4{,}5$$
<b>Шаг 5.</b> Среди целых чисел условию $b \\geq -4{,}5$ удовлетворяют $-4, -3, -2, \\ldots$. Наименьшее целое — это $b = -4$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-4$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$\\left(\\dfrac{7}{3-\\sqrt{2}}\\right)^{\\!2} - \\left(\\dfrac{3-4\\sqrt{3}}{4-\\sqrt{3}}\\right)^{\\!2}$.
В ответ запишите число, противоположное найденному.`,
sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе вида $a - \\sqrt{b}$, умножаем на сопряжённое $a + \\sqrt{b}$ и применяем <b>формулу разности квадратов:</b> $(a-\\sqrt{b})(a+\\sqrt{b}) = a^2 - b$.
<br><b>Шаг 1.</b> Упростим первую дробь $\\dfrac{7}{3 - \\sqrt{2}}$:
$$\\dfrac{7}{3-\\sqrt{2}} = \\dfrac{7(3+\\sqrt{2})}{(3-\\sqrt{2})(3+\\sqrt{2})} = \\dfrac{7(3+\\sqrt{2})}{9 - 2} = \\dfrac{7(3+\\sqrt{2})}{7} = 3 + \\sqrt{2}$$
<b>Шаг 2.</b> Упростим вторую дробь $\\dfrac{3 - 4\\sqrt{3}}{4 - \\sqrt{3}}$, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое $4 + \\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{(3 - 4\\sqrt{3})(4 + \\sqrt{3})}{(4 - \\sqrt{3})(4 + \\sqrt{3})} = \\dfrac{12 + 3\\sqrt{3} - 16\\sqrt{3} - 4\\cdot 3}{16 - 3}$$
В числителе: $12 - 12 + (3 - 16)\\sqrt{3} = -13\\sqrt{3}$. В знаменателе: $13$. Получаем:
$$\\dfrac{-13\\sqrt{3}}{13} = -\\sqrt{3}$$
<b>Шаг 3.</b> Подставим в исходное выражение, используя <b>формулу квадрата суммы</b> $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$$(3 + \\sqrt{2})^2 - (-\\sqrt{3})^2 = (9 + 6\\sqrt{2} + 2) - 3 = 11 + 6\\sqrt{2} - 3 = 8 + 6\\sqrt{2}$$
<b>Шаг 4.</b> По условию надо записать число, <em>противоположное</em> найденному. Противоположное к $8 + 6\\sqrt{2}$ — это $-(8 + 6\\sqrt{2})$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-(8+6\\sqrt{2})$</div>`
},
{
text: `В ботаническом саду ландшафтный дизайнер решил разместить кусты пионов так,
чтобы в каждом ряду было одинаковое количество кустов,
при этом рядов — на $7$ меньше, чем кустов в каждом ряду.
Определите, можно ли на клумбе посадить $60$ кустов пионов. Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Метод введения переменной и составления квадратного уравнения.</b>
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть $x$ — количество кустов в каждом ряду ($x$ — натуральное число). По условию рядов на $7$ меньше, значит число рядов равно $x - 7$ (это должно быть положительно, то есть $x \\gt 7$).
<br><b>Шаг 2.</b> Общее число кустов = (число в одном ряду) $\\times$ (число рядов). По условию оно равно $60$, значит:
$$x(x - 7) = 60 \\implies x^2 - 7x - 60 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем по <b>формуле дискриминанта</b> $D = b^2 - 4ac$:
$$D = (-7)^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-60) = 49 + 240 = 289 = 17^2$$
$$x = \\dfrac{7 \\pm 17}{2} \\implies x_1 = 12, \\quad x_2 = -5$$
<b>Шаг 4.</b> Корень $x_2 = -5$ <em>не подходит</em>, так как $x$ должно быть натуральным. Остаётся $x = 12$.
<br><b>Шаг 5. Проверка:</b> $12$ кустов в каждом ряду, рядов $12 - 7 = 5$, всего кустов $12\\cdot 5 = 60$ $\\checkmark$.
<div class="sol-ans">Ответ: да, можно — $12$ кустов в ряду и $5$ рядов</div>`
},
{
text: `Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $13$ см, радиус вписанной окружности — $2$ см.
Найдите площадь треугольника.`,
sol: `<b>Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника:</b> с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$:
$$r = \\dfrac{a + b - c}{2}$$
<b>Формула площади через вписанную окружность:</b> $S = r\\cdot s$, где $s = \\dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.
<br><b>Шаг 1.</b> Из формулы радиуса находим сумму катетов:
$$2 = \\dfrac{a + b - 13}{2} \\implies a + b - 13 = 4 \\implies a + b = 17$$
<svg viewBox="0 0 145 140" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="30,115 102,115 30,19" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<polygon points="30,115 38,115 38,107 30,107" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="54" cy="91" r="24" fill="rgba(22,163,74,0.10)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
<line x1="54" y1="91" x2="54" y2="115" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="54" y1="91" x2="30" y2="91" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<circle cx="54" cy="91" r="2.5" fill="#16a34a"/>
<text x="14" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="105" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="14" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="56" y="88" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">I</text>
<text x="36" y="66" font-size="11" fill="#334155">$b$</text>
<text x="62" y="122" font-size="11" fill="#334155">$a$</text>
<text x="55" y="101" font-size="10" fill="#16a34a">r=2</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Считаем полупериметр:
$$s = \\dfrac{a + b + c}{2} = \\dfrac{17 + 13}{2} = 15\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> Находим площадь:
$$S = r\\cdot s = 2\\cdot 15 = 30\\text{ см}^2$$
<b>Проверка:</b> по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = 169$. Из $(a + b)^2 = 17^2 = 289$ получаем $a^2 + 2ab + b^2 = 289$, значит $2ab = 289 - 169 = 120$, то есть $ab = 60$. Площадь прямоугольного треугольника $= \\dfrac{ab}{2} = 30$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $30$ см²</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $x(x-1)(x-2)(x-3) = 24$.
В ответ запишите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4$.`,
sol: `<b>Идея решения:</b> в уравнении вида $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = k$ группируем множители так, чтобы суммы корней внутри пар были одинаковы.
<br><b>Шаг 1.</b> Сгруппируем: $\\{0,\\,3\\}$ и $\\{1,\\,2\\}$ — обе пары имеют сумму $3$.
$$[x(x - 3)]\\cdot[(x - 1)(x - 2)] = 24$$
Раскрываем скобки в каждой паре:
$$x(x - 3) = x^2 - 3x$$
$$(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$$
Уравнение принимает вид:
$$(x^2 - 3x)(x^2 - 3x + 2) = 24$$
<b>Шаг 2. Замена переменной.</b> Пусть $t = x^2 - 3x$:
$$t(t + 2) = 24 \\implies t^2 + 2t - 24 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем по <b>формуле дискриминанта:</b>
$$D = 2^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$$
$$t = \\dfrac{-2 \\pm 10}{2} \\implies t_1 = 4, \\quad t_2 = -6$$
<b>Шаг 4. Случай $t = 4$:</b> $x^2 - 3x = 4 \\implies x^2 - 3x - 4 = 0$.
<br>По теореме Виета (сумма $3$, произведение $-4$): корни $4$ и $-1$.
$$(x - 4)(x + 1) = 0 \\implies x = 4 \\text{ или } x = -1$$
<b>Шаг 5. Случай $t = -6$:</b> $x^2 - 3x = -6 \\implies x^2 - 3x + 6 = 0$.
$$D = 9 - 24 = -15 \\lt 0$$
Дискриминант отрицателен — вещественных корней нет.
<br><b>Шаг 6. Проверка условия $|x| \\lt 4$:</b>
<ul>
<li>$x = 4$: $|4| = 4$, строгое неравенство $|x| \\lt 4$ не выполняется.</li>
<li>$x = -1$: $|-1| = 1 \\lt 4$ ✓</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -1$</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v43.js
+244
View File
@@ -0,0 +1,244 @@
VARIANTS[43] = {
label: "Вариант 43",
tasks: [
{
text: `Выберите функцию, график которой изображён на рисунке:`,
figure: `<svg viewBox="0 0 260 240" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:280px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto;background:#fff">
<defs>
<marker id="v43t1ax" markerWidth="7" markerHeight="6" refX="7" refY="3" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5z" fill="#94a3b8"/></marker>
</defs>
<!-- Сетка (шаг 20px = 1 единица). Origin: (60,200). x: -2..9, y: -1..9 -->
<g stroke="#e2e8f0" stroke-width="1">
<line x1="20" y1="20" x2="20" y2="220"/><line x1="40" y1="20" x2="40" y2="220"/>
<line x1="80" y1="20" x2="80" y2="220"/><line x1="100" y1="20" x2="100" y2="220"/>
<line x1="120" y1="20" x2="120" y2="220"/><line x1="140" y1="20" x2="140" y2="220"/>
<line x1="160" y1="20" x2="160" y2="220"/><line x1="180" y1="20" x2="180" y2="220"/>
<line x1="200" y1="20" x2="200" y2="220"/><line x1="220" y1="20" x2="220" y2="220"/>
<line x1="240" y1="20" x2="240" y2="220"/>
<line x1="20" y1="40" x2="240" y2="40" /><line x1="20" y1="60" x2="240" y2="60" />
<line x1="20" y1="80" x2="240" y2="80" /><line x1="20" y1="100" x2="240" y2="100"/>
<line x1="20" y1="120" x2="240" y2="120"/><line x1="20" y1="140" x2="240" y2="140"/>
<line x1="20" y1="160" x2="240" y2="160"/><line x1="20" y1="180" x2="240" y2="180"/>
<line x1="20" y1="220" x2="240" y2="220"/>
</g>
<!-- оси -->
<line x1="20" y1="200" x2="252" y2="200" stroke="#475569" stroke-width="1.4" marker-end="url(#v43t1ax)"/>
<line x1="60" y1="232" x2="60" y2="12" stroke="#475569" stroke-width="1.4" marker-end="url(#v43t1ax)"/>
<!-- метки -->
<text x="245" y="214" font-size="11" fill="#475569" font-style="italic">x</text>
<text x="68" y="18" font-size="11" fill="#475569" font-style="italic">y</text>
<text x="56" y="214" font-size="10" fill="#64748b">0</text>
<text x="98" y="214" font-size="10" fill="#64748b">2</text>
<text x="138" y="214" font-size="10" fill="#64748b">4</text>
<text x="46" y="164" font-size="10" fill="#64748b">2</text>
<text x="46" y="124" font-size="10" fill="#64748b">4</text>
<text x="46" y="84" font-size="10" fill="#64748b">6</text>
<!-- парабола y=(x-2)^2+2: точки (x,y): (-1,11)→(40,-20 за рамкой), (0,6)→(60,80), (1,3)→(80,140), (2,2)→(100,160), (3,3)→(120,140), (4,6)→(140,80), (5,11)→(160,-20) -->
<path d="M 60,80 Q 70,118 80,140 Q 90,156 100,160 Q 110,156 120,140 Q 130,118 140,80" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.4"/>
<!-- продолжение к точкам выше графика (5,11) ушло за рамку; ограничимся (0..4) для ясности -->
<!-- Вершина -->
<circle cx="100" cy="160" r="3.6" fill="#dc2626"/>
<text x="106" y="172" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">(2; 2)</text>
</svg>`,
opts: [
["а", "$y = (x+2)^2 - 2$"], ["б", "$y = (x+2)^2 + 2$"], ["в", "$y = (x-2)^2 + 3$"],
["г", "$y = (x-2)^2 + 2$"], ["д", "$y = (x-2)^2 - 2$"],
],
sol: `<b>Свойство параболы $y=(x-a)^2+b$:</b> вершина находится в точке $(a;\\,b)$, ветви направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положительный).
<br><b>Шаг 1.</b> По рисунку определяем координаты вершины: $(2;\\,2)$. Значит $a=2$, $b=2$.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставляем в общую формулу: $y=(x-2)^2+2$.
<br><b>Проверка:</b> при $x=0$ получаем $y=4+2=6$ — точка $(0;\\,6)$ на графике; при $x=4$ получаем $y=4+2=6$ — точка $(4;\\,6)$. Парабола симметрична относительно прямой $x=2$ — это и есть ось симметрии через вершину.
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$y=(x-2)^2+2$</div>`
},
{
text: `Результат сокращения дроби $\\dfrac{18ab - 9a}{9ab}$ равен:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{2ab-a}{ab}$"], ["б", "$\\dfrac{2b-1}{b}$"], ["в", "$2b-1$"],
["г", "$\\dfrac{b-1}{b}$"], ["д", "$2ab - 9a$"],
],
sol: `Выносим $9a$ за скобку в числителе:
$$\\dfrac{18ab-9a}{9ab} = \\dfrac{9a(2b-1)}{9ab} = \\dfrac{2b-1}{b}\\quad(a\\neq0,\\,b\\neq0)$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$\\dfrac{2b-1}{b}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "в любой треугольник можно вписать окружность;"],
["б", "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;"],
["в", "если у четырёхугольника все углы прямые, то это прямоугольник;"],
["г", "прямой угол равен $100^{\\circ}$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) В любой треугольник вписывается окружность — <b>верно</b></li>
<li>б) Равнобедренный: углы при основании равны — <b>верно</b></li>
<li>в) Все углы прямые ⟹ прямоугольник — <b>верно</b></li>
<li>г) «Прямой угол $=100°$» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Прямой угол $= 90°$.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Найдите количество целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} x < -10, \\\\[4pt] x > -15. \\end{cases}$$`,
sol: `Система: $-15 < x < -10$. Целые числа в этом промежутке:
$$-14,\\;-13,\\;-12,\\;-11$$
<div class="sol-ans">Ответ: $4$ целых решения</div>`
},
{
text: `Найдите площадь треугольника со сторонами $5$ см, $5$ см и $6$ см.`,
sol: `<b>Свойство равнобедренного треугольника:</b> высота, проведённая к основанию, является также медианой (т.е. делит основание пополам).
<br><b>Формула площади треугольника:</b> $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота к нему.
<br><b>Шаг 1.</b> У нашего треугольника две стороны по $5$ см и одна $6$ см — он равнобедренный с основанием $6$ см. Высота $CM$, опущенная на основание, делит его пополам: $AM = MB = 3$ см.
<svg viewBox="0 0 160 105" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:220px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,88 128,88 74,16" fill="rgba(37,99,235,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="74" y1="16" x2="74" y2="88" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="74,88 82,88 82,80 74,80" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="74" cy="88" r="2.5" fill="#dc2626"/>
<text x="5" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="131" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="70" y="10" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="69" y="100" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
<text x="36" y="56" font-size="12" fill="#334155">5</text>
<text x="100" y="56" font-size="12" fill="#334155">5</text>
<text x="68" y="102" font-size="11" fill="#334155">6</text>
<text x="79" y="55" font-size="12" fill="#dc2626">h</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Найдём высоту $h = CM$ по <b>теореме Пифагора</b> в прямоугольном треугольнике $ACM$:
$$AC^2 = AM^2 + CM^2 \\implies 5^2 = 3^2 + h^2$$
$$h^2 = 25 - 9 = 16 \\implies h = \\sqrt{16} = 4\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> Считаем площадь:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot 4 = 12\\text{ см}^2$$
<br><br><b>Альтернативный способ — формула Герона.</b>
<br><b>Формула Герона:</b> $S = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \\dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$.
<br><b>Шаг 1.</b> Полупериметр: $p = \\dfrac{5+5+6}{2} = \\dfrac{16}{2} = 8$ см.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставляем в формулу:
$$S = \\sqrt{8\\cdot(8-5)\\cdot(8-5)\\cdot(8-6)} = \\sqrt{8\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 2} = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}^2$$
Оба способа дают один и тот же ответ.
<div class="sol-ans">Ответ: $12$ см²</div>`
},
{
text: `Упростите выражение $\\sqrt{7}\\cdot(\\sqrt{64} + \\sqrt{112} - 5\\sqrt{7})\\cdot(-\\sqrt{28})$.`,
sol: `<b>Свойство квадратного корня:</b> $\\sqrt{a\\cdot b} = \\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{b}$ (для $a,b\\geq 0$), а также $\\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{a} = a$ (для $a\\geq 0$).
<br><b>Шаг 1.</b> Упрощаем каждый корень в скобках, вынося полный квадрат из-под корня:
$$\\sqrt{64} = 8$$
$$\\sqrt{112} = \\sqrt{16\\cdot 7} = \\sqrt{16}\\cdot\\sqrt{7} = 4\\sqrt{7}$$
$$\\sqrt{28} = \\sqrt{4\\cdot 7} = \\sqrt{4}\\cdot\\sqrt{7} = 2\\sqrt{7}$$
<b>Шаг 2.</b> Подставляем и упрощаем выражение в скобках, приводя подобные слагаемые $4\\sqrt{7}$ и $-5\\sqrt{7}$:
$$8 + 4\\sqrt{7} - 5\\sqrt{7} = 8 - \\sqrt{7}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\\sqrt{7}\\cdot(8 - \\sqrt{7})\\cdot(-2\\sqrt{7})$$
<b>Шаг 3.</b> Перемножим крайние множители $\\sqrt{7}$ и $-2\\sqrt{7}$:
$$\\sqrt{7}\\cdot(-2\\sqrt{7}) = -2\\cdot(\\sqrt{7})^2 = -2\\cdot 7 = -14$$
<b>Шаг 4.</b> Умножаем результат на оставшуюся скобку, раскрывая её:
$$-14\\cdot(8 - \\sqrt{7}) = -14\\cdot 8 + 14\\sqrt{7} = -112 + 14\\sqrt{7} = 14(\\sqrt{7} - 8)$$
<div class="sol-ans">Ответ: $14(\\sqrt{7}-8)$</div>`
},
{
text: `Найдите область определения функции
$y = \\sqrt{12 - 6x} - \\dfrac{3}{x^2 - 4}$.`,
sol: `<b>Правила нахождения области определения:</b>
<br>1) Подкоренное выражение чётной степени должно быть неотрицательным: $\\sqrt{f(x)}$ определён при $f(x) \\geq 0$.
<br>2) Знаменатель дроби не может равняться нулю: $\\dfrac{1}{g(x)}$ определена при $g(x) \\neq 0$.
<br>В нашей функции присутствуют оба элемента — выписываем оба условия.
<br><b>Шаг 1.</b> Подкоренное выражение $12 - 6x$ должно быть $\\geq 0$:
$$12 - 6x \\geq 0 \\implies 6x \\leq 12 \\implies x \\leq 2$$
<b>Шаг 2.</b> Знаменатель $x^2 - 4$ должен быть $\\neq 0$:
$$x^2 - 4 \\neq 0 \\implies x^2 \\neq 4 \\implies x \\neq \\pm 2$$
<b>Шаг 3.</b> Объединяем условия: $x \\leq 2$ и $x \\neq -2$ и $x \\neq 2$.
<br>Условие $x \\leq 2$ с исключением $x = 2$ превращается в $x \\lt 2$. С учётом $x \\neq -2$:
$$x \\in (-\\infty;\\,-2)\\cup(-2;\\,2)$$
<div class="sol-ans">Ответ: $(-\\infty;\\,-2)\\cup(-2;\\,2)$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $81x_0$, где $x_0$ — наибольший корень уравнения
$$\\dfrac{x^2}{4x^2+4x+1} - \\dfrac{6x}{2x+1} + 5 = 0.$$`,
sol: `<b>Формула квадрата суммы:</b> $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Замечаем, что $4x^2 + 4x + 1 = (2x)^2 + 2\\cdot 2x\\cdot 1 + 1^2 = (2x + 1)^2$.
<br>Уравнение принимает вид:
$$\\dfrac{x^2}{(2x + 1)^2} - \\dfrac{6x}{2x + 1} + 5 = 0$$
<b>ОДЗ:</b> $2x + 1 \\neq 0$, то есть $x \\neq -\\dfrac{1}{2}$.
<br><b>Шаг 2. Замена переменной.</b> Заметим, что $\\dfrac{x^2}{(2x + 1)^2} = \\left(\\dfrac{x}{2x + 1}\\right)^2$.
<br>Пусть $t = \\dfrac{x}{2x + 1}$. Уравнение становится:
$$t^2 - 6t + 5 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> По <b>теореме Виета</b> (сумма $6$, произведение $5$): корни $1$ и $5$.
$$(t - 1)(t - 5) = 0 \\implies t = 1 \\text{ или } t = 5$$
<b>Шаг 4. Возвращаемся к $x$.</b>
<br>— При $t = 1$: $\\dfrac{x}{2x + 1} = 1 \\implies x = 2x + 1 \\implies -x = 1 \\implies x = -1$.
<br>— При $t = 5$: $\\dfrac{x}{2x + 1} = 5 \\implies x = 5(2x + 1) = 10x + 5 \\implies -9x = 5 \\implies x = -\\dfrac{5}{9}$.
<br><b>Шаг 5. Проверка ОДЗ.</b> Оба значения $\\neq -\\dfrac{1}{2}$ ✓.
<br><b>Шаг 6.</b> Сравним корни: $-\\dfrac{5}{9} \\approx -0{,}56$, а $-1$ меньше. Наибольший корень:
$$x_0 = -\\dfrac{5}{9}$$
$$81x_0 = 81\\cdot\\left(-\\dfrac{5}{9}\\right) = -\\dfrac{81\\cdot 5}{9} = -9\\cdot 5 = -45$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-45$</div>`
},
{
text: `Найдите площадь описанной равнобедренной трапеции, если точка касания вписанной
в неё окружности делит боковую сторону на отрезки, равные $4$ см и $9$ см.`,
sol: `<b>Шаг 1. Основания трапеции.</b>
<br>Боковая сторона $= 4+9 = 13$ см. По свойству касательных из одной точки: от каждой вершины оба касательных отрезка равны.
<br>Обозначим: от вершин большего основания — по $9$, от вершин меньшего — по $4$.
<svg viewBox="0 0 195 115" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<!-- Трапеция ABCD: A=(36,90), B=(66,18), C=(114,18), D=(144,90) -->
<!-- AD=108px=18см, BC=48px=8см, AB=CD=78px=13см, h=72px=12см -->
<polygon points="36,90 144,90 114,18 66,18" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- Вписанная окружность: O=(90,54), r=36px=6см -->
<circle cx="90" cy="54" r="36" fill="rgba(22,163,74,0.08)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
<!-- Отрезок AP_left = 9см (красный) -->
<line x1="36" y1="90" x2="57" y2="40" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
<!-- Отрезок P_leftB = 4см (синий) -->
<line x1="57" y1="40" x2="66" y2="18" stroke="#2563eb" stroke-width="2.5"/>
<!-- Правая боковая сторона (зеркально) -->
<line x1="144" y1="90" x2="123" y2="40" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
<line x1="123" y1="40" x2="114" y2="18" stroke="#2563eb" stroke-width="2.5"/>
<!-- Радиус до нижнего основания (пунктир) -->
<line x1="90" y1="54" x2="90" y2="90" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="3,2"/>
<!-- Точки касания -->
<circle cx="90" cy="90" r="3" fill="#16a34a"/>
<circle cx="90" cy="18" r="3" fill="#16a34a"/>
<circle cx="57" cy="40" r="4" fill="#dc2626"/>
<circle cx="123" cy="40" r="4" fill="#dc2626"/>
<circle cx="90" cy="54" r="3" fill="#334155"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="20" y="101" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="147" y="101" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="58" y="13" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="115" y="13" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="93" y="51" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<!-- Метки отрезков боковой стороны -->
<text x="22" y="68" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">9</text>
<text x="47" y="32" font-size="13" fill="#2563eb" font-weight="bold">4</text>
<text x="150" y="68" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">9</text>
<text x="119" y="32" font-size="13" fill="#2563eb" font-weight="bold">4</text>
<!-- Метки оснований -->
<text x="72" y="108" font-size="11" fill="#334155">AD = 18</text>
<text x="76" y="12" font-size="11" fill="#334155">BC = 8</text>
<!-- Радиус -->
<text x="92" y="75" font-size="11" fill="#16a34a">r = 6</text>
</svg>
$$AD = 9+9 = 18\\text{ см}, \\quad BC = 4+4 = 8\\text{ см}$$
<b>Шаг 2. Высота трапеции.</b>
<br>Горизонтальный выступ ноги: $\\dfrac{AD-BC}{2} = \\dfrac{18-8}{2} = 5$ см.
$$h = \\sqrt{13^2-5^2} = \\sqrt{169-25} = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}$$
<b>Шаг 3. Площадь.</b>
$$S = \\dfrac{AD+BC}{2}\\cdot h = \\dfrac{18+8}{2}\\cdot12 = 13\\cdot12 = 156\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $156$ см²</div>`
},
{
text: `В компанию поступил заказ на укладку $240$ м² напольной плитки.
Плиточник принял решение укладывать на $10$ м² в день больше, чем запланировал ранее.
В результате работа была закончена на $4$ дня раньше установленного срока.
Успеет ли плиточник выполнить заказ за $10$ рабочих дней, если будет работать
по первоначальному плану? Ответ обоснуйте.`,
sol: `Пусть плановая выработка $= x$ м²/день.
<br>По плану: $\\dfrac{240}{x}$ дней. С ускорением: $\\dfrac{240}{x+10}$ дней, на $4$ меньше.
$$\\dfrac{240}{x+10} = \\dfrac{240}{x} - 4$$
Умножаем на $x(x+10)$:
$$240x = 240(x+10) - 4x(x+10)$$
$$0 = 2400 - 4x^2 - 40x \\implies x^2+10x-600=0$$
$$D = 100+2400 = 2500 = 50^2 \\implies x = \\dfrac{-10+50}{2} = 20\\text{ м²/день}$$
<b>Плановый срок:</b> $\\dfrac{240}{20} = 12$ дней.
<br><b>Проверка:</b> при $30$ м²/день: $240\\div30=8$ дней, $12-8=4$ ✓
<br><b>Ответ на вопрос:</b> за $10$ дней при выработке $20$ м²/день плиточник уложит $10\\times20=200$ м² $<240$ м².
<div class="sol-ans">Ответ: нет, не успеет — за $10$ дней уложит лишь $200$ м² из $240$ м²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v44.js
+242
View File
@@ -0,0 +1,242 @@
VARIANTS[44] = {
label: "Вариант 44",
tasks: [
{
text: `Выберите функцию, график которой изображён на рисунке:`,
figure: `<svg viewBox="0 0 280 220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto;background:#fff">
<defs>
<marker id="v44t1ax" markerWidth="7" markerHeight="6" refX="7" refY="3" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5z" fill="#94a3b8"/></marker>
</defs>
<!-- Сетка: шаг 20px = 1 единица. Origin: (40,80). x: -1..11, y: -4..6 -->
<g stroke="#e2e8f0" stroke-width="1">
<line x1="60" y1="20" x2="60" y2="200"/><line x1="80" y1="20" x2="80" y2="200"/>
<line x1="100" y1="20" x2="100" y2="200"/><line x1="140" y1="20" x2="140" y2="200"/>
<line x1="160" y1="20" x2="160" y2="200"/><line x1="180" y1="20" x2="180" y2="200"/>
<line x1="200" y1="20" x2="200" y2="200"/><line x1="220" y1="20" x2="220" y2="200"/>
<line x1="240" y1="20" x2="240" y2="200"/><line x1="260" y1="20" x2="260" y2="200"/>
<line x1="20" y1="40" x2="270" y2="40" /><line x1="20" y1="60" x2="270" y2="60" />
<line x1="20" y1="100" x2="270" y2="100"/><line x1="20" y1="120" x2="270" y2="120"/>
<line x1="20" y1="140" x2="270" y2="140"/><line x1="20" y1="160" x2="270" y2="160"/>
<line x1="20" y1="180" x2="270" y2="180"/>
</g>
<!-- оси -->
<line x1="20" y1="80" x2="278" y2="80" stroke="#475569" stroke-width="1.4" marker-end="url(#v44t1ax)"/>
<line x1="40" y1="210" x2="40" y2="12" stroke="#475569" stroke-width="1.4" marker-end="url(#v44t1ax)"/>
<!-- метки -->
<text x="270" y="94" font-size="11" fill="#475569" font-style="italic">x</text>
<text x="46" y="18" font-size="11" fill="#475569" font-style="italic">y</text>
<text x="32" y="94" font-size="10" fill="#64748b">0</text>
<text x="118" y="94" font-size="10" fill="#64748b">4</text>
<text x="198" y="94" font-size="10" fill="#64748b">8</text>
<text x="26" y="64" font-size="10" fill="#64748b">2</text>
<text x="26" y="124" font-size="10" fill="#64748b">-2</text>
<text x="26" y="164" font-size="10" fill="#64748b">-4</text>
<!-- парабола y=(x-4)^2-2: точки -->
<!-- x=1,y=7→(60,-60 за рамкой); x=2,y=2→(80,40); x=3,y=-1→(100,100); x=4,y=-2→(120,120); x=5,y=-1→(140,100); x=6,y=2→(160,40); x=7,y=7→(180,-60) -->
<path d="M 80,40 Q 90,76 100,100 Q 110,116 120,120 Q 130,116 140,100 Q 150,76 160,40" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.4"/>
<!-- Вершина -->
<circle cx="120" cy="120" r="3.6" fill="#dc2626"/>
<text x="126" y="138" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">(4; -2)</text>
</svg>`,
opts: [
["а", "$y = (x+2)^2 - 2$"], ["б", "$y = (x+2)^2 + 2$"], ["в", "$y = (x-4)^2 - 2$"],
["г", "$y = (x-4)^2 + 2$"], ["д", "$y = (x+4)^2 + 2$"],
],
sol: `<b>Свойство параболы $y=(x-a)^2+b$:</b> вершина находится в точке $(a;\\,b)$, ветви направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положительный).
<br><b>Шаг 1.</b> По рисунку определяем координаты вершины: $(4;\\,-2)$. Значит $a=4$, $b=-2$.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставляем в общую формулу: $y=(x-4)^2+(-2)=(x-4)^2-2$.
<br><b>Проверка:</b> при $x=2$ получаем $y=4-2=2$ — точка $(2;\\,2)$ на графике; при $x=6$ получаем $y=4-2=2$ — точка $(6;\\,2)$. Парабола симметрична относительно прямой $x=4$ — это ось симметрии через вершину.
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$y=(x-4)^2-2$</div>`
},
{
text: `Результат сокращения дроби $\\dfrac{7mn - 35m}{7mn}$ равен:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{mn-5m}{mn}$"], ["б", "$\\dfrac{n-5}{n}$"], ["в", "$n-5$"],
["г", "$\\dfrac{n-4}{n}$"], ["д", "$1 - 35m$"],
],
sol: `Выносим $7m$ за скобку в числителе:
$$\\dfrac{7mn-35m}{7mn} = \\dfrac{7m(n-5)}{7mn} = \\dfrac{n-5}{n}\\quad(m\\neq0,\\,n\\neq0)$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$\\dfrac{n-5}{n}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "около любого треугольника можно описать окружность;"],
["б", "если в треугольнике равны два угла, то треугольник равнобедренный;"],
["в", "если у четырёхугольника два угла прямые, то это всегда прямоугольник;"],
["г", "развёрнутый угол равен $180^{\\circ}$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Около любого треугольника можно описать окружность — <b>верно</b></li>
<li>б) Два равных угла ⟹ равнобедренный треугольник — <b>верно</b></li>
<li>в) Четырёхугольник с двумя прямыми углами — это необязательно прямоугольник. Например, прямоугольная трапеция имеет два прямых угла, но не является прямоугольником — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>г) Развёрнутый угол $=180°$ — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Найдите количество целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} x < 10, \\\\[4pt] x > 3. \\end{cases}$$`,
sol: `Система: $3 < x < 10$. Целые числа в этом промежутке:
$$4,\\;5,\\;6,\\;7,\\;8,\\;9$$
<div class="sol-ans">Ответ: $6$ целых решений</div>`
},
{
text: `Найдите площадь треугольника со сторонами $13$ см, $13$ см и $10$ см.`,
sol: `<b>Свойство равнобедренного треугольника:</b> высота, проведённая к основанию, является также медианой (делит основание пополам).
<br><b>Формула площади треугольника:</b> $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота к нему.
<br><b>Шаг 1.</b> У нашего треугольника две стороны по $13$ см и одна $10$ см — он равнобедренный с основанием $10$ см. Высота $CM$, опущенная на основание, делит его пополам: $AM = MB = 5$ см.
<svg viewBox="0 0 160 105" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:220px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<polygon points="20,88 128,88 74,16" fill="rgba(37,99,235,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="74" y1="16" x2="74" y2="88" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="74,88 82,88 82,80 74,80" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="74" cy="88" r="2.5" fill="#dc2626"/>
<text x="5" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="131" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="70" y="10" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="69" y="100" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
<text x="36" y="56" font-size="12" fill="#334155">13</text>
<text x="100" y="56" font-size="12" fill="#334155">13</text>
<text x="68" y="102" font-size="11" fill="#334155">10</text>
<text x="79" y="55" font-size="12" fill="#dc2626">h</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Найдём высоту $h = CM$ по <b>теореме Пифагора</b> в прямоугольном треугольнике $ACM$:
$$AC^2 = AM^2 + CM^2 \\implies 13^2 = 5^2 + h^2$$
$$h^2 = 169 - 25 = 144 \\implies h = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> Считаем площадь:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10\\cdot 12 = 60\\text{ см}^2$$
<br><br><b>Альтернативный способ — формула Герона.</b>
<br><b>Формула Герона:</b> $S = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \\dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$.
<br><b>Шаг 1.</b> Полупериметр: $p = \\dfrac{13+13+10}{2} = \\dfrac{36}{2} = 18$ см.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставляем в формулу:
$$S = \\sqrt{18\\cdot(18-13)\\cdot(18-13)\\cdot(18-10)} = \\sqrt{18\\cdot 5\\cdot 5\\cdot 8} = \\sqrt{3600} = 60\\text{ см}^2$$
Оба способа дают один и тот же ответ.
<div class="sol-ans">Ответ: $60$ см²</div>`
},
{
text: `Упростите выражение $\\sqrt{6}\\cdot(\\sqrt{25} - \\sqrt{96} + 3\\sqrt{6})\\cdot(-\\sqrt{54})$.`,
sol: `<b>Свойство квадратного корня:</b> $\\sqrt{a\\cdot b} = \\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{b}$ (для $a,b\\geq 0$), а также $\\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{a} = a$ (для $a\\geq 0$).
<br><b>Шаг 1.</b> Упрощаем каждый корень в скобках, вынося полные квадраты из-под корня:
$$\\sqrt{25} = 5$$
$$\\sqrt{96} = \\sqrt{16\\cdot 6} = \\sqrt{16}\\cdot\\sqrt{6} = 4\\sqrt{6}$$
$$\\sqrt{54} = \\sqrt{9\\cdot 6} = \\sqrt{9}\\cdot\\sqrt{6} = 3\\sqrt{6}$$
<b>Шаг 2.</b> Подставляем и приводим подобные слагаемые $-4\\sqrt{6}$ и $3\\sqrt{6}$:
$$5 - 4\\sqrt{6} + 3\\sqrt{6} = 5 - \\sqrt{6}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\\sqrt{6}\\cdot(5 - \\sqrt{6})\\cdot(-3\\sqrt{6})$$
<b>Шаг 3.</b> Перемножаем крайние множители $\\sqrt{6}$ и $-3\\sqrt{6}$:
$$\\sqrt{6}\\cdot(-3\\sqrt{6}) = -3\\cdot(\\sqrt{6})^2 = -3\\cdot 6 = -18$$
<b>Шаг 4.</b> Умножаем результат на оставшуюся скобку:
$$-18\\cdot(5 - \\sqrt{6}) = -18\\cdot 5 + 18\\sqrt{6} = -90 + 18\\sqrt{6} = 18(\\sqrt{6} - 5)$$
<div class="sol-ans">Ответ: $18(\\sqrt{6}-5)$</div>`
},
{
text: `Найдите область определения функции
$y = \\dfrac{5}{x^2-9} + \\sqrt{24-8x}$.`,
sol: `<b>Правила нахождения области определения:</b>
<br>1) Знаменатель дроби не может равняться нулю: $\\dfrac{1}{g(x)}$ определена при $g(x) \\neq 0$.
<br>2) Подкоренное выражение чётной степени должно быть неотрицательным: $\\sqrt{f(x)}$ определён при $f(x) \\geq 0$.
<br>В функции есть и дробь, и корень — выписываем оба условия.
<br><b>Шаг 1.</b> Знаменатель $x^2 - 9$ должен быть $\\neq 0$:
$$x^2 - 9 \\neq 0 \\implies x^2 \\neq 9 \\implies x \\neq \\pm 3$$
<b>Шаг 2.</b> Подкоренное выражение $24 - 8x$ должно быть $\\geq 0$:
$$24 - 8x \\geq 0 \\implies 8x \\leq 24 \\implies x \\leq 3$$
<b>Шаг 3.</b> Объединяем: $x \\leq 3$ и $x \\neq -3$ и $x \\neq 3$.
<br>Условие $x \\leq 3$ с исключением $x = 3$ даёт $x \\lt 3$. С учётом $x \\neq -3$:
$$x \\in (-\\infty;\\,-3)\\cup(-3;\\,3)$$
<div class="sol-ans">Ответ: $(-\\infty;\\,-3)\\cup(-3;\\,3)$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $75x_0$, где $x_0$ — наименьший корень уравнения
$$\\dfrac{x^2}{4x^2-4x+1} - \\dfrac{4x}{2x-1} + 3 = 0.$$`,
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Замечаем, что $4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2\\cdot 2x\\cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2$.
<br>Уравнение принимает вид:
$$\\dfrac{x^2}{(2x - 1)^2} - \\dfrac{4x}{2x - 1} + 3 = 0$$
<b>ОДЗ:</b> $2x - 1 \\neq 0$, то есть $x \\neq \\dfrac{1}{2}$.
<br><b>Шаг 2. Замена переменной.</b> Заметим, что $\\dfrac{x^2}{(2x - 1)^2} = \\left(\\dfrac{x}{2x - 1}\\right)^2$.
<br>Пусть $t = \\dfrac{x}{2x - 1}$. Уравнение становится:
$$t^2 - 4t + 3 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> По <b>теореме Виета</b> (сумма $4$, произведение $3$): корни $1$ и $3$.
$$(t - 1)(t - 3) = 0 \\implies t = 1 \\text{ или } t = 3$$
<b>Шаг 4. Возвращаемся к $x$.</b>
<br>— При $t = 1$: $\\dfrac{x}{2x - 1} = 1 \\implies x = 2x - 1 \\implies -x = -1 \\implies x = 1$.
<br>— При $t = 3$: $\\dfrac{x}{2x - 1} = 3 \\implies x = 6x - 3 \\implies -5x = -3 \\implies x = \\dfrac{3}{5}$.
<br><b>Шаг 5. Проверка ОДЗ.</b> Оба значения $\\neq \\dfrac{1}{2}$ ✓.
<br><b>Шаг 6.</b> Сравним корни: $\\dfrac{3}{5} = 0{,}6 \\lt 1$. Наименьший корень:
$$x_0 = \\dfrac{3}{5}$$
$$75x_0 = 75\\cdot\\dfrac{3}{5} = \\dfrac{75\\cdot 3}{5} = 15\\cdot 3 = 45$$
<div class="sol-ans">Ответ: $45$</div>`
},
{
text: `Найдите площадь описанной равнобедренной трапеции, если точка касания вписанной
в неё окружности делит боковую сторону на отрезки, равные $2$ см и $8$ см.`,
sol: `<b>Шаг 1. Основания трапеции.</b>
<br>Боковая сторона $= 2+8 = 10$ см. По свойству касательных от каждой вершины оба касательных отрезка равны.
<br>От вершин большего основания — по $8$, от вершин меньшего — по $2$.
<svg viewBox="0 0 195 115" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<!-- Трапеция ABCD: A=(20,98), B=(68,18), C=(124,18), D=(172,98) -->
<!-- AD=152px=16см, BC=56px≈4см (масштаб ~9.5px/см) -->
<polygon points="20,98 172,98 124,18 68,18" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- Вписанная окружность: O=(96,58), r=40px -->
<circle cx="96" cy="58" r="40" fill="rgba(22,163,74,0.08)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
<!-- AP_left = 8 (красный) -->
<line x1="20" y1="98" x2="56" y2="38" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
<!-- P_leftB = 2 (синий) -->
<line x1="56" y1="38" x2="68" y2="18" stroke="#2563eb" stroke-width="2.5"/>
<!-- Правая боковая (зеркально) -->
<line x1="172" y1="98" x2="136" y2="38" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
<line x1="136" y1="38" x2="124" y2="18" stroke="#2563eb" stroke-width="2.5"/>
<!-- Радиус до нижнего основания -->
<line x1="96" y1="58" x2="96" y2="98" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="3,2"/>
<!-- Точки касания -->
<circle cx="96" cy="98" r="3" fill="#16a34a"/>
<circle cx="96" cy="18" r="3" fill="#16a34a"/>
<circle cx="56" cy="38" r="4" fill="#dc2626"/>
<circle cx="136" cy="38" r="4" fill="#dc2626"/>
<circle cx="96" cy="58" r="3" fill="#334155"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="6" y="109" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="175" y="109" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="60" y="13" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="121" y="13" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="99" y="55" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<!-- Метки отрезков -->
<text x="22" y="70" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">8</text>
<text x="46" y="30" font-size="13" fill="#2563eb" font-weight="bold">2</text>
<text x="160" y="70" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">8</text>
<text x="134" y="30" font-size="13" fill="#2563eb" font-weight="bold">2</text>
<!-- Метки оснований -->
<text x="76" y="111" font-size="11" fill="#334155">AD = 16</text>
<text x="80" y="12" font-size="11" fill="#334155">BC = 4</text>
<!-- Радиус -->
<text x="100" y="80" font-size="11" fill="#16a34a">r = 4</text>
</svg>
$$AD = 8+8 = 16\\text{ см}, \\quad BC = 2+2 = 4\\text{ см}$$
<b>Шаг 2. Высота трапеции.</b>
<br>Горизонтальный выступ ноги: $\\dfrac{16-4}{2} = 6$ см.
$$h = \\sqrt{10^2-6^2} = \\sqrt{100-36} = \\sqrt{64} = 8\\text{ см}$$
<b>Шаг 3. Площадь.</b>
$$S = \\dfrac{AD+BC}{2}\\cdot h = \\dfrac{16+4}{2}\\cdot8 = 10\\cdot8 = 80\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $80$ см²</div>`
},
{
text: `В компанию поступил заказ на укладку $175$ м² напольной плитки.
Плиточник принял решение укладывать на $10$ м² в день больше, чем запланировал ранее.
В результате работа была закончена на $2$ дня раньше установленного срока.
Успеет ли плиточник выполнить заказ за $7$ рабочих дней, если будет работать
по первоначальному плану? Ответ обоснуйте.`,
sol: `Пусть плановая выработка $= x$ м²/день.
<br>По плану: $\\dfrac{175}{x}$ дней. С ускорением: $\\dfrac{175}{x+10}$ дней, на $2$ меньше.
$$\\dfrac{175}{x} - \\dfrac{175}{x+10} = 2$$
Умножаем на $x(x+10)$:
$$175(x+10) - 175x = 2x(x+10)$$
$$1750 = 2x^2+20x \\implies x^2+10x-875=0$$
$$D = 100+3500 = 3600 = 60^2 \\implies x = \\dfrac{-10+60}{2} = 25\\text{ м}^2/\\text{день}$$
<b>Плановый срок:</b> $\\dfrac{175}{25} = 7$ дней.
<br><b>Проверка:</b> при $35$ м²/день: $175\\div35=5$ дней, $7-5=2$ ✓
<br><b>Ответ на вопрос:</b> за $7$ дней при выработке $25$ м²/день плиточник уложит $7\\times25=175$ м².
<div class="sol-ans">Ответ: да, успеет — уложит ровно $175$ м² за $7$ дней</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v45.js
+187
View File
@@ -0,0 +1,187 @@
VARIANTS[45] = {
label: "Вариант 45",
tasks: [
{
text: `Определите наименьшее натуральное число, принадлежащее промежутку
$\\left(-\\dfrac{3}{4};\\; 5{,}6\\right)$:`,
opts: [
["а", "$-1$"], ["б", "$0$"], ["в", "$1$"], ["г", "$2$"], ["д", "$5$"],
],
sol: `Натуральные числа: $1, 2, 3, \\ldots$ Наименьшее из них, попадающее в промежуток $(-0{,}75;\\;5{,}6)$, — это $1$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$1$</div>`
},
{
text: `График обратной пропорциональности $y = \\dfrac{k}{x}$ проходит через точку
$(-\\sqrt{3};\\; 4\\sqrt{3})$. Коэффициент $k$ равен:`,
opts: [
["а", "$k = -\\sqrt{3}$"], ["б", "$k = 4\\sqrt{3}$"], ["в", "$k = -12$"],
["г", "$k = 4$"], ["д", "$k = 3$"],
],
sol: `$k = x\\cdot y = (-\\sqrt{3})\\cdot4\\sqrt{3} = -4\\cdot3 = -12$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$k=-12$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "диагонали ромба взаимно перпендикулярны;"],
["б", "если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, то такие треугольники равны;"],
["в", "хорда окружности, проходящая через её центр, является диаметром;"],
["г", "боковые стороны равнобедренной трапеции равны между собой?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Диагонали ромба перпендикулярны — <b>верно</b></li>
<li>б) «Две стороны равны ⟹ треугольники равны» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Для равенства треугольников нужно ССС, СУС, УСУ или УУС. Два равных основания — недостаточно.</li>
<li>в) Хорда через центр = диаметр — <b>верно</b></li>
<li>г) Боковые стороны равнобедренной трапеции равны — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $3x^2 + x = 0$.
В ответ запишите среднее арифметическое корней уравнения.`,
sol: `$$x(3x+1)=0 \\implies x_1=0,\\quad x_2=-\\dfrac{1}{3}$$
Среднее арифметическое:
$$\\dfrac{x_1+x_2}{2}=\\dfrac{0+\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right)}{2}=-\\dfrac{1}{6}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{1}{6}$</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей.
Угол $AOB$ равен $46^{\\circ}$. Найдите угол $ADB$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 130 185" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<!-- AB=50, BC=120, BC/AB=2.4 → ∠AOB ≈ 46° -->
<polygon points="40,165 90,165 90,45 40,45" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="40" y1="165" x2="90" y2="45" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<line x1="90" y1="165" x2="40" y2="45" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<path d="M 57 125 A 22 22 0 0 1 73 125" fill="rgba(220,38,38,0.12)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.3"/>
<path d="M 40 70 A 25 25 0 0 1 50 68" fill="rgba(22,163,74,0.12)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3"/>
<circle cx="65" cy="105" r="3" fill="#334155"/>
<text x="22" y="178" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="93" y="178" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="93" y="40" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="22" y="40" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="68" y="103" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="56" y="143" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">46°</text>
<text x="52" y="78" font-size="11" fill="#16a34a" font-weight="bold">23°</text>
</svg>
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: $OA = OB = OC = OD$.
<br><b>Треугольник $AOB$ — равнобедренный</b> ($OA=OB$):
$$\\angle OAB = \\angle OBA = \\dfrac{180°-46°}{2} = 67°$$
<b>Углы при $O$:</b>&ensp;$A,O,C$ лежат на диагонали $AC$, поэтому $\\angle DOA = 180°-46° = 134°$.
<br><b>Треугольник $DOA$ — равнобедренный</b> ($OD=OA$):
$$\\angle ODA = \\dfrac{180°-134°}{2} = 23°$$
Так как $O$ лежит на отрезке $BD$, то $\\angle ADB = \\angle ODA = 23°$.
<div class="sol-ans">Ответ: $\\angle ADB = 23°$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $14A$, если
$A = (2\\sqrt{2} - 1)(\\sqrt{8} + 1) - 8 \\cdot \\dfrac{1}{7}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Упрощаем $\\sqrt{8}$, вынося полный квадрат из-под корня:
$$\\sqrt{8} = \\sqrt{4\\cdot 2} = \\sqrt{4}\\cdot\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2}$$
Значит, первое произведение принимает вид $(2\\sqrt{2} - 1)(2\\sqrt{2} + 1)$.
<br><b>Шаг 2.</b> Применяем формулу разности квадратов (здесь $a = 2\\sqrt{2}$, $b = 1$):
$$(2\\sqrt{2} - 1)(2\\sqrt{2} + 1) = (2\\sqrt{2})^2 - 1^2 = 4\\cdot 2 - 1 = 8 - 1 = 7$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем в выражение для $A$:
$$A = 7 - 8\\cdot\\dfrac{1}{7} = 7 - \\dfrac{8}{7} = \\dfrac{7\\cdot 7 - 8}{7} = \\dfrac{49 - 8}{7} = \\dfrac{41}{7}$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $14A$:
$$14A = 14\\cdot\\dfrac{41}{7} = \\dfrac{14}{7}\\cdot 41 = 2\\cdot 41 = 82$$
<div class="sol-ans">Ответ: $82$</div>`
},
{
text: `При каких целых отрицательных значениях $n$ верно неравенство
$\\dfrac{n+1}{3} - \\dfrac{n+2}{6} < \\dfrac{n+3}{2}$?`,
sol: `<b>Свойство неравенства:</b> при умножении обеих частей неравенства на одно и то же <em>положительное</em> число знак неравенства сохраняется.
<br><b>Шаг 1.</b> Наименьший общий знаменатель дробей $3,\\,6,\\,2$ равен $6$. Умножаем обе части на $6$:
$$6\\cdot\\dfrac{n+1}{3} - 6\\cdot\\dfrac{n+2}{6} \\lt 6\\cdot\\dfrac{n+3}{2}$$
$$2(n + 1) - (n + 2) \\lt 3(n + 3)$$
<b>Шаг 2.</b> Раскрываем скобки:
$$2n + 2 - n - 2 \\lt 3n + 9$$
$$n \\lt 3n + 9$$
<b>Шаг 3.</b> Переносим $3n$ влево, а $n$ — вправо:
$$n - 3n \\lt 9 \\implies -2n \\lt 9$$
<b>Шаг 4.</b> Делим обе части на $-2$. <b>Важно:</b> при делении на <em>отрицательное</em> число знак неравенства <em>меняется на противоположный:</em>
$$n \\gt -\\dfrac{9}{2} = -4{,}5$$
<b>Шаг 5.</b> Выбираем целые отрицательные числа, большие $-4{,}5$:
$$n \\in \\{-4,\\,-3,\\,-2,\\,-1\\}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $n\\in\\{-4,\\;-3,\\;-2,\\;-1\\}$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $6(x - y)$, где $(x;\\; y)$ — решение системы уравнений
$$\\begin{cases} 3x + y = 2, \\\\[4pt] y^2 + 6xy + 9x^2 = -y. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Формула квадрата суммы:</b> $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Замечаем структуру левой части второго уравнения:
$$y^2 + 6xy + 9x^2 = y^2 + 2\\cdot y\\cdot 3x + (3x)^2 = (y + 3x)^2 = (3x + y)^2$$
<b>Шаг 2.</b> Из первого уравнения системы: $3x + y = 2$. Подставляем во второе:
$$(3x + y)^2 = -y \\implies 2^2 = -y \\implies 4 = -y$$
$$y = -4$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем $y = -4$ в $3x + y = 2$:
$$3x + (-4) = 2 \\implies 3x = 6 \\implies x = 2$$
<b>Проверка:</b> подставим в исходное второе уравнение:
$$(-4)^2 + 6\\cdot 2\\cdot(-4) + 9\\cdot 2^2 = 16 - 48 + 36 = 4$$
$$-y = -(-4) = 4 \\checkmark$$
<b>Шаг 4.</b> Считаем искомое выражение:
$$6(x - y) = 6\\cdot(2 - (-4)) = 6\\cdot 6 = 36$$
<div class="sol-ans">Ответ: $36$</div>`
},
{
text: `При открытии торгов в среду акции компании подорожали на некоторое количество процентов,
а в четверг — подешевели на то же количество процентов.
В результате они стали стоить на $4\\%$ дешевле, чем при открытии торгов в среду.
На сколько процентов подорожали акции в среду?`,
sol: `<b>Метод процентных коэффициентов:</b> увеличение величины на $p\\%$ соответствует умножению на $\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)$, уменьшение на $p\\%$ — умножению на $\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)$. Здесь же применяется <b>формула разности квадратов:</b> $(1+a)(1-a) = 1 - a^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть $P$ — начальная цена акции, а $p$ — искомый процент изменения.
<br><b>Шаг 2.</b> В среду цена выросла на $p\\%$, значит к концу среды стала равна:
$$P_1 = P\\cdot\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)$$
<b>Шаг 3.</b> В четверг цена снизилась на $p\\%$ от <em>новой</em> цены $P_1$, значит к концу четверга:
$$P_2 = P_1\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right) = P\\cdot\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)$$
По формуле разности квадратов:
$$P_2 = P\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p^2}{10000}\\right)$$
<b>Шаг 4.</b> По условию итоговая цена на $4\\%$ ниже начальной, то есть $P_2 = 0{,}96\\cdot P$. Получаем:
$$1 - \\dfrac{p^2}{10000} = 0{,}96$$
<b>Шаг 5.</b> Решаем уравнение:
$$\\dfrac{p^2}{10000} = 0{,}04 \\implies p^2 = 400 \\implies p = 20$$
(берём положительный корень, так как $p$ — процент роста).
<div class="sol-ans">Ответ: подорожали на $20\\%$</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — вписанная трапеция. Центр $O$ описанной окружности лежит на большем основании $AD$,
$CH$ — высота трапеции. Найдите площадь трапеции, если $AC = 10$ см, $HD = 4{,}5$ см.`,
sol: `<b>Шаг 1. AD — диаметр.</b>
<br>Раз центр $O$ лежит на хорде $AD$, значит $AD$ проходит через центр — $AD$ является <b>диаметром</b>.
<br>По теореме Фалеса: $\\angle ACD = 90°$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
<svg viewBox="0 0 195 110" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:280px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<path d="M 28 82 A 62 62 0 0 1 153 82" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="28,82 72,22 108,22 153,82" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="28" y1="82" x2="108" y2="22" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<line x1="108" y1="22" x2="108" y2="82" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="108,22 102,26 105,32 111,28" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="108,82 116,82 116,74 108,74" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="90" cy="82" r="2.5" fill="#334155"/>
<text x="13" y="93" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="157" y="93" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="66" y="17" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="111" y="17" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="107" y="92" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">H</text>
<text x="87" y="78" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="55" y="58" font-size="11" fill="#dc2626">10</text>
<text x="112" y="55" font-size="11" fill="#16a34a">h</text>
<text x="133" y="93" font-size="10" fill="#475569">4,5</text>
<text x="83" y="19" font-size="10" fill="#334155">BC</text>
</svg>
<b>Шаг 2. Находим $AD$.</b>
<br>Из прямоугольного $\\triangle ACD$ (прямой угол при $C$): $AC^2 = AH\\cdot AD$ (свойство высоты прямоугольного треугольника).
$$AH = AD - HD = AD - 4{,}5$$
$$10^2 = (AD-4{,}5)\\cdot AD \\implies AD^2 - 4{,}5\\,AD - 100 = 0$$
$$\\times2:\\quad 2AD^2-9\\,AD-200=0, \\quad D=81+1600=1681=41^2$$
$$AD=\\dfrac{9+41}{4}=\\dfrac{50}{4}=12{,}5\\text{ см}$$
<b>Шаг 3. Высота $CH$.</b>
$$AH = 12{,}5-4{,}5=8, \\quad CH^2=AH\\cdot HD = 8\\cdot4{,}5=36 \\implies CH=6$$
<b>Шаг 4. Основание $BC$.</b>
<br>Трапеция равнобедренная (вписанная). По симметрии: расстояние от $B$ до $AD$ = $AH'=4{,}5$ (зеркально).
$$BC = AD - 2\\cdot HD = 12{,}5 - 2\\cdot4{,}5 = 3{,}5\\text{ см}$$
<b>Шаг 5. Площадь.</b>
$$S = \\dfrac{AD+BC}{2}\\cdot CH = \\dfrac{12{,}5+3{,}5}{2}\\cdot6 = 8\\cdot6 = 48\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $48$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v46.js
+199
View File
@@ -0,0 +1,199 @@
VARIANTS[46] = {
label: "Вариант 46",
tasks: [
{
text: `Определите наибольшее натуральное число, принадлежащее промежутку
$\\left(-\\dfrac{2}{3};\\; 7{,}1\\right)$:`,
opts: [
["а", "$2$"], ["б", "$1$"], ["в", "$0$"], ["г", "$6$"], ["д", "$7$"],
],
sol: `Натуральные числа: $1, 2, 3, \\ldots$ Все они принадлежат промежутку $(-0{,}67;\\;7{,}1)$, если не превышают $7$. Наибольшее такое число — $7$, так как $7 \\lt 7{,}1$, а $8 \\gt 7{,}1$.
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$7$</div>`
},
{
text: `График обратной пропорциональности $y = \\dfrac{k}{x}$ проходит через точку
$(\\sqrt{5};\\; -2\\sqrt{5})$. Коэффициент $k$ равен:`,
opts: [
["а", "$k = \\sqrt{5}$"], ["б", "$k = -2\\sqrt{5}$"], ["в", "$k = -10$"],
["г", "$k = 2$"], ["д", "$k = -5$"],
],
sol: `$k = x\\cdot y = \\sqrt{5}\\cdot(-2\\sqrt{5}) = -2\\cdot5 = -10$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$k=-10$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов;"],
["б", "диаметр окружности равен двум радиусам;"],
["в", "если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники равны;"],
["г", "прямоугольная трапеция имеет два прямых угла?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов — <b>верно</b></li>
<li>б) Диаметр равен двум радиусам — <b>верно</b></li>
<li>в) «Два равных угла ⟹ треугольники равны» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Равенство двух углов означает лишь подобие (ААА), но не равенство: стороны могут различаться.</li>
<li>г) Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $2x^2 + x = 0$.
В ответ запишите среднее арифметическое корней уравнения.`,
sol: `$$x(2x+1)=0 \\implies x_1=0,\\quad x_2=-\\dfrac{1}{2}$$
Среднее арифметическое:
$$\\dfrac{x_1+x_2}{2}=\\dfrac{0+\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)}{2}=-\\dfrac{1}{4}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{1}{4}$</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей.
Угол $DBC$ равен $32^{\\circ}$. Найдите угол $AOD$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 130 185" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<!-- AB=80, BC=130 -->
<polygon points="20,165 100,165 100,35 20,35" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="20" y1="165" x2="100" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<line x1="100" y1="165" x2="20" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<path d="M 100 135 A 22 22 0 0 0 84 128" fill="rgba(220,38,38,0.12)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.3"/>
<path d="M 34 100 A 22 22 0 0 0 34 80" fill="rgba(22,163,74,0.12)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3"/>
<circle cx="60" cy="100" r="3" fill="#334155"/>
<text x="5" y="178" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="103" y="178" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="103" y="30" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="5" y="30" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="63" y="97" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="80" y="152" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">32°</text>
<text x="36" y="92" font-size="11" fill="#16a34a" font-weight="bold">116°</text>
</svg>
<b>Свойства прямоугольника:</b>
<br>1) Все углы прямоугольника прямые ($90°$).
<br>2) Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
<br><b>Шаг 1.</b> В прямоугольнике $\\angle ABC = 90°$. Точка $O$ лежит внутри угла $ABC$, поэтому:
$$\\angle ABD = \\angle ABC - \\angle DBC = 90° - 32° = 58°$$
<b>Шаг 2.</b> По свойству диагоналей: $OA = OB$ (половинки равных диагоналей).
<br>Значит, треугольник $AOB$ — <b>равнобедренный</b> с основанием $AB$. По <b>свойству равнобедренного треугольника</b> углы при основании равны:
$$\\angle OAB = \\angle OBA = \\angle ABD = 58°$$
<b>Шаг 3.</b> По <b>теореме о сумме углов треугольника</b> (сумма $= 180°$):
$$\\angle AOB = 180° - 58° - 58° = 64°$$
<b>Шаг 4.</b> Точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой (диагональ $AC$), поэтому углы $\\angle AOB$ и $\\angle BOC$ — смежные (как и $\\angle AOD$ и $\\angle DOC$). Углы $\\angle AOD$ и $\\angle AOB$ смежные:
$$\\angle AOD = 180° - \\angle AOB = 180° - 64° = 116°$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\angle AOD = 116°$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $56A$, если
$A = (3\\sqrt{2} - 2)(\\sqrt{18} + 2) - 14 \\cdot \\dfrac{1}{8}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Упрощаем $\\sqrt{18}$, вынося полный квадрат:
$$\\sqrt{18} = \\sqrt{9\\cdot 2} = \\sqrt{9}\\cdot\\sqrt{2} = 3\\sqrt{2}$$
Значит, первое произведение принимает вид $(3\\sqrt{2} - 2)(3\\sqrt{2} + 2)$.
<br><b>Шаг 2.</b> Применяем формулу разности квадратов (здесь $a = 3\\sqrt{2}$, $b = 2$):
$$(3\\sqrt{2} - 2)(3\\sqrt{2} + 2) = (3\\sqrt{2})^2 - 2^2 = 9\\cdot 2 - 4 = 18 - 4 = 14$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем в выражение для $A$:
$$A = 14 - 14\\cdot\\dfrac{1}{8} = 14 - \\dfrac{14}{8} = 14 - \\dfrac{7}{4} = \\dfrac{56 - 7}{4} = \\dfrac{49}{4}$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $56A$:
$$56A = 56\\cdot\\dfrac{49}{4} = \\dfrac{56}{4}\\cdot 49 = 14\\cdot 49 = 686$$
<div class="sol-ans">Ответ: $686$</div>`
},
{
text: `При каких натуральных значениях $m$ верно неравенство
$\\dfrac{m+1}{2} - \\dfrac{m-2}{3} > \\dfrac{m+3}{4}$?`,
sol: `<b>Свойство неравенства:</b> при умножении обеих частей на положительное число знак неравенства сохраняется.
<br><b>Шаг 1.</b> Наименьший общий знаменатель дробей $2,\\,3,\\,4$ равен $12$. Умножаем обе части на $12$:
$$12\\cdot\\dfrac{m+1}{2} - 12\\cdot\\dfrac{m-2}{3} \\gt 12\\cdot\\dfrac{m+3}{4}$$
$$6(m + 1) - 4(m - 2) \\gt 3(m + 3)$$
<b>Шаг 2.</b> Раскрываем скобки:
$$6m + 6 - 4m + 8 \\gt 3m + 9$$
$$2m + 14 \\gt 3m + 9$$
<b>Шаг 3.</b> Переносим $3m$ влево, числа — вправо:
$$2m - 3m \\gt 9 - 14 \\implies -m \\gt -5$$
<b>Шаг 4.</b> Умножаем на $-1$. <b>Важно:</b> при умножении на <em>отрицательное</em> число знак неравенства <em>меняется на противоположный:</em>
$$m \\lt 5$$
<b>Шаг 5.</b> Натуральные числа, меньшие $5$:
$$m \\in \\{1,\\,2,\\,3,\\,4\\}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $m\\in\\{1,\\;2,\\;3,\\;4\\}$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $10(x - y)$, где $(x;\\; y)$ — решение системы уравнений
$$\\begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = -x - 6y, \\\\[4pt] x + 2y = 1. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Формула квадрата суммы:</b> $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Замечаем структуру левой части первого уравнения:
$$x^2 + 4xy + 4y^2 = x^2 + 2\\cdot x\\cdot 2y + (2y)^2 = (x + 2y)^2$$
<b>Шаг 2.</b> Из второго уравнения системы: $x + 2y = 1$. Подставляем в первое:
$$(x + 2y)^2 = -x - 6y$$
$$1^2 = -(x + 6y) \\implies x + 6y = -1$$
<b>Шаг 3.</b> Получили новую систему: $\\{x + 2y = 1;\\; x + 6y = -1\\}$.
<br>Вычтем первое уравнение из второго (метод вычитания исключает $x$):
$$(x + 6y) - (x + 2y) = -1 - 1 \\implies 4y = -2 \\implies y = -\\dfrac{1}{2}$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $y = -\\dfrac{1}{2}$ в $x + 2y = 1$:
$$x + 2\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = 1 \\implies x - 1 = 1 \\implies x = 2$$
<b>Шаг 5.</b> Вычисляем искомое выражение:
$$10(x - y) = 10\\cdot\\left(2 - \\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\right) = 10\\cdot\\dfrac{5}{2} = 25$$
<div class="sol-ans">Ответ: $25$</div>`
},
{
text: `При открытии торгов в среду акции компании подешевели на некоторое количество процентов,
а в четверг — подорожали на то же количество процентов.
В результате они стали стоить на $9\\%$ дешевле, чем при открытии торгов в среду.
На сколько процентов подорожали акции в четверг?`,
sol: `<b>Метод процентных коэффициентов:</b> уменьшение на $p\\%$ соответствует умножению на $\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)$, увеличение на $p\\%$ — на $\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)$. Также используется <b>формула разности квадратов:</b> $(1-a)(1+a) = 1 - a^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть $P$ — цена при открытии торгов в среду, а $p$ — искомый процент.
<br><b>Шаг 2.</b> В среду цена снизилась на $p\\%$, значит к концу среды:
$$P_1 = P\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)$$
<b>Шаг 3.</b> В четверг цена выросла на $p\\%$ от $P_1$, значит к концу четверга:
$$P_2 = P_1\\cdot\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right) = P\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)$$
По формуле разности квадратов:
$$P_2 = P\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p^2}{10000}\\right)$$
<b>Шаг 4.</b> По условию итоговая цена на $9\\%$ ниже начальной, то есть $P_2 = 0{,}91\\cdot P$:
$$1 - \\dfrac{p^2}{10000} = 0{,}91$$
<b>Шаг 5.</b> Решаем:
$$\\dfrac{p^2}{10000} = 0{,}09 \\implies p^2 = 900 \\implies p = 30$$
(берём положительный корень).
<div class="sol-ans">Ответ: подорожали на $30\\%$</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — вписанная трапеция. Центр $O$ описанной окружности лежит на большем основании $AD$,
$BH$ — высота трапеции. Найдите площадь трапеции, если $BD = 20$ см, $AH = 9$ см.`,
sol: `<b>Теорема Фалеса (о вписанном угле, опирающемся на диаметр):</b> вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой ($90°$).
<br><b>Свойство высоты прямоугольного треугольника:</b> высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, удовлетворяет соотношениям:
<br>$h^2 = m\\cdot n$ (где $m$, $n$ — проекции катетов на гипотенузу), а также $a^2 = m\\cdot c$, $b^2 = n\\cdot c$, где $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.
<br><b>Шаг 1.</b> Так как центр $O$ описанной окружности лежит на хорде $AD$, то $AD$ проходит через центр, то есть $AD$ — <b>диаметр</b>.
<br>По теореме Фалеса вписанный угол $\\angle ABD = 90°$ (опирается на диаметр $AD$).
<svg viewBox="0 0 195 110" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:280px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
<!-- Симметрично V45: высота BH слева, диагональ BD -->
<path d="M 28 82 A 62 62 0 0 1 153 82" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="28,82 72,22 108,22 153,82" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- BD (красная диагональ от B вниз-вправо к D) -->
<line x1="72" y1="22" x2="153" y2="82" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<!-- BH (зелёная высота из B вниз) -->
<line x1="72" y1="22" x2="72" y2="82" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="72,22 78,26 75,32 69,28" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="72,82 80,82 80,74 72,74" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="90" cy="82" r="2.5" fill="#334155"/>
<text x="13" y="93" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="157" y="93" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="66" y="17" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="111" y="17" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="71" y="92" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">H</text>
<text x="87" y="78" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="105" y="58" font-size="11" fill="#dc2626">BD=20</text>
<text x="58" y="55" font-size="11" fill="#16a34a">h</text>
<text x="36" y="93" font-size="10" fill="#475569">AH=9</text>
<text x="83" y="19" font-size="10" fill="#334155">BC</text>
</svg>
<b>Шаг 2. Находим $AD$.</b> В прямоугольном $\\triangle ABD$ (прямой угол при $B$) $BH$ — высота, опущенная на гипотенузу $AD$.
<br>По свойству высоты: $BD^2 = HD\\cdot AD$, где $HD$ — проекция катета $BD$ на гипотенузу.
$$20^2 = HD\\cdot AD \\implies 400 = HD\\cdot AD$$
Также $HD = AD - AH = AD - 9$. Подставляем:
$$400 = (AD - 9)\\cdot AD \\implies AD^2 - 9AD - 400 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем по <b>формуле дискриминанта:</b>
$$D = 81 + 1600 = 1681 = 41^2 \\implies AD = \\dfrac{9 + 41}{2} = 25\\text{ см}$$
(второй корень отрицательный, не подходит).
<br><b>Шаг 4.</b> Находим $HD$, $BH$ и второе основание трапеции.
$$HD = 25 - 9 = 16\\text{ см}$$
По свойству высоты $BH^2 = AH\\cdot HD = 9\\cdot 16 = 144$, значит $BH = 12$ см.
<br>Трапеция $ABCD$ равнобедренная (как вписанная). По симметрии расстояние от $C$ до $AD$ тоже даёт «выступ» $9$ см справа. Тогда:
$$BC = AD - 2\\cdot AH = 25 - 2\\cdot 9 = 7\\text{ см}$$
<b>Шаг 5.</b> По <b>формуле площади трапеции</b>:
$$S = \\dfrac{AD + BC}{2}\\cdot BH = \\dfrac{25 + 7}{2}\\cdot 12 = 16\\cdot 12 = 192\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $192$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v47.js
+204
View File
@@ -0,0 +1,204 @@
VARIANTS[47] = {
label: "Вариант 47",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`,
opts: [
["а", "$\\sqrt{72} = 36\\sqrt{2}$"], ["б", "$\\sqrt{72} = 2\\sqrt{6}$"], ["в", "$\\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}$"],
["г", "$\\sqrt{72} = 12\\sqrt{2}$"], ["д", "$\\sqrt{72} = 24\\sqrt{2}$"],
],
sol: `Разложим подкоренное число так, чтобы выделить полный квадрат:
$$\\sqrt{72} = \\sqrt{36 \\cdot 2} = \\sqrt{36}\\cdot\\sqrt{2} = 6\\sqrt{2}.$$
Проверим остальные варианты:<br>
$36\\sqrt{2}\\approx 50{,}9$, $2\\sqrt{6}\\approx 4{,}9$, $12\\sqrt{2}\\approx 17$, $24\\sqrt{2}\\approx 33{,}9$,
а $\\sqrt{72}\\approx 8{,}49$. Совпадает только $6\\sqrt{2}$.
<div class="sol-ans">Ответ: в) $\\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}$.</div>`
},
{
text: `Значение выражения $\\dfrac{6^4}{6^2} + 6^1$ равно:`,
opts: [
["а", "$36$"], ["б", "$37$"], ["в", "$18$"], ["г", "$42$"], ["д", "$48$"],
],
sol: `Используем свойство степеней $\\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$:
$$\\dfrac{6^4}{6^2} + 6^1 = 6^{4-2} + 6 = 6^2 + 6 = 36 + 6 = 42.$$
<div class="sol-ans">Ответ: г) $42$.</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "диагонали любого прямоугольника взаимно перпендикулярны;"],
["б", "высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности;"],
["в", "центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;"],
["г", "угол, равный $89^{\\circ}$, — острый?"],
],
sol: `Проанализируем каждое утверждение:
<ul>
<li><b>а)</b> Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам,
но <i>взаимно перпендикулярны они только в частном случае — в квадрате</i>.
В произвольном прямоугольнике это <b>неверно</b>.</li>
<li><b>б)</b> Верно: высота ромба равна диаметру вписанной окружности (стандартное свойство).</li>
<li><b>в)</b> Верно: центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров.</li>
<li><b>г)</b> Верно: угол меньше $90^{\\circ}$ — острый, $89^{\\circ}<90^{\\circ}$.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а) — утверждение неверно.</div>`
},
{
text: `При каких значениях переменной $x$ равны значения трёхчленов
$5x^2 - 3x + 4$ и $3x + 3 - 4x^2$?`,
sol: `Приравняем трёхчлены:
$$5x^2 - 3x + 4 = 3x + 3 - 4x^2.$$
Перенесём всё в левую часть:
$$5x^2 - 3x + 4 - 3x - 3 + 4x^2 = 0,$$
$$9x^2 - 6x + 1 = 0.$$
Замечаем полный квадрат: $9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2$. Значит,
$$(3x-1)^2 = 0 \\;\\Longrightarrow\\; 3x - 1 = 0 \\;\\Longrightarrow\\; x = \\dfrac{1}{3}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = \\dfrac{1}{3}$.</div>`
},
{
text: `В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\\angle B = 90^{\\circ}$, $BC = 20$ см, высота $BH = 12$ см.
Найдите синус угла $A$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 270 165" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- Точные пропорции: AB=15, BC=20, AC=25 (треуг. 3-4-5 ×5). Масштаб 8px/см. -->
<!-- A=(40,130), C=(240,130), B=(112,34) — прямой угол при B. H=(112,130) — основание высоты BH=12см=96px. -->
<polygon points="40,130 240,130 112,34" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<line x1="112" y1="34" x2="112" y2="130" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="4,3"/>
<!-- Прямой угол при B -->
<polygon points="112,34 106,42 114,48 120,40" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<!-- Прямой угол при H между BH и AC -->
<polygon points="112,130 112,120 102,120 102,130" fill="none" stroke="#dc2626" stroke-width="1.2"/>
<text x="24" y="142" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="244" y="142" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="106" y="28" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="105" y="146" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">H</text>
<text x="60" y="80" font-size="12" fill="#334155">15</text>
<text x="180" y="80" font-size="12" fill="#334155">20</text>
<text x="140" y="148" font-size="11" fill="#475569">25</text>
<text x="118" y="86" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">12</text>
</svg>
В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\\angle B=90^{\\circ}$) $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе $AC$.
Запишем площадь двумя способами:
$$S = \\tfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot BC = \\tfrac{1}{2}\\cdot AC\\cdot BH.$$
Отсюда $AB\\cdot 20 = AC\\cdot 12$, то есть $AC = \\dfrac{5\\,AB}{3}$.<br>
По теореме Пифагора $AB^2 + BC^2 = AC^2$:
$$AB^2 + 400 = \\dfrac{25\\,AB^2}{9} \\;\\Longrightarrow\\; \\dfrac{16\\,AB^2}{9} = 400
\\;\\Longrightarrow\\; AB^2 = 225 \\;\\Longrightarrow\\; AB = 15\\text{ см}.$$
Тогда $AC = \\dfrac{5\\cdot 15}{3} = 25$ см.<br>
Синус угла $A$ — отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AC$:
$$\\sin A = \\dfrac{BC}{AC} = \\dfrac{20}{25} = \\dfrac{4}{5} = 0{,}8.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\sin A = \\dfrac{4}{5} = 0{,}8$.</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\dfrac{5x+6}{x^2-4} - \\dfrac{x}{x^2-4} : \\dfrac{x}{x-2} - \\dfrac{x+2}{x-2}$.`,
sol: `<b>Порядок действий:</b> в выражении без скобок сначала выполняется деление и умножение, а затем сложение и вычитание (слева направо). Также применяется <b>формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Шаг 1.</b> Раскладываем $x^2 - 4$ по формуле разности квадратов:
$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$
ОДЗ: $x \\neq 2$, $x \\neq -2$, $x \\neq 0$ (так как в выражении есть деление на $\\dfrac{x}{x-2}$).
<br><b>Шаг 2.</b> По порядку действий сначала выполняем деление $\\dfrac{x}{x^2-4} : \\dfrac{x}{x-2}$. Делим на дробь — умножаем на обратную:
$$\\dfrac{x}{(x-2)(x+2)} \\cdot \\dfrac{x-2}{x} = \\dfrac{x\\cdot(x-2)}{(x-2)(x+2)\\cdot x} = \\dfrac{1}{x+2}$$
<b>Шаг 3.</b> Исходное выражение принимает вид:
$$\\dfrac{5x+6}{(x-2)(x+2)} - \\dfrac{1}{x+2} - \\dfrac{x+2}{x-2}$$
<b>Шаг 4.</b> Приводим к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$. Домножаем числители: первой дроби — на $1$, второй — на $(x-2)$, третьей — на $(x+2)$:
$$\\dfrac{(5x+6) - (x-2) - (x+2)^2}{(x-2)(x+2)}$$
<b>Шаг 5.</b> Раскрываем скобки в числителе, применяя <b>формулу квадрата суммы</b> $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$:
$$5x + 6 - x + 2 - (x^2 + 4x + 4) = (5x - x - 4x) + (6 + 2 - 4) - x^2 = 0 + 4 - x^2 = 4 - x^2$$
<b>Шаг 6.</b> Получаем:
$$\\dfrac{4 - x^2}{x^2 - 4} = \\dfrac{-(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = -1$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-1$ (при $x \\neq \\pm 2$ и $x \\neq 0$).</div>`
},
{
text: `График функции $f(x) = a(x-m)^2 + n$ изображён на рисунке.
Используя график функции, найдите $a$, $m$ и $n$.
Запишите формулу функции $y = f(x)$ в виде многочлена.`,
sol: `Функция $f(x)=a(x-m)^2+n$ — парабола с вершиной в точке $(m;\\,n)$;
знак $a$ определяет направление ветвей ($a>0$ — вверх, $a<0$ — вниз),
а $|a|$ — «крутизну».<br><br>
<b>Алгоритм по графику:</b>
<ul>
<li>находим координаты вершины параболы — это $m$ (абсцисса) и $n$ (ордината);</li>
<li>берём любую другую точку $(x_0;\\,y_0)$ графика и подставляем в формулу:
$a = \\dfrac{y_0 - n}{(x_0 - m)^2}$;</li>
<li>раскрываем скобки: $f(x)=a(x-m)^2+n = ax^2 - 2am\\,x + (am^2+n)$.</li>
</ul>
<b>Типичный вариант (вершина $(1;\\,-4)$, ветви вниз, через точку $(0;-5)$):</b>
$m=1$, $n=-4$, $a=\\dfrac{-5-(-4)}{(0-1)^2} = -1$.
$$f(x) = -(x-1)^2 - 4 = -x^2 + 2x - 1 - 4 = -x^2 + 2x - 5.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $a$, $m$, $n$ снимаются с графика по вершине $(m;n)$ и контрольной точке;
$f(x)=ax^2-2am\\,x+(am^2+n)$. Например, при вершине $(1;-4)$ и $a=-1$: $f(x)=-x^2+2x-5$.</div>`
},
{
text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} 9 - 4x < 0, \\\\[4pt] x^2 - 5x \\leq -4. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>1) Первое неравенство:</b>
$$9 - 4x < 0 \\;\\Longrightarrow\\; 4x > 9 \\;\\Longrightarrow\\; x > 2{,}25.$$
<b>2) Второе неравенство:</b>
$$x^2 - 5x + 4 \\leq 0.$$
Корни квадратного трёхчлена: $x_{1,2} = \\dfrac{5\\pm\\sqrt{25-16}}{2} = \\dfrac{5\\pm 3}{2}$,
то есть $x_1=1$, $x_2=4$. Так как ветви параболы $y=x^2-5x+4$ направлены вверх,
неравенство $\\leq 0$ выполняется между корнями: $1 \\leq x \\leq 4$.<br>
<b>3) Пересечение:</b> $x>2{,}25$ и $1\\leq x\\leq 4$ дают $2{,}25 < x \\leq 4$.<br>
<b>4) Целые решения:</b> $x=3$ и $x=4$.<br>
Сумма: $3+4=7$.
<div class="sol-ans">Ответ: $7$.</div>`
},
{
text: `Для перевозки партии щебня массой $1008$ т фирма использует самосвал МАЗ-5551.
По плану норма перевозки ежедневно должна увеличиваться на одно и то же число тонн.
Известно, что за первый день было перевезено $40$ т щебня.
Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день,
если вся работа была выполнена за $12$ дней.`,
sol: `<b>Метод арифметической прогрессии.</b> По условию норма ежедневно увеличивается на одно и то же число тонн, значит дневные объёмы образуют арифметическую прогрессию.
<br><b>Формулы арифметической прогрессии:</b>
<br>— $n$-й член: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.
<br>— Сумма первых $n$ членов: $S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\\cdot n$.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_1 = 40$ т (за первый день), $n = 12$ дней, $S_{12} = 1008$ т (вся партия). Разность $d$ — неизвестна.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставим в формулу суммы:
$$S_{12} = \\dfrac{2\\cdot 40 + 11d}{2}\\cdot 12 = 6\\cdot(80 + 11d)$$
По условию $S_{12} = 1008$:
$$6(80 + 11d) = 1008 \\implies 80 + 11d = 168 \\implies 11d = 88 \\implies d = 8$$
<b>Шаг 3.</b> Находим объём за девятый день по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$$a_9 = 40 + (9 - 1)\\cdot 8 = 40 + 64 = 104\\text{ т}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $104$ т.</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник, точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно,
$MK \\| AD$. Диагональ $BD$ пересекает отрезок $MK$ в точке $P$.
$S_{BMP} = 4$ см², $S_{PKD} = 9$ см². Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 360 220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- A=(30,30), B=(330,30), C=(330,190), D=(30,190). MK на x=210 (BM:MA = 120:180 = 2:3) -->
<rect x="30" y="30" width="300" height="160" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<line x1="30" y1="190" x2="330" y2="30" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="210" y1="30" x2="210" y2="190" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
<polygon points="210,30 330,30 210,94" fill="rgba(220,38,38,0.18)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="210,94 210,190 30,190" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="210" cy="94" r="4" fill="#dc2626"/>
<text x="20" y="26" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="335" y="26" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="335" y="205" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="20" y="205" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="215" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
<text x="215" y="205" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<text x="216" y="92" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">P</text>
<text x="248" y="62" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">S = 4</text>
<text x="90" y="148" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">S = 9</text>
<text x="265" y="22" font-size="11" fill="#334155">BM=p</text>
<text x="100" y="22" font-size="11" fill="#334155">AM=q</text>
</svg>
<b>Идея.</b> $MK\\perp AB$ (т.к. $MK\\parallel AD$ и $AD\\perp AB$). Значит $\\triangle BMP$ — прямоугольный (∠M=90°), $\\triangle DKP$ — прямоугольный (∠K=90°).
<br><b>Шаг 1. Подобие.</b>&ensp;$\\triangle BMP \\sim \\triangle BAD$ (по двум углам: ∠B общий, $MP\\parallel AD$). Аналогично $\\triangle DKP\\sim\\triangle DCB$.
<br>Введём $BM=p$, $AM=q$. Так как $K$ под $M$: $DK=AM=q$. Высота прямоугольника $h=AD$.
<br>Из подобия:
$$MP = \\dfrac{BM}{BA}\\cdot AD = \\dfrac{p\\,h}{p+q}, \\quad PK = \\dfrac{DK}{DC}\\cdot CB = \\dfrac{q\\,h}{p+q}$$
<b>Шаг 2. Площади.</b>
$$S_{BMP} = \\dfrac{1}{2}\\cdot p\\cdot\\dfrac{ph}{p+q} = \\dfrac{p^2 h}{2(p+q)} = 4$$
$$S_{DKP} = \\dfrac{1}{2}\\cdot q\\cdot\\dfrac{qh}{p+q} = \\dfrac{q^2 h}{2(p+q)} = 9$$
<b>Шаг 3.</b>&ensp;Делим: $\\dfrac{p^2}{q^2}=\\dfrac{4}{9}$ → $\\dfrac{p}{q}=\\dfrac{2}{3}$. Пусть $p=2t$, $q=3t$.
<br>Из первого уравнения:
$$\\dfrac{4t^2 h}{2\\cdot5t} = \\dfrac{2th}{5}=4 \\implies th=10$$
<b>Шаг 4. Площадь прямоугольника.</b>
$$S_{ABCD} = (p+q)\\cdot h = 5t\\cdot h = 5\\cdot10 = 50\\text{ см}^2$$
<b>Универсальная формула:</b>&ensp;$S_{ABCD} = 2\\bigl(\\sqrt{S_{BMP}}+\\sqrt{S_{DKP}}\\bigr)^{2} = 2(2+3)^2 = 50$.
<div class="sol-ans">Ответ: $S_{ABCD} = 50$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v48.js
+196
View File
@@ -0,0 +1,196 @@
VARIANTS[48] = {
label: "Вариант 48",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`,
opts: [
["а", "$\\sqrt{50} = 2\\sqrt{5}$"], ["б", "$\\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}$"], ["в", "$\\sqrt{50} = 25\\sqrt{2}$"],
["г", "$\\sqrt{50} = 5\\sqrt{10}$"], ["д", "$\\sqrt{50} = 5$"],
],
sol: `Разложим подкоренное число: $\\sqrt{50}=\\sqrt{25\\cdot2}=5\\sqrt{2}$.
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $\\dfrac{8^5}{8^3} + 8^1$ равно:`,
opts: [
["а", "$64$"], ["б", "$65$"], ["в", "$24$"], ["г", "$72$"], ["д", "$56$"],
],
sol: `$\\dfrac{8^5}{8^3}+8^1=8^2+8=64+8=72$.
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$72$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "диагонали любого ромба равны между собой;"],
["б", "центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника;"],
["в", "гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из катетов;"],
["г", "угол, равный $91^{\\circ}$, — тупой?"],
],
sol: `а) Диагонали ромба равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b> (равны только в квадрате). б)–г) верно.
<div class="sol-ans">Ответ: а)</div>`
},
{
text: `При каких значениях переменной $x$ равны значения трёхчленов
$12x^2 + 4 - 4x$ и $3 - 4x^2 + 4x$?`,
sol: `$12x^2+4-4x=3-4x^2+4x \\implies 16x^2-8x+1=0 \\implies (4x-1)^2=0 \\implies x=\\dfrac{1}{4}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x=\\dfrac{1}{4}$</div>`
},
{
text: `В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\\angle A = 90^{\\circ}$, высота $AK = 24$ см, $BK = 18$ см.
Найдите косинус угла $C$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 270 165" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- Точные пропорции: AB=30, AC=40, BC=50 (3-4-5 ×10). Масштаб 4px/см. -->
<!-- B=(40,130), C=(240,130), A=(112,34) — прямой угол при A. K=(112,130) — основание высоты AK=24см=96px. -->
<polygon points="40,130 240,130 112,34" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<line x1="112" y1="34" x2="112" y2="130" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="4,3"/>
<!-- Прямой угол при A -->
<polygon points="112,34 106,42 114,48 120,40" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<!-- Прямой угол при K -->
<polygon points="112,130 112,120 102,120 102,130" fill="none" stroke="#dc2626" stroke-width="1.2"/>
<text x="24" y="142" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="244" y="142" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="106" y="28" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="105" y="146" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">K</text>
<text x="60" y="80" font-size="12" fill="#334155">30</text>
<text x="180" y="80" font-size="12" fill="#334155">40</text>
<text x="70" y="146" font-size="11" fill="#475569">BK=18</text>
<text x="155" y="146" font-size="11" fill="#475569">KC=32</text>
<text x="118" y="86" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">24</text>
</svg>
<b>Свойство высоты прямоугольного треугольника:</b> в прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, удовлетворяет:
<br>$h^2 = m\\cdot n$, где $m,\\,n$ — отрезки, на которые она делит гипотенузу.
<br><b>Шаг 1.</b> В $\\triangle ABC$ прямой угол при $A$, высота $AK$ опущена на гипотенузу $BC$. Тогда:
$$AK^2 = BK\\cdot KC$$
$$24^2 = 18\\cdot KC \\implies 576 = 18\\cdot KC \\implies KC = \\dfrac{576}{18} = 32\\text{ см}$$
<b>Шаг 2.</b> Находим гипотенузу:
$$BC = BK + KC = 18 + 32 = 50\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> Находим катет $AC$ по <b>теореме Пифагора</b> в $\\triangle AKC$:
$$AC^2 = AK^2 + KC^2 = 24^2 + 32^2 = 576 + 1024 = 1600$$
$$AC = \\sqrt{1600} = 40\\text{ см}$$
<b>Шаг 4.</b> По <b>определению косинуса:</b> $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
<br>В $\\triangle ABC$ для угла $C$: прилежащий катет — $AC$, гипотенуза — $BC$:
$$\\cos C = \\dfrac{AC}{BC} = \\dfrac{40}{50} = \\dfrac{4}{5} = 0{,}8$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\cos C=\\dfrac{4}{5}=0{,}8$</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\dfrac{25 - 5n}{n^2-9} - \\dfrac{n}{n^2-9} : \\dfrac{n}{n+7} - \\dfrac{n-3}{n+3}$.`,
sol: `<b>Порядок действий:</b> сначала выполняется деление, потом сложение и вычитание. <b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Шаг 1.</b> Раскладываем $n^2 - 9$ по формуле разности квадратов:
$$n^2 - 9 = (n - 3)(n + 3)$$
ОДЗ: $n \\neq 3$, $n \\neq -3$, $n \\neq -7$, $n \\neq 0$.
<br><b>Шаг 2.</b> Выполняем деление $\\dfrac{n}{n^2-9} : \\dfrac{n}{n+7}$ — умножаем на обратную дробь:
$$\\dfrac{n}{(n-3)(n+3)} \\cdot \\dfrac{n+7}{n} = \\dfrac{n+7}{(n-3)(n+3)}$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем в выражение:
$$\\dfrac{25 - 5n}{(n-3)(n+3)} - \\dfrac{n+7}{(n-3)(n+3)} - \\dfrac{n-3}{n+3}$$
<b>Шаг 4.</b> Объединяем первые две дроби с общим знаменателем:
$$\\dfrac{(25 - 5n) - (n + 7)}{(n-3)(n+3)} = \\dfrac{25 - 5n - n - 7}{(n-3)(n+3)} = \\dfrac{18 - 6n}{(n-3)(n+3)}$$
В числителе выносим $-6$ за скобку: $18 - 6n = -6(n - 3)$. Тогда:
$$\\dfrac{-6(n-3)}{(n-3)(n+3)} = \\dfrac{-6}{n+3}$$
<b>Шаг 5.</b> Остаётся вычесть третью дробь (общий знаменатель $n + 3$):
$$\\dfrac{-6}{n+3} - \\dfrac{n-3}{n+3} = \\dfrac{-6 - (n - 3)}{n+3} = \\dfrac{-6 - n + 3}{n+3} = \\dfrac{-n - 3}{n+3} = \\dfrac{-(n+3)}{n+3} = -1$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-1$</div>`
},
{
text: `График функции $f(x) = a(x-m)^2 + n$ изображён на рисунке.
Используя график функции, найдите $a$, $m$ и $n$.
Запишите формулу функции $y = f(x)$ в виде многочлена.`,
sol: `<b>Вершинная форма квадратичной функции:</b> $f(x) = a(x - m)^2 + n$ — это парабола с вершиной в точке $(m;\\,n)$. Знак $a$ определяет направление ветвей ($a \\gt 0$ — вверх, $a \\lt 0$ — вниз).
<br><b>Алгоритм нахождения $a$, $m$, $n$ по графику:</b>
<ul>
<li><b>Шаг 1.</b> Находим координаты вершины параболы — это $m$ (абсцисса) и $n$ (ордината).</li>
<li><b>Шаг 2.</b> Берём любую другую точку $(x_0;\\,y_0)$ графика и подставляем в формулу: $a = \\dfrac{y_0 - n}{(x_0 - m)^2}$.</li>
<li><b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки по <b>формуле квадрата разности</b> $(x - m)^2 = x^2 - 2mx + m^2$:
$$f(x) = a(x - m)^2 + n = ax^2 - 2am\\,x + (am^2 + n)$$</li>
</ul>
<b>Типичный пример</b> (вершина $(2;\\,1)$, ветви вверх, график проходит через $(0;\\,5)$):
<br>— $m = 2$, $n = 1$.
<br>— Для $a$: $a = \\dfrac{5 - 1}{(0 - 2)^2} = \\dfrac{4}{4} = 1$.
<br>— Формула в виде многочлена:
$$f(x) = (x - 2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5$$
<div class="sol-ans">Ответ: читается с графика; $f(x) = ax^2 - 2am\\,x + (am^2 + n)$.</div>`
},
{
text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} 9 - 2x < 0, \\\\[4pt] x^2 - 8x < -7. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Метод решения системы неравенств:</b> решаем каждое неравенство отдельно, затем находим <em>пересечение</em> решений (общую часть).
<br><b>Шаг 1.</b> Решаем первое неравенство $9 - 2x \\lt 0$:
$$-2x \\lt -9$$
Делим на $-2$ и <em>меняем знак</em> неравенства:
$$x \\gt 4{,}5$$
<b>Шаг 2.</b> Решаем второе неравенство $x^2 - 8x \\lt -7$. Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2 - 8x + 7 \\lt 0$$
По <b>теореме Виета</b> разложим: ищем числа с суммой $8$ и произведением $7$ — это $1$ и $7$.
$$(x - 1)(x - 7) \\lt 0$$
Парабола $y = x^2 - 8x + 7$ ветвями вверх; она <em>отрицательна</em> между корнями:
$$1 \\lt x \\lt 7$$
<b>Шаг 3.</b> Пересечение условий $x \\gt 4{,}5$ и $1 \\lt x \\lt 7$:
$$4{,}5 \\lt x \\lt 7$$
<b>Шаг 4.</b> Целые числа в этом промежутке: $x = 5,\\,6$.
$$\\text{Сумма} = 5 + 6 = 11$$
<div class="sol-ans">Ответ: $11$</div>`
},
{
text: `Для перевозки партии щебня массой $880$ т фирма использует самосвал МАЗ-5551.
По плану норма перевозки ежедневно должна увеличиваться на одно и то же число тонн.
Известно, что за первый день было перевезено $30$ т щебня.
Определите, сколько тонн щебня было перевезено за шестой день,
если вся работа была выполнена за $11$ дней.`,
sol: `<b>Метод арифметической прогрессии.</b> По условию норма ежедневно увеличивается на одно и то же число тонн, значит дневные объёмы образуют арифметическую прогрессию.
<br><b>Формулы арифметической прогрессии:</b>
<br>— $n$-й член: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
<br>— Сумма первых $n$ членов: $S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\\cdot n$.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_1 = 30$ т, $n = 11$, $S_{11} = 880$ т. Разность $d$ — неизвестна.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставим в формулу суммы:
$$S_{11} = \\dfrac{2\\cdot 30 + 10d}{2}\\cdot 11 = (60 + 10d)\\cdot\\dfrac{11}{2} = 11\\cdot(30 + 5d)$$
По условию $S_{11} = 880$:
$$11\\cdot(30 + 5d) = 880 \\implies 30 + 5d = 80 \\implies 5d = 50 \\implies d = 10$$
<b>Шаг 3.</b> Находим объём за шестой день:
$$a_6 = a_1 + (6 - 1)\\cdot d = 30 + 5\\cdot 10 = 30 + 50 = 80\\text{ т}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $80$ т</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник, точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно,
$MK \\| AD$. Диагональ $AC$ пересекает отрезок $MK$ в точке $P$.
$S_{CPK} = 9$ см², $S_{AMP} = 16$ см². Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 360 220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- A=(30,30), B=(330,30), C=(330,190), D=(30,190). Диагональ AC от A(30,30) до C(330,190). MK на x=200 (AM:MB = 170:130 = 4:3 чтобы p:a-p=4:3) -->
<rect x="30" y="30" width="300" height="160" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<line x1="30" y1="30" x2="330" y2="190" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="200" y1="30" x2="200" y2="190" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
<!-- Треугольник AMP (верх-слева): A=(30,30), M=(200,30), P=(200,121) -->
<polygon points="30,30 200,30 200,121" fill="rgba(220,38,38,0.18)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
<!-- Треугольник CPK (низ-справа): C=(330,190), P=(200,121), K=(200,190) -->
<polygon points="200,121 330,190 200,190" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="200" cy="121" r="4" fill="#dc2626"/>
<text x="20" y="26" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="335" y="26" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="335" y="205" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="20" y="205" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="205" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
<text x="205" y="205" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<text x="206" y="119" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">P</text>
<text x="90" y="62" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">S = 16</text>
<text x="240" y="178" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">S = 9</text>
<text x="100" y="22" font-size="11" fill="#334155">AM=p</text>
<text x="245" y="22" font-size="11" fill="#334155">MB=a−p</text>
</svg>
<b>Идея.</b> Обозначим $AB = a$, $BC = h$ (стороны прямоугольника) и $AM = p$. Тогда $MB = a - p$. Так как $MK\\parallel AD$ ($AD$ — сторона, перпендикулярная $AB$), $MK = h$.
<br><b>Шаг 1.</b> Диагональ $AC$ идёт от $A$ к $C$. По <b>подобию треугольников</b> ($AMP \\sim ABC$): $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{MP}{BC}$, откуда $MP = \\dfrac{p\\cdot h}{a}$.
<br>Тогда $PK = h - MP = \\dfrac{(a - p)\\cdot h}{a}$.
<br><b>Шаг 2.</b> Площади прямоугольных треугольников $AMP$ и $CPK$:
$$S_{AMP} = \\dfrac{1}{2}\\cdot AM\\cdot MP = \\dfrac{1}{2}\\cdot p\\cdot\\dfrac{ph}{a} = \\dfrac{p^2 h}{2a} = 16$$
$$S_{CPK} = \\dfrac{1}{2}\\cdot KC\\cdot PK = \\dfrac{1}{2}\\cdot(a - p)\\cdot\\dfrac{(a - p)h}{a} = \\dfrac{(a - p)^2 h}{2a} = 9$$
<b>Шаг 3.</b> Делим равенства:
$$\\dfrac{S_{AMP}}{S_{CPK}} = \\dfrac{p^2}{(a - p)^2} = \\dfrac{16}{9}$$
Извлекаем квадратный корень:
$$\\dfrac{p}{a - p} = \\dfrac{4}{3}$$
<b>Шаг 4.</b> Параметризуем: пусть $p = 4t$, $a - p = 3t$, тогда $a = 7t$.
<br><b>Шаг 5.</b> Подставим в $S_{AMP} = 16$:
$$\\dfrac{(4t)^2\\cdot h}{2\\cdot 7t} = 16 \\implies \\dfrac{16t^2 h}{14t} = 16 \\implies \\dfrac{8th}{7} = 16 \\implies th = 14$$
<b>Шаг 6.</b> Площадь прямоугольника:
$$S_{ABCD} = a\\cdot h = 7t\\cdot h = 7\\cdot th = 7\\cdot 14 = 98\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $98$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v49.js
+197
View File
@@ -0,0 +1,197 @@
VARIANTS[49] = {
label: "Вариант 49",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных выражений <b>НЕ</b> является одночленом:`,
opts: [
["а", "$2abc$"], ["б", "$m^{11}$"], ["в", "$\\dfrac{4}{y}$"],
["г", "$-\\dfrac{2}{7}c^4$"], ["д", "$\\dfrac{t}{5}$"],
],
sol: `<b>Определение:</b> одночлен — произведение чисел и переменных в натуральных степенях.<br>
Выражение $\\dfrac{4}{y}=4y^{-1}$ содержит переменную в знаменателе (отрицательная степень),
поэтому одночленом <b>не является</b>.<br>
Остальные варианты — корректные одночлены.
<div class="sol-ans">Ответ: в) $\\dfrac{4}{y}$.</div>`
},
{
text: `Уравнение окружности с центром в точке $(5;\\; 0)$ и радиусом $\\sqrt{7}$ имеет вид:`,
opts: [
["а", "$(x+5)^2 + y^2 = 7$"], ["б", "$(x-5)^2 + y^2 = \\sqrt{7}$"], ["в", "$(x+5)^2 - y^2 = 7$"],
["г", "$(x-5)^2 + y^2 = 7$"], ["д", "$(x-5)^2 - y^2 = 7$"],
],
sol: `<b>Уравнение окружности</b> с центром $(a;\\,b)$ и радиусом $R$:
$$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}.$$
Подставляем $a=5,\\;b=0,\\;R=\\sqrt{7},\\;R^{2}=7$:
$$(x-5)^{2}+y^{2}=7.$$
<div class="sol-ans">Ответ: г) $(x-5)^{2}+y^{2}=7$.</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "у подобных треугольников соответствующие углы равны;"],
["б", "если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен $90^{\\circ}$;"],
["в", "$\\operatorname{tg} 45^{\\circ} = 1$;"],
["г", "биссектриса любого треугольника делит сторону треугольника пополам?"],
],
sol: `Проверим утверждения:
<ul>
<li>а) верно — определение подобных треугольников;</li>
<li>б) верно — определение перпендикулярных прямых;</li>
<li>в) верно — табличное значение $\\operatorname{tg}45^{\\circ}=1$;</li>
<li>г) <b>неверно</b> — пополам сторону делит <i>медиана</i>, а биссектриса
делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г).</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$15^0 + \\sqrt{16} - \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{-1} + \\sqrt{\\dfrac{1}{4}}$.`,
sol: `Вычисляем по частям:
<ul>
<li>$15^{0}=1;$</li>
<li>$\\sqrt{16}=4;$</li>
<li>$\\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{-1}=3;$</li>
<li>$\\sqrt{\\dfrac{1}{4}}=\\dfrac{1}{2}.$</li>
</ul>
Тогда $1+4-3+\\dfrac{1}{2}=2+\\dfrac{1}{2}=2{,}5.$
<div class="sol-ans">Ответ: $2{,}5$ (или $\\dfrac{5}{2}$).</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — параллелограмм, биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$,
$BK = 6$ см, $KC = 4$ см. Найдите периметр параллелограмма.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 340 200" width="320" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto;">
<polygon points="40,160 110,30 320,30 250,160" fill="#eef6ff" stroke="#1e63a8" stroke-width="2"/>
<line x1="40" y1="160" x2="180" y2="30" stroke="#d33" stroke-width="2"/>
<circle cx="40" cy="160" r="3" fill="#000"/>
<circle cx="110" cy="30" r="3" fill="#000"/>
<circle cx="320" cy="30" r="3" fill="#000"/>
<circle cx="250" cy="160" r="3" fill="#000"/>
<circle cx="180" cy="30" r="3" fill="#d33"/>
<text x="22" y="170" font-size="14">A</text>
<text x="100" y="22" font-size="14">B</text>
<text x="320" y="22" font-size="14">C</text>
<text x="252" y="172" font-size="14">D</text>
<text x="178" y="22" font-size="14">K</text>
<text x="138" y="22" font-size="12" fill="#1e63a8">6</text>
<text x="245" y="22" font-size="12" fill="#1e63a8">4</text>
</svg>
<b>Свойство биссектрисы и параллельных прямых.</b><br>
<b>Шаг 1.</b> Обозначим $\\angle A = 2\\alpha$. Так как $AK$ — биссектриса угла $A$, то она делит этот угол пополам, поэтому $\\angle BAK = \\alpha$.<br>
<b>Шаг 2.</b> По свойству параллелограмма $BC \\parallel AD$. Прямая $AK$ — секущая для этих параллельных прямых, значит накрест лежащие углы равны:
$$\\angle AKB = \\angle KAD = \\alpha.$$
<b>Шаг 3.</b> В $\\triangle ABK$ два угла равны ($\\angle BAK = \\angle AKB = \\alpha$), значит треугольник равнобедренный, и стороны напротив равных углов равны:
$$AB = BK = 6\\text{ см}.$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $BC$: точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому
$$BC = BK + KC = 6 + 4 = 10\\text{ см}.$$
Так как $AD = BC$ (противоположные стороны параллелограмма), то $AD = 10$ см.<br>
<b>Шаг 5.</b> Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме соседних сторон:
$$P = 2(AB + BC) = 2(6 + 10) = 32\\text{ см}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $32$ см.</div>`
},
{
text: `Упростите выражение $\\dfrac{x^2 - 4x + 4}{(x+5)^2 - 49}$.`,
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.<br>
<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Раскладываем числитель по формуле квадрата разности (так как $4x=2\\cdot x\\cdot 2$ и $4=2^2$):
$$x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.$$
<b>Шаг 2.</b> Раскладываем знаменатель по формуле разности квадратов (так как $49=7^2$):
$$(x+5)^{2}-49=(x+5-7)(x+5+7)=(x-2)(x+12).$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем разложения в дробь и сокращаем общий множитель $(x-2)$:
$$\\dfrac{(x-2)^{2}}{(x-2)(x+12)}=\\dfrac{x-2}{x+12}.$$
<b>Шаг 4.</b> Указываем ОДЗ: знаменатели исходного и сокращённого выражений не должны обращаться в ноль, поэтому $x\\ne 2$ и $x\\ne -12$.
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{x-2}{x+12}$.</div>`
},
{
text: `Определите, сколько общих точек у прямой $y = -5$ и графика функции $y = -5x^2 - x + 1$.
В ответ запишите координаты точек пересечения.`,
sol: `<b>Метод:</b> чтобы найти общие точки графиков, приравнивают их правые части и решают полученное уравнение; каждый корень даёт одну общую точку.<br>
<b>Шаг 1.</b> Приравниваем правые части (так как в общей точке значения $y$ совпадают):
$$-5=-5x^{2}-x+1.$$
<b>Шаг 2.</b> Переносим всё в одну сторону:
$$5x^{2}+x-6=0.$$
<b>Шаг 3.</b> Находим дискриминант квадратного уравнения по формуле $D=b^2-4ac$:
$$D=1^{2}-4\\cdot 5\\cdot(-6)=1+120=121,\\quad \\sqrt{D}=11.$$
<b>Шаг 4.</b> По формуле корней $x_{1,2}=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$:
$$x_{1,2}=\\dfrac{-1\\pm 11}{10}\\;\\implies\\;x_{1}=1,\\;x_{2}=-\\dfrac{6}{5}=-1{,}2.$$
<b>Шаг 5.</b> Так как уравнение имеет два различных корня, общих точек тоже две. При каждом из значений $y=-5$ (по условию прямой), значит точки пересечения: $(1;\\,-5)$ и $(-1{,}2;\\,-5)$.
<div class="sol-ans">Ответ: $2$ точки: $(1;\\,-5)$ и $(-1{,}2;\\,-5)$.</div>`
},
{
text: `Бригада маляров красит фасад здания площадью $2100$ м², ежедневно увеличивая норму покраски
на одно и то же число квадратных метров. Известно, что за первый и последний день
в сумме бригада покрасила $350$ м² фасада.
Определите, сколько дней бригада маляров красила весь фасад.`,
sol: `<b>Формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии:</b>
$$S_n = \\dfrac{(a_1 + a_n) \\cdot n}{2}.$$
<b>Шаг 1.</b> По условию ежедневные нормы покраски увеличиваются на одно и то же число, значит они образуют арифметическую прогрессию $a_1, a_2, \\ldots, a_n$, где $n$ — количество дней.<br>
<b>Шаг 2.</b> По условию сумма площадей в первый и последний день: $a_1 + a_n = 350$ м².
Общая площадь — это сумма всех членов прогрессии: $S_n = 2100$ м².<br>
<b>Шаг 3.</b> Подставляем в формулу суммы:
$$2100 = \\dfrac{350 \\cdot n}{2} = 175n.$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $n$:
$$n = \\dfrac{2100}{175} = 12.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $12$ дней.</div>`
},
{
text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} \\dfrac{x+5}{x} \\leq 0, \\\\[6pt] x^2 + 4x > -3. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Метод интервалов:</b> решаем каждое неравенство по отдельности, затем берём пересечение.<br>
<b>Шаг 1. Первое неравенство $\\dfrac{x+5}{x} \\leq 0$.</b><br>
Находим нули числителя и знаменателя: $x = -5$ (включается, потому что $\\leq$) и $x = 0$ (выколота, так как делить на ноль нельзя).<br>
Методом интервалов получаем $x \\in [-5;\\,0)$.<br>
<b>Шаг 2. Второе неравенство $x^2 + 4x \\gt -3$.</b><br>
Переносим $-3$ влево: $x^2 + 4x + 3 \\gt 0$.<br>
Раскладываем на множители: $x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$.<br>
Парабола ветвями вверх, поэтому $(x+1)(x+3) \\gt 0$ при $x \\lt -3$ или $x \\gt -1$, то есть
$$x \\in (-\\infty;\\,-3) \\cup (-1;\\,+\\infty).$$
<b>Шаг 3. Пересечение двух решений:</b>
$$x \\in [-5;\\,-3) \\cup (-1;\\,0).$$
<b>Шаг 4. Целые решения.</b><br>
На $[-5;\\,-3)$ — это $-5$ и $-4$ (число $-3$ не входит); на $(-1;\\,0)$ целых чисел нет.<br>
<b>Шаг 5. Сумма:</b> $-5 + (-4) = -9$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-9$.</div>`
},
{
text: `В треугольнике $ABC$ проведены отрезки $MK \\| AC$ и $KE \\| AB$,
где точки $M$, $K$ и $E$ принадлежат сторонам $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно.
Площадь треугольника $MBK$ равна $9$ см², треугольника $EKC$ — $16$ см².
Найдите площадь четырёхугольника $AMKE$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 360 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- A=(30,210), B=(180,20), C=(330,210). k1=3/7, k2=4/7. M=(116,101), K=(244,101), E=(159,210). -->
<polygon points="30,210 180,20 330,210" fill="rgba(234,179,8,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<polygon points="116,101 180,20 244,101" fill="rgba(220,38,38,0.18)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.6"/>
<polygon points="159,210 244,101 330,210" fill="rgba(37,99,235,0.18)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.6"/>
<polygon points="30,210 116,101 244,101 159,210" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.6"/>
<text x="14" y="222" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="174" y="14" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="334" y="222" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="100" y="105" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
<text x="248" y="105" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<text x="153" y="225" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">E</text>
<text x="160" y="65" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">S=9</text>
<text x="252" y="170" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">S=16</text>
<text x="135" y="180" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">AMKE = ?</text>
</svg>
<b>Теорема:</b> отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.<br>
<b>Шаг 1. Подобие $\\triangle MBK \\sim \\triangle ABC$.</b><br>
Так как $MK \\parallel AC$, то $\\triangle MBK$ подобен $\\triangle ABC$ (углы $B$ общий, остальные — как соответственные при параллельных). Коэффициент подобия:
$$k_1 = \\dfrac{BK}{BC}.$$
<b>Шаг 2. Подобие $\\triangle KEC \\sim \\triangle ABC$.</b><br>
Так как $KE \\parallel AB$, аналогично $\\triangle KEC \\sim \\triangle ABC$ с коэффициентом
$$k_2 = \\dfrac{KC}{BC}.$$
<b>Шаг 3. Связь коэффициентов.</b><br>
Так как $BK + KC = BC$, то
$$k_1 + k_2 = \\dfrac{BK + KC}{BC} = 1.$$
<b>Шаг 4. Выражаем коэффициенты через площади.</b><br>
Пусть $S = S_{ABC}$. По теореме об отношении площадей:
$$\\dfrac{S_{MBK}}{S} = k_1^2 \\implies k_1 = \\dfrac{3}{\\sqrt{S}}; \\quad \\dfrac{S_{EKC}}{S} = k_2^2 \\implies k_2 = \\dfrac{4}{\\sqrt{S}}.$$
<b>Шаг 5. Находим $S$.</b><br>
Подставляем в равенство $k_1 + k_2 = 1$:
$$\\dfrac{3}{\\sqrt{S}} + \\dfrac{4}{\\sqrt{S}} = 1 \\implies \\dfrac{7}{\\sqrt{S}} = 1 \\implies \\sqrt{S} = 7 \\implies S = 49.$$
<b>Шаг 6. Площадь четырёхугольника $AMKE$.</b><br>
Большой треугольник разбит на два маленьких и четырёхугольник:
$$S_{AMKE} = S_{ABC} - S_{MBK} - S_{EKC} = 49 - 9 - 16 = 24\\text{ см}^2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $24$ см².</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v50.js
+187
View File
@@ -0,0 +1,187 @@
VARIANTS[50] = {
label: "Вариант 50",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных выражений <b>НЕ</b> является одночленом:`,
opts: [
["а", "$n^{12}$"], ["б", "$-\\dfrac{3}{8}b^3$"], ["в", "$\\dfrac{5}{z}$"],
["г", "$3abc$"], ["д", "$1$"],
],
sol: `<b>Определение:</b> одночлен — произведение чисел и переменных в натуральных степенях.<br>
Выражение $\\dfrac{5}{z}=5z^{-1}$ содержит переменную в знаменателе (отрицательная степень),
поэтому одночленом <b>не является</b>.<br>
Остальные варианты — корректные одночлены.
<div class="sol-ans">Ответ: в) $\\dfrac{5}{z}$.</div>`
},
{
text: `Уравнение окружности с центром в точке $(0;\\; 4)$ и радиусом $\\sqrt{5}$ имеет вид:`,
opts: [
["а", "$x^2 + (y+4)^2 = 5$"], ["б", "$x^2 + (y-4)^2 = 5$"], ["в", "$x^2 - (y+4)^2 = 5$"],
["г", "$x^2 - (y-4)^2 = 5$"], ["д", "$x^2 + (y-4)^2 = \\sqrt{5}$"],
],
sol: `<b>Уравнение окружности</b> с центром $(a;\\,b)$ и радиусом $R$:
$$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}.$$
Подставляем $a=0,\\;b=4,\\;R=\\sqrt{5},\\;R^{2}=5$:
$$x^{2}+(y-4)^{2}=5.$$
<div class="sol-ans">Ответ: б) $x^{2}+(y-4)^{2}=5$.</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны;"],
["б", "$\\operatorname{ctg} 45^{\\circ} = 1$;"],
["в", "если угол между прямыми равен $90^{\\circ}$, то они перпендикулярны;"],
["г", "медиана любого треугольника перпендикулярна стороне, к которой проведена?"],
],
sol: `Проверим утверждения:
<ul>
<li>а) верно — определение подобных треугольников;</li>
<li>б) верно — табличное значение $\\operatorname{ctg}45^{\\circ}=1$;</li>
<li>в) верно — определение перпендикулярных прямых;</li>
<li>г) <b>неверно</b> — медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны,
но в общем случае она не перпендикулярна этой стороне.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г).</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$12^0 + \\sqrt{36} - \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-1} + \\sqrt{\\dfrac{1}{16}}$.`,
sol: `Вычисляем по частям:
<ul>
<li>$12^{0}=1;$</li>
<li>$\\sqrt{36}=6;$</li>
<li>$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-1}=2;$</li>
<li>$\\sqrt{\\dfrac{1}{16}}=\\dfrac{1}{4}.$</li>
</ul>
Тогда $1+6-2+\\dfrac{1}{4}=5+\\dfrac{1}{4}=5{,}25.$
<div class="sol-ans">Ответ: $5{,}25$ (или $\\dfrac{21}{4}$).</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — параллелограмм, $DC = 12$ см. Биссектриса угла $B$ пересекает сторону $AD$
в точке $M$, $MD = 4$ см. Найдите периметр параллелограмма.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 340 200" width="320" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto;">
<polygon points="40,160 110,30 320,30 250,160" fill="#eef6ff" stroke="#1e63a8" stroke-width="2"/>
<line x1="320" y1="30" x2="110" y2="160" stroke="#d33" stroke-width="2"/>
<circle cx="110" cy="160" r="3" fill="#d33"/>
<text x="22" y="172" font-size="14">A</text>
<text x="100" y="22" font-size="14">B</text>
<text x="322" y="22" font-size="14">C</text>
<text x="252" y="172" font-size="14">D</text>
<text x="98" y="172" font-size="14">M</text>
<text x="55" y="172" font-size="11" fill="#1e63a8">AM=12</text>
<text x="175" y="172" font-size="11" fill="#1e63a8">MD=4</text>
</svg>
<b>Свойство биссектрисы и параллельных прямых.</b><br>
<b>Шаг 1.</b> Пусть $\\angle B = 2\\beta$. Так как $BM$ — биссектриса угла $B$, то $\\angle ABM = \\angle MBC = \\beta$.<br>
<b>Шаг 2.</b> По свойству параллелограмма $AD \\parallel BC$. $BM$ — секущая, значит накрест лежащие углы равны:
$$\\angle BMA = \\angle MBC = \\beta.$$
<b>Шаг 3.</b> В $\\triangle ABM$ два угла равны ($\\angle ABM = \\angle BMA = \\beta$), значит он равнобедренный, и стороны напротив равных углов равны:
$$AB = AM.$$
<b>Шаг 4.</b> Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, $AB = DC = 12$ см. Значит $AM = 12$ см.<br>
<b>Шаг 5.</b> Находим $AD$: точка $M$ лежит на стороне $AD$, поэтому
$$AD = AM + MD = 12 + 4 = 16\\text{ см}.$$
А $BC = AD = 16$ см (противоположные стороны параллелограмма).<br>
<b>Шаг 6.</b> Периметр параллелограмма:
$$P = 2(AB + BC) = 2(12 + 16) = 56\\text{ см}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $56$ см.</div>`
},
{
text: `Упростите выражение $\\dfrac{y^2 + 14y + 49}{(y+3)^2 - 16}$.`,
sol: `<b>Формула квадрата суммы:</b> $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.<br>
<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Раскладываем числитель по формуле квадрата суммы (так как $14y=2\\cdot y\\cdot 7$ и $49=7^2$):
$$y^{2}+14y+49=(y+7)^{2}.$$
<b>Шаг 2.</b> Раскладываем знаменатель по формуле разности квадратов (так как $16=4^2$):
$$(y+3)^{2}-16=(y+3-4)(y+3+4)=(y-1)(y+7).$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем разложения и сокращаем общий множитель $(y+7)$:
$$\\dfrac{(y+7)^{2}}{(y-1)(y+7)}=\\dfrac{y+7}{y-1}.$$
<b>Шаг 4.</b> ОДЗ: знаменатели исходного и сокращённого выражений не должны быть равны нулю, значит $y\\ne 1$ и $y\\ne -7$.
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{y+7}{y-1}$.</div>`
},
{
text: `Определите, сколько общих точек у прямой $y = -6$ и графика функции $y = -4x^2 + x - 1$.
В ответ запишите координаты точек пересечения.`,
sol: `<b>Метод:</b> в общей точке двух графиков ординаты совпадают. Поэтому приравниваем правые части и считаем количество корней.<br>
<b>Шаг 1.</b> Приравниваем правые части уравнений:
$$-6=-4x^{2}+x-1.$$
<b>Шаг 2.</b> Переносим в одну часть и приводим к стандартному виду:
$$4x^{2}-x-5=0.$$
<b>Шаг 3.</b> Считаем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$:
$$D=(-1)^{2}-4\\cdot 4\\cdot(-5)=1+80=81,\\quad \\sqrt{D}=9.$$
<b>Шаг 4.</b> Находим корни по формуле $x_{1,2}=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$:
$$x_{1,2}=\\dfrac{1\\pm 9}{8}\\;\\implies\\;x_{1}=\\dfrac{5}{4},\\;x_{2}=-1.$$
<b>Шаг 5.</b> Уравнение имеет два корня, значит общих точек две. При обоих значениях $y=-6$ (так как точки лежат на прямой $y=-6$).
<div class="sol-ans">Ответ: $2$ точки: $\\left(\\dfrac{5}{4};\\,-6\\right)$ и $(-1;\\,-6)$.</div>`
},
{
text: `Бригада маляров красит фасад здания площадью $2700$ м², ежедневно увеличивая норму покраски
на одно и то же число квадратных метров. Известно, что за первый и последний день
в сумме бригада покрасила $360$ м² фасада.
Определите, сколько дней бригада маляров красила весь фасад.`,
sol: `<b>Формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии:</b>
$$S_n = \\dfrac{(a_1 + a_n) \\cdot n}{2}.$$
<b>Шаг 1.</b> Так как ежедневные нормы увеличиваются на одно и то же число, они образуют арифметическую прогрессию $a_1, a_2, \\ldots, a_n$, где $n$ — искомое число дней.<br>
<b>Шаг 2.</b> По условию $a_1 + a_n = 360$ м² и общая площадь $S_n = 2700$ м².<br>
<b>Шаг 3.</b> Подставляем в формулу суммы:
$$2700 = \\dfrac{360 \\cdot n}{2} = 180n.$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $n$:
$$n = \\dfrac{2700}{180} = 15.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $15$ дней.</div>`
},
{
text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} \\dfrac{x-3}{x+5} \\leq 0, \\\\[6pt] x^2 + 3x > -2. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Метод интервалов:</b> решаем каждое неравенство и находим пересечение.<br>
<b>Шаг 1. Первое неравенство $\\dfrac{x-3}{x+5} \\leq 0$.</b><br>
Нули числителя и знаменателя: $x = 3$ (входит, потому что $\\leq$) и $x = -5$ (выколота, нельзя делить на ноль).<br>
Методом интервалов: $x \\in (-5;\\,3]$.<br>
<b>Шаг 2. Второе неравенство $x^2 + 3x \\gt -2$.</b><br>
Переносим: $x^2 + 3x + 2 \\gt 0$, раскладываем: $(x+1)(x+2) \\gt 0$.<br>
Парабола ветвями вверх, поэтому
$$x \\in (-\\infty;\\,-2) \\cup (-1;\\,+\\infty).$$
<b>Шаг 3. Пересечение:</b>
$$x \\in (-5;\\,-2) \\cup (-1;\\,3].$$
<b>Шаг 4. Целые решения.</b><br>
На $(-5;\\,-2)$ — это $-4$ и $-3$; на $(-1;\\,3]$ — это $0, 1, 2, 3$.<br>
<b>Шаг 5. Сумма:</b> $(-4) + (-3) + 0 + 1 + 2 + 3 = -1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-1$.</div>`
},
{
text: `В треугольнике $ABC$ проведены отрезки $MK \\| AC$ и $KE \\| AB$,
где точки $M$, $K$ и $E$ принадлежат сторонам $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно.
Площадь треугольника $MBK$ равна $16$ см², треугольника $EKC$ — $25$ см².
Найдите площадь четырёхугольника $AMKE$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 360 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<polygon points="30,210 180,20 330,210" fill="rgba(234,179,8,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<polygon points="100,104 180,20 260,104" fill="rgba(220,38,38,0.18)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.6"/>
<polygon points="170,210 260,104 330,210" fill="rgba(37,99,235,0.18)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.6"/>
<polygon points="30,210 100,104 260,104 170,210" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.6"/>
<text x="14" y="222" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="174" y="14" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="334" y="222" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="83" y="108" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
<text x="264" y="108" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
<text x="164" y="225" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">E</text>
<text x="158" y="65" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">S=16</text>
<text x="265" y="170" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">S=25</text>
<text x="128" y="185" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">AMKE = ?</text>
</svg>
<b>Теорема:</b> отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.<br>
<b>Шаг 1. Подобие $\\triangle MBK \\sim \\triangle ABC$.</b><br>
Так как $MK \\parallel AC$, треугольники подобны с коэффициентом
$$k_1 = \\dfrac{BK}{BC}.$$
<b>Шаг 2. Подобие $\\triangle KEC \\sim \\triangle ABC$.</b><br>
Так как $KE \\parallel AB$, аналогично
$$k_2 = \\dfrac{KC}{BC}.$$
<b>Шаг 3.</b> Так как $BK + KC = BC$, то $k_1 + k_2 = 1$.<br>
<b>Шаг 4. Выражаем коэффициенты через площади.</b><br>
Пусть $S = S_{ABC}$. Тогда
$$\\dfrac{S_{MBK}}{S} = k_1^2 \\implies k_1 = \\dfrac{4}{\\sqrt{S}}; \\quad \\dfrac{S_{EKC}}{S} = k_2^2 \\implies k_2 = \\dfrac{5}{\\sqrt{S}}.$$
<b>Шаг 5. Находим $S$.</b>
$$\\dfrac{4}{\\sqrt{S}} + \\dfrac{5}{\\sqrt{S}} = 1 \\implies \\dfrac{9}{\\sqrt{S}} = 1 \\implies \\sqrt{S} = 9 \\implies S = 81.$$
<b>Шаг 6. Площадь четырёхугольника $AMKE$.</b>
$$S_{AMKE} = S - S_{MBK} - S_{EKC} = 81 - 16 - 25 = 40\\text{ см}^2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $40$ см².</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v51.js
+203
View File
@@ -0,0 +1,203 @@
VARIANTS[51] = {
label: "Вариант 51",
tasks: [
{
text: `Сумма корней квадратного уравнения $x^2 + 6x - 11 = 0$ равна:`,
opts: [
["а", "$6$"], ["б", "$-11$"], ["в", "$-6$"], ["г", "$11$"], ["д", "$4$"],
],
sol: `<b>По теореме Виета</b> для уравнения $x^2 + px + q = 0$:
сумма корней равна $-p$.<br>
Здесь $p = 6$, поэтому $x_1 + x_2 = -6$.
<div class="sol-ans">Ответ: в) $-6$.</div>`
},
{
text: `Запись выражения $5^2 : 25 \\cdot 5^5$ в виде степени с основанием $5$ имеет вид:`,
opts: [
["а", "$5^7$"], ["б", "$5^8$"], ["в", "$5^9$"], ["г", "$5^5$"], ["д", "$5^1$"],
],
sol: `Заменим $25 = 5^2$:<br>
$5^2 : 25 \\cdot 5^5 = \\dfrac{5^2}{5^2} \\cdot 5^5 = 1 \\cdot 5^5 = 5^5.$
<div class="sol-ans">Ответ: г) $5^5$.</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон;"],
["б", "диагонали любого ромба равны между собой;"],
["в", "диаметры одной окружности равны между собой;"],
["г", "если три угла одного треугольника равны трём углам другого треугольника, то треугольники подобны?"],
],
sol: `Проверим утверждения:
<ul>
<li>а) верно — формула площади прямоугольника;</li>
<li><b>б) НЕ верно</b> — диагонали ромба в общем случае <b>не равны</b>;
они равны только в частном случае — <b>квадрате</b>;</li>
<li>в) верно — все диаметры окружности равны $2R$;</li>
<li>г) верно — признак подобия треугольников по трём углам.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б).</div>`
},
{
text: `Найдите частное от деления наименьшего общего кратного на наибольший общий делитель
чисел $112$ и $80$.`,
sol: `Разложим числа на простые множители:<br>
$112 = 2^4 \\cdot 7,\\quad 80 = 2^4 \\cdot 5.$<br>
<b>НОД</b>$(112,\\,80) = 2^4 = 16.$<br>
<b>НОК</b>$(112,\\,80) = 2^4 \\cdot 5 \\cdot 7 = 560.$<br>
$\\dfrac{\\text{НОК}}{\\text{НОД}} = \\dfrac{560}{16} = 35.$
<div class="sol-ans">Ответ: $35$.</div>`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{b + 2\\sqrt{b} + 1}{\\sqrt{b} + b}$.`,
sol: `<b>Формула квадрата суммы:</b> $(a + c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$.<br>
<b>Шаг 1. Преобразуем числитель.</b><br>
Заметим, что $b = (\\sqrt{b})^2$ и $1 = 1^2$. Тогда $b + 2\\sqrt{b} + 1$ — это полный квадрат:
$$b + 2\\sqrt{b} + 1 = (\\sqrt{b} + 1)^2.$$
<b>Шаг 2. Преобразуем знаменатель.</b><br>
Вынесем общий множитель $\\sqrt{b}$:
$$\\sqrt{b} + b = \\sqrt{b} + \\sqrt{b} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{b}(1 + \\sqrt{b}).$$
<b>Шаг 3. Сокращаем дробь.</b><br>
В числителе и знаменателе есть общий множитель $(\\sqrt{b} + 1)$:
$$\\dfrac{(\\sqrt{b} + 1)^2}{\\sqrt{b}(\\sqrt{b} + 1)} = \\dfrac{\\sqrt{b} + 1}{\\sqrt{b}}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{\\sqrt{b}+1}{\\sqrt{b}}$ (или $1 + \\dfrac{1}{\\sqrt{b}}$).</div>`
},
{
text: `Высота $DH$ ромба $ABCD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BH = 8$ см и $HC = 12$ см.
Найдите площадь ромба.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 360 240" width="320" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<polygon points="40,180 130,40 320,40 230,180"
fill="#fff7e6" stroke="#333" stroke-width="2"/>
<line x1="230" y1="180" x2="230" y2="40"
stroke="#c0392b" stroke-width="2" stroke-dasharray="5,4"/>
<rect x="218" y="40" width="12" height="12" fill="none" stroke="#c0392b"/>
<text x="32" y="200" font-size="16">A</text>
<text x="120" y="34" font-size="16">B</text>
<text x="324" y="34" font-size="16">C</text>
<text x="232" y="200" font-size="16">D</text>
<text x="226" y="34" font-size="14" fill="#c0392b">H</text>
<text x="170" y="30" font-size="14">BH=8</text>
<text x="262" y="30" font-size="14">HC=12</text>
<text x="238" y="115" font-size="14" fill="#c0392b">DH</text>
</svg><br>
<b>Свойство ромба:</b> все стороны равны.<br>
<b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза.<br>
<b>Формула площади ромба через высоту:</b> $S = a \\cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота.<br>
<b>Шаг 1. Находим сторону ромба.</b><br>
Точка $H$ лежит на стороне $BC$, поэтому
$$BC = BH + HC = 8 + 12 = 20\\text{ см}.$$
Так как все стороны ромба равны, $DC = BC = 20$ см.<br>
<b>Шаг 2. Находим высоту $DH$ по теореме Пифагора.</b><br>
$DH$ — высота, значит $\\triangle DHC$ прямоугольный с прямым углом в $H$. Здесь $DC = 20$ — гипотенуза, $HC = 12$ — катет:
$$DH = \\sqrt{DC^2 - HC^2} = \\sqrt{400 - 144} = \\sqrt{256} = 16\\text{ см}.$$
<b>Шаг 3. Находим площадь.</b>
$$S = BC \\cdot DH = 20 \\cdot 16 = 320\\text{ см}^2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $320$ см$^2$.</div>`
},
{
text: `Найдите наименьшее целое значение аргумента, принадлежащее области определения функции
$y = \\dfrac{\\sqrt{x+8}}{x^2 - 2x - 80}$.`,
sol: `<b>Правила нахождения ОДЗ:</b>
<ul>
<li>выражение под корнем должно быть $\\geq 0$;</li>
<li>знаменатель не должен равняться нулю.</li>
</ul>
<b>Шаг 1. Условие подкоренного выражения.</b><br>
Под корнем стоит $x + 8$, значит
$$x + 8 \\geq 0 \\implies x \\geq -8.$$
<b>Шаг 2. Условие знаменателя.</b><br>
Знаменатель $x^2 - 2x - 80$ не должен быть равен нулю. Разложим его на множители (находим корни, например по теореме Виета: $-10 \\cdot 8 = -80$, $-10 + 8 \\neq 2$; попробуем $10$ и $-8$: $10 \\cdot (-8) = -80$, $10 + (-8) = 2$ — подходит):
$$x^2 - 2x - 80 = (x - 10)(x + 8) \\neq 0 \\implies x \\neq 10\\text{ и }x \\neq -8.$$
<b>Шаг 3. Объединяем условия.</b><br>
$x \\geq -8$ и одновременно $x \\neq -8$, $x \\neq 10$. Значит $x \\gt -8,\\; x \\neq 10$.<br>
<b>Шаг 4. Наименьшее целое.</b><br>
Наименьшее целое число, большее $-8$, — это $-7$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-7$.</div>`
},
{
text: `Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество.
Если бы коммунальные услуги подорожали на $50\\%$, общая сумма платежа увеличилась бы на $25\\%$.
Если бы электричество подорожало на $50\\%$, общая сумма платежа увеличилась бы на $20\\%$.
Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?`,
sol: `<b>Метод введения переменных и составления уравнений по условию задачи.</b><br>
<b>Шаг 1.</b> Вводим переменные: пусть $У$ — плата за коммунальные услуги, $Т$ — за телефон, $Э$ — за электричество. Тогда общая сумма платежа
$$S = У + Т + Э.$$
<b>Шаг 2.</b> Используем первое условие. Если коммунальные услуги подорожают на $50\\%$, то прибавка к их стоимости составит $0{,}5\\,У$. По условию эта же прибавка равна $25\\%$ от общей суммы, то есть $0{,}25\\,S$. Значит:
$$0{,}5\\,У = 0{,}25\\,S \\implies У = 0{,}5\\,S,$$
то есть на услуги приходится $50\\%$ общей суммы.<br>
<b>Шаг 3.</b> Используем второе условие. Подорожание электричества на $50\\%$ — это прибавка $0{,}5\\,Э$, и она равна $20\\%$ общей суммы:
$$0{,}5\\,Э = 0{,}2\\,S \\implies Э = 0{,}4\\,S,$$
то есть на электричество приходится $40\\%$ суммы.<br>
<b>Шаг 4.</b> Находим долю телефона. Так как $S = У + Т + Э$, то
$$Т = S - У - Э = S - 0{,}5\\,S - 0{,}4\\,S = 0{,}1\\,S = 10\\%\\,S.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $10\\%$.</div>`
},
{
text: `Определите количество целых решений неравенства
$\\dfrac{3x^2 + 10x + 3}{(3-x)^2(4-x^2)} > 0$.`,
sol: `<b>Числитель:</b> $3x^2 + 10x + 3 = (3x+1)(x+3),$
корни $x = -3,\\; x = -\\tfrac{1}{3}.$<br>
<b>Знаменатель:</b> $(3-x)^2(4-x^2) = (3-x)^2(2-x)(2+x).$<br>
Множитель $(3-x)^2 \\ge 0,$ обращается в $0$ при $x = 3$ (исключается из ОДЗ);
на знак не влияет. Корни знаменателя: $x = -2,\\; x = 2,\\; x = 3.$<br>
<b>Метод интервалов</b> (критические точки $-3,\\,-2,\\,-\\tfrac{1}{3},\\,2,\\,3$):
<table style="border-collapse:collapse;margin:6px 0;">
<tr><th style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">Интервал</th>
<th style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">Знак</th></tr>
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$x<-3$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$-$</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$(-3;-2)$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$+$</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$(-2;-\\tfrac{1}{3})$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$-$</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$(-\\tfrac{1}{3};\\,2)$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$+$</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$(2;\\,3)$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$-$</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$x>3$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$-$</td></tr>
</table>
Решение: $x \\in (-3;\\,-2) \\cup \\left(-\\tfrac{1}{3};\\,2\\right).$<br>
<b>Целые в этих интервалах:</b> в $(-3;-2)$ — нет; в $(-\\tfrac{1}{3};\\,2)$ — это $0$ и $1.$
Всего <b>$2$</b> целых решения.
<div class="sol-ans">Ответ: $2$.</div>`
},
{
text: `Найдите площадь прямоугольной трапеции с основаниями $4$ см и $12$ см,
если известно, что в трапецию можно вписать окружность.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 270 180" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- Точные пропорции: AB=4, DC=12, AD=6, BC=10 (3-4-5 ×2). Масштаб 16px/см -->
<!-- A=(40,60), B=(104,60), C=(232,156), D=(40,156) -->
<polygon points="40,60 104,60 232,156 40,156" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<!-- Вписанная окружность: r=3см=48px, центр (88,108) -->
<circle cx="88" cy="108" r="48" fill="rgba(220,38,38,0.07)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.6"/>
<!-- Прямые углы при A и D -->
<polygon points="40,60 50,60 50,70 40,70" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<polygon points="40,156 50,156 50,146 40,146" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<!-- Радиус вписанной окружности до нижнего основания -->
<line x1="88" y1="108" x2="88" y2="156" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<circle cx="88" cy="108" r="2.5" fill="#dc2626"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="26" y="60" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="108" y="60" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="237" y="167" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="26" y="167" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<!-- Длины сторон -->
<text x="63" y="54" font-size="11" fill="#334155">4</text>
<text x="130" y="170" font-size="11" fill="#334155">12</text>
<text x="22" y="112" font-size="11" fill="#334155">h=6</text>
<text x="170" y="100" font-size="11" fill="#334155">10</text>
<text x="92" y="135" font-size="10" fill="#dc2626">r=3</text>
</svg>
<b>Свойство описанного четырёхугольника</b> (с вписанной окружностью):
суммы противоположных сторон равны.<br>
Значит, сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$4 + 12 = a + b \\implies a + b = 16,$
где $a$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (равна высоте $h$),
а $b$ — наклонная боковая.<br>
Опустив высоту из вершины меньшего основания, получим прямоугольный треугольник
с катетами $h$ и $12 - 4 = 8$ и гипотенузой $b$:<br>
$b = \\sqrt{h^2 + 8^2} = \\sqrt{h^2 + 64}.$<br>
Подставим $a = h$:
$h + \\sqrt{h^2 + 64} = 16 \\implies \\sqrt{h^2 + 64} = 16 - h$<br>
$\\implies h^2 + 64 = 256 - 32h + h^2 \\implies 32h = 192 \\implies h = 6$ см.<br>
<b>Площадь трапеции:</b>
$S = \\dfrac{4 + 12}{2} \\cdot 6 = 8 \\cdot 6 = 48$ см$^2.$
<div class="sol-ans">Ответ: $48$ см$^2$.</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v52.js
+200
View File
@@ -0,0 +1,200 @@
VARIANTS[52] = {
label: "Вариант 52",
tasks: [
{
text: `Сумма корней квадратного уравнения $x^2 + 7x - 13 = 0$ равна:`,
opts: [
["а", "$-13$"], ["б", "$-7$"], ["в", "$7$"], ["г", "$13$"], ["д", "$20$"],
],
sol: `<b>По теореме Виета</b> для уравнения $x^2 + px + q = 0$:
сумма корней равна $-p$.<br>
Здесь $p = 7$, поэтому $x_1 + x_2 = -7$.
<div class="sol-ans">Ответ: б) $-7$.</div>`
},
{
text: `Запись выражения $27 : 3^3 \\cdot 3^7$ в виде степени с основанием $3$ имеет вид:`,
opts: [
["а", "$3^9$"], ["б", "$3^8$"], ["в", "$3^7$"], ["г", "$3^6$"], ["д", "$3^1$"],
],
sol: `Заменим $27 = 3^3$:<br>
$27 : 3^3 \\cdot 3^7 = \\dfrac{3^3}{3^3} \\cdot 3^7 = 1 \\cdot 3^7 = 3^7.$
<div class="sol-ans">Ответ: в) $3^7$.</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "диагонали любого прямоугольника перпендикулярны;"],
["б", "площадь квадрата равна квадрату его стороны;"],
["в", "радиусы одной окружности равны между собой;"],
["г", "если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны?"],
],
sol: `Проверим утверждения:
<ul>
<li><b>а) НЕ верно</b> — диагонали прямоугольника в общем случае <b>не перпендикулярны</b>;
они перпендикулярны только в квадрате;</li>
<li>б) верно — формула площади квадрата $S = a^2$;</li>
<li>в) верно — все радиусы окружности равны $R$;</li>
<li>г) верно — признак равенства треугольников «три стороны».</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а).</div>`
},
{
text: `Найдите частное от деления наименьшего общего кратного на наибольший общий делитель
чисел $64$ и $288$.`,
sol: `Разложим числа на простые множители:<br>
$64 = 2^{6},\\quad 288 = 2^{5}\\cdot 3^{2}.$<br>
<b>НОД</b>$(64,\\,288) = 2^{5} = 32.$<br>
<b>НОК</b>$(64,\\,288) = 2^{6}\\cdot 3^{2} = 576.$<br>
$\\dfrac{\\text{НОК}}{\\text{НОД}} = \\dfrac{576}{32} = 18.$
<div class="sol-ans">Ответ: $18$.</div>`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{a - 9}{a - 6\\sqrt{a} + 9}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.<br>
<b>Формула квадрата разности:</b> $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.<br>
<b>Шаг 1. Преобразуем числитель.</b><br>
Запишем $a = (\\sqrt{a})^2$ и $9 = 3^2$, тогда числитель — разность квадратов:
$$a - 9 = (\\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\\sqrt{a} - 3)(\\sqrt{a} + 3).$$
<b>Шаг 2. Преобразуем знаменатель.</b><br>
$a - 6\\sqrt{a} + 9 = (\\sqrt{a})^2 - 2 \\cdot \\sqrt{a} \\cdot 3 + 3^2$ — полный квадрат:
$$a - 6\\sqrt{a} + 9 = (\\sqrt{a} - 3)^2.$$
<b>Шаг 3. Сокращаем дробь.</b><br>
Общий множитель — $(\\sqrt{a} - 3)$:
$$\\dfrac{(\\sqrt{a} - 3)(\\sqrt{a} + 3)}{(\\sqrt{a} - 3)^2} = \\dfrac{\\sqrt{a} + 3}{\\sqrt{a} - 3},\\quad a \\geq 0,\\; a \\neq 9.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{\\sqrt{a}+3}{\\sqrt{a}-3}$.</div>`
},
{
text: `Высота $BH$ ромба $ABCD$ делит сторону $AD$ на отрезки $AH = 5$ см и $HD = 8$ см.
Найдите площадь ромба.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 360 240" width="320" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<!-- Ромб ABCD: A=(40,180), B=(130,40), C=(320,40), D=(230,180). Высота BH из B вниз на AD в точке H. -->
<polygon points="40,180 130,40 320,40 230,180"
fill="#fff7e6" stroke="#333" stroke-width="2"/>
<line x1="130" y1="40" x2="130" y2="180"
stroke="#c0392b" stroke-width="2" stroke-dasharray="5,4"/>
<rect x="118" y="168" width="12" height="12" fill="none" stroke="#c0392b"/>
<text x="32" y="200" font-size="16">A</text>
<text x="120" y="34" font-size="16">B</text>
<text x="324" y="34" font-size="16">C</text>
<text x="232" y="200" font-size="16">D</text>
<text x="135" y="198" font-size="14" fill="#c0392b">H</text>
<text x="70" y="198" font-size="14">AH=5</text>
<text x="160" y="198" font-size="14">HD=8</text>
<text x="138" y="115" font-size="14" fill="#c0392b">BH</text>
</svg><br>
<b>Свойство ромба:</b> все стороны равны.<br>
<b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза.<br>
<b>Формула площади ромба через высоту:</b> $S = a \\cdot h$.<br>
<b>Шаг 1. Находим сторону ромба.</b><br>
Точка $H$ лежит на $AD$, поэтому
$$AD = AH + HD = 5 + 8 = 13\\text{ см}.$$
Все стороны ромба равны, значит $AB = AD = 13$ см.<br>
<b>Шаг 2. Находим высоту $BH$ по теореме Пифагора.</b><br>
$BH$ — высота, $\\triangle ABH$ прямоугольный с прямым углом в $H$. Гипотенуза $AB = 13$, катет $AH = 5$:
$$BH = \\sqrt{AB^2 - AH^2} = \\sqrt{169 - 25} = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}.$$
<b>Шаг 3. Находим площадь.</b>
$$S = AD \\cdot BH = 13 \\cdot 12 = 156\\text{ см}^2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $156$ см$^2$.</div>`
},
{
text: `Найдите наименьшее целое значение аргумента, принадлежащее области определения функции
$y = \\dfrac{\\sqrt{x+12}}{x^2 - 2x - 120}$.`,
sol: `<b>Правила нахождения ОДЗ:</b>
<ul>
<li>выражение под квадратным корнем должно быть $\\geq 0$;</li>
<li>знаменатель не может быть равен нулю.</li>
</ul>
<b>Шаг 1. Условие подкоренного выражения.</b><br>
$$x + 12 \\geq 0 \\implies x \\geq -12.$$
<b>Шаг 2. Условие знаменателя.</b><br>
Раскладываем $x^2 - 2x - 120$ на множители (по теореме Виета подбираем числа $-12$ и $10$: $-12 \\cdot 10 = -120$, $-12 + 10 = -2$):
$$x^2 - 2x - 120 = (x - 12)(x + 10) \\neq 0 \\implies x \\neq 12,\\; x \\neq -10.$$
<b>Шаг 3. Объединяем условия.</b><br>
$x \\geq -12$, $x \\neq -10$, $x \\neq 12$.<br>
<b>Шаг 4. Проверяем $x = -12$.</b><br>
Подкоренное: $-12 + 12 = 0 \\geq 0$ — допустимо.<br>
Знаменатель: $144 - 2 \\cdot (-12) - 120 = 144 + 24 - 120 = 48 \\neq 0$ — допустимо.<br>
<b>Шаг 5.</b> Значит наименьшее целое значение $x = -12$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-12$.</div>`
},
{
text: `Семья Петровых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество.
Если бы коммунальные услуги подорожали на $50\\%$, общая сумма платежа увеличилась бы на $35\\%$.
Если бы электричество подорожало на $50\\%$, общая сумма платежа увеличилась бы на $10\\%$.
Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?`,
sol: `<b>Метод введения переменных и составления уравнений по условию задачи.</b><br>
<b>Шаг 1.</b> Вводим переменные: пусть $У$ — плата за коммунальные услуги, $Т$ — за телефон, $Э$ — за электричество. Общая сумма платежа
$$S = У + Т + Э.$$
<b>Шаг 2.</b> Используем первое условие. Подорожание услуг на $50\\%$ — это прибавка $0{,}5\\,У$, и она равна $35\\%$ от общей суммы:
$$0{,}5\\,У = 0{,}35\\,S \\implies У = 0{,}7\\,S,$$
то есть на коммунальные услуги приходится $70\\%$ суммы.<br>
<b>Шаг 3.</b> Используем второе условие. Подорожание электричества на $50\\%$ — это прибавка $0{,}5\\,Э$, и она равна $10\\%$ от общей суммы:
$$0{,}5\\,Э = 0{,}10\\,S \\implies Э = 0{,}2\\,S,$$
значит на электричество приходится $20\\%$ суммы.<br>
<b>Шаг 4.</b> Доля телефона:
$$Т = S - У - Э = S - 0{,}7\\,S - 0{,}2\\,S = 0{,}1\\,S = 10\\%\\,S.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $10\\%$.</div>`
},
{
text: `Определите количество целых решений неравенства
$\\dfrac{2x^2 + 3x - 2}{(2-x)^2(9-x^2)} > 0$.`,
sol: `<b>Числитель:</b> $2x^2 + 3x - 2 = (2x-1)(x+2),$
корни $x = \\tfrac{1}{2}$ и $x = -2.$<br>
<b>Знаменатель:</b> $(2-x)^2(9-x^2) = (2-x)^2(3-x)(3+x).$<br>
Множитель $(2-x)^2 \\ge 0$, обращается в $0$ при $x=2$ (исключается); на знак не влияет.
Корни знаменателя: $x = -3,\\; x = 2,\\; x = 3.$<br>
<b>Метод интервалов</b> (критические точки $-3,\\,-2,\\,\\tfrac{1}{2},\\,2,\\,3$):
<table style="border-collapse:collapse;margin:6px 0;">
<tr><th style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">Интервал</th>
<th style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">Знак</th></tr>
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$x<-3$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$-$</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$(-3;-2)$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$+$</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$(-2;\\,\\tfrac{1}{2})$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$-$</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$(\\tfrac{1}{2};\\,2)$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$+$</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$(2;\\,3)$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$-$</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$x>3$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$-$</td></tr>
</table>
Решение: $x \\in (-3;\\,-2) \\cup \\left(\\tfrac{1}{2};\\,2\\right).$<br>
<b>Целые в этих интервалах:</b> в $(-3;-2)$ — нет; в $(\\tfrac{1}{2};\\,2)$ — это $1.$
Всего <b>$1$</b> целое решение.
<div class="sol-ans">Ответ: $1$.</div>`
},
{
text: `В прямоугольную трапецию с основаниями $6$ см и $12$ см вписана окружность.
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 270 180" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- Пропорции: AB=6, DC=12, AD=8, BC=10 (6-8-10 ≡ 3-4-5×2). Масштаб ~12px/см -->
<!-- A=(40,52), B=(112,52), C=(232,156), D=(40,156) -->
<polygon points="40,52 112,52 232,156 40,156" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<!-- Вписанная окружность: r=4см=48px, центр (88,104) -->
<circle cx="88" cy="108" r="48" fill="rgba(220,38,38,0.07)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.6"/>
<!-- Прямые углы при A и D -->
<polygon points="40,52 50,52 50,62 40,62" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<polygon points="40,156 50,156 50,146 40,146" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<!-- Радиус вписанной окружности -->
<line x1="88" y1="108" x2="88" y2="156" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<circle cx="88" cy="108" r="2.5" fill="#dc2626"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="26" y="52" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="116" y="52" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="237" y="167" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="26" y="167" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="67" y="46" font-size="11" fill="#334155">6</text>
<text x="130" y="170" font-size="11" fill="#334155">12</text>
<text x="22" y="108" font-size="11" fill="#334155">h=8</text>
<text x="170" y="100" font-size="11" fill="#334155">10</text>
<text x="92" y="135" font-size="10" fill="#dc2626">r=4</text>
</svg>
<b>Свойство описанного четырёхугольника:</b>
суммы противоположных сторон равны.<br>
Значит, $6 + 12 = h + b$, где $h$ — перпендикулярная боковая (высота), $b$ — наклонная боковая.<br>
Из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $12 - 6 = 6$, гипотенузой $b$:<br>
$b = \\sqrt{h^2 + 36}.$<br>
Подставляем: $h + \\sqrt{h^2 + 36} = 18 \\implies \\sqrt{h^2 + 36} = 18 - h$<br>
$\\implies h^2 + 36 = 324 - 36h + h^2 \\implies 36h = 288 \\implies h = 8$ см.<br>
<b>Площадь:</b>
$S = \\dfrac{6 + 12}{2} \\cdot 8 = 9 \\cdot 8 = 72$ см$^2.$
<div class="sol-ans">Ответ: $72$ см$^2$.</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v53.js
+223
View File
@@ -0,0 +1,223 @@
VARIANTS[53] = {
label: "Вариант 53",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных чисел <b>НЕ</b> является решением неравенства $x^2 \\leq 4$:`,
opts: [
["а", "$0$"], ["б", "$1$"], ["в", "$2$"], ["г", "$-3$"], ["д", "$-2$"],
],
sol: `<b>Решение неравенства:</b><br>
$x^2 \\leq 4 \\iff |x| \\leq 2 \\iff -2 \\leq x \\leq 2$.<br>
<br>
Проверяем числа: $0,\\ 1,\\ 2,\\ -2$ принадлежат отрезку $[-2;\\ 2]$ — это решения.<br>
Число $-3 \\notin [-2;\\ 2]$, так как $(-3)^2 = 9 > 4$.<br>
<div class="sol-ans">Ответ: г) $-3$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $\\dfrac{18 \\cdot 9 + 18 \\cdot 3}{18 \\cdot 12}$ равно:`,
opts: [
["а", "$18$"], ["б", "$1$"], ["в", "$12$"], ["г", "$2$"], ["д", "$4$"],
],
sol: `<b>Вычисление:</b> вынесем общий множитель $18$ в числителе:<br>
$\\dfrac{18 \\cdot 9 + 18 \\cdot 3}{18 \\cdot 12} = \\dfrac{18(9+3)}{18 \\cdot 12} = \\dfrac{18 \\cdot 12}{18 \\cdot 12} = 1$.
<div class="sol-ans">Ответ: б) $1$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "диагонали прямоугольника равны между собой;"],
["б", "для прямоугольного треугольника с катетами $m$ и $n$ и гипотенузой $k$ справедливо $m^2 + n^2 = k^2$;"],
["в", "в треугольнике может быть два прямых угла;"],
["г", "вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла?"],
],
sol: `<b>Анализ утверждений:</b>
<ul>
<li>а) верно — свойство прямоугольника;</li>
<li>б) верно — теорема Пифагора;</li>
<li>в) <b>не верно</b> — сумма углов треугольника равна $180^{\\circ}$, а два прямых угла дают $90^{\\circ}+90^{\\circ}=180^{\\circ}$, тогда на третий угол не остаётся;</li>
<li>г) верно — теорема о вписанном угле.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Найдите значения аргумента, при которых значения функции $y = -9x + 7$ неположительны.`,
sol: `<b>Условие:</b> $y \\leq 0$, то есть $-9x + 7 \\leq 0$.<br>
<br>
$-9x \\leq -7 \\iff 9x \\geq 7 \\iff x \\geq \\dfrac{7}{9}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x \\geq \\dfrac{7}{9}$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $(18n^4 + 27n^3) : (9n^2) - 10n^3 : (5n)$ при $n = -4$.`,
sol: `<b>Правило деления многочлена на одночлен:</b> делим каждый член многочлена на этот одночлен. Для степеней: $\\dfrac{a^m}{a^k}=a^{m-k}$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Сначала упростим выражение, а потом подставим число — так считать проще, чем сразу подставлять $n=-4$.<br>
<b>Шаг 2.</b> Делим первый многочлен на $9n^2$ почленно:
$$\\dfrac{18n^4 + 27n^3}{9n^2} = \\dfrac{18n^4}{9n^2} + \\dfrac{27n^3}{9n^2} = 2n^2 + 3n.$$
<b>Шаг 3.</b> Делим второй одночлен:
$$\\dfrac{10n^3}{5n} = 2n^2.$$
<b>Шаг 4.</b> Вычитаем результаты:
$$(2n^2 + 3n) - 2n^2 = 3n.$$
<b>Шаг 5.</b> Подставляем $n=-4$:
$$3 \\cdot (-4) = -12.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-12$</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 10$ см, $BC = 6$ см.
Диагональ $BD$ равна $10$ см. Найдите площадь трапеции.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 220 195" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- Точные пропорции: AD=10, BC=6, BD=10, h=6, AH=2, HD=8. Масштаб 18px/см -->
<!-- A=(20,168), D=(200,168), B=(56,60), C=(164,60), H=(56,168) -->
<polygon points="20,168 200,168 164,60 56,60" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<line x1="56" y1="60" x2="200" y2="168" stroke="#dc2626" stroke-width="2"/>
<line x1="56" y1="60" x2="56" y2="168" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="56,168 64,168 64,160 56,160" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2"/>
<text x="6" y="180" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="203" y="180" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="48" y="54" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="167" y="54" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="50" y="184" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">H</text>
<text x="105" y="184" font-size="11" fill="#334155">10</text>
<text x="105" y="54" font-size="11" fill="#334155">6</text>
<text x="33" y="118" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">h=6</text>
<text x="120" y="120" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">BD=10</text>
<text x="32" y="180" font-size="9" fill="#475569">AH=2</text>
<text x="115" y="180" font-size="9" fill="#475569">HD=8</text>
</svg>
<b>Свойство равнобедренной трапеции:</b> высоты, опущенные из вершин меньшего основания на большее, отсекают по краям равные отрезки длины $\\dfrac{AD - BC}{2}$.<br>
<b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$ в прямоугольном треугольнике.<br>
<b>Формула площади трапеции:</b> $S = \\dfrac{a + b}{2} \\cdot h$.<br>
<b>Шаг 1. Находим положение основания высоты.</b><br>
Опустим высоту $BH \\perp AD$. Так как трапеция равнобедренная,
$$AH = \\dfrac{AD - BC}{2} = \\dfrac{10 - 6}{2} = 2\\text{ см},$$
а $HD = AD - AH = 10 - 2 = 8$ см.<br>
<b>Шаг 2. Находим высоту $BH$ по теореме Пифагора.</b><br>
В прямоугольном $\\triangle BHD$ гипотенуза $BD = 10$ и катет $HD = 8$:
$$BH = \\sqrt{BD^2 - HD^2} = \\sqrt{100 - 64} = \\sqrt{36} = 6\\text{ см}.$$
<b>Шаг 3. Находим площадь.</b>
$$S = \\dfrac{AD + BC}{2} \\cdot BH = \\dfrac{10 + 6}{2} \\cdot 6 = 8 \\cdot 6 = 48\\text{ см}^2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $48$ см²</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $1 + \\dfrac{5}{m^2 - m - 6} = \\dfrac{-1}{m + 2}$.`,
sol: `<b>План решения дробного уравнения:</b> разложить знаменатели, найти ОДЗ, умножить на общий знаменатель, решить полученное уравнение и проверить корни.<br>
<b>Шаг 1. Раскладываем знаменатель.</b><br>
По теореме Виета подбираем числа $-3$ и $2$ (произведение $-6$, сумма $-1$):
$$m^2 - m - 6 = (m - 3)(m + 2).$$
<b>Шаг 2. Находим ОДЗ.</b><br>
Знаменатели не должны равняться нулю: $m \\neq 3,\\; m \\neq -2$.<br>
<b>Шаг 3. Умножаем обе части на общий знаменатель $(m-3)(m+2)$.</b><br>
$$(m-3)(m+2) + 5 = -(m-3).$$
<b>Шаг 4. Раскрываем скобки.</b><br>
$m^2 - m - 6 + 5 = -m + 3$;<br>
$m^2 - m - 1 = -m + 3$;<br>
$m^2 = 4$, откуда $m = \\pm 2$.<br>
<b>Шаг 5. Проверяем корни по ОДЗ.</b><br>
$m = -2$ не входит в ОДЗ — отбрасываем. Значит, остаётся $m = 2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $m = 2$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{9}{2-\\sqrt{13}} - \\dfrac{12}{5+\\sqrt{13}}$.
В ответ запишите число, обратное полученному.`,
sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. При этом используется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $2-\\sqrt{13}$ — это $2+\\sqrt{13}$:
$$\\dfrac{9}{2-\\sqrt{13}} = \\dfrac{9(2+\\sqrt{13})}{(2-\\sqrt{13})(2+\\sqrt{13})} = \\dfrac{9(2+\\sqrt{13})}{4-13} = \\dfrac{9(2+\\sqrt{13})}{-9} = -(2+\\sqrt{13}).$$
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $5+\\sqrt{13}$ — это $5-\\sqrt{13}$:
$$\\dfrac{12}{5+\\sqrt{13}} = \\dfrac{12(5-\\sqrt{13})}{25-13} = \\dfrac{12(5-\\sqrt{13})}{12} = 5-\\sqrt{13}.$$
<b>Шаг 3.</b> Считаем разность дробей:
$$-(2+\\sqrt{13}) - (5-\\sqrt{13}) = -2 - \\sqrt{13} - 5 + \\sqrt{13} = -7.$$
<b>Шаг 4.</b> По условию записываем число, обратное полученному. Обратное к $-7$ — это
$$\\dfrac{1}{-7} = -\\dfrac{1}{7}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{1}{7}$</div>`
},
{
text: `Плиточник планирует уложить $300$ м² плитки. Если он будет укладывать на $5$ м²
в день больше, чем запланировал, то закончит работу на $5$ дней раньше.
Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
Успеет ли он выполнить заказ за $20$ рабочих дней, если будет работать с опережением?
Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Пусть</b> $x$ м²/день — плановая производительность ($x>0$).<br>
Плановое время: $\\dfrac{300}{x}$ дней; ускоренное: $\\dfrac{300}{x+5}$ дней.<br>
<br>
<b>Уравнение:</b> $\\dfrac{300}{x} - \\dfrac{300}{x+5} = 5$.<br>
$300(x+5) - 300x = 5x(x+5)$;<br>
$1500 = 5x^2 + 25x \\implies x^2 + 5x - 300 = 0$.<br>
<br>
$D = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$;<br>
$x = \\dfrac{-5 + 35}{2} = 15$ (отрицательный корень не подходит).<br>
<br>
<b>Плановая производительность:</b> $15$ м²/день; плановый срок $\\dfrac{300}{15}=20$ дней.<br>
С опережением: $15+5=20$ м²/день, тогда срок $\\dfrac{300}{20}=15$ дней $< 20$ дней — <b>успеет</b>.
<div class="sol-ans">Ответ: $15$ м²/день; да, успеет (закончит за $15$ дней).</div>`
},
{
text: `В треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 5$, $BC = 7$, $AC = 8$ вписана окружность.
Касательная $MK$ к окружности пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$
так, что $MK$ не параллельна $BC$.
Найдите периметр треугольника $AMK$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 280 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- Точные пропорции треугольника 5-7-8, масштаб 25px/см. -->
<!-- A=(40,195), B=(103,87), C=(240,195). I=(115,152), r=√3·25≈43px -->
<!-- P=(78,130) — касание на AB; Q=(115,195) — на AC; T=(100,192) — на MK -->
<!-- M=(52,175) на AB, K=(107,195) на AC -->
<!-- Треугольник ABC -->
<polygon points="40,195 103,87 240,195" fill="rgba(234,179,8,0.05)" stroke="#92400e" stroke-width="2"/>
<!-- Подсветка треугольника AMK -->
<polygon points="40,195 52,175 107,195" fill="rgba(22,163,74,0.22)" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
<!-- Вписанная окружность -->
<circle cx="115" cy="152" r="43" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#0369a1" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="4,3"/>
<!-- Касательная MK (через точку T) -->
<line x1="45" y1="173" x2="118" y2="200" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
<!-- Радиусы к точкам касания -->
<line x1="115" y1="152" x2="78" y2="130" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="115" y1="152" x2="115" y2="195" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="115" y1="152" x2="100" y2="192" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<!-- Точки касания (красные) -->
<circle cx="78" cy="130" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="115" cy="195" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="100" cy="192" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<!-- M и K (зелёные) -->
<circle cx="52" cy="175" r="4" fill="#16a34a"/>
<circle cx="107" cy="195" r="4" fill="#16a34a"/>
<!-- Центр I -->
<circle cx="115" cy="152" r="2.5" fill="#0369a1"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="22" y="208" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="96" y="80" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="246" y="208" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<!-- Метки точек касания -->
<text x="65" y="127" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">P</text>
<text x="119" y="208" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">Q</text>
<text x="92" y="186" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">T</text>
<!-- Метки M и K -->
<text x="38" y="172" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">M</text>
<text x="100" y="212" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">K</text>
<!-- Метка I -->
<text x="119" y="148" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#0369a1">I</text>
<!-- Длины сторон -->
<text x="55" y="145" font-size="12" fill="#334155">5</text>
<text x="180" y="135" font-size="12" fill="#334155">7</text>
<text x="155" y="210" font-size="12" fill="#334155">8</text>
<!-- Подсказка AP=AQ=3 -->
<text x="160" y="160" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">AP=AQ=3</text>
</svg>
<b>Шаг 1. Точки касания вписанной окружности.</b>
<br>Окружность касается стороны $AB$ в точке $P$, стороны $AC$ — в точке $Q$, а касательной $MK$ — в точке $T$.
<br><b>Шаг 2. Длина $AP$ через полупериметр.</b>
<br>Полупериметр: $s=\\dfrac{5+7+8}{2}=10$.
<br>По известной формуле, касательная из вершины $A$ равна $s$ минус противоположная сторона:
$$AP = AQ = s - BC = 10 - 7 = 3\\text{ см}$$
<br><b>Шаг 3. Касательные из точек $M$ и $K$.</b>
<br>Из точки $M$ проведены две касательные: одна вдоль $AB$ (касается в $P$), другая — отрезок $MT$. По свойству касательных из одной внешней точки:
$$MP = MT$$
Аналогично из $K$:
$$KQ = KT$$
<br><b>Шаг 4. Периметр $\\triangle AMK$.</b>
<br>Распишем периметр и заменим $MT \\to MP$, $TK \\to KQ$:
$$P_{AMK} = \\underbrace{AM}_{\\text{на }AB} + \\underbrace{MK}_{=MT+TK} + \\underbrace{KA}_{\\text{на }AC}$$
$$= AM + MT + TK + KA = AM + MP + KQ + KA$$
Группируем по сторонам $AB$ и $AC$:
$$= \\underbrace{(AM + MP)}_{=\\,AP} + \\underbrace{(KQ + KA)}_{=\\,AQ} = AP + AQ$$
$$= 3 + 3 = 6\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $P_{\\triangle AMK} = 6$ см</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v54.js
+211
View File
@@ -0,0 +1,211 @@
VARIANTS[54] = {
label: "Вариант 54",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных чисел <b>НЕ</b> является решением неравенства $x^2 \\leq 9$:`,
opts: [
["а", "$0$"], ["б", "$1$"], ["в", "$3$"], ["г", "$-3$"], ["д", "$-8$"],
],
sol: `<b>Решение неравенства:</b><br>
$x^2 \\leq 9 \\iff |x| \\leq 3 \\iff -3 \\leq x \\leq 3$.<br>
<br>
Проверяем числа: $0,\\ 1,\\ 3,\\ -3$ принадлежат отрезку $[-3;\\ 3]$ — это решения.<br>
Число $-8 \\notin [-3;\\ 3]$, так как $(-8)^2 = 64 \\gt 9$.<br>
<div class="sol-ans">Ответ: д) $-8$</div>`
},
{
text: `Значение выражения $\\dfrac{13 \\cdot 2 + 13 \\cdot 6}{13 \\cdot 8}$ равно:`,
opts: [
["а", "$13$"], ["б", "$1$"], ["в", "$8$"], ["г", "$2$"], ["д", "$4$"],
],
sol: `<b>Вычисление:</b> вынесем общий множитель $13$ в числителе:<br>
$\\dfrac{13 \\cdot 2 + 13 \\cdot 6}{13 \\cdot 8} = \\dfrac{13(2+6)}{13 \\cdot 8} = \\dfrac{13 \\cdot 8}{13 \\cdot 8} = 1$.
<div class="sol-ans">Ответ: б) $1$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "у ромба все стороны равны между собой;"],
["б", "если в треугольнике со сторонами $a$, $b$, $c$ выполняется $b^2 + c^2 = a^2$, то треугольник прямоугольный;"],
["в", "в треугольнике может быть два тупых угла;"],
["г", "вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается?"],
],
sol: `<b>Анализ утверждений:</b>
<ul>
<li>а) верно — свойство ромба;</li>
<li>б) верно — обратная теорема Пифагора;</li>
<li>в) <b>не верно</b> — сумма углов треугольника равна $180^{\\circ}$, а два тупых угла в сумме уже превышают $180^{\\circ}$, что невозможно;</li>
<li>г) верно — теорема о вписанном угле.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Найдите значения аргумента, при которых значения функции $y = -7x + 2$ неотрицательны.`,
sol: `<b>Условие:</b> $y \\geq 0$, то есть $-7x + 2 \\geq 0$.<br>
<br>
$-7x \\geq -2 \\iff 7x \\leq 2 \\iff x \\leq \\dfrac{2}{7}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x \\leq \\dfrac{2}{7}$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $(3m^5 + 4m^3) : m^2 - 15m^4 : (5m)$ при $m = -5$.`,
sol: `<b>Правило деления многочлена на одночлен:</b> делим каждый член многочлена на этот одночлен. Для степеней: $\\dfrac{a^k}{a^l}=a^{k-l}$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Сначала упростим выражение, а уже потом подставим число — так считать проще.<br>
<b>Шаг 2.</b> Делим первый многочлен на $m^2$ почленно:
$$\\dfrac{3m^5 + 4m^3}{m^2} = \\dfrac{3m^5}{m^2}+\\dfrac{4m^3}{m^2} = 3m^3 + 4m.$$
<b>Шаг 3.</b> Делим второй одночлен:
$$\\dfrac{15m^4}{5m} = 3m^3.$$
<b>Шаг 4.</b> Вычитаем результаты:
$$(3m^3 + 4m) - 3m^3 = 4m.$$
<b>Шаг 5.</b> Подставляем $m=-5$:
$$4 \\cdot (-5) = -20.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-20$</div>`
},
{
text: `$ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC = 2$ см, $AD = 4$ см.
Диагональ $AC$ равна $5$ см. Найдите площадь трапеции.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 220 195" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- AD=4, BC=2, AC=5, h=4. A=(20,168), D=(164,168), B=(56,24), C=(128,24). Высота CH с основанием в точке (128,168). -->
<polygon points="20,168 164,168 128,24 56,24" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<!-- AC диагональ (красная) -->
<line x1="20" y1="168" x2="128" y2="24" stroke="#dc2626" stroke-width="2"/>
<!-- Высота CH из C на AD -->
<line x1="128" y1="24" x2="128" y2="168" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="128,168 136,168 136,160 128,160" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2"/>
<text x="6" y="180" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="167" y="180" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="48" y="18" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="131" y="18" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="85" y="184" font-size="11" fill="#334155">AD=4</text>
<text x="80" y="18" font-size="11" fill="#334155">BC=2</text>
<text x="135" y="105" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">h=4</text>
<text x="60" y="105" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">AC=5</text>
</svg>
<b>Свойство равнобедренной трапеции:</b> высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании отрезки длины $\\dfrac{AD - BC}{2}$.<br>
<b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$.<br>
<b>Формула площади трапеции:</b> $S = \\dfrac{a + b}{2} \\cdot h$.<br>
<b>Шаг 1. Опускаем высоту $CH$ из $C$ на $AD$.</b><br>
Так как трапеция равнобедренная,
$$HD = \\dfrac{AD - BC}{2} = \\dfrac{4 - 2}{2} = 1\\text{ см}, \\quad AH = AD - HD = 4 - 1 = 3\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2. Находим высоту $h = CH$ из $\\triangle ACH$.</b><br>
$\\triangle ACH$ прямоугольный (угол $H$ прямой), гипотенуза $AC = 5$, катет $AH = 3$. По теореме Пифагора:
$$h = CH = \\sqrt{AC^2 - AH^2} = \\sqrt{25 - 9} = \\sqrt{16} = 4\\text{ см}.$$
<b>Шаг 3. Находим площадь.</b>
$$S = \\dfrac{AD + BC}{2} \\cdot h = \\dfrac{4 + 2}{2} \\cdot 4 = 12\\text{ см}^2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $12$ см²</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $1 + \\dfrac{7}{n^2 - n - 12} = \\dfrac{-1}{n + 3}$.`,
sol: `<b>План решения дробного уравнения:</b> разложить знаменатели на множители, найти ОДЗ, умножить уравнение на общий знаменатель, решить и проверить корни.<br>
<b>Шаг 1. Раскладываем знаменатель.</b><br>
По теореме Виета подбираем числа $-4$ и $3$ (произведение $-12$, сумма $-1$):
$$n^2 - n - 12 = (n - 4)(n + 3).$$
<b>Шаг 2. ОДЗ:</b> $n \\neq 4,\\; n \\neq -3$.<br>
<b>Шаг 3. Умножаем обе части на $(n-4)(n+3)$.</b>
$$(n-4)(n+3) + 7 = -(n-4).$$
<b>Шаг 4. Раскрываем скобки.</b><br>
$n^2 - n - 12 + 7 = -n + 4$;<br>
$n^2 - n - 5 = -n + 4$;<br>
$n^2 = 9$, откуда $n = \\pm 3$.<br>
<b>Шаг 5. Проверяем по ОДЗ.</b><br>
$n = -3$ не входит в ОДЗ — отбрасываем. Остаётся $n = 3$.
<div class="sol-ans">Ответ: $n = 3$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{7}{2-\\sqrt{11}} - \\dfrac{5}{4+\\sqrt{11}}$.
В ответ запишите число, обратное полученному.`,
sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $2-\\sqrt{11}$ — это $2+\\sqrt{11}$:
$$\\dfrac{7}{2-\\sqrt{11}} = \\dfrac{7(2+\\sqrt{11})}{(2-\\sqrt{11})(2+\\sqrt{11})} = \\dfrac{7(2+\\sqrt{11})}{4-11} = \\dfrac{7(2+\\sqrt{11})}{-7} = -(2+\\sqrt{11}).$$
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $4+\\sqrt{11}$ — это $4-\\sqrt{11}$:
$$\\dfrac{5}{4+\\sqrt{11}} = \\dfrac{5(4-\\sqrt{11})}{(4+\\sqrt{11})(4-\\sqrt{11})} = \\dfrac{5(4-\\sqrt{11})}{16-11} = \\dfrac{5(4-\\sqrt{11})}{5} = 4-\\sqrt{11}.$$
<b>Шаг 3.</b> Находим разность:
$$-(2+\\sqrt{11}) - (4-\\sqrt{11}) = -2 - \\sqrt{11} - 4 + \\sqrt{11} = -6.$$
<b>Шаг 4.</b> По условию записываем число, обратное полученному:
$$\\dfrac{1}{-6} = -\\dfrac{1}{6}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{1}{6}$</div>`
},
{
text: `Плиточник планирует уложить $378$ м² плитки. Если он будет укладывать на $4$ м²
в день больше, чем запланировал, то закончит работу на $6$ дней раньше.
Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
Успеет ли он выполнить заказ за $21$ рабочий день, если будет работать как запланировал?
Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Пусть</b> $x$ м²/день — плановая производительность ($x>0$).<br>
Плановое время: $\\dfrac{378}{x}$ дней; ускоренное: $\\dfrac{378}{x+4}$ дней.<br>
<br>
<b>Уравнение:</b> $\\dfrac{378}{x} - \\dfrac{378}{x+4} = 6$.<br>
$378(x+4) - 378x = 6x(x+4)$;<br>
$1512 = 6x^2 + 24x \\implies x^2 + 4x - 252 = 0$.<br>
<br>
$D = 16 + 1008 = 1024 = 32^2$;<br>
$x = \\dfrac{-4 + 32}{2} = 14$ (отрицательный корень не подходит).<br>
<br>
<b>Плановая производительность:</b> $14$ м²/день; плановый срок $\\dfrac{378}{14}=27$ дней.<br>
Так как $27 > 21$, работая по плану, плиточник <b>не успеет</b> выполнить заказ за $21$ день.
<div class="sol-ans">Ответ: $14$ м²/день; нет, не успеет (закончит за $27$ дней).</div>`
},
{
text: `В треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 8$, $BC = 10$, $AC = 12$ вписана окружность.
Касательная $MK$ к окружности пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $K$
так, что $MK$ не параллельна $AB$.
Найдите периметр треугольника $CMK$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 280 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- Треугольник 8-10-12. AB=8 (синий, верхняя), BC=10, AC=12. -->
<!-- A=(40,195), B=(140,55), C=(248,195). -->
<!-- C — вершина с касательной MK. Полупериметр 15, CP=CQ=15-8=7. -->
<polygon points="40,195 140,55 248,195" fill="rgba(234,179,8,0.05)" stroke="#92400e" stroke-width="2"/>
<!-- Подсветка треугольника CMK (около вершины C) -->
<polygon points="248,195 198,195 224,154" fill="rgba(22,163,74,0.22)" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
<!-- Вписанная окружность (приблизительно) -->
<circle cx="145" cy="155" r="40" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#0369a1" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="4,3"/>
<!-- Касательная MK (зелёная) -->
<line x1="198" y1="195" x2="232" y2="146" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
<!-- Радиусы к точкам касания -->
<line x1="145" y1="155" x2="185" y2="155" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="145" y1="155" x2="160" y2="195" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<line x1="145" y1="155" x2="180" y2="175" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<!-- Точки касания (красные): P на BC, Q на AC, T на MK -->
<circle cx="185" cy="125" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="160" cy="195" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="210" cy="175" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<!-- M и K (зелёные) -->
<circle cx="198" cy="195" r="4" fill="#16a34a"/>
<circle cx="224" cy="154" r="4" fill="#16a34a"/>
<!-- Центр I -->
<circle cx="145" cy="155" r="2.5" fill="#0369a1"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="22" y="208" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="135" y="48" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="254" y="208" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<!-- Метки точек касания -->
<text x="188" y="120" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">P</text>
<text x="156" y="212" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">Q</text>
<text x="214" y="173" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">T</text>
<!-- Метки M и K -->
<text x="192" y="212" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">M</text>
<text x="228" y="150" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">K</text>
<!-- Метка I -->
<text x="149" y="151" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#0369a1">I</text>
<!-- Длины сторон -->
<text x="78" y="125" font-size="12" fill="#334155">8</text>
<text x="198" y="115" font-size="12" fill="#334155">10</text>
<text x="140" y="212" font-size="12" fill="#334155">12</text>
<!-- Подсказка CP=CQ=7 -->
<text x="60" y="160" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">CP=CQ=7</text>
</svg>
<b>Шаг 1. Точки касания вписанной окружности.</b><br>
Окружность касается стороны $BC$ в точке $P$, стороны $AC$ — в точке $Q$, а касательной $MK$ — в точке $T$.<br>
<b>Шаг 2. Касательная из вершины $C$.</b><br>
Полупериметр: $s=\\dfrac{8+10+12}{2}=15$.<br>
По свойству касательных из внешней точки, касательная из $C$ равна $s$ минус противоположная сторона:
$$CP = CQ = s - AB = 15 - 8 = 7\\text{ см.}$$
<b>Шаг 3. Касательные из $M$ и $K$.</b><br>
Из точки $M$ (на $BC$): $MP = MT$.<br>
Из точки $K$ (на $AC$): $KQ = KT$.<br>
<b>Шаг 4. Периметр $\\triangle CMK$.</b>
$$P_{CMK} = CM + MK + KC = CM + MT + TK + KC$$
$$= (CM + MP) + (KQ + KC) = CP + CQ = 7 + 7 = 14\\text{ см.}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $P_{\\triangle CMK} = 14$ см</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v55.js
+244
View File
@@ -0,0 +1,244 @@
VARIANTS[55] = {
label: "Вариант 55",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных выражений <b>НЕ</b> имеет смысла при $x = 0$:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{5x}{x^2+49}$"], ["б", "$4\\sqrt{x}-6x$"], ["в", "$\\dfrac{x-6}{2x}$"],
["г", "$\\dfrac{x}{x-9}$"], ["д", "$\\dfrac{x}{\\sqrt{x}-1}$"],
],
sol: `Подставим $x=0$ в каждое выражение и проверим, определено ли оно:<ul>
<li>а) $\\dfrac{5\\cdot 0}{0^2+49}=\\dfrac{0}{49}=0$ — <b>имеет смысл</b>;</li>
<li>б) $4\\sqrt{0}-6\\cdot 0=0$ — <b>имеет смысл</b>;</li>
<li>в) $\\dfrac{0-6}{2\\cdot 0}=\\dfrac{-6}{0}$ — <b>деление на ноль</b>, выражение не определено;</li>
<li>г) $\\dfrac{0}{0-9}=\\dfrac{0}{-9}=0$ — имеет смысл;</li>
<li>д) $\\dfrac{0}{\\sqrt{0}-1}=\\dfrac{0}{-1}=0$ — имеет смысл.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в) $\\dfrac{x-6}{2x}$.</div>`
},
{
text: `Запись числового выражения $\\dfrac{7^{13}}{7^6 \\cdot 7^5}$ в виде степени с основанием $7$ имеет вид:`,
opts: [
["а", "$7^1$"], ["б", "$7^{26}$"], ["в", "$7^3$"], ["г", "$7^4$"], ["д", "$7^5$"],
],
sol: `Применяем свойства степеней:
$$\\dfrac{7^{13}}{7^6\\cdot 7^5}=\\dfrac{7^{13}}{7^{6+5}}=\\dfrac{7^{13}}{7^{11}}=7^{13-11}=7^2.$$
<b>Замечание:</b> в предложенных вариантах нет $7^2$. Возможно, в условии опечатка
(например, должно быть $7^{14}$ — тогда $\\dfrac{7^{14}}{7^{11}}=7^3$ и подходит вариант <b>в)</b>).
<div class="sol-ans">Ответ: $7^2$ (в предложенных вариантах отсутствует; вероятно, опечатка — тогда в) $7^3$).</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "прямой угол равен $90^{\\circ}$;"],
["б", "если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то наклонная меньше перпендикуляра;"],
["в", "углы при большем основании равнобедренной трапеции равны между собой;"],
["г", "у квадрата все углы равны между собой?"],
],
sol: `Проверим каждое утверждение:<ul>
<li>а) Прямой угол действительно равен $90^{\\circ}$ — <b>верно</b>.</li>
<li>б) Перпендикуляр — это <b>кратчайшее</b> расстояние от точки до прямой, поэтому
перпендикуляр <b>меньше</b> любой наклонной, проведённой из той же точки.
Значит утверждение «наклонная меньше перпендикуляра» — <b>НЕВЕРНО</b>.</li>
<li>в) В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны — верно.</li>
<li>г) У квадрата все углы равны $90^{\\circ}$ — верно.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б).</div>`
},
{
text: `В библиотеке $12\\%$ всех книг — словари.
Какое количество книг в библиотеке, если словарей $900$?`,
sol: `Пусть всего книг $N$. По условию $12\\%$ от $N$ равно $900$:
$$0{,}12\\cdot N=900\\;\\implies\\; N=\\dfrac{900}{0{,}12}=\\dfrac{900\\cdot 100}{12}=\\dfrac{90000}{12}=7500.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $7500$ книг.</div>`
},
{
text: `Постройте график функции $y = \\dfrac{2}{x} + 1$.
Определите целое число, которое не принадлежит области значений функции.`,
sol: `График функции $y=\\dfrac{2}{x}+1$ — гипербола, полученная из $y=\\dfrac{2}{x}$
сдвигом вверх на $1$. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная) и $y=1$ (горизонтальная).<br>
<br>
Найдём область значений. Из равенства $y=1+\\dfrac{2}{x}$ выразим $\\dfrac{2}{x}=y-1$.
Так как $\\dfrac{2}{x}\\neq 0$ (числитель $2\\neq 0$), то $y-1\\neq 0$, то есть $y\\neq 1$.<br>
Значит, $E(y)=(-\\infty;1)\\cup(1;+\\infty)$.
Целое число, которое <b>не</b> принадлежит области значений, — это $y=1$.
<svg viewBox="0 0 285 245" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<defs>
<marker id="v55a5x" markerWidth="7" markerHeight="6" refX="7" refY="3" orient="auto">
<path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5z" fill="#94a3b8"/>
</marker>
</defs>
<!-- Origin (140,120), scale 24px/unit -->
<!-- Координатные оси -->
<line x1="8" y1="120" x2="278" y2="120" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v55a5x)"/>
<line x1="140" y1="237" x2="140" y2="10" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v55a5x)"/>
<!-- Асимптота y=1 (красная пунктирная) -->
<line x1="8" y1="96" x2="270" y2="96" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="6,3"/>
<text x="218" y="91" font-size="12" fill="#dc2626" font-style="italic">y = 1</text>
<!-- Правая ветвь гиперболы (x &gt; 0) -->
<polyline points="152,2 156,18 160,36 164,48 170,58 176,64 182,69 188,72 200,77 212,80 224,82 236,84 248,85 260,86 270,87" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.4"/>
<!-- Левая ветвь гиперболы (x &lt; 0) -->
<polyline points="131,228 130,210 128,192 125,174 122,160 118,148 116,144 110,134 104,128 99,124 92,120 80,115 68,112 56,110 44,108 32,107 20,106 12,105" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.4"/>
<!-- Метки делений на осях -->
<line x1="164" y1="116" x2="164" y2="124" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<text x="161" y="136" font-size="10" fill="#64748b">1</text>
<line x1="188" y1="116" x2="188" y2="124" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<text x="185" y="136" font-size="10" fill="#64748b">2</text>
<line x1="116" y1="116" x2="116" y2="124" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<text x="109" y="136" font-size="10" fill="#64748b">−1</text>
<line x1="92" y1="116" x2="92" y2="124" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<text x="85" y="136" font-size="10" fill="#64748b">−2</text>
<line x1="136" y1="96" x2="144" y2="96" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<text x="125" y="100" font-size="10" fill="#64748b">1</text>
<line x1="136" y1="48" x2="144" y2="48" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<text x="125" y="52" font-size="10" fill="#64748b">3</text>
<line x1="136" y1="72" x2="144" y2="72" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<text x="125" y="76" font-size="10" fill="#64748b">2</text>
<line x1="136" y1="144" x2="144" y2="144" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<text x="120" y="148" font-size="10" fill="#64748b">−1</text>
<!-- Метки осей -->
<text x="266" y="115" font-size="12" fill="#475569" font-style="italic">x</text>
<text x="146" y="14" font-size="12" fill="#475569" font-style="italic">y</text>
<!-- Контрольные точки -->
<circle cx="92" cy="120" r="3.5" fill="#16a34a"/>
<text x="74" y="115" font-size="9" fill="#15803d">(−2; 0)</text>
<circle cx="164" cy="48" r="3.5" fill="#16a34a"/>
<text x="168" y="44" font-size="9" fill="#15803d">(1; 3)</text>
<circle cx="188" cy="72" r="3" fill="#16a34a"/>
<text x="192" y="69" font-size="9" fill="#15803d">(2; 2)</text>
<circle cx="116" cy="144" r="3" fill="#16a34a"/>
<text x="84" y="156" font-size="9" fill="#15803d">(−1; −1)</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $y=1$.</div>`
},
{
text: `Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$.`,
sol: `<b>Теорема синусов:</b> в любом треугольнике
$$\\dfrac{a}{\\sin\\alpha} = 2R,$$
где $a$ — сторона, $\\alpha$ — угол, противолежащий этой стороне, $R$ — радиус описанной окружности.<br>
<b>Шаг 1.</b> В правильном (равностороннем) треугольнике все углы равны $60^{\\circ}$, поэтому угол, противолежащий стороне $a$, равен $60^{\\circ}$.<br>
<b>Шаг 2.</b> Применяем теорему синусов:
$$\\dfrac{a}{\\sin 60^{\\circ}} = 2R \\implies R = \\dfrac{a}{2 \\sin 60^{\\circ}}.$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем табличное значение $\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$:
$$R = \\dfrac{a}{2 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{a}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}.$$
(Последний шаг — умножение числителя и знаменателя на $\\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.)
<div style="text-align:center;margin:8px 0">
<svg width="220" height="220" viewBox="-110 -110 220 220" style="background:#fff;border:1px solid #cbd5e1">
<circle cx="0" cy="0" r="80" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
<polygon points="0,-80 69.28,40 -69.28,40" fill="none" stroke="#0f172a" stroke-width="2"/>
<circle cx="0" cy="0" r="2.5" fill="#0f172a"/>
<line x1="0" y1="0" x2="0" y2="-80" stroke="#dc2626" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<text x="-22" y="-35" font-size="12" fill="#dc2626">R</text>
<text x="-6" y="-86" font-size="13" fill="#0f172a">A</text>
<text x="74" y="48" font-size="13" fill="#0f172a">B</text>
<text x="-86" y="48" font-size="13" fill="#0f172a">C</text>
<text x="6" y="6" font-size="11" fill="#334155">O</text>
<text x="-50" y="-22" font-size="11" fill="#334155">a</text>
</svg>
</div>
<div class="sol-ans">Ответ: $R=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}$.</div>`
},
{
text: `Решите систему неравенств
$$\\begin{cases} 3 - x > 0, \\\\[4pt] 11x - 3x^2 + 14 \\geq 0 \\end{cases}$$
и определите количество натуральных решений системы.`,
sol: `<b>Первое неравенство:</b> $3-x>0\\;\\implies\\; x<3$.<br>
<b>Второе неравенство:</b> умножим на $-1$ (знак неравенства меняется):
$$11x-3x^2+14\\geq 0\\;\\Leftrightarrow\\; 3x^2-11x-14\\leq 0.$$
Корни уравнения $3x^2-11x-14=0$: $D=121+168=289=17^2$,
$$x=\\dfrac{11\\pm 17}{6}\\;\\implies\\; x_1=-1,\\quad x_2=\\dfrac{28}{6}=\\dfrac{14}{3}.$$
Парабола ветвями вверх, поэтому $3x^2-11x-14\\leq 0$ при $-1\\leq x\\leq \\dfrac{14}{3}$.<br>
<br>
<b>Пересечение:</b> $-1\\leq x<3$.<br>
Натуральные решения (целые $\\geq 1$): $x=1,\\;2$. Их <b>2</b>.
<div class="sol-ans">Ответ: $x\\in[-1;3)$; натуральных решений $2$ (числа $1$ и $2$).</div>`
},
{
text: `Строительный подрядчик планирует купить $4$ т $300$ кг одинарного облицовочного кирпича.
Масса одного кирпича — $4{,}3$ кг. Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант
покупки у одного из трёх поставщиков:<br>
<br>
<table style="border-collapse:collapse;font-size:.9rem;width:100%">
<tr style="background:#f1f5f9"><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">Поставщик</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">Цена, р./шт.</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">Доставка, р.</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">Условие</th></tr>
<tr><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">А</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">1,70</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">700</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">—</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">Б</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">1,80</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">600</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">При заказе свыше 1500 р. — доставка бесплатно</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">В</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">1,90</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">500</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">При заказе свыше 1600 р. — доставка со скидкой 50%</td></tr>
</table>`,
sol: `<b>Количество кирпичей:</b> $4$ т $300$ кг $=4300$ кг.
$$N=\\dfrac{4300}{4{,}3}=1000\\text{ штук}.$$
<b>Поставщик А:</b> $1000\\cdot 1{,}70+700=1700+700=\\mathbf{2400}$ р.<br>
<b>Поставщик Б:</b> стоимость кирпича $1000\\cdot 1{,}80=1800$ р. Так как $1800>1500$,
доставка бесплатна. Итого $\\mathbf{1800}$ р.<br>
<b>Поставщик В:</b> $1000\\cdot 1{,}90=1900$ р. Так как $1900>1600$, доставка со скидкой $50\\%$:
$\\dfrac{500}{2}=250$ р. Итого $1900+250=\\mathbf{2150}$ р.<br>
<br>
Сравниваем: $1800<2150<2400$. Самый дешёвый — поставщик <b>Б</b>.
<div class="sol-ans">Ответ: $1800$ р. (поставщик Б).</div>`
},
{
text: `Решите уравнение
$\\dfrac{6}{x^2-36} + \\dfrac{1}{x^2-12x+36} + \\dfrac{1}{2x+12} = 0$.`,
sol: `<b>Формулы:</b> разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$; квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.<br>
<b>Шаг 1. Раскладываем знаменатели.</b>
$$x^2 - 36 = (x-6)(x+6),\\quad x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2,\\quad 2x + 12 = 2(x+6).$$
<b>Шаг 2. Находим ОДЗ.</b><br>
Знаменатели не должны быть равны нулю: $x \\neq 6,\\; x \\neq -6$.<br>
<b>Шаг 3. Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель $2(x-6)^2(x+6)$.</b><br>
Получаем (после сокращений):
$$12(x-6) + 2(x+6) + (x-6)^2 = 0.$$
<b>Шаг 4. Раскрываем скобки.</b>
$$12x - 72 + 2x + 12 + x^2 - 12x + 36 = 0,$$
$$x^2 + 2x - 24 = 0.$$
<b>Шаг 5. Решаем квадратное уравнение.</b><br>
Дискриминант: $D = 4 + 96 = 100$, $\\sqrt{D} = 10$.
$$x = \\dfrac{-2 \\pm 10}{2} \\implies x_1 = 4,\\; x_2 = -6.$$
<b>Шаг 6. Проверяем по ОДЗ.</b><br>
$x = -6$ не входит в ОДЗ — отбрасываем. Остаётся $x = 4$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x=4$.</div>`
},
{
text: `Основания трапеции равны $5$ см и $10$ см, диагонали трапеции равны $13$ см и $14$ см.
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `Пусть в трапеции $ABCD$: $BC=5$, $AD=10$, $AC=13$, $BD=14$.<br>
<b>Метод параллельного переноса диагонали.</b> Перенесём диагональ $BD$ параллельно на вектор
$\\overrightarrow{BC}$: точка $B$ перейдёт в $C$, точка $D$ — в новую точку $D'$ на прямой $AD$.
Тогда $CD'=BD=14$ и $DD'=BC=5$, поэтому
$$AD'=AD+DD'=10+5=15.$$
В треугольнике $ACD'$ известны все три стороны: $AC=13$, $CD'=14$, $AD'=15$.<br>
<b>Площадь трапеции равна площади треугольника $ACD'$</b> (так как $BCDD'$ — параллелограмм,
и площадь $\\triangle BCD$ равна площади $\\triangle DCD'$).<br>
По формуле Герона: $p=\\dfrac{13+14+15}{2}=21$,
$$S=\\sqrt{21\\cdot(21-13)\\cdot(21-14)\\cdot(21-15)}=\\sqrt{21\\cdot 8\\cdot 7\\cdot 6}=\\sqrt{7056}=84.$$
<svg viewBox="0 0 285 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- Точные пропорции 13-14-15 (масштаб 16px/см). A=(20,200), B=(46,21), C=(126,21), D=(180,200), D'=(260,200) -->
<!-- Трапеция ABCD -->
<polygon points="20,200 46,21 126,21 180,200" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#1e3a8a" stroke-width="2"/>
<!-- Треугольник ACD' (равновелик трапеции, стороны 13-14-15) -->
<polygon points="20,200 126,21 260,200" fill="rgba(22,163,74,0.10)" stroke="none"/>
<!-- Диагональ AC (красная) -->
<line x1="20" y1="200" x2="126" y2="21" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<!-- Диагональ BD (зелёная) -->
<line x1="46" y1="21" x2="180" y2="200" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
<!-- Перенесённая диагональ CD' = BD (зелёная пунктирная) -->
<line x1="126" y1="21" x2="260" y2="200" stroke="#16a34a" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- Продолжение AD до D' (фиолетовое) -->
<line x1="180" y1="200" x2="260" y2="200" stroke="#7c3aed" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="4,3"/>
<!-- Подписи вершин -->
<text x="6" y="214" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="38" y="16" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="128" y="16" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="170" y="214" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="262" y="214" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D'</text>
<!-- Длины -->
<text x="80" y="216" font-size="10" fill="#334155">AD=10</text>
<text x="76" y="14" font-size="10" fill="#334155">BC=5</text>
<text x="60" y="125" font-size="11" fill="#dc2626">AC=13</text>
<text x="100" y="125" font-size="11" fill="#16a34a">BD=14</text>
<text x="180" y="125" font-size="11" fill="#16a34a">CD'=14</text>
<text x="200" y="216" font-size="10" fill="#7c3aed">DD'=5</text>
<text x="135" y="170" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">△ACD' (13-14-15)</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $S=84$ см².</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v56.js
+211
View File
@@ -0,0 +1,211 @@
VARIANTS[56] = {
label: "Вариант 56",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных выражений <b>НЕ</b> имеет смысла при $n = 0$:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{n}{n+7}$"], ["б", "$19n-4\\sqrt{n}$"], ["в", "$\\dfrac{n-6}{n^2+36}$"],
["г", "$\\dfrac{n+1}{3n}$"], ["д", "$\\dfrac{n}{\\sqrt{n}-1}$"],
],
sol: `Подставим $n=0$ в каждое выражение и проверим, определено ли оно:<ul>
<li>а) $\\dfrac{0}{0+7}=\\dfrac{0}{7}=0$ — <b>имеет смысл</b>;</li>
<li>б) $19\\cdot 0-4\\sqrt{0}=0$ — <b>имеет смысл</b>;</li>
<li>в) $\\dfrac{0-6}{0^2+36}=\\dfrac{-6}{36}=-\\dfrac{1}{6}$ — <b>имеет смысл</b>;</li>
<li>г) $\\dfrac{0+1}{3\\cdot 0}=\\dfrac{1}{0}$ — <b>деление на ноль</b>, выражение не определено;</li>
<li>д) $\\dfrac{0}{\\sqrt{0}-1}=\\dfrac{0}{-1}=0$ — имеет смысл.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г) $\\dfrac{n+1}{3n}$.</div>`
},
{
text: `Запись числового выражения $\\dfrac{5^{16} \\cdot 5^4}{5^{18}}$ в виде степени с основанием $5$ имеет вид:`,
opts: [
["а", "$5^1$"], ["б", "$5^2$"], ["в", "$5^{38}$"], ["г", "$5^4$"], ["д", "$5^3$"],
],
sol: `Применяем свойства степеней:
$$\\dfrac{5^{16}\\cdot 5^4}{5^{18}}=\\dfrac{5^{16+4}}{5^{18}}=\\dfrac{5^{20}}{5^{18}}=5^{20-18}=5^2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: б) $5^2$.</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "развёрнутый угол равен $180^{\\circ}$;"],
["б", "если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной;"],
["в", "у любого ромба диагонали равны;"],
["г", "диагонали равнобедренной трапеции равны между собой?"],
],
sol: `Проверим каждое утверждение:<ul>
<li>а) Развёрнутый угол равен $180^{\\circ}$ — <b>верно</b>.</li>
<li>б) Перпендикуляр — кратчайшее расстояние от точки до прямой, поэтому он меньше любой наклонной — <b>верно</b>.</li>
<li>в) У ромба диагонали вообще говоря <b>не равны</b> между собой (они равны лишь у квадрата — частного случая ромба). Это утверждение <b>НЕВЕРНО</b>.</li>
<li>г) У равнобедренной трапеции диагонали равны — <b>верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в).</div>`
},
{
text: `На республиканском субботнике учащиеся высадили кустарники, среди которых — $10$ кустов сирени.
Какое количество кустарников было высажено, если число кустов сирени составило $8\\%$
всех высаженных кустарников?`,
sol: `Пусть всего кустарников $N$. По условию $8\\%$ от $N$ равно $10$:
$$0{,}08\\cdot N=10\\;\\implies\\; N=\\dfrac{10}{0{,}08}=\\dfrac{10\\cdot 100}{8}=\\dfrac{1000}{8}=125.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $125$ кустарников.</div>`
},
{
text: `Постройте график функции $y = \\dfrac{4}{x} - 1$.
Определите целое число, которое не принадлежит области значений функции.`,
sol: `График функции $y=\\dfrac{4}{x}-1$ — гипербола, полученная из $y=\\dfrac{4}{x}$
сдвигом вниз на $1$. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная) и $y=-1$ (горизонтальная).<br>
<br>
Из равенства $y=-1+\\dfrac{4}{x}$ выразим $\\dfrac{4}{x}=y+1$.
Так как $\\dfrac{4}{x}\\neq 0$, то $y+1\\neq 0$, то есть $y\\neq -1$.<br>
Значит, $E(y)=(-\\infty;-1)\\cup(-1;+\\infty)$.
Целое число, которое <b>не</b> принадлежит области значений, — это $y=-1$.
<svg viewBox="0 0 285 245" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<defs>
<marker id="v56a5x" markerWidth="7" markerHeight="6" refX="7" refY="3" orient="auto">
<path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5z" fill="#94a3b8"/>
</marker>
</defs>
<line x1="8" y1="120" x2="278" y2="120" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v56a5x)"/>
<line x1="140" y1="237" x2="140" y2="10" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v56a5x)"/>
<line x1="8" y1="144" x2="270" y2="144" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="6,3"/>
<text x="212" y="139" font-size="12" fill="#dc2626" font-style="italic">y = -1</text>
<polyline points="152,38 154,50 156,62 160,78 164,90 170,100 176,107 182,112 200,118 212,120 224,122 240,123 260,124 270,125" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.4"/>
<polyline points="129,236 130,214 130,200 128,180 124,164 118,152 116,149 110,142 104,138 99,136 92,134 80,132 68,131 56,130 44,130 32,129 20,129" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.4"/>
<line x1="164" y1="116" x2="164" y2="124" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<text x="161" y="136" font-size="10" fill="#64748b">1</text>
<line x1="136" y1="144" x2="144" y2="144" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<text x="120" y="148" font-size="10" fill="#64748b">-1</text>
<line x1="136" y1="96" x2="144" y2="96" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<text x="125" y="100" font-size="10" fill="#64748b">1</text>
<line x1="136" y1="72" x2="144" y2="72" stroke="#94a3b8" stroke-width="1"/>
<text x="125" y="76" font-size="10" fill="#64748b">2</text>
<text x="266" y="115" font-size="12" fill="#475569" font-style="italic">x</text>
<text x="146" y="14" font-size="12" fill="#475569" font-style="italic">y</text>
<circle cx="164" cy="96" r="3.5" fill="#16a34a"/>
<text x="168" y="92" font-size="9" fill="#15803d">(1; 3)</text>
<circle cx="188" cy="108" r="3.5" fill="#16a34a"/>
<text x="192" y="104" font-size="9" fill="#15803d">(2; 1)</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $y=-1$.</div>`
},
{
text: `В правильный треугольник со стороной $a$ вписана окружность. Найдите радиус окружности.`,
sol: `<b>Формула радиуса вписанной окружности:</b>
$$r = \\dfrac{S}{s},$$
где $S$ — площадь треугольника, $s$ — полупериметр.<br>
<b>Шаг 1.</b> В равностороннем треугольнике со стороной $a$ все углы равны $60^{\\circ}$.<br>
<b>Шаг 2. Находим площадь.</b><br>
По формуле площади равностороннего треугольника:
$$S = \\dfrac{\\sqrt{3}}{4}a^2.$$
<b>Шаг 3. Находим полупериметр.</b><br>
Все три стороны равны $a$, поэтому
$$s = \\dfrac{3a}{2}.$$
<b>Шаг 4. Подставляем в формулу радиуса.</b>
$$r = \\dfrac{S}{s} = \\dfrac{\\dfrac{\\sqrt{3}}{4}a^2}{\\dfrac{3a}{2}} = \\dfrac{\\sqrt{3}\\,a^2}{4} \\cdot \\dfrac{2}{3a} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}.$$
<div style="text-align:center;margin:8px 0">
<svg width="200" height="200" viewBox="-100 -85 200 200" style="background:#fff;border:1px solid #cbd5e1">
<polygon points="0,-80 69.28,40 -69.28,40" fill="none" stroke="#0f172a" stroke-width="2"/>
<circle cx="0" cy="13.33" r="26.67" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="0" cy="13.33" r="2" fill="#0f172a"/>
<line x1="0" y1="13.33" x2="0" y2="40" stroke="#dc2626" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<text x="4" y="35" font-size="11" fill="#dc2626">r</text>
<text x="-8" y="-86" font-size="13" fill="#0f172a">A</text>
<text x="73" y="50" font-size="13" fill="#0f172a">B</text>
<text x="-88" y="50" font-size="13" fill="#0f172a">C</text>
<text x="4" y="20" font-size="11" fill="#334155">O</text>
<text x="-45" y="-15" font-size="11" fill="#334155">a</text>
</svg>
</div>
<div class="sol-ans">Ответ: $r=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}$.</div>`
},
{
text: `Решите систему неравенств
$$\\begin{cases} 2 - x > 0, \\\\[4pt] 5x - 2x^2 + 7 \\geq 0 \\end{cases}$$
и определите количество натуральных решений системы.`,
sol: `<b>Первое неравенство:</b> $2-x>0\\;\\implies\\; x<2$.<br>
<b>Второе неравенство:</b> $5x-2x^2+7\\geq 0\\;\\Leftrightarrow\\; 2x^2-5x-7\\leq 0$.<br>
Корни уравнения $2x^2-5x-7=0$: $D=25+56=81=9^2$,
$$x=\\dfrac{5\\pm 9}{4}\\;\\implies\\; x_1=\\dfrac{5-9}{4}=-1,\\quad x_2=\\dfrac{5+9}{4}=\\dfrac{14}{4}=\\dfrac{7}{2}.$$
Парабола ветвями вверх, поэтому $2x^2-5x-7\\leq 0$ при $-1\\leq x\\leq \\dfrac{7}{2}$.<br>
<br>
<b>Пересечение:</b> $\\left[-1;\\dfrac{7}{2}\\right)\\cap(-\\infty;2)=\\left[-1;2\\right)$.<br>
Натуральные решения (целые $\\geq 1$): $x=1$. Их <b>1</b>.
<div class="sol-ans">Ответ: $x\\in[-1;2)$; натуральных решений $1$ (число $1$).</div>`
},
{
text: `Строительный подрядчик планирует купить $3$ т $600$ кг клинкерного кирпича.
Масса одного кирпича — $3{,}6$ кг. Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант
покупки у одного из трёх поставщиков:<br>
<br>
<table style="border-collapse:collapse;font-size:.9rem;width:100%">
<tr style="background:#f1f5f9"><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">Поставщик</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">Цена, р./шт.</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">Доставка, р.</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">Условие</th></tr>
<tr><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">А</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">2,7</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">700</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">—</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">Б</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">2,8</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">600</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">При заказе свыше 3500 р. — доставка бесплатно</td></tr>
<tr><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">В</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">2,9</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">500</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">При заказе свыше 3600 р. — доставка со скидкой 50%</td></tr>
</table>`,
sol: `<b>Количество кирпичей:</b> $3$ т $600$ кг $=3600$ кг.
$$N=\\dfrac{3600}{3{,}6}=1000\\text{ штук}.$$
<b>Поставщик А:</b> $1000\\cdot 2{,}7+700=2700+700=\\mathbf{3400}$ р.<br>
<b>Поставщик Б:</b> стоимость кирпича $1000\\cdot 2{,}8=2800$ р. Так как $2800<3500$,
условие бесплатной доставки не выполнено. Итого $2800+600=\\mathbf{3400}$ р.<br>
<b>Поставщик В:</b> $1000\\cdot 2{,}9=2900$ р. Так как $2900<3600$,
скидка на доставку не действует. Итого $2900+500=\\mathbf{3400}$ р.<br>
<br>
Все три поставщика дают одинаковую стоимость $3400$ р. Наиболее дешёвый вариант — $3400$ р. (любой из поставщиков).
<div class="sol-ans">Ответ: $3400$ р. (все три поставщика равноценны).</div>`
},
{
text: `Решите уравнение
$\\dfrac{1}{x^2-9} + \\dfrac{1}{x^2-6x+9} = \\dfrac{1}{2x^2+6x}$.`,
sol: `<b>Формулы:</b> разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$; квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.<br>
<b>Шаг 1. Раскладываем знаменатели.</b>
$$x^2 - 9 = (x-3)(x+3),\\quad x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2,\\quad 2x^2 + 6x = 2x(x+3).$$
<b>Шаг 2. Находим ОДЗ.</b><br>
Знаменатели не равны нулю: $x \\neq 3,\\; x \\neq -3,\\; x \\neq 0$.<br>
<b>Шаг 3. Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель $2x(x-3)^2(x+3)$.</b><br>
Получаем:
$$2x(x-3) + 2x(x+3) = (x-3)(x+3).$$
<b>Шаг 4. Раскрываем скобки.</b>
$$2x^2 - 6x + 2x^2 + 6x = x^2 - 9,$$
$$4x^2 = x^2 - 9,$$
$$3x^2 = -9, \\quad x^2 = -3.$$
<b>Шаг 5. Анализируем результат.</b><br>
Квадрат любого действительного числа $\\geq 0$, поэтому равенство $x^2 = -3$ невозможно.
<div class="sol-ans">Ответ: уравнение не имеет решений.</div>`
},
{
text: `Основания трапеции равны $7$ см и $14$ см, диагонали трапеции равны $13$ см и $20$ см.
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `Пусть в трапеции $ABCD$: $BC=7$, $AD=14$, $AC=13$, $BD=20$.<br>
<b>Метод параллельного переноса диагонали.</b> Перенесём диагональ $BD$ параллельно на вектор
$\\overrightarrow{BC}$: точка $B$ перейдёт в $C$, точка $D$ — в новую точку $D'$ на прямой $AD$.
Тогда $CD'=BD=20$ и $DD'=BC=7$, поэтому
$$AD'=AD+DD'=14+7=21.$$
В треугольнике $ACD'$ известны все три стороны: $AC=13$, $CD'=20$, $AD'=21$.<br>
<b>Площадь трапеции равна площади треугольника $ACD'$.</b><br>
По формуле Герона: $p=\\dfrac{13+20+21}{2}=27$,
$$S=\\sqrt{27\\cdot(27-13)\\cdot(27-20)\\cdot(27-21)}=\\sqrt{27\\cdot 14\\cdot 7\\cdot 6}=\\sqrt{15876}=126.$$
<svg viewBox="0 0 285 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<polygon points="20,200 50,40 120,40 190,200" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#1e3a8a" stroke-width="2"/>
<polygon points="20,200 120,40 280,200" fill="rgba(22,163,74,0.10)" stroke="none"/>
<line x1="20" y1="200" x2="120" y2="40" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<line x1="50" y1="40" x2="190" y2="200" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
<line x1="120" y1="40" x2="280" y2="200" stroke="#16a34a" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="190" y1="200" x2="280" y2="200" stroke="#7c3aed" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="4,3"/>
<text x="6" y="214" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="42" y="35" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="122" y="35" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="180" y="214" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="272" y="214" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D'</text>
<text x="85" y="216" font-size="10" fill="#334155">AD=14</text>
<text x="74" y="34" font-size="10" fill="#334155">BC=7</text>
<text x="42" y="130" font-size="11" fill="#dc2626">AC=13</text>
<text x="108" y="130" font-size="11" fill="#16a34a">BD=20</text>
<text x="192" y="130" font-size="11" fill="#16a34a">CD'=20</text>
<text x="200" y="216" font-size="10" fill="#7c3aed">DD'=7</text>
<text x="130" y="170" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">△ACD'(13-20-21)</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $S=126$ см².</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v57.js
+219
View File
@@ -0,0 +1,219 @@
VARIANTS[57] = {
label: "Вариант 57",
tasks: [
{
text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = 3$:`,
figure: `<img src="/img/exam9/v57_t1.png" class="task-fig" />`,
sol: `Уравнение $y = 3$ задаёт <b>постоянную функцию</b>: при любом значении $x$ значение $y$ равно $3$.
<br>Графиком является <b>горизонтальная прямая</b>, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0;\\,3)$ (на высоте $3$ над осью абсцисс).
<svg viewBox="0 0 220 180" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:220px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<defs><marker id="v57t1a" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="6" markerHeight="6" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
<line x1="20" y1="150" x2="210" y2="150" stroke="#888" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v57t1a)"/>
<line x1="110" y1="170" x2="110" y2="15" stroke="#888" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v57t1a)"/>
<text x="205" y="165" font-size="11" fill="#555">x</text>
<text x="95" y="20" font-size="11" fill="#555">y</text>
<text x="115" y="163" font-size="10" fill="#555">0</text>
<line x1="20" y1="90" x2="200" y2="90" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2"/>
<circle cx="110" cy="90" r="3" fill="#2563eb"/>
<text x="118" y="86" font-size="11" fill="#1d4ed8">y = 3</text>
<line x1="107" y1="90" x2="113" y2="90" stroke="#1e293b" stroke-width="1"/>
<text x="98" y="94" font-size="10" fill="#555">3</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: горизонтальная прямая $y=3$, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0;\\,3)$.</div>`
},
{
text: `Определите, какой из данных одночленов записан в стандартном виде:`,
opts: [
["а", "$3xyuz$"], ["б", "$-x \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot y \\cdot z$"], ["в", "$0{,}25x^5yz$"],
["г", "$0{,}5x^5y \\cdot 2z$"], ["д", "$x^5y \\cdot 2zy$"],
],
sol: `Одночлен записан <b>в стандартном виде</b>, если он представлен как произведение <em>одного числового коэффициента</em> и переменных, каждая из которых встречается ровно один раз и возведена в натуральную степень.
<ul>
<li>а) $3xyuz$ — коэффициент один ($3$), но обычно требуется упорядочение; формально допустимо, однако чаще считают нестандартным из-за порядка переменных;</li>
<li>б) $-x\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot y\\cdot z$ — <b>два</b> числовых множителя ($-1$ и $\\tfrac{1}{2}$);</li>
<li>в) $0{,}25x^5yz$ — один коэффициент $0{,}25$, переменные $x^5,\\ y,\\ z$ записаны по одному разу — <b>стандартный вид</b> ✓</li>
<li>г) $0{,}5x^5y\\cdot 2z$ — два числовых множителя ($0{,}5$ и $2$);</li>
<li>д) $x^5y\\cdot 2zy$ — переменная $y$ встречается дважды.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$0{,}25x^5yz$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "$\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
["б", "площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними;"],
["в", "сумма углов прямоугольника равна $270^{\\circ}$;"],
["г", "периметр квадрата со стороной $a$ равен $4a$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) $\\sin 30^{\\circ}=\\dfrac{1}{2}$ — табличное значение, <b>верно</b>;</li>
<li>б) $S_{\\triangle}=\\dfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma$ — <b>верно</b>;</li>
<li>в) Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника, в том числе прямоугольника, равна $360^{\\circ}$ ($4\\cdot 90^{\\circ}=360^{\\circ}$), а не $270^{\\circ}$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>;</li>
<li>г) $P_{\\text{кв}}=4a$ — <b>верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Известно, что функция $y = f(x)$ нечётная и $f(5) = -9$, $f(-3) = 4$.
Найдите значение выражения $f(3) + f(-5)$.`,
sol: `Для нечётной функции выполняется тождество $f(-x)=-f(x)$.
<br>Тогда:
$$f(-5) = -f(5) = -(-9) = 9,$$
$$f(3) = -f(-3) = -4.$$
Складываем:
$$f(3)+f(-5) = -4 + 9 = 5.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $5$</div>`
},
{
text: `Коробка конфет кондитерской фабрики «Коммунарка» стоит $17$ р. $60$ к.
Какое наибольшее количество коробок можно купить на $130$ р.?`,
sol: `<b>Метод составления неравенства по условию:</b> общая стоимость покупки не должна превосходить имеющейся суммы.<br>
<b>Шаг 1.</b> Переведём цену в рубли: $17$ р. $60$ к. $= 17{,}60$ р.<br>
<b>Шаг 2.</b> Обозначим $n$ — число коробок. Тогда стоимость $n$ коробок равна $17{,}60\\,n$ рублей. По условию её хватает на $130$ р., поэтому
$$17{,}60\\,n \\leq 130.$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем неравенство, делим обе части на положительное число $17{,}60$:
$$n \\leq \\dfrac{130}{17{,}60} = 7{,}3863\\ldots$$
<b>Шаг 4.</b> Так как $n$ — натуральное число (количество коробок), наибольшее значение, удовлетворяющее $n\\leq 7{,}38\\ldots$, — это $n=7$.<br>
<b>Шаг 5.</b> Проверим:
<ul>
<li>$7\\cdot 17{,}60 = 123{,}20$ р. $\\leq 130$ р. — подходит;</li>
<li>$8\\cdot 17{,}60 = 140{,}80$ р. $\\gt 130$ р. — не подходит.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: $7$ коробок</div>`
},
{
text: `В квадрат, диагональ которого равна $8$ см, вписана окружность.
Найдите длину этой окружности.`,
sol: `<b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$.<br>
<b>Свойство квадрата:</b> диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника, у которых катеты — стороны квадрата.<br>
<b>Свойство вписанной окружности:</b> радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны.<br>
<b>Формула длины окружности:</b> $C = 2\\pi R$.<br>
<b>Шаг 1. Находим сторону квадрата.</b><br>
Пусть $a$ — сторона, $d = 8$ — диагональ. По теореме Пифагора в одном из треугольников (катеты $a$ и $a$):
$$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \\implies 2a^2 = 64 \\implies a^2 = 32 \\implies a = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2. Находим радиус вписанной окружности.</b>
$$R = \\dfrac{a}{2} = \\dfrac{4\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
<b>Шаг 3. Находим длину окружности.</b>
$$C = 2\\pi R = 2\\pi \\cdot 2\\sqrt{2} = 4\\pi\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 200 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<rect x="30" y="30" width="140" height="140" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="100" cy="100" r="70" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<line x1="30" y1="30" x2="170" y2="170" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="100" y1="100" x2="170" y2="100" stroke="#dc2626" stroke-width="1.4"/>
<circle cx="100" cy="100" r="2.5" fill="#1e293b"/>
<text x="22" y="26" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="174" y="26" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="174" y="182" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="22" y="182" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="130" y="96" font-size="11" fill="#dc2626">R</text>
<text x="86" y="116" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="80" y="20" font-size="11" fill="#475569">a = 4√2</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $C = 4\\pi\\sqrt{2}$ см</div>`
},
{
text: `Найдите наименьшее целое значение переменной, при котором сумма дробей
$\\dfrac{2x-5}{4}$ и $\\dfrac{3-4x}{6}$ неположительна.`,
sol: `<b>Метод решения линейного неравенства</b> с дробями: приводим к общему знаменателю, домножаем на положительное число (знак не меняется), решаем.<br>
<b>Шаг 1.</b> «Неположительна» означает «не больше нуля», то есть $\\leq 0$. Записываем неравенство:
$$\\dfrac{2x-5}{4} + \\dfrac{3-4x}{6} \\leq 0.$$
<b>Шаг 2.</b> Приводим к общему знаменателю $12$ (наименьшее общее кратное чисел $4$ и $6$):
$$\\dfrac{3(2x-5) + 2(3-4x)}{12} \\leq 0.$$
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки в числителе:
$$\\dfrac{6x-15+6-8x}{12} \\leq 0 \\iff \\dfrac{-2x-9}{12} \\leq 0.$$
<b>Шаг 4.</b> Так как знаменатель $12\\gt 0$, неравенство равносильно тому, что числитель $\\leq 0$:
$$-2x-9 \\leq 0 \\iff -2x \\leq 9 \\iff x \\geq -\\dfrac{9}{2} = -4{,}5$$
(при делении на отрицательное число $-2$ знак неравенства меняется на противоположный).<br>
<b>Шаг 5.</b> Ищем наименьшее целое $x$, удовлетворяющее $x\\geq -4{,}5$. Это $x=-4$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-4$</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\left(\\dfrac{9}{4-\\sqrt{7}} - \\dfrac{33}{6-\\sqrt{3}} - \\dfrac{4}{\\sqrt{7}+\\sqrt{3}}\\right)^{\\!2}$.`,
sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. При этом срабатывает формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $4-\\sqrt{7}$ — это $4+\\sqrt{7}$:
$$\\dfrac{9}{4-\\sqrt{7}} = \\dfrac{9(4+\\sqrt{7})}{(4-\\sqrt{7})(4+\\sqrt{7})} = \\dfrac{9(4+\\sqrt{7})}{16-7} = \\dfrac{9(4+\\sqrt{7})}{9} = 4+\\sqrt{7}.$$
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $6-\\sqrt{3}$ — это $6+\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{33}{6-\\sqrt{3}} = \\dfrac{33(6+\\sqrt{3})}{36-3} = \\dfrac{33(6+\\sqrt{3})}{33} = 6+\\sqrt{3}.$$
<b>Шаг 3.</b> Преобразуем третью дробь. Сопряжённое к $\\sqrt{7}+\\sqrt{3}$ — это $\\sqrt{7}-\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{4}{\\sqrt{7}+\\sqrt{3}} = \\dfrac{4(\\sqrt{7}-\\sqrt{3})}{7-3} = \\dfrac{4(\\sqrt{7}-\\sqrt{3})}{4} = \\sqrt{7}-\\sqrt{3}.$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем в исходное выражение и приводим подобные слагаемые:
$$(4+\\sqrt{7}) - (6+\\sqrt{3}) - (\\sqrt{7}-\\sqrt{3}) = 4+\\sqrt{7} - 6 - \\sqrt{3} - \\sqrt{7} + \\sqrt{3} = -2.$$
<b>Шаг 5.</b> По условию надо возвести в квадрат:
$$(-2)^2 = 4.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $4$</div>`
},
{
text: `Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята некоторая точка $M$.
Отрезок $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$.
Площади треугольников $MCK$ и $DCK$ равны соответственно $9$ см² и $15$ см².
Найдите площадь параллелограмма.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 280 170" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- A=(30,140), B=(50,40), C=(250,40), D=(230,140). -->
<!-- CM=3/5·AD=120px → M=(130,40). K на AC при t=5/8 → K=(167.5, 77.5)≈(168,78) -->
<polygon points="30,140 50,40 250,40 230,140" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
<!-- Диагональ AC -->
<line x1="30" y1="140" x2="250" y2="40" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- Отрезок DM -->
<line x1="230" y1="140" x2="130" y2="40" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<!-- Подсветка треугольников MCK (S=9) и DCK (S=15) -->
<polygon points="130,40 250,40 168,78" fill="rgba(220,38,38,0.18)" stroke="none"/>
<polygon points="230,140 250,40 168,78" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="none"/>
<!-- Точки M и K -->
<circle cx="130" cy="40" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="168" cy="78" r="3.5" fill="#16a34a"/>
<!-- Подписи -->
<text x="18" y="155" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="42" y="34" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="252" y="34" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="234" y="155" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="123" y="34" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
<text x="172" y="76" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">K</text>
<text x="195" y="58" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">9</text>
<text x="218" y="100" font-size="11" fill="#16a34a" font-weight="bold">15</text>
</svg>
Треугольники $MCK$ и $DCK$ имеют общую вершину $C$, а основания $MK$ и $KD$ лежат на одной прямой $DM$. Значит, их площади относятся как длины оснований:
$$\\dfrac{S_{MCK}}{S_{DCK}} = \\dfrac{MK}{KD} = \\dfrac{9}{15} = \\dfrac{3}{5}.$$
Так как $AD\\parallel BC$, то $\\triangle AKD \\sim \\triangle CKM$ (по двум углам: $\\angle AKD=\\angle CKM$ — вертикальные, $\\angle KAD=\\angle KCM$ — накрест-лежащие).
<br>Коэффициент подобия:
$$\\dfrac{AD}{CM} = \\dfrac{KD}{KM} = \\dfrac{5}{3} \\implies CM = \\dfrac{3}{5}AD.$$
Площадь треугольника $CDM$:
$$S_{CDM} = S_{MCK} + S_{DCK} = 9 + 15 = 24\\text{ см}^2.$$
С другой стороны, если $h$ — высота параллелограмма, опущенная на $BC$, то $S_{CDM}=\\dfrac{1}{2}\\cdot CM\\cdot h$:
$$24 = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{3}{5}AD\\cdot h \\implies AD\\cdot h = \\dfrac{24\\cdot 2\\cdot 5}{3} = 80.$$
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту:
$$S_{ABCD} = AD\\cdot h = 80\\text{ см}^2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $80$ см²</div>`
},
{
text: `Решите систему уравнений
$$\\begin{cases} xy - x - y = 29, \\\\[4pt] x^2 + y^2 - x - y = 72. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Идея:</b> в каждом уравнении встречается выражение $x+y$. Введём <em>одну</em> замену $s = x+y$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из первого уравнения выражаем $xy$:
$$xy = s + 29$$
Из второго — выражаем $x^2+y^2$:
$$x^2+y^2 = s + 72$$
<b>Шаг 2.</b> Применяем тождество $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, то есть $x^2+y^2 = s^2 - 2xy$.
<br>Подставляем найденные выражения:
$$s + 72 = s^2 - 2(s+29)$$
$$s + 72 = s^2 - 2s - 58$$
$$s^2 - 3s - 130 = 0$$
<b>Шаг 3. Решаем квадратное уравнение.</b>
<br>$D = 9+520 = 529 = 23^2$, корни:
$$s = \\dfrac{3\\pm23}{2}: \\quad s_1 = 13,\\quad s_2 = -10$$
<b>Шаг 4. Для каждого $s$ восстанавливаем $x$ и $y$.</b>
<br>Если $x+y = s$ и $xy = s+29$, то по обратной теореме Виета $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - st + (s+29) = 0$.
<br><br>
<b>Случай 1:</b>&ensp;$s = 13$, $xy = 42$.
$$t^2 - 13t + 42 = 0 \\implies (t-6)(t-7)=0 \\implies t = 6\\text{ или }7$$
$$(x;\\,y) = (6;\\,7)\\ \\text{или}\\ (7;\\,6)$$
<b>Проверка:</b> $6\\cdot7-6-7 = 42-13 = 29$ ✓;&ensp; $36+49-6-7 = 72$ ✓.
<br><br>
<b>Случай 2:</b>&ensp;$s = -10$, $xy = 19$.
$$t^2 + 10t + 19 = 0 \\implies D = 100-76 = 24 \\implies t = -5\\pm\\sqrt{6}$$
$$(x;\\,y) = (-5+\\sqrt{6};\\,-5-\\sqrt{6})\\ \\text{или}\\ (-5-\\sqrt{6};\\,-5+\\sqrt{6})$$
<div class="sol-ans">Ответ: $(6;\\,7),\\ (7;\\,6),\\ (-5+\\sqrt{6};\\,-5-\\sqrt{6}),\\ (-5-\\sqrt{6};\\,-5+\\sqrt{6})$</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v58.js
+172
View File
@@ -0,0 +1,172 @@
VARIANTS[58] = {
label: "Вариант 58",
tasks: [
{
text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = -2$:`,
figure: `<img src="/img/exam9/v58_t1.png" class="task-fig" />`,
sol: `Уравнение $y = -2$ задаёт <b>постоянную функцию</b>. Граф — горизонтальная прямая через $(0;\\,-2)$. <div class="sol-ans">Ответ: горизонтальная прямая $y=-2$, параллельная оси $Ox$, проходящая через $(0;\\,-2)$.</div>`
},
{
text: `Определите, какой из данных одночленов записан в стандартном виде:`,
opts: [
["а", "$-a \\cdot \\dfrac{1}{4} \\cdot b \\cdot c$"], ["б", "$5abcc$"], ["в", "$0{,}5a^7bc^2$"],
["г", "$0{,}35a^3b \\cdot 2c$"], ["д", "$a^4b \\cdot 2cb$"],
],
sol: `Стандартный вид: один коэффициент, каждая переменная один раз. в) $0{,}5a^7bc^2$ — ✓ <div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$0{,}5a^7bc^2$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "$\\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$;"],
["б", "площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними;"],
["в", "сумма углов прямоугольника равна $300^{\\circ}$;"],
["г", "площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$?"],
],
sol: `Сумма углов четырёхугольника $=360^{\\circ}$, а не $300^{\\circ}$ — НЕВЕРНО. <div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Известно, что функция $y = f(x)$ нечётная и $f(-3) = 4$, $f(-5) = -8$.
Найдите значение выражения $f(3) + f(5)$.`,
sol: `Для нечётной функции $f(-x)=-f(x)$: $f(3)=-f(-3)=-4$; $f(5)=-f(-5)=8$. Сумма: $-4+8=4$. <div class="sol-ans">Ответ: $4$</div>`
},
{
text: `Коробка конфет кондитерской фабрики «Спартак» стоит $15$ р. $50$ к.
Какое наибольшее количество коробок можно купить на $150$ р.?`,
sol: `<b>Метод составления неравенства по условию:</b> общая стоимость покупки не должна превосходить имеющейся суммы.<br>
<b>Шаг 1.</b> Переводим цену в рубли: $15$ р. $50$ к. $= 15{,}50$ р.<br>
<b>Шаг 2.</b> Пусть $n$ — число коробок. Стоимость $n$ коробок равна $15{,}50\\,n$ рублей. По условию её хватает на $150$ р., значит
$$15{,}50\\,n \\leq 150.$$
<b>Шаг 3.</b> Делим обе части на положительное число $15{,}50$:
$$n \\leq \\dfrac{150}{15{,}50} = 9{,}677\\ldots$$
<b>Шаг 4.</b> Так как $n$ — натуральное (количество коробок), наибольшее значение $n=9$.<br>
<b>Шаг 5.</b> Проверим: $9\\cdot 15{,}50 = 139{,}50$ р. $\\leq 150$ р. — подходит; а $10\\cdot 15{,}50 = 155$ р. $\\gt 150$ р. — не подходит.
<div class="sol-ans">Ответ: $9$ коробок</div>`
},
{
text: `Около квадрата, периметр которого равен $12$ см, описана окружность.
Найдите длину этой окружности.`,
sol: `<b>Формула периметра квадрата:</b> $P = 4a$.<br>
<b>Свойство описанной окружности:</b> у окружности, описанной около квадрата, диаметр равен диагонали квадрата, поэтому радиус $R = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{2}$, где $a$ — сторона квадрата.<br>
<b>Формула длины окружности:</b> $C = 2\\pi R$.<br>
<b>Шаг 1. Находим сторону квадрата.</b><br>
$$P = 4a = 12 \\implies a = 3\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2. Находим радиус описанной окружности.</b>
$$R = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{2}\\text{ см}.$$
<b>Шаг 3. Находим длину окружности.</b>
$$C = 2\\pi R = 2\\pi \\cdot \\dfrac{3\\sqrt{2}}{2} = 3\\pi\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 200 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<circle cx="100" cy="100" r="80" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
<rect x="43.43" y="43.43" width="113.14" height="113.14" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
<line x1="43.43" y1="43.43" x2="156.57" y2="156.57" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="100" y1="100" x2="156.57" y2="43.43" stroke="#dc2626" stroke-width="1.4"/>
<circle cx="100" cy="100" r="2.5" fill="#1e293b"/>
<text x="34" y="40" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="160" y="40" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="160" y="170" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="34" y="170" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="124" y="68" font-size="11" fill="#dc2626">R</text>
<text x="86" y="116" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
<text x="78" y="32" font-size="11" fill="#475569">a = 3</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $C=3\\pi\\sqrt{2}$ см</div>`
},
{
text: `Найдите наибольшее целое значение переменной, при котором сумма дробей
$\\dfrac{2x-1}{5}$ и $\\dfrac{3-4x}{7}$ неотрицательна.`,
sol: `<b>Метод решения линейного неравенства с дробями:</b> приводим к общему знаменателю, домножаем на положительное число (знак не меняется), решаем.<br>
<b>Шаг 1.</b> «Неотрицательна» значит «не меньше нуля», то есть $\\geq 0$. Записываем:
$$\\dfrac{2x-1}{5} + \\dfrac{3-4x}{7} \\geq 0.$$
<b>Шаг 2.</b> Приводим к общему знаменателю $35$:
$$\\dfrac{7(2x-1) + 5(3-4x)}{35} \\geq 0.$$
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки в числителе:
$$\\dfrac{14x-7+15-20x}{35} \\geq 0 \\iff \\dfrac{-6x+8}{35} \\geq 0.$$
<b>Шаг 4.</b> Так как $35\\gt 0$, неравенство равносильно тому, что числитель $\\geq 0$:
$$-6x+8 \\geq 0 \\iff -6x \\geq -8 \\iff x \\leq \\dfrac{4}{3}$$
(при делении на отрицательное число $-6$ знак меняется).<br>
<b>Шаг 5.</b> Наибольшее целое $x$, удовлетворяющее $x\\leq \\dfrac{4}{3}\\approx 1{,}33$, — это $x=1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\left(\\dfrac{18}{5-\\sqrt{7}} - \\dfrac{44}{7-\\sqrt{5}} - \\dfrac{2}{\\sqrt{7}+\\sqrt{5}}\\right)^{\\!2}$.`,
sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, используя формулу $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $5-\\sqrt{7}$ — это $5+\\sqrt{7}$:
$$\\dfrac{18}{5-\\sqrt{7}} = \\dfrac{18(5+\\sqrt{7})}{25-7} = \\dfrac{18(5+\\sqrt{7})}{18} = 5+\\sqrt{7}.$$
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $7-\\sqrt{5}$ — это $7+\\sqrt{5}$:
$$\\dfrac{44}{7-\\sqrt{5}} = \\dfrac{44(7+\\sqrt{5})}{49-5} = \\dfrac{44(7+\\sqrt{5})}{44} = 7+\\sqrt{5}.$$
<b>Шаг 3.</b> Преобразуем третью дробь. Сопряжённое к $\\sqrt{7}+\\sqrt{5}$ — это $\\sqrt{7}-\\sqrt{5}$:
$$\\dfrac{2}{\\sqrt{7}+\\sqrt{5}} = \\dfrac{2(\\sqrt{7}-\\sqrt{5})}{7-5} = \\dfrac{2(\\sqrt{7}-\\sqrt{5})}{2} = \\sqrt{7}-\\sqrt{5}.$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем и приводим подобные:
$$(5+\\sqrt{7})-(7+\\sqrt{5})-(\\sqrt{7}-\\sqrt{5}) = 5+\\sqrt{7}-7-\\sqrt{5}-\\sqrt{7}+\\sqrt{5} = -2.$$
<b>Шаг 5.</b> Возводим в квадрат: $(-2)^2 = 4$.
<div class="sol-ans">Ответ: $4$</div>`
},
{
text: `Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята некоторая точка $M$.
Отрезок $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$.
Площади треугольников $MCK$ и $DCK$ равны соответственно $4$ см² и $6$ см².
Найдите площадь параллелограмма.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 280 170" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="30,140 50,40 250,40 230,140" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
<line x1="30" y1="140" x2="250" y2="40" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="230" y1="140" x2="117" y2="40" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<polygon points="117,40 250,40 162,80" fill="rgba(220,38,38,0.18)" stroke="none"/>
<polygon points="230,140 250,40 162,80" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="none"/>
<circle cx="117" cy="40" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="162" cy="80" r="3.5" fill="#16a34a"/>
<text x="18" y="155" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="42" y="34" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="252" y="34" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="234" y="155" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="110" y="34" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
<text x="166" y="78" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">K</text>
<text x="195" y="58" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">4</text>
<text x="215" y="102" font-size="11" fill="#16a34a" font-weight="bold">6</text>
</svg>
<b>Используемые факты:</b>
<ul>
<li>Треугольники с общей вершиной и основаниями на одной прямой относятся как длины оснований.</li>
<li>Признак подобия по двум углам.</li>
<li>Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту: $S = a \\cdot h$.</li>
</ul>
<b>Шаг 1. Отношение $MK : KD$.</b><br>
Треугольники $MCK$ и $DCK$ имеют общую вершину $C$, а их основания $MK$ и $KD$ лежат на одной прямой $DM$. Значит, их площади относятся как длины оснований:
$$\\dfrac{S_{MCK}}{S_{DCK}} = \\dfrac{MK}{KD} = \\dfrac{4}{6} = \\dfrac{2}{3}.$$
<b>Шаг 2. Подобие $\\triangle CKM \\sim \\triangle AKD$.</b><br>
Так как $BC \\parallel AD$, то $\\angle KCM = \\angle KAD$ (накрест лежащие при секущей $AC$), а $\\angle CKM = \\angle AKD$ (вертикальные). По признаку подобия по двум углам:
$$\\dfrac{CM}{AD} = \\dfrac{KM}{KD} = \\dfrac{2}{3} \\implies CM = \\dfrac{2}{3} AD.$$
<b>Шаг 3. Площадь $\\triangle CDM$.</b>
$$S_{CDM} = S_{MCK} + S_{DCK} = 4 + 6 = 10\\text{ см}^2.$$
<b>Шаг 4. Связь с высотой параллелограмма.</b><br>
Пусть $h$ — высота параллелограмма, опущенная на $BC$ (она же высота $\\triangle CDM$ из вершины $D$):
$$S_{CDM} = \\dfrac{1}{2} \\cdot CM \\cdot h = \\dfrac{1}{2} \\cdot \\dfrac{2}{3} AD \\cdot h = \\dfrac{1}{3} AD \\cdot h.$$
Значит, $AD \\cdot h = 3 \\cdot 10 = 30$.<br>
<b>Шаг 5. Площадь параллелограмма.</b>
$$S_{ABCD} = AD \\cdot h = 30\\text{ см}^2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $30$ см²</div>`
},
{
text: `Решите систему уравнений
$$\\begin{cases} xy - x - y = 5, \\\\[4pt] x^2 + y^2 - x - y = 18. \\end{cases}$$`,
sol: `<b>Тождество:</b> $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, поэтому $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.<br>
<b>Обратная теорема Виета:</b> если $x + y = s$ и $xy = p$, то $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - st + p = 0$.<br>
<b>Шаг 1. Замена $s = x + y$.</b><br>
Из первого уравнения: $xy - s = 5 \\implies xy = s + 5$.<br>
Из второго уравнения: $x^2 + y^2 - s = 18 \\implies x^2 + y^2 = s + 18$.<br>
<b>Шаг 2. Применяем тождество.</b>
$$x^2 + y^2 = s^2 - 2xy \\implies s + 18 = s^2 - 2(s+5).$$
<b>Шаг 3. Получаем квадратное уравнение относительно $s$.</b>
$$s + 18 = s^2 - 2s - 10 \\implies s^2 - 3s - 28 = 0.$$
Дискриминант: $D = 9 + 112 = 121 = 11^2$, корни $s_1 = 7,\\; s_2 = -4$.<br>
<b>Шаг 4. Случай 1: $s = 7$.</b><br>
Тогда $xy = 7 + 5 = 12$. По обратной теореме Виета $x, y$ — корни $t^2 - 7t + 12 = 0$, то есть $t = 3$ или $t = 4$.<br>
Получаем $(x; y) = (3; 4)$ или $(4; 3)$.<br>
Проверка: $3 \\cdot 4 - 3 - 4 = 12 - 7 = 5$ ✓; $9 + 16 - 7 = 18$ ✓.<br>
<b>Шаг 5. Случай 2: $s = -4$.</b><br>
Тогда $xy = -4 + 5 = 1$. По обратной теореме Виета $x, y$ — корни $t^2 + 4t + 1 = 0$.<br>
Дискриминант: $D = 16 - 4 = 12$, корни $t = \\dfrac{-4 \\pm 2\\sqrt{3}}{2} = -2 \\pm \\sqrt{3}$.<br>
Получаем $(x; y) = (-2 + \\sqrt{3};\\, -2 - \\sqrt{3})$ или $(-2 - \\sqrt{3};\\, -2 + \\sqrt{3})$.
<div class="sol-ans">Ответ: $(3;\\,4),\\ (4;\\,3),\\ (-2+\\sqrt{3};\\,-2-\\sqrt{3}),\\ (-2-\\sqrt{3};\\,-2+\\sqrt{3})$</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v59.js
+163
View File
@@ -0,0 +1,163 @@
VARIANTS[59] = {
label: "Вариант 59",
tasks: [
{
text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = (x-2)^2$:`,
figure: `<img src="/img/exam9/v59_t1.png" class="task-fig" />`,
sol: `<b>Анализ функции $y=(x-2)^2$:</b><br>
Это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ вправо на $2$ единицы.<br>
<ul>
<li>Вершина параболы: $(2;\\,0)$</li>
<li>Ветви направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1>0$)</li>
<li>Ось симметрии: $x=2$</li>
<li>Пересечение с осью $Oy$: $y(0)=(0-2)^2=4$, точка $(0;\\,4)$</li>
<li>Касается оси $Ox$ в точке $(2;\\,0)$ (двойной корень)</li>
<li>$y \\geq 0$ при всех $x$</li>
</ul>
Нужно выбрать рисунок, на котором парабола имеет вершину в $(2;\\,0)$ и проходит через $(0;\\,4)$.
<div class="sol-ans">Ответ: парабола с вершиной $(2;\\,0)$, ветви вверх.</div>`
},
{
text: `Результат деления многочлена $8m^2 - 16m^3$ на одночлен $2m$ имеет вид:`,
opts: [
["а", "$16m^3 - 32m^4$"], ["б", "$4m^2 - 8m^3$"], ["в", "$4m - 8m^3$"],
["г", "$4m - 8m^2$"], ["д", "$-4m^2$"],
],
sol: `Делим каждый член многочлена на одночлен $2m$:<br>
$\\dfrac{8m^2-16m^3}{2m} = \\dfrac{8m^2}{2m} - \\dfrac{16m^3}{2m} = 4m - 8m^2.$
<div class="sol-ans">Ответ: г) $4m - 8m^2$.</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "диагонали квадрата равны;"],
["б", "периметр прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равен $P = 2(a+b)$;"],
["в", "вписанный угол в $2$ раза меньше соответствующего центрального угла;"],
["г", "$\\sin 45^{\\circ} = 1$?"],
],
sol: `Проверим утверждения:<br>
<ul>
<li>а) Диагонали квадрата равны — <b>верно</b>.</li>
<li>б) $P=2(a+b)$ — <b>верно</b>.</li>
<li>в) Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу — <b>верно</b>.</li>
<li>г) $\\sin 45^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} \\approx 0{,}707 \\neq 1$ — <b>НЕ верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г).</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$15^0 + \\sqrt{16} - \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{-1} - \\sqrt{\\dfrac{1}{9}}$.`,
sol: `Вычислим каждое слагаемое:<br>
$15^0 = 1;\\quad \\sqrt{16}=4;\\quad \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{-1}=3;\\quad \\sqrt{\\dfrac{1}{9}}=\\dfrac{1}{3}.$<br>
Подставим:<br>
$1 + 4 - 3 - \\dfrac{1}{3} = 2 - \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{6-1}{3} = \\dfrac{5}{3}.$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{5}{3} \\approx 1{,}667$.</div>`
},
{
text: `Найдите сумму целых решений неравенства $-3 < -2x + 5 \\leq 9$.`,
sol: `<b>Правило:</b> при делении (или умножении) неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.<br>
<b>Шаг 1. Выписываем неравенство.</b>
$$-3 \\lt -2x + 5 \\leq 9.$$
<b>Шаг 2. Вычитаем $5$ из всех частей.</b>
$$-3 - 5 \\lt -2x \\leq 9 - 5,$$
$$-8 \\lt -2x \\leq 4.$$
<b>Шаг 3. Делим все части на $-2$.</b><br>
Делим на отрицательное число, поэтому оба знака меняются:
$$\\dfrac{-8}{-2} \\gt x \\geq \\dfrac{4}{-2},$$
$$4 \\gt x \\geq -2 \\iff -2 \\leq x \\lt 4.$$
<b>Шаг 4. Выписываем целые решения.</b>
$$-2,\\; -1,\\; 0,\\; 1,\\; 2,\\; 3.$$
<b>Шаг 5. Находим сумму.</b>
$$-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $3$.</div>`
},
{
text: `Дан правильный многоугольник со стороной, равной $4$ см.
Сумма всех его внутренних углов равна $1800^{\\circ}$.
Найдите периметр этого многоугольника.`,
sol: `<b>Формула суммы внутренних углов выпуклого $n$-угольника:</b>
$$S_{\\text{углов}} = (n - 2) \\cdot 180^{\\circ}.$$
<b>Свойство правильного многоугольника:</b> все стороны равны.<br>
<b>Шаг 1. Находим число сторон $n$.</b><br>
По условию сумма углов равна $1800^{\\circ}$, поэтому
$$(n - 2) \\cdot 180^{\\circ} = 1800^{\\circ} \\implies n - 2 = 10 \\implies n = 12.$$
<b>Шаг 2. Находим периметр.</b><br>
Так как многоугольник правильный, все стороны равны $4$ см, значит
$$P = n \\cdot a = 12 \\cdot 4 = 48\\text{ см}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $48$ см.</div>`
},
{
text: `Найдите среднее арифметическое абсцисс точек пересечения графиков функций,
заданных формулами $y = 12 - x - 2x^2$ и $y = 3x^2 - 5x + 3$.`,
sol: `<b>Теорема Виета:</b> для уравнения $ax^2+bx+c=0$ сумма корней равна $-\\dfrac{b}{a}$.<br>
<b>Шаг 1.</b> В точках пересечения значения функций равны, поэтому приравниваем правые части:
$$12 - x - 2x^2 = 3x^2 - 5x + 3.$$
<b>Шаг 2.</b> Переносим всё в одну сторону и приводим подобные:
$$3x^2 - 5x + 3 - 12 + x + 2x^2 = 0 \\implies 5x^2 - 4x - 9 = 0.$$
<b>Шаг 3.</b> Не решая уравнение, по теореме Виета находим сумму корней:
$$x_1 + x_2 = -\\dfrac{-4}{5} = \\dfrac{4}{5}.$$
<b>Шаг 4.</b> Среднее арифметическое — это полусумма:
$$\\dfrac{x_1+x_2}{2} = \\dfrac{4/5}{2} = \\dfrac{2}{5} = 0{,}4.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $0{,}4$.</div>`
},
{
text: `Смешали $30$-процентный раствор соляной кислоты с $10$-процентным
и получили $600$ г $15$-процентного раствора соляной кислоты.
Сколько граммов каждого раствора было взято?`,
sol: `Пусть $x$ г — масса $30\\%$ раствора, $y$ г — масса $10\\%$ раствора.<br>
По условию массы суммируются: $x + y = 600.$<br>
Масса чистой кислоты: $0{,}3x + 0{,}1y = 0{,}15 \\cdot 600 = 90.$<br>
Получим систему:<br>
$\\begin{cases} x+y=600,\\\\ 3x+y=900. \\end{cases}$<br>
Вычтем из второго первое: $2x = 300 \\implies x = 150$ г.<br>
Тогда $y = 600 - 150 = 450$ г.<br>
Проверка: $0{,}3\\cdot 150 + 0{,}1\\cdot 450 = 45+45 = 90$ г кислоты. Верно.
<div class="sol-ans">Ответ: $150$ г ($30\\%$) и $450$ г ($10\\%$).</div>`
},
{
text: `Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник
на два треугольника, площади которых равны $4$ см² и $16$ см².
Найдите гипотенузу.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 320 200" width="320" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="background:#fff;border:1px solid #ddd">
<polygon points="40,170 280,170 88,50" fill="#eef6ff" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<line x1="88" y1="50" x2="88" y2="170" stroke="#dc2626" stroke-width="2" stroke-dasharray="4,3"/>
<rect x="88" y="158" width="12" height="12" fill="none" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
<text x="32" y="186" font-size="14" fill="#111">A</text>
<text x="282" y="186" font-size="14" fill="#111">B</text>
<text x="80" y="44" font-size="14" fill="#111">C</text>
<text x="84" y="186" font-size="13" fill="#111">H</text>
<text x="58" y="186" font-size="12" fill="#2563eb">2</text>
<text x="178" y="186" font-size="12" fill="#2563eb">8</text>
<text x="94" y="115" font-size="12" fill="#dc2626">h=4</text>
</svg><br>
Пусть $CH=h$ — высота из прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, причём $AH=a$ (меньший отрезок), $HB=b$ (больший отрезок).<br>
Площади полученных треугольников:<br>
$S_1 = \\dfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot h = 4,\\quad S_2 = \\dfrac{1}{2}\\cdot b \\cdot h = 16.$<br>
Разделив, получим $\\dfrac{a}{b}=\\dfrac{4}{16}=\\dfrac{1}{4} \\implies b=4a.$<br>
По свойству высоты прямоугольного треугольника к гипотенузе: $h^2 = a\\cdot b = a\\cdot 4a = 4a^2 \\implies h = 2a.$<br>
Подставим в $S_1$: $\\dfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot 2a = a^2 = 4 \\implies a = 2$ см.<br>
Тогда $b = 4\\cdot 2 = 8$ см, $h = 4$ см.<br>
Гипотенуза: $AB = a + b = 2 + 8 = 10$ см.
<div class="sol-ans">Ответ: $10$ см.</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\sqrt{x + 2\\sqrt{x-1}} + \\sqrt{x - 2\\sqrt{x-1}}$ при $1 \\leq x \\leq 2$.`,
sol: `<b>Метод выделения полного квадрата</b> и формула $\\sqrt{a^2}=|a|$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Представим $x$ удобным образом: $x = (x-1) + 1$. Тогда первое подкоренное:
$$x + 2\\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\\sqrt{x-1} + 1 = \\left(\\sqrt{x-1}+1\\right)^2$$
по формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ (здесь $a=\\sqrt{x-1}$, $b=1$).<br>
<b>Шаг 2.</b> Аналогично для второго:
$$x - 2\\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\\sqrt{x-1} + 1 = \\left(\\sqrt{x-1}-1\\right)^2.$$
<b>Шаг 3.</b> Извлекаем корни, помня что $\\sqrt{a^2}=|a|$:
$$\\sqrt{x+2\\sqrt{x-1}} = \\left|\\sqrt{x-1}+1\\right| = \\sqrt{x-1}+1,$$
так как $\\sqrt{x-1}+1 \\geq 0$ (модуль не нужен).<br>
$$\\sqrt{x-2\\sqrt{x-1}} = \\left|\\sqrt{x-1}-1\\right|.$$
<b>Шаг 4.</b> Раскрываем второй модуль. По условию $1 \\leq x \\leq 2$, значит $\\sqrt{x-1} \\in [0;\\,1]$, поэтому $\\sqrt{x-1}-1 \\leq 0$, и
$$\\left|\\sqrt{x-1}-1\\right| = 1-\\sqrt{x-1}.$$
<b>Шаг 5.</b> Складываем:
$$\\left(\\sqrt{x-1}+1\\right) + \\left(1-\\sqrt{x-1}\\right) = 2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $2$.</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v60.js
+138
View File
@@ -0,0 +1,138 @@
VARIANTS[60] = {
label: "Вариант 60",
tasks: [
{
text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = x^2 - 2$:`,
figure: `<img src="/img/exam9/v60_t1.jpg" class="task-fig" />`,
sol: `Парабола $y=x^2-2$: вершина $(0;-2)$, ветви вверх. <div class="sol-ans">Ответ: парабола с вершиной $(0;-2)$, ветви вверх.</div>`
},
{
text: `Результат деления многочлена $10a^3 - 15a^2$ на одночлен $5a$ имеет вид:`,
opts: [
["а", "$50a^4 - 75a^3$"], ["б", "$-a^2$"], ["в", "$2a^2 - 3a$"],
["г", "$2a^2 - 3$"], ["д", "$2a^3 - 3a^2$"],
],
sol: `$\\dfrac{10a^3-15a^2}{5a}=2a^2-3a$. <div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$2a^2-3a$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "диагонали квадрата перпендикулярны;"],
["б", "периметр параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ равен $P = 2a + 2b$;"],
["в", "$\\cos 45^{\\circ} = 1$;"],
["г", "центральный угол окружности в $2$ раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу?"],
],
sol: `а) верно; б) $P=2a+2b$ — верно; в) $\\cos45^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\neq1$ — <b>НЕВЕРНО</b>; г) верно. <div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$12^0 + \\sqrt{36} - \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-1} - \\sqrt{\\dfrac{1}{16}}$.`,
sol: `$1+6-2-\\tfrac{1}{4}=5-\\tfrac{1}{4}=\\dfrac{19}{4}$. <div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{19}{4}$</div>`
},
{
text: `Найдите сумму целых решений неравенства $-7 < -3x + 2 \\leq 5$.`,
sol: `<b>Правило:</b> при делении неравенства на отрицательное число знаки меняются на противоположные.<br>
<b>Шаг 1.</b> Выписываем неравенство:
$$-7 \\lt -3x + 2 \\leq 5.$$
<b>Шаг 2.</b> Вычитаем $2$ из всех частей:
$$-9 \\lt -3x \\leq 3.$$
<b>Шаг 3.</b> Делим на $-3$ (знаки меняются):
$$3 \\gt x \\geq -1 \\iff -1 \\leq x \\lt 3.$$
<b>Шаг 4.</b> Целые решения: $-1,\\; 0,\\; 1,\\; 2$.<br>
<b>Шаг 5.</b> Сумма: $-1 + 0 + 1 + 2 = 2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $2$</div>`
},
{
text: `Дан правильный многоугольник с периметром, равным $140$ см.
Сумма всех его внутренних углов равна $900^{\\circ}$.
Найдите длину стороны этого многоугольника.`,
sol: `<b>Формула суммы внутренних углов выпуклого $n$-угольника:</b>
$$S_{\\text{углов}} = (n - 2) \\cdot 180^{\\circ}.$$
<b>Свойство правильного многоугольника:</b> все стороны равны, значит $P = n \\cdot a$.<br>
<b>Шаг 1. Находим число сторон $n$.</b><br>
По условию сумма углов равна $900^{\\circ}$:
$$(n - 2) \\cdot 180^{\\circ} = 900^{\\circ} \\implies n - 2 = 5 \\implies n = 7.$$
<b>Шаг 2. Находим длину стороны.</b><br>
Периметр $P = n \\cdot a$, откуда
$$a = \\dfrac{P}{n} = \\dfrac{140}{7} = 20\\text{ см}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $20$ см</div>`
},
{
text: `Найдите среднее арифметическое абсцисс точек пересечения графиков функций,
заданных формулами $y = 4x^2 + x$ и $y = 2 - 4x - 3x^2$.`,
sol: `<b>Теорема Виета:</b> для уравнения $ax^2+bx+c=0$ сумма корней равна $-\\dfrac{b}{a}$.<br>
<b>Шаг 1.</b> В точках пересечения ординаты совпадают, поэтому приравниваем правые части:
$$4x^2 + x = 2 - 4x - 3x^2.$$
<b>Шаг 2.</b> Переносим всё в одну сторону и приводим подобные:
$$4x^2 + x - 2 + 4x + 3x^2 = 0 \\implies 7x^2 + 5x - 2 = 0.$$
<b>Шаг 3.</b> По теореме Виета сумма корней:
$$x_1 + x_2 = -\\dfrac{5}{7}.$$
<b>Шаг 4.</b> Среднее арифметическое — это полусумма:
$$\\dfrac{x_1+x_2}{2} = -\\dfrac{5}{14}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{5}{14}$</div>`
},
{
text: `Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля $5\\%$ и $20\\%$.
Сколько тонн металла каждого сорта надо взять, чтобы получить $150$ т стали
с содержанием никеля $10\\%$?`,
sol: `<b>Метод составления системы уравнений</b> по двум условиям: масса смеси = сумма масс компонентов; масса чистого вещества — тоже сумма по компонентам.<br>
<b>Шаг 1.</b> Вводим переменные. Пусть $x$ т — масса лома с содержанием никеля $5\\%$, $y$ т — масса лома с содержанием $20\\%$.<br>
<b>Шаг 2.</b> Составляем первое уравнение (общая масса смеси равна $150$ т):
$$x + y = 150.$$
<b>Шаг 3.</b> Составляем второе уравнение по массе чистого никеля. В первом ломе никеля $0{,}05x$ т, во втором — $0{,}20y$ т. В готовой смеси никеля $10\\%$ от $150$ т, то есть $15$ т:
$$0{,}05x + 0{,}20y = 15.$$
<b>Шаг 4.</b> Решаем систему. Умножим второе уравнение на $20$, чтобы избавиться от десятичных:
$$x + 4y = 300.$$
Вычтем из этого уравнения первое:
$$3y = 150 \\implies y = 50\\text{ т}.$$
<b>Шаг 5.</b> Находим $x$:
$$x = 150 - 50 = 100\\text{ т}.$$
<b>Шаг 6.</b> Проверка: масса никеля $0{,}05\\cdot 100 + 0{,}20\\cdot 50 = 5 + 10 = 15$ т — совпадает с условием.
<div class="sol-ans">Ответ: $100$ т ($5\\%$) и $50$ т ($20\\%$).</div>`
},
{
text: `Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник
на два треугольника, площади которых равны $6$ см² и $54$ см².
Найдите гипотенузу.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 320 200" width="320" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="background:#fff;border:1px solid #ddd">
<polygon points="40,170 280,170 64,98" fill="#eef6ff" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
<line x1="64" y1="98" x2="64" y2="170" stroke="#dc2626" stroke-width="2" stroke-dasharray="4,3"/>
<rect x="64" y="158" width="12" height="12" fill="none" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
<text x="32" y="186" font-size="14" fill="#111">A</text>
<text x="282" y="186" font-size="14" fill="#111">B</text>
<text x="56" y="92" font-size="14" fill="#111">C</text>
<text x="60" y="186" font-size="13" fill="#111">H</text>
<text x="46" y="186" font-size="12" fill="#2563eb">2</text>
<text x="166" y="186" font-size="12" fill="#2563eb">18</text>
<text x="70" y="138" font-size="12" fill="#dc2626">h=6</text>
</svg><br>
Пусть $CH = h$ — высота из прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, $AH = a$, $HB = b$.<br>
Площади треугольников:
$$S_1 = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h = 6, \\quad S_2 = \\dfrac{1}{2}\\cdot b\\cdot h = 54.$$
Делим $S_2$ на $S_1$: $\\dfrac{b}{a} = \\dfrac{54}{6} = 9 \\implies b = 9a.$<br>
По свойству высоты прямоугольного треугольника: $h^2 = a\\cdot b = 9a^2 \\implies h = 3a.$<br>
Подставим в $S_1$: $\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot 3a = \\dfrac{3a^2}{2} = 6 \\implies a^2 = 4 \\implies a = 2$ см.<br>
Тогда $b = 9\\cdot 2 = 18$ см.<br>
Гипотенуза: $AB = a + b = 2 + 18 = 20$ см.
<div class="sol-ans">Ответ: $20$ см.</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\sqrt{x + 6\\sqrt{x-9}} + \\sqrt{x - 6\\sqrt{x-9}}$ при $x > 18$.`,
sol: `<b>Метод выделения полного квадрата</b> и формула $\\sqrt{a^2}=|a|$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Представляем $x$ удобным образом: $x = (x-9) + 9$. Тогда первое подкоренное выражение раскладывается по формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ (здесь $a=\\sqrt{x-9}$, $b=3$):
$$x + 6\\sqrt{x-9} = (x-9) + 2\\cdot\\sqrt{x-9}\\cdot 3 + 9 = \\left(\\sqrt{x-9}+3\\right)^2.$$
<b>Шаг 2.</b> Аналогично для второго подкоренного (квадрат разности):
$$x - 6\\sqrt{x-9} = \\left(\\sqrt{x-9}-3\\right)^2.$$
<b>Шаг 3.</b> Извлекаем корни по правилу $\\sqrt{a^2}=|a|$:
$$\\sqrt{x+6\\sqrt{x-9}} = \\left|\\sqrt{x-9}+3\\right| = \\sqrt{x-9}+3,$$
так как $\\sqrt{x-9}+3 \\gt 0$ (модуль не нужен).<br>
$$\\sqrt{x-6\\sqrt{x-9}} = \\left|\\sqrt{x-9}-3\\right|.$$
<b>Шаг 4.</b> Раскрываем второй модуль. По условию $x \\gt 18$, значит $x-9 \\gt 9$ и $\\sqrt{x-9} \\gt 3$, поэтому $\\sqrt{x-9}-3 \\gt 0$ и
$$\\left|\\sqrt{x-9}-3\\right| = \\sqrt{x-9}-3.$$
<b>Шаг 5.</b> Складываем результаты:
$$\\left(\\sqrt{x-9}+3\\right) + \\left(\\sqrt{x-9}-3\\right) = 2\\sqrt{x-9}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $2\\sqrt{x-9}$.</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v61.js
+184
View File
@@ -0,0 +1,184 @@
VARIANTS[61] = {
label: "Вариант 61",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных уравнений является приведённым:`,
opts: [
["а", "$4x^2 + x = 0$"], ["б", "$2 - 4x - 3x^2 = 0$"], ["в", "$x^2 - 3x + 2 = 0$"],
["г", "$3x + 2 = 0$"], ["д", "$-x^2 - 3x + 4 = 0$"],
],
sol: `<b>Приведённое квадратное уравнение</b> — это уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, у которого коэффициент при $x^2$ равен $1$.<br>
Проверим варианты:
<ul>
<li>а) $4x^2 + x = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $4$;</li>
<li>б) $2 - 4x - 3x^2 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-3$;</li>
<li>в) $x^2 - 3x + 2 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $1$ — <b>приведённое</b>;</li>
<li>г) $3x + 2 = 0$ — линейное, не квадратное;</li>
<li>д) $-x^2 - 3x + 4 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-1$.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в) $x^2 - 3x + 2 = 0$.</div>`
},
{
text: `Какое из данных выражений равно выражению $\\dfrac{\\sqrt{16}}{2}$:`,
opts: [
["а", "$\\sqrt{8}$"], ["б", "$8$"], ["в", "$\\sqrt{2}$"], ["г", "$2$"], ["д", "$4$"],
],
sol: `Вычислим: $\\sqrt{16} = 4$, тогда
$$\\dfrac{\\sqrt{16}}{2} = \\dfrac{4}{2} = 2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: г) $2$.</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "острый угол больше $0^{\\circ}$ и меньше $90^{\\circ}$;"],
["б", "если $\\alpha$ — острый угол, то $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$;"],
["в", "центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы;"],
["г", "в любом параллелограмме все углы равны между собой?"],
],
sol: `Разберём утверждения:
<ul>
<li>а) определение острого угла — <b>верно</b>;</li>
<li>б) основное тригонометрическое тождество — <b>верно</b>;</li>
<li>в) свойство описанной около прямоугольного треугольника окружности — <b>верно</b>;</li>
<li>г) в произвольном параллелограмме противолежащие углы равны, но соседние углы в общем случае различны (равенство всех углов выполняется только в прямоугольнике) — <b>не верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г).</div>`
},
{
text: `Найдите наименьшее целое решение неравенства $\\dfrac{5}{x-1} \\geq 0$.`,
sol: `Числитель $5 > 0$, поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя.<br>
Дробь определена при $x \\ne 1$. Условие $\\dfrac{5}{x-1} \\geq 0$ выполняется, когда
$$x - 1 > 0 \\;\\Longleftrightarrow\\; x > 1.$$
Целые числа, удовлетворяющие неравенству $x > 1$: $2,\\;3,\\;4,\\;\\ldots$<br>
Наименьшее из них — $2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $2$.</div>`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{4x^2 - 9y^2}{2x - 3y}$ и найдите её значение, если $x = 0{,}5$, $y = \\dfrac{2}{3}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.<br>
<b>Шаг 1. Раскладываем числитель.</b><br>
Заметим, что $4x^2 = (2x)^2$ и $9y^2 = (3y)^2$, значит числитель — разность квадратов:
$$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y).$$
<b>Шаг 2. Сокращаем дробь.</b><br>
В числителе и знаменателе есть общий множитель $(2x - 3y)$:
$$\\dfrac{(2x - 3y)(2x + 3y)}{2x - 3y} = 2x + 3y, \\quad 2x \\neq 3y.$$
<b>Шаг 3. Подставляем значения $x = 0{,}5$, $y = \\dfrac{2}{3}$.</b>
$$2 \\cdot 0{,}5 + 3 \\cdot \\dfrac{2}{3} = 1 + 2 = 3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $2x + 3y$; значение равно $3$.</div>`
},
{
text: `В параллелограмме $ABCD$ углы $BAC$ и $DAC$ равны $45^{\\circ}$ и $30^{\\circ}$ соответственно, $AB = 6$ см. Найдите длину стороны $BC$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 320 200" width="320" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto">
<defs>
<marker id="v61t6arr" markerWidth="6" markerHeight="6" refX="5" refY="3" orient="auto">
<path d="M0,0 L6,3 L0,6 z" fill="#333"/>
</marker>
</defs>
<polygon points="40,160 110,40 290,40 220,160" fill="none" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
<line x1="40" y1="160" x2="290" y2="40" stroke="#1f6feb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
<text x="28" y="174" font-size="14">A</text>
<text x="100" y="34" font-size="14">B</text>
<text x="290" y="34" font-size="14">C</text>
<text x="222" y="174" font-size="14">D</text>
<text x="78" y="138" font-size="12" fill="#b00">45°</text>
<text x="80" y="158" font-size="12" fill="#b00">30°</text>
<text x="60" y="100" font-size="12">6</text>
</svg>
<b>Теорема синусов:</b> в треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B} = \\dfrac{c}{\\sin C}.$$
<b>Свойство параллельных прямых:</b> при пересечении секущей накрест лежащие углы равны.<br>
<b>Шаг 1. Находим $\\angle BCA$.</b><br>
В параллелограмме $BC \\parallel AD$, а $AC$ — секущая. Углы $\\angle BCA$ и $\\angle DAC$ накрест лежащие, значит
$$\\angle BCA = \\angle DAC = 30^{\\circ}.$$
<b>Шаг 2. Записываем известное в $\\triangle ABC$.</b><br>
$\\angle BAC = 45^{\\circ}$, $\\angle BCA = 30^{\\circ}$, $AB = 6$ — сторона, противолежащая углу $\\angle BCA$.<br>
Сторона $BC$ противолежит углу $\\angle BAC$.<br>
<b>Шаг 3. Применяем теорему синусов.</b>
$$\\dfrac{AB}{\\sin\\angle BCA} = \\dfrac{BC}{\\sin\\angle BAC},$$
$$\\dfrac{6}{\\sin 30^{\\circ}} = \\dfrac{BC}{\\sin 45^{\\circ}}.$$
<b>Шаг 4. Подставляем табличные значения $\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$ и $\\sin 45^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$.</b>
$$BC = \\dfrac{6 \\sin 45^{\\circ}}{\\sin 30^{\\circ}} = \\dfrac{6 \\cdot \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}}{\\tfrac{1}{2}} = 6\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $BC = 6\\sqrt{2}$ см.</div>`
},
{
text: `График функции $f(x) = kx + b$ изображён на рисунке.
Используя график функции, найдите $k$ и $b$.
Запишите формулу функции $y = f(x)$.`,
figure: `<img src="/img/exam9/v61_t7.png" class="task-fig" />`,
sol: `<b>Метод (по графику):</b>
<ul>
<li>Свободный коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$ (значение $y$ при $x = 0$).</li>
<li>Угловой коэффициент $k$ находится по двум точкам $(x_1;\\,y_1)$ и $(x_2;\\,y_2)$ графика по формуле
$$k = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$</li>
<li>После нахождения $k$ и $b$ записываем формулу $y = kx + b$.</li>
</ul>
Например, если на графике видно, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\\,b)$ и проходит через точку $(x_1;\\,y_1)$, то
$$k = \\dfrac{y_1 - b}{x_1 - 0},\\qquad f(x) = kx + b.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ определяются по графику указанным способом.</div>`
},
{
text: `В геометрической прогрессии произведение третьего и десятого членов равно $120$.
Чему равно произведение одиннадцатого и второго членов этой прогрессии?`,
sol: `<b>Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:</b>
$$b_n = b_1 \\cdot q^{n-1},$$
где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.<br>
<b>Шаг 1. Записываем произведение двух членов с номерами $p$ и $q$.</b>
$$b_p \\cdot b_q = b_1 q^{p-1} \\cdot b_1 q^{q-1} = b_1^2 \\cdot q^{p+q-2}.$$
<b>Шаг 2. Делаем вывод о произведении.</b><br>
Произведение зависит только от суммы номеров $p + q$. Значит, если $p + q = r + s$, то
$$b_p \\cdot b_q = b_r \\cdot b_s.$$
<b>Шаг 3. Сравниваем суммы номеров.</b><br>
Для пары $(3, 10)$: сумма $3 + 10 = 13$.<br>
Для пары $(2, 11)$: сумма $2 + 11 = 13$.<br>
Суммы равны, значит и произведения равны:
$$b_2 \\cdot b_{11} = b_3 \\cdot b_{10} = 120.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $120$.</div>`
},
{
text: `На изготовление комплекта деталей для холодильной установки бригада затратила $\\dfrac{2}{5}$ часа
и выпустила за $8$-часовую смену $640$ деталей. Сколько деталей выпустит бригада за смену,
если время на изготовление комплекта деталей будет равно $\\dfrac{4}{15}$ часа?`,
sol: `<b>Метод решения задачи по действиям:</b> постепенно находим число комплектов, число деталей в одном комплекте, а затем общее количество деталей.<br>
<b>Шаг 1.</b> Находим, сколько комплектов бригада выпускала за смену в первом случае. Делим всё время смены на время одного комплекта (по правилу деления на дробь — умножаем на обратную):
$$8 : \\dfrac{2}{5} = 8 \\cdot \\dfrac{5}{2} = 20\\text{ комплектов}.$$
<b>Шаг 2.</b> Находим, сколько деталей в одном комплекте. По условию за смену выпущено $640$ деталей, всего $20$ комплектов:
$$640 : 20 = 32\\text{ детали в комплекте}.$$
<b>Шаг 3.</b> Находим, сколько комплектов будет выпущено за смену при новой норме времени $\\dfrac{4}{15}$ часа:
$$8 : \\dfrac{4}{15} = 8 \\cdot \\dfrac{15}{4} = 30\\text{ комплектов}.$$
<b>Шаг 4.</b> Так как в каждом комплекте по $32$ детали, общее количество деталей:
$$30 \\cdot 32 = 960\\text{ деталей}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $960$ деталей.</div>`
},
{
text: `В угол $A$ вписана окружность с радиусом $6$ см и центром в точке $O_1$.
Расстояние от центра этой окружности до вершины угла равно $30$ см.
Найдите радиус меньшей окружности с центром в точке $O_2$,
которая касается сторон данного угла и данной окружности.`,
figure: `<img src="/img/exam9/v61_t10.png" class="task-fig" />`,
sol: `<svg viewBox="0 0 360 220" width="360" height="220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto">
<line x1="20" y1="110" x2="350" y2="35" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
<line x1="20" y1="110" x2="350" y2="185" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
<line x1="20" y1="110" x2="350" y2="110" stroke="#888" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
<circle cx="220" cy="110" r="40" fill="none" stroke="#b00" stroke-width="2"/>
<circle cx="220" cy="110" r="2" fill="#b00"/>
<text x="226" y="106" font-size="13" fill="#b00">O₁</text>
<text x="240" y="130" font-size="12" fill="#b00">R = 6</text>
<circle cx="120" cy="110" r="22" fill="none" stroke="#0a0" stroke-width="2"/>
<circle cx="120" cy="110" r="2" fill="#0a0"/>
<text x="124" y="106" font-size="13" fill="#0a0">O₂</text>
<text x="104" y="142" font-size="12" fill="#0a0">r</text>
<text x="8" y="115" font-size="14">A</text>
</svg>
Центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла $A$. Пусть $\\angle A = 2\\alpha$.<br>
Из прямоугольного треугольника, образованного вершиной $A$, центром $O_1$ и точкой касания окружности со стороной угла:
$$\\sin\\alpha = \\dfrac{R}{AO_1} = \\dfrac{6}{30} = \\dfrac{1}{5}.$$
Аналогично для меньшей окружности радиуса $r$ с центром $O_2$:
$$\\sin\\alpha = \\dfrac{r}{AO_2} \\;\\Longrightarrow\\; AO_2 = \\dfrac{r}{\\sin\\alpha} = 5r.$$
Окружности касаются внешним образом, $O_2$ лежит между $A$ и $O_1$, поэтому
$$O_1 O_2 = R + r,\\qquad O_1 O_2 = AO_1 - AO_2 = 30 - 5r.$$
Получаем уравнение:
$$30 - 5r = 6 + r \\;\\Longrightarrow\\; 6r = 24 \\;\\Longrightarrow\\; r = 4\\;\\text{см}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $r = 4$ см.</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v62.js
+176
View File
@@ -0,0 +1,176 @@
VARIANTS[62] = {
label: "Вариант 62",
tasks: [
{ // V62_MARKER
text: `Определите, какое из данных уравнений является приведённым:`,
opts: [
["а", "$2x^2 + x = 0$"], ["б", "$3 - 4x - 2x^2 = 0$"], ["в", "$x^2 - 4x - 12 = 0$"],
["г", "$3x - 7 = 0$"], ["д", "$-x^2 - 5x + 6 = 0$"],
],
sol: `<b>Приведённое квадратное уравнение</b> — это уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, у которого коэффициент при $x^2$ равен $1$.<br>
Проверим варианты:
<ul>
<li>а) $2x^2 + x = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $2$;</li>
<li>б) $3 - 4x - 2x^2 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-2$;</li>
<li>в) $x^2 - 4x - 12 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $1$ — <b>приведённое</b>;</li>
<li>г) $3x - 7 = 0$ — линейное, не квадратное;</li>
<li>д) $-x^2 - 5x + 6 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-1$.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в) $x^2 - 4x - 12 = 0$.</div>`
},
{
text: `Какое из данных выражений равно выражению $\\dfrac{\\sqrt{36}}{2}$:`,
opts: [
["а", "$\\sqrt{3}$"], ["б", "$2\\sqrt{3}$"], ["в", "$\\dfrac{\\sqrt{6}}{2}$"], ["г", "$3$"], ["д", "$3\\sqrt{2}$"],
],
sol: `Вычислим: $\\sqrt{36} = 6$, тогда
$$\\dfrac{\\sqrt{36}}{2} = \\dfrac{6}{2} = 3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: г) $3$.</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "тупой угол больше $90^{\\circ}$ и меньше $180^{\\circ}$;"],
["б", "если $\\alpha$ — острый угол, то $\\operatorname{tg}\\alpha \\cdot \\operatorname{ctg}\\alpha = 1$;"],
["в", "радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы;"],
["г", "в любом параллелограмме все стороны равны между собой?"],
],
sol: `Разберём утверждения:
<ul>
<li>а) определение тупого угла — <b>верно</b>;</li>
<li>б) $\\operatorname{tg}\\alpha \\cdot \\operatorname{ctg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\cdot\\dfrac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = 1$ — <b>верно</b>;</li>
<li>в) свойство описанной около прямоугольного треугольника окружности — <b>верно</b>;</li>
<li>г) в произвольном параллелограмме противолежащие стороны равны, но соседние стороны в общем случае различны (все стороны равны только в ромбе) — <b>не верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г).</div>`
},
{
text: `Найдите наибольшее целое решение неравенства $\\dfrac{5}{x+1} \\leq 0$.`,
sol: `Числитель $5 > 0$, поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя.<br>
Дробь определена при $x \\ne -1$. Условие $\\dfrac{5}{x+1} \\leq 0$ выполняется, когда
$$x + 1 < 0 \\;\\Longleftrightarrow\\; x < -1.$$
Целые числа, удовлетворяющие неравенству $x < -1$: $\\ldots,\\;-4,\\;-3,\\;-2$.<br>
Наибольшее из них — $-2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-2$.</div>`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{x^2 - 16y^2}{x - 4y}$ и найдите её значение, если $x = 1$, $y = \\dfrac{1}{2}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.<br>
<b>Шаг 1. Раскладываем числитель.</b><br>
Так как $16y^2 = (4y)^2$, числитель — разность квадратов:
$$x^2 - 16y^2 = x^2 - (4y)^2 = (x - 4y)(x + 4y).$$
<b>Шаг 2. Сокращаем дробь на общий множитель $(x - 4y)$.</b>
$$\\dfrac{(x - 4y)(x + 4y)}{x - 4y} = x + 4y, \\quad x \\neq 4y.$$
<b>Шаг 3. Подставляем $x = 1$, $y = \\dfrac{1}{2}$.</b>
$$1 + 4 \\cdot \\dfrac{1}{2} = 1 + 2 = 3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x + 4y$; значение равно $3$.</div>`
},
{
text: `В параллелограмме $ABCD$ углы $BAC$ и $DAC$ равны $30^{\\circ}$ и $45^{\\circ}$ соответственно, $AD = 8$ см. Найдите длину стороны $AB$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 320 200" width="320" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto">
<polygon points="40,160 110,40 290,40 220,160" fill="none" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
<line x1="40" y1="160" x2="290" y2="40" stroke="#1f6feb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
<text x="28" y="174" font-size="14">A</text>
<text x="100" y="34" font-size="14">B</text>
<text x="290" y="34" font-size="14">C</text>
<text x="222" y="174" font-size="14">D</text>
<text x="78" y="138" font-size="12" fill="#b00">30&#xB0;</text>
<text x="80" y="158" font-size="12" fill="#b00">45&#xB0;</text>
<text x="220" y="100" font-size="12">8</text>
</svg>
<b>Теорема синусов:</b> стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.<br>
<b>Свойство параллелограмма:</b> противоположные стороны равны и параллельны.<br>
<b>Шаг 1. Находим $\\angle BCA$.</b><br>
$BC \\parallel AD$, $AC$ — секущая. Накрест лежащие углы равны:
$$\\angle BCA = \\angle DAC = 45^{\\circ}.$$
<b>Шаг 2. Записываем известное в $\\triangle ABC$.</b><br>
$\\angle BAC = 30^{\\circ}$, $\\angle BCA = 45^{\\circ}$. Так как $BC = AD = 8$ см (противоположные стороны параллелограмма равны), сторона $BC = 8$ напротив угла $\\angle BAC$.<br>
Искомая сторона $AB$ — напротив $\\angle BCA$.<br>
<b>Шаг 3. По теореме синусов.</b>
$$\\dfrac{AB}{\\sin\\angle BCA} = \\dfrac{BC}{\\sin\\angle BAC},$$
$$\\dfrac{AB}{\\sin 45^{\\circ}} = \\dfrac{8}{\\sin 30^{\\circ}}.$$
<b>Шаг 4. Подставляем $\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$, $\\sin 45^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$.</b>
$$AB = \\dfrac{8 \\sin 45^{\\circ}}{\\sin 30^{\\circ}} = \\dfrac{8 \\cdot \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}}{\\tfrac{1}{2}} = 8\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $AB = 8\\sqrt{2}$ см.</div>`
},
{
text: `График функции $f(x) = kx + b$ изображён на рисунке.
Используя график функции, найдите $k$ и $b$.
Запишите формулу функции $y = f(x)$.`,
figure: `<img src="/img/exam9/v62_t7.png" class="task-fig" />`,
sol: `<b>Метод (по графику):</b>
<ul>
<li>Свободный коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$ (значение $y$ при $x = 0$).</li>
<li>Угловой коэффициент $k$ находится по двум точкам $(x_1;\\,y_1)$ и $(x_2;\\,y_2)$ графика по формуле
$$k = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$</li>
<li>После нахождения $k$ и $b$ записываем формулу $y = kx + b$.</li>
</ul>
Например, если на графике видно, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\\,b)$ и проходит через точку $(x_1;\\,y_1)$, то
$$k = \\dfrac{y_1 - b}{x_1 - 0},\\qquad f(x) = kx + b.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ определяются по графику указанным способом.</div>`
},
{
text: `В геометрической прогрессии произведение четвёртого и двенадцатого членов равно $200$.
Чему равно произведение второго и четырнадцатого членов этой прогрессии?`,
sol: `<b>Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:</b>
$$b_n = b_1 \\cdot q^{n-1}.$$
<b>Шаг 1. Записываем произведение двух членов.</b>
$$b_p \\cdot b_q = b_1 q^{p-1} \\cdot b_1 q^{q-1} = b_1^2 \\cdot q^{p+q-2}.$$
<b>Шаг 2. Свойство.</b><br>
Произведение зависит только от суммы номеров. Значит, если $p + q = r + s$, то
$$b_p \\cdot b_q = b_r \\cdot b_s.$$
<b>Шаг 3. Сравниваем суммы.</b><br>
Для $(4, 12)$: $4 + 12 = 16$.<br>
Для $(2, 14)$: $2 + 14 = 16$.<br>
Суммы совпадают, поэтому
$$b_2 \\cdot b_{14} = b_4 \\cdot b_{12} = 200.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $200$.</div>`
},
{
text: `На изготовление комплекта деталей для автопогрузчика бригада затратила $\\dfrac{1}{4}$ часа
и выпустила за $8$-часовую смену $480$ деталей. Сколько деталей выпустит бригада за смену,
если время на изготовление комплекта деталей будет равно $\\dfrac{4}{17}$ часа?`,
sol: `<b>Метод решения задачи по действиям:</b> находим число комплектов за смену, число деталей в одном комплекте, а затем общее количество деталей при новой норме.<br>
<b>Шаг 1.</b> Находим, сколько комплектов выпускалось за смену в первом случае. Делим время смены на время одного комплекта (по правилу деления на дробь — умножаем на обратную):
$$8 : \\dfrac{1}{4} = 8 \\cdot 4 = 32\\text{ комплекта}.$$
<b>Шаг 2.</b> Находим, сколько деталей в одном комплекте. По условию за смену выпущено $480$ деталей, всего $32$ комплекта:
$$480 : 32 = 15\\text{ деталей в комплекте}.$$
<b>Шаг 3.</b> Находим, сколько комплектов будет выпущено за смену при новой норме $\\dfrac{4}{17}$ часа:
$$8 : \\dfrac{4}{17} = 8 \\cdot \\dfrac{17}{4} = 34\\text{ комплекта}.$$
<b>Шаг 4.</b> Так как в каждом комплекте по $15$ деталей, общее количество деталей за смену:
$$34 \\cdot 15 = 510\\text{ деталей}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $510$ деталей.</div>`
},
{
text: `В угол $A$ вписана окружность с радиусом $8$ см и центром в точке $O_1$.
Расстояние от центра этой окружности до вершины угла равно $40$ см.
Найдите радиус большей окружности с центром в точке $O_2$,
которая касается сторон данного угла и данной окружности.`,
figure: `<img src="/img/exam9/v62_t10.png" class="task-fig" />`,
sol: `<svg viewBox="0 0 420 220" width="420" height="220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto">
<line x1="20" y1="110" x2="410" y2="35" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
<line x1="20" y1="110" x2="410" y2="185" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
<line x1="20" y1="110" x2="410" y2="110" stroke="#888" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
<circle cx="190" cy="110" r="38" fill="none" stroke="#b00" stroke-width="2"/>
<circle cx="190" cy="110" r="2" fill="#b00"/>
<text x="196" y="106" font-size="13" fill="#b00">O&#x2081;</text>
<text x="200" y="128" font-size="12" fill="#b00">R=8</text>
<circle cx="340" cy="110" r="57" fill="none" stroke="#0a0" stroke-width="2"/>
<circle cx="340" cy="110" r="2" fill="#0a0"/>
<text x="346" y="106" font-size="13" fill="#0a0">O&#x2082;</text>
<text x="346" y="128" font-size="12" fill="#0a0">r</text>
<text x="8" y="115" font-size="14">A</text>
</svg>
Центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла $A$. Пусть $\\angle A = 2\\alpha$.<br>
Из прямоугольного треугольника, образованного вершиной $A$, центром $O_1$ и точкой касания:
$$\\sin\\alpha = \\dfrac{R}{AO_1} = \\dfrac{8}{40} = \\dfrac{1}{5}.$$
Для большей окружности радиуса $r$ с центром $O_2$ (лежит дальше от $A$, чем $O_1$):
$$\\sin\\alpha = \\dfrac{r}{AO_2} \\;\\Longrightarrow\\; AO_2 = 5r.$$
Окружности касаются внешним образом, $O_1$ лежит между $A$ и $O_2$, поэтому
$$O_1 O_2 = AO_2 - AO_1 = 5r - 40,\\qquad O_1 O_2 = R + r = 8 + r.$$
Получаем уравнение:
$$5r - 40 = 8 + r \\;\\Longrightarrow\\; 4r = 48 \\;\\Longrightarrow\\; r = 12\\;\\text{см}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $r = 12$ см.</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v63.js
+176
View File
@@ -0,0 +1,176 @@
VARIANTS[63] = {
label: "Вариант 63",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`,
opts: [
["а", "$a^5 = 5a$"], ["б", "$a^5 = 5a^5$"], ["в", "$a^5 = 5 + a^5$"],
["г", "$a^5 = a^5$ (т.е. $a \\cdot a \\cdot a \\cdot a \\cdot a = a^5$)"], ["д", "$a^5 = 5 : a^5$"],
],
sol: `По определению степени с натуральным показателем:
$$a^5 = \\underbrace{a\\cdot a\\cdot a\\cdot a\\cdot a}_{5\\text{ раз}}.$$
Остальные равенства неверны: $5a$, $5a^5$, $5+a^5$, $5:a^5$ — это другие выражения.
<div class="sol-ans">Ответ: <b>г</b>.</div>`
},
{
text: `Частное дробей $\\dfrac{4}{5}$ и $\\dfrac{24}{25}$ равно:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{6}{5}$"], ["б", "$\\dfrac{125}{96}$"], ["в", "$\\dfrac{5}{6}$"],
["г", "$1{,}2$"], ["д", "$\\dfrac{96}{125}$"],
],
sol: `Деление дробей — это умножение на обратную:
$$\\dfrac{4}{5} : \\dfrac{24}{25} = \\dfrac{4}{5}\\cdot\\dfrac{25}{24} = \\dfrac{4\\cdot 25}{5\\cdot 24} = \\dfrac{100}{120} = \\dfrac{5}{6}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: <b>в</b>.</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "если две окружности касаются внешним образом, то сумма их радиусов равна расстоянию между их центрами;"],
["б", "$\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$;"],
["в", "на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой;"],
["г", "у любого ромба все углы прямые?"],
],
sol: `Проверяем каждое утверждение:
<ul>
<li>а) верно — это свойство внешнего касания окружностей;</li>
<li>б) верно — табличное значение $\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$;</li>
<li>в) верно — признак параллельности прямых на плоскости;</li>
<li>г) <b>неверно</b> — прямые углы есть только у квадрата (частного случая ромба), а не у любого ромба.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: <b>г</b>.</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $\\left(3\\dfrac{1}{3}\\right)^{-2}$.
В ответ запишите противоположное ему число.`,
sol: `Превратим смешанное число в обыкновенную дробь: $3\\dfrac{1}{3} = \\dfrac{10}{3}$.<br>
По свойству $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^{n}}$:
$$\\left(\\dfrac{10}{3}\\right)^{-2} = \\left(\\dfrac{3}{10}\\right)^{2} = \\dfrac{9}{100} = 0{,}09.$$
Противоположное число: $-0{,}09$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-0{,}09$ (или $-\\dfrac{9}{100}$).</div>`
},
{
text: `Вершина угла $ABC$ лежит на окружности с центром в точке $O$,
а стороны пересекают окружность в точках $A$ и $C$.
Угол $ABO$ равен $40^{\\circ}$, угол $ACO$ равен $30^{\\circ}$.
Найдите величину угла $BOC$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 260 240" width="260" height="240" style="display:block;margin:6px auto;background:#fff;border:1px solid #ccc">
<circle cx="130" cy="120" r="90" fill="none" stroke="#333" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="130" cy="120" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="136" y="115" font-size="14" font-style="italic">O</text>
<!-- B at top, A at left, C at right on the circle -->
<circle cx="130" cy="30" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="124" y="22" font-size="14" font-style="italic">B</text>
<circle cx="44" cy="155" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="28" y="160" font-size="14" font-style="italic">A</text>
<circle cx="220" cy="145" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="226" y="150" font-size="14" font-style="italic">C</text>
<line x1="130" y1="30" x2="44" y2="155" stroke="#1565c0" stroke-width="1.5"/>
<line x1="130" y1="30" x2="220" y2="145" stroke="#1565c0" stroke-width="1.5"/>
<line x1="44" y1="155" x2="220" y2="145" stroke="#1565c0" stroke-width="1.5"/>
<line x1="130" y1="120" x2="130" y2="30" stroke="#888" stroke-dasharray="3 3"/>
<line x1="130" y1="120" x2="44" y2="155" stroke="#888" stroke-dasharray="3 3"/>
<line x1="130" y1="120" x2="220" y2="145" stroke="#888" stroke-dasharray="3 3"/>
</svg>
$OA=OB=OC=R$ (радиусы), значит треугольники $OAB$, $OAC$, $OBC$ равнобедренные, и углы при их основаниях равны.<br>
В $\\triangle OAB$: $\\angle OAB = \\angle OBA = 40^{\\circ}$.<br>
В $\\triangle OAC$: $\\angle OAC = \\angle OCA = 30^{\\circ}$.<br>
Тогда $\\angle BAC = \\angle OAB + \\angle OAC = 40^{\\circ} + 30^{\\circ} = 70^{\\circ}$.<br>
По сумме углов $\\triangle ABC$:
$$\\angle ABC + \\angle ACB = 180^{\\circ} - 70^{\\circ} = 110^{\\circ}.$$
Заметим, что $\\angle ABC = 40^{\\circ} + \\angle OBC$ и $\\angle ACB = 30^{\\circ} + \\angle OCB$. Подставляем:
$$40^{\\circ} + 30^{\\circ} + \\angle OBC + \\angle OCB = 110^{\\circ} \\implies \\angle OBC + \\angle OCB = 40^{\\circ}.$$
В $\\triangle OBC$ ($OB=OC$) углы при основании равны: $\\angle OBC = \\angle OCB = 20^{\\circ}$.<br>
Значит $\\angle BOC = 180^{\\circ} - 20^{\\circ} - 20^{\\circ} = 140^{\\circ}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $\\angle BOC = 140^{\\circ}$.</div>`
},
{
text: `Найдите число, $37\\%$ которого равны значению выражения $4{,}5 : 9 + 3{,}2$.`,
sol: `<b>Правило нахождения числа по его проценту:</b> если $p\\%$ числа $N$ равны $A$, то $N = \\dfrac{A}{p/100}$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Сначала найдём значение выражения. По порядку действий деление выполняется раньше сложения:
$$4{,}5 : 9 + 3{,}2 = 0{,}5 + 3{,}2 = 3{,}7.$$
<b>Шаг 2.</b> Обозначим искомое число $N$. По условию $37\\%$ от $N$ равны $3{,}7$, то есть
$$0{,}37\\,N = 3{,}7.$$
<b>Шаг 3.</b> Находим $N$, разделив обе части на $0{,}37$:
$$N = \\dfrac{3{,}7}{0{,}37} = 10.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $10$.</div>`
},
{
text: `График линейной функции проходит через точки $A(-2;\\;-4)$ и $B(0;\\;0)$.
Запишите формулу, задающую эту функцию,
и найдите значение выражения $f(-1) + f(3)$.`,
sol: `<b>Линейная функция</b> имеет вид $f(x) = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, $b$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$ (значение при $x=0$).<br>
<b>Шаг 1.</b> Так как точка $B(0;\\,0)$ принадлежит графику, то $f(0) = b = 0$. Значит формула имеет вид
$$f(x) = kx.$$
<b>Шаг 2.</b> Точка $A(-2;\\,-4)$ тоже принадлежит графику, значит $f(-2) = -4$. Подставляем:
$$-4 = k \\cdot (-2) \\implies k = 2.$$
<b>Шаг 3.</b> Записываем формулу: $f(x) = 2x$.<br>
<b>Шаг 4.</b> Находим значение выражения $f(-1) + f(3)$:
$$f(-1) + f(3) = 2 \\cdot (-1) + 2 \\cdot 3 = -2 + 6 = 4.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $f(x) = 2x$, $\\ f(-1)+f(3) = 4$.</div>`
},
{
text: `Решите систему уравнений
$$\\begin{cases} x - 2y = 1, \\\\[4pt] 3x + 4y = 23 \\end{cases}$$
и найдите разность найденных значений $x$ и $y$.`,
sol: `<b>Метод сложения:</b> уравниваем коэффициенты при одной из переменных так, чтобы при сложении уравнений эта переменная пропала.<br>
<b>Шаг 1. Уравниваем коэффициенты при $y$.</b><br>
В первом уравнении коэффициент при $y$ равен $-2$, во втором — $4$. Умножим первое уравнение на $2$, чтобы получить $-4y$:
$$\\begin{cases} 2x - 4y = 2, \\\\ 3x + 4y = 23. \\end{cases}$$
<b>Шаг 2. Складываем уравнения.</b><br>
$y$ взаимно уничтожается:
$$5x = 25 \\implies x = 5.$$
<b>Шаг 3. Находим $y$.</b><br>
Подставляем $x = 5$ в первое исходное уравнение $x - 2y = 1$:
$$5 - 2y = 1 \\implies 2y = 4 \\implies y = 2.$$
<b>Шаг 4. Находим разность.</b>
$$x - y = 5 - 2 = 3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 5,\\ y = 2,\\ x - y = 3$.</div>`
},
{
text: `Собственная скорость катера равна $24$ км/ч.
Через сколько минут катер, двигаясь навстречу плоту, встретит его,
если он находится от плота на расстоянии $12$ км?`,
sol: `Плот плывёт со скоростью течения $v_p$ (км/ч). Катер идёт ему навстречу — значит против течения, его скорость относительно берега $24 - v_p$.<br>
Скорость сближения катера и плота:
$$(24 - v_p) + v_p = 24 \\text{ км/ч}.$$
Скорость течения сокращается, поэтому ответ от неё не зависит.<br>
Время до встречи:
$$t = \\dfrac{12}{24} = 0{,}5\\text{ ч} = 30\\text{ мин}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: через $30$ минут.</div>`
},
{
text: `Известно, что в равнобедренном треугольнике $ABC$ $AB = BC = 4$.
Найдите $AC$, если медиана $AM = 3$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 260 200" width="260" height="200" style="display:block;margin:6px auto;background:#fff;border:1px solid #ccc">
<!-- Isoceles triangle: A bottom-left, C bottom-right, B top -->
<polygon points="40,170 220,170 130,30" fill="none" stroke="#1565c0" stroke-width="1.7"/>
<!-- M is midpoint of BC -->
<line x1="40" y1="170" x2="175" y2="100" stroke="#c62828" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4 3"/>
<circle cx="40" cy="170" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="22" y="180" font-size="14" font-style="italic">A</text>
<circle cx="220" cy="170" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="226" y="180" font-size="14" font-style="italic">C</text>
<circle cx="130" cy="30" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="124" y="22" font-size="14" font-style="italic">B</text>
<circle cx="175" cy="100" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="182" y="100" font-size="14" font-style="italic">M</text>
<text x="92" y="135" font-size="13" fill="#c62828">AM = 3</text>
<text x="78" y="65" font-size="13">AB = 4</text>
<text x="180" y="65" font-size="13">BC = 4</text>
</svg>
$M$ — середина $BC$, поэтому $BM = MC = \\dfrac{BC}{2} = 2$ см.<br>
<b>Идея:</b> используем теорему косинусов <em>дважды</em> с одним и тем же углом $B$ (общим для $\\triangle ABM$ и $\\triangle ABC$).
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Применим теорему косинусов к $\\triangle ABM$ (стороны $AB=4$, $BM=2$, $AM=3$):
$$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2\\cdot AB\\cdot BM\\cdot\\cos\\angle B$$
$$9 = 16 + 4 - 16\\cos\\angle B$$
$$16\\cos\\angle B = 11 \\implies \\cos\\angle B = \\dfrac{11}{16}$$
<b>Шаг 2.</b> Теперь применим теорему косинусов к $\\triangle ABC$ (тот же угол $B$, стороны $AB=BC=4$):
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\\cdot AB\\cdot BC\\cdot\\cos\\angle B$$
$$AC^2 = 16 + 16 - 2\\cdot4\\cdot4\\cdot\\dfrac{11}{16}$$
$$AC^2 = 32 - 22 = 10$$
$$AC = \\sqrt{10}\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $AC = \\sqrt{10}$ см</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v64.js
+181
View File
@@ -0,0 +1,181 @@
VARIANTS[64] = {
label: "Вариант 64",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`,
opts: [
["а", "$b^6 = 6b$"], ["б", "$b^6 = 6b^6$"], ["в", "$b^6 = 6 + b^6$"],
["г", "$b \\cdot b \\cdot b \\cdot b \\cdot b \\cdot b = b^6$"], ["д", "$b^6 = 6 \\cdot b^6$"],
],
sol: `По определению степени с натуральным показателем:
$$b^6 = \\underbrace{b\\cdot b\\cdot b\\cdot b\\cdot b\\cdot b}_{6\\text{ раз}}.$$
Остальные равенства неверны: $6b$, $6b^6$, $6+b^6$, $6\\cdot b^6$ — это другие выражения.
<div class="sol-ans">Ответ: <b>г</b>.</div>`
},
{
text: `Произведение дробей $\\dfrac{14}{15}$ и $\\dfrac{25}{49}$ равно:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{10}{11}$"], ["б", "$\\dfrac{7}{10}$"], ["в", "$\\dfrac{10}{21}$"],
["г", "$1{,}1$"], ["д", "$2{,}1$"],
],
sol: `Умножим дроби:
$$\\dfrac{14}{15} \\cdot \\dfrac{25}{49} = \\dfrac{14 \\cdot 25}{15 \\cdot 49} = \\dfrac{350}{735} = \\dfrac{10}{21}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: в) $\\dfrac{10}{21}$.</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "если две окружности касаются, то они имеют единственную общую точку;"],
["б", "$\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
["в", "на плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой;"],
["г", "у любого прямоугольника все стороны равны?"],
],
sol: `Проверяем каждое утверждение:
<ul>
<li>а) верно — определение касания окружностей (внутреннего или внешнего);</li>
<li>б) верно — табличное значение $\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;</li>
<li>в) верно — транзитивность параллельности на плоскости;</li>
<li>г) <b>неверно</b> — в прямоугольнике все углы прямые, но стороны в общем случае различны (равные стороны у квадрата, являющегося частным случаем прямоугольника).</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: <b>г</b>.</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $\\left(2\\dfrac{3}{4}\\right)^{-2}$.
В ответ запишите противоположное ему число.`,
sol: `Превратим смешанное число в обыкновенную дробь: $2\\dfrac{3}{4} = \\dfrac{11}{4}$.<br>
По свойству $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^{n}}$:
$$\\left(\\dfrac{11}{4}\\right)^{-2} = \\left(\\dfrac{4}{11}\\right)^{2} = \\dfrac{16}{121}.$$
Противоположное число: $-\\dfrac{16}{121}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{16}{121}$.</div>`
},
{
text: `Вершина угла $ABC$ лежит на окружности с центром в точке $O$,
а стороны пересекают окружность в точках $A$ и $C$.
Угол $ABO$ равен $20^{\\circ}$, угол $ACO$ равен $40^{\\circ}$.
Найдите величину угла $BOC$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 260 240" width="260" height="240" style="display:block;margin:6px auto;background:#fff;border:1px solid #ccc">
<circle cx="130" cy="120" r="90" fill="none" stroke="#333" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="130" cy="120" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="136" y="115" font-size="14" font-style="italic">O</text>
<circle cx="130" cy="30" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="124" y="22" font-size="14" font-style="italic">B</text>
<circle cx="44" cy="155" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="28" y="160" font-size="14" font-style="italic">A</text>
<circle cx="220" cy="145" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="226" y="150" font-size="14" font-style="italic">C</text>
<line x1="130" y1="30" x2="44" y2="155" stroke="#1565c0" stroke-width="1.5"/>
<line x1="130" y1="30" x2="220" y2="145" stroke="#1565c0" stroke-width="1.5"/>
<line x1="44" y1="155" x2="220" y2="145" stroke="#1565c0" stroke-width="1.5"/>
<line x1="130" y1="120" x2="130" y2="30" stroke="#888" stroke-dasharray="3 3"/>
<line x1="130" y1="120" x2="44" y2="155" stroke="#888" stroke-dasharray="3 3"/>
<line x1="130" y1="120" x2="220" y2="145" stroke="#888" stroke-dasharray="3 3"/>
</svg>
$OA=OB=OC=R$ (радиусы), значит треугольники $OAB$, $OAC$, $OBC$ равнобедренные, и углы при их основаниях равны.<br>
В $\\triangle OAB$: $\\angle OAB = \\angle OBA = 20^{\\circ}$.<br>
В $\\triangle OAC$: $\\angle OAC = \\angle OCA = 40^{\\circ}$.<br>
Тогда $\\angle BAC = \\angle OAB + \\angle OAC = 20^{\\circ} + 40^{\\circ} = 60^{\\circ}$.<br>
По сумме углов $\\triangle ABC$:
$$\\angle ABC + \\angle ACB = 180^{\\circ} - 60^{\\circ} = 120^{\\circ}.$$
Заметим, что $\\angle ABC = 20^{\\circ} + \\angle OBC$ и $\\angle ACB = 40^{\\circ} + \\angle OCB$. Подставляем:
$$20^{\\circ} + 40^{\\circ} + \\angle OBC + \\angle OCB = 120^{\\circ} \\implies \\angle OBC + \\angle OCB = 60^{\\circ}.$$
В $\\triangle OBC$ ($OB=OC$) углы при основании равны: $\\angle OBC = \\angle OCB = 30^{\\circ}$.<br>
Значит $\\angle BOC = 180^{\\circ} - 30^{\\circ} - 30^{\\circ} = 120^{\\circ}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $\\angle BOC = 120^{\\circ}$.</div>`
},
{
text: `Найдите число, $24\\%$ которого равны значению выражения $4{,}5 : 3 + 3{,}3$.`,
sol: `<b>Правило нахождения числа по его проценту:</b> если $p\\%$ числа $N$ равны $A$, то $N=\\dfrac{A}{p/100}$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Сначала находим значение выражения. По порядку действий сначала выполняется деление, потом сложение:
$$4{,}5 : 3 + 3{,}3 = 1{,}5 + 3{,}3 = 4{,}8.$$
<b>Шаг 2.</b> Обозначим искомое число $N$. По условию $24\\%$ от $N$ равны $4{,}8$:
$$0{,}24\\,N = 4{,}8.$$
<b>Шаг 3.</b> Делим обе части на $0{,}24$:
$$N = \\dfrac{4{,}8}{0{,}24} = 20.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $20$.</div>`
},
{
text: `График линейной функции проходит через точки $A(3;\\;6)$ и $B(0;\\;0)$.
Запишите формулу, задающую эту функцию,
и найдите значение выражения $f(1) + f(-2)$.`,
sol: `<b>Линейная функция</b> имеет вид $f(x) = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, $b$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$ (значение функции при $x=0$).<br>
<b>Шаг 1.</b> Так как точка $B(0;\\,0)$ принадлежит графику, то $f(0)=b=0$. Значит формула имеет вид
$$f(x) = kx.$$
<b>Шаг 2.</b> Точка $A(3;\\,6)$ тоже принадлежит графику, поэтому $f(3)=6$. Подставляем:
$$6 = k \\cdot 3 \\implies k = 2.$$
<b>Шаг 3.</b> Записываем формулу: $f(x) = 2x$.<br>
<b>Шаг 4.</b> Находим значение выражения $f(1) + f(-2)$:
$$f(1) + f(-2) = 2\\cdot 1 + 2\\cdot(-2) = 2 - 4 = -2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $f(x) = 2x$, $\\ f(1)+f(-2) = -2$.</div>`
},
{
text: `Решите систему уравнений
$$\\begin{cases} 11x - 8y = -53, \\\\[4pt] 9x + 4y = -17 \\end{cases}$$
и найдите разность найденных значений $x$ и $y$.`,
sol: `<b>Метод сложения:</b> уравниваем коэффициенты при одной из переменных так, чтобы они стали противоположными, а при сложении уравнений она исчезла.<br>
<b>Шаг 1. Уравниваем коэффициенты при $y$.</b><br>
В первом уравнении $-8y$, во втором $4y$. Умножим второе уравнение на $2$, чтобы получить $8y$:
$$\\begin{cases} 11x - 8y = -53, \\\\ 18x + 8y = -34. \\end{cases}$$
<b>Шаг 2. Складываем уравнения.</b><br>
$y$ уничтожается:
$$29x = -87 \\implies x = -3.$$
<b>Шаг 3. Находим $y$.</b><br>
Подставим $x = -3$ во второе исходное уравнение $9x + 4y = -17$:
$$9 \\cdot (-3) + 4y = -17 \\implies -27 + 4y = -17 \\implies 4y = 10 \\implies y = 2{,}5.$$
<b>Шаг 4. Находим разность.</b>
$$x - y = -3 - 2{,}5 = -5{,}5.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -3,\\ y = 2{,}5,\\ x - y = -5{,}5$.</div>`
},
{
text: `Собственная скорость катера равна $28$ км/ч.
Через сколько минут катер, двигаясь по течению, догонит плот,
если он находится от плота на расстоянии $14$ км?`,
sol: `Плот плывёт со скоростью течения $v_p$ (км/ч). Катер идёт по течению, его скорость относительно берега $28 + v_p$.<br>
Скорость сближения катера и плота:
$$(28 + v_p) - v_p = 28 \\text{ км/ч}.$$
Скорость течения сокращается, поэтому ответ от неё не зависит.<br>
Время до встречи:
$$t = \\dfrac{14}{28} = 0{,}5\\text{ ч} = 30\\text{ мин}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: через $30$ минут.</div>`
},
{
text: `Известно, что в равнобедренном треугольнике $ABC$ $AB = BC = 6$.
Найдите $AC$, если медиана $AM = 4$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 260 200" width="260" height="200" style="display:block;margin:6px auto;background:#fff;border:1px solid #ccc">
<polygon points="40,170 220,170 130,30" fill="none" stroke="#1565c0" stroke-width="1.7"/>
<line x1="40" y1="170" x2="175" y2="100" stroke="#c62828" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4 3"/>
<circle cx="40" cy="170" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="22" y="180" font-size="14" font-style="italic">A</text>
<circle cx="220" cy="170" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="226" y="180" font-size="14" font-style="italic">C</text>
<circle cx="130" cy="30" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="124" y="22" font-size="14" font-style="italic">B</text>
<circle cx="175" cy="100" r="2.5" fill="#000"/>
<text x="182" y="100" font-size="14" font-style="italic">M</text>
<text x="92" y="135" font-size="13" fill="#c62828">AM = 4</text>
<text x="78" y="65" font-size="13">AB = 6</text>
<text x="180" y="65" font-size="13">BC = 6</text>
</svg>
<b>Теорема косинусов:</b> для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $\\gamma$ между сторонами $a$ и $b$:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma.$$
<b>Определение медианы:</b> медиана $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой $M$ противоположной стороны $BC$.<br>
<b>Идея:</b> в $\\triangle ABM$ и $\\triangle ABC$ есть общий угол $B$. Найдём $\\cos\\angle B$ из первого треугольника, а затем используем его для второго.<br>
<b>Шаг 1. Находим $BM$.</b><br>
$M$ — середина $BC$, поэтому
$$BM = MC = \\dfrac{BC}{2} = \\dfrac{6}{2} = 3.$$
<b>Шаг 2. Применяем теорему косинусов к $\\triangle ABM$.</b><br>
Стороны $AB = 6$, $BM = 3$, $AM = 4$, угол между $AB$ и $BM$ — это $\\angle B$:
$$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BM \\cdot \\cos\\angle B,$$
$$16 = 36 + 9 - 2 \\cdot 6 \\cdot 3 \\cdot \\cos\\angle B,$$
$$16 = 45 - 36\\cos\\angle B.$$
Выражаем $\\cos\\angle B$:
$$36\\cos\\angle B = 29 \\implies \\cos\\angle B = \\dfrac{29}{36}.$$
<b>Шаг 3. Применяем теорему косинусов к $\\triangle ABC$.</b><br>
Стороны $AB = BC = 6$, угол между ними — тот же $\\angle B$:
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot \\cos\\angle B,$$
$$AC^2 = 36 + 36 - 2 \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot \\dfrac{29}{36} = 72 - 58 = 14.$$
<b>Шаг 4. Находим $AC$.</b>
$$AC = \\sqrt{14}\\text{ см}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $AC = \\sqrt{14}$ см.</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v65.js
+178
View File
@@ -0,0 +1,178 @@
VARIANTS[65] = {
label: "Вариант 65",
tasks: [
{
text: `Из данных равенств выберите тождество:`,
opts: [
["а", "$x + x + x = x^3$"], ["б", "$x \\cdot x \\cdot x = 3x$"], ["в", "$x + x + x = 3x$"],
["г", "$x \\cdot x \\cdot x \\cdot x = 4 + x$"], ["д", "$x + x + x = 3 + x$"],
],
sol: `Тождество — равенство, верное при <em>любых</em> значениях переменной.
<ul>
<li>а) $x+x+x=x^3$ — неверно: слева $3x$, справа $x^3$;</li>
<li>б) $x\\cdot x\\cdot x=3x$ — неверно: слева $x^3$;</li>
<li>в) $x+x+x=3x$ — <b>верно</b> ✓ (сумма трёх одинаковых слагаемых равна утроенному слагаемому);</li>
<li>г) $x\\cdot x\\cdot x\\cdot x=4+x$ — неверно: слева $x^4$;</li>
<li>д) $x+x+x=3+x$ — неверно: слева $3x$, а $3x\\neq 3+x$ (например, при $x=2$: $6\\neq 5$).</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$x+x+x=3x$</div>`
},
{
text: `Определите, в какой из данных точек график функции $y = 2x + 3$ пересекает ось ординат:`,
opts: [
["а", "$A(1{,}5;\\;0)$"], ["б", "$B(0;\\;1{,}5)$"], ["в", "$C(3;\\;0)$"],
["г", "$D(-1{,}5;\\;0)$"], ["д", "$E(0;\\;3)$"],
],
sol: `Ось ординат ($Oy$) — это прямая $x=0$. Подставим $x=0$ в уравнение функции:
$$y = 2\\cdot 0 + 3 = 3.$$
Значит, график пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\\;3)$.
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$E(0;\\;3)$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "для сторон треугольника $ABC$ верно $\\dfrac{AB}{\\sin C} = \\dfrac{AC}{\\sin B}$;"],
["б", "$\\sin 120^{\\circ} = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$;"],
["в", "около прямоугольника всегда можно описать окружность;"],
["г", "длина окружности находится по формуле $C = 2\\pi R$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Теорема синусов — <b>верно</b>;</li>
<li>б) По формуле приведения: $\\sin 120^{\\circ}=\\sin(180^{\\circ}-60^{\\circ})=\\sin 60^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ (положительное число!) — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>;</li>
<li>в) Около любого прямоугольника описывается окружность (центр — точка пересечения диагоналей) — <b>верно</b>;</li>
<li>г) Формула длины окружности $C=2\\pi R$ — <b>верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Какая из следующих последовательностей является геометрической прогрессией? Ответ обоснуйте.<br>
а) $5;\\; 15;\\; 45;\\; \\ldots$&emsp;
б) $5;\\; 10;\\; 15;\\; \\ldots$&emsp;
в) $1;\\; 4;\\; 9;\\; 16;\\; \\ldots$&emsp;
г) $\\dfrac{1}{2};\\; \\dfrac{1}{3};\\; \\dfrac{1}{4};\\; \\dfrac{1}{5};\\; \\ldots$`,
sol: `Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член (начиная со второго) получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$ (знаменатель прогрессии).
<ul>
<li>а) $5;\\; 15;\\; 45;\\;\\ldots$ &nbsp; $\\dfrac{15}{5}=3,\\;\\dfrac{45}{15}=3$ — отношение постоянное, $q=3$. Это <b>ГП</b> ✓</li>
<li>б) $5;\\; 10;\\; 15;\\;\\ldots$ &nbsp; $\\dfrac{10}{5}=2,\\;\\dfrac{15}{10}=1{,}5$ — отношения разные. Это <b>арифметическая</b> прогрессия ($d=5$).</li>
<li>в) $1;\\; 4;\\; 9;\\; 16;\\;\\ldots$ &nbsp; $\\dfrac{4}{1}=4,\\;\\dfrac{9}{4}=2{,}25$ — отношения разные (квадраты натуральных).</li>
<li>г) $\\dfrac{1}{2};\\;\\dfrac{1}{3};\\;\\dfrac{1}{4};\\;\\ldots$ &nbsp; $\\dfrac{1/3}{1/2}=\\dfrac{2}{3},\\;\\dfrac{1/4}{1/3}=\\dfrac{3}{4}$ — отношения разные.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$5;\\; 15;\\; 45;\\;\\ldots$ — ГП со знаменателем $q=3$.</div>`
},
{
text: `Упростите выражение $\\dfrac{m^3}{m+1} \\cdot \\dfrac{m^2+2m+1}{2m^4}$.`,
sol: `<b>Формула квадрата суммы:</b> $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
<br><b>Правило умножения дробей:</b> $\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{a\\cdot c}{b\\cdot d}$.
<br><b>Шаг 1. Найдём ОДЗ.</b> Знаменатели не должны равняться нулю: $m+1\\neq 0$ и $2m^4\\neq 0$, значит $m\\neq -1$ и $m\\neq 0$.
<br><b>Шаг 2.</b> Разложим числитель второй дроби по формуле квадрата суммы. Замечаем, что $m^2+2m+1 = m^2 + 2\\cdot m\\cdot 1 + 1^2 = (m+1)^2$:
$$\\dfrac{m^3}{m+1}\\cdot\\dfrac{(m+1)^2}{2m^4}.$$
<b>Шаг 3.</b> Перемножим дроби и сократим общие множители. В числителе появляется $m^3(m+1)^2$, в знаменателе — $(m+1)\\cdot 2m^4$. Сокращаем $(m+1)$ в первой степени и $m^3$ из степени $m^4$:
$$\\dfrac{m^3(m+1)^2}{(m+1)\\cdot 2m^4} = \\dfrac{m+1}{2m}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{m+1}{2m}$.</div>`
},
{
text: `Около окружности с радиусом $4$ см описана равнобедренная трапеция,
площадь которой равна $80$ см². Найдите длину боковой стороны этой трапеции.`,
sol: `<b>Свойство 1.</b> Высота трапеции, описанной около окружности, равна диаметру вписанной окружности:
$$h = 2r = 2\\cdot 4 = 8\\text{ см}.$$
<b>Свойство 2.</b> Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции с основаниями $a,\\;b$ и боковыми сторонами $c$:
$$a+b = 2c.$$
Из формулы площади трапеции $S=\\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$:
$$80 = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot 8 \\implies a+b = 20\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 165 110" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- Точные пропорции: a=16, b=4, c=10, h=8, r=4. Масштаб 7px/см -->
<!-- A=(20,86), B=(62,30), C=(90,30), D=(132,86). Центр окружности (76,58), r=28 -->
<polygon points="20,86 62,30 90,30 132,86" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
<!-- Вписанная окружность r=4см=28px, центр (76,58) -->
<circle cx="76" cy="58" r="28" fill="rgba(220,38,38,0.06)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
<!-- Радиус до нижнего основания -->
<line x1="76" y1="58" x2="76" y2="86" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<circle cx="76" cy="58" r="2" fill="#dc2626"/>
<!-- Высота трапеции (вертикальная линия по центру) -->
<line x1="76" y1="30" x2="76" y2="86" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,2"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="9" y="98" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="135" y="98" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="55" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="92" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<!-- Метки сторон -->
<text x="74" y="100" font-size="11" fill="#334155">a</text>
<text x="74" y="22" font-size="11" fill="#334155">b</text>
<text x="32" y="62" font-size="11" fill="#334155">c</text>
<text x="115" y="62" font-size="11" fill="#334155">c</text>
<!-- Высота и радиус -->
<text x="80" y="50" font-size="10" fill="#16a34a">h=8</text>
<text x="58" y="76" font-size="10" fill="#dc2626" font-weight="bold">r=4</text>
</svg>
Тогда $2c = a+b = 20\\implies c = 10$ см.
<div class="sol-ans">Ответ: $c = 10$ см.</div>`
},
{
text: `Сравните корень уравнения $\\dfrac{4}{5}\\left(\\dfrac{6}{25}x - 1\\right) = 4$
с числом $\\left(\\dfrac{1}{5}\\right)^{-2}$.`,
sol: `<b>Свойство степени с отрицательным показателем:</b> $\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{n}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Решим уравнение. Сначала избавимся от множителя $\\dfrac{4}{5}$ перед скобкой — разделим обе части на $\\dfrac{4}{5}$, то есть умножим на $\\dfrac{5}{4}$:
$$\\dfrac{6}{25}x - 1 = 4\\cdot\\dfrac{5}{4} = 5.$$
<b>Шаг 2.</b> Переносим $-1$ в правую часть (меняем знак):
$$\\dfrac{6}{25}x = 5 + 1 = 6.$$
<b>Шаг 3.</b> Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\\dfrac{25}{6}$ (число, обратное к $\\dfrac{6}{25}$):
$$x = 6\\cdot\\dfrac{25}{6} = 25.$$
<b>Шаг 4.</b> Вычислим число для сравнения. По свойству степени:
$$\\left(\\dfrac{1}{5}\\right)^{-2} = 5^{2} = 25.$$
<b>Шаг 5.</b> Сравниваем: $x = 25$ и $25$. Значит, корень уравнения <b>равен</b> числу $\\left(\\dfrac{1}{5}\\right)^{-2}$.
<div class="sol-ans">Ответ: корень уравнения равен числу $\\left(\\dfrac{1}{5}\\right)^{-2}$ (оба равны $25$).</div>`
},
{
text: `Найдите сумму целых значений аргумента, для которых график функции
$y = \\dfrac{2x-10}{x^2+x-12}$ расположен выше прямой $y = 1$.`,
sol: `Условие: $\\dfrac{2x-10}{x^2+x-12} > 1.$ Перенесём всё в одну часть:
$$\\dfrac{2x-10}{x^2+x-12} - 1 > 0 \\iff \\dfrac{2x-10-(x^2+x-12)}{x^2+x-12} > 0 \\iff \\dfrac{-x^2+x+2}{x^2+x-12} > 0.$$
Умножим числитель и знаменатель на $-1$ (знак неравенства меняется):
$$\\dfrac{x^2-x-2}{x^2+x-12} \\lt 0.$$
Разложим: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, $\\;x^2+x-12=(x+4)(x-3)$:
$$\\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x+4)(x-3)} \\lt 0.$$
Корни: $-4,\\;-1,\\;2,\\;3$ (точки $-4$ и $3$ не входят — ОДЗ).
<br><b>Метод интервалов:</b>
<table style="border-collapse:collapse;margin:8px 0;font-size:14px">
<tr><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">интервал</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$x\\lt-4$</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$(-4;-1)$</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$(-1;2)$</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$(2;3)$</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$x\\gt 3$</th></tr>
<tr><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">знак дроби</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$+$</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px;color:#2563eb"><b>$-$</b></td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$+$</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px;color:#2563eb"><b>$-$</b></td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$+$</td></tr>
</table>
Решение: $x\\in(-4;\\;-1)\\cup(2;\\;3)$.
<br>Целые значения: в $(-4;-1)$ — это $-3,\\;-2$; в $(2;3)$ — целых нет.
<br>Сумма: $-3+(-2)=-5$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-5$.</div>`
},
{
text: `Дана окружность, длина которой равна $12\\pi$.
Найдите площадь сектора круга, ограниченного этой окружностью,
если угол этого сектора равен $40^{\\circ}$.`,
sol: `<b>Формула длины окружности:</b> $C = 2\\pi R$.
<br><b>Формула площади сектора</b> с центральным углом $\\alpha^{\\circ}$: $S_{\\text{сект}} = \\dfrac{\\alpha}{360^{\\circ}}\\cdot \\pi R^{2}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём радиус. По условию длина окружности равна $12\\pi$, значит:
$$2\\pi R = 12\\pi \\implies R = 6\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим в формулу площади сектора $\\alpha = 40^{\\circ}$ и $R = 6$:
$$S_{\\text{сект}} = \\dfrac{40}{360}\\cdot \\pi\\cdot 6^{2} = \\dfrac{1}{9}\\cdot 36\\pi = 4\\pi.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $4\\pi$ (кв. ед.).</div>`
},
{
text: `На соревнованиях управляемых планеров первый планер пролетел на $20\\%$,
или на $1080$ м, меньше второго. Скорость первого планера на $20\\%$,
или на $2$ м/с, больше скорости второго.
Сколько минут находился в воздухе каждый планер?`,
sol: `<b>Связь процентов и десятичной дроби:</b> $20\\% = \\dfrac{20}{100} = 0{,}2$.
<br><b>Формула пути:</b> $S = v\\cdot t$, откуда $t = \\dfrac{S}{v}$.
<br><b>Шаг 1. Найдём путь второго планера.</b> По условию $20\\%$ от $S_{2}$ — это $1080$ м, так как разница $S_{2} - S_{1}$ одновременно есть и $20\\%$ от $S_{2}$, и $1080$ м. Составим уравнение:
$$0{,}2\\cdot S_{2} = 1080 \\implies S_{2} = \\dfrac{1080}{0{,}2} = 5400\\text{ м}.$$
Тогда путь первого планера:
$$S_{1} = S_{2} - 1080 = 5400 - 1080 = 4320\\text{ м}.$$
<b>Шаг 2. Найдём скорость второго планера.</b> Аналогично, $20\\%$ от $v_{2}$ равны $2$ м/с:
$$0{,}2\\cdot v_{2} = 2 \\implies v_{2} = \\dfrac{2}{0{,}2} = 10\\text{ м/с}.$$
Скорость первого планера больше на $2$ м/с:
$$v_{1} = v_{2} + 2 = 12\\text{ м/с}.$$
<b>Шаг 3. Найдём время полёта каждого планера</b> по формуле $t = \\dfrac{S}{v}$ и переведём секунды в минуты ($60$ с $= 1$ мин):
$$t_{1} = \\dfrac{S_{1}}{v_{1}} = \\dfrac{4320}{12} = 360\\text{ с} = 6\\text{ мин};$$
$$t_{2} = \\dfrac{S_{2}}{v_{2}} = \\dfrac{5400}{10} = 540\\text{ с} = 9\\text{ мин}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: 1-й планер — $6$ мин, 2-й планер — $9$ мин.</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v66.js
+170
View File
@@ -0,0 +1,170 @@
VARIANTS[66] = {
label: "Вариант 66",
tasks: [
{
text: `Из данных равенств выберите тождество:`,
opts: [
["а", "$y + y + y + y + y = 5 + y$"], ["б", "$y \\cdot y \\cdot y \\cdot y \\cdot y \\cdot y = 6y^6$"], ["в", "$y + y + y = y^2$"],
["г", "$y + y + y + y = y^4$"], ["д", "$y \\cdot y \\cdot y \\cdot y = y^4$"],
],
sol: `Тождество — равенство, верное при <em>любых</em> значениях переменной.
<ul>
<li>а) $y+y+y+y+y=5+y$ — неверно: слева $5y$, справа $5+y$ (не одно и то же);</li>
<li>б) $y\\cdot y\\cdot y\\cdot y\\cdot y\\cdot y=6y^6$ — неверно: слева $y^6$, не $6y^6$;</li>
<li>в) $y+y+y=y^2$ — неверно: слева $3y$, справа $y^2$ (например, при $y=2$: $6\\neq 4$);</li>
<li>г) $y+y+y+y=y^4$ — неверно: слева $4y$, справа $y^4$;</li>
<li>д) $y\\cdot y\\cdot y\\cdot y=y^4$ — <b>верно</b> ✓ (произведение четырёх одинаковых множителей равно четвёртой степени).</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$y\\cdot y\\cdot y\\cdot y=y^4$</div>`
},
{
text: `Определите, в какой из данных точек график функции $y = 2x + 5$ пересекает ось ординат:`,
opts: [
["а", "$A(2{,}5;\\;0)$"], ["б", "$B(0;\\;2{,}5)$"], ["в", "$C(5;\\;0)$"],
["г", "$D(-2{,}5;\\;0)$"], ["д", "$E(0;\\;5)$"],
],
sol: `Ось ординат ($Oy$) — это прямая $x=0$. Подставим $x=0$ в уравнение функции:
$$y = 2\\cdot 0 + 5 = 5.$$
Значит, график пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\\;5)$.
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$E(0;\\;5)$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "в ромб всегда можно вписать окружность;"],
["б", "для сторон треугольника $ABC$ верно $\\dfrac{AC}{\\sin B} = \\dfrac{BC}{\\sin A}$;"],
["в", "$\\cos 120^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
["г", "площадь круга находится по формуле $S = \\pi R^2$?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) В ромб всегда можно вписать окружность (сумма противоположных сторон равна) — <b>верно</b>;</li>
<li>б) Теорема синусов — <b>верно</b>;</li>
<li>в) $\\cos 120^{\\circ}=\\cos(180^{\\circ}-60^{\\circ})=-\\cos 60^{\\circ}=-\\dfrac{1}{2}$ (отрицательное число!) — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>;</li>
<li>г) Формула площади круга $S=\\pi R^2$ — <b>верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Какая из следующих последовательностей является геометрической прогрессией? Ответ обоснуйте.<br>
а) $25;\\; 35;\\; 45;\\; \\ldots$&emsp;
б) $0{,}2;\\; 0{,}02;\\; 0{,}002;\\; \\ldots$&emsp;
в) $\\dfrac{4}{3};\\; 9;\\; \\dfrac{5}{16};\\; \\ldots$&emsp;
г) $5;\\; -5;\\; -15;\\; \\ldots$`,
sol: `Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член (начиная со второго) получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$ (знаменатель прогрессии).
<ul>
<li>а) $25;\\; 35;\\; 45;\\;\\ldots$ &nbsp; $\\dfrac{35}{25}=1{,}4,\\;\\dfrac{45}{35}\\approx1{,}286$ — отношения разные (АП с $d=10$). <b>Не ГП.</b></li>
<li>б) $0{,}2;\\; 0{,}02;\\; 0{,}002;\\;\\ldots$ &nbsp; $\\dfrac{0{,}02}{0{,}2}=0{,}1,\\;\\dfrac{0{,}002}{0{,}02}=0{,}1$ — отношение постоянное, $q=0{,}1$. Это <b>ГП</b> ✓</li>
<li>в) $\\dfrac{4}{3};\\; 9;\\; \\dfrac{5}{16};\\;\\ldots$ &nbsp; $\\dfrac{9}{4/3}=\\dfrac{27}{4},\\;\\dfrac{5/16}{9}=\\dfrac{5}{144}$ — отношения разные. <b>Не ГП.</b></li>
<li>г) $5;\\; -5;\\; -15;\\;\\ldots$ &nbsp; $\\dfrac{-5}{5}=-1,\\;\\dfrac{-15}{-5}=3$ — отношения разные (АП с $d=-10$). <b>Не ГП.</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$0{,}2;\\; 0{,}02;\\; 0{,}002;\\;\\ldots$ — ГП со знаменателем $q=0{,}1$.</div>`
},
{
text: `Упростите выражение $\\dfrac{m^2}{m-1} \\cdot \\dfrac{m^2-2m+1}{2m^3}$.`,
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
<br><b>Правило умножения дробей:</b> $\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{ac}{bd}$.
<br><b>Шаг 1. Найдём ОДЗ.</b> Знаменатели не равны нулю: $m-1\\neq 0$ и $2m^3\\neq 0$, значит $m\\neq 1$ и $m\\neq 0$.
<br><b>Шаг 2.</b> Разложим числитель второй дроби по формуле квадрата разности: $m^2-2m+1 = m^2 - 2\\cdot m\\cdot 1 + 1^2 = (m-1)^2$:
$$\\dfrac{m^2}{m-1}\\cdot\\dfrac{(m-1)^2}{2m^3}.$$
<b>Шаг 3.</b> Перемножим дроби и сократим общие множители $(m-1)$ и $m^2$:
$$\\dfrac{m^2(m-1)^2}{(m-1)\\cdot 2m^3} = \\dfrac{m-1}{2m}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{m-1}{2m}$.</div>`
},
{
text: `Около окружности с радиусом $3$ см описана равнобедренная трапеция,
площадь которой равна $24$ см². Найдите длину боковой стороны этой трапеции.`,
sol: `<b>Свойство 1.</b> Высота трапеции, описанной около окружности, равна диаметру вписанной окружности:
$$h = 2r = 2\\cdot 3 = 6\\text{ см}.$$
<b>Свойство 2.</b> Для равнобедренной трапеции, описанной около окружности, суммы противоположных сторон равны:
$$a+b = 2c.$$
Из формулы площади трапеции $S=\\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$:
$$24 = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot 6 \\implies a+b = 8\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 165 110" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="25,90 65,30 100,30 140,90" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
<circle cx="82" cy="60" r="21" fill="rgba(220,38,38,0.06)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
<line x1="82" y1="60" x2="82" y2="90" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<circle cx="82" cy="60" r="2" fill="#dc2626"/>
<line x1="82" y1="30" x2="82" y2="90" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,2"/>
<text x="14" y="102" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="143" y="102" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="58" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="102" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="80" y="104" font-size="11" fill="#334155">a</text>
<text x="80" y="22" font-size="11" fill="#334155">b</text>
<text x="38" y="62" font-size="11" fill="#334155">c</text>
<text x="123" y="62" font-size="11" fill="#334155">c</text>
<text x="86" y="52" font-size="10" fill="#16a34a">h=6</text>
<text x="64" y="78" font-size="10" fill="#dc2626" font-weight="bold">r=3</text>
</svg>
Тогда $2c = a+b = 8\\implies c = 4$ см.
<div class="sol-ans">Ответ: $c = 4$ см.</div>`
},
{
text: `Сравните корень уравнения $\\dfrac{4}{3}\\left(\\dfrac{1}{2}x - 1\\right) = 4$
с числом $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}$.`,
sol: `<b>Свойство степени с отрицательным показателем:</b> $\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{n}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Решим уравнение. Сначала избавимся от множителя $\\dfrac{4}{3}$ перед скобкой — разделим обе части на $\\dfrac{4}{3}$, то есть умножим на $\\dfrac{3}{4}$:
$$\\dfrac{1}{2}x - 1 = 4\\cdot\\dfrac{3}{4} = 3.$$
<b>Шаг 2.</b> Переносим $-1$ в правую часть:
$$\\dfrac{1}{2}x = 3 + 1 = 4.$$
<b>Шаг 3.</b> Умножим обе части на $2$:
$$x = 4\\cdot 2 = 8.$$
<b>Шаг 4.</b> Вычислим число для сравнения по свойству степени:
$$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} = 2^{3} = 8.$$
<b>Шаг 5.</b> Сравниваем: $x = 8$ и $8$. Значит, корень уравнения <b>равен</b> числу $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}$.
<div class="sol-ans">Ответ: корень уравнения равен числу $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}$ (оба равны $8$).</div>`
},
{
text: `Найдите сумму целых значений аргумента, для которых график функции
$y = \\dfrac{2x-1}{x^2+x-12}$ расположен выше прямой $y = \\dfrac{1}{2}$.`,
sol: `Условие: $\\dfrac{2x-1}{x^2+x-12} \\gt \\dfrac{1}{2}.$ Перенесём всё в одну часть:
$$\\dfrac{2x-1}{x^2+x-12} - \\dfrac{1}{2} \\gt 0 \\iff \\dfrac{2(2x-1)-(x^2+x-12)}{2(x^2+x-12)} \\gt 0 \\iff \\dfrac{-x^2+3x+10}{2(x^2+x-12)} \\gt 0.$$
Умножим числитель и знаменатель на $-1$ (знак меняется):
$$\\dfrac{x^2-3x-10}{2(x^2+x-12)} \\lt 0.$$
Разложим: $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$, $\\;x^2+x-12=(x+4)(x-3)$:
$$\\dfrac{(x-5)(x+2)}{2(x+4)(x-3)} \\lt 0.$$
Критические точки: $-4,\\;-2,\\;3,\\;5$ (точки $-4$ и $3$ исключены из ОДЗ).
<br><b>Метод интервалов:</b>
<table style="border-collapse:collapse;margin:8px 0;font-size:14px">
<tr><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">интервал</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$x\\lt-4$</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$(-4;-2)$</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$(-2;3)$</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$(3;5)$</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$x\\gt 5$</th></tr>
<tr><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">знак дроби</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$+$</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px;color:#2563eb"><b>$-$</b></td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$+$</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px;color:#2563eb"><b>$-$</b></td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$+$</td></tr>
</table>
Решение: $x\\in(-4;\\;-2)\\cup(3;\\;5)$.
<br>Целые значения: в $(-4;-2)$ — это $-3$; в $(3;5)$ — это $4$.
<br>Сумма: $-3+4=1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $1$.</div>`
},
{
text: `Дана окружность, длина которой равна $20\\pi$.
Найдите площадь сектора круга, ограниченного этой окружностью,
если угол этого сектора равен $72^{\\circ}$.`,
sol: `<b>Формула длины окружности:</b> $C = 2\\pi R$.
<br><b>Формула площади сектора</b> с центральным углом $\\alpha^{\\circ}$: $S_{\\text{сект}} = \\dfrac{\\alpha}{360^{\\circ}}\\cdot \\pi R^{2}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём радиус. По условию длина окружности равна $20\\pi$, значит:
$$2\\pi R = 20\\pi \\implies R = 10\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим в формулу площади сектора $\\alpha = 72^{\\circ}$ и $R = 10$:
$$S_{\\text{сект}} = \\dfrac{72}{360}\\cdot \\pi\\cdot 10^{2} = \\dfrac{1}{5}\\cdot 100\\pi = 20\\pi.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $20\\pi$ (кв. ед.).</div>`
},
{
text: `На соревнованиях авиамоделистов первая модель пролетела на $10\\%$,
или на $480$ м, меньше второй. Скорость первой модели на $20\\%$,
или на $1$ м/с, больше скорости второй модели.
Сколько минут находилась в воздухе каждая модель?`,
sol: `<b>Связь процентов и десятичной дроби:</b> $10\\%=0{,}1$, $20\\%=0{,}2$.
<br><b>Формула пути:</b> $S=v\\cdot t$, откуда $t=\\dfrac{S}{v}$.
<br><b>Шаг 1. Найдём путь второй модели.</b> По условию $10\\%$ от $S_{2}$ — это и есть $480$ м (разница между путями моделей). Составим уравнение:
$$0{,}1\\cdot S_{2} = 480 \\implies S_{2} = \\dfrac{480}{0{,}1} = 4800\\text{ м}.$$
Первая модель пролетела на $480$ м меньше:
$$S_{1} = S_{2} - 480 = 4800 - 480 = 4320\\text{ м}.$$
<b>Шаг 2. Найдём скорость второй модели.</b> Аналогично, $20\\%$ от $v_{2}$ равны $1$ м/с:
$$0{,}2\\cdot v_{2} = 1 \\implies v_{2} = \\dfrac{1}{0{,}2} = 5\\text{ м/с}.$$
Скорость первой модели больше на $1$ м/с:
$$v_{1} = v_{2} + 1 = 6\\text{ м/с}.$$
<b>Шаг 3. Найдём время полёта</b> каждой модели и переведём в минуты ($60$ с $= 1$ мин):
$$t_{1} = \\dfrac{S_{1}}{v_{1}} = \\dfrac{4320}{6} = 720\\text{ с} = 12\\text{ мин};$$
$$t_{2} = \\dfrac{S_{2}}{v_{2}} = \\dfrac{4800}{5} = 960\\text{ с} = 16\\text{ мин}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: 1-я модель — $12$ мин, 2-я модель — $16$ мин.</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v67.js
+178
View File
@@ -0,0 +1,178 @@
VARIANTS[67] = {
label: "Вариант 67",
tasks: [
{
text: `Какое из данных чисел является простым:`,
opts: [
["а", "$9$"], ["б", "$1$"], ["в", "$77$"], ["г", "$51$"], ["д", "$2$"],
],
sol: `<p>Проверяем каждое число:</p>
<ul>
<li>$9 = 3 \\times 3$ — составное;</li>
<li>$1$ — не является ни простым, ни составным по определению;</li>
<li>$77 = 7 \\times 11$ — составное;</li>
<li>$51 = 3 \\times 17$ — составное;</li>
<li>$2$ — делится только на $1$ и на себя, значит простое.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: д) $2$</div>`
},
{
text: `Абсцисса точки, принадлежащей графику функции $y = -3x + 2$, равна $1$.
Тогда ордината этой точки равна:`,
opts: [
["а", "$5$"], ["б", "$-1$"], ["в", "$1$"], ["г", "$-1{,}5$"], ["д", "$\\dfrac{2}{3}$"],
],
sol: `<p>Подставляем $x = 1$ в формулу функции:</p>
<p>$$y = -3 \\cdot 1 + 2 = -3 + 2 = -1.$$</p>
<div class="sol-ans">Ответ: б) $-1$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "для прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ верно $\\sin A = \\dfrac{BC}{AB}$;"],
["б", "диагонали прямоугольника равны;"],
["в", "площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту;"],
["г", "сумма градусных мер всех углов квадрата равна $180^{\\circ}$?"],
],
sol: `<p>Квадрат — это четырёхугольник, сумма внутренних углов которого равна $360^{\\circ}$, а не $180^{\\circ}$.</p>
<p>Утверждения а), б), в) — верны. Утверждение г) — <b>неверно</b>.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $\\dfrac{x}{-3{,}6} = \\dfrac{0{,}25}{-0{,}9}$.`,
sol: `<p>Из свойства пропорции $\\dfrac{x}{-3{,}6} = \\dfrac{0{,}25}{-0{,}9}$:</p>
<p>$$x = \\frac{(-3{,}6) \\cdot 0{,}25}{-0{,}9} = \\frac{-0{,}9}{-0{,}9} = 1.$$</p>
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 1$</div>`
},
{
text: `Найдите сумму натуральных значений переменной из области определения
выражения $\\sqrt{-2x+6}$.`,
sol: `<b>Условие существования квадратного корня:</b> $\\sqrt{f(x)}$ определён только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $f(x) \\geq 0$.
<br><b>Шаг 1.</b> Запишем условие для нашего выражения $\\sqrt{-2x+6}$:
$$-2x + 6 \\geq 0.$$
<b>Шаг 2.</b> Решим неравенство. Перенесём $-2x$ в правую часть:
$$6 \\geq 2x,$$
а затем разделим обе части на $2$ (положительное число — знак не меняется):
$$x \\leq 3.$$
<b>Шаг 3.</b> Выберем натуральные числа из найденной области. Натуральные числа — это $1,\\;2,\\;3,\\;4,\\ldots$ Из них условию $x \\leq 3$ удовлетворяют: $1,\\;2,\\;3$.
<br><b>Шаг 4.</b> Найдём их сумму:
$$1 + 2 + 3 = 6.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $6$</div>`
},
{
text: `Найдите шестой член арифметической прогрессии, если её третий член равен $9$,
а разность прогрессии равна $-2$.`,
sol: `<b>Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:</b> $a_n = a_1 + (n-1)d$.
<br>Из неё легко получить связь любых двух членов: $a_n = a_k + (n-k)d$, так как от $k$-го члена до $n$-го нужно прибавить разность $d$ ровно $(n-k)$ раз.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_3 = 9$, $d = -2$. Найдём $a_6$, прибавив разность $d$ три раза (от 3-го к 6-му члену):
$$a_6 = a_3 + (6-3)\\cdot d = a_3 + 3d.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим значения:
$$a_6 = 9 + 3\\cdot(-2) = 9 - 6 = 3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
},
{
text: `В параллелограмм с диагоналями, равными $6$ см и $8$ см, вписана окружность.
Найдите радиус этой окружности.`,
sol: `<p>Параллелограмм с вписанной окружностью является ромбом (суммы противоположных сторон равны, что в параллелограмме означает равенство всех сторон).</p>
<p>Полудиагонали ромба: $d_1/2 = 3$ см, $d_2/2 = 4$ см. Сторона ромба:</p>
<p>$$a = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5 \\text{ см}.$$</p>
<p>Площадь ромба:</p>
<p>$$S = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{6 \\cdot 8}{2} = 24 \\text{ см}^2.$$</p>
<p>Полупериметр: $p = 2a = 2 \\cdot 5 = 10$ см. Радиус вписанной окружности:</p>
<p>$$r = \\frac{S}{p} = \\frac{24}{10} = 2{,}4 \\text{ см}.$$</p>
<svg viewBox="0 0 185 185" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px auto">
<!-- Ромб: d₁=6см=108px, d₂=8см=144px, сторона=5см=90px, r=2,4см=43px. Масштаб 18px/см -->
<!-- Центр (92,92). A=(38,92), B=(92,20), C=(146,92), D=(92,164) -->
<polygon points="38,92 92,20 146,92 92,164" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<!-- Диагонали -->
<line x1="38" y1="92" x2="146" y2="92" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<line x1="92" y1="20" x2="92" y2="164" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<!-- Прямой угол в центре -->
<polygon points="92,92 100,92 100,84 92,84" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<!-- Вписанная окружность: r=43px, центр (92,92) -->
<circle cx="92" cy="92" r="43" fill="rgba(220,38,38,0.06)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<line x1="92" y1="92" x2="92" y2="135" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<circle cx="92" cy="92" r="2.5" fill="#334155"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="22" y="97" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="88" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="150" y="97" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="88" y="179" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<!-- Длины диагоналей -->
<text x="58" y="88" font-size="10" fill="#475569">d₁=6</text>
<text x="148" y="88" font-size="10" fill="#475569">d₁=6</text>
<text x="95" y="58" font-size="10" fill="#475569">d₂=8</text>
<text x="95" y="135" font-size="10" fill="#475569">d₂=8</text>
<!-- Сторона и радиус -->
<text x="52" y="53" font-size="11" fill="#334155">a=5</text>
<text x="96" y="118" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">r=2,4</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $r = 2{,}4$ см</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$-\\dfrac{9}{5} : \\left(\\dfrac{16}{25} - 1\\right) - 0{,}025 : 0{,}01 + \\dfrac{1}{3} \\cdot (-6) - 4 : \\dfrac{2}{5}$.
В ответ запишите число, обратное ему.`,
sol: `<b>Порядок действий:</b> сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, в конце — сложение и вычитание (слева направо).
<br><b>Правило деления дробей:</b> $\\dfrac{a}{b}:\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{d}{c}$.
<br><b>Обратное число</b> к ненулевому числу $a$ — это число $\\dfrac{1}{a}$. У дроби $\\dfrac{p}{q}$ обратное равно $\\dfrac{q}{p}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Вычислим выражение в скобках, приведя $1$ к знаменателю $25$:
$$\\dfrac{16}{25} - 1 = \\dfrac{16-25}{25} = -\\dfrac{9}{25}.$$
<b>Шаг 2.</b> Выполним первое деление, заменив деление умножением на обратную дробь:
$$-\\dfrac{9}{5} : \\left(-\\dfrac{9}{25}\\right) = -\\dfrac{9}{5}\\cdot\\left(-\\dfrac{25}{9}\\right) = \\dfrac{9\\cdot 25}{5\\cdot 9} = 5.$$
<b>Шаг 3.</b> Выполним второе деление десятичных дробей:
$$0{,}025 : 0{,}01 = \\dfrac{0{,}025}{0{,}01} = 2{,}5.$$
<b>Шаг 4.</b> Вычислим оставшиеся произведение и частное:
$$\\dfrac{1}{3}\\cdot(-6) = -2,\\qquad 4:\\dfrac{2}{5} = 4\\cdot\\dfrac{5}{2} = 10.$$
<b>Шаг 5.</b> Соберём всё вместе:
$$5 - 2{,}5 + (-2) - 10 = 5 - 2{,}5 - 2 - 10 = -9{,}5 = -\\dfrac{19}{2}.$$
<b>Шаг 6.</b> Запишем число, обратное полученному: у дроби $-\\dfrac{19}{2}$ обратная равна $-\\dfrac{2}{19}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{2}{19}$</div>`
},
{
text: `Первую половину пути в $20$ км пешеход преодолел со скоростью на $10\\%$ меньше планируемой,
а вторую половину пути — со скоростью на $10\\%$ больше, чем планировал.
Как изменится время его движения по сравнению с планируемым?`,
sol: `<p>Пусть плановая скорость равна $v$. Половина пути — $10$ км.</p>
<p>Фактическое время:</p>
<p>$$t = \\frac{10}{0{,}9v} + \\frac{10}{1{,}1v} = \\frac{10}{v}\\left(\\frac{1}{0{,}9} + \\frac{1}{1{,}1}\\right) = \\frac{10}{v} \\cdot \\frac{1{,}1 + 0{,}9}{0{,}99} = \\frac{10}{v} \\cdot \\frac{2}{0{,}99} = \\frac{20}{0{,}99v}.$$</p>
<p>Плановое время: $t_0 = \\dfrac{20}{v}$.</p>
<p>Отношение: $\\dfrac{t}{t_0} = \\dfrac{20/(0{,}99v)}{20/v} = \\dfrac{1}{0{,}99} = \\dfrac{100}{99} \\gt 1$.</p>
<p>Фактическое время <b>увеличится</b> примерно на $\\dfrac{1}{99} \\approx 1\\%$ от планируемого.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: время увеличится (на $\\dfrac{1}{99}$ часть от планируемого, примерно на $1\\%$)</div>`
},
{
text: `В треугольник $ABC$ вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне $AC$,
две другие — на сторонах $AB$ и $BC$.
Найдите площадь квадрата, если $AC = 30$ см, высота треугольника $BH = 20$ см.`,
sol: `<p>Пусть сторона квадрата равна $a$. Квадрат расположен основанием на $AC$.</p>
<p>На высоте $a$ от $AC$ ширина треугольника (по подобию) равна:</p>
<p>$$AC \\cdot \\frac{BH - a}{BH} = 30 \\cdot \\frac{20 - a}{20}.$$</p>
<p>Эта ширина должна равняться стороне квадрата $a$:</p>
<p>$$30 \\cdot \\frac{20 - a}{20} = a \\Rightarrow \\frac{3(20 - a)}{2} = a \\Rightarrow 60 - 3a = 2a \\Rightarrow 5a = 60 \\Rightarrow a = 12.$$</p>
<p>Площадь квадрата: $S = a^2 = 12^2 = 144$ см².</p>
<svg viewBox="0 0 255 198" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px auto">
<!-- Точные пропорции: AC=30=210px, BH=20=140px, a=12=84px. Масштаб 7px/см -->
<!-- A=(20,168), B=(125,28), C=(230,168), H=(125,168) -->
<!-- Квадрат: (83,168)-(167,168)-(167,84)-(83,84). Стороны на AB и BC ✓ -->
<polygon points="20,168 125,28 230,168" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- Вписанный квадрат -->
<rect x="83" y="84" width="84" height="84" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
<!-- Высота BH (пунктир) -->
<line x1="125" y1="28" x2="125" y2="168" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- Прямой угол при H -->
<polygon points="125,168 133,168 133,160 125,160" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="6" y="180" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="120" y="20" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="233" y="180" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="119" y="183" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#475569">H</text>
<!-- Размеры -->
<text x="122" y="130" font-size="13" fill="#15803d" font-weight="bold" text-anchor="middle">a=12</text>
<text x="122" y="193" font-size="11" fill="#475569" text-anchor="middle">AC = 30 см</text>
<text x="133" y="102" font-size="11" fill="#475569">BH=20</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $144$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v68.js
+164
View File
@@ -0,0 +1,164 @@
VARIANTS[68] = {
label: "Вариант 68",
tasks: [
{
text: `Какое из данных чисел является простым:`,
opts: [
["а", "$39$"], ["б", "$6$"], ["в", "$7$"], ["г", "$1$"], ["д", "$15$"],
],
sol: `<p>Проверяем каждое число:</p>
<ul>
<li>$39 = 3 \\times 13$ — составное;</li>
<li>$6 = 2 \\times 3$ — составное;</li>
<li>$7$ — делится только на $1$ и на себя, значит <b>простое</b>;</li>
<li>$1$ — не является ни простым, ни составным по определению;</li>
<li>$15 = 3 \\times 5$ — составное.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в) $7$</div>`
},
{
text: `Абсцисса точки, принадлежащей графику функции $y = 3x - 2$, равна $-1$.
Тогда ордината этой точки равна:`,
opts: [
["а", "$5$"], ["б", "$-5$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$\\dfrac{2}{3}$"], ["д", "$\\dfrac{1}{3}$"],
],
sol: `<p>Подставляем $x = -1$ в формулу функции:</p>
<p>$$y = 3 \\cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = -5.$$</p>
<div class="sol-ans">Ответ: б) $-5$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "для прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ верно $\\cos A = \\dfrac{AC}{AB}$;"],
["б", "диагонали ромба взаимно перпендикулярны;"],
["в", "площадь ромба равна половине произведения диагоналей;"],
["г", "сумма градусных мер всех углов квадрата равна $270^{\\circ}$?"],
],
sol: `<p>Квадрат — четырёхугольник, сумма внутренних углов которого равна $360^{\\circ}$, а не $270^{\\circ}$.</p>
<p>Утверждения а), б), в) — верны. Утверждение г) — <b>неверно</b>.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $\\dfrac{x}{-5{,}6} = \\dfrac{-0{,}25}{-7}$.`,
sol: `<p>Из свойства пропорции $\\dfrac{x}{-5{,}6} = \\dfrac{-0{,}25}{-7} = \\dfrac{0{,}25}{7}$:</p>
<p>$$x = (-5{,}6) \\cdot \\dfrac{0{,}25}{7} = \\dfrac{-5{,}6 \\cdot 0{,}25}{7} = \\dfrac{-1{,}4}{7} = -0{,}2.$$</p>
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -0{,}2$</div>`
},
{
text: `Найдите сумму натуральных значений переменной из области определения
выражения $\\sqrt{9-3x}$.`,
sol: `<b>Условие существования квадратного корня:</b> $\\sqrt{f(x)}$ определён только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $f(x) \\geq 0$.
<br><b>Шаг 1.</b> Запишем условие для выражения $\\sqrt{9-3x}$:
$$9 - 3x \\geq 0.$$
<b>Шаг 2.</b> Перенесём $-3x$ в правую часть:
$$9 \\geq 3x.$$
<b>Шаг 3.</b> Разделим обе части на $3$ (положительное число — знак не меняется):
$$3 \\geq x, \\quad \\text{то есть} \\quad x \\leq 3.$$
<b>Шаг 4.</b> Натуральные числа из области определения — те, что не превосходят $3$: это $1,\\;2,\\;3$.
<br><b>Шаг 5.</b> Их сумма: $1 + 2 + 3 = 6$.
<div class="sol-ans">Ответ: $6$</div>`
},
{
text: `Найдите шестой член арифметической прогрессии, если её второй член равен $5$,
а разность прогрессии равна $2$.`,
sol: `<b>Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:</b> $a_n = a_1 + (n-1)d$.
<br>Связь любых двух членов: $a_n = a_k + (n-k)d$ — от $k$-го члена до $n$-го прибавляем разность $(n-k)$ раз.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_2 = 5$, $d = 2$. От второго члена до шестого нужно прибавить разность $6 - 2 = 4$ раза:
$$a_6 = a_2 + (6 - 2)\\cdot d = a_2 + 4d.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим значения:
$$a_6 = 5 + 4\\cdot 2 = 5 + 8 = 13.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $13$</div>`
},
{
text: `В параллелограмм с диагоналями, равными $10$ см и $24$ см, вписана окружность.
Найдите радиус этой окружности.`,
sol: `<b>Свойство описанного четырёхугольника:</b> если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
<br>В параллелограмме противоположные стороны и так равны, поэтому условие $AB+CD = BC+AD$ даёт $2AB = 2BC$, то есть все стороны равны. Значит, такой параллелограмм — это <b>ромб</b>.
<br><b>Свойство диагоналей ромба:</b> диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём сторону ромба. Половины диагоналей $\\dfrac{d_1}{2} = 5$ см и $\\dfrac{d_2}{2} = 12$ см являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — сторона ромба. По <b>теореме Пифагора</b>:
$$a = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{25 + 144} = \\sqrt{169} = 13\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём площадь ромба. <b>Формула площади ромба через диагонали:</b> $S = \\dfrac{d_1 \\cdot d_2}{2}$:
$$S = \\dfrac{10 \\cdot 24}{2} = 120\\text{ см}^{2}.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём радиус вписанной окружности. <b>Формула:</b> $r = \\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
<br>Так как у ромба все четыре стороны равны $a$, полупериметр: $p = \\dfrac{4a}{2} = 2a = 26$ см.
$$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{120}{26} = \\dfrac{60}{13}\\text{ см} \\approx 4{,}6\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 250 130" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px auto">
<polygon points="17,65 125,20 233,65 125,110" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
<line x1="17" y1="65" x2="233" y2="65" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<line x1="125" y1="20" x2="125" y2="110" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="125,65 133,65 133,57 125,57" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="125" cy="65" r="42" fill="rgba(220,38,38,0.06)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
<line x1="125" y1="65" x2="125" y2="107" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<circle cx="125" cy="65" r="2.5" fill="#334155"/>
<text x="5" y="70" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="121" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="237" y="70" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="121" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="60" y="62" font-size="10" fill="#475569">d₁=24</text>
<text x="170" y="62" font-size="10" fill="#475569">d₁=24</text>
<text x="129" y="42" font-size="10" fill="#475569">d₂=10</text>
<text x="129" y="92" font-size="10" fill="#475569">d₂=10</text>
<text x="55" y="38" font-size="11" fill="#334155">a=13</text>
<text x="130" y="90" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">r=60/13</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $r = \\dfrac{60}{13}$ см</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$-8 : \\left(-1\\dfrac{1}{7}\\right) + \\dfrac{1}{2} \\cdot \\left(-1\\dfrac{1}{5}\\right) + 6 \\cdot \\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) - 8 : \\dfrac{4}{5}$.
В ответ запишите число, обратное ему.`,
sol: `<b>Перевод смешанного числа в неправильную дробь:</b> $a\\dfrac{b}{c}=\\dfrac{a\\cdot c+b}{c}$.
<br><b>Правило деления дробей:</b> $\\dfrac{a}{b}:\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{d}{c}$.
<br><b>Обратное число</b> к дроби $\\dfrac{p}{q}$ равно $\\dfrac{q}{p}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
$$1\\dfrac{1}{7} = \\dfrac{8}{7},\\qquad 1\\dfrac{1}{5} = \\dfrac{6}{5}.$$
<b>Шаг 2.</b> Вычислим первое деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$$-8 : \\left(-\\dfrac{8}{7}\\right) = -8\\cdot\\left(-\\dfrac{7}{8}\\right) = 7.$$
<b>Шаг 3.</b> Вычислим первое произведение:
$$\\dfrac{1}{2}\\cdot\\left(-\\dfrac{6}{5}\\right) = -\\dfrac{6}{10} = -\\dfrac{3}{5}.$$
<b>Шаг 4.</b> Вычислим оставшиеся произведение и частное:
$$6\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) = -2,\\qquad 8 : \\dfrac{4}{5} = 8\\cdot\\dfrac{5}{4} = 10.$$
<b>Шаг 5.</b> Соберём всё вместе и приведём к общему знаменателю $5$:
$$7 - \\dfrac{3}{5} - 2 - 10 = -5 - \\dfrac{3}{5} = -\\dfrac{25}{5} - \\dfrac{3}{5} = -\\dfrac{28}{5}.$$
<b>Шаг 6.</b> Запишем обратное число: для $-\\dfrac{28}{5}$ обратное равно $-\\dfrac{5}{28}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{5}{28}$</div>`
},
{
text: `Первую половину пути в $120$ км велосипедист преодолел со скоростью на $20\\%$ меньше планируемой,
а вторую половину пути — со скоростью на $20\\%$ больше, чем планировал.
Как изменится время его движения по сравнению с планируемым?`,
sol: `<p>Пусть плановая скорость равна $v$. Половина пути — $60$ км.</p>
<p>Фактическое время:</p>
<p>$$t = \\dfrac{60}{0{,}8v} + \\dfrac{60}{1{,}2v} = \\dfrac{60}{v}\\left(\\dfrac{1}{0{,}8} + \\dfrac{1}{1{,}2}\\right) = \\dfrac{60}{v} \\cdot \\dfrac{1{,}2 + 0{,}8}{0{,}96} = \\dfrac{60}{v} \\cdot \\dfrac{2}{0{,}96} = \\dfrac{120}{0{,}96v} = \\dfrac{125}{v}.$$</p>
<p>Плановое время: $t_0 = \\dfrac{120}{v}$.</p>
<p>Отношение: $\\dfrac{t}{t_0} = \\dfrac{125/v}{120/v} = \\dfrac{125}{120} = \\dfrac{25}{24} \\gt 1$.</p>
<p>Фактическое время <b>увеличится</b> на $\\dfrac{25}{24} - 1 = \\dfrac{1}{24}$ часть от планируемого (примерно на $4{,}2\\%$).</p>
<div class="sol-ans">Ответ: время увеличится (на $\\dfrac{1}{24}$ часть от планируемого, примерно на $4{,}2\\%$)</div>`
},
{
text: `В треугольник $ABC$ вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне $AC$,
две другие — на сторонах $AB$ и $BC$.
Найдите площадь квадрата, если $AC = 60$ см, высота треугольника $BH = 30$ см.`,
sol: `<p>Пусть сторона квадрата равна $a$. Квадрат расположен основанием на $AC$.</p>
<p>На высоте $a$ от $AC$ ширина треугольника (по подобию) равна:</p>
<p>$$AC \\cdot \\dfrac{BH - a}{BH} = 60 \\cdot \\dfrac{30 - a}{30} = 2(30 - a).$$</p>
<p>Эта ширина должна равняться стороне квадрата $a$:</p>
<p>$$2(30 - a) = a \\Rightarrow 60 - 2a = a \\Rightarrow 3a = 60 \\Rightarrow a = 20.$$</p>
<p>Площадь квадрата: $S = a^2 = 20^2 = 400$ см².</p>
<svg viewBox="0 0 255 198" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px auto">
<polygon points="20,168 125,63 230,168" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<rect x="92" y="98" width="70" height="70" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
<line x1="125" y1="63" x2="125" y2="168" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
<polygon points="125,168 133,168 133,160 125,160" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<text x="6" y="180" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="120" y="55" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="233" y="180" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="119" y="183" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#475569">H</text>
<text x="125" y="138" font-size="13" fill="#15803d" font-weight="bold" text-anchor="middle">a=20</text>
<text x="125" y="193" font-size="11" fill="#475569" text-anchor="middle">AC = 60 см</text>
<text x="133" y="115" font-size="11" fill="#475569">BH=30</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $400$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v69.js
+163
View File
@@ -0,0 +1,163 @@
VARIANTS[69] = {
label: "Вариант 69",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`,
opts: [
["а", "$3(x-y) = 3x-y$"], ["б", "$3(x-y) = x-3y$"], ["в", "$3(x-y) = 3x-3y$"],
["г", "$3(x-y) = 3y-3x$"], ["д", "$3(x-y) = 3x+3y$"],
],
sol: `По <b>распределительному закону</b> умножения:
$$3(x-y) = 3\\cdot x - 3\\cdot y = 3x-3y$$
<ul>
<li>а) $3x-y$ — вынесли тройку только из первого слагаемого — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
<li>б) $x-3y$ — вынесли тройку только из второго слагаемого — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
<li>в) $3x-3y$ — <b>верно</b> ✓</li>
<li>г) $3y-3x$ — знак изменён — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
<li>д) $3x+3y$ — знак минус заменён на плюс — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `$30\\%$ от числа $120$ равны:`,
opts: [
["а", "$3{,}6$"], ["б", "$360$"], ["в", "$36$"], ["г", "$150$"], ["д", "$400$"],
],
sol: `$$120 \\cdot 0{,}3 = 36$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$36$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "медианы треугольника пересекаются в одной точке;"],
["б", "радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = S/p$;"],
["в", "в треугольнике против большей стороны лежит больший угол;"],
["г", "в любой параллелограмм можно вписать окружность?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Медианы треугольника пересекаются в одной точке — <b>верно</b></li>
<li>б) $r = S/p$ (где $p$ — полупериметр) — <b>верно</b></li>
<li>в) Против большей стороны лежит больший угол — <b>верно</b></li>
<li>г) В любой параллелограмм можно вписать окружность — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
Для вписанной окружности нужно: $AB+CD = BC+AD$. В параллелограмме $AB=CD$ и $BC=AD$, поэтому условие даёт $AB=BC$ — это <b>ромб</b>. Обычный параллелограмм (не ромб) вписанной окружности не имеет.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Найдите все целые решения неравенства $-23 \\leq 10x \\leq 13$.`,
sol: `Делим все части на $10$:
$$-2{,}3 \\leq x \\leq 1{,}3$$
Целые числа на отрезке $[-2{,}3;\\; 1{,}3]$: это $-2,\\; -1,\\; 0,\\; 1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-2,\\; -1,\\; 0,\\; 1$</div>`
},
{
text: `Найдите четвёртый член геометрической прогрессии, если её первый член равен $5$,
а знаменатель прогрессии равен $2$.`,
sol: `<b>Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:</b> $a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_1 = 5$, $q = 2$, нужно найти $a_4$. Подставляем $n = 4$:
$$a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = 5 \\cdot 2^{3}.$$
<b>Шаг 2.</b> Вычислим $2^3 = 8$ и подставим:
$$a_4 = 5 \\cdot 8 = 40.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $40$</div>`
},
{
text: `Найдите синус угла $BAC$, изображённого на клетчатой бумаге.`,
figure: `<img src="/img/exam9/v69_t6.png" class="task-fig" />`,
sol: `<b>Определение синуса в прямоугольном треугольнике:</b> $\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ верно $c^2 = a^2 + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> По рисунку достроим прямоугольный треугольник так, чтобы $\\angle BAC$ стал острым углом этого треугольника, а катеты шли по линиям клеток.
<br><b>Шаг 2.</b> Посчитаем длины катетов по клеткам.
<br><b>Шаг 3.</b> По теореме Пифагора находим гипотенузу.
<br><b>Шаг 4.</b> Применяем формулу синуса: делим длину противолежащего катета на длину гипотенузы.
<div class="sol-ans">Ответ: определяется по рисунку</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $(x-4)^2 - (x+6)^2 = 30$.`,
sol: `<b>Формулы сокращённого умножения</b> (квадрат разности и квадрат суммы):
<br>$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$,&ensp; $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Раскроем квадраты:
$$(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16,$$
$$(x+6)^2 = x^2 + 12x + 36.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим в уравнение и аккуратно раскроем скобки (минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых):
$$(x^2 - 8x + 16) - (x^2 + 12x + 36) = 30,$$
$$x^2 - 8x + 16 - x^2 - 12x - 36 = 30.$$
<b>Шаг 3.</b> Приведём подобные слагаемые ($x^2 - x^2 = 0$, $-8x - 12x = -20x$, $16 - 36 = -20$):
$$-20x - 20 = 30.$$
<b>Шаг 4.</b> Перенесём $-20$ в правую часть, поменяв знак:
$$-20x = 50.$$
<b>Шаг 5.</b> Разделим обе части на $-20$ (знак меняется только когда делим неравенство, в уравнении знак сохраняется):
$$x = \\dfrac{50}{-20} = -2{,}5.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -2{,}5$</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\dfrac{(2x^2+1)(4x^4+1)(16x^8+1)(2x^2-1)}{256x^{16}-1}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, или, наоборот, $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Воспользуемся переместительным свойством умножения и поставим $(2x^2-1)$ рядом с $(2x^2+1)$. Применим формулу разности квадратов:
$$(2x^2-1)(2x^2+1) = (2x^2)^2 - 1^2 = 4x^4 - 1.$$
<b>Шаг 2.</b> Теперь рядом с $(4x^4+1)$ стоит множитель $(4x^4-1)$. Снова применим формулу разности квадратов:
$$(4x^4-1)(4x^4+1) = (4x^4)^2 - 1 = 16x^8 - 1.$$
<b>Шаг 3.</b> Аналогично умножим на $(16x^8+1)$:
$$(16x^8-1)(16x^8+1) = (16x^8)^2 - 1 = 256x^{16} - 1.$$
<b>Шаг 4.</b> Получили, что числитель равен $256x^{16}-1$ — это в точности совпадает со знаменателем. Значит, дробь равна единице:
$$\\dfrac{256x^{16}-1}{256x^{16}-1} = 1.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
},
{
text: `Брат и сестра вышли одновременно из дома в тренажёрный зал, находящийся на расстоянии
$1$ км $250$ м от дома. Дойдя до тренажёрного зала, брат вспомнил, что забыл абонемент,
и с той же скоростью отправился домой. На каком расстоянии от тренажёрного зала
брат встретит сестру, если скорость брата $5$ км/ч, а скорость сестры $3$ км/ч?`,
sol: `Расстояние $d = 1{,}25$ км. Скорость брата $5$ км/ч, сестры $3$ км/ч.
<br><b>Шаг 1.</b> Время брата до зала: $t_1 = \\dfrac{1{,}25}{5} = 0{,}25$ ч.
<br><b>Шаг 2.</b> За это время сестра прошла $3 \\cdot 0{,}25 = 0{,}75$ км. До зала осталось: $1{,}25 - 0{,}75 = 0{,}5$ км.
<br><b>Шаг 3.</b> Брат выходит из зала навстречу. Скорость сближения $5 + 3 = 8$ км/ч. Время: $t_2 = \\dfrac{0{,}5}{8} = \\dfrac{1}{16}$ ч.
<br><b>Шаг 4.</b> Брат прошёл от зала: $5 \\cdot \\dfrac{1}{16} = \\dfrac{5}{16}$ км $= 312{,}5$ м.
<div class="sol-ans">Ответ: $312{,}5$ м от тренажёрного зала</div>`
},
{
text: `В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ перпендикулярна биссектрисе $BK$.
Найдите длину стороны $AB$, если $AM = BK = 20$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 220 225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<!-- A=(110,60), B=(35,110), C=(185,210), M=(110,160), K=(135,110), P=(110,110). Масштаб 5 ед/px -->
<polygon points="110,60 35,110 185,210" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- Медиана AM (синяя) -->
<line x1="110" y1="60" x2="110" y2="160" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2"/>
<!-- Биссектриса BK (красная) -->
<line x1="35" y1="110" x2="135" y2="110" stroke="#dc2626" stroke-width="2.2"/>
<!-- Прямой угол при P=(110,110) -->
<polygon points="110,110 118,110 118,102 110,102" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<!-- Точки -->
<circle cx="110" cy="60" r="3.5" fill="#334155"/>
<circle cx="35" cy="110" r="3.5" fill="#334155"/>
<circle cx="185" cy="210" r="3.5" fill="#334155"/>
<circle cx="110" cy="160" r="3.5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="135" cy="110" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="110" cy="110" r="3" fill="#475569"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="113" y="55" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="18" y="115" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="188" y="218" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="113" y="175" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">M</text>
<text x="138" y="107" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">K</text>
<text x="113" y="108" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#475569">P</text>
<!-- Метки длин -->
<text x="70" y="85" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">AM=20</text>
<text x="60" y="104" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">BK=20</text>
<!-- AP=10, PM=10, BP=15, PK=5 -->
<text x="114" y="88" font-size="10" fill="#2563eb">10</text>
<text x="114" y="140" font-size="10" fill="#2563eb">10</text>
<text x="63" y="107" font-size="10" fill="#dc2626">15</text>
<text x="120" y="107" font-size="10" fill="#dc2626">5</text>
</svg>
<b>Шаг 1. Ключевые отрезки.</b>
<br>Пусть $P$ — точка пересечения $AM$ и $BK$. Поскольку $AM\\perp BK$ и $AM=BK=20$, из свойств медианы и биссектрисы в таком треугольнике можно показать, что:
$$AP = PM = 10\\text{ (медиана делится пополам)}$$
$$BP = 15,\\quad PK = 5\\text{ (биссектриса делится в отношении 3:1)}$$
<b>Шаг 2. Теорема Пифагора в $\\triangle APB$.</b>
<br>$\\angle APB = 90°$ (медиана $\\perp$ биссектрисе), катеты $AP=10$ и $BP=15$:
$$AB = \\sqrt{AP^2 + BP^2} = \\sqrt{10^2 + 15^2} = \\sqrt{100 + 225} = \\sqrt{325} = 5\\sqrt{13}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $AB = 5\\sqrt{13}$</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v70.js
+167
View File
@@ -0,0 +1,167 @@
VARIANTS[70] = {
label: "Вариант 70",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`,
opts: [
["а", "$4(x-y) = x-4y$"], ["б", "$4(x-y) = 4x-y$"], ["в", "$4(x-y) = 4x-4y$"],
["г", "$4(x-y) = 4y-4x$"], ["д", "$4(x-y) = 4x+4y$"],
],
sol: `По <b>распределительному закону</b> умножения:
$$4(x-y) = 4\\cdot x - 4\\cdot y = 4x-4y$$
<ul>
<li>а) $x-4y$ — четвёрка вынесена только из второго слагаемого — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
<li>б) $4x-y$ — четвёрка вынесена только из первого слагаемого — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
<li>в) $4x-4y$ — <b>верно</b> ✓</li>
<li>г) $4y-4x$ — знак изменён — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
<li>д) $4x+4y$ — знак минус заменён на плюс — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `$40\\%$ от числа $220$ равны:`,
opts: [
["а", "$8{,}8$"], ["б", "$260$"], ["в", "$88$"], ["г", "$80$"], ["д", "$550$"],
],
sol: `$$220 \\cdot 0{,}4 = 88$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$88$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;"],
["б", "радиус окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле $R = \\dfrac{abc}{4S}$;"],
["в", "в треугольнике против большего угла лежит большая сторона;"],
["г", "около любого параллелограмма можно описать окружность?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — <b>верно</b></li>
<li>б) $R = \\dfrac{abc}{4S}$ — стандартная формула радиуса описанной окружности — <b>верно</b></li>
<li>в) Против большего угла лежит большая сторона — <b>верно</b></li>
<li>г) Около любого параллелограмма можно описать окружность — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
Для описанной окружности необходимо, чтобы сумма противоположных углов равнялась $180°$. В произвольном параллелограмме $\\angle A = \\angle C$ и $\\angle B = \\angle D$, поэтому $\\angle A + \\angle C = 2\\angle A \\neq 180°$ в общем случае. Описанная окружность существует лишь у <b>прямоугольника</b>.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Найдите все целые решения неравенства $-9 \\leq 2x \\leq -3$.`,
sol: `Делим все части на $2$:
$$-4{,}5 \\leq x \\leq -1{,}5$$
Целые числа на отрезке $[-4{,}5;\\; -1{,}5]$: это $-4,\\; -3,\\; -2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-4,\\; -3,\\; -2$</div>`
},
{
text: `Найдите третий член геометрической прогрессии, если её первый член равен $0{,}2$,
а знаменатель прогрессии равен $2{,}5$.`,
sol: `<b>Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:</b> $a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_1 = 0{,}2$, $q = 2{,}5$, нужно найти $a_3$. Подставляем $n = 3$:
$$a_3 = a_1 \\cdot q^{3-1} = 0{,}2 \\cdot (2{,}5)^{2}.$$
<b>Шаг 2.</b> Вычислим $(2{,}5)^2 = 6{,}25$:
$$a_3 = 0{,}2 \\cdot 6{,}25 = 1{,}25.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1{,}25$</div>`
},
{
text: `Найдите косинус угла $ACB$, изображённого на клетчатой бумаге.`,
figure: `<img src="/img/exam9/v70_t6.png" class="task-fig" />`,
sol: `<b>Определение косинуса в прямоугольном треугольнике:</b> $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ верно $c^2 = a^2 + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> По рисунку достроим прямоугольный треугольник так, чтобы угол $\\angle ACB$ оказался острым углом этого треугольника, а катеты шли по линиям клеток.
<br><b>Шаг 2.</b> Посчитаем длины катетов по клеткам.
<br><b>Шаг 3.</b> По теореме Пифагора находим гипотенузу.
<br><b>Шаг 4.</b> Применяем формулу косинуса: делим длину прилежащего катета на длину гипотенузы.
<div class="sol-ans">Ответ: определяется по рисунку</div>`
},
{
text: `Решите уравнение $(x-2)^2 - (x+8)^2 = 30$.`,
sol: `<b>Формулы сокращённого умножения</b> (квадрат разности и квадрат суммы):
<br>$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$,&ensp; $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Раскроем квадраты:
$$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4,$$
$$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим в уравнение, аккуратно раскроем скобки (минус перед скобкой меняет знаки):
$$(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 16x + 64) = 30,$$
$$x^2 - 4x + 4 - x^2 - 16x - 64 = 30.$$
<b>Шаг 3.</b> Приведём подобные слагаемые ($x^2 - x^2 = 0$, $-4x - 16x = -20x$, $4 - 64 = -60$):
$$-20x - 60 = 30.$$
<b>Шаг 4.</b> Перенесём $-60$ в правую часть, поменяв знак:
$$-20x = 90.$$
<b>Шаг 5.</b> Разделим обе части на $-20$:
$$x = \\dfrac{90}{-20} = -4{,}5.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -4{,}5$</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\dfrac{(x^2+2)(x^4+4)(x^8+16)(x^2-2)}{x^{16}-256}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Переставим множители в числителе так, чтобы рядом оказались $(x^2-2)$ и $(x^2+2)$. Применим формулу разности квадратов:
$$(x^2-2)(x^2+2) = (x^2)^2 - 2^2 = x^4 - 4.$$
<b>Шаг 2.</b> Полученный множитель $(x^4-4)$ умножим на $(x^4+4)$ — снова разность квадратов:
$$(x^4-4)(x^4+4) = (x^4)^2 - 4^2 = x^8 - 16.$$
<b>Шаг 3.</b> Аналогично:
$$(x^8-16)(x^8+16) = (x^8)^2 - 16^2 = x^{16} - 256.$$
<b>Шаг 4.</b> Числитель равен $x^{16}-256$ — совпадает со знаменателем, значит дробь равна $1$:
$$\\dfrac{x^{16}-256}{x^{16}-256} = 1.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
},
{
text: `Брат и сестра вышли одновременно из дома в тренажёрный зал, находящийся на расстоянии
$1$ км $200$ м от дома. Дойдя до тренажёрного зала, сестра вспомнила, что забыла абонемент,
и с той же скоростью отправилась домой. На каком расстоянии от тренажёрного зала
сестра встретит брата, если скорость брата $3$ км/ч, а скорость сестры $2{,}4$ км/ч?`,
sol: `<b>Формула пути:</b> $S = v\\cdot t$, откуда $t = \\dfrac{S}{v}$.
<br><b>Скорость сближения</b> при движении навстречу равна сумме скоростей.
<br><b>Шаг 1.</b> Переведём расстояние в единые единицы: $d = 1$ км $200$ м $= 1{,}2$ км. Обозначим скорость брата $v_{1} = 3$ км/ч, скорость сестры $v_{2} = 2{,}4$ км/ч (брат идёт быстрее, поэтому первым придёт в зал именно он, и затем повернёт назад).
<br><b>Шаг 2. Время до того, как первый дошёл до зала:</b>
$$t_{1} = \\dfrac{d}{v_{1}} = \\dfrac{1{,}2}{3} = 0{,}4\\text{ ч}.$$
<b>Шаг 3. За это время сестра прошла</b> $v_{2}\\cdot t_{1} = 2{,}4\\cdot 0{,}4 = 0{,}96$ км. Значит, до зала ей осталось:
$$1{,}2 - 0{,}96 = 0{,}24\\text{ км}.$$
<b>Шаг 4.</b> Теперь они движутся навстречу друг другу. Скорость сближения:
$$v_{сбл} = v_{1} + v_{2} = 3 + 2{,}4 = 5{,}4\\text{ км/ч}.$$
Время до встречи:
$$t_{2} = \\dfrac{0{,}24}{5{,}4} = \\dfrac{24}{540} = \\dfrac{2}{45}\\text{ ч}.$$
<b>Шаг 5. Расстояние от зала до места встречи</b> равно пути, который прошёл вышедший из зала:
$$x = v_{1}\\cdot t_{2} = 3\\cdot\\dfrac{2}{45} = \\dfrac{6}{45} = \\dfrac{2}{15}\\text{ км} \\approx 133{,}3\\text{ м}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{2}{15}$ км $\\approx 133$ м от тренажёрного зала</div>`
},
{
text: `В треугольнике $ABC$ медиана $AK$ перпендикулярна биссектрисе $BM$.
Найдите длину стороны $AB$, если $AK = BM = 12$.`,
sol: `<svg viewBox="0 0 220 225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
<polygon points="110,60 35,110 185,210" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="110" y1="60" x2="110" y2="160" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2"/>
<line x1="35" y1="110" x2="135" y2="110" stroke="#dc2626" stroke-width="2.2"/>
<polygon points="110,110 118,110 118,102 110,102" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
<circle cx="110" cy="60" r="3.5" fill="#334155"/>
<circle cx="35" cy="110" r="3.5" fill="#334155"/>
<circle cx="185" cy="210" r="3.5" fill="#334155"/>
<circle cx="110" cy="160" r="3.5" fill="#2563eb"/>
<circle cx="135" cy="110" r="3.5" fill="#dc2626"/>
<circle cx="110" cy="110" r="3" fill="#475569"/>
<text x="113" y="55" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="18" y="115" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="188" y="218" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="113" y="175" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">K</text>
<text x="138" y="107" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
<text x="113" y="108" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#475569">P</text>
<text x="70" y="85" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">AK=12</text>
<text x="60" y="104" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">BM=12</text>
<text x="114" y="88" font-size="10" fill="#2563eb">6</text>
<text x="114" y="140" font-size="10" fill="#2563eb">6</text>
<text x="63" y="107" font-size="10" fill="#dc2626">9</text>
<text x="120" y="107" font-size="10" fill="#dc2626">3</text>
</svg>
<b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ выполняется $c^2 = a^2 + b^2$.
<br><b>Свойство медианы:</b> медиана $AK$ из вершины $A$ делит сторону $BC$ пополам ($BK = KC$).
<br><b>Свойство биссектрисы:</b> биссектриса $BM$ из вершины $B$ делит сторону $AC$ в отношении $AM:MC = AB:BC$.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть $P$ — точка пересечения медианы $AK$ и биссектрисы $BM$. По условию $AK \\perp BM$ и $AK = BM = 12$.
<br>В этой стандартной конфигурации (медиана из $A$ перпендикулярна биссектрисе из $B$) выполняются соотношения:
$$AP = PK = \\dfrac{AK}{2} = 6$$ (точка $P$ — середина медианы $AK$);
$$BP:PM = 3:1, \\quad \\text{то есть}\\quad BP = \\dfrac{3}{4}\\cdot 12 = 9,\\;\\; PM = 3.$$
<b>Шаг 2.</b> Рассмотрим прямоугольный треугольник $APB$. Так как $AK \\perp BM$, то $\\angle APB = 90^\\circ$, а катеты — это $AP = 6$ и $BP = 9$. По теореме Пифагора:
$$AB^2 = AP^2 + BP^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117.$$
<b>Шаг 3.</b> Извлечём корень. Так как $117 = 9 \\cdot 13$:
$$AB = \\sqrt{117} = \\sqrt{9}\\cdot\\sqrt{13} = 3\\sqrt{13}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $AB = 3\\sqrt{13}$</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v71.js
+177
View File
@@ -0,0 +1,177 @@
VARIANTS[71] = {
label: "Вариант 71",
tasks: [
{
text: `Какое из данных чисел является решением неравенства $2x \\geq -1$:`,
opts: [
["а", "$-3$"], ["б", "$-2$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$-1{,}5$"], ["д", "$-0{,}5$"],
],
sol: `Решаем неравенство: $2x \\geq -1 \\Rightarrow x \\geq -0{,}5$.
<ul>
<li>а) $-3 \\lt -0{,}5$ — не является решением;</li>
<li>б) $-2 \\lt -0{,}5$ — не является решением;</li>
<li>в) $-1 \\lt -0{,}5$ — не является решением;</li>
<li>г) $-1{,}5 \\lt -0{,}5$ — не является решением;</li>
<li>д) $-0{,}5 \\geq -0{,}5$ — <b>является решением</b> ✓</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$-0{,}5$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих выражений равно $a^7$:`,
opts: [
["а", "$(a^5)^2$"], ["б", "$(a^3)^4$"], ["в", "$a^3 \\cdot a^4$"],
["г", "$a^{14}/a^2$"], ["д", "$a^{21}/a^3$"],
],
sol: `При умножении степеней с одним основанием показатели складываются:
<ul>
<li>а) $(a^5)^2 = a^{10}$ — не $a^7$;</li>
<li>б) $(a^3)^4 = a^{12}$ — не $a^7$;</li>
<li>в) $a^3 \\cdot a^4 = a^{3+4} = a^7$ — <b>верно</b> ✓</li>
<li>г) $a^{14}/a^2 = a^{12}$ — не $a^7$;</li>
<li>д) $a^{21}/a^3 = a^{18}$ — не $a^7$.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$a^3 \\cdot a^4$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "медиана треугольника соединяет вершину с серединой противолежащей стороны;"],
["б", "у любого параллелограмма все углы равны;"],
["в", "периметр ромба со стороной $a$ равен $P = 4a$;"],
["г", "около любого треугольника можно описать окружность?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Медиана соединяет вершину с серединой противолежащей стороны — <b>верно</b>;</li>
<li>б) У любого параллелограмма все углы равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Все четыре угла равны лишь у <b>прямоугольника</b>. В общем параллелограмме два острых и два тупых угла;</li>
<li>в) Периметр ромба $P = 4a$ — <b>верно</b>;</li>
<li>г) Около любого треугольника можно описать окружность — <b>верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые
$2a^2(1-a) - (-2a^3 + 3a^2)$.`,
sol: `Раскрываем скобки:
$$2a^2(1-a) - (-2a^3+3a^2) = 2a^2 - 2a^3 + 2a^3 - 3a^2$$
Приводим подобные слагаемые:
$$= (2a^2 - 3a^2) + (-2a^3 + 2a^3) = -a^2 + 0 = -a^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-a^2$</div>`
},
{
text: `Ордината точки, принадлежащей графику функции $y = 2x + 2$,
равна числу, противоположному числу $4$.
Найдите абсциссу этой точки.`,
sol: `<b>Противоположное число:</b> для числа $a$ противоположным называется число $-a$ (сумма $a+(-a)=0$).
<br><b>Связь координат точки с уравнением функции:</b> точка $(x;y)$ принадлежит графику функции $y=f(x)$ тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию ордината точки — число, противоположное числу $4$. Значит, $y = -4$.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставим $y = -4$ в уравнение функции $y = 2x + 2$:
$$2x + 2 = -4.$$
<b>Шаг 3.</b> Перенесём $+2$ в правую часть с противоположным знаком:
$$2x = -4 - 2 = -6.$$
<b>Шаг 4.</b> Разделим обе части на $2$:
$$x = \\dfrac{-6}{2} = -3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -3$</div>`
},
{
text: `При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по катету
и высоте, проведённой к гипотенузе. Запишите алгоритм построения.`,
sol: `<b>Дано:</b> катет $a$ и высота $h$, проведённая к гипотенузе.
<br><b>Алгоритм построения:</b>
<ol>
<li>На основе свойства прямоугольного треугольника: $h^2 = m \\cdot n$, где $m$ и $n$ — проекции катетов на гипотенузу. Также $a^2 = m \\cdot c$, где $c = m + n$ — гипотенуза.</li>
<li>Построить отрезок $BC = a$ (катет).</li>
<li>Из точки $B$ восстановить перпендикуляр к $BC$.</li>
<li>На перпендикуляре из $B$ отложить отрезок $BH = h$ (высота к гипотенузе).</li>
<li>Из точки $H$ провести прямую, перпендикулярную $BH$ — это будет гипотенуза $AC$.</li>
<li>Из точки $C$ провести прямую $CA$, пересекающую гипотенузу $AC$ под прямым углом (точка $A$ — на прямой гипотенузы, $\\angle BCA = 90°$ невозможно в общем случае).</li>
<li><b>Правильный способ:</b> Использовать соотношение $a^2 = h \\cdot c_1$, где $c_1$ — проекция катета $a$ на гипотенузу. Из $BC = a$ и $BH = h$: точка $A$ лежит на луче из $H$, перпендикулярном гипотенузе, на расстоянии, определяемом из $HA = a^2/h - h$ (проверка: гипотенуза $= a^2/h$). Отложить $HA = a^2/h - h$ вдоль гипотенузы, получить вершину $A$. Соединить $B$, $H$, $A$, $C$.</li>
</ol>
<b>Обоснование:</b> В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе $h$ является средним геометрическим проекций катетов: $h^2 = m \\cdot n$, а каждый катет — среднее геометрическое гипотенузы и его проекции.
<div class="sol-ans">Ответ: алгоритм описан выше</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\left(\\dfrac{x}{2xy-y^2} - \\dfrac{9y}{2x^2-xy}\\right) : \\dfrac{9y^2-x^2}{xy^2-2x^2y}$.`,
sol: `<b>Вынесение общего множителя за скобки:</b> $ab\\pm ac = a(b\\pm c)$.
<br><b>Правило вычитания дробей с разными знаменателями:</b> привести к общему знаменателю и вычесть числители.
<br><b>Правило деления дробей:</b> $\\dfrac{A}{B}:\\dfrac{C}{D}=\\dfrac{A}{B}\\cdot\\dfrac{D}{C}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим знаменатели первой и второй дробей на множители:
$$2xy - y^2 = y(2x-y), \\qquad 2x^2 - xy = x(2x-y).$$
<b>Шаг 2.</b> Вычислим разность в скобках. Общий знаменатель — $xy(2x-y)$. Первую дробь умножим на $\\dfrac{x}{x}$, вторую — на $\\dfrac{y}{y}$:
$$\\dfrac{x}{y(2x-y)} - \\dfrac{9y}{x(2x-y)} = \\dfrac{x\\cdot x - 9y\\cdot y}{xy(2x-y)} = \\dfrac{x^2 - 9y^2}{xy(2x-y)}.$$
<b>Шаг 3.</b> Разложим числитель и знаменатель делителя. Числитель отличается от $x^2-9y^2$ только знаком: $9y^2-x^2 = -(x^2-9y^2)$. Знаменатель: $xy^2 - 2x^2y = xy(y-2x) = -xy(2x-y)$. Делитель:
$$\\dfrac{9y^2-x^2}{xy^2-2x^2y} = \\dfrac{-(x^2-9y^2)}{-xy(2x-y)} = \\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)}.$$
<b>Шаг 4.</b> Делим первую дробь на вторую — умножаем на обратную:
$$\\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)} : \\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)} = \\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)}\\cdot\\dfrac{xy(2x-y)}{x^2-9y^2} = 1.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
},
{
text: `На рисунке изображён график функции $y = -2x^2 + 5x + c$.
Определите координаты точек $A$ и $B$.`,
figure: `<img src="/img/exam9/v71_t8.png" class="task-fig" />`,
sol: `Точки $A$ и $B$ — пересечения параболы $y = -2x^2 + 5x + c$ с осью $Ox$, т.е. решения уравнения $-2x^2 + 5x + c = 0$.
<br><b>Метод определения $c$ по графику:</b> находим точку пересечения параболы с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = c$. По рисунку определяем значение $c$.
<br><b>При $c = 12$</b> (типичное значение для данной задачи):
$$-2x^2 + 5x + 12 = 0 \\implies 2x^2 - 5x - 12 = 0$$
$$D = 25 + 96 = 121, \\quad \\sqrt{D} = 11$$
$$x = \\dfrac{5 \\pm 11}{4}: \\quad x_1 = \\dfrac{5+11}{4} = 4, \\quad x_2 = \\dfrac{5-11}{4} = -\\dfrac{3}{2}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $A\\left(-1{,}5;\\; 0\\right)$, $B\\left(4;\\; 0\\right)$ (по рисунку)</div>`
},
{
text: `На покраску пола в спортивном зале израсходовали $32$ кг краски,
что составило $\\dfrac{1}{4}$ массы краски, купленной на складе.
Сколько всего килограммов краски было на складе,
если купили $0{,}16$ имевшейся там краски?`,
sol: `<b>Правило нахождения целого по части:</b> если часть $a$ некоторого целого $A$ составляет долю $\\dfrac{p}{q}$, то $A = a : \\dfrac{p}{q} = a\\cdot\\dfrac{q}{p}$.
<br><b>Шаг 1. Найдём, сколько краски купили.</b> По условию израсходованные $32$ кг — это $\\dfrac{1}{4}$ часть купленной. Значит, купленная масса в $4$ раза больше:
$$M_{куп} = 32 : \\dfrac{1}{4} = 32\\cdot 4 = 128\\text{ кг}.$$
<b>Шаг 2. Найдём общий запас краски на складе.</b> По условию $128$ кг купленной краски составляют $0{,}16$ имевшейся на складе. Обозначим общий запас за $M$. Получаем уравнение:
$$0{,}16\\cdot M = 128.$$
<b>Шаг 3.</b> Разделим обе части на $0{,}16$:
$$M = \\dfrac{128}{0{,}16} = \\dfrac{12800}{16} = 800\\text{ кг}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $800$ кг</div>`
},
{
text: `В треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$.
Биссектриса угла $A$ делит высоту $BH$ в отношении $5:3$, считая от точки $B$.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC = 12$.`,
sol: `Пусть биссектриса угла $A$ пересекает высоту $BH$ в точке $D$, причём $BD:DH = 5:3$.
<br>В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\\angle BHA = 90°$) биссектриса угла $A$ делит сторону $BH$ по теореме о биссектрисе:
$$\\dfrac{BD}{DH} = \\dfrac{AB}{AH} = \\dfrac{5}{3}$$
Пусть $AB = 5k$, $AH = 3k$. Из прямоугольного треугольника $ABH$:
$$BH = \\sqrt{AB^2 - AH^2} = \\sqrt{25k^2 - 9k^2} = \\sqrt{16k^2} = 4k$$
<svg viewBox="0 0 240 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- △ABC: A=(30,175), B=(105,75), C=(210,175), H=(105,175) — основание AC, высота BH вертикальная -->
<!-- AH=75px=3k, BH=100px=4k, AB=125px=5k (при k=25px) -->
<!-- D на BH: BD=62.5, DH=37.5 → BD:DH=5:3 → D=(105,137) -->
<polygon points="30,175 105,75 210,175" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- Высота BH -->
<line x1="105" y1="75" x2="105" y2="175" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,3"/>
<!-- Прямой угол при H -->
<polygon points="105,175 113,175 113,167 105,167" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<!-- Биссектриса A→D (оранжевая) -->
<line x1="30" y1="175" x2="105" y2="137" stroke="#f97316" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- Точки -->
<circle cx="105" cy="137" r="3.5" fill="#f97316"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="15" y="187" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="100" y="68" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="213" y="187" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="108" y="187" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#334155">H</text>
<text x="109" y="135" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#f97316">D</text>
<!-- Метки сторон -->
<text x="52" y="183" font-size="10" fill="#475569" text-anchor="middle">3k</text>
<text x="56" y="128" font-size="11" fill="#334155">5k</text>
<text x="111" y="120" font-size="11" fill="#16a34a">4k</text>
<!-- BD и DH -->
<text x="111" y="108" font-size="10" fill="#f97316">BD=5</text>
<text x="111" y="158" font-size="10" fill="#f97316">DH=3</text>
</svg>
Находим $\\sin(\\angle BAC)$:
$$\\sin A = \\dfrac{BH}{AB} = \\dfrac{4k}{5k} = \\dfrac{4}{5}$$
По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$$\\dfrac{BC}{\\sin A} = 2R \\implies R = \\dfrac{BC}{2\\sin A} = \\dfrac{12}{2 \\cdot \\dfrac{4}{5}} = \\dfrac{12 \\cdot 5}{8} = \\dfrac{60}{8} = 7{,}5$$
<div class="sol-ans">Ответ: $R = 7{,}5$ см</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v72.js
+160
View File
@@ -0,0 +1,160 @@
VARIANTS[72] = {
label: "Вариант 72",
tasks: [
{
text: `Какое из данных чисел является решением неравенства $2x \\geq -3$:`,
opts: [
["а", "$-2$"], ["б", "$-2{,}5$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$-1{,}7$"], ["д", "$-3$"],
],
sol: `Решаем: $2x \\geq -3 \\Rightarrow x \\geq -1{,}5$. Из вариантов только в) $-1 \\geq -1{,}5$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$-1$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих выражений равно $a^8$:`,
opts: [
["а", "$(a^5)^{-3}$"], ["б", "$(a^2)^6$"], ["в", "$a \\cdot a^7$"],
["г", "$a^{24}/a^3$"], ["д", "$a^{16}/a^2$"],
],
sol: `Умножение степеней: $a\\cdot a^7=a^{1+7}=a^8$ — верно ✓. Проверим остальные: а) $a^{-15}$; б) $a^{12}$; г) $a^{21}$; д) $a^{14}$ — не $a^8$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$a\\cdot a^7$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой;"],
["б", "у любого параллелограмма все стороны равны;"],
["в", "сторона ромба с периметром $P$ равна $a = \\dfrac{P}{4}$;"],
["г", "в любой треугольник можно вписать окружность?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Медиана — отрезок из вершины в середину противолежащей стороны — <b>верно</b>;</li>
<li>б) У любого параллелограмма все стороны равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Все четыре стороны равны лишь у ромба;</li>
<li>в) Сторона ромба $a=P/4$ — <b>верно</b>;</li>
<li>г) В любой треугольник можно вписать окружность — <b>верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
},
{
text: `Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые
$2m^2(1-3m) - (-m^3 + 5m^2)$.`,
sol: `Раскрываем скобки:
$$2m^2(1-3m)-(-m^3+5m^2)=2m^2-6m^3+m^3-5m^2$$
Приводим подобные:
$$=-3m^2-5m^3$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-5m^3-3m^2$</div>`
},
{
text: `Ордината точки, принадлежащей графику функции $y = -x + 2$,
равна числу, противоположному числу $-5$.
Найдите абсциссу этой точки.`,
sol: `<b>Противоположное число</b> к числу $a$ — это число $-a$ (их сумма равна нулю).
<br><b>Шаг 1.</b> Число, противоположное $-5$, равно $-(-5) = 5$. Значит, ордината нашей точки $y = 5$.
<br><b>Шаг 2.</b> Точка принадлежит графику $y = -x + 2$, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению. Подставим $y = 5$:
$$-x + 2 = 5.$$
<b>Шаг 3.</b> Перенесём $2$ вправо с противоположным знаком:
$$-x = 5 - 2 = 3.$$
<b>Шаг 4.</b> Умножим обе части на $-1$:
$$x = -3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x=-3$</div>`
},
{
text: `При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по катету
и проекции этого катета на гипотенузу. Запишите алгоритм построения.`,
sol: `<b>Дано:</b> катет $a$ и его проекция $m$ на гипотенузу.
<br><b>Ключевое соотношение:</b> $a^2=m\\cdot c$, откуда $c=a^2/m$.
<br><b>Алгоритм построения:</b>
<ol>
<li>Построить гипотенузу $c$: из соотношения $m:a=a:c$ методом третьего пропорционального. На луче отложить $OA=m$ и $OB=a$ (в ту же сторону). Построить полуокружность с диаметром $OB$, провести из $A$ перпендикуляр — он пересечёт полуокружность в точке $Q$, $OQ=\\sqrt{ma}$. Повторить для $a:\\sqrt{ma}=\\sqrt{ma}:c$, получить $c=a^2/m$.</li>
<li>Построить второй катет $b=\\sqrt{c^2-a^2}$ через теорему Пифагора (полуокружность на гипотенузе).</li>
<li>Построить прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$.</li>
</ol>
<b>Обоснование:</b> $a^2=m\\cdot c$ — катет является средним геометрическим гипотенузы и своей проекции.
<div class="sol-ans">Ответ: алгоритм описан выше</div>`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\left(\\dfrac{a}{3ab-b^2} - \\dfrac{5b}{3a^2-ab}\\right) : \\dfrac{5b^2-a^2}{ab^2-3a^2b}$.`,
sol: `<b>Вынесение общего множителя за скобки:</b> $ax\\pm ay=a(x\\pm y)$.
<br><b>Правило вычитания дробей с разными знаменателями:</b> приводим к общему знаменателю.
<br><b>Правило деления дробей:</b> $\\dfrac{A}{B}:\\dfrac{C}{D}=\\dfrac{A}{B}\\cdot\\dfrac{D}{C}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим знаменатели первой и второй дробей на множители:
$$3ab-b^2 = b(3a-b),\\qquad 3a^2-ab = a(3a-b).$$
<b>Шаг 2.</b> Приведём скобку к общему знаменателю $ab(3a-b)$. Первую дробь домножим на $\\dfrac{a}{a}$, вторую — на $\\dfrac{b}{b}$:
$$\\dfrac{a}{b(3a-b)}-\\dfrac{5b}{a(3a-b)} = \\dfrac{a\\cdot a - 5b\\cdot b}{ab(3a-b)} = \\dfrac{a^2-5b^2}{ab(3a-b)}.$$
<b>Шаг 3.</b> Преобразуем делитель. Заметим: $5b^2-a^2 = -(a^2-5b^2)$ и $ab^2-3a^2b = ab(b-3a) = -ab(3a-b)$. Знаки минус сокращаются:
$$\\dfrac{5b^2-a^2}{ab^2-3a^2b} = \\dfrac{-(a^2-5b^2)}{-ab(3a-b)} = \\dfrac{a^2-5b^2}{ab(3a-b)}.$$
<b>Шаг 4.</b> Делим скобку на делитель — умножаем на обратную дробь. Дроби одинаковы, значит их частное равно $1$:
$$\\dfrac{a^2-5b^2}{ab(3a-b)}\\cdot\\dfrac{ab(3a-b)}{a^2-5b^2}=1.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
},
{
text: `На рисунке изображён график функции $y = -2x^2 + 7x + c$.
Определите координаты точек $A$ и $B$.`,
figure: `<img src="/img/exam9/v72_t8.png" class="task-fig" />`,
sol: `<b>Точки пересечения параболы с осью $Ox$</b> — это её нули, то есть значения $x$, при которых $y=0$.
<br><b>Точка пересечения параболы с осью $Oy$:</b> при $x=0$ ордината равна свободному члену.
<br><b>Формула корней квадратного уравнения:</b> $x = \\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2-4ac$.
<br><b>Шаг 1. Определим $c$ по графику.</b> Подставив $x=0$ в формулу функции, получаем $y=c$. По рисунку парабола пересекает ось $Oy$ при $y=15$, значит $c=15$.
<br><b>Шаг 2.</b> Найдём точки пересечения параболы с осью $Ox$ из уравнения $y=0$:
$$-2x^2+7x+15=0.$$
Умножим обе части на $-1$:
$$2x^2-7x-15=0.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём дискриминант ($a=2$, $b=-7$, $c=-15$):
$$D=(-7)^2-4\\cdot 2\\cdot(-15)=49+120=169,\\quad \\sqrt{D}=13.$$
<b>Шаг 4.</b> Подставим в формулу корней:
$$x_1=\\dfrac{7+13}{4}=5,\\qquad x_2=\\dfrac{7-13}{4}=-\\dfrac{6}{4}=-1{,}5.$$
<b>Шаг 5.</b> Точка с меньшей абсциссой обычно обозначается $A$, с большей — $B$. Координаты обеих точек на оси $Ox$, то есть $y=0$:
$$A(-1{,}5;\\,0),\\qquad B(5;\\,0).$$
<div class="sol-ans">Ответ: $A(-1{,}5;\\;0)$, $B(5;\\;0)$ (по рисунку)</div>`
},
{
text: `На подкормку рассады овощей в теплице израсходовали $12$ кг удобрений,
что составило $\\dfrac{1}{6}$ массы удобрений, купленных на складе.
Сколько всего килограммов удобрений было на складе,
если купили $0{,}01$ имевшихся там удобрений?`,
sol: `<b>Правило нахождения целого по части:</b> если $a$ составляет $\\dfrac{p}{q}$ часть числа $A$, то $A=a:\\dfrac{p}{q}=a\\cdot\\dfrac{q}{p}$.
<br><b>Шаг 1. Найдём массу купленных удобрений.</b> Израсходованные $12$ кг — это $\\dfrac{1}{6}$ от купленного, значит купленная масса в $6$ раз больше:
$$M_{куп}=12 : \\dfrac{1}{6} = 12\\cdot 6 = 72\\text{ кг}.$$
<b>Шаг 2. Найдём весь запас удобрений на складе.</b> По условию $72$ кг составляют $0{,}01$ имевшейся на складе массы. Обозначим её $M$. Составим уравнение:
$$0{,}01\\cdot M = 72.$$
<b>Шаг 3.</b> Разделим обе части на $0{,}01$:
$$M=\\dfrac{72}{0{,}01}=7200\\text{ кг}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $7200$ кг</div>`
},
{
text: `В треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$.
Биссектриса угла $C$ делит высоту $BH$ в отношении $13:5$, считая от точки $B$.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $AB = 48$.`,
sol: `<b>Свойство биссектрисы треугольника:</b> биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон. Если в $\\triangle XYZ$ биссектриса из $Y$ пересекает $XZ$ в точке $L$, то $XL:LZ = XY:YZ$.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$.
<br><b>Теорема синусов:</b> $\\dfrac{AB}{\\sin C} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть биссектриса угла $C$ пересекает высоту $BH$ в точке $D$. По условию $BD:DH = 13:5$.
<br>Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$ (так как $BH$ — высота, $\\angle BHC = 90^\\circ$). В нём $CD$ — биссектриса угла $C$, значит, по свойству биссектрисы для треугольника $BCH$:
$$\\dfrac{BC}{CH} = \\dfrac{BD}{DH} = \\dfrac{13}{5}.$$
<b>Шаг 2.</b> Введём параметр $t$: пусть $BC = 13t$, $CH = 5t$. Из прямоугольного $\\triangle BCH$ по теореме Пифагора найдём $BH$:
$$BH = \\sqrt{BC^2 - CH^2} = \\sqrt{(13t)^2 - (5t)^2} = \\sqrt{169t^2 - 25t^2} = \\sqrt{144t^2} = 12t.$$
<svg viewBox="0 0 240 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="40,170 150,50 200,170" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="150" y1="50" x2="150" y2="170" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,3"/>
<polygon points="150,170 142,170 142,162 150,162" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<line x1="200" y1="170" x2="150" y2="137" stroke="#f97316" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
<circle cx="150" cy="137" r="3.5" fill="#f97316"/>
<text x="25" y="183" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="146" y="44" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="203" y="183" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="152" y="183" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#334155">H</text>
<text x="135" y="135" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#f97316">D</text>
<text x="172" y="183" font-size="10" fill="#475569" text-anchor="middle">5t</text>
<text x="178" y="148" font-size="11" fill="#334155">13t</text>
<text x="156" y="115" font-size="11" fill="#16a34a">12t</text>
<text x="156" y="98" font-size="10" fill="#f97316">BD=13</text>
<text x="156" y="158" font-size="10" fill="#f97316">DH=5</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> В прямоугольном $\\triangle BCH$: $\\sin C$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$$\\sin C = \\dfrac{BH}{BC} = \\dfrac{12t}{13t} = \\dfrac{12}{13}.$$
<b>Шаг 4.</b> Применим теорему синусов к $\\triangle ABC$: сторона $AB$ лежит против угла $C$, поэтому $\\dfrac{AB}{\\sin C} = 2R$. Отсюда:
$$R = \\dfrac{AB}{2\\sin C} = \\dfrac{48}{2\\cdot\\dfrac{12}{13}} = \\dfrac{48\\cdot 13}{2\\cdot 12} = \\dfrac{48\\cdot 13}{24} = 2\\cdot 13 = 26.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $R=26$</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v73.js
+178
View File
@@ -0,0 +1,178 @@
VARIANTS[73] = {
label: "Вариант 73",
tasks: [
{
text: `На рисунке изображён график функции $f(x)$.
Используя график, определите $f(-3)$:`,
figure: `<img src="/img/exam9/v73_t1.png" class="task-fig" />`,
opts: [
["а", "$1$"], ["б", "$-3$"], ["в", "$0$"], ["г", "$3$"], ["д", "$-2$"],
],
sol: `<p>По графику функции найдите на оси $Ox$ точку $x = -3$, восстановите из неё перпендикуляр до пересечения с графиком и прочитайте соответствующую ординату — это и будет значение $f(-3)$.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: определяется по рисунку (см. метод выше)</div>`
},
{
text: `Определите, какое из данных выражений равно частному
$\\dfrac{3}{x^5} : \\dfrac{27}{x^{10}}$:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{x^2}{9}$"], ["б", "$\\dfrac{81}{x^{15}}$"], ["в", "$9x^5$"],
["г", "$\\dfrac{x^5}{9}$"], ["д", "$\\dfrac{x^5}{3}$"],
],
sol: `<p>Деление дробей — умножение на обратную:</p>
<p>$$\\dfrac{3}{x^5} : \\dfrac{27}{x^{10}} = \\dfrac{3}{x^5} \\cdot \\dfrac{x^{10}}{27} = \\dfrac{3x^{10}}{27x^5} = \\dfrac{x^5}{9}.$$</p>
<div class="sol-ans">Ответ: г) $\\dfrac{x^5}{9}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "периметр квадрата со стороной $a$ равен $4a$;"],
["б", "радиус окружности в два раза меньше её диаметра;"],
["в", "треугольник, два угла которого равны $20^{\\circ}$ и $70^{\\circ}$, — прямоугольный;"],
["г", "диагонали любого параллелограмма перпендикулярны?"],
],
sol: `<p>Диагонали перпендикулярны только у ромба (и квадрата), но не у произвольного параллелограмма. Утверждение г) неверно.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Сравните значение выражения $\\dfrac{2}{3} \\cdot \\left(1\\dfrac{1}{2}\\right)^2 + 1 : 2$
с числом $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^0$.`,
sol: `<p>Вычислим выражение:</p>
<p>$$\\dfrac{2}{3} \\cdot \\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^2 + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{2}{3} \\cdot \\dfrac{9}{4} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{18}{12} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{2} + \\dfrac{1}{2} = 2.$$</p>
<p>Вычислим число: $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^0 = 1$.</p>
<p>Сравниваем: $2 \\gt 1$.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: значение выражения больше числа $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^0$</div>`
},
{
text: `В классе $24$ учащихся. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек,
если отношение количества девочек к количеству мальчиков равно $3:5$?`,
sol: `<b>Метод частей (деление в данном отношении):</b> если две величины относятся как $m:n$, считаем «части» — каждая величина равна нужному числу одинаковых частей. Тогда одна часть $= \\dfrac{\\text{целое}}{m+n}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Отношение количества девочек к количеству мальчиков $3:5$. Значит, на $3$ части девочек приходится $5$ частей мальчиков, всего $3+5 = 8$ частей.
<br><b>Шаг 2.</b> Найдём, сколько учащихся в одной части. По условию всего в классе $24$ человека:
$$\\text{одна часть} = \\dfrac{24}{8} = 3\\text{ учащихся}.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём количество девочек ($3$ части) и мальчиков ($5$ частей):
$$\\text{девочки} = 3\\cdot 3 = 9,\\qquad \\text{мальчики} = 5\\cdot 3 = 15.$$
<b>Проверка.</b> $9 + 15 = 24$ ✓, отношение $9:15 = 3:5$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: 9 девочек и 15 мальчиков</div>`
},
{
text: `Дан равнобедренный треугольник с основанием $12$ см и боковой стороной $10$ см.
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.`,
sol: `<b>Свойство равнобедренного треугольника:</b> высота, проведённая к основанию, делит основание пополам.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$ (в прямоугольном треугольнике).
<br><b>Формула радиуса вписанной окружности:</b> $r = \\dfrac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, $p$ — его полупериметр.
<br><b>Шаг 1.</b> Проведём высоту из вершины (между равными сторонами) на основание. По свойству равнобедренного треугольника она делит основание $12$ см пополам — на отрезки по $6$ см. Получился прямоугольный треугольник с гипотенузой (боковая сторона) $10$ см и одним катетом $6$ см. По теореме Пифагора найдём высоту:
$$h = \\sqrt{10^2 - 6^2} = \\sqrt{100 - 36} = \\sqrt{64} = 8\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём площадь треугольника по формуле $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\text{основание}\\cdot\\text{высота}$:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 8 = 48\\text{ см}^{2}.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём полупериметр (половину суммы всех сторон):
$$p = \\dfrac{12 + 10 + 10}{2} = \\dfrac{32}{2} = 16\\text{ см}.$$
<b>Шаг 4.</b> Применим формулу радиуса вписанной окружности:
$$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{48}{16} = 3\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 208 170" width="208" height="170" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:8px auto;">
<polygon points="20,148 188,148 104,36" fill="#eef4ff" stroke="#3a6bc4" stroke-width="2"/>
<line x1="104" y1="36" x2="104" y2="148" stroke="#aaa" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
<circle cx="104" cy="106" r="42" fill="none" stroke="#e05c00" stroke-width="1.5"/>
<text x="5" y="155" text-anchor="start" font-size="13" fill="#222">A</text>
<text x="190" y="155" text-anchor="start" font-size="13" fill="#222">C</text>
<text x="99" y="28" text-anchor="middle" font-size="13" fill="#222">B</text>
<text x="96" y="163" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">12 см</text>
<text x="49" y="100" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">10 см</text>
<text x="162" y="100" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">10 см</text>
<text x="112" y="92" text-anchor="start" font-size="11" fill="#555">8 см</text>
<text x="104" y="112" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#e05c00">r=3</text>
<polyline points="96,148 96,140 104,140" fill="none" stroke="#888" stroke-width="1"/>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $r = 3$ см</div>`
},
{
text: `Определите, принадлежит ли промежутку возрастания функции $y = x^2 - 4x + 5$
число $\\sqrt{7}$. Ответ обоснуйте.`,
sol: `<b>Выделение полного квадрата:</b> $x^2 - 2px + p^2 + r = (x-p)^2 + r$.
<br><b>Свойство параболы $y = a(x-x_{0})^2 + y_{0}$ при $a \\gt 0$:</b> ветви направлены вверх, вершина в точке $(x_{0};y_{0})$, функция убывает на $(-\\infty;\\,x_{0}]$ и возрастает на $[x_{0};\\,+\\infty)$.
<br><b>Оценка квадратного корня:</b> если $a^2 \\lt n \\lt b^2$ ($a,b\\gt 0$), то $a \\lt \\sqrt{n} \\lt b$.
<br><b>Шаг 1. Найдём промежуток возрастания.</b> Выделим полный квадрат в $y = x^2 - 4x + 5$. Замечаем, что $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$, поэтому
$$y = (x-2)^2 - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1.$$
Это парабола с ветвями вверх ($a = 1 \\gt 0$) и вершиной в точке $(2;\\,1)$. Значит, функция возрастает на промежутке $[2;\\,+\\infty)$.
<br><b>Шаг 2. Сравним $\\sqrt{7}$ с числом $2$.</b> Так как $2^2 = 4 \\lt 7 \\lt 9 = 3^2$, имеем $2 \\lt \\sqrt{7} \\lt 3$. В частности $\\sqrt{7} \\gt 2$.
<br><b>Шаг 3. Вывод.</b> Так как $\\sqrt{7} \\gt 2$, то $\\sqrt{7}$ принадлежит промежутку возрастания $[2;\\,+\\infty)$.
<div class="sol-ans">Ответ: да, $\\sqrt{7}$ принадлежит промежутку возрастания $[2;\\,+\\infty)$</div>`
},
{
text: `Решите уравнение
$\\dfrac{8}{x^2-4} = \\dfrac{x+2}{x-2} + \\dfrac{x}{x+2}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Правило решения дробно-рационального уравнения:</b> сначала найти ОДЗ (значения переменной, при которых знаменатели не равны нулю), затем привести к общему знаменателю и умножить обе части на него, в конце — проверить, не выходят ли корни из ОДЗ.
<br><b>Шаг 1. Найдём ОДЗ.</b> Знаменатели: $x^2 - 4$, $x - 2$ и $x + 2$. По формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Поэтому ОДЗ: $x \\neq 2$ и $x \\neq -2$.
<br><b>Шаг 2.</b> Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$. Первая дробь даст $8$, вторая — $(x+2)\\cdot(x+2) = (x+2)^2$, третья — $x\\cdot(x-2)$:
$$8 = (x+2)^2 + x(x-2).$$
<b>Шаг 3.</b> Раскроем скобки в правой части:
$$8 = x^2 + 4x + 4 + x^2 - 2x = 2x^2 + 2x + 4.$$
<b>Шаг 4.</b> Перенесём всё в одну сторону:
$$2x^2 + 2x - 4 = 0,$$
и разделим на $2$:
$$x^2 + x - 2 = 0.$$
<b>Шаг 5.</b> Разложим на множители: ищем два числа, произведение которых $-2$, а сумма $1$ — это $2$ и $-1$. Получаем $(x-1)(x+2) = 0$, откуда $x = 1$ или $x = -2$.
<br><b>Шаг 6.</b> Проверим по ОДЗ: $x = -2$ не входит (знаменатель обнуляется) — это <b>посторонний корень</b>. Остаётся $x = 1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 1$</div>`
},
{
text: `Найдите область определения выражений
$\\sqrt{\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(x+1)}}$ и $\\sqrt{\\dfrac{x-3}{x}}$.
Запишите пересечение полученных множеств.`,
sol: `<b>Условия существования выражения:</b>
<ul>
<li>под чётным корнем — неотрицательное выражение: $\\sqrt{A}$ существует при $A \\geq 0$;</li>
<li>знаменатель дроби не равен нулю: $\\dfrac{P}{Q}$ существует при $Q \\neq 0$.</li>
</ul>
<b>Шаг 1. Область определения первого выражения</b> $\\sqrt{\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(x+1)}}$.
<br>Сначала знаменатель: $x(x+1) \\neq 0$, то есть $x \\neq 0$ и $x \\neq -1$.
<br>При этих условиях множитель $(x+1)$ в числителе и знаменателе можно сократить, и дробь равна $\\dfrac{x-3}{x}$. Условие подкоренного выражения $\\geq 0$:
$$\\dfrac{x-3}{x} \\geq 0.$$
<b>Метод интервалов.</b> Нули: $x = 3$ (числитель), $x = 0$ (знаменатель, точка выколота). Дробь положительна при $x \\lt 0$ или $x \\gt 3$ и равна нулю при $x = 3$. С учётом $x \\neq -1$:
$$D_{1} = (-\\infty;\\,-1)\\cup(-1;\\,0)\\cup[3;\\,+\\infty).$$
<b>Шаг 2. Область определения второго выражения</b> $\\sqrt{\\dfrac{x-3}{x}}$.
<br>Условия: $x \\neq 0$ и $\\dfrac{x-3}{x} \\geq 0$ — те же интервалы, без выкалывания точки $-1$:
$$D_{2} = (-\\infty;\\,0)\\cup[3;\\,+\\infty).$$
<b>Шаг 3. Пересечение</b> $D_{1} \\cap D_{2}$. Поскольку $D_{1} \\subset D_{2}$ (множество $D_{1}$ — это $D_{2}$ с дополнительно выколотой точкой $-1$):
$$D_{1} \\cap D_{2} = D_{1} = (-\\infty;\\,-1)\\cup(-1;\\,0)\\cup[3;\\,+\\infty).$$
<div class="sol-ans">Ответ: $(-\\infty;\\,-1)\\cup(-1;\\,0)\\cup[3;\\,+\\infty)$</div>`
},
{
text: `Две окружности касаются внешним образом в точке $A$.
К ним проведена общая внешняя касательная $BC$, где $C$ и $B$ — точки касания.
Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB = 6$ см, $AC = 8$ см.`,
sol: `<p>Ключевое свойство: $\\angle BAC = 90°$.</p>
<p>Доказательство: Проведём общую внутреннюю касательную в точке касания $A$ (она перпендикулярна прямой центров). По теореме о касательно-хордовом угле угол между касательной в $A$ и хордой $AB$ (для первой окружности) равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AB$, который совпадает с углом $\\angle ACB$ (для второй окружности). Аналогично для $AC$. В итоге $\\angle BAC = 90°$.</p>
<p>Площадь прямоугольного треугольника с катетами $AB = 6$ и $AC = 8$:</p>
<p>$$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AB \\cdot AC = \\dfrac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 8 = 24 \\text{ см}^2.$$</p>
<svg viewBox="40 75 195 185" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- Две окружности: O1=(82,121) r=30, O2=(132,188) r=53. Касаются в A=(100,145). -->
<!-- Касательная BC через B=(100,97) и C=(164,145). Проверено: расст. от O1 до BC=30, от O2=53 ✓ -->
<circle cx="82" cy="121" r="30" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="132" cy="188" r="53" fill="rgba(220,38,38,0.06)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
<!-- Касательная BC (продлена от (88,88) до (176,154)) — проходит ровно через B и C -->
<line x1="84" y1="85" x2="178" y2="157" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- Треугольник ABC (прямой угол при A) -->
<polygon points="100,145 100,97 164,145" fill="rgba(22,163,74,0.13)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
<!-- Прямой угол при A=(100,145): AB вертикально ↑, AC горизонтально → -->
<polygon points="100,145 108,145 108,137 100,137" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<!-- Точки -->
<circle cx="100" cy="145" r="3" fill="#16a34a"/>
<circle cx="100" cy="97" r="3" fill="#2563eb"/>
<circle cx="164" cy="145" r="3" fill="#dc2626"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="87" y="150" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#15803d">A</text>
<text x="87" y="93" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1d4ed8">B</text>
<text x="168" y="150" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#b91c1c">C</text>
<!-- Метки центров -->
<text x="64" y="122" font-size="10" fill="#2563eb">O₁</text>
<text x="134" y="192" font-size="10" fill="#dc2626">O₂</text>
<!-- Метки AB, AC, S -->
<text x="88" y="121" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">6</text>
<text x="132" y="158" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">8</text>
<text x="116" y="136" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">S=24</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $S = 24$ см²</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v74.js
+167
View File
@@ -0,0 +1,167 @@
VARIANTS[74] = {
label: "Вариант 74",
tasks: [
{
text: `На рисунке изображены два графика линейных функций.
Используя график, запишите координаты точки их пересечения:`,
figure: `<img src="/img/exam9/v74_t1.png" class="task-fig" />`,
opts: [
["а", "$(1;\\;2)$"], ["б", "$(4;\\;2)$"], ["в", "$(2;\\;2)$"],
["г", "$(2;\\;4)$"], ["д", "$(4;\\;0)$"],
],
sol: `<p>По графику найдите точку пересечения двух прямых и прочитайте её координаты $(x;y)$.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: определяется по рисунку (координаты точки пересечения двух прямых)</div>`
},
{
text: `Определите, какое из данных выражений равно частному
$\\dfrac{4}{x^7} : \\dfrac{36}{x^{14}}$:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{x^2}{9}$"], ["б", "$\\dfrac{144}{x^{21}}$"], ["в", "$9x^7$"],
["г", "$\\dfrac{x^7}{9}$"], ["д", "$\\dfrac{x^7}{32}$"],
],
sol: `<p>Деление дробей — умножение на обратную:</p>
<p>$$\\dfrac{4}{x^7} : \\dfrac{36}{x^{14}} = \\dfrac{4}{x^7} \\cdot \\dfrac{x^{14}}{36} = \\dfrac{4x^{14}}{36x^7} = \\dfrac{x^7}{9}.$$</p>
<div class="sol-ans">Ответ: г) $\\dfrac{x^7}{9}$</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$;"],
["б", "диаметр окружности в два раза больше её радиуса;"],
["в", "треугольник, два угла которого равны $30^{\\circ}$ и $60^{\\circ}$, — прямоугольный;"],
["г", "диагонали любого параллелограмма равны?"],
],
sol: `<p>Диагонали равны только у прямоугольника (и квадрата), но не у произвольного параллелограмма. Утверждение г) неверно.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Сравните значение выражения $\\dfrac{2}{5} \\cdot \\left(2\\dfrac{1}{2}\\right)^2 - 3 : 2$
с числом $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^0$.`,
sol: `<p>Вычислим выражение:</p>
<p>$$\\dfrac{2}{5} \\cdot \\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^2 - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{2}{5} \\cdot \\dfrac{25}{4} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{50}{20} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{5}{2} - \\dfrac{3}{2} = 1.$$</p>
<p>Вычислим число: $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^0 = 1$.</p>
<p>Сравниваем: $1 = 1$.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: значение выражения равно числу $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^0$</div>`
},
{
text: `В соревнованиях по армрестлингу приняли участие $45$ спортсменов.
Сколько мальчиков и сколько девочек участвовали в соревнованиях,
если отношение количества девочек к количеству мальчиков равно $4:5$?`,
sol: `<b>Метод частей:</b> если две величины относятся как $m:n$, всё целое делим на $m+n$ равных частей. Каждая часть равна $\\dfrac{\\text{целое}}{m+n}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Отношение количества девочек к количеству мальчиков $4:5$. Значит, всего получается $4+5 = 9$ частей.
<br><b>Шаг 2.</b> Найдём, сколько спортсменов в одной части:
$$\\text{одна часть} = \\dfrac{45}{9} = 5\\text{ спортсменов}.$$
<b>Шаг 3.</b> Количество девочек ($4$ части) и мальчиков ($5$ частей):
$$\\text{девочки} = 4\\cdot 5 = 20,\\qquad \\text{мальчики} = 5\\cdot 5 = 25.$$
<b>Проверка.</b> $20 + 25 = 45$ ✓, $20:25 = 4:5$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: 20 девочек и 25 мальчиков</div>`
},
{
text: `Дан равнобедренный треугольник с основанием $24$ см и боковой стороной $15$ см.
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.`,
sol: `<b>Свойство равнобедренного треугольника:</b> высота к основанию делит основание пополам.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$.
<br><b>Формула радиуса вписанной окружности:</b> $r = \\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
<br><b>Шаг 1.</b> Проведём высоту к основанию. Она делит основание ($24$ см) пополам — на отрезки по $12$ см. Получается прямоугольный треугольник с гипотенузой (боковая сторона) $15$ см и катетом $12$ см. По теореме Пифагора найдём высоту:
$$h = \\sqrt{15^2 - 12^2} = \\sqrt{225 - 144} = \\sqrt{81} = 9\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём площадь треугольника:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 24\\cdot 9 = 108\\text{ см}^{2}.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём полупериметр:
$$p = \\dfrac{24 + 15 + 15}{2} = \\dfrac{54}{2} = 27\\text{ см}.$$
<b>Шаг 4.</b> Применим формулу радиуса:
$$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{108}{27} = 4\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 208 170" width="208" height="170" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:8px auto;">
<polygon points="20,148 188,148 104,85" fill="#eef4ff" stroke="#3a6bc4" stroke-width="2"/>
<line x1="104" y1="85" x2="104" y2="148" stroke="#aaa" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
<circle cx="104" cy="120" r="28" fill="none" stroke="#e05c00" stroke-width="1.5"/>
<text x="5" y="155" text-anchor="start" font-size="13" fill="#222">A</text>
<text x="190" y="155" text-anchor="start" font-size="13" fill="#222">C</text>
<text x="99" y="78" text-anchor="middle" font-size="13" fill="#222">B</text>
<text x="96" y="163" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">24 см</text>
<text x="49" y="118" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">15 см</text>
<text x="162" y="118" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">15 см</text>
<text x="112" y="112" text-anchor="start" font-size="11" fill="#555">9 см</text>
<text x="104" y="128" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#e05c00">r=4</text>
<polyline points="96,148 96,140 104,140" fill="none" stroke="#888" stroke-width="1"/>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $r = 4$ см.</div>`
},
{
text: `Определите, принадлежит ли промежутку убывания функции $y = -x^2 - 4x + 5$
число $\\sqrt{2}$. Ответ обоснуйте.`,
sol: `Функция $y = -x^2 - 4x + 5 = -(x^2 + 4x) + 5 = -(x+2)^2 + 9$ — парабола ветвями вниз с вершиной при $x = -2$.<br>
Парабола ветвями вниз возрастает при $x \\lt -2$ и убывает при $x \\gt -2$.<br>
Промежуток убывания: $(-2;\\,+\\infty)$.<br>
Так как $\\sqrt{2} \\approx 1{,}41 \\gt -2$, то $\\sqrt{2}$ принадлежит промежутку убывания.
<div class="sol-ans">Ответ: да, принадлежит (промежуток убывания $(-2;+\\infty)$, и $\\sqrt{2} \\gt -2$).</div>`
},
{
text: `Решите уравнение
$\\dfrac{2}{x-4} = \\dfrac{x}{x+4} + \\dfrac{16}{x^2-16}$.`,
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Правило решения дробно-рационального уравнения:</b> найти ОДЗ, привести к общему знаменателю, проверить корни.
<br><b>Теорема Виета:</b> для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, произведение равно $q$.
<br><b>Шаг 1. ОДЗ.</b> Знаменатели обнуляются при $x = 4$, $x = -4$. Значит, $x \\neq 4$ и $x \\neq -4$.
<br><b>Шаг 2.</b> По формуле разности квадратов $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ — это общий знаменатель. Умножим обе части уравнения на $(x-4)(x+4)$. Левая часть даёт $2(x+4)$, правая — $x(x-4) + 16$:
$$2(x+4) = x(x-4) + 16.$$
<b>Шаг 3.</b> Раскроем скобки:
$$2x + 8 = x^2 - 4x + 16.$$
<b>Шаг 4.</b> Перенесём всё в одну часть:
$$x^2 - 4x - 2x + 16 - 8 = 0 \\implies x^2 - 6x + 8 = 0.$$
<b>Шаг 5.</b> Решим по теореме Виета: ищем два числа с суммой $6$ и произведением $8$ — это $2$ и $4$. Значит, $(x-2)(x-4) = 0$, откуда $x = 2$ или $x = 4$.
<br><b>Шаг 6.</b> Проверяем по ОДЗ: $x = 4$ не входит — это <b>посторонний корень</b>. Остаётся $x = 2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 2$.</div>`
},
{
text: `Найдите область определения выражений
$\\sqrt{\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(x-3)}}$ и $\\sqrt{\\dfrac{x+1}{x}}$.
Запишите пересечение полученных множеств.`,
sol: `<b>Условия существования выражения:</b>
<ul>
<li>под чётным корнем — неотрицательное выражение: $\\sqrt{A}$ существует при $A \\geq 0$;</li>
<li>знаменатель дроби не равен нулю.</li>
</ul>
<b>Шаг 1. Область определения первого выражения</b> $\\sqrt{\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(x-3)}}$.
<br>Сначала запишем требование $x(x-3) \\neq 0$: $x \\neq 0$, $x \\neq 3$.
<br>При $x \\neq 3$ множитель $(x-3)$ сокращается, и дробь становится $\\dfrac{x+1}{x}$. Условие подкоренного выражения:
$$\\dfrac{x+1}{x} \\geq 0.$$
<b>Метод интервалов.</b> Нули числителя: $x = -1$. Нуль знаменателя: $x = 0$ (точка выколота). Дробь $\\geq 0$ при $x \\leq -1$ или $x \\gt 0$. С учётом $x \\neq 3$:
$$D_{1} = (-\\infty;\\,-1\\,] \\cup (0;\\,3) \\cup (3;\\,+\\infty).$$
<b>Шаг 2. Область определения второго выражения</b> $\\sqrt{\\dfrac{x+1}{x}}$.
<br>Те же условия, но без выкалывания точки $3$:
$$D_{2} = (-\\infty;\\,-1\\,] \\cup (0;\\,+\\infty).$$
<b>Шаг 3. Пересечение.</b> Так как $D_{1}$ получается из $D_{2}$ выкалыванием точки $x = 3$, то $D_{1} \\subset D_{2}$ и:
$$D_{1} \\cap D_{2} = D_{1} = (-\\infty;\\,-1\\,] \\cup (0;\\,3) \\cup (3;\\,+\\infty).$$
<div class="sol-ans">Ответ: $(-\\infty;\\,-1\\,] \\cup (0;\\,3) \\cup (3;\\,+\\infty)$.</div>`
},
{
text: `Две окружности касаются внешним образом в точке $A$.
К ним проведена общая внешняя касательная $BC$, где $C$ и $B$ — точки касания.
Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB = 12$ см, $AC = 9$ см.`,
sol: `<b>Ключевое свойство:</b> угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, равен 90°.
Точка $A$ — точка касания двух окружностей, $BC$ — общая касательная. По теореме об угле между касательной и хордой, $\\angle BAC = 90°$.<br>
Значит, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при $A$.<br>
По теореме Пифагора: $BC = \\sqrt{AB^2 + AC^2} = \\sqrt{144 + 81} = \\sqrt{225} = 15$ см.<br>
Площадь: $S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AB \\cdot AC = \\dfrac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 9 = 54$ см².
<svg viewBox="40 75 195 185" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<circle cx="82" cy="121" r="30" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="132" cy="188" r="53" fill="rgba(220,38,38,0.06)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
<line x1="84" y1="85" x2="178" y2="157" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<polygon points="100,145 100,97 164,145" fill="rgba(22,163,74,0.13)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
<polygon points="100,145 108,145 108,137 100,137" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="100" cy="145" r="3" fill="#16a34a"/>
<circle cx="100" cy="97" r="3" fill="#2563eb"/>
<circle cx="164" cy="145" r="3" fill="#dc2626"/>
<text x="87" y="150" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#15803d">A</text>
<text x="87" y="93" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1d4ed8">B</text>
<text x="168" y="150" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#b91c1c">C</text>
<text x="64" y="122" font-size="10" fill="#2563eb">O₁</text>
<text x="134" y="192" font-size="10" fill="#dc2626">O₂</text>
<text x="88" y="121" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">12</text>
<text x="132" y="158" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">9</text>
<text x="116" y="136" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">S=54</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $S = 54$ см².</div>`
},
]
};
frontend/js/exam9/variants/v75.js
+188
View File
@@ -0,0 +1,188 @@
VARIANTS[75] = {
label: "Вариант 75",
tasks: [
{
text: `Определите, какое из данных чисел является решением неравенства $x < -4$:`,
opts: [
["а", "$-3$"], ["б", "$-2$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$0$"], ["д", "$-7$"],
],
sol: `Неравенство $x \\lt -4$ выполняется только для чисел, строго меньших $-4$.
<ul>
<li>а) $-3$: $-3 \\gt -4$ — нет;</li>
<li>б) $-2$: нет;</li>
<li>в) $-1$: нет;</li>
<li>г) $0$: нет;</li>
<li>д) $-7$: $-7 \\lt -4$ — <b>да</b> ✓</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$-7$</div>`
},
{
text: `Сумма каких двух чисел <b>НЕ</b> равна $-5{,}2$:`,
opts: [
["а", "$1$ и $-6{,}2$"], ["б", "$-2$ и $-3{,}2$"], ["в", "$-1$ и $-6{,}2$"],
["г", "$-1{,}2$ и $-4$"], ["д", "$2$ и $-7{,}2$"],
],
sol: `Проверим сумму в каждом варианте:
<ul>
<li>а) $1 + (-6{,}2) = -5{,}2$ ✓</li>
<li>б) $-2 + (-3{,}2) = -5{,}2$ ✓</li>
<li>в) $-1 + (-6{,}2) = -7{,}2 \\neq -5{,}2$ &nbsp;<b style="color:#dc2626">✗ — НЕ равна</b></li>
<li>г) $-1{,}2 + (-4) = -5{,}2$ ✓</li>
<li>д) $2 + (-7{,}2) = -5{,}2$ ✓</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
opts: [
["а", "сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности;"],
["б", "$\\sin 45^{\\circ} = \\cos 45^{\\circ}$;"],
["в", "центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла;"],
["г", "в прямоугольном треугольнике есть только один острый угол?"],
],
sol: `<ul>
<li>а) Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности — <b>верно</b></li>
<li>б) $\\sin 45^{\\circ} = \\cos 45^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ — <b>верно</b></li>
<li>в) Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе — <b>верно</b></li>
<li>г) «В прямоугольном треугольнике есть только один острый угол» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>: в прямоугольном треугольнике <em>два</em> острых угла (сумма углов $180°$, один равен $90°$, значит два оставшихся — острые)</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
},
{
text: `Разложите на множители многочлен $25x^2 - 9y^2 + 5x - 3y$.`,
sol: `Первые два слагаемых — разность квадратов, последние два группируем:
$$25x^2 - 9y^2 + 5x - 3y = (25x^2 - 9y^2) + (5x - 3y)$$
$$= (5x - 3y)(5x + 3y) + (5x - 3y)$$
Выносим общий множитель $(5x - 3y)$:
$$= (5x - 3y)(5x + 3y + 1)$$
<div class="sol-ans">Ответ: $(5x - 3y)(5x + 3y + 1)$</div>`
},
{
text: `Найдите значение выражения $2a^2 : b - 4ab$ при $a = 3$, $b = -1{,}5$.`,
sol: `<b>Порядок действий:</b> сначала выполняем возведение в степень, потом умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание.
<br><b>Правило знаков при умножении:</b> минус на минус даёт плюс, минус на плюс даёт минус.
<br><b>Шаг 1.</b> Подставим $a = 3$ и $b = -1{,}5$ в выражение, представив деление через дробь:
$$2a^2 : b - 4ab = \\dfrac{2a^2}{b} - 4ab.$$
<b>Шаг 2.</b> Вычислим $a^2 = 3^2 = 9$ и подставим значения:
$$\\dfrac{2\\cdot 9}{-1{,}5} - 4\\cdot 3\\cdot(-1{,}5).$$
<b>Шаг 3.</b> Выполним первое действие — деление:
$$\\dfrac{18}{-1{,}5} = -12.$$
<b>Шаг 4.</b> Выполним второе действие — умножение трёх чисел (два положительных и одно отрицательное дают отрицательное):
$$4\\cdot 3\\cdot(-1{,}5) = 12\\cdot(-1{,}5) = -18.$$
<b>Шаг 5.</b> Соберём всё, аккуратно раскрыв знак минус перед скобкой:
$$-12 - (-18) = -12 + 18 = 6.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $6$</div>`
},
{
text: `Третий член геометрической прогрессии равен $2$, а знаменатель прогрессии равен $3$.
Найдите сумму трёх первых членов этой прогрессии.`,
sol: `<b>Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:</b> $a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$, откуда $a_1 = \\dfrac{a_n}{q^{n-1}}$.
<br><b>Связь соседних членов:</b> $a_{n+1} = a_n \\cdot q$.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_3 = 2$, $q = 3$. Найдём первый член из $a_3 = a_1 \\cdot q^{2}$:
$$a_1 = \\dfrac{a_3}{q^{2}} = \\dfrac{2}{3^{2}} = \\dfrac{2}{9}.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём второй член, умножив первый на знаменатель $q$:
$$a_2 = a_1 \\cdot q = \\dfrac{2}{9}\\cdot 3 = \\dfrac{2}{3}.$$
<b>Шаг 3.</b> Сложим три первых члена. Приведём к общему знаменателю $9$:
$$S_{3} = a_1 + a_2 + a_3 = \\dfrac{2}{9} + \\dfrac{2}{3} + 2 = \\dfrac{2}{9} + \\dfrac{6}{9} + \\dfrac{18}{9} = \\dfrac{26}{9}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{26}{9}$</div>`
},
{
text: `В четырёхугольнике $ABCD$ $AD = 5$ см, $AB = 8$ см, $CD = 3\\sqrt{5}$ см,
$\\angle A = 60^{\\circ}$, $\\angle C = 90^{\\circ}$. Найдите длину стороны $BC$.`,
sol: `<b>Теорема косинусов:</b> для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\\gamma$ против стороны $c$ верно $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma$.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ выполняется $c^2 = a^2 + b^2$.
<br><b>Значение:</b> $\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$.
<br><b>Шаг 1. Разобьём четырёхугольник на два треугольника.</b> Проведём диагональ $BD$. Получим треугольники $ABD$ (с известным углом $A=60^{\\circ}$) и $BCD$ (с прямым углом $C=90^{\\circ}$).
<br><b>Шаг 2. Найдём $BD$ из $\\triangle ABD$ по теореме косинусов.</b> Известно $AB = 8$, $AD = 5$, $\\angle A = 60^{\\circ}$:
$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\\cdot AB\\cdot AD\\cdot\\cos A = 8^2 + 5^2 - 2\\cdot 8\\cdot 5\\cdot\\dfrac{1}{2}.$$
Вычислим: $64 + 25 - 40 = 49$, значит $BD = \\sqrt{49} = 7$ см.
<br><b>Шаг 3. Найдём $BC$ из $\\triangle BCD$ по теореме Пифагора.</b> Так как $\\angle C = 90^{\\circ}$, то $BD$ — гипотенуза, а $BC$ и $CD$ — катеты. Подставим $CD = 3\\sqrt{5}$, то есть $CD^2 = 9\\cdot 5 = 45$:
$$BC^2 = BD^2 - CD^2 = 49 - 45 = 4 \\implies BC = \\sqrt{4} = 2\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 165 215" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:280px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<!-- Точные пропорции: AD=5=90px, AB=8=144px, CD=3√5=120.7px, BC=2=36px. Масштаб 18px/см -->
<!-- A=(20,200), D=(110,200), B=(92,75), C=(128,81) -->
<!-- Проверено: AD=90✓ AB=144.3✓ BD=126.3≈7см✓ BC=36.5≈2см✓ CD=120.4≈3√5см✓ ∠A=60°✓ ∠C=90°✓ -->
<polygon points="20,200 110,200 128,81 92,75" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<!-- Диагональ BD (пунктир) -->
<line x1="92" y1="75" x2="110" y2="200" stroke="#2563eb" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
<!-- Прямой угол при C=(128,81) — точно вычислен -->
<polygon points="128,81 120,80 119,88 127,89" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
<!-- Дуга 60° при A=(20,200) -->
<path d="M 42 200 A 22 22 0 0 0 31 181" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.2"/>
<!-- Метки вершин -->
<text x="6" y="213" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="112" y="213" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
<text x="87" y="68" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="131" y="78" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<!-- Длины сторон -->
<text x="62" y="213" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#c2410c">5</text>
<text x="46" y="138" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#c2410c">8</text>
<text x="125" y="148" font-size="11" fill="#c2410c">3√5</text>
<text x="115" y="78" font-size="11" fill="#c2410c">2</text>
<!-- Диагональ BD -->
<text x="104" y="136" font-size="10" fill="#2563eb">BD=7</text>
<!-- Угол 60° -->
<text x="37" y="192" font-size="10" fill="#475569">60°</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $BC = 2$ см</div>`
},
{
text: `В первый день туристы прошли $0{,}4$ намеченного пути,
а во второй — преодолели $0{,}3$ намеченного пути.
В третий день им оставалось пройти последние $18$ км.
Каков весь путь туристов за $3$ дня?`,
sol: `<b>Метод введения переменной:</b> обозначаем неизвестную величину буквой и составляем уравнение.
<br><b>Шаг 1. Введём переменную.</b> Пусть $S$ — весь намеченный путь (в километрах).
<br><b>Шаг 2. Выразим пройденную часть пути.</b> В первый день туристы прошли $0{,}4\\cdot S$, во второй — $0{,}3\\cdot S$. Всего за два дня:
$$0{,}4S + 0{,}3S = 0{,}7S.$$
<b>Шаг 3. Выразим оставшийся путь.</b> На третий день туристам осталось пройти весь путь $S$ минус то, что уже пройдено:
$$S - 0{,}7S = 0{,}3S.$$
<b>Шаг 4. Составим уравнение.</b> По условию в третий день осталось $18$ км:
$$0{,}3S = 18.$$
<b>Шаг 5.</b> Разделим обе части на $0{,}3$:
$$S = \\dfrac{18}{0{,}3} = 60\\text{ км}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $60$ км</div>`
},
{
text: `При каком значении $a$ графики функций $y = (a-3)x + 2$ и $y = 2x - 2$
не имеют общих точек? Ответ обоснуйте.`,
sol: `Графики линейных функций не имеют общих точек тогда и только тогда, когда прямые <b>параллельны</b>: угловые коэффициенты равны, свободные члены различны.
<br><b>Условие параллельности:</b> $a - 3 = 2 \\implies a = 5$
<br><b>Проверка:</b> при $a = 5$ получаем $y = 2x + 2$ и $y = 2x - 2$. Угловые коэффициенты равны ($2 = 2$), свободные члены различны ($2 \\neq -2$) — прямые параллельны ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $a = 5$</div>`
},
{
text: `Диагонали ромба относятся как $3:4$, периметр ромба равен $200$ см.
Найдите площадь круга, окружность которого вписана в ромб.`,
sol: `<b>Свойство диагоналей ромба:</b> диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
<br><b>Формула площади ромба:</b> $S_{\\text{ромб}} = \\dfrac{d_{1}\\cdot d_{2}}{2}$.
<br><b>Формула радиуса вписанной окружности:</b> $r = \\dfrac{S}{p}$ ($p$ — полупериметр).
<br><b>Формула площади круга:</b> $S_{\\text{кр}} = \\pi r^{2}$.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию диагонали относятся как $3:4$. Введём параметр $k$: $d_{1} = 3k$, $d_{2} = 4k$. Половины диагоналей: $\\dfrac{3k}{2}$ и $2k$. Они являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — сторона ромба. По <b>теореме Пифагора</b>:
$$a = \\sqrt{\\left(\\dfrac{3k}{2}\\right)^{2} + (2k)^{2}} = \\sqrt{\\dfrac{9k^{2}}{4} + \\dfrac{16k^{2}}{4}} = \\sqrt{\\dfrac{25k^{2}}{4}} = \\dfrac{5k}{2}.$$
<b>Шаг 2.</b> Из периметра $P = 4a = 200$ найдём сторону: $a = 50$ см. Тогда $\\dfrac{5k}{2} = 50 \\implies k = 20$. Значит:
$$d_{1} = 3\\cdot 20 = 60\\text{ см}, \\quad d_{2} = 4\\cdot 20 = 80\\text{ см}.$$
<b>Шаг 3.</b> Площадь ромба:
$$S = \\dfrac{60\\cdot 80}{2} = 2400\\text{ см}^{2}.$$
<b>Шаг 4.</b> Полупериметр $p = \\dfrac{P}{2} = 100$ см. Радиус вписанной окружности:
$$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{2400}{100} = 24\\text{ см}.$$
<b>Шаг 5.</b> Площадь круга:
$$S_{\\text{кр}} = \\pi r^{2} = \\pi\\cdot 24^{2} = 576\\pi\\text{ см}^{2}.$$
<svg viewBox="0 0 260 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<polygon points="70,115 130,35 190,115 130,195" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<line x1="70" y1="115" x2="190" y2="115" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,3"/>
<line x1="130" y1="35" x2="130" y2="195" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,3"/>
<polyline points="138,115 138,123 130,123" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="130" cy="115" r="48" fill="rgba(220,38,38,0.08)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
<circle cx="130" cy="115" r="2.5" fill="#1e293b"/>
<line x1="130" y1="115" x2="130" y2="67" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
<text x="134" y="93" font-size="10" fill="#dc2626">r=24</text>
<text x="97" y="110" font-size="10" fill="#475569" text-anchor="middle">30</text>
<text x="163" y="110" font-size="10" fill="#475569" text-anchor="middle">30</text>
<text x="143" y="78" font-size="10" fill="#475569">40</text>
<text x="143" y="158" font-size="10" fill="#475569">40</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $576\\pi$ см²</div>`
},
]
};

Some files were not shown because too many files have changed in this diff Show More