fix(exam9 v47/v48 t7): добавлены рисунки парабол + конкретные ответы в решениях

frontend/js/exam9/variants/v47.js

@@ -110,21 +110,18 @@ $$\\dfrac{4 - x^2}{x^2 - 4} = \\dfrac{-(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = -1$$
         text: `График функции $f(x) = a(x-m)^2 + n$ изображён на рисунке.
                Используя график функции, найдите $a$, $m$ и $n$.
                Запишите формулу функции $y = f(x)$ в виде многочлена.`,
+        figure: `<img src="/img/exam9/v47_t7.jpg" class="task-fig" alt="График параболы с вершиной (2; 2), ветви вверх" />`,
         sol: `Функция $f(x)=a(x-m)^2+n$ — парабола с вершиной в точке $(m;\\,n)$;
               знак $a$ определяет направление ветвей ($a>0$ — вверх, $a<0$ — вниз),
               а $|a|$ — «крутизну».<br><br>
-              <b>Алгоритм по графику:</b>
-              <ul>
-                <li>находим координаты вершины параболы — это $m$ (абсцисса) и $n$ (ордината);</li>
-                <li>берём любую другую точку $(x_0;\\,y_0)$ графика и подставляем в формулу:
-                    $a = \\dfrac{y_0 - n}{(x_0 - m)^2}$;</li>
-                <li>раскрываем скобки: $f(x)=a(x-m)^2+n = ax^2 - 2am\\,x + (am^2+n)$.</li>
-              </ul>
-              <b>Типичный вариант (вершина $(1;\\,-4)$, ветви вниз, через точку $(0;-5)$):</b>
-              $m=1$, $n=-4$, $a=\\dfrac{-5-(-4)}{(0-1)^2} = -1$.
-              $$f(x) = -(x-1)^2 - 4 = -x^2 + 2x - 1 - 4 = -x^2 + 2x - 5.$$
-              <div class="sol-ans">Ответ: $a$, $m$, $n$ снимаются с графика по вершине $(m;n)$ и контрольной точке;
-              $f(x)=ax^2-2am\\,x+(am^2+n)$. Например, при вершине $(1;-4)$ и $a=-1$: $f(x)=-x^2+2x-5$.</div>`
+              <b>Шаг 1.</b> Снимаем вершину параболы с графика: вершина находится в точке $(2;\\,2)$, значит $m=2$, $n=2$.<br>
+              <b>Шаг 2.</b> Ветви направлены вверх — значит $a>0$. Берём вторую точку графика, например $(0;\\,6)$ (точка пересечения с осью ординат):
+              $$a = \\dfrac{y_0 - n}{(x_0 - m)^2} = \\dfrac{6 - 2}{(0 - 2)^2} = \\dfrac{4}{4} = 1.$$
+              <b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки в форме $f(x)=a(x-m)^2+n$:
+              $$f(x) = (x-2)^2 + 2 = x^2 - 4x + 4 + 2 = x^2 - 4x + 6.$$
+              <b>Проверка по контрольным точкам графика:</b><br>
+              $f(1)=1-4+6=3$, $f(3)=9-12+6=3$, $f(4)=16-16+6=6$ — совпадает с графиком.
+              <div class="sol-ans">Ответ: $a=1$, $m=2$, $n=2$; $f(x)=x^2-4x+6$.</div>`
       },
       {
         text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств

frontend/js/exam9/variants/v48.js

@@ -95,20 +95,18 @@ $$\\dfrac{-6}{n+3} - \\dfrac{n-3}{n+3} = \\dfrac{-6 - (n - 3)}{n+3} = \\dfrac{-6
         text: `График функции $f(x) = a(x-m)^2 + n$ изображён на рисунке.
                Используя график функции, найдите $a$, $m$ и $n$.
                Запишите формулу функции $y = f(x)$ в виде многочлена.`,
+        figure: `<img src="/img/exam9/v48_t7.jpg" class="task-fig" alt="График параболы с вершиной (3; 1), ветви вверх" />`,
         sol: `<b>Вершинная форма квадратичной функции:</b> $f(x) = a(x - m)^2 + n$ — это парабола с вершиной в точке $(m;\\,n)$. Знак $a$ определяет направление ветвей ($a \\gt 0$ — вверх, $a \\lt 0$ — вниз).
-<br><b>Алгоритм нахождения $a$, $m$, $n$ по графику:</b>
-<ul>
-<li><b>Шаг 1.</b> Находим координаты вершины параболы — это $m$ (абсцисса) и $n$ (ордината).</li>
-<li><b>Шаг 2.</b> Берём любую другую точку $(x_0;\\,y_0)$ графика и подставляем в формулу: $a = \\dfrac{y_0 - n}{(x_0 - m)^2}$.</li>
-<li><b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки по <b>формуле квадрата разности</b> $(x - m)^2 = x^2 - 2mx + m^2$:
-$$f(x) = a(x - m)^2 + n = ax^2 - 2am\\,x + (am^2 + n)$$</li>
-</ul>
-<b>Типичный пример</b> (вершина $(2;\\,1)$, ветви вверх, график проходит через $(0;\\,5)$):
-<br>— $m = 2$, $n = 1$.
-<br>— Для $a$: $a = \\dfrac{5 - 1}{(0 - 2)^2} = \\dfrac{4}{4} = 1$.
-<br>— Формула в виде многочлена:
-$$f(x) = (x - 2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5$$
-<div class="sol-ans">Ответ: читается с графика; $f(x) = ax^2 - 2am\\,x + (am^2 + n)$.</div>`
+<br><br>
+<b>Шаг 1.</b> Снимаем координаты вершины параболы с графика: вершина находится в точке $(3;\\,1)$, значит $m = 3$, $n = 1$.
+<br><br>
+<b>Шаг 2.</b> Ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Берём вторую точку графика, например $(1;\\,5)$:
+$$a = \\dfrac{y_0 - n}{(x_0 - m)^2} = \\dfrac{5 - 1}{(1 - 3)^2} = \\dfrac{4}{4} = 1.$$
+<br><b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки по <b>формуле квадрата разности</b> $(x - m)^2 = x^2 - 2mx + m^2$:
+$$f(x) = (x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 9 + 1 = x^2 - 6x + 10.$$
+<b>Проверка по контрольным точкам графика:</b><br>
+$f(2)=4-12+10=2$, $f(4)=16-24+10=2$, $f(5)=25-30+10=5$ — совпадает с графиком.
+<div class="sol-ans">Ответ: $a=1$, $m=3$, $n=1$; $f(x) = x^2 - 6x + 10$.</div>`
       },
       {
         text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств