chore(ctmath): убрать упоминания сторонних авторов из ссылок-учебников
Поле ref в решениях задач (показывается ученику как «Учебник: …») содержало фамилии авторов чужих учебников (Арефьева, Казаков, Латотин, Герасимов). Заменено на обобщённые ссылки нашего курса: «Алгебра, 7 класс, гл. 1» и т.п. (фамилии и кавычки-ёлочки убраны). 452 замены в 15 seed_ctmath_*.js. Синтаксис OK, валидация 30/30. Применённые варианты (112,113) обновятся при повторном --apply (upsert solution_html). Co-Authored-By: Claude Opus 4.8 (1M context) <noreply@anthropic.com>
This commit is contained in:
Maxim Dolgolyov
@@ -49,199 +49,199 @@ const TASKS = [
|
||||
opts: mc('$1\frac67$', '$1\frac17$', '$6\frac67$', '$7\frac17$', '$6\frac17$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`$\dfrac{43}{7}=6\frac17$, так как $43=6\cdot7+1$.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 2' },
|
||||
ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 1,
|
||||
text: R`Точка $M(-3;4)$ симметрична точке $N$ относительно оси абсцисс. Укажите координаты точки $N$.`,
|
||||
opts: mc('$(3;4)$', '$(-3;-4)$', '$(3;-4)$', '$(-4;-3)$', '$(-3;4)$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`При симметрии относительно оси абсцисс абсцисса точки сохраняется, а ордината меняет знак: $N(-3;-4)$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Математика, 6 кл.», гл. 5' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 5' },
|
||||
|
||||
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 1,
|
||||
text: R`Прямые $a$ и $b$ пересекаются, образуя четыре угла. Известно, что сумма трёх из этих углов равна $210^\circ$. Найдите градусную меру меньшего угла.`,
|
||||
opts: mc('$150^\circ$', '$15^\circ$', '$30^\circ$', '$10^\circ$', '$105^\circ$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`При пересечении двух прямых вертикальные углы равны, а смежные дают $180^\circ$. Сумма трёх углов равна $180^\circ+x$, где $x$ — один из углов; $180^\circ+x=210^\circ$, $x=30^\circ$ — меньший угол.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 1,
|
||||
text: R`Результат разложения многочлена $x(6a-b)+b-6a$ на множители имеет вид:`,
|
||||
opts: mc('$x$', '$x+1$', '$(6a-b)(x+1)$', '$(6a-b)(x+b)$', '$(6a-b)(x-1)$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`$x(6a-b)+b-6a=x(6a-b)-(6a-b)=(6a-b)(x-1)$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 14' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 14' },
|
||||
|
||||
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
|
||||
text: R`Вычислите $\dfrac{7{,}3^{2}-2{,}4^{2}+9{,}7\cdot1{,}1}{6}$.`,
|
||||
opts: mc('$\dfrac97$', '$\dfrac32$', '$9$', '$9{,}7$', '$3{,}41$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`$\dfrac{53{,}29-5{,}76+10{,}67}{6}=\dfrac{58{,}2}{6}=9{,}7$.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 4' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 6, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 2,
|
||||
text: R`Вершины параллелограмма $ABCD$ имеют координаты $A(-2;-1)$, $B(-3;2)$, $C(2;3)$, $D(3;0)$. Найдите длину диагонали $AC$.`,
|
||||
opts: mc('$4$', '$5$', '$4\sqrt2$', '$5\sqrt2$', '$9\sqrt2$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`$AC=\sqrt{(2-(-2))^{2}+(3-(-1))^{2}}=\sqrt{16+16}=4\sqrt2$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Математика, 6 кл.», гл. 7' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 7' },
|
||||
|
||||
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
|
||||
text: R`Длины катетов прямоугольного треугольника являются корнями уравнения $x^{2}-9x+12=0$. Найдите площадь треугольника.`,
|
||||
opts: mc('$6$', '$9$', '$10{,}5$', '$12$', '$4{,}5$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`По теореме Виета произведение корней (катетов) равно $12$. Площадь прямоугольного треугольника $=\dfrac12\cdot12=6$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 2; Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 2; Геометрия, 8 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
|
||||
text: R`Пусть $a=5{,}4$, $b=3{,}2\cdot10^{1}$. Найдите произведение $ab$ и запишите его в стандартном виде.`,
|
||||
opts: mc('$0{,}1728\cdot10^{3}$', '$1728\cdot10^{-1}$', '$1{,}728\cdot10^{2}$', '$1{,}728$', '$172{,}8$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`$ab=5{,}4\cdot32=172{,}8=1{,}728\cdot10^{2}$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 1, § 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 1, § 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-fractions', diff: 2,
|
||||
text: R`Выразите $x$ из равенства $\dfrac{2+y}{5}=\dfrac{x-y}{15}$.`,
|
||||
opts: mc('$x=4y-6$', '$x=4y+6$', '$x=20y+30$', '$x=20y-30$', '$x=2y+2$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`$15(2+y)=5(x-y)$, $3(2+y)=x-y$, $6+3y=x-y$, $x=4y+6$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 10, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 2,
|
||||
text: R`Из точки $A$ к окружности проведены касательные $AB$ и $AC$ и секущая $AM$, проходящая через центр окружности $O$ (точки $B$, $C$, $M$ лежат на окружности). Отрезок $BK$ перпендикулярен $AM$ ($K$ на $AM$), $BK=4$, $AC=9$. Найдите длину отрезка $AK$.`,
|
||||
opts: mc('$4$', '$\sqrt{97}$', '$65$', '$5$', '$\sqrt{65}$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`Касательные, проведённые из одной точки, равны: $AB=AC=9$. В прямоугольном треугольнике $ABK$ ($\angle K=90^\circ$): $AK=\sqrt{AB^{2}-BK^{2}}=\sqrt{81-16}=\sqrt{65}$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 4' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 11, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
|
||||
text: R`Даны два числа. Известно, что одно из них меньше другого на $6$. Какому условию удовлетворяет меньшее число $x$, если его удвоенный квадрат не больше суммы квадратов этих чисел?`,
|
||||
opts: mc('$x\le3$', '$x\le-3$', '$x\ge-3$', '$x\ge3$', '$x\le12$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`Числа $x$ и $x+6$. Условие $2x^{2}\le x^{2}+(x+6)^{2}$, то есть $2x^{2}\le2x^{2}+12x+36$, $0\le12x+36$, $x\ge-3$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 12, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-fractions', diff: 2,
|
||||
text: R`Свежие фрукты при сушке теряют $a\%$ своей массы. Укажите выражение, определяющее массу сухих фруктов (в килограммах), полученных из $20$ кг свежих.`,
|
||||
opts: mc('$\dfrac{2000}{a}$', '$\dfrac{20(100-a)}{100}$', '$\dfrac{2000}{100-a}$', '$\dfrac{20(100+a)}{100}$', '$\dfrac{2000}{100+a}$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`Сухие фрукты составляют $(100-a)\%$ массы свежих: $20\cdot\dfrac{100-a}{100}=\dfrac{20(100-a)}{100}$.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 13, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 2,
|
||||
text: R`Объём конуса равен $5$, а его высота равна $\dfrac12$. Найдите площадь основания конуса.`,
|
||||
opts: mc('$\dfrac56$', '$\dfrac{10}{3}$', '$10$', '$30$', '$\dfrac{15}{2}$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`$V=\dfrac13 S h$, поэтому $5=\dfrac13 S\cdot\dfrac12=\dfrac{S}{6}$, откуда $S=30$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 14, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
|
||||
text: R`Известно, что наименьшее значение функции, заданной формулой $y=x^{2}+8x+c$, равно $-3$. Тогда значение $c$ равно:`,
|
||||
opts: mc('$13$', '$16$', '$-51$', '$-19$', '$19$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`Наименьшее значение квадратичной функции равно $c-\dfrac{8^{2}}{4}=c-16$. Из $c-16=-3$ получаем $c=13$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 15, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||||
text: R`Строительная бригада планирует заказать фундаментные блоки у одного из трёх поставщиков. Поставщик 1: стоимость блока $335$ тыс. руб., доставка $1850$ тыс. руб.; поставщик 2: блок $365$, доставка $970$; поставщик 3: блок $420$, доставка бесплатно. При покупке какого количества блоков самыми выгодными будут условия второго поставщика?`,
|
||||
opts: mc('от $18$ до $29$', 'более $17$', 'от $30$ до $55$', 'менее $30$', 'от $17$ до $30$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`Стоимость заказа $n$ блоков: $P_1=335n+1850$, $P_2=365n+970$, $P_3=420n$. Условие $P_2<P_1$: $30n<880$, $n\le29$; условие $P_2<P_3$: $55n>970$, $n\ge18$. Значит, второй поставщик выгоднее при $18\le n\le29$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 16, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
|
||||
text: R`Расположите числа $8^{10}$, $3^{18}$, $31^{6}$ в порядке возрастания.`,
|
||||
opts: mc('$3^{18};\ 8^{10};\ 31^{6}$', '$8^{10};\ 3^{18};\ 31^{6}$', '$31^{6};\ 3^{18};\ 8^{10}$', '$3^{18};\ 31^{6};\ 8^{10}$', '$31^{6};\ 8^{10};\ 3^{18}$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`$8^{10}=2^{30}\approx1{,}07\cdot10^{9}$; $\ 3^{18}=9^{9}\approx3{,}87\cdot10^{8}$; $\ 31^{6}\approx8{,}9\cdot10^{8}$. Порядок возрастания: $3^{18};\ 31^{6};\ 8^{10}$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 17, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 3,
|
||||
text: R`Через вершину $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведён перпендикуляр $AK$ к его плоскости. Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $BC$, если $AK=2$, $AB=4$, $BC=\sqrt{11}$.`,
|
||||
opts: mc('$3$', '$2\sqrt5$', '$\sqrt5$', '$\sqrt{15}$', '$6$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{16-11}=\sqrt5$. Так как $BC\perp AC$ и $BC\perp AK$, то $BC$ перпендикулярна плоскости $ACK$, поэтому расстояние от $K$ до $BC$ равно $CK=\sqrt{AK^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4+5}=3$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 18, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
|
||||
text: R`Сумма корней (корень, если он единственный) уравнения $\sqrt{2x+5}\cdot\sqrt{x-1}=3-x$ равна (равен):`,
|
||||
opts: mc('$\dfrac{-9-\sqrt{137}}{2}$', '$9$', '$18$', '$\dfrac{-9+\sqrt{137}}{2}$', '$-14$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`ОДЗ: $x\ge1$ и $3-x\ge0$, то есть $x\in[1;3]$. Возведя в квадрат: $(2x+5)(x-1)=(3-x)^{2}$, $x^{2}+9x-14=0$, $x=\dfrac{-9\pm\sqrt{137}}{2}$. В $[1;3]$ попадает только $\dfrac{-9+\sqrt{137}}{2}$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
|
||||
|
||||
// ── Часть B: В1–В12 ──────────────────────────────────────────────────────
|
||||
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите сумму целых решений (решение, если оно единственное) системы неравенств $\begin{cases}2x+8\ge x^{2},\\(x-1)^{2}>0.\end{cases}$`,
|
||||
answer: '6',
|
||||
sol: R`$2x+8\ge x^{2}\Rightarrow x^{2}-2x-8\le0\Rightarrow-2\le x\le4$; $\ (x-1)^{2}>0\Rightarrow x\ne1$. Целые решения $-2,-1,0,2,3,4$; их сумма равна $6$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите произведение большего корня на количество корней уравнения $\dfrac{21}{x^{2}-4x+10}-x^{2}+4x=6$.`,
|
||||
answer: '6',
|
||||
sol: R`Пусть $u=x^{2}-4x$, тогда $\dfrac{21}{u+10}-u=6$, откуда $u^{2}+16u+39=0$, $u=-3$ или $u=-13$. При $u=-3$: $x^{2}-4x+3=0$, $x=1;3$. При $u=-13$ дискриминант отрицателен. Корни $1$ и $3$, больший $3$, количество $2$; произведение $3\cdot2=6$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 3,
|
||||
text: R`В окружность радиусом $6$ вписан треугольник, длины двух сторон которого равны $6$ и $10$. Найдите длину высоты треугольника, проведённой к его третьей стороне.`,
|
||||
answer: '5',
|
||||
sol: R`Из формул $S=\dfrac{abc}{4R}$ и $S=\dfrac12 c\,h_c$ следует $h_c=\dfrac{ab}{2R}=\dfrac{6\cdot10}{2\cdot6}=5$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства $\log_{0{,}3}(x+54)\le2\log_{0{,}3}(x-2)$.`,
|
||||
answer: '13',
|
||||
sol: R`Неравенство равносильно $\log_{0{,}3}(x+54)\le\log_{0{,}3}(x-2)^{2}$ при $x>2$. Основание $0{,}3<1$, поэтому $x+54\ge(x-2)^{2}$, то есть $x^{2}-5x-50\le0$, $-5\le x\le10$. С учётом $x>2$: $(2;10]$. Целые $3,\ldots,10$; сумма наименьшего и наибольшего $3+10=13$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите сумму (в градусах) наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения $\sin4x-\sqrt3\cos2x=0$.`,
|
||||
answer: '-15',
|
||||
sol: R`$\sin4x=2\sin2x\cos2x$, поэтому $\cos2x(2\sin2x-\sqrt3)=0$. Из $\cos2x=0$: $x=45^\circ+90^\circ n$; из $\sin2x=\dfrac{\sqrt3}{2}$: $x=30^\circ+180^\circ n$ или $x=60^\circ+180^\circ n$. Наименьший положительный корень $30^\circ$, наибольший отрицательный $-45^\circ$; их сумма $-15^\circ$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8' },
|
||||
|
||||
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 4,
|
||||
text: R`Три числа составляют геометрическую прогрессию, в которой $q>1$. Если второй член прогрессии уменьшить на $8$, то полученные три числа в том же порядке опять составят геометрическую прогрессию. Если третий член новой прогрессии уменьшить на $25$, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите сумму исходных чисел.`,
|
||||
answer: '21',
|
||||
sol: R`Пусть числа $a$, $aq$, $aq^{2}$. Из условия $(aq-8)^{2}=a\cdot aq^{2}$ следует $aq=4$. Новая прогрессия $a,\,-4,\,aq^{2}$, где $a\cdot aq^{2}=16$. Условие арифметической прогрессии: $2\cdot(-4)=a+(aq^{2}-25)$, то есть $a+aq^{2}=17$. Так как $aq^{2}=\dfrac{16}{a}$, получаем $a+\dfrac{16}{a}=17$, $a=1$ (тогда $q=4>1$). Числа $1,4,16$, их сумма $21$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите произведение суммы корней уравнения $4^{x-1}-2^{x-1}=2^{x+5}-2^{6}$ на их количество.`,
|
||||
answer: '16',
|
||||
sol: R`Пусть $t=2^{x-1}$. Тогда $t^{2}-t=64t-64$, $t^{2}-65t+64=0$, $t=1$ или $t=64$. Из $2^{x-1}=1$: $x=1$; из $2^{x-1}=64$: $x=7$. Сумма корней $8$, количество $2$; произведение $8\cdot2=16$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 4,
|
||||
text: R`Найдите количество корней уравнения $\cos x=\left|\dfrac{x}{11\pi}\right|$.`,
|
||||
answer: '22',
|
||||
sol: R`Правая часть неотрицательна и не больше $1$ при $|x|\le11\pi$, поэтому требуется $\cos x\ge0$. Обе функции чётные. На $(0;11\pi]$ прямая $\dfrac{x}{11\pi}$ пересекает положительные «арки» косинуса $11$ раз; столько же на отрицательной полуоси. Всего $22$ корня.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 4,
|
||||
text: R`Найдите сумму целых решений неравенства $\dfrac{|4x-10|-|2x-14|}{(x+3)(x-6)}\le0$.`,
|
||||
answer: '7',
|
||||
sol: R`Числитель равен нулю при $x=-2$ и $x=4$; он положителен вне отрезка $[-2;4]$ и отрицателен внутри него. Знаменатель положителен при $x<-3$ и $x>6$, отрицателен при $-3<x<6$. Решением неравенства является множество $(-3;-2]\cup[4;6)$. Целые решения $-2,4,5$; их сумма равна $7$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 4,
|
||||
text: R`Куб вписан в правильную четырёхугольную пирамиду так, что четыре его вершины находятся на боковых рёбрах пирамиды, а четыре другие вершины — на её основании. Длина стороны основания пирамиды равна $2$, высота пирамиды — $6$. Найдите площадь $S$ поверхности куба. В ответ запишите значение выражения $4S$.`,
|
||||
answer: '54',
|
||||
sol: R`Пусть ребро куба равно $s$. Сечение пирамиды плоскостью на высоте $s$ — квадрат со стороной $2\cdot\dfrac{6-s}{6}$. Верхняя грань куба совпадает с этим квадратом: $s=\dfrac{2(6-s)}{6}$, откуда $s=1{,}5$. Площадь поверхности $S=6s^{2}=13{,}5$, тогда $4S=54$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 4,
|
||||
text: R`Найдите значение выражения $\sqrt3-\sqrt2-\sqrt6-7-\operatorname{tg}172^\circ30'$.`,
|
||||
answer: '-9',
|
||||
sol: R`$\operatorname{tg}172^\circ30'=-\operatorname{tg}7^\circ30'=-(\sqrt6-\sqrt3+\sqrt2-2)$. Тогда выражение равно $\sqrt3-\sqrt2-\sqrt6-7+\sqrt6-\sqrt3+\sqrt2-2=-9$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 10' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 10' },
|
||||
|
||||
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 5,
|
||||
text: R`Трое рабочих (не все одинаковой квалификации) выполнили некоторую работу, работая по очереди. Сначала первый рабочий проработал $\dfrac{1}{12}$ часть времени, необходимого двум другим для выполнения всей работы. Затем второй проработал $\dfrac{1}{12}$ часть времени, необходимого двум другим. И, наконец, третий проработал $\dfrac{1}{12}$ часть времени, необходимого двум другим. Во сколько раз быстрее работа была бы выполнена, если бы трое рабочих работали одновременно? В ответ запишите найденное число, умноженное на $4$.`,
|
||||
answer: '5',
|
||||
sol: R`Пусть производительности рабочих $r_1,r_2,r_3$, $R=r_1+r_2+r_3$. Условие выполнения работы: $\sum\dfrac{r_i}{12(R-r_i)}=1$, откуда $\sum\dfrac{1}{R-r_i}=\dfrac{15}{R}$. Время работы по очереди $T=\dfrac{1}{12}\sum\dfrac{1}{R-r_i}=\dfrac{5}{4R}$, а время совместной работы $\dfrac1R$. Отношение равно $\dfrac54$; умноженное на $4$ — это $5$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3' },
|
||||
];
|
||||
|
||||
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user