chore(ctmath): убрать упоминания сторонних авторов из ссылок-учебников
Поле ref в решениях задач (показывается ученику как «Учебник: …») содержало фамилии авторов чужих учебников (Арефьева, Казаков, Латотин, Герасимов). Заменено на обобщённые ссылки нашего курса: «Алгебра, 7 класс, гл. 1» и т.п. (фамилии и кавычки-ёлочки убраны). 452 замены в 15 seed_ctmath_*.js. Синтаксис OK, валидация 30/30. Применённые варианты (112,113) обновятся при повторном --apply (upsert solution_html). Co-Authored-By: Claude Opus 4.8 (1M context) <noreply@anthropic.com>
This commit is contained in:
Maxim Dolgolyov
@@ -57,70 +57,70 @@ const TASKS = [
|
||||
opts: mc('$C$', '$B$', '$D$', '$F$', '$O$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`Шаг между соседними точками равен $\dfrac17$, поэтому $B=\dfrac87$, $C=\dfrac77=1$. Числу $1$ соответствует точка $C$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Математика, 6 кл.», гл. 5' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 5' },
|
||||
|
||||
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 1,
|
||||
text: R`Запишите $\left(11^{x}\right)^{y}$ в виде степени с основанием $11$.`,
|
||||
opts: mc('$11^{x/y}$', '$11^{x+y}$', '$11^{2x+2y}$', '$11^{2xy}$', '$11^{xy}$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`По свойству степени $\left(11^{x}\right)^{y}=11^{xy}$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 1, § 4' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 1, § 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 1,
|
||||
text: R`Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n=5n-2$. Найдите разность этой прогрессии.`,
|
||||
opts: mc('$3$', '$-7$', '$5$', '$7$', '$-5$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`$d=a_{n+1}-a_n=\bigl(5(n+1)-2\bigr)-(5n-2)=5$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 1,
|
||||
text: R`Точка $K(5;-2)$ симметрична точке $L$ относительно точки $O$ — начала координат. Укажите координаты точки $L$.`,
|
||||
opts: mc('$(-5;2)$', '$(5;2)$', '$(-5;-2)$', '$(2;-5)$', '$(-2;5)$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`При центральной симметрии относительно начала координат обе координаты меняют знак: $L(-5;2)$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Математика, 6 кл.», гл. 5' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 5' },
|
||||
|
||||
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
|
||||
text: R`Вычислите $\dfrac{3732\cdot0{,}01-5}{0{,}47+1{,}13}$.`,
|
||||
opts: mc('$20{,}2$', '$2{,}2$', '$202$', '$22$', '$2{,}02$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`$\dfrac{37{,}32-5}{1{,}6}=\dfrac{32{,}32}{1{,}6}=20{,}2$.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 4' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 6, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
|
||||
text: R`Укажите множество решений системы неравенств $\begin{cases}x\le-1{,}6,\\ 1-2x<9.\end{cases}$`,
|
||||
opts: mc('$(-4;-1{,}6]$', '$[-1{,}6;+\infty)$', '$(-\infty;-4)$', '$[-4;-1{,}6)$', '$(-1{,}6;4)$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`Из $1-2x<9$ следует $-2x<8$, то есть $x>-4$. Вместе с $x\le-1{,}6$ получаем $-4<x\le-1{,}6$, то есть $(-4;-1{,}6]$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 2,
|
||||
text: R`Точки $A,B,C$ делят окружность на дуги $AB$, $BC$ и $CA$, градусные меры которых в указанном порядке относятся как $5:7:6$. Найдите градусную меру угла $ABC$.`,
|
||||
opts: mc('$50^\circ$', '$60^\circ$', '$70^\circ$', '$100^\circ$', '$120^\circ$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`Сумма частей $5+7+6=18$ отвечает $360^\circ$, одна часть равна $20^\circ$. Дуга $CA=6\cdot20^\circ=120^\circ$. Вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $CA$, поэтому $\angle ABC=\tfrac12\cdot120^\circ=60^\circ$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
|
||||
text: R`Даны числа $5100$; $\ 0{,}0051$; $\ 5{,}1\cdot10^{-4}$; $\ 51\cdot10^{3}$; $\ 0{,}51\cdot10^{5}$. Укажите число, записанное в стандартном виде.`,
|
||||
opts: mc('$5100$', '$0{,}0051$', '$5{,}1\cdot10^{-4}$', '$51\cdot10^{3}$', '$0{,}51\cdot10^{5}$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`Стандартный вид $a\cdot10^{n}$ требует $1\le a<10$. Этому удовлетворяет только $5{,}1\cdot10^{-4}$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 1, § 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 1, § 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-fractions', diff: 2,
|
||||
text: R`Результат упрощения выражения $\dfrac{a^{2}+5a}{a+3}+\dfrac{6a}{a^{2}+3a}$ имеет вид:`,
|
||||
opts: mc('$a-2$', '$\dfrac{(a-2)(a-3)}{a+3}$', '$\dfrac{a^{2}+11a}{a^{2}+4a+3}$', '$\dfrac{a^{2}+8a+33}{3(a+3)}$', '$a+2$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`$\dfrac{a(a+5)}{a+3}+\dfrac{6a}{a(a+3)}=\dfrac{a(a+5)+6}{a+3}=\dfrac{a^{2}+5a+6}{a+3}=\dfrac{(a+2)(a+3)}{a+3}=a+2$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 10, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
|
||||
text: R`Значение выражения $\sqrt[5]{1\tfrac{1}{32}}:\sqrt[5]{33}$ равно:`,
|
||||
opts: mc('$\dfrac{3}{2\sqrt[5]{33}}$', '$\dfrac12$', '$2$', '$\dfrac{2}{3\sqrt[5]{33}}$', '$\dfrac{1}{33}$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`$\sqrt[5]{\dfrac{33}{32}}:\sqrt[5]{33}=\sqrt[5]{\dfrac{33}{32\cdot33}}=\sqrt[5]{\dfrac{1}{32}}=\dfrac12$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 11, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||||
text: R`На диаграмме показано количество всех покупателей магазина и количество купивших товар по акции по дням недели (данные приведены в таблице). В какой день количество покупателей по акции составило менее 30 % от количества всех покупателей в этот день?`,
|
||||
@@ -128,129 +128,129 @@ const TASKS = [
|
||||
opts: mc('понедельник', 'вторник', 'среда', 'четверг', 'пятница'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`Доля покупателей по акции: пн — $\dfrac{1600}{4400}\approx0{,}36$; вт — $\dfrac{2600}{5500}\approx0{,}47$; ср — $\dfrac{1800}{3400}\approx0{,}53$; чт — $\dfrac{2200}{4700}\approx0{,}47$; пт — $\dfrac{1800}{6500}\approx0{,}28$. Менее $0{,}3$ — только в пятницу.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 12, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 2,
|
||||
text: R`Графиком функции $y=1-(x+3)^{2}$ является парабола. Укажите верное утверждение о её расположении.`,
|
||||
opts: mc('ветви вверх, вершина $(3;1)$', 'ветви вниз, вершина $(-3;1)$', 'ветви вниз, вершина $(3;1)$', 'ветви вверх, вершина $(-3;-1)$', 'ветви вниз, вершина $(-3;-1)$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`$y=-(x+3)^{2}+1$: коэффициент при квадрате отрицателен (ветви направлены вниз), вершина в точке $(-3;1)$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 13, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 2,
|
||||
text: R`Уравнение $\dfrac{4x-9}{5}+2=x-\dfrac{11-x}{5}$ равносильно уравнению:`,
|
||||
opts: mc('$6^{x}=1$', '$6^{x}=6$', '$2^{x}=32$', '$2^{x}=64$', '$5^{x}=25$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`Умножив на $5$: $4x-9+10=5x-(11-x)$, то есть $4x+1=6x-11$, откуда $x=6$. Этому корню равносильно уравнение $2^{x}=64$ (ведь $2^{6}=64$).`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 14, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||||
text: R`Собственная скорость катера в $9$ раз больше скорости течения реки. Расстояние по реке от пункта $A$ до пункта $B$ плот проплыл за время $t_1$, а катер — за время $t_2$. Тогда верна формула:`,
|
||||
opts: mc('$t_1=10t_2$', '$t_1=9t_2$', '$t_1=9{,}5t_2$', '$t_1=10{,}5t_2$', '$t_1=11t_2$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`Пусть скорость течения $v$. Плот плывёт со скоростью течения: $t_1=\dfrac{S}{v}$. Катер по течению имеет скорость $9v+v=10v$: $t_2=\dfrac{S}{10v}$. Значит $t_1=10t_2$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 15, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 3,
|
||||
text: R`На координатной плоскости дан тупоугольный треугольник $ABC$ с вершинами $A(2;3)$, $B(0;0)$, $C(2;-3)$. Найдите $\cos\angle ABC$.`,
|
||||
opts: mc('$\dfrac{5}{12}$', '$\dfrac{5}{13}$', '$-\dfrac{5}{13}$', '$-\dfrac{12}{13}$', '$\dfrac{12}{13}$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`$\vec{BA}=(2;3)$, $\vec{BC}=(2;-3)$. $\cos\angle ABC=\dfrac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{|\vec{BA}|\,|\vec{BC}|}=\dfrac{2\cdot2+3\cdot(-3)}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}=-\dfrac{5}{13}$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 16, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 2,
|
||||
text: R`Из полного бокала, имеющего форму конуса высотой $9$, отлили треть (по объёму) жидкости. Вычислите $\dfrac12 h^{3}$, где $h$ — высота оставшейся жидкости.`,
|
||||
opts: mc('$324$', '$182$', '$27$', '$243$', '$81$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`Оставшаяся жидкость составляет $\tfrac23$ объёма и образует подобный конус высотой $h$: $\left(\dfrac{h}{9}\right)^{3}=\dfrac23$, откуда $h^{3}=729\cdot\dfrac23=486$. Тогда $\dfrac12 h^{3}=243$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 17, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
|
||||
text: R`График функции, заданной формулой $y=kx+b$, симметричен относительно оси $Oy$ и проходит через точку $A\left(\tfrac13;6\right)$. Значение выражения $k+b$ равно:`,
|
||||
opts: mc('$-5\tfrac23$', '$6\tfrac13$', '$6$', '$2$', '$18$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`Симметрия относительно оси $Oy$ означает чётность функции: $-kx+b=kx+b$ при всех $x$, откуда $k=0$. Тогда $y=b$, и из прохождения через $A$ получаем $b=6$. Значит $k+b=6$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 18, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 3,
|
||||
text: R`Высоты остроугольного равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) пересекаются в точке $O$. Если высота $AD=15$ и $AO=10$, то длина стороны $AC$ равна:`,
|
||||
opts: mc('$17$', '$7\sqrt6$', '$5\sqrt3$', '$10\sqrt3$', '$5\sqrt{13}$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`Поместим $A(-a;0)$, $C(a;0)$, $B(0;h)$. Ортоцентр $O\left(0;\dfrac{a^{2}}{h}\right)$. Тогда $AO=\dfrac{a\sqrt{a^{2}+h^{2}}}{h}=10$, а высота $AD=\dfrac{2ah}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}=15$. Отсюда $a^{2}=75$, $h=15$, поэтому $AC=2a=10\sqrt3$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
// ── Часть B: В1–В12 ──────────────────────────────────────────────────────
|
||||
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||||
text: R`Витя купил в магазине некоторое количество тетрадей, заплатив за них $24$ тысячи рублей. Затем он обнаружил, что в другом магазине тетрадь стоит на $1$ тысячу рублей меньше, поэтому, заплатив такую же сумму, он мог бы купить на $2$ тетради больше. Сколько тетрадей купил Витя?`,
|
||||
answer: '6',
|
||||
sol: R`Пусть цена тетради $p$ (тыс. руб.), куплено $n=\dfrac{24}{p}$ тетрадей. Тогда $\dfrac{24}{p-1}=\dfrac{24}{p}+2$, откуда $p(p-1)=12$, $p=4$. Значит $n=\dfrac{24}{4}=6$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите наибольшее целое решение неравенства $3^{x+17}\cdot5^{-x-16}>1{,}08$.`,
|
||||
answer: '-15',
|
||||
sol: R`$1{,}08=\dfrac{27}{25}=3^{3}\cdot5^{-2}$. Неравенство приводится к виду $3^{x+14}\cdot5^{-x-14}>1$, то есть $\left(\dfrac35\right)^{x+14}>1$. Так как $\dfrac35<1$, то $x+14<0$, $x<-14$. Наибольшее целое — $-15$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите модуль разности наибольшего и наименьшего корней уравнения $\left(2x^{2}-x-7\right)^{2}=(5x+1)^{2}$.`,
|
||||
answer: '7',
|
||||
sol: R`$2x^{2}-x-7=\pm(5x+1)$. При знаке «$+$»: $2x^{2}-6x-8=0$, $x=4;-1$. При знаке «$-$»: $2x^{2}+4x-6=0$, $x=1;-3$. Корни $\{-3;-1;1;4\}$; модуль разности наибольшего и наименьшего $|4-(-3)|=7$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
|
||||
text: R`Пусть $(x_1;y_1)$, $(x_2;y_2)$ — решения системы уравнений $\begin{cases}x^{2}+4x=15+3y,\\ 4x-3y=6.\end{cases}$ Найдите значение выражения $x_1y_2+x_2y_1$.`,
|
||||
answer: '-24',
|
||||
sol: R`Из второго уравнения $3y=4x-6$. Подставив в первое: $x^{2}+4x=15+4x-6$, $x^{2}=9$, $x=\pm3$. Решения $(3;2)$ и $(-3;-6)$. Тогда $x_1y_2+x_2y_1=3\cdot(-6)+(-3)\cdot2=-24$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения $\sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{12-x}+\sqrt{1-x}$.`,
|
||||
answer: '-6',
|
||||
sol: R`Вычитая $\sqrt{1-x}$ из обеих частей: $\sqrt{x^{2}+3x}=\sqrt{12-x}$, $x^{2}+3x=12-x$, $x^{2}+4x-12=0$, $x=2;-6$. Условию ОДЗ ($x\le1$) удовлетворяет лишь $x=-6$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
|
||||
|
||||
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите сумму целых решений неравенства $\dfrac{(x^{2}+7x+10)(x-4)^{2}}{4-x^{2}}\ge0$.`,
|
||||
answer: '-8',
|
||||
sol: R`После сокращения на $(x+2)$: $\dfrac{(x+5)(x-4)^{2}}{2-x}\ge0$ при $x\ne-2$. Множитель $(x-4)^{2}\ge0$, поэтому решение — промежуток $[-5;2)$ без точки $x=-2$, плюс отдельная точка $x=4$. Целые решения $-5,-4,-3,-1,0,1,4$; их сумма $-8$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 3,
|
||||
text: R`Каждое боковое ребро четырёхугольной пирамиды образует с её высотой, равной $3\sqrt7$, угол $30^\circ$. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом $30^\circ$ между диагоналями. Найдите объём пирамиды $V$; в ответ запишите значение выражения $\sqrt7\cdot V$.`,
|
||||
answer: '147',
|
||||
sol: R`Все боковые рёбра равнонаклонены к основанию, значит вершина проектируется в центр прямоугольника. Половина диагонали $R=H\operatorname{tg}30^\circ=3\sqrt7\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\sqrt{21}$, диагональ $d=2\sqrt{21}$. Площадь основания $S=\dfrac12 d^{2}\sin30^\circ=\dfrac12\cdot84\cdot\dfrac12=21$. Объём $V=\dfrac13\cdot21\cdot3\sqrt7=21\sqrt7$, и $\sqrt7\cdot V=21\cdot7=147$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения $\sin^{2}\!\left(5x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1$.`,
|
||||
answer: '-6',
|
||||
sol: R`$\sin^{2}\alpha=1\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$. Тогда $5x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}+\pi k=\dfrac{5\pi}{6}+\pi k$, $x=30^\circ+36^\circ k$. Наибольший отрицательный корень при $k=-1$: $30^\circ-36^\circ=-6^\circ$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8' },
|
||||
|
||||
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 4,
|
||||
text: R`Найдите количество корней уравнения $\sin x=-\dfrac{x}{16\pi}$.`,
|
||||
answer: '33',
|
||||
sol: R`Корни существуют лишь при $|x|\le16\pi$. Функции $\sin x$ и $-\dfrac{x}{16\pi}$ нечётны, поэтому $x=0$ — корень, а остальные корни симметричны. При $x>0$ правая часть отрицательна, поэтому пересечения происходят на восьми «отрицательных» арках синуса $(\pi;2\pi),(3\pi;4\pi),\ldots,(15\pi;16\pi)$ — по два на каждой, итого $16$. Столько же при $x<0$. Всего $16+16+1=33$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 3,
|
||||
text: R`В прямоугольнике $ABCD$ выбраны точки $L$ на стороне $BC$ и $M$ на стороне $AD$ так, что $ALCM$ — ромб. Найдите площадь этого ромба, если $AB=3$, $BC=9$.`,
|
||||
answer: '15',
|
||||
sol: R`Пусть сторона ромба равна $m$. Тогда $BL=BC-LC=9-m$, и из прямоугольного треугольника $ABL$: $m^{2}=3^{2}+(9-m)^{2}$, откуда $m=5$. Диагонали ромба $AC=\sqrt{3^{2}+9^{2}}=3\sqrt{10}$ и $LM=\sqrt{10}$, поэтому площадь $=\dfrac12\cdot3\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}=15$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите значение выражения $2^{A}$, если $A=\log_{2}9+\log_{2}25$.`,
|
||||
answer: '225',
|
||||
sol: R`$A=\log_{2}9+\log_{2}25=\log_{2}(9\cdot25)=\log_{2}225$, поэтому $2^{A}=225$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые при делении на $4$ и на $6$ дают в остатке $1$, а при делении на $9$ дают в остатке $4$.`,
|
||||
answer: '13825',
|
||||
sol: R`Условия $n\equiv1\pmod4$ и $n\equiv1\pmod6$ дают $n\equiv1\pmod{12}$. Вместе с $n\equiv4\pmod9$ получаем $n\equiv13\pmod{36}$. Трёхзначные такие числа образуют прогрессию $121,157,\ldots,985$ — всего $25$ чисел. Их сумма $\dfrac{121+985}{2}\cdot25=553\cdot25=13825$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4' },
|
||||
];
|
||||
|
||||
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user