chore(ctmath): убрать упоминания сторонних авторов из ссылок-учебников
Поле ref в решениях задач (показывается ученику как «Учебник: …») содержало фамилии авторов чужих учебников (Арефьева, Казаков, Латотин, Герасимов). Заменено на обобщённые ссылки нашего курса: «Алгебра, 7 класс, гл. 1» и т.п. (фамилии и кавычки-ёлочки убраны). 452 замены в 15 seed_ctmath_*.js. Синтаксис OK, валидация 30/30. Применённые варианты (112,113) обновятся при повторном --apply (upsert solution_html). Co-Authored-By: Claude Opus 4.8 (1M context) <noreply@anthropic.com>
This commit is contained in:
Maxim Dolgolyov
@@ -52,35 +52,35 @@ const TASKS = [
|
||||
opts: mc('$44$', '$50$', '$48$', '$18$', '$46$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`Число имеет вид $15\cdot3+r=45+r$, где $0\le r<15$. Наименьшее чётное получается при $r=1$: это $46$.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 3' },
|
||||
ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
|
||||
text: R`В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, причём $MN\parallel BC$. Известно, что $\angle ACB=38^\circ$ и $\angle AMN=109^\circ$. Найдите градусную меру угла $BAC$.`,
|
||||
opts: mc('$33^\circ$', '$52^\circ$', '$26^\circ$', '$30^\circ$', '$60^\circ$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`Так как $MN\parallel BC$, то $\angle ABC=\angle AMN=109^\circ$ (соответственные углы). Тогда $\angle BAC=180^\circ-\angle ABC-\angle ACB=180^\circ-109^\circ-38^\circ=33^\circ$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
|
||||
text: R`На координатной прямой отмечены числа $0$, $k$, $t$, причём $0<k<t$. Укажите верное утверждение.`,
|
||||
opts: mc('$-3k<-3t$', '$\dfrac1t>\dfrac1k$', '$3k>3t$', '$\dfrac{k}{-3}>\dfrac{t}{-3}$', '$k>t$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`При делении неравенства $k<t$ на отрицательное число $-3$ знак меняется: $\dfrac{k}{-3}>\dfrac{t}{-3}$. Остальные утверждения неверны.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
|
||||
text: R`Значение выражения $3^{-5}:\left(5\tfrac25\right)^{-3}$ равно:`,
|
||||
opts: mc('$\dfrac{27}{125}$', '$\dfrac{4}{5}$', '$\dfrac{125}{81}$', '$\dfrac{81}{125}$', '$\dfrac{125}{243}$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`$5\tfrac25=\dfrac{27}{5}$. Тогда $3^{-5}:\left(\dfrac{27}{5}\right)^{-3}=3^{-5}\cdot\dfrac{3^{9}}{5^{3}}=\dfrac{3^{4}}{5^{3}}=\dfrac{81}{125}$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 1, § 4' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 1, § 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 1,
|
||||
text: R`Укажите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1=2$, $a_2=5$.`,
|
||||
opts: mc('$a_n=-3n+5$', '$a_n=3n+5$', '$a_n=3n-1$', '$a_n=2n+5$', '$a_n=5n+2$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`$d=a_2-a_1=3$, поэтому $a_n=a_1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 6, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 1,
|
||||
text: R`Величины $a$ и $b$ прямо пропорциональны. Используя данные таблицы, найдите неизвестное значение величины $a$.`,
|
||||
@@ -88,164 +88,164 @@ const TASKS = [
|
||||
opts: mc('$32$', '$27$', '$22$', '$14$', '$56$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`При прямой пропорциональности $\dfrac{a}{b}$ постоянно: $\dfrac{a}{108}=\dfrac{1{,}9}{7{,}6}=0{,}25$, откуда $a=27$.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите площадь (в см²) многоугольника с вершинами $A(2;2)$, $B(9;2)$, $C(9;7)$, $D(3;7)$, $E(2;8)$ (координаты — в сантиметрах).`,
|
||||
opts: mc('$35{,}5$', '$28$', '$36$', '$49$', '$35$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`По формуле площади многоугольника по координатам вершин (формула шнуровки) $2S=\bigl|{-}14+45+42+10-12\bigr|=71$, поэтому $S=35{,}5$ см².`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 4' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
|
||||
text: R`Областью значений функции $y=f(x)$ на промежутке $(-5;5)$ является отрезок $[-4;6]$. Найдите сумму всех целых значений, которые принимает функция.`,
|
||||
opts: mc('$12$', '$14$', '$7$', '$10$', '$11$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`Функция принимает все целые значения от $-4$ до $6$. Их сумма $-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6=11$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 1,
|
||||
text: R`Найдите значение выражения НОК$(12;18;36)$ + НОД$(39;52)$.`,
|
||||
opts: mc('$26$', '$50$', '$48$', '$72$', '$49$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`НОК$(12;18;36)=36$, НОД$(39;52)=13$. Сумма $36+13=49$.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 10, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 2,
|
||||
text: R`Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$ и образует с плоскостью угол $60^\circ$. Точка $B$ лежит на прямой $a$, причём $AB=6\sqrt2$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$.`,
|
||||
opts: mc('$3\sqrt2$', '$3\sqrt6$', '$3\sqrt3$', '$6\sqrt6$', '$6\sqrt3$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`Расстояние от $B$ до плоскости равно $AB\sin60^\circ=6\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=3\sqrt6$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 11, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||||
text: R`На круговой диаграмме распределения посевных площадей секторам отвечают: ячмень — $63^\circ$, пшеница — $108^\circ$, гречиха — $36^\circ$, рожь — $18^\circ$, остальное — овёс. Сколько гектаров отведено под гречиху, если овсом засеяно на $390$ га больше, чем рожью?`,
|
||||
opts: mc('$110$ га', '$150$ га', '$120$ га', '$160$ га', '$180$ га'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`Овёс: $360^\circ-63^\circ-108^\circ-36^\circ-18^\circ=135^\circ$. Разность «овёс минус рожь» $=135^\circ-18^\circ=117^\circ$ отвечает $390$ га, поэтому $1^\circ\to\dfrac{390}{117}=\dfrac{10}{3}$ га. Гречиха: $36^\circ\cdot\dfrac{10}{3}=120$ га.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 12, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
|
||||
text: R`Длины всех сторон треугольника — целые числа. Если длина одной стороны равна $1$, а другой — $3$, то периметр треугольника равен:`,
|
||||
opts: mc('$7$', '$14$', '$21$', '$6$', '$8$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`По неравенству треугольника третья сторона $c$ удовлетворяет $|3-1|<c<3+1$, то есть $2<c<4$, целое $c=3$. Периметр $1+3+3=7$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 13, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-fractions', diff: 2,
|
||||
text: R`Сократите дробь $\dfrac{x^{2}-9}{8x^{2}-23x-3}$.`,
|
||||
opts: mc('$\dfrac{x-3}{8x+1}$', '$\dfrac{x+3}{8x-1}$', '$\dfrac{x+3}{x+1}$', '$\dfrac{x+3}{8x+1}$', '$\dfrac{x-3}{8x-1}$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`$8x^{2}-23x-3=(x-3)(8x+1)$, поэтому $\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(8x+1)}=\dfrac{x+3}{8x+1}$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 14, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||||
text: R`Из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми $160$ км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля с постоянными скоростями: из $A$ — со скоростью $a$ км/ч, из $B$ — со скоростью $b$ км/ч. Составьте выражение для расстояния (в километрах) от пункта $A$ до места встречи.`,
|
||||
opts: mc('$\dfrac{160a}{a+b}$', '$\dfrac{160}{a+b}$', '$\dfrac{160(a+b)}{a}$', '$\dfrac{160b}{a+b}$', '$\dfrac{160(a+b)}{b}$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`Время до встречи $t=\dfrac{160}{a+b}$. Расстояние от $A$: $a\cdot t=\dfrac{160a}{a+b}$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 15, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 3,
|
||||
text: R`Точки $A,B,C$ лежат на большой окружности сферы так, что треугольник $ABC$ равносторонний. Если $AB=3\sqrt6$, то площадь сферы равна:`,
|
||||
opts: mc('$144\pi$', '$72\pi$', '$36\pi$', '$18\pi$', '$68\pi$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`Сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$ (это радиус сферы), равна $R\sqrt3$. Из $3\sqrt6=R\sqrt3$ следует $R=3\sqrt2$, $R^{2}=18$. Площадь сферы $4\pi R^{2}=72\pi$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 3' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 16, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
|
||||
text: R`Упростите выражение $5\cos(7\pi+\alpha)+\sin\left(\dfrac{11\pi}{2}-\alpha\right)$.`,
|
||||
opts: mc('$6\cos\alpha$', '$-6\cos\alpha$', '$-4\cos\alpha$', '$4\cos\alpha$', '$6\sin\alpha$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`$\cos(7\pi+\alpha)=\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$; $\ \sin\left(\dfrac{11\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha$. Сумма $5(-\cos\alpha)+(-\cos\alpha)=-6\cos\alpha$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 10' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 10' },
|
||||
|
||||
{ idx: 17, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
|
||||
text: R`График функции, заданной формулой $y=kx+b$, симметричен относительно начала координат и проходит через точку $A(2;10)$. Значение выражения $k+b$ равно:`,
|
||||
opts: mc('$-8$', '$2$', '$5$', '$10$', '$12$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`Симметрия относительно начала координат означает нечётность функции, поэтому $b=0$. Тогда $y=kx$, и из $10=2k$ получаем $k=5$. Значит $k+b=5$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 18, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
|
||||
text: R`Сумма всех натуральных решений неравенства $(6-x)\cdot(x+4)^{8}\cdot(x-13)^{2}\ge0$ равна:`,
|
||||
opts: mc('$11$', '$19$', '$21$', '$34$', '$36$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`Множители $(x+4)^{8}\ge0$ и $(x-13)^{2}\ge0$, поэтому знак выражения определяет $(6-x)$. Неравенство выполнено при $x\le6$, а также при $x=13$ (там левая часть равна $0$). Натуральные решения $1,2,3,4,5,6,13$; их сумма $34$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
// ── Часть B: В1–В12 ──────────────────────────────────────────────────────
|
||||
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 3,
|
||||
text: R`Для покраски стен общей площадью $175$ м² планируется закупка краски. Банка объёмом $2{,}5$ л стоит $75\,000$ рублей, банка объёмом $10$ л — $270\,000$ рублей. Какую минимальную сумму (в рублях) потратят на покупку необходимого количества краски, если её расход составляет $0{,}2$ л/м²?`,
|
||||
answer: '960000',
|
||||
sol: R`Нужно $175\cdot0{,}2=35$ л краски. Литр в банке $10$ л дешевле ($27\,000$ против $30\,000$). Минимум даёт набор $3$ банки по $10$ л и $2$ банки по $2{,}5$ л: $30+5=35$ л за $3\cdot270\,000+2\cdot75\,000=960\,000$ рублей.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения $2x\cdot\sqrt{7x+18}=x^{2}+7x+18$.`,
|
||||
answer: '9',
|
||||
sol: R`Пусть $u=\sqrt{7x+18}\ge0$, тогда $u^{2}=7x+18$ и уравнение примет вид $x^{2}-2xu+u^{2}=0$, то есть $(x-u)^{2}=0$, $x=u$. Значит $x=\sqrt{7x+18}$, $x^{2}-7x-18=0$, $x=9$ (корень $-2$ не подходит, так как $x\ge0$).`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
|
||||
|
||||
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 4,
|
||||
text: R`В равнобедренную трапецию, площадь которой равна $36\tfrac18$, вписана окружность. Сумма двух углов трапеции равна $60^\circ$. Найдите периметр трапеции.`,
|
||||
answer: '34',
|
||||
sol: R`Два равных угла при большем основании дают $60^\circ$, значит острый угол равен $30^\circ$. Для описанной около окружности трапеции $a+b=2l$ (сумма оснований равна сумме боковых сторон). Высота $h=l\sin30^\circ=\dfrac{l}{2}$, площадь $S=\dfrac12(a+b)h=\dfrac{l^{2}}{2}=\dfrac{289}{8}$, откуда $l=\dfrac{17}{2}$. Периметр $a+b+2l=4l=34$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 4' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
|
||||
text: R`Пусть $(x;y)$ — решение системы уравнений $\begin{cases}5x-y=5,\\ 5x^{2}-xy+x=12.\end{cases}$ Найдите значение выражения $5y-x$.`,
|
||||
answer: '23',
|
||||
sol: R`Из первого уравнения $y=5x-5$. Подставив во второе: $5x^{2}-x(5x-5)+x=12$, то есть $6x=12$, $x=2$, $y=5$. Тогда $5y-x=25-2=23$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите значение выражения $2\cdot\left(\sqrt[3]{5\sqrt5}-\sqrt[3]{6\sqrt6}\right):\left(\sqrt5+\sqrt6\right)-4\sqrt{30}$.`,
|
||||
answer: '-22',
|
||||
sol: R`$\sqrt[3]{5\sqrt5}=\sqrt5$ и $\sqrt[3]{6\sqrt6}=\sqrt6$. Тогда $\dfrac{2(\sqrt5-\sqrt6)}{\sqrt5+\sqrt6}=\dfrac{2(\sqrt5-\sqrt6)^{2}}{5-6}=-2(11-2\sqrt{30})=-22+4\sqrt{30}$. Вычитая $4\sqrt{30}$, получаем $-22$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите сумму корней уравнения $(x-81)\cdot\left(9^{x}+8\cdot3^{x+1}-81\right)=0$.`,
|
||||
answer: '82',
|
||||
sol: R`Первый множитель даёт $x=81$. Во втором при $t=3^{x}$: $9^{x}+24\cdot3^{x}-81=t^{2}+24t-81=0$, $t=3$ (корень $t=-27$ отброшен), откуда $3^{x}=3$, $x=1$. Сумма корней $81+1=82$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 4,
|
||||
text: R`Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если длина биссектрисы её основания равна $4\sqrt3$, а плоский угол при вершине равен $2\operatorname{arctg}\dfrac45$.`,
|
||||
answer: '60',
|
||||
sol: R`Биссектриса (она же медиана) равностороннего основания равна $\dfrac{a\sqrt3}{2}=4\sqrt3$, откуда $a=8$. В боковой грани половина угла при вершине $\beta=\operatorname{arctg}\dfrac45$, и $\operatorname{tg}\beta=\dfrac{a/2}{l}=\dfrac45$, поэтому апофема $l=5$. Площадь грани $\dfrac12\cdot8\cdot5=20$, боковая поверхность $3\cdot20=60$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
|
||||
text: R`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства $\log_{1/15}\bigl(\log_{2}\log_{9}(x+15)\bigr)>0$.`,
|
||||
answer: '60',
|
||||
sol: R`Основание $\dfrac{1}{15}<1$, поэтому $0<\log_{2}\log_{9}(x+15)<1$, откуда $1<\log_{9}(x+15)<2$, то есть $9<x+15<81$, $-6<x<66$. Целые решения от $-5$ до $65$; их наименьшее и наибольшее в сумме дают $-5+65=60$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 4,
|
||||
text: R`Найдите (в градусах) сумму корней уравнения $10\sin5x\cos5x+5\sin10x\cos18x=0$ на промежутке $(110^\circ;170^\circ)$.`,
|
||||
answer: '712',
|
||||
sol: R`$10\sin5x\cos5x=5\sin10x$, поэтому $5\sin10x(1+\cos18x)=0$. Из $\sin10x=0$: $x=18^\circ k$ — корни $126^\circ,144^\circ,162^\circ$. Из $\cos18x=-1$: $x=10^\circ+20^\circ k$ — корни $130^\circ,150^\circ$. Сумма $126+144+162+130+150=712$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8' },
|
||||
|
||||
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 4,
|
||||
text: R`Найдите произведение наименьшего и наибольшего целых решений неравенства $|15-2x-x^{2}|+4<4\cdot|3-x|+|x+5|$.`,
|
||||
answer: '-24',
|
||||
sol: R`Так как $|15-2x-x^{2}|=|x+5|\cdot|x-3|$, неравенство равносильно $(|x+5|-4)(|x-3|-1)<0$, его решение — $(-9;-1)\cup(2;4)$. Целые решения $-8,-7,\ldots,-2$ и $3$; произведение наименьшего и наибольшего $(-8)\cdot3=-24$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 5,
|
||||
text: R`Точка $A$ движется по периметру треугольника $KMP$. Точки $K_1,M_1,P_1$ лежат на медианах треугольника $KMP$ и делят их в отношении $11:3$, считая от вершин. По периметру треугольника $K_1M_1P_1$ движется точка $B$ со скоростью, в пять раз большей скорости точки $A$. Сколько раз точка $B$ обойдёт периметр треугольника $K_1M_1P_1$ за то время, за которое точка $A$ дважды обойдёт периметр треугольника $KMP$?`,
|
||||
answer: '56',
|
||||
sol: R`Точки на медианах в отношении $11:3$ от вершин дают треугольник $K_1M_1P_1$, подобный $KMP$ с коэффициентом $\dfrac{5}{28}$ (например, $\vec{K_1M_1}=\dfrac{5}{28}\vec{KM}$). За два обхода $A$ (путь $2P$) точка $B$ проходит $5\cdot2P=10P$, что составляет $\dfrac{10P}{(5/28)P}=56$ обходов.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 5,
|
||||
text: R`Объём прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $1728$. Точка $P$ лежит на боковом ребре $CC_1$ так, что $CP:PC_1=2:1$. Через точку $P$, вершину $D$ и середину бокового ребра $AA_1$ проведена секущая плоскость, делящая параллелепипед на две части. Найдите объём меньшей из частей.`,
|
||||
answer: '724',
|
||||
sol: R`В единичных долях рёбер ($u,v,w\in[0;1]$) секущая плоскость задаётся уравнением $-\dfrac{2u}{3}+\dfrac{v}{2}+w=\dfrac12$. Объём части, где $w$ больше плоскости, равен $\dfrac{181}{432}$ объёма параллелепипеда — это меньше половины. Значит меньшая часть $=\dfrac{181}{432}\cdot1728=181\cdot4=724$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1' },
|
||||
];
|
||||
|
||||
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user