chore(ctmath): убрать упоминания сторонних авторов из ссылок-учебников
Поле ref в решениях задач (показывается ученику как «Учебник: …») содержало фамилии авторов чужих учебников (Арефьева, Казаков, Латотин, Герасимов). Заменено на обобщённые ссылки нашего курса: «Алгебра, 7 класс, гл. 1» и т.п. (фамилии и кавычки-ёлочки убраны). 452 замены в 15 seed_ctmath_*.js. Синтаксис OK, валидация 30/30. Применённые варианты (112,113) обновятся при повторном --apply (upsert solution_html). Co-Authored-By: Claude Opus 4.8 (1M context) <noreply@anthropic.com>
This commit is contained in:
Maxim Dolgolyov
@@ -49,126 +49,126 @@ const TASKS = [
|
||||
opts: mc('$t>24$', '$t=23$', '$t\ge24$', '$t\le24$', '$t<24$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`«Не ниже $24$» означает «больше или равно $24$»: $t\ge24$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 2,
|
||||
text: R`Две окружности с центрами $A$ и $B$ касаются внешним образом в точке $C$. Точки $M$ и $K$ — концы их диаметров, лежащих на прямой $AB$ (в порядке $M,A,C,B,K$). Найдите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен $5$, а $MK=28$.`,
|
||||
opts: mc('$9$', '$10$', '$14$', '$18$', '$8$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`$MK=2\cdot5+2R=28$, где $R$ — больший радиус, откуда $2R=18$, $R=9$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
|
||||
text: R`На координатной прямой отмечены точки $D(-3)$, $C(-2)$, $A(2)$, $B(5)$. Укажите точки, координаты которых являются противоположными числами.`,
|
||||
opts: mc('$A$ и $D$', '$A$ и $C$', '$B$ и $D$', '$B$ и $C$', '$A$ и $B$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`Противоположные числа $-2$ и $2$ — это координаты точек $C$ и $A$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Математика, 6 кл.», гл. 5' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 5' },
|
||||
|
||||
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
|
||||
text: R`Из вершины угла $KMN$, градусная мера которого равна $170^\circ$, проведены два луча: $MP$, делящий угол пополам, и $MF$, делящий его в отношении $9:8$ (считая от стороны $MK$). Найдите градусную меру угла $FMP$.`,
|
||||
opts: mc('$20^\circ$', '$17^\circ$', '$4^\circ$', '$10^\circ$', '$5^\circ$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`$\angle KMP=\dfrac{170^\circ}{2}=85^\circ$, $\angle KMF=170^\circ\cdot\dfrac{9}{17}=90^\circ$. Тогда $\angle FMP=90^\circ-85^\circ=5^\circ$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 1,
|
||||
text: R`Известно, что число $177$ является членом арифметической прогрессии $(a_n)$, заданной формулой $a_n=6n-3$. Найдите его номер.`,
|
||||
opts: mc('$30$', '$29$', '$27$', '$26$', '$25$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`$6n-3=177$, $6n=180$, $n=30$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 6, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
|
||||
text: R`Вычислите $8^{\,1+\log_{8}6}$.`,
|
||||
opts: mc('$6$', '$14$', '$24$', '$48$', '$56$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`$8^{\,1+\log_{8}6}=8\cdot8^{\log_{8}6}=8\cdot6=48$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 1,
|
||||
text: R`Укажите уравнение прямой, проходящей через точку $A(5;9)$ параллельно оси абсцисс.`,
|
||||
opts: mc('$x=5$', '$y=5$', '$y=9$', '$x=9$', '$5x+9y=0$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`Прямая, параллельная оси абсцисс, горизонтальна, поэтому имеет вид $y=b$. Через точку $A(5;9)$ проходит прямая $y=9$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 5' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 5' },
|
||||
|
||||
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 2,
|
||||
text: R`Для одночлена $-5c^{3}\cdot3c^{2}y$ укажите номер верного утверждения.`,
|
||||
opts: mc('стандартный вид одночлена — $-15c^{5}y$', 'значение при $c=-1$, $y=-1$ равно $15$', 'при делении на $3$ получится $-c^{5}y$', 'коэффициент одночлена равен $-5$', 'степень одночлена равна $5$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`$-5c^{3}\cdot3c^{2}y=-15c^{5}y$ — это стандартный вид (утверждение 1). Остальные неверны: значение при $c=-1,y=-1$ равно $-15$; деление на $3$ даёт $-5c^{5}y$; коэффициент $-15$; степень $5+1=6$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||||
text: R`Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. По графику движения к некоторому моменту мотоциклист проехал $80$ км, а велосипедист — $35$ км. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста?`,
|
||||
opts: mc('$3\tfrac12$ раза', '$1\tfrac19$ раза', '$2\tfrac17$ раза', '$2\tfrac27$ раза', '$2\tfrac{1}{16}$ раза'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`За одно и то же время отношение скоростей равно отношению путей: $\dfrac{80}{35}=\dfrac{16}{7}=2\tfrac27$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 10, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
|
||||
text: R`Значение выражения $\sqrt{\left(11+8\sqrt2\right)^{2}}+\sqrt{\left(11-8\sqrt2\right)^{2}}$ равно:`,
|
||||
opts: mc('$16\sqrt2$', '$38\sqrt2$', '$22$', '$16\sqrt2-22$', '$16\sqrt2+22$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`$\sqrt{(11+8\sqrt2)^{2}}=11+8\sqrt2$; так как $8\sqrt2>11$, то $\sqrt{(11-8\sqrt2)^{2}}=8\sqrt2-11$. Сумма $=(11+8\sqrt2)+(8\sqrt2-11)=16\sqrt2$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 11, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 2,
|
||||
text: R`Из квадрата со стороной $1$ удалили $12$ равных квадратов со стороной $x$. Найдите выражение для площади оставшейся (заштрихованной) части квадрата.`,
|
||||
opts: mc('$1-4x^{2}$', '$4-12x^{2}$', '$1-8x^{2}$', '$4-16x$', '$1-12x^{2}$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`Площадь квадрата равна $1$, площадь $12$ вырезанных квадратиков — $12x^{2}$. Оставшаяся часть: $1-12x^{2}$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 12, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите значение выражения $\sin\left(\operatorname{arctg}\sqrt3\right)$.`,
|
||||
opts: mc('$\dfrac{\sqrt3}{3}$', '$\dfrac12$', '$\dfrac{\sqrt3}{2}$', '$\dfrac{\sqrt2}{2}$', '$1$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`$\operatorname{arctg}\sqrt3=60^\circ$, поэтому $\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 13, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства $-5{,}2<3-0{,}1x<4{,}59$.`,
|
||||
opts: mc('$96$', '$97$', '$65$', '$67$', '$66$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`Из $3-0{,}1x<4{,}59$: $x>-15{,}9$; из $-5{,}2<3-0{,}1x$: $x<82$. Целые $x$ от $-15$ до $81$; их сумма наименьшего и наибольшего $-15+81=66$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 14, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 3,
|
||||
text: R`Длины двух сторон треугольника равны $6$ и $7$, его площадь равна $3\sqrt{33}$. Найдите наибольшее значение, которое может принимать длина третьей стороны.`,
|
||||
opts: mc('$\sqrt{151}$', '$\sqrt{133}$', '$12$', '$13$', '$2\sqrt{33}$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`$S=\dfrac12\cdot6\cdot7\sin C=21\sin C=3\sqrt{33}$, поэтому $\sin C=\dfrac{\sqrt{33}}{7}$, $\cos C=\pm\dfrac47$. Третья сторона $c^{2}=36+49-84\cos C$; наибольшая при $\cos C=-\dfrac47$: $c^{2}=85+48=133$, $c=\sqrt{133}$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 15, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
|
||||
text: R`Укажите номер уравнения, которое имеет более одного корня.`,
|
||||
opts: mc('$5x+2=2$', '$2(9-2x)=-4x$', '$\dfrac25x+7=x$', '$\dfrac{5x+2}{3}=4$', '$5x+2=\dfrac{15x+6}{3}$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`Уравнение $5x+2=\dfrac{15x+6}{3}=5x+2$ — тождество, верно при любом $x$ (бесконечно много корней). Остальные имеют ровно один корень или ни одного.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 16, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите объём конуса, образующая которого равна $4\sqrt6$, а угол при вершине осевого сечения равен $60^\circ$.`,
|
||||
opts: mc('$144\sqrt2\,\pi$', '$16\sqrt2\,\pi$', '$48\sqrt2\,\pi$', '$48\sqrt6\,\pi$', '$384\sqrt2\,\pi$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`Осевое сечение — равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине, то есть равносторонний. Радиус $R=l\sin30^\circ=4\sqrt6\cdot\dfrac12=2\sqrt6$, высота $h=l\cos30^\circ=4\sqrt6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=6\sqrt2$. Объём $V=\dfrac13\pi R^{2}h=\dfrac13\pi\cdot24\cdot6\sqrt2=48\sqrt2\,\pi$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 17, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 3,
|
||||
text: R`Сумма (в градусах) наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения $\sin(5x-10^\circ)=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ равна:`,
|
||||
opts: mc('$81^\circ$', '$55^\circ$', '$60^\circ$', '$40^\circ$', '$35^\circ$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`$5x-10^\circ=-45^\circ+360^\circ k$ или $5x-10^\circ=225^\circ+360^\circ k$, то есть $x=-7^\circ+72^\circ k$ или $x=47^\circ+72^\circ k$. Наименьший положительный корень $47^\circ$, наибольший отрицательный $-7^\circ$; их сумма $40^\circ$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8' },
|
||||
|
||||
{ idx: 18, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 4,
|
||||
text: R`$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все рёбра которой равны $9$. Точки $P$ и $K$ — середины рёбер $BB_1$ и $AC$, точка $M$ на ребре $CC_1$ такова, что $C_1M:C_1C=1:3$. Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через $K,M,P$, пересекает грань $AA_1B_1B$.`,
|
||||
opts: mc('$\dfrac{9\sqrt5}{7}$', '$\dfrac{9\sqrt{85}}{14}$', '$\dfrac{9\sqrt2}{2}$', '$\dfrac{9\sqrt{65}}{14}$', '$\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`Введём координаты $A(0;0;0)$, $B(9;0;0)$, $C\left(4{,}5;\dfrac{9\sqrt3}{2};0\right)$ и верхние вершины со сдвигом $+9$ по оси $z$. Секущая плоскость через $K,M,P$ пересекает грань $AA_1B_1B$ (плоскость $y=0$) по прямой $10{,}5x-9z=54$. Её отрезок внутри грани идёт от $\left(\dfrac{36}{7};0;0\right)$ до $P(9;0;4{,}5)$; длина $\sqrt{\left(\dfrac{27}{7}\right)^{2}+4{,}5^{2}}=\dfrac{9\sqrt{85}}{14}$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 4' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 4' },
|
||||
|
||||
// ── Часть B: В1–В12 ──────────────────────────────────────────────────────
|
||||
{ idx: 19, type: 'long', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
|
||||
@@ -176,73 +176,73 @@ const TASKS = [
|
||||
answer: 'А1Б6В3',
|
||||
ansShow: 'А1Б6В3',
|
||||
sol: R`А) График пересекает $Oy$ в точке $(0;f(0))=(0;-3)$, сумма координат $-3$ (окончание 1). Б) Сумма нулей по теореме Виета равна $10$ (окончание 6). В) Ось симметрии $x=\dfrac{10}{2}=5$, значит $a=5$ (окончание 3). Ответ: А1Б6В3.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
|
||||
text: R`Функция $y=f(x)$ на промежутке $[-6;4]$ задана ломаной, последовательно соединяющей точки $(-6;-1)$, $(-5;0)$, $(-4;1)$, $(-3;1)$, $(-2;0)$, $(0;-3)$, $(2;-2)$, $(4;3)$. Выберите номера верных утверждений (запишите цифрами в порядке возрастания).<br>$1)$ нулём функции является число $-3$;<br>$2)$ $f(x)>0$ при $x\in(-5;-2)$;<br>$3)$ функция возрастает на промежутке $[2;4]$;<br>$4)$ наибольшее значение функции на $[-6;4]$ равно $2$;<br>$5)$ график пересекает ось ординат в точке $(0;-2)$.`,
|
||||
answer: '23',
|
||||
sol: R`Нули функции — $-5$ и $-2$ (не $-3$), значит 1 неверно. На $(-5;-2)$ ломаная положительна — 2 верно. На $[2;4]$: $f(2)=-2<f(4)=3$, функция возрастает — 3 верно. Наибольшее значение $f(4)=3\ne2$ — 4 неверно. $f(0)=-3\ne-2$ — 5 неверно. Верны утверждения $2$ и $3$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 3,
|
||||
text: R`В жилом доме «Альфа» 13 % всех квартир — однокомнатные, а в доме «Омега» — 61 %. Определите, во сколько раз больше общее число квартир в доме «Альфа», если однокомнатные составляют 16 % всех квартир в двух домах.`,
|
||||
answer: '15',
|
||||
sol: R`Пусть в «Альфа» $a$ квартир, в «Омега» — $o$. Тогда $0{,}13a+0{,}61o=0{,}16(a+o)$, откуда $0{,}45o=0{,}03a$ и $\dfrac{a}{o}=15$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите сумму квадратов корней уравнения $\left(x^{2}+2x-8\right)\sqrt{x+1}=4x^{2}+8x-32$.`,
|
||||
answer: '229',
|
||||
sol: R`$4x^{2}+8x-32=4(x^{2}+2x-8)$, поэтому $(x^{2}+2x-8)(\sqrt{x+1}-4)=0$. ОДЗ $x\ge-1$. Из $x^{2}+2x-8=0$: $x=2$ (корень $-4$ вне ОДЗ); из $\sqrt{x+1}=4$: $x=15$. Сумма квадратов $2^{2}+15^{2}=229$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
|
||||
|
||||
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 2,
|
||||
text: R`Градусная мера угла правильного многоугольника равна $150^\circ$, а длина его стороны равна $6$. Найдите периметр многоугольника.`,
|
||||
answer: '72',
|
||||
sol: R`Внешний угол $180^\circ-150^\circ=30^\circ$, число сторон $n=\dfrac{360^\circ}{30^\circ}=12$. Периметр $12\cdot6=72$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите произведение наименьшего и наибольшего целых решений неравенства $\log_{1/9}\dfrac{9-x}{x+17}\ge0$.`,
|
||||
answer: '-32',
|
||||
sol: R`Основание $\dfrac19<1$, поэтому $0<\dfrac{9-x}{x+17}\le1$. Первое неравенство даёт $-17<x<9$, второе — $\dfrac{x+4}{x+17}\ge0$, то есть $x\ge-4$. Значит $-4\le x<9$, целые от $-4$ до $8$; произведение $(-4)\cdot8=-32$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 3,
|
||||
text: R`О натуральных числах $a$ и $b$ известно, что $a>b$, $a+b=85$ и НОК$(a;b)=102$. Найдите число $b$.`,
|
||||
answer: '34',
|
||||
sol: R`Пусть $d=$НОД$(a;b)$, $a=dm$, $b=dn$, $\gcd(m;n)=1$. Тогда $d(m+n)=85$, $dmn=102$; общий делитель $85$ и $102$ равен $17$, поэтому $d=17$, $m+n=5$, $mn=6$, откуда $m=3$, $n=2$. Значит $a=51$, $b=34$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите увеличенное в $6$ раз произведение корней уравнения $3^{x^{2}}\cdot5^{x^{2}}=15^{3}$.`,
|
||||
answer: '-18',
|
||||
sol: R`$3^{x^{2}}\cdot5^{x^{2}}=15^{x^{2}}=15^{3}$, поэтому $x^{2}=3$, $x=\pm\sqrt3$. Произведение корней $-3$; увеличенное в $6$ раз — это $-18$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 4,
|
||||
text: R`В основании пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$ со стороной $1$. Боковое ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания и равно $3$. Найдите значение выражения $\dfrac{13}{\cos\varphi}$, где $\varphi$ — линейный угол двугранного угла при боковом ребре $SD$.`,
|
||||
answer: '-130',
|
||||
sol: R`Координаты $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $S(1;0;3)$. Для двугранного угла при ребре $SD$ берём в гранях $SAD$ и $SCD$ векторы из $D$, перпендикулярные $DS$. Вычисление даёт $\cos\varphi=-\dfrac{1}{10}$, поэтому $\dfrac{13}{\cos\varphi}=-130$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 4' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 4,
|
||||
text: R`Найдите сумму целых решений неравенства $\dfrac{(x^{2}-x-12)(6-x)^{2}}{6-x^{2}-x}\ge0$.`,
|
||||
answer: '13',
|
||||
sol: R`После сокращения на $(x+3)$ (при $x\ne-3$): $\dfrac{(x-4)(6-x)^{2}}{-(x-2)}\ge0$. Множитель $(6-x)^{2}\ge0$, поэтому решение — промежуток $(2;4]$ и отдельная точка $x=6$. Целые решения $3,4,6$; их сумма $13$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 5,
|
||||
text: R`От пристани $B$ отплывает плот и одновременно против течения отходит катер. Доплыв до пристани $A$ (на расстоянии $s_1$ от $B$ выше по течению), катер разворачивается и плывёт к пристани $C$ (на расстоянии $s_2$ ниже по течению от $B$). Найдите наибольшее возможное значение скорости катера (в км/ч) в стоячей воде, при которой он прибудет к $C$ не раньше плота, если скорость течения равна $4$ км/ч и $s_1:s_2=7:2$.`,
|
||||
answer: '32',
|
||||
sol: R`Пусть $u$ — скорость катера, $s_1=7k$, $s_2=2k$. Время плота $\dfrac{2k}{4}=\dfrac{k}{2}$, время катера $\dfrac{7k}{u-4}+\dfrac{9k}{u+4}$. Наибольшему $u$ отвечает равенство $\dfrac{7}{u-4}+\dfrac{9}{u+4}=\dfrac12$, откуда $u^{2}-32u=0$, $u=32$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 5,
|
||||
text: R`В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с вершиной $S$ проведена медиана $CM$ треугольника $SBC$ ($M$ — середина $SB$); $BC=2\sqrt7$, $SB=\sqrt{85}$. Через середину $K$ ребра $SC$ проведена прямая $KD$, параллельная ребру $AB$. Через точку $A$ проведена прямая, пересекающая прямые $CM$ и $KD$ в точках $P$ и $T$ соответственно. Найдите увеличенную в $18$ раз длину отрезка $PT$.`,
|
||||
answer: '45',
|
||||
sol: R`Введём координаты основания (сторона $2\sqrt7$) и вершины $S$ (из $SB=\sqrt{85}$ высота $h^{2}=\dfrac{227}{3}$). Прямая через $A$, пересекающая $CM$ и $KD$, определяется условием коллинеарности: $P$ делит $CM$ так, что $\lambda=\dfrac23$, а $T$ лежит на $KD$. Тогда $PT^{2}=\left(\dfrac{2\sqrt7}{3}\right)^{2}+\left(\dfrac{2\sqrt{21}}{9}\right)^{2}+\left(\dfrac{h}{6}\right)^{2}=\dfrac{2025}{324}$, откуда $PT=\dfrac{45}{18}=\dfrac52$. Увеличенная в $18$ раз длина — $45$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1' },
|
||||
];
|
||||
|
||||
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user