chore(ctmath): убрать упоминания сторонних авторов из ссылок-учебников
Поле ref в решениях задач (показывается ученику как «Учебник: …») содержало фамилии авторов чужих учебников (Арефьева, Казаков, Латотин, Герасимов). Заменено на обобщённые ссылки нашего курса: «Алгебра, 7 класс, гл. 1» и т.п. (фамилии и кавычки-ёлочки убраны). 452 замены в 15 seed_ctmath_*.js. Синтаксис OK, валидация 30/30. Применённые варианты (112,113) обновятся при повторном --apply (upsert solution_html). Co-Authored-By: Claude Opus 4.8 (1M context) <noreply@anthropic.com>
This commit is contained in:
Maxim Dolgolyov
@@ -43,189 +43,189 @@ const TASKS = [
|
||||
opts: mc('$-14$', '$-6$', '$-7$', '$-13$', '$-12$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`Интервалу $(-13{,}8;-7)$ принадлежат целые числа $-13,\,-12,\,-11,\,-10,\,-9,\,-8$. Наименьшее из них — число $-13$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 5' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 5' },
|
||||
|
||||
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 1,
|
||||
text: R`Укажите номер выражения, которое является произведением числа $m$ и суммы чисел $1{,}7$ и $3{,}5$.`,
|
||||
opts: mc('$1{,}7\cdot(3{,}5+m)$', '$1{,}7+3{,}5\cdot m$', '$1{,}7\cdot m+3{,}5$', '$3{,}5\cdot(1{,}7+m)$', '$m\cdot(1{,}7+3{,}5)$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`Произведение числа $m$ и суммы чисел $1{,}7$ и $3{,}5$ записывается как $m\cdot(1{,}7+3{,}5)$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 4' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-basics', diff: 2,
|
||||
text: R`В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ среди отрезков $BD$, $BD_1$, $AB_1$, $A_1B_1$, $B_1B$ укажите тот, который является диагональю параллелепипеда.`,
|
||||
opts: mc('$BD$', '$BD_1$', '$AB_1$', '$A_1B_1$', '$B_1B$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`Диагональю параллелепипеда называют отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Среди перечисленных только $BD_1$ соединяет противоположные вершины параллелепипеда, поэтому $BD_1$ — диагональ.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 1' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 1,
|
||||
text: R`Определите, при каком из значений $x$, равных $4;\ 5;\ 1;\ 0{,}1;\ 8$, верно неравенство $\dfrac{320}{x}<50$.`,
|
||||
opts: mc('$4$', '$5$', '$1$', '$0{,}1$', '$8$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`При $x>0$ неравенство $\dfrac{320}{x}<50$ равносильно $x>6{,}4$. Из данных чисел этому условию удовлетворяет только $x=8$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 18' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 18' },
|
||||
|
||||
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 1,
|
||||
text: R`Укажите номер функции, график которой параллелен оси абсцисс.`,
|
||||
opts: mc('$y=-4$', '$y=4-2x$', '$y=\dfrac{2}{x}$', '$y=4^{x}$', '$y=4x$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`График параллелен оси абсцисс у постоянной функции $y=b$ (угловой коэффициент $k=0$). Из предложенных это $y=-4$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 20' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 20' },
|
||||
|
||||
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
|
||||
text: R`Функция задана формулой $f(x)=|x|-6$. Укажите номера верных утверждений.<br>1) областью определения функции является множество всех действительных чисел;<br>2) функция возрастает на промежутке $(-\infty;0]$;<br>3) функция является чётной;<br>4) $f(-5)=-11$;<br>5) $f(3)<0$.<br><i>Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.</i>`,
|
||||
answer: '135', ansShow: '1, 3, 5',
|
||||
sol: R`$1)$ верно: $|x|-6$ определено при всех $x$. $\ 2)$ неверно: на $(-\infty;0]$ функция убывает. $\ 3)$ верно: $f(-x)=|-x|-6=|x|-6=f(x)$. $\ 4)$ неверно: $f(-5)=5-6=-1$. $\ 5)$ верно: $f(3)=3-6=-3<0$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 4, § 19' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 4, § 19' },
|
||||
|
||||
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||||
text: R`Фермер привёз на осеннюю ярмарку некоторое количество картофеля и продал из этого количества $102$ кг. Сколько всего килограммов картофеля привёз фермер, если после продажи осталось $\dfrac{5}{11}$ всего привезённого картофеля?`,
|
||||
opts: mc('$224$ кг', '$204$ кг', '$192$ кг', '$187$ кг', '$169$ кг'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`Проданная часть составляет $1-\dfrac{5}{11}=\dfrac{6}{11}$ всего картофеля и равна $102$ кг. Тогда всего привезено $102:\dfrac{6}{11}=\dfrac{102\cdot11}{6}=187$ кг.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 3, § 10' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 3, § 10' },
|
||||
|
||||
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 1,
|
||||
text: R`Значение выражения $\sqrt[3]{0{,}9}\cdot\sqrt[3]{30}$ равно:`,
|
||||
opts: mc('$3$', '$\sqrt[3]{12}$', '$\sqrt3$', '$\sqrt[6]{12}$', '$6$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`По свойству корня $n$-й степени $\sqrt[3]{0{,}9}\cdot\sqrt[3]{30}=\sqrt[3]{0{,}9\cdot30}=\sqrt[3]{27}=3$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 14' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 14' },
|
||||
|
||||
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 2,
|
||||
text: R`Треугольник $KMN$ — сечение треугольной пирамиды $SABC$ плоскостью, проходящей через точку $M$ — середину ребра $BC$ — параллельно плоскости $SAC$. Найдите периметр треугольника $KMN$, если каждое ребро пирамиды $SABC$ имеет длину $2\sqrt2$.`,
|
||||
opts: mc('$\dfrac{2\sqrt2}{3}$', '$\dfrac{3\sqrt2}{2}$', '$3\sqrt2$', '$6\sqrt2$', '$4\sqrt2$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`Секущая плоскость параллельна $SAC$ и проходит через середину $M$ ребра $BC$, поэтому она пересекает рёбра $AB$ и $SB$ в их серединах $N$ и $K$. Отрезки $MN$, $MK$, $NK$ — средние линии граней, каждый равен $\dfrac12\cdot2\sqrt2=\sqrt2$. Значит, периметр $KMN$ равен $3\sqrt2$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 3' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 10, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
|
||||
text: R`Укажите номера выражений, которые не имеют смысла.<br>1) $\arccos\dfrac{\sqrt3}{2}$;<br>2) $\arcsin\sqrt2$;<br>3) $\operatorname{ctg}\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)$;<br>4) $\operatorname{tg}\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)$;<br>5) $\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt3}{3}$.<br><i>Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.</i>`,
|
||||
answer: '24', ansShow: '2, 4',
|
||||
sol: R`$1)$ имеет смысл: $\arccos\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\pi}{6}$. $\ 2)$ не имеет смысла: $\sqrt2\notin[-1;1]$. $\ 3)$ имеет смысл: $\operatorname{ctg}\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)=0$. $\ 4)$ не имеет смысла: $\operatorname{tg}\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)$ не существует, так как $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)=0$. $\ 5)$ имеет смысл: $\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{\pi}{6}$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 3; § 7' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 3; § 7' },
|
||||
|
||||
// ── Часть B: В1–В20 ──────────────────────────────────────────────────────
|
||||
{ idx: 11, type: 'long', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
|
||||
text: R`Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.<br><b>Начало:</b><br>А) Наибольший простой делитель числа $14$ равен …<br>Б) Наименьшее общее кратное чисел $5$ и $55$ равно …<br>В) Наибольший общий делитель чисел $16$ и $55$ равен …<br><b>Окончание:</b><br>1) $1$; 2) $110$; 3) $55$; 4) $5$; 5) $7$; 6) $2$.<br><i>Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.</i>`,
|
||||
answer: 'А5Б3В1', ansShow: 'А5Б3В1',
|
||||
sol: R`А) Простые делители числа $14$ — это $2$ и $7$; наибольший равен $7$ — окончание 5. Б) Наименьшее общее кратное чисел $5$ и $55$ равно $55$ — окончание 3. В) Наибольший общий делитель чисел $16$ и $55$ равен $1$ — окончание 1.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 12' },
|
||||
ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 12' },
|
||||
|
||||
{ idx: 12, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-basics', diff: 3,
|
||||
text: R`$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб. Отрезки $B_1D_1$ и $AD_1$ являются диагоналями граней $A_1B_1C_1D_1$ и $AA_1D_1D$ соответственно. Выберите верные утверждения.<br>1) прямая $C_1D_1$ перпендикулярна прямой $AD_1$;<br>2) прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BC$;<br>3) прямая $AD_1$ параллельна плоскости $BB_1C_1$;<br>4) прямая $B_1D_1$ перпендикулярна прямой $AD_1$;<br>5) прямая $AA_1$ параллельна прямой $B_1D_1$;<br>6) прямая $CC_1$ параллельна плоскости $BAA_1$.<br><i>Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.</i>`,
|
||||
answer: '136', ansShow: '1, 3, 6',
|
||||
sol: R`$1)$ верно: $C_1D_1$ перпендикулярна плоскости $AA_1D_1D$, значит $C_1D_1\perp AD_1$. $\ 2)$ неверно: $B_1D_1$ и $BC$ скрещиваются. $\ 3)$ верно: $AD_1\subset AA_1D_1D$, а эта грань параллельна грани $BB_1C_1C$. $\ 4)$ неверно: угол между $B_1D_1$ и $AD_1$ равен $60^\circ$. $\ 5)$ неверно: $AA_1\perp B_1D_1$. $\ 6)$ верно: $CC_1\subset CC_1D_1D$, а эта грань параллельна грани $BAA_1B_1$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1–2' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1–2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 13, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 1,
|
||||
text: R`В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle ABC=40^\circ$, $\angle BAC=3x$, $\angle ACB=x$. Найдите градусную меру угла $ACB$.`,
|
||||
answer: '35',
|
||||
sol: R`По теореме о сумме градусных мер углов треугольника $3x+x+40^\circ=180^\circ$, откуда $4x=140^\circ$, $x=35^\circ$. Значит, $\angle ACB=35^\circ$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 4, § 19' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 4, § 19' },
|
||||
|
||||
{ idx: 14, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 2,
|
||||
text: R`Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n=6-2n$. Найдите номер члена этой прогрессии, равного $-70$.`,
|
||||
answer: '38',
|
||||
sol: R`По условию $a_n=-70$, тогда $6-2n=-70$, $-2n=-76$, $n=38$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4, § 15' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4, § 15' },
|
||||
|
||||
{ idx: 15, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите произведение наименьшего натурального двузначного простого числа и натурального числа, при делении которого на $5$ получается в неполном частном $13$ и в остатке $1$.`,
|
||||
answer: '726',
|
||||
sol: R`Наименьшее двузначное простое число — $11$. Натуральное число с неполным частным $13$ и остатком $1$ при делении на $5$ равно $13\cdot5+1=66$. Произведение: $11\cdot66=726$.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 11' },
|
||||
ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 11' },
|
||||
|
||||
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||||
text: R`За керамическую плитку и её укладку заплатили $524$ рубля. Сколько стоит (в рублях) керамическая плитка, если стоимость её укладки составляет $31\%$ стоимости плитки?`,
|
||||
answer: '400',
|
||||
sol: R`Пусть стоимость плитки равна $x$ рублей, тогда стоимость укладки $0{,}31x$. Уравнение $x+0{,}31x=524$, $1{,}31x=524$, $x=400$.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2, § 1' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2, § 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 17, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите значение выражения $\dfrac{a^{5}-a}{a^{5}-a^{9}}$ при $a=\dfrac{1}{\sqrt[4]{18}}$.`,
|
||||
answer: '-18',
|
||||
sol: R`$\dfrac{a^{5}-a}{a^{5}-a^{9}}=\dfrac{a(a^{4}-1)}{a^{5}(1-a^{4})}=-\dfrac{1}{a^{4}}$. При $a=\dfrac{1}{\sqrt[4]{18}}$ имеем $a^{4}=\dfrac{1}{18}$, поэтому значение равно $-18$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 1, § 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 1, § 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 18, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 2,
|
||||
text: R`Дана функция $y=x^{2}$. График функции $y=g(x)$ получен из графика функции $y=x^{2}$ сдвигом вдоль оси абсцисс на $1$ единицу влево и вдоль оси ординат на $3$ единицы вниз. Найдите значение $g(-6)$.`,
|
||||
answer: '22',
|
||||
sol: R`Указанный сдвиг даёт $g(x)=(x+1)^{2}-3$. Тогда $g(-6)=(-6+1)^{2}-3=25-3=22$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 9' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2, § 9' },
|
||||
|
||||
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства $-130<\dfrac{4-3x}{0{,}5}<25$.`,
|
||||
answer: '20',
|
||||
sol: R`Умножив на $0{,}5$: $-65<4-3x<12{,}5$. Вычтя $4$: $-69<-3x<8{,}5$. Разделив на $-3$ (знаки меняются): $-2\dfrac56<x<23$. Наименьшее целое решение $-2$, наибольшее $22$; их сумма равна $20$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 6' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 6' },
|
||||
|
||||
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 3,
|
||||
text: R`Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ABC=90^\circ$), равен $6$. Найдите значение выражения $\sqrt2\cdot S$, где $S$ — площадь треугольника $ABC$, если известно, что $\cos\angle ACB=\dfrac{\sqrt6}{3}$.`,
|
||||
answer: '48',
|
||||
sol: R`Гипотенуза $AC=2R=12$. Из $\cos\angle ACB=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt6}{3}$ получаем $BC=4\sqrt6$. По теореме Пифагора $AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{144-96}=4\sqrt3$. Площадь $S=\dfrac12\cdot AB\cdot BC=\dfrac12\cdot4\sqrt3\cdot4\sqrt6=24\sqrt2$. Тогда $\sqrt2\cdot S=24\cdot2=48$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 2, § 9' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 2, § 9' },
|
||||
|
||||
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите увеличенное в $8$ раз произведение корней уравнения $(0{,}9)^{4x^{2}-3x-56}=0{,}81$.`,
|
||||
answer: '-116',
|
||||
sol: R`Так как $0{,}81=(0{,}9)^{2}$, получаем $4x^{2}-3x-56=2$, то есть $4x^{2}-3x-58=0$. Дискриминант положителен, корни существуют. По теореме Виета их произведение равно $\dfrac{-58}{4}=-14{,}5$. Увеличенное в $8$ раз: $8\cdot(-14{,}5)=-116$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 5' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 5' },
|
||||
|
||||
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-derivative', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведённой к графику функции $f(x)=36x^{3}-24x+2$ в точке с абсциссой $x_0=\dfrac16$.`,
|
||||
answer: '-21',
|
||||
sol: R`Тангенс угла наклона касательной равен значению производной: $f'(x)=108x^{2}-24$, $f'\!\left(\dfrac16\right)=108\cdot\dfrac{1}{36}-24=3-24=-21$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 3, § 20' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 3, § 20' },
|
||||
|
||||
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите значение выражения $32\cdot\bigl(\cos28^\circ\cos(-32^\circ)+\sin28^\circ\sin(-32^\circ)\bigr)$.`,
|
||||
answer: '16',
|
||||
sol: R`$\cos28^\circ\cos(-32^\circ)+\sin28^\circ\sin(-32^\circ)=\cos28^\circ\cos32^\circ-\sin28^\circ\sin32^\circ=\cos(28^\circ+32^\circ)=\cos60^\circ=\dfrac12$. Тогда $32\cdot\dfrac12=16$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 10' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 10' },
|
||||
|
||||
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 3,
|
||||
text: R`Острый угол ромба $ABCD$ равен $30^\circ$. Через вершину $B$ тупого угла проведён отрезок $OB$, перпендикулярный плоскости ромба $ABCD$. Найдите площадь ромба $ABCD$, если $OB=6$ и расстояние от точки $O$ до стороны $AD$ ромба равно $8$.`,
|
||||
answer: '56',
|
||||
sol: R`Пусть $BK$ — высота ромба ($BK\perp AD$). По теореме о трёх перпендикулярах $OK\perp AD$, поэтому $OK=8$ — расстояние от $O$ до $AD$. Из прямоугольного треугольника $OBK$: $BK=\sqrt{OK^{2}-OB^{2}}=\sqrt{64-36}=2\sqrt7$. В прямоугольном треугольнике $AKB$ угол при $A$ равен $30^\circ$, поэтому $AB=2\,BK=4\sqrt7$. Площадь $S=AD\cdot BK=4\sqrt7\cdot2\sqrt7=56$.`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 2, § 15' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 2, § 15' },
|
||||
|
||||
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите сумму всех целых решений неравенства $\dfrac{(x+7)^{2}(x-4)}{x^{3}(x+3)}\ge0$ на промежутке $[-9;9]$.`,
|
||||
answer: '29',
|
||||
sol: R`Методом интервалов: нули числителя $-7$ (чётной кратности) и $4$; нули знаменателя $0$ и $-3$ (выколоты). Решение неравенства: $\{-7\}\cup(-3;0)\cup[4;+\infty)$. На $[-9;9]$ целые решения: $-7,\ -2,\ -1,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$. Их сумма равна $29$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 13' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 13' },
|
||||
|
||||
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите увеличенную в $16$ раз сумму корней уравнения $\sqrt[4]{x^{4}-8x^{2}+13x-5}=x$.`,
|
||||
answer: '26',
|
||||
sol: R`Уравнение равносильно системе $x^{4}-8x^{2}+13x-5=x^{4}$ при $x\ge0$, то есть $8x^{2}-13x+5=0$, $x\ge0$. Корни $x=1$ и $x=\dfrac58$ (оба неотрицательны). Сумма корней $1+\dfrac58=\dfrac{13}{8}$. Увеличенная в $16$ раз: $16\cdot\dfrac{13}{8}=26$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
|
||||
|
||||
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 4,
|
||||
text: R`Площадь полной поверхности цилиндра равна $60\pi$, площадь боковой поверхности равна $24\pi$. Найдите значение выражения $S^{2}$, где $S$ — площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси и проходящей на расстоянии $\sqrt6$ от неё.`,
|
||||
answer: '384',
|
||||
sol: R`Полная поверхность равна сумме боковой и двух оснований: $60\pi=24\pi+2S_0$, где $S_0$ — площадь основания. Тогда $S_0=18\pi$ и $\pi r^{2}=18\pi$, $r=3\sqrt2$. Из $2\pi r h=24\pi$ находим $h=2\sqrt2$. Сечение — прямоугольник со сторонами $h=2\sqrt2$ и хордой $AD$; перпендикуляр из центра основания к хорде равен $\sqrt6$, поэтому $\dfrac{AD}{2}=\sqrt{r^{2}-6}=\sqrt{12}=2\sqrt3$, $AD=4\sqrt3$. Площадь $S=AD\cdot h=4\sqrt3\cdot2\sqrt2=8\sqrt6$, откуда $S^{2}=64\cdot6=384$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1, § 2' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1, § 2' },
|
||||
|
||||
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите (в градусах) наименьший положительный корень уравнения $\sin3x\cos15^\circ+\cos3x\sin15^\circ=0$.`,
|
||||
answer: '55',
|
||||
sol: R`По формуле синуса суммы левая часть равна $\sin(3x+15^\circ)$. Уравнение $\sin(3x+15^\circ)=0$ даёт $3x+15^\circ=180^\circ n$, откуда $x=-5^\circ+60^\circ n$. Наименьший положительный корень при $n=1$: $x=55^\circ$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8; § 10' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8; § 10' },
|
||||
|
||||
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 4,
|
||||
text: R`Велосипедист, скорость движения которого $v$ км/ч, из пункта $A$ доехал в пункт $B$ без остановок и сразу поехал назад в пункт $A$. Он двигался по той же дороге с той же скоростью, а через час сделал остановку на $15$ мин, после чего продолжил путь, увеличив скорость на $1$ км/ч. Найдите наименьшее возможное целое значение скорости $v$ (в км/ч), при котором на обратный путь из $B$ в $A$ велосипедист затратит времени не меньше, чем на путь из $A$ в $B$, если расстояние между пунктами $42$ км.`,
|
||||
answer: '11',
|
||||
sol: R`Время из $A$ в $B$ равно $\dfrac{42}{v}$ ч. Обратный путь: первый час со скоростью $v$, остановка $\dfrac14$ ч, затем со скоростью $v+1$, поэтому время равно $1+\dfrac14+\dfrac{42-v}{v+1}$ ч. Условие $1+\dfrac14+\dfrac{42-v}{v+1}\ge\dfrac{42}{v}$ при $v>0$ приводит к $v^{2}+5v-168\ge0$, решение $v\ge\dfrac{-5+\sqrt{697}}{2}\approx10{,}7$. Наименьшее целое значение $v=11$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 13' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 13' },
|
||||
|
||||
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 5,
|
||||
text: R`$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все рёбра которой равны. Точка $N$ лежит на диагонали $A_1B$ грани $AA_1B_1B$ так, что $A_1N:NB=1:5$. Точки $M$ и $K$ лежат на рёбрах $CC_1$ и $CB$ соответственно так, что $CM:CC_1=1:4$, $CK:KB=1:3$. Найдите значение выражения $18\sqrt7\cdot\operatorname{tg}\varphi$, где $\varphi$ — угол между прямыми $C_1N$ и $KM$.`,
|
||||
answer: '70',
|
||||
sol: R`Пусть длина ребра призмы равна $a$. Прямая $BC_1\parallel KM$, поэтому угол между $C_1N$ и $KM$ равен углу $NC_1B$. Тогда $BC_1=a\sqrt2$, $A_1N=\dfrac{a\sqrt2}{6}$, $NB=\dfrac{5a\sqrt2}{6}$. Из треугольника $A_1BC_1$ по теореме косинусов $\cos\angle A_1BC_1=\dfrac34$; далее $C_1N=\dfrac{2a\sqrt2}{3}$ и $\cos\angle NC_1B=\dfrac{9}{16}$, $\sin\angle NC_1B=\dfrac{5\sqrt7}{16}$, $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{5\sqrt7}{9}$. Тогда $18\sqrt7\cdot\dfrac{5\sqrt7}{9}=2\cdot5\cdot7=70$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 2, § 4' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 2, § 4' },
|
||||
];
|
||||
|
||||
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user