chore(ctmath): убрать упоминания сторонних авторов из ссылок-учебников
Поле ref в решениях задач (показывается ученику как «Учебник: …») содержало фамилии авторов чужих учебников (Арефьева, Казаков, Латотин, Герасимов). Заменено на обобщённые ссылки нашего курса: «Алгебра, 7 класс, гл. 1» и т.п. (фамилии и кавычки-ёлочки убраны). 452 замены в 15 seed_ctmath_*.js. Синтаксис OK, валидация 30/30. Применённые варианты (112,113) обновятся при повторном --apply (upsert solution_html). Co-Authored-By: Claude Opus 4.8 (1M context) <noreply@anthropic.com>
This commit is contained in:
Maxim Dolgolyov
@@ -66,68 +66,68 @@ const TASKS = [
|
||||
opts: mc('$A$', '$B$', '$C$', '$D$', '$E$'),
|
||||
answer: 'в',
|
||||
sol: R`Сумма координат: для $A$ это $2+(-1)=1$, для $B$ это $1+2=3$, для $C$ это $-2+(-2)=-4$, для $D$ это $-1+1=0$, для $E$ это $0+(-2)=-2$. Сумме $-4$ соответствует точка $C$.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 5, § 1' },
|
||||
ref: 'Математика, 6 класс, гл. 5, § 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-basics', diff: 3,
|
||||
text: R`Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $K$ — середина диагонали $A_1D$. Среди отрезков $A_1B_1$, $B_1D_1$, $C_1K$, $BB_1$, $A_1C_1$ укажите отрезок, по которому плоскость, заданная прямой $DC_1$ и точкой $K$, пересекает плоскость грани $A_1B_1C_1D_1$.`,
|
||||
opts: mc('$A_1B_1$', '$B_1D_1$', '$C_1K$', '$BB_1$', '$A_1C_1$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`Секущая плоскость, заданная прямой $DC_1$ и точкой $K$, содержит точку $C_1$ (она на $DC_1$) и точку $A_1$ (так как $K$ — середина $A_1D$, прямая $DC_1$ и точка $K$ задают плоскость диагонального сечения, проходящую через $A_1$). Точки $A_1$ и $C_1$ принадлежат и грани $A_1B_1C_1D_1$, поэтому пересечение плоскостей — отрезок $A_1C_1$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 2–3' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 2–3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 2,
|
||||
text: R`Расположите числа $\log_3 27$, $\ 3^{-1}$, $\ \sqrt{64}$ в порядке возрастания.`,
|
||||
opts: mc('$\sqrt{64};\ \log_3 27;\ 3^{-1}$', '$3^{-1};\ \sqrt{64};\ \log_3 27$', '$\sqrt{64};\ 3^{-1};\ \log_3 27$', '$3^{-1};\ \log_3 27;\ \sqrt{64}$', '$\log_3 27;\ \sqrt{64};\ 3^{-1}$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`$\log_3 27=\log_3 3^{3}=3$; $\ 3^{-1}=\dfrac13$; $\ \sqrt{64}=8$. Так как $\dfrac13<3<8$, числа в порядке возрастания: $3^{-1};\ \log_3 27;\ \sqrt{64}$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 1–4; гл. 11 кл., § 3' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 1–4; гл. 11 кл., § 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 1,
|
||||
text: R`Укажите номер выражения, тождественно равного выражению $a^{3}$.`,
|
||||
opts: mc('$a:a^{3}$', '$a\cdot a^{2}$', '$\left(a^{2}\right)^{2}$', '$3a$', '$a^{-3}$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`По свойству степеней $a\cdot a^{2}=a^{1+2}=a^{3}$. (Остальные: $a:a^{3}=a^{-2}$; $\left(a^{2}\right)^{2}=a^{4}$; $3a$ и $a^{-3}$ не равны $a^{3}$.)`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 5' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 5' },
|
||||
|
||||
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 1,
|
||||
text: R`Результат разложения многочлена $4b^{2}+4bc-4b$ на множители имеет вид:`,
|
||||
opts: mc('$4b(b+c)$', '$4b(bc-1)$', '$4b(1+c)$', '$(4b-1)(b+c)$', '$4b(b+c-1)$'),
|
||||
answer: 'д',
|
||||
sol: R`Общий множитель членов многочлена $4b^{2}+4bc-4b$ — одночлен $4b$. Тогда $4b^{2}+4bc-4b=4b(b+c-1)$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 14' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 14' },
|
||||
|
||||
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
|
||||
text: R`Среди чисел $10$, $99$, $0$, $-10$, $100$ укажите номера тех, которые не входят в область определения выражения $\dfrac{1}{10-\sqrt{x}}$.<br>1) $10$; 2) $99$; 3) $0$; 4) $-10$; 5) $100$.<br><i>Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.</i>`,
|
||||
answer: '45', ansShow: '4, 5',
|
||||
sol: R`Выражение $\dfrac{1}{10-\sqrt{x}}$ имеет смысл при $x\ge0$ и $10-\sqrt{x}\ne0$, то есть $x\ge0$, $x\ne100$. Область определения $[0;100)\cup(100;+\infty)$. Из данных чисел ей не принадлежат $-10$ (так как $-10<0$) и $100$ (исключено). Это числа под номерами 4 и 5.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 1' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 1' },
|
||||
|
||||
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||||
text: R`За три четверти учебного года Петя использовал $\dfrac25$ купленных в начале учебного года тетрадей, после чего у него осталось $48$ тетрадей. Сколько тетрадей купил Петя в начале учебного года?`,
|
||||
opts: mc('$80$', '$96$', '$120$', '$74$', '$116$'),
|
||||
answer: 'а',
|
||||
sol: R`Числу $48$ соответствует дробь $1-\dfrac25=\dfrac35$ всех тетрадей. Тогда куплено $48:\dfrac35=\dfrac{48\cdot5}{3}=80$ тетрадей.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 2, гл. 3, § 10' },
|
||||
ref: 'Математика, 5 класс, ч. 2, гл. 3, § 10' },
|
||||
|
||||
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите значение выражения $\operatorname{tg}(-120^\circ)+\left|-\sqrt3\right|$.`,
|
||||
opts: mc('$0$', '$\dfrac{4\sqrt3}{3}$', '$1-\sqrt3$', '$2\sqrt3$', '$-\dfrac{2\sqrt3}{3}$'),
|
||||
answer: 'г',
|
||||
sol: R`$\operatorname{tg}(-120^\circ)=-\operatorname{tg}120^\circ=-\operatorname{tg}(180^\circ-60^\circ)=\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$. Тогда $\operatorname{tg}(-120^\circ)+\left|-\sqrt3\right|=\sqrt3+\sqrt3=2\sqrt3.$`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 3; § 9' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 3; § 9' },
|
||||
|
||||
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 2,
|
||||
text: R`Сечение сферы плоскостью, отстоящей от её центра на расстоянии $3$, имеет радиус $3\sqrt2$. Найдите радиус сферы.`,
|
||||
opts: mc('$9\sqrt2$', '$3\sqrt3$', '$6$', '$12$', '$4\sqrt3$'),
|
||||
answer: 'б',
|
||||
sol: R`Радиус сферы $R$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $3$ (расстояние до плоскости) и $3\sqrt2$ (радиус сечения). По теореме Пифагора $R^{2}=3^{2}+\left(3\sqrt2\right)^{2}=9+18=27$, поэтому $R=3\sqrt3$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 3, § 5' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 3, § 5' },
|
||||
|
||||
{ idx: 10, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
|
||||
text: R`Укажите номера функций, которые принимают только положительные значения на промежутке $(4;+\infty)$.<br>1) $f(x)=-4x$;<br>2) $f(x)=\sqrt{x-4}$;<br>3) $f(x)=x^{3}-4$;<br>4) $f(x)=\log_{\frac14}x$;<br>5) $f(x)=-x^{2}-4$.<br><i>Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.</i>`,
|
||||
answer: '23', ansShow: '2, 3',
|
||||
sol: R`$1)$ $-4x$ при $x>4$ отрицательна. $\ 2)$ $\sqrt{x-4}$ при $x>4$ положительна. $\ 3)$ $x^{3}-4$ положительна при $x>\sqrt[3]{4}$, а $(4;+\infty)\subset(\sqrt[3]{4};+\infty)$ — положительна. $\ 4)$ $\log_{\frac14}x$ положительна только на $(0;1)$. $\ 5)$ $-x^{2}-4$ отрицательна при всех $x$. Подходят функции 2 и 3.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3, § 13–14' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3, § 13–14' },
|
||||
|
||||
// ── Часть B: В1–В20 ──────────────────────────────────────────────────────
|
||||
{ idx: 11, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
|
||||
@@ -135,121 +135,121 @@ const TASKS = [
|
||||
text: R`На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на промежутке $[-6;6]$. Выберите верные утверждения.<br>1) функция является нечётной;<br>2) $f(3)>0$;<br>3) график функции симметричен относительно оси ординат;<br>4) $f(-5)>f(-6)$;<br>5) функция убывает на промежутке $[-4;4]$;<br>6) график функции $y=f(x)+3$ проходит через точку $(0;2)$.<br><i>Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.</i>`,
|
||||
answer: '145', ansShow: '1, 4, 5',
|
||||
sol: R`$1)$ верно: график симметричен относительно начала координат, поэтому функция нечётная. $\ 2)$ неверно: по графику $f(3)<0$. $\ 3)$ неверно: график нечётной функции симметричен относительно начала координат, а не оси ординат. $\ 4)$ верно: на промежутке $[-6;-4]$ функция возрастает, поэтому $f(-5)>f(-6)$. $\ 5)$ верно: на отрезке $[-4;4]$ при увеличении $x$ значения функции уменьшаются. $\ 6)$ неверно: $f(0)=0$, поэтому график $y=f(x)+3$ проходит через точку $(0;3)$, а не $(0;2)$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 6–9' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2, § 6–9' },
|
||||
|
||||
{ idx: 12, type: 'long', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 3,
|
||||
text: R`$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб. Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $A_1D_1$ и $AA_1$ соответственно. Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.<br><b>Начало:</b><br>А) Величина угла между прямыми $A_1B_1$ и $KM$ равна …<br>Б) Величина угла между прямыми $B_1C_1$ и $KM$ равна …<br>В) Величина угла между прямыми $BD$ и $KM$ равна …<br><b>Окончание:</b><br>1) $30^\circ$; 2) $0^\circ$; 3) $60^\circ$; 4) $90^\circ$; 5) $120^\circ$; 6) $45^\circ$.<br><i>Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.</i>`,
|
||||
answer: 'А4Б6В3', ansShow: 'А4Б6В3',
|
||||
sol: R`А) Прямая $A_1B_1$ перпендикулярна плоскости грани $AA_1D_1D$, а $KM$ лежит в этой плоскости, поэтому $A_1B_1\perp KM$ — угол $90^\circ$ (окончание 4). Б) $B_1C_1\parallel A_1D_1$, поэтому угол между $B_1C_1$ и $KM$ равен углу $A_1MK$; в равнобедренном прямоугольном треугольнике $KA_1M$ ($A_1K=A_1M$) он равен $45^\circ$ (окончание 6). В) Через середину $P$ ребра проведём $MP\parallel B_1D_1$; треугольник $PMK$ равносторонний, поэтому угол между $BD$ и $KM$ равен $60^\circ$ (окончание 3).`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 2, § 4' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 2, § 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 13, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите сумму всех натуральных делителей числа $95$.`,
|
||||
answer: '120',
|
||||
sol: R`Число $95=5\cdot19$ имеет четыре натуральных делителя: $1$, $5$, $19$ и $95$. Их сумма равна $1+5+19+95=120$.`,
|
||||
ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 12' },
|
||||
ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 12' },
|
||||
|
||||
{ idx: 14, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите произведение наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства $-51\dfrac13<-3x<4\sqrt2$.`,
|
||||
answer: '-17',
|
||||
sol: R`Разделим все части на $-3$ (знаки неравенства меняются на противоположные): $-\dfrac{4\sqrt2}{3}<x<17\dfrac19$. Так как $-\dfrac{4\sqrt2}{3}\approx-1{,}9$, наименьшее целое решение равно $-1$, наибольшее — $17$. Их произведение $-1\cdot17=-17$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 6' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 6' },
|
||||
|
||||
{ idx: 15, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
|
||||
text: R`На отрезке $AB$, равном $13$ см $5$ мм, взята точка $C$ так, что $AC:AB=7:15$. Найдите (в миллиметрах) длину отрезка $CB$.`,
|
||||
answer: '72',
|
||||
sol: R`$AB=13$ см $5$ мм $=135$ мм. Так как отрезок $AB$ разделён точкой $C$ в отношении $AC:AB=7:15$, то $CB$ составляет $\dfrac{15-7}{15}=\dfrac{8}{15}$ длины $AB$. Тогда $CB=\dfrac{8}{15}\cdot135=72$ (мм).`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 1, § 3' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 1, § 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
|
||||
text: R`Туристическая фирма организовала отдых на туристической базе для $4350$ взрослых и детей. Сколько детей отдыхало на туристической базе, если количество детей составило $16\%$ от количества взрослых?`,
|
||||
answer: '600',
|
||||
sol: R`Пусть число взрослых равно $x$, тогда детей $0{,}16x$. Составим уравнение $x+0{,}16x=4350$, $1{,}16x=4350$, $x=3750$. Значит, детей $4350-3750=600$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 16' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 16' },
|
||||
|
||||
{ idx: 17, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 2,
|
||||
text: R`Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n=2\cdot3^{\,n+1}$. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии.`,
|
||||
answer: '2178',
|
||||
sol: R`Первый член $b_1=2\cdot3^{2}=18$, второй $b_2=2\cdot3^{3}=54$, знаменатель $q=\dfrac{b_2}{b_1}=3$. По формуле суммы $S_5=\dfrac{b_1\left(q^{5}-1\right)}{q-1}=\dfrac{18\left(3^{5}-1\right)}{3-1}=\dfrac{18\cdot242}{2}=9\cdot242=2178$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4, § 18' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4, § 18' },
|
||||
|
||||
{ idx: 18, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
|
||||
text: R`Пусть $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ — решения системы уравнений $\begin{cases}x^{2}-y=7,\\y-x=5.\end{cases}$ Найдите значение выражения $x_1\cdot y_2+x_2\cdot y_1$.`,
|
||||
answer: '-19',
|
||||
sol: R`Из второго уравнения $y=5+x$. Подставив в первое: $x^{2}-(5+x)=7$, $x^{2}-x-12=0$, $x=-3$ или $x=4$. Решения системы: $(-3;2)$ и $(4;9)$. Тогда $x_1\cdot y_2+x_2\cdot y_1=(-3)\cdot9+4\cdot2=-27+8=-19$. (Ответ не зависит от порядка решений.)`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 11' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 11' },
|
||||
|
||||
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 3,
|
||||
text: R`Решите уравнение $\log_4\dfrac{x^{2}+3x-40}{x-5}=1$. В ответ запишите сумму его корней (корень, если он единственный).`,
|
||||
answer: '-4',
|
||||
sol: R`Уравнение равносильно $\dfrac{x^{2}+3x-40}{x-5}=4$ при $x\ne5$. Отсюда $x^{2}+3x-40=4(x-5)$, $x^{2}-x-20=0$, $x=-4$ или $x=5$. Корень $x=5$ не входит в область определения, поэтому единственный корень $x=-4$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 9' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3, § 9' },
|
||||
|
||||
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 2,
|
||||
text: R`Найдите площадь ромба (в квадратных сантиметрах), если его периметр равен $4$ дм, а одна из диагоналей равна $12$ см.`,
|
||||
answer: '96',
|
||||
sol: R`Периметр $4$ дм $=40$ см, поэтому сторона ромба равна $10$ см. Половина данной диагонали $6$ см; по теореме Пифагора половина второй диагонали $\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$ см, вся вторая диагональ $16$ см. Площадь $S=\dfrac{d_1 d_2}{2}=\dfrac{12\cdot16}{2}=96$ (см$^2$).`,
|
||||
ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 1, § 5; гл. 2, § 15' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 1, § 5; гл. 2, § 15' },
|
||||
|
||||
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите значение выражения $75\cos\alpha$, если $\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\sqrt6}{12}$ и $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$.`,
|
||||
answer: '-15',
|
||||
sol: R`$\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{1}{\operatorname{ctg}\alpha}=\dfrac{12}{\sqrt6}=2\sqrt6$. Из тождества $1+\operatorname{tg}^{2}\alpha=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}$ получаем $1+24=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}$, $\cos^{2}\alpha=\dfrac{1}{25}$. В третьей четверти $\cos\alpha<0$, поэтому $\cos\alpha=-\dfrac15$ и $75\cos\alpha=-15$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 4' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите сумму всех целых решений неравенства $5^{\,x+1}+(0{,}2)^{-x}<750$ на промежутке $(-7;7)$.`,
|
||||
answer: '-18',
|
||||
sol: R`Так как $(0{,}2)^{-x}=5^{x}$, неравенство примет вид $5\cdot5^{x}+5^{x}<750$, $6\cdot5^{x}<750$, $5^{x}<125=5^{3}$, откуда $x<3$. Пересечение $(-\infty;3)$ с $(-7;7)$ — интервал $(-7;3)$. Целые решения $-6,\ldots,2$; их сумма равна $-18$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 6' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 6' },
|
||||
|
||||
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 3,
|
||||
text: R`В правильной шестиугольной пирамиде высота равна $2\sqrt3$, а радиус окружности, описанной около основания, равен $2\sqrt5$. Найдите объём пирамиды.`,
|
||||
answer: '60',
|
||||
sol: R`Для правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности: $AB=2\sqrt5$. Площадь основания $S_0=\dfrac{3\sqrt3}{2}AB^{2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}\cdot20=30\sqrt3$. Объём $V=\dfrac13 S_0 H=\dfrac13\cdot30\sqrt3\cdot2\sqrt3=\dfrac13\cdot30\cdot2\cdot3=60$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2, § 3' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2, § 3' },
|
||||
|
||||
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-derivative', diff: 4,
|
||||
text: R`Найдите увеличенное в пять раз произведение точек экстремума функции $f(x)=x^{3}(x-7)^{2}$.`,
|
||||
answer: '147',
|
||||
sol: R`Производная $f'(x)=3x^{2}(x-7)^{2}+x^{3}\cdot2(x-7)=x^{2}(x-7)(5x-21)$. Нули: $x=0$, $x=7$, $x=4{,}2$. Знаки $f'$ показывают, что $x=4{,}2$ — точка максимума, $x=7$ — точка минимума ($x=0$ экстремумом не является). Произведение точек экстремума $4{,}2\cdot7=29{,}4$, увеличенное в пять раз: $5\cdot29{,}4=147$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 3, § 20' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 3, § 20' },
|
||||
|
||||
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
|
||||
text: R`Даны два натуральных числа, одно из которых на $4$ больше другого. Произведение этих двух чисел больше их суммы на $139$. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел.`,
|
||||
answer: '165',
|
||||
sol: R`Пусть меньшее число $x$, тогда большее $x+4$. По условию $x(x+4)=x+(x+4)+139$, $x^{2}+2x-143=0$, $x=11$ (корень $x=-13$ не подходит). Числа $11$ и $15$; так как они взаимно простые, их наименьшее общее кратное равно $11\cdot15=165$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 2, § 11' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 2, § 11' },
|
||||
|
||||
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
|
||||
text: R`Найдите произведение корней уравнения $\sqrt{x-16}-\sqrt{(x-16)(3x+8)}=0$ (корень, если он единственный). В ответ запишите полученный результат, увеличенный в $3$ раза.`,
|
||||
answer: '48',
|
||||
sol: R`Уравнение равносильно $\sqrt{x-16}=\sqrt{(x-16)(3x+8)}$. Возведя в квадрат: $x-16=(x-16)(3x+8)$, $(x-16)(3x+7)=0$, откуда $x=16$ или $x=-\dfrac73$. Проверка: при $x=-\dfrac73$ выражение $\sqrt{x-16}$ не имеет смысла, поэтому единственный корень $x=16$. Увеличенное в $3$ раза: $3\cdot16=48$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
|
||||
|
||||
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 4,
|
||||
text: R`Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в $120^\circ$, проведено сечение. Найдите значение выражения $S^{2}$, где $S$ — площадь этого сечения, если осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, площадь которого равна $20\sqrt3$.`,
|
||||
answer: '975',
|
||||
sol: R`Площадь равностороннего осевого сечения $\dfrac{a^{2}\sqrt3}{4}=20\sqrt3$, откуда $a^{2}=80$, $a=4\sqrt5$ — образующая конуса; радиус основания $2\sqrt5$. Хорда $AB$ стягивает дугу $120^\circ$: по теореме косинусов $AB^{2}=\left(2\sqrt5\right)^{2}+\left(2\sqrt5\right)^{2}-2\cdot2\sqrt5\cdot2\sqrt5\cos120^\circ=60$, $AB=2\sqrt{15}$. Сечение — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $4\sqrt5$ и основанием $2\sqrt{15}$; высота к основанию $CK=\sqrt{\left(4\sqrt5\right)^{2}-\left(\sqrt{15}\right)^{2}}=\sqrt{65}$. Площадь $S=\dfrac12\cdot2\sqrt{15}\cdot\sqrt{65}=5\sqrt{39}$, поэтому $S^{2}=25\cdot39=975$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2, § 4' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2, § 4' },
|
||||
|
||||
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 4,
|
||||
text: R`Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $\cos x-\sqrt5\sin3x=\cos5x$ на промежутке $[-270^\circ;-135^\circ]$.`,
|
||||
answer: '-420',
|
||||
sol: R`Перенесём: $\cos x-\cos5x-\sqrt5\sin3x=0$. По формуле разности косинусов $\cos x-\cos5x=2\sin3x\sin2x$, поэтому $\sin3x(2\sin2x-\sqrt5)=0$. Уравнение $\sin2x=\dfrac{\sqrt5}{2}>1$ решений не имеет. Из $\sin3x=0$: $3x=180^\circ n$, $x=60^\circ n$. Промежутку $[-270^\circ;-135^\circ]$ принадлежат $-180^\circ$ ($n=-3$) и $-240^\circ$ ($n=-4$); их сумма равна $-420^\circ$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8; § 12' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8; § 12' },
|
||||
|
||||
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
|
||||
text: R`Найдите сумму всех целых решений неравенства $\log_{0{,}7}\left(x^{2}-7x+18\right)-\log_{0{,}7}(x-1)<\log_{0{,}7}2$ на промежутке $(-10;10)$.`,
|
||||
answer: '35',
|
||||
sol: R`Неравенство приводится к виду $\log_{0{,}7}\left(x^{2}-7x+18\right)<\log_{0{,}7}\bigl(2(x-1)\bigr)$. Основание $0{,}7<1$ (функция убывает), поэтому равносильна система $\begin{cases}x^{2}-7x+18>2x-2,\\2x-2>0.\end{cases}$ Первое: $x^{2}-9x+20>0\Rightarrow x<4$ или $x>5$; второе: $x>1$. Решение $(1;4)\cup(5;+\infty)$. Пересечение с $(-10;10)$: $(1;4)\cup(5;10)$; целые $2,3,6,7,8,9$, их сумма $35$.`,
|
||||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 10' },
|
||||
ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3, § 10' },
|
||||
|
||||
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 5,
|
||||
text: R`Сторона $AB$ треугольника $ABC$, у которого $AB=BC=12$, $AC=8$, лежит в плоскости $\alpha$, а длины проекций двух других сторон треугольника $ABC$ на эту плоскость относятся как $1:3$. Найдите значение выражения $\dfrac{13}{\cos^{2}\beta}$, где $\beta$ — угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$.`,
|
||||
answer: '256',
|
||||
sol: R`Пусть $CO$ — перпендикуляр к $\alpha$, $AO:BO=1:3$, $AO=x$, $BO=3x$. Из $CO^{2}=BC^{2}-BO^{2}=AC^{2}-AO^{2}$: $144-9x^{2}=64-x^{2}$, $8x^{2}=80$, $x=\sqrt{10}$, $CO=3\sqrt6$. Высота $CK$ треугольника $ABC$ к $AB$: по формуле Герона $S=32\sqrt2$, откуда $CK=\dfrac{2S}{AB}=\dfrac{64\sqrt2}{12}=\dfrac{16\sqrt2}{3}$. Тогда $OK=\sqrt{CK^{2}-CO^{2}}=\sqrt{\dfrac{512}{9}-54}=\dfrac{\sqrt{26}}{3}$, а $\cos\beta=\dfrac{OK}{CK}=\dfrac{\sqrt{13}}{16}$. Значит, $\dfrac{13}{\cos^{2}\beta}=\dfrac{13\cdot256}{13}=256$.`,
|
||||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3, § 10' },
|
||||
ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 3, § 10' },
|
||||
];
|
||||
|
||||
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user