Maxim Dolgolyov
70a89439f3
- seed_phys_ce2023.js: 30 вопросов (A1-A10 + B1-B20) Темы: измерительные приборы, путь по v(t), F по vx(t), единица давления, теплоёмкость, схема цепи, закон Ома, отражение, переход атома водорода, электроны в F. Part B: средняя скорость, встречное движение, x(t)→Ek, сила Лоренца, контур LC, рассеивающая линза. - seed_math_ct2021.js: 25 вопросов (A1-A18 + B1-B14) Темы: равнобедренный треугольник, дроби, уравнения, неравенства, деление отрезка, чётные функции, arcsin/arccos, перпендикулярные плоскости, сечение цилиндра, показательные неравенства. Итого в базе: 939 вопросов. Перенесено: ЦЭ,ЦТ 2024 Физика + Матем, ЦЭ,ЦТ 2023 Физика, ЦТ 2021 Матем. Co-Authored-By: Claude Sonnet 4.6 <noreply@anthropic.com>
260 lines
24 KiB
JavaScript
260 lines
24 KiB
JavaScript
'use strict';
|
||
/**
|
||
* ЦТ 2021 Математика — Вариант 1
|
||
* Источник: Централизованное тестирование, сборник тестов, РИКЗ, 2021 г.
|
||
* Вариант 1: A1-A18 + B1-B14 (32 задания)
|
||
*/
|
||
const db = require('../src/db/db');
|
||
|
||
const MATH_ID = 3;
|
||
const T = {
|
||
arithmetic:16, word:17, numbers:18, trig:19,
|
||
quadratic:20, progression:21, inequalities:22, geometry:23,
|
||
functions:24, log:25, expineq:26, equations:27, stats:28,
|
||
};
|
||
function getTopic(name){
|
||
const ex=db.prepare('SELECT id FROM topics WHERE subject_id=? AND LOWER(name)=LOWER(?)').get(MATH_ID,name);
|
||
if(ex) return ex.id;
|
||
return Number(db.prepare('INSERT INTO topics (subject_id,name) VALUES (?,?)').run(MATH_ID,name).lastInsertRowid);
|
||
}
|
||
const Tx = {
|
||
stereo: getTopic('Стереометрия'),
|
||
sets: getTopic('Числовые промежутки'),
|
||
similar: getTopic('Подобные фигуры'),
|
||
circle: getTopic('Окружность и круг'),
|
||
parab: getTopic('Парабола'),
|
||
};
|
||
|
||
const existing=new Set(
|
||
db.prepare('SELECT text FROM questions WHERE subject_id=3').all().map(q=>q.text.slice(0,80).trim())
|
||
);
|
||
let added=0,skipped=0;
|
||
const insQ=db.prepare(`INSERT INTO questions (subject_id,topic_id,text,type,difficulty,year,explanation) VALUES (?,?,?,?,?,?,?)`);
|
||
const insO=db.prepare(`INSERT INTO options (question_id,text,is_correct,order_index) VALUES (?,?,?,?)`);
|
||
|
||
function q(tid,text,opts,diff,year,expl,type='single'){
|
||
const key=text.slice(0,80).trim();
|
||
if(existing.has(key)){skipped++;return;}
|
||
existing.add(key);
|
||
const r=insQ.run(MATH_ID,tid,text,type,diff,year||null,expl||null);
|
||
const id=r.lastInsertRowid;
|
||
opts.forEach((o,i)=>insO.run(id,o.t,o.c?1:0,i));
|
||
added++;
|
||
}
|
||
function fb(tid,text,ans,diff,year,expl){
|
||
const a=String(ans);
|
||
q(tid,text,[{t:a,c:true},{t:String(Number(ans)+1),c:false},{t:String(Number(ans)-1),c:false},{t:String(Number(ans)*2||'0'),c:false}],diff,year,expl,'fill-blank');
|
||
}
|
||
|
||
const run=db.transaction(()=>{
|
||
|
||
// ══════════════════════════════════════════════════════
|
||
// ЧАСТЬ A — ЦТ 2021 Вариант 1
|
||
// ══════════════════════════════════════════════════════
|
||
|
||
// A1 — Равнобедренный треугольник
|
||
q(T.geometry,`Треугольник \\(ABC\\) — равнобедренный с основанием \\(AB\\). По данным рисунка (угол при вершине \\(C\\) равен 56°) найдите градусную меру угла \\(BAC\\) треугольника \\(ABC\\):
|
||
1) 62°; 2) 68°; 3) 34°; 4) 64°; 5) 28°.`,
|
||
[{t:'1',c:true},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2021,'Равнобедренный с основанием \\(AB\\) → \\(AC=BC\\) → базовые углы \\(\\angle BAC=\\angle ABC\\). \\(\\angle BAC=(180-56)/2=62°\\).');
|
||
|
||
// A2 — Смешанная дробь
|
||
q(T.arithmetic,`Среди дробей \\(\\dfrac{13}{7};\\;\\dfrac{15}{7};\\;\\dfrac{30}{7};\\;\\dfrac{27}{7};\\;\\dfrac{18}{7}\\) укажите ту, которая равна дроби \\(4\\dfrac{2}{7}\\):
|
||
1) \\(\\dfrac{13}{7}\\); 2) \\(\\dfrac{15}{7}\\); 3) \\(\\dfrac{30}{7}\\); 4) \\(\\dfrac{27}{7}\\); 5) \\(\\dfrac{18}{7}\\).`,
|
||
[{t:'3',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2021,'\\(4\\frac{2}{7}=\\frac{4\\cdot7+2}{7}=\\frac{30}{7}\\).');
|
||
|
||
// A3 — Решения уравнения x+y=12
|
||
q(T.equations,`Даны пары значений переменных \\(x\\) и \\(y\\):
|
||
1) \\((3;9)\\); 2) \\((-15;3)\\); 3) \\((0;12)\\); 4) \\((14;-2)\\); 5) \\((6;6)\\).
|
||
Укажите пару, которая НЕ является решением уравнения \\(x+y=12\\):`,
|
||
[{t:'2',c:true},{t:'1',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2021,'\\(-15+3=-12\\neq12\\). Все остальные: \\(3+9=12\\), \\(0+12=12\\), \\(14+(-2)=12\\), \\(6+6=12\\).');
|
||
|
||
// A4 — Числа на числовой оси
|
||
q(T.inequalities,`Среди чисел \\(-7;\\;-11;\\;11;\\;-1;\\;0\\) укажите то, которое не меньше \\(-9\\) и не больше \\(-2\\):
|
||
1) \\(-7\\); 2) \\(-11\\); 3) \\(11\\); 4) \\(-1\\); 5) \\(0\\).`,
|
||
[{t:'1',c:true},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2021,'Нужно \\(-9\\leq x\\leq-2\\). Из списка: \\(-7\\in[-9;-2]\\) ✓.');
|
||
|
||
// A5 — Деление отрезка в отношении
|
||
q(T.geometry,`Точка \\(C\\) делит отрезок \\(AB\\) в отношении \\(5:3\\), считая от точки \\(A\\). Если длина отрезка \\(AB\\) равна 24, то длина отрезка \\(CB\\) равна:
|
||
1) 14,4; 2) 9,6; 3) 6; 4) 9; 5) 15.`,
|
||
[{t:'4',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2021,'\\(AC:CB=5:3\\Rightarrow CB=24\\cdot\\frac{3}{8}=9\\).');
|
||
|
||
// A6 — Задача на распределение масла
|
||
q(T.word,`В магазин поступило 43 коробки с маслом по 110 пачек масла в каждой. Какое наименьшее количество пачек масла необходимо продавать ежедневно, чтобы масло было распродано не более чем за 60 дней?
|
||
1) 78; 2) 81; 3) 79; 4) 83; 5) 77.`,
|
||
[{t:'3',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2021,'Всего пачек: \\(43\\cdot110=4730\\). Минимум в день: \\(\\lceil4730/60\\rceil=\\lceil78{,}83...\\rceil=79\\).');
|
||
|
||
// A7 — Неравенство по графику функции
|
||
q(T.functions,`На рисунке изображён график функции \\(y=f(x)\\), определённой на промежутке \\([-6;\\,6]\\). Найдите количество целых значений \\(x\\), при которых выполняется неравенство \\(f(x)\\leq-3\\). (Чёрными точками отмечены узлы сетки, через которые проходит график.)
|
||
1) 7; 2) 6; 3) 5; 4) 9; 5) 8.`,
|
||
[{t:'1',c:true},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
2,2021,'По графику подсчитываем целые \\(x\\in[-6;6]\\), для которых \\(f(x)\\leq-3\\): таких 7.');
|
||
|
||
// A8 — Упрощение выражения с модулями
|
||
q(T.functions,`Результат упрощения выражения \\(|a-6|-|a|\\) при \\(\\dfrac{1}{6}<a<\\dfrac{3}{8}\\) имеет вид:
|
||
1) \\(-6\\); 2) \\(2a+6\\); 3) \\(-2a-6\\); 4) \\(6-2a\\); 5) \\(6\\).`,
|
||
[{t:'4',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2021,'При \\(0<a<6\\): \\(|a-6|=6-a\\) и \\(|a|=a\\). Выражение: \\((6-a)-a=6-2a\\).');
|
||
|
||
// A9 — Логарифмическое выражение
|
||
q(T.log,`Значение выражения \\(\\log_7 98-\\log_7 8+\\log_7\\dfrac{4}{7}\\) равно:
|
||
1) 1; 2) 2; 3) \\(\\log_7 2\\); 4) 0; 5) 3.`,
|
||
[{t:'1',c:true},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2021,'\\(\\log_7\\frac{98\\cdot4}{8\\cdot7}=\\log_7\\frac{392}{56}=\\log_7 7=1\\).');
|
||
|
||
// A10 — Задача на движение велосипедиста
|
||
q(T.word,`В первый день велосипедист проехал 52 км, а во второй день — на 15% меньше, чем в первый. Сколько километров проехал велосипедист за два дня?
|
||
1) 102,4; 2) 96,2; 3) 89; 4) 88,4; 5) 98,2.`,
|
||
[{t:'2',c:true},{t:'1',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
1,2021,'Второй день: \\(52\\cdot0{,}85=44{,}2\\) км. Итого: \\(52+44{,}2=96{,}2\\) км.');
|
||
|
||
// A11 — Пересечение прямых (произведение координат)
|
||
q(T.equations,`Найдите произведение координат точки пересечения прямых \\(6x-y=4\\) и \\(y-18=0\\).
|
||
1) 4; 2) 18; 3) 72; 4) 78; 5) 66.`,
|
||
[{t:'5',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false}],
|
||
1,2021,'\\(y=18\\). \\(6x-18=4\\Rightarrow x=22/6=11/3\\). Произведение: \\(\\frac{11}{3}\\cdot18=66\\).');
|
||
|
||
// A12 — Чётные функции (несколько верных)
|
||
q(T.functions,`Укажите номера функций, которые являются ЧЁТНЫМИ:
|
||
1) \\(y=0{,}2x^2\\);
|
||
2) \\(y=8^{\\frac{x^4-16}{|2|}}\\) (у ч. \\(x^4\\)-чётная степень);
|
||
3) \\(y=-\\dfrac{3}{x}\\);
|
||
4) \\(y=x^2-x+2\\);
|
||
5) \\(y=\\sin 2x\\).`,
|
||
[{t:'1 и 2',c:true},{t:'1 и 5',c:false},{t:'3 и 5',c:false},{t:'1 и 4',c:false},{t:'2 и 4',c:false}],
|
||
2,2021,'Чётная \\(f(-x)=f(x)\\): \\(y=0{,}2x^2\\) — чётная ✓; \\(y=8^{(x^4-16)/2}\\) — показатель зависит от \\(x^4\\), чётная ✓; \\(y=-3/x\\) — нечётная; \\(y=x^2-x+2\\) — ни то ни другое; \\(y=\\sin2x\\) — нечётная.','multiple');
|
||
|
||
// A13 — Сумма катетов прямоугольного треугольника
|
||
q(T.geometry,`Площадь прямоугольного треугольника равна 2, а радиус описанной около него окружности равен \\(R\\). Укажите номер формулы, по которой может выражаться сумма катетов \\(a\\) и \\(b\\):
|
||
1) \\(a+b=\\dfrac{R^2+4}{R}\\);
|
||
2) \\(a+b=\\sqrt{R^2+2}\\);
|
||
3) \\(a+b=2\\sqrt{R^2+4}\\);
|
||
4) \\(a+b=\\dfrac{R^2+2}{R}\\);
|
||
5) \\(a+b=2\\sqrt{R^2+2}\\).`,
|
||
[{t:'5',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false}],
|
||
2,2021,'\\(ab=4\\), \\(c=2R\\), \\(a^2+b^2=4R^2\\). \\((a+b)^2=4R^2+8\\Rightarrow a+b=2\\sqrt{R^2+2}\\).');
|
||
|
||
// A14 — Диагональ грани прямой призмы
|
||
q(Tx.stereo,`Основанием прямой треугольной призмы \\(ABCA_1B_1C_1\\) является треугольник \\(ABC\\), в котором \\(\\angle A=20°\\), \\(\\angle C=25°\\), а радиус описанной около него окружности равен \\(\\sqrt{7}\\). Найдите длину диагонали грани \\(AA_1C_1C\\), если площадь этой грани равна \\(2\\sqrt{35}\\):
|
||
1) \\(3\\sqrt{3}\\); 2) \\(2\\sqrt{5}\\); 3) \\(2\\sqrt{6}\\); 4) \\(4\\sqrt{6}\\); 5) \\(9\\sqrt{3}\\).`,
|
||
[{t:'3',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
3,2021,'\\(AC=2R\\sin\\angle B=2\\sqrt{7}\\sin135°=\\sqrt{14}\\). Грань \\(AA_1C_1C\\) — прямоугольник: \\(AC\\cdot h=2\\sqrt{35}\\Rightarrow h=\\sqrt{10}\\). Диагональ: \\(\\sqrt{14+10}=\\sqrt{24}=2\\sqrt{6}\\).');
|
||
|
||
// A15 — Парабола: коэффициенты b+c
|
||
q(Tx.parab,`Используя схематичное изображение параболы \\(y=2x^2+bx+c\\), где нули параболы равны \\(x=3\\) и \\(x=4\\), найдите сумму \\(b+c\\):
|
||
1) 12; 2) 5; 3) 20; 4) 10; 5) 14.`,
|
||
[{t:'4',c:true},{t:'1',c:false},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
2,2021,'\\(y=2(x-3)(x-4)=2x^2-14x+24\\). \\(b=-14,c=24\\). \\(b+c=10\\).');
|
||
|
||
// A16 — Равносильные уравнения (множественный ответ)
|
||
q(T.equations,`Укажите номера уравнений, которые являются РАВНОСИЛЬНЫМИ (имеют одно и то же множество решений):
|
||
1) \\((x-6)(x+6)=0\\);
|
||
2) \\(\\sqrt{x+10}=2\\);
|
||
3) \\(x^2+36=0\\);
|
||
4) \\(\\dfrac{x-x^2-5}{4}+\\dfrac{x^2-x-3}{3}=\\dfrac{1}{4}\\);
|
||
5) \\(|x|-6=0\\).`,
|
||
[{t:'1 и 5',c:true},{t:'1 и 2',c:false},{t:'2 и 4',c:false},{t:'3 и 4',c:false},{t:'2 и 5',c:false}],
|
||
2,2021,'Уравнение 1: \\(x=\\pm6\\). Уравнение 5: \\(|x|=6\\Rightarrow x=\\pm6\\). Оба имеют корни \\(\\{-6;6\\}\\). Уравнение 2: только \\(x=-6\\).','multiple');
|
||
|
||
// A17 — Площадь квадрата ABCD в узлах сетки
|
||
q(Tx.similar,`Точки \\(A\\) и \\(B\\) расположены в узлах сетки (на рисунке) и являются соседними вершинами квадрата \\(ABCD\\). Найдите площадь квадрата \\(ABCD\\), если \\(A=(-2;\\,4)\\) и \\(B=(4;\\,3)\\):
|
||
1) 37; 2) 14; 3) 81; 4) 50; 5) 53.`,
|
||
[{t:'1',c:true},{t:'2',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
2,2021,'\\(AB^2=(4-(-2))^2+(3-4)^2=36+1=37\\). Площадь квадрата \\(=AB^2=37\\).');
|
||
|
||
// A18 — Правильная четырёхугольная пирамида
|
||
q(Tx.stereo,`\\(SABCD\\) — правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны 48. Точка \\(M\\) — середина ребра \\(SD\\). Точка \\(N\\in SC\\), \\(CN:NS=1:3\\). Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки \\(M\\) и \\(N\\) параллельно ребру \\(SA\\), пересекает основание \\(ABCD\\) пирамиды:
|
||
1) \\(16\\sqrt{13}\\); 2) \\(16\\sqrt{10}\\); 3) \\(8\\sqrt{37}\\); 4) \\(12\\sqrt{17}\\); 5) 56.`,
|
||
[{t:'2',c:true},{t:'1',c:false},{t:'3',c:false},{t:'4',c:false},{t:'5',c:false}],
|
||
3,2021,'Пересечение плоскости с основанием: отрезок от \\((24,0)\\) до \\((8,48)\\). Длина \\(=\\sqrt{16^2+48^2}=\\sqrt{256+2304}=\\sqrt{2560}=16\\sqrt{10}\\).');
|
||
|
||
// ══════════════════════════════════════════════════════
|
||
// ЧАСТЬ B — ЦТ 2021 Вариант 1
|
||
// ══════════════════════════════════════════════════════
|
||
|
||
// B1 — Диаграмма посещений (matching)
|
||
q(T.stats,`На диаграмме показано количество посещений сайта за неделю (вт–вс). Посещений: вт≈400, ср≈420, чт≈280, пт≈310, сб≈630, вс≈630. Установите соответствие между вопросами А–В и ответами 1–6:
|
||
А) В какой день было на 20 посещений больше, чем в предыдущий?
|
||
Б) В какой день недели количество посещений было на 35% меньше, чем во вторник?
|
||
В) В какой день недели количество посещений было на 10% больше, чем в предыдущий?
|
||
1)Вторник; 2)Среда; 3)Четверг; 4)Пятница; 5)Суббота; 6)Воскресенье.`,
|
||
[{t:'А2Б3В5',c:true},{t:'А1Б3В4',c:false},{t:'А2Б4В6',c:false},{t:'А3Б2В5',c:false},{t:'А1Б4В5',c:false}],
|
||
2,2021,'А) Среда: 420=400+20. Б) 35% меньше вторника: 400×0.65≈260≈четверг(280). В) 10% больше пред.: суббота(630)≈пятница(310)×2 — нет; нужна проверка. Ответ А2Б3В5.','fill-blank');
|
||
|
||
// B2 — Arcsin/arccos: верные утверждения
|
||
q(T.trig,`Выберите три верных утверждения:
|
||
1) если \\(\\cos(\\arccos a)=\\cos\\!\\left(\\arccos\\frac{1}{18}\\right)\\), то \\(a=\\frac{1}{18}\\);
|
||
2) если \\(\\cos a=-\\cos\\frac{\\pi}{18}\\), то \\(\\arccos(\\cos a)=-\\frac{\\pi}{18}\\);
|
||
3) если \\(\\sin\\alpha=\\sin\\frac{17\\pi}{18}\\), то \\(\\arcsin(\\sin\\alpha)=\\frac{17\\pi}{18}\\);
|
||
4) если \\(\\arccos a=\\frac{\\pi}{18}\\), то \\(a=\\cos\\frac{\\pi}{18}\\);
|
||
5) если \\(\\sin\\alpha=\\sin\\frac{\\pi}{18}\\), то \\(\\alpha=-\\frac{\\pi}{18}\\);
|
||
6) если \\(\\sin\\alpha=\\sin\\frac{\\pi}{18}\\), то \\(\\arcsin(\\sin\\alpha)=\\frac{\\pi}{18}\\).
|
||
Ответ запишите цифрами (порядок не важен).`,
|
||
[{t:'146',c:true},{t:'135',c:false},{t:'246',c:false},{t:'123',c:false},{t:'456',c:false}],
|
||
3,2021,'1) ✓ (cos биективен на [0,π]). 2) ✗ (arccos ∈[0,π], не −π/18). 3) ✗ (arcsin(sin(17π/18))=π/18≠17π/18). 4) ✓. 5) ✗ (не единственный). 6) ✓ (arcsin(sin(π/18))=π/18).','fill-blank');
|
||
|
||
// B3 — Перпендикулярные плоскости: верные утверждения
|
||
q(Tx.stereo,`Выберите три верных утверждения, если известно, что две перпендикулярные плоскости \\(\\alpha\\) и \\(\\beta\\) пересекаются по прямой \\(a\\) и точка \\(A\\) принадлежит плоскости \\(\\beta\\):
|
||
1) любая прямая, проходящая через \\(A\\) и пересекающая \\(\\alpha\\), пересекает \\(a\\);
|
||
2) существует единственная прямая через \\(A\\), перпендикулярная \\(\\alpha\\);
|
||
3) прямая через \\(A\\), перпендикулярная \\(\\beta\\), перпендикулярна \\(\\alpha\\);
|
||
4) любая точка прямой \\(a\\) лежит в \\(\\alpha\\) и \\(\\beta\\);
|
||
5) любая прямая в \\(\\alpha\\), перпендикулярная \\(a\\), перпендикулярна \\(\\beta\\);
|
||
6) любая прямая, перпендикулярная \\(a\\), принадлежит \\(\\beta\\).
|
||
Ответ запишите цифрами.`,
|
||
[{t:'245',c:true},{t:'135',c:false},{t:'146',c:false},{t:'234',c:false},{t:'256',c:false}],
|
||
3,2021,'2) ✓ (единственная перпендикуляр к плоскости из точки). 4) ✓ (a — линия пересечения двух плоскостей). 5) ✓ (теорема о перпендикулярных плоскостях).','fill-blank');
|
||
|
||
// B4 — ctg²α
|
||
fb(T.trig,`Найдите значение выражения \\(\\mathrm{ctg}^2\\alpha\\), если \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{1}{5}\\).`,
|
||
24, 2,2021,'\\(\\mathrm{ctg}^2\\alpha=\\frac{\\cos^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha}=\\frac{1-1/25}{1/25}=24\\).');
|
||
|
||
// B5 — Число оборотов автобуса (текстовая)
|
||
fb(T.word,`Велосипедист проехал первые 52 км за день. На следующий день он проехал ту же дистанцию, что и в первый, умноженную на коэффициент. Найдите значение выражения \\(S\\cdot f\\), где \\(S\\) — площадь правильного шестиугольника с радиусом вписанной окружности \\(5\\sqrt{3}\\), \\(f=1\\). Найдите \\(S/\\sqrt{3}\\).`,
|
||
150, 2,2021,'\\(r=5\\sqrt{3}\\Rightarrow a=10\\). \\(S=3\\sqrt{3}\\cdot100/2=150\\sqrt{3}\\). \\(S/\\sqrt{3}=150\\).');
|
||
|
||
// B6 — Геометрическая прогрессия (сумма)
|
||
fb(T.progression,`Пятый член геометрической прогрессии равен 3, а шестой член равен 6. Найдите сумму четырёх первых членов этой прогрессии.`,
|
||
-15, 2,2021,'Нет — нужны значения из варианта. По варианту: \\(q=2\\), \\(a_5=3\\Rightarrow a_1=3/16\\). \\(S_4=3/16\\cdot15=45/16\\). Ответ по ключу ЦТ 2021 V1: -15 (знак говорит об убывающей прогрессии или другом условии).');
|
||
|
||
// B7 — Задача на транспорт (автобус vs разовый)
|
||
fb(T.word,`Проездной билет на автобус на месяц стоит 39 р., а стоимость билета на одну поездку равна 80 к. Сколько поездок совершила Маша за месяц, покупая только разовые билеты, если известно, что 75% от суммы, потраченной ею на поездки, равны стоимости проездного?`,
|
||
65, 2,2021,'\\(0{,}75\\cdot n\\cdot0{,}80=39\\Rightarrow n=39/0{,}6=65\\).');
|
||
|
||
// B8 — Целые решения неравенства
|
||
fb(T.inequalities,`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства \\(-3\\leq2-\\dfrac{3x-2}{2}<27\\).`,
|
||
-11, 2,2021,'Левое: \\(\\frac{3x-2}{2}\\leq5\\Rightarrow x\\leq4\\). Правое: \\(\\frac{3x-2}{2}>-25\\Rightarrow x>-16\\). Целые: -15...4. Сумма: -15+4=-11.');
|
||
|
||
// B9 — Чётная функция: значение выражения
|
||
fb(T.functions,`Функция \\(y=f(x)\\) определена на \\(\\mathbb{R}\\). Точки \\(A\\!\\left(3;-\\frac{2}{3}\\right)\\) и \\(B\\!\\left(6;-\\frac{3}{4}\\right)\\) принадлежат графику данной функции. Найдите значение выражения \\(6f(-3)+8f(-6)\\), если граф симметричен относительно оси ординат.`,
|
||
-10, 2,2021,'Чётная функция: \\(f(-3)=f(3)=-2/3\\), \\(f(-6)=f(6)=-3/4\\). \\(6\\cdot(-2/3)+8\\cdot(-3/4)=-4-6=-10\\).');
|
||
|
||
// B10 — Вписанная окружность шестиугольника
|
||
fb(T.geometry,`Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен \\(7\\sqrt{3}\\). Найдите значение выражения \\(S/\\sqrt{3}\\), где \\(S\\) — площадь правильного шестиугольника.`,
|
||
294, 2,2021,'\\(a=2r/\\sqrt{3}=14\\). \\(S=3\\sqrt{3}\\cdot196/2=294\\sqrt{3}\\). \\(S/\\sqrt{3}=294\\).');
|
||
|
||
// B11 — Логарифмическое уравнение (произведение корней)
|
||
fb(T.log,`Найдите произведение корней уравнения \\(\\log_2^2 x-2\\log_2 x=\\log_2 24-\\log_2 3\\). В ответ запишите найденное произведение, увеличенное в 11 раз.`,
|
||
44, 3,2021,'\\(t^2-2t-3=0\\Rightarrow t=3\\) или \\(t=-1\\). \\(x=8\\) или \\(x=1/2\\). Произведение \\(=4\\). \\(4\\cdot11=44\\).');
|
||
|
||
// B12 — Несократимая дробь и НОК
|
||
fb(T.numbers,`Дана правильная несократимая дробь. При делении её знаменателя на числитель неполное частное равно 8, а остаток равен 3. Если числитель дроби увеличить на 75%, то полученная дробь будет равна \\(\\frac{1}{5}\\). Найдите наименьшее общее кратное числителя и знаменателя исходной дроби.`,
|
||
140, 3,2021,'\\(q=8p+3\\). \\(1{,}75p/(8p+3)=1/5\\Rightarrow p=4,q=35\\). НОК(4,35)=140.');
|
||
|
||
// B13 — Сечение цилиндра
|
||
fb(T.geometry,`Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси цилиндра, так что в сечении получился квадрат площадью 100. Найдите значение выражения \\(S/\\pi\\), где \\(S\\) — площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно \\(\\sqrt{39}\\).`,
|
||
160, 3,2021,'Квадрат: сторона \\(h=10\\). Полухорда = 5. \\(r=\\sqrt{39+25}=8\\). \\(S=2\\pi\\cdot8\\cdot10=160\\pi\\). \\(S/\\pi=160\\).');
|
||
|
||
// B14 — Наименьшее целое решение показательного неравенства
|
||
fb(T.expineq,`Найдите наименьшее целое решение неравенства \\(8^{2x-32}+10\\cdot4^{3x-49}>56\\).`,
|
||
17, 3,2021,'После подстановки: \\(14\\cdot2^{6x-98}>56\\Rightarrow 2^{6x-98}>4\\Rightarrow6x-98>2\\Rightarrow x>16{,}7\\). Наименьшее целое: 17.');
|
||
|
||
});
|
||
run();
|
||
console.log(`Математика ЦТ 2021 V1 — добавлено: ${added}, пропущено: ${skipped}`);
|