Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
203 lines
16 KiB
JavaScript
203 lines
16 KiB
JavaScript
VARIANTS[17] = {
|
||
label: "Вариант 17",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = \\sqrt{x} - 1$:`,
|
||
figure: `<img src="/img/exam9/v17_t1.png" class="task-fig" />`,
|
||
sol: `Функция $y=\\sqrt{x}-1$:
|
||
<ul>
|
||
<li>Область определения: $x\\geq 0$ (начинается с нуля)</li>
|
||
<li>При $x=0$: $y=-1$ — <b>начало кривой в точке $(0;\\,-1)$</b></li>
|
||
<li>При $x=1$: $y=0$ — пересекает ось $Ox$ в точке $(1;\\,0)$</li>
|
||
<li>Возрастает при $x>0$</li>
|
||
</ul>
|
||
На рисунке ищем кривую, которая начинается НИЖЕ оси $Ox$ при $x=0$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: д)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Из данных чисел выберите те, которые <b>НЕ</b> входят в область определения выражения $\\dfrac{2}{\\sqrt{2x-4}}$:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$\\dfrac{1}{2}$"], ["б", "$2{,}5$"], ["в", "$2$"],
|
||
["г", "$3$"], ["д", "$4$"],
|
||
],
|
||
sol: `Знаменатель не равен нулю и подкоренное выражение положительно: $2x-4>0 \\Rightarrow x>2$.
|
||
<br>ОДЗ: $x>2$. Проверяем:
|
||
<ul>
|
||
<li>а) $\\frac{1}{2}<2$ ✗ — <b>НЕ входит</b></li>
|
||
<li>б) $2{,}5>2$ ✓ — входит</li>
|
||
<li>в) $2=2$ → знаменатель $=0$ ✗ — <b>НЕ входит</b></li>
|
||
<li>г) $3>2$ ✓ — входит</li>
|
||
<li>д) $4>2$ ✓ — входит</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: а) и в)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "у правильного $n$-угольника все стороны равны между собой;"],
|
||
["б", "по теореме косинусов для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ верно, что $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha$;"],
|
||
["в", "площадь ромба равна половине произведения диагоналей;"],
|
||
["г", "площадь круга с радиусом $r$ равна $2\\pi r$?"],
|
||
],
|
||
sol: `<ul>
|
||
<li>а) Правильный $n$-угольник — все стороны равны <b>верно</b></li>
|
||
<li>б) Теорема косинусов $a^2=b^2+c^2-2bc\\cos\\alpha$ — <b>верно</b></li>
|
||
<li>в) $S_{\\text{ромб}}=\\frac{d_1 d_2}{2}$ — <b>верно</b></li>
|
||
<li>г) Площадь круга $=2\\pi r$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
|
||
</ul>
|
||
$S_{\\text{круга}} = \\pi r^2$, а $2\\pi r$ — это <em>длина окружности</em>.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения $x \\cdot y$, где $(x;\\, y)$ — решение системы уравнений
|
||
$$\\begin{cases} x + y = 5, \\\\[4pt] 2x - y = 4. \\end{cases}$$`,
|
||
sol: `Сложим оба уравнения: $3x=9 \\Rightarrow x=3$.
|
||
<br>Из первого: $y=5-3=2$.
|
||
$$x\\cdot y = 3\\cdot 2 = 6$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $6$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, центр $O$ окружности лежит на стороне $AD$.
|
||
Найдите угол $CAD$, если угол $ABC$ равен $118^{\\circ}$.`,
|
||
sol: `<b>Ключевой факт:</b> $O$ лежит на $AD$ $\\Rightarrow$ $AD$ — диаметр окружности.
|
||
<svg viewBox="0 0 195 155" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<!-- окружность: O=(90,80), R=60 -->
|
||
<circle cx="90" cy="80" r="60" fill="none" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1.2"/>
|
||
<!-- четырёхугольник ABCD: B(60,28) и C(120,28) лежат на окружности -->
|
||
<polygon points="30,80 60,28 120,28 150,80" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<!-- диаметр AD (горизонталь, так как O лежит на AD) -->
|
||
<line x1="30" y1="80" x2="150" y2="80" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
|
||
<!-- диагональ AC (синяя) -->
|
||
<line x1="30" y1="80" x2="120" y2="28" stroke="#2563eb" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<!-- центр O на AD -->
|
||
<circle cx="90" cy="80" r="3.5" fill="#e11d48"/>
|
||
<text x="88" y="94" font-size="10" fill="#e11d48" text-anchor="middle">O</text>
|
||
<!-- знак прямого угла при C(120,28): ∠ACD=90° -->
|
||
<!-- CA=(-90,52)/103.9≈(-0.867,0.501), CD=(30,52)/60≈(0.500,0.867) -->
|
||
<!-- P1=C+6×CA=(114.8,31), P2=C+6×CD=(123,33.2), corner=(117.8,36.2) -->
|
||
<path d="M114.8,31 L117.8,36.2 L123,33.2" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3"/>
|
||
<text x="122" y="44" font-size="10" fill="#16a34a">90°</text>
|
||
<!-- дуга ∠CAD=28° при A=(30,80) -->
|
||
<!-- от AC-луча (A+18×(0.867,-0.501)=(45.6,71)) до AD-луча (A+(18,0)=(48,80)) -->
|
||
<path d="M45.6,71 A18,18 0 0,1 48,80" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
|
||
<text x="43" y="76" font-size="9" fill="#334155">28°</text>
|
||
<!-- дуга ∠ADC=62° при D=(150,80) -->
|
||
<!-- от DA-луча (D+18×(-1,0)=(132,80)) до DC-луча (D+18×(-0.5,-0.867)=(141,64)) -->
|
||
<path d="M132,80 A18,18 0 0,0 141,64" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
|
||
<text x="128" y="73" font-size="9" fill="#334155">62°</text>
|
||
<!-- метки вершин -->
|
||
<text x="13" y="88" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="153" y="88" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="45" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="122" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<!-- ∠ABC=118° при B -->
|
||
<text x="38" y="52" font-size="10" fill="#e11d48">118°</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 1.</b> $AD$ — диаметр $\\Rightarrow$ $\\angle ACD = 90°$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> $ABCD$ — вписанный четырёхугольник, противоположные углы в сумме дают $180°$:
|
||
$$\\angle ADC = 180° - \\angle ABC = 180° - 118° = 62°$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> В треугольнике $ACD$: $\\angle ACD=90°$, $\\angle ADC=62°$:
|
||
$$\\angle CAD = 180° - 90° - 62° = 28°$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $\\angle CAD = 28°$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите количество целых решений неравенства $x^2 + 5x < 14$.`,
|
||
sol: `<b>Метод интервалов для квадратного неравенства:</b> приводим к виду $ax^2+bx+c\\lt 0$, раскладываем на множители и определяем знаки.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Переносим всё в одну часть: $x^2+5x-14\\lt 0$.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Раскладываем левую часть на множители. Ищем два числа, произведение которых равно $-14$, а сумма $5$. Это $7$ и $-2$, значит $x^2+5x-14=(x+7)(x-2)$.
|
||
<br><b>Шаг 3.</b> Решаем неравенство $(x+7)(x-2)\\lt 0$. Произведение двух множителей отрицательно, когда они разных знаков, поэтому $-7\\lt x\\lt 2$.
|
||
<svg viewBox="0 0 260 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<defs><marker id="a17t6" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
|
||
<line x1="8" y1="26" x2="248" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a17t6)"/>
|
||
<line x1="25" y1="22" x2="25" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="25" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−7</text>
|
||
<line x1="70" y1="22" x2="70" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="70" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−5</text>
|
||
<line x1="115" y1="22" x2="115" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="115" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
|
||
<line x1="160" y1="22" x2="160" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="160" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
|
||
<line x1="205" y1="22" x2="205" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="205" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">1</text>
|
||
<line x1="227" y1="22" x2="227" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="227" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">2</text>
|
||
<line x1="25" y1="26" x2="227" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
|
||
<circle cx="25" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
|
||
<circle cx="227" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 4.</b> Выписываем целые числа из интервала $(-7;\\;2)$ — концы не входят, поскольку неравенство строгое: $-6,\\,-5,\\,-4,\\,-3,\\,-2,\\,-1,\\,0,\\,1$ — всего <b>8</b> чисел.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $8$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите $55\\%$ от значения выражения $\\dfrac{71^2 - 23^2 + 94 \\cdot 42}{62^2 - 32^2}$.`,
|
||
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. <b>Правило процентов:</b> $p\\%$ от числа $N$ равно $\\dfrac{p}{100}\\cdot N$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Преобразуем числитель. По формуле разности квадратов:
|
||
$$71^2-23^2 = (71-23)(71+23) = 48\\cdot 94.$$
|
||
Значит, в числителе $48\\cdot 94 + 94\\cdot 42$. Так как множитель $94$ общий, выносим его за скобки:
|
||
$$48\\cdot 94 + 94\\cdot 42 = 94\\cdot(48+42) = 94\\cdot 90 = 8460.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем знаменатель по той же формуле:
|
||
$$62^2-32^2 = (62-32)(62+32) = 30\\cdot 94 = 2820.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Делим числитель на знаменатель. Замечаем, что общий множитель $94$ сокращается:
|
||
$$\\dfrac{94\\cdot 90}{30\\cdot 94} = \\dfrac{90}{30} = 3.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Находим $55\\%$ от полученного числа. По правилу процентов:
|
||
$$55\\%\\text{ от }3 = \\dfrac{55}{100}\\cdot 3 = 0{,}55\\cdot 3 = 1{,}65.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $1{,}65$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения $a + x_0$, где $a$ — положительное число,
|
||
при котором левая часть уравнения $4x^2 - ax + 25 = 0$ является квадратом разности,
|
||
а $x_0$ — корень уравнения.`,
|
||
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Чтобы $4x^2 - ax + 25$ был квадратом разности, надо представить его в виде $(A-B)^2$. Так как $4x^2=(2x)^2$ и $25=5^2$, берём $A=2x$ и $B=5$ (положительное, так как по условию $a\\gt 0$, а средний член имеет знак минус).
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Сравниваем средние члены: $-ax$ и $-2AB = -2\\cdot 2x\\cdot 5 = -20x$. Значит $a=20$.
|
||
<br><b>Шаг 3.</b> Подставляем $a=20$ и решаем уравнение:
|
||
$$4x^2-20x+25 = (2x-5)^2 = 0 \\;\\implies\\; 2x-5=0 \\;\\implies\\; x_0 = \\dfrac{5}{2}$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Находим искомое выражение:
|
||
$$a+x_0 = 20+\\dfrac{5}{2} = 22{,}5$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $22{,}5$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведена высота $BK$.
|
||
Найдите площадь трапеции, если $BK = 6$ см, диагональ $AC = 10$ см.`,
|
||
sol: `В равнобедренной трапеции $AD\\parallel BC$, высота $BK\\perp AD$.
|
||
<svg viewBox="0 0 195 100" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<polygon points="20,80 164,80 116,8 68,8" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<line x1="68" y1="8" x2="68" y2="80" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
|
||
<path d="M61,80 L61,73 L68,73" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
|
||
<line x1="20" y1="80" x2="116" y2="8" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<text x="5" y="92" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="166" y="92" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="117" y="5" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="54" y="5" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="57" y="92" font-size="10" fill="#334155">K</text>
|
||
<text x="72" y="50" font-size="11" fill="#e11d48">BK=6</text>
|
||
<text x="55" y="44" font-size="11" fill="#2563eb">AC=10</text>
|
||
</svg>
|
||
Введём координаты: $A=(0,0)$, основание $AD$ по оси $Ox$, высота $h=BK=6$.
|
||
<br>Тогда $B=(p,\\ 6)$ и $C=(p+b,\\ 6)$, где $p=\\dfrac{AD-BC}{2}$ — горизонтальное смещение.
|
||
<br><br>
|
||
Диагональ $AC$ идёт от $A(0,0)$ до $C(p+b,\; 6)$:
|
||
$$AC^2 = (p+b)^2 + 6^2$$
|
||
Заметим, что $p+b = \\dfrac{AD-BC}{2}+BC = \\dfrac{AD+BC}{2} = \\text{средняя линия}$.
|
||
<br>Из условия $AC=10$:
|
||
$$\\text{средняя линия} = \\sqrt{AC^2 - h^2} = \\sqrt{100-36} = \\sqrt{64} = 8$$
|
||
$$S = \\text{средняя линия}\\times h = 8\\times 6 = 48\\text{ см}^2$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $48$ см²</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В аквапарке «Лебяжий», который расположен в городе Минске, один из бассейнов
|
||
до максимальной метки можно заполнять через две трубы, причём через первую —
|
||
на $5$ часов дольше, чем через вторую. Заполнение бассейна через обе трубы
|
||
одновременно продолжается не менее $6$ часов.
|
||
За какое наименьшее количество часов можно заполнить бассейн через первую трубу?`,
|
||
sol: `Пусть первая труба заполняет за $t_1$ часов, вторая — за $t_2=t_1-5$ часов.
|
||
<br>Совместная скорость заполнения: $\\dfrac{1}{t_1}+\\dfrac{1}{t_1-5}$ (бассейнов в час).
|
||
<br>Условие «<b>не менее 6 часов</b>» вместе означает скорость $\\leq \\dfrac{1}{6}$:
|
||
$$\\frac{1}{t_1}+\\frac{1}{t_1-5} \\leq \\frac{1}{6}$$
|
||
$$\\frac{2t_1-5}{t_1(t_1-5)} \\leq \\frac{1}{6}$$
|
||
$$6(2t_1-5) \\leq t_1(t_1-5)$$
|
||
$$12t_1-30 \\leq t_1^2-5t_1$$
|
||
$$t_1^2-17t_1+30 \\geq 0$$
|
||
$$(t_1-15)(t_1-2) \\geq 0$$
|
||
$$t_1 \\leq 2 \\quad\\text{или}\\quad t_1 \\geq 15$$
|
||
Так как $t_2=t_1-5>0$, необходимо $t_1>5$. Поэтому $t_1\\geq 15$.
|
||
<br><b>Проверка</b> $t_1=15$: $t_2=10$, вместе: $\\frac{1}{15}+\\frac{1}{10}=\\frac{1}{6}$ (ровно 6 ч) ✓
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: не менее $15$ часов</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|