Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
181 lines
15 KiB
JavaScript
181 lines
15 KiB
JavaScript
VARIANTS[29] = {
|
||
label: "Вариант 29",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Какой из промежутков является решением неравенства $-x > -3$:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$(-\\infty;\\; 3)$"], ["б", "$(-\\infty;\\; {-3})$"], ["в", "$(3;\\; {+\\infty})$"],
|
||
["г", "$(-3;\\; {+\\infty})$"], ["д", "$[-3;\\; {+\\infty})$"],
|
||
],
|
||
sol: `Делим обе части на $-1$ (знак неравенства меняется):
|
||
$$-x > -3 \\implies x < 3$$
|
||
<svg viewBox="0 0 245 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:245px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
|
||
<defs><marker id="v29t1r" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
|
||
<line x1="8" y1="26" x2="237" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v29t1r)"/>
|
||
<line x1="50" y1="22" x2="50" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="50" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
|
||
<line x1="110" y1="22" x2="110" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="110" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
|
||
<line x1="170" y1="22" x2="170" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="170" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3</text>
|
||
<line x1="8" y1="26" x2="170" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.5"/>
|
||
<circle cx="170" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
|
||
<text x="8" y="16" font-size="9" fill="#2563eb">$x < 3$</text>
|
||
</svg>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: а) $(-\\infty;\\;3)$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Значение выражения $\\dfrac{0{,}6 \\cdot 0{,}3}{-0{,}6}$ равно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$0{,}3$"], ["б", "$-0{,}3$"], ["в", "$0{,}18$"],
|
||
["г", "$-0{,}18$"], ["д", "$-0{,}12$"],
|
||
],
|
||
sol: `$$\\dfrac{0{,}6\\cdot0{,}3}{-0{,}6} = \\dfrac{0{,}18}{-0{,}6} = -0{,}3$$
|
||
или короче: сокращаем $0{,}6$: $\\dfrac{\\cancel{0{,}6}\\cdot0{,}3}{-\\cancel{0{,}6}} = -0{,}3$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: б) $-0{,}3$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "у любого параллелограмма диагонали перпендикулярны;"],
|
||
["б", "сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна $360^{\\circ}$;"],
|
||
["в", "квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;"],
|
||
["г", "вписанные углы окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой?"],
|
||
],
|
||
sol: `<ul>
|
||
<li>а) «У любого параллелограмма диагонали перпендикулярны» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Диагонали перпендикулярны только в <em>ромбе</em>. Например, в прямоугольнике диагонали равны, но не перпендикулярны.</li>
|
||
<li>б) Сумма углов четырёхугольника $= 360°$ — <b>верно</b></li>
|
||
<li>в) Теорема Пифагора — <b>верно</b></li>
|
||
<li>г) Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны — <b>верно</b></li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: а)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Приведите подобные слагаемые $2xy - 4xy + 9x + 4xy - 2x$.`,
|
||
sol: `Группируем слагаемые с $xy$ и с $x$:
|
||
$$(2xy - 4xy + 4xy) + (9x - 2x) = 2xy + 7x$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $2xy + 7x$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите периметр ромба, диагонали которого равны $18$ см и $24$ см.`,
|
||
sol: `<b>Свойство диагоналей ромба:</b> диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
|
||
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$.
|
||
<br><b>Формула периметра ромба:</b> $P = 4a$, где $a$ — сторона.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> По свойству диагоналей ромба они делятся точкой пересечения пополам и взаимно перпендикулярны. Половины диагоналей: $\\dfrac{18}{2}=9$ см и $\\dfrac{24}{2}=12$ см.
|
||
<svg viewBox="0 0 200 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
|
||
<polygon points="46,100 100,28 154,100 100,172" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<line x1="46" y1="100" x2="154" y2="100" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<line x1="100" y1="28" x2="100" y2="172" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<polygon points="100,100 108,100 108,92 100,92" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
|
||
<circle cx="100" cy="100" r="2.5" fill="#334155"/>
|
||
<text x="28" y="106" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="102" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="158" y="106" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="102" y="186" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="103" y="97" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
|
||
<text x="62" y="95" font-size="11" fill="#475569">9</text>
|
||
<text x="126" y="95" font-size="11" fill="#475569">9</text>
|
||
<text x="104" y="68" font-size="11" fill="#475569">12</text>
|
||
<text x="104" y="140" font-size="11" fill="#475569">12</text>
|
||
<text x="50" y="58" font-size="12" fill="#1d4ed8" font-style="italic">a</text>
|
||
<text x="5" y="106" font-size="9" fill="#475569">18 см</text>
|
||
<text x="155" y="72" font-size="9" fill="#475569">24 см</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 2.</b> Половины диагоналей являются катетами прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза — сторона ромба $a$. По теореме Пифагора:
|
||
$$a = \\sqrt{9^2 + 12^2} = \\sqrt{81+144} = \\sqrt{225} = 15\\text{ см}$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Применяем формулу периметра:
|
||
$$P = 4a = 4\\cdot 15 = 60\\text{ см}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $60$ см</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Сократите дробь $\\dfrac{a^2-64}{-a-8}$ и найдите значение полученного выражения при $a = -4$.`,
|
||
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Числитель раскладываем по формуле разности квадратов ($64 = 8^2$):
|
||
$$a^2-64 = a^2-8^2 = (a-8)(a+8)$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> В знаменателе вынесем общий множитель $-1$:
|
||
$$-a-8 = -(a+8)$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(a+8)$ (при условии $a\\neq -8$, иначе знаменатель равен нулю):
|
||
$$\\dfrac{(a-8)(a+8)}{-(a+8)} = -(a-8) = 8-a$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $a = -4$:
|
||
$$8-(-4) = 8+4 = 12$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $8-a$;  при $a=-4$ значение равно $12$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память.
|
||
Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии от каждой подруги,
|
||
потребовалось $42$ фотографии. Сколько было подруг?`,
|
||
sol: `<b>Метод введения переменной:</b> неизвестное количество подруг обозначим за $n$. <b>Принцип подсчёта:</b> каждая из $n$ подруг дарит свою фотографию каждой из $n-1$ остальных подруг.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть подруг было $n$. Каждая девочка дарит свою фотографию каждой из оставшихся $n-1$ подруг.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Общее количество подаренных фотографий — это произведение числа дарителей на число получателей у каждой:
|
||
$$n\\cdot(n-1) = 42.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем и приводим к квадратному уравнению:
|
||
$$n^2 - n - 42 = 0.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Решаем через дискриминант:
|
||
$$D = (-1)^2 + 4\\cdot 42 = 1+168 = 169 = 13^2;$$
|
||
$$n = \\dfrac{1+13}{2} = 7\\;\\;\\text{(отрицательный корень не подходит, так как $n$ — натуральное)}.$$
|
||
<b>Шаг 5. Проверка:</b> $7\\cdot 6 = 42$ — совпадает с условием.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $7$ подруг</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите $\\text{НОД}(174;\\; 841;\\; 3364)$ и определите, какому множеству он принадлежит:
|
||
а) составных чисел; б) простых чисел.`,
|
||
sol: `<b>Правило нахождения НОД:</b> наибольший общий делитель — это произведение общих простых множителей чисел, взятых в наименьших степенях. <b>Простое число:</b> натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя — $1$ и само число.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим каждое число на простые множители.
|
||
$$174 = 2\\cdot 87 = 2\\cdot 3\\cdot 29;$$
|
||
$$841 = 29\\cdot 29 = 29^2;$$
|
||
$$3364 = 4\\cdot 841 = 2^2\\cdot 29^2.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Найдём общие простые множители. В разложении $841$ нет ни $2$, ни $3$, поэтому общий множитель только один — это $29$ (в первой степени, так как наименьшая степень $29$ среди трёх разложений равна $1$):
|
||
$$\\text{НОД}(174;\\,841;\\,3364) = 29.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Определим вид числа $29$. Так как $29$ делится только на $1$ и на $29$, оно является простым.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: НОД $= 29$, принадлежит множеству <b>простых чисел</b> (ответ б)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В арифметической прогрессии сумма трёх первых членов равна $246$.
|
||
Чему равна сумма пяти первых членов этой прогрессии,
|
||
если её первый член равен разности прогрессии?`,
|
||
sol: `<b>Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:</b> $a_n = a_1 + (n-1)d$.
|
||
<br><b>Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\\cdot n$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_1 = d$. Тогда члены прогрессии:
|
||
<br>$a_1 = d$, $a_2 = 2d$, $a_3 = 3d$, $a_4 = 4d$, $a_5 = 5d$.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Сумма трёх первых членов:
|
||
$$S_3 = a_1+a_2+a_3 = d+2d+3d = 6d$$
|
||
По условию $S_3 = 246$, значит $6d = 246$, откуда $d = 41$.
|
||
<br><b>Шаг 3.</b> Сумма пяти первых членов:
|
||
$$S_5 = d+2d+3d+4d+5d = 15d = 15\\cdot 41 = 615$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $S_5 = 615$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Даны треугольник $ABC$ и окружность, которая проходит через вершины $B$ и $C$
|
||
и пересекает стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках $M$ и $N$,
|
||
где $BM = 14$ см, $AN = 8$ см, $NC = 7$ см.
|
||
Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\\cos A = \\dfrac{\\sqrt{19}}{10}$.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 215 175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
|
||
<circle cx="102" cy="110" r="58" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<polygon points="110,20 46,122 158,96" fill="rgba(22,163,74,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<circle cx="91" cy="51" r="3.5" fill="#dc2626"/>
|
||
<circle cx="135" cy="61" r="3.5" fill="#dc2626"/>
|
||
<text x="112" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="30" y="132" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="161" y="106" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="75" y="47" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
|
||
<text x="138" y="57" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">N</text>
|
||
<text x="113" y="37" font-size="10" fill="#475569">AM=?</text>
|
||
<text x="48" y="82" font-size="10" fill="#475569">BM=14</text>
|
||
<text x="132" y="38" font-size="10" fill="#475569">AN=8</text>
|
||
<text x="154" y="78" font-size="10" fill="#475569">NC=7</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 1. Степень точки $A$ относительно окружности.</b>
|
||
<br>Точка $A$ — внешняя, из неё проведены две секущие: $AMB$ и $ANC$. По свойству секущих:
|
||
$$AM\\cdot AB = AN\\cdot AC$$
|
||
Обозначим $AM = x$. Тогда $AB = x + 14$, $AC = 8 + 7 = 15$.
|
||
$$x(x+14) = 8\\cdot15 = 120$$
|
||
$$x^2 + 14x - 120 = 0$$
|
||
$$D = 196 + 480 = 676 = 26^2$$
|
||
$$x = \\dfrac{-14+26}{2} = 6\\text{ см}$$
|
||
Значит $AM = 6$, $AB = 6+14 = 20$ см.
|
||
<br><b>Шаг 2. Синус угла $A$.</b>
|
||
$$\\sin A = \\sqrt{1-\\cos^2 A} = \\sqrt{1 - \\dfrac{19}{100}} = \\sqrt{\\dfrac{81}{100}} = \\dfrac{9}{10}$$
|
||
<b>Шаг 3. Площадь треугольника $ABC$.</b>
|
||
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot AC\\cdot\\sin A = \\dfrac{1}{2}\\cdot20\\cdot15\\cdot\\dfrac{9}{10} = \\dfrac{1}{2}\\cdot270 = 135\\text{ см}^2$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $135$ см²</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|