Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
210 lines
17 KiB
JavaScript
210 lines
17 KiB
JavaScript
VARIANTS[31] = {
|
||
label: "Вариант 31",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Значение выражения $3 : \\dfrac{3}{5} + 7$ равно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$9$"], ["б", "$12$"], ["в", "$8{,}4$"],
|
||
["г", "$7{,}2$"], ["д", "$11$"],
|
||
],
|
||
sol: `$$3:\\dfrac{3}{5}+7 = 3\\cdot\\dfrac{5}{3}+7 = 5+7 = 12$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: б) $12$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Запись выражения $\\dfrac{3m}{n^3} \\cdot \\dfrac{n}{m}$ в виде дроби имеет вид:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$\\dfrac{3}{n^3}$"], ["б", "$\\dfrac{n^4}{3m^2}$"], ["в", "$\\dfrac{3}{n^2}$"],
|
||
["г", "$\\dfrac{3m^2}{n^4}$"], ["д", "$\\dfrac{3n}{m}$"],
|
||
],
|
||
sol: `Сокращаем $m$ и одну степень $n$:
|
||
$$\\dfrac{3m}{n^3}\\cdot\\dfrac{n}{m} = \\dfrac{3\\cancel{m}\\cdot\\cancel{n}}{n^3\\cdot\\cancel{m}\\cdot\\cancel{1}} = \\dfrac{3}{n^2}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в) $\\dfrac{3}{n^2}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "окружность, вписанная в треугольник, касается всех его сторон;"],
|
||
["б", "синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;"],
|
||
["в", "средняя линия треугольника равна половине его основания;"],
|
||
["г", "радиус описанной окружности треугольника со стороной $a$ и углом $\\alpha$ находится из формулы $\\dfrac{a}{\\sin\\alpha} = 2R$?"],
|
||
],
|
||
sol: `<ul>
|
||
<li>а) Вписанная окружность касается всех сторон — <b>верно</b></li>
|
||
<li>б) «Синус равен отношению <em>прилежащего</em> катета к гипотенузе» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Синус = <em>противолежащий</em> катет / гипотенуза. Прилежащий катет / гипотенуза — это <em>косинус</em>.</li>
|
||
<li>в) Средняя линия треугольника $=$ половина основания — <b>верно</b></li>
|
||
<li>г) Теорема синусов: $\\dfrac{a}{\\sin\\alpha}=2R$ — <b>верно</b></li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Расстояние между городами на карте $5$ см.
|
||
Определите это расстояние на местности, если масштаб карты $1 : 100\\,000$.`,
|
||
sol: `Масштаб $1:100\\,000$ означает: $1$ см на карте $= 100\\,000$ см $= 1$ км на местности.
|
||
$$5\\text{ см}\\times100\\,000 = 500\\,000\\text{ см} = 5\\text{ км}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $5$ км</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `На покраску пола в спортивном зале школы израсходовали $32$ кг краски,
|
||
что составило $\\dfrac{1}{4}$ всей купленной краски.
|
||
Сколько всего килограммов краски было куплено?`,
|
||
sol: `<b>Правило нахождения числа по его части:</b> чтобы найти всё число, зная его часть $\\dfrac{m}{n}$, нужно эту часть разделить на $\\dfrac{m}{n}$ (или умножить на обратную дробь $\\dfrac{n}{m}$).
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть всего было куплено $x$ кг краски. По условию израсходованные $32$ кг составляют $\\dfrac{1}{4}$ от $x$:
|
||
$$\\dfrac{1}{4}\\cdot x = 32.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Умножим обе части уравнения на $4$, чтобы найти $x$:
|
||
$$x = 32\\cdot 4 = 128\\text{ кг}.$$
|
||
<b>Проверка:</b> $\\dfrac{1}{4}\\cdot 128 = 32$ — совпадает с условием.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $128$ кг</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите наименьшее целое решение двойного неравенства $-12 < 2x - 6 \\leq 4$.`,
|
||
sol: `<b>Метод решения двойного неравенства:</b> выполняем одинаковые действия со всеми тремя частями (прибавлять, вычитать, умножать или делить на положительное число — знак сохраняется; на отрицательное — меняется).
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Прибавим $6$ ко всем трём частям:
|
||
$$-12+6 \\lt 2x-6+6 \\leq 4+6$$
|
||
$$-6 \\lt 2x \\leq 10$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Разделим все части на $2$ (положительное число, знак не меняется):
|
||
$$-3 \\lt x \\leq 5$$
|
||
<svg viewBox="0 0 260 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
|
||
<defs><marker id="v31t6" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
|
||
<line x1="8" y1="26" x2="252" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v31t6)"/>
|
||
<line x1="28" y1="22" x2="28" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="28" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
|
||
<line x1="53" y1="22" x2="53" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="53" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−2</text>
|
||
<line x1="103" y1="22" x2="103" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="103" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
|
||
<line x1="203" y1="22" x2="203" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="203" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">5</text>
|
||
<line x1="28" y1="26" x2="203" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.5"/>
|
||
<circle cx="28" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
|
||
<circle cx="203" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
|
||
<circle cx="53" cy="26" r="6" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="2.5"/>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 3.</b> Так как левое неравенство строгое, $x=-3$ не подходит. Наименьшее целое число, строго большее $-3$, — это $-2$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-2$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `$ABCD$ — прямоугольник с периметром $28$ см, у которого $AC = 10$ см.
|
||
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABD$.`,
|
||
sol: `<b>Шаг 1. Находим стороны прямоугольника.</b>
|
||
<br>Пусть $AB = a$, $AD = b$. Тогда:
|
||
$$2(a+b)=28 \\implies a+b=14$$
|
||
$$a^2+b^2 = AC^2 = 100$$
|
||
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \\implies 196 = 100+2ab \\implies ab=48$$
|
||
Из $a+b=14$, $ab=48$: решаем $t^2-14t+48=0 \\implies t=6$ или $t=8$.
|
||
Стороны: $AB=8$, $AD=6$ (или наоборот).
|
||
<svg viewBox="0 0 120 108" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:165px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
|
||
<rect x="18" y="22" width="72" height="54" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3"/>
|
||
<polygon points="18,76 90,76 18,22" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
|
||
<circle cx="34" cy="60" r="16" fill="rgba(22,163,74,0.15)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
|
||
<path d="M18,76 L26,76 L26,68 L18,68" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
|
||
<line x1="34" y1="60" x2="34" y2="76" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
|
||
<text x="5" y="80" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="93" y="80" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="93" y="20" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="5" y="20" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="48" y="90" font-size="10" fill="#334155">8 см</text>
|
||
<text x="2" y="53" font-size="10" fill="#334155">6</text>
|
||
<text x="36" y="55" font-size="10" fill="#16a34a">r</text>
|
||
<text x="58" y="48" font-size="10" fill="#475569">BD=10</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 2. Треугольник $ABD$.</b>
|
||
<br>В прямоугольнике $\\angle DAB=90°$, поэтому $\\triangle ABD$ — <b>прямоугольный</b> с прямым углом при $A$.
|
||
Катеты: $AB=8$, $AD=6$. Гипотенуза: $BD=AC=10$.
|
||
<br><b>Шаг 3. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:</b>
|
||
$$r = \\dfrac{AB + AD - BD}{2} = \\dfrac{8+6-10}{2} = \\dfrac{4}{2} = 2\\text{ см}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $r = 2$ см</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `При каких действительных значениях $a$ график функции $y = x^2 - 5x + 5a$
|
||
имеет с осью абсцисс единственную общую точку?`,
|
||
sol: `<b>Условие единственной общей точки параболы с осью $Ox$:</b> уравнение $y=0$ должно иметь ровно один корень. Для квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ это значит, что дискриминант $D = B^2-4AC$ равен нулю.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Точки пересечения графика с осью $Ox$ — это корни уравнения $y=0$, то есть:
|
||
$$x^2 - 5x + 5a = 0.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Чтобы было ровно одно решение, нужно $D=0$. Вычислим дискриминант ($A=1$, $B=-5$, $C=5a$):
|
||
$$D = (-5)^2 - 4\\cdot 1\\cdot 5a = 25 - 20a.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Приравниваем дискриминант к нулю и решаем:
|
||
$$25 - 20a = 0 \\;\\implies\\; 20a = 25 \\;\\implies\\; a = \\dfrac{25}{20} = \\dfrac{5}{4}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $a = \\dfrac{5}{4}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое наименьшее число членов прогрессии $32{,}5;\\; 37{,}5;\\; 42{,}5;\\; \\ldots$
|
||
нужно взять, чтобы их сумма была больше $2160$?`,
|
||
sol: `<b>Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\\cdot n$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Из условия $a_1=32{,}5$. Разность прогрессии $d = 37{,}5-32{,}5 = 5$.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Запишем формулу суммы:
|
||
$$S_n = \\dfrac{2\\cdot 32{,}5+(n-1)\\cdot 5}{2}\\cdot n = \\dfrac{65+5n-5}{2}\\cdot n = \\dfrac{n(60+5n)}{2}$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Запишем неравенство $S_n \\gt 2160$:
|
||
$$\\dfrac{n(60+5n)}{2} \\gt 2160$$
|
||
$$n(60+5n) \\gt 4320$$
|
||
$$5n^2+60n - 4320 \\gt 0$$
|
||
$$n^2+12n-864 \\gt 0$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Решаем квадратное уравнение $n^2+12n-864 = 0$:
|
||
$$D = 12^2+4\\cdot 864 = 144+3456 = 3600$$
|
||
$$\\sqrt{D} = 60,\\quad n = \\dfrac{-12+60}{2} = 24$$
|
||
Неравенство выполняется при $n \\gt 24$ (поскольку коэффициент при $n^2$ положителен и нас интересуют натуральные $n$).
|
||
<br><b>Шаг 5.</b> Проверим: при $n=24$ имеем $S_{24} = \\dfrac{24\\cdot(60+120)}{2} = \\dfrac{24\\cdot 180}{2} = 2160$ — равно, но нужно строго больше.
|
||
<br>При $n=25$: $S_{25} = \\dfrac{25\\cdot(60+125)}{2} = \\dfrac{25\\cdot 185}{2} = 2312{,}5 \\gt 2160$ ✓.
|
||
<br>Значит, наименьшее $n = 25$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: наименьшее число членов $= 25$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, $AB = CD$,
|
||
диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, угол $BAC$ равен углу $DAC$.
|
||
Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника $ACD$ равна $6$ см².`,
|
||
sol: `<b>Шаг 1. Находим угол при вершине $A$.</b>
|
||
<br>Пусть $\\angle DAC = \\angle BAC = \\alpha$. В прямоугольном $\\triangle ACD$ ($\\angle ACD=90°$):
|
||
$$\\angle DAC + \\angle ADC = 90° \\implies \\angle ADC = 90°-\\alpha$$
|
||
В равнобедренной трапеции ($AB=CD$) углы при основании $AD$ равны: $\\angle ADC = \\angle DAB$.
|
||
$$\\angle DAB = 2\\alpha \\implies 2\\alpha = 90°-\\alpha \\implies \\alpha = 30°$$
|
||
Значит, $\\angle DAB = \\angle ADC = 60°$.
|
||
<br><b>Шаг 2. Определяем размеры трапеции.</b>
|
||
<br>Треугольник $ACD$: $\\angle ACD=90°$, $\\angle DAC=30°$, $\\angle ADC=60°$ — это прямоугольный $30°$-$60°$-$90°$.
|
||
<br>Пусть $CD = a$. Тогда $AC = a\\sqrt{3}$, $AD = 2a$.
|
||
<svg viewBox="0 0 210 215" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<!-- Треугольник ACD — зелёный -->
|
||
<polygon points="20,185 125,124 160,185" fill="rgba(22,163,74,0.20)" stroke="none"/>
|
||
<!-- Треугольник ABC — синий -->
|
||
<polygon points="20,185 55,124 125,124" fill="rgba(37,99,235,0.15)" stroke="none"/>
|
||
<!-- Контур трапеции -->
|
||
<polygon points="20,185 55,124 125,124 160,185" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
|
||
<!-- Диагональ AC — красная -->
|
||
<line x1="20" y1="185" x2="125" y2="124" stroke="#dc2626" stroke-width="2.2"/>
|
||
<!-- Прямой угол при C: AC⊥CD -->
|
||
<polygon points="125,124 116,129 121,138 130,133" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.4"/>
|
||
<!-- Два равных дуговых угла при A (∠DAC = ∠BAC = 30°) -->
|
||
<path d="M 48 185 A 28 28 0 0 1 44 171" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.5"/>
|
||
<path d="M 44 171 A 28 28 0 0 1 34 161" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.5"/>
|
||
<!-- Засечки равенства на дугах -->
|
||
<line x1="45" y1="175" x2="49" y2="181" stroke="#475569" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="36" y1="163" x2="41" y2="168" stroke="#475569" stroke-width="2"/>
|
||
<!-- Дуга 60° при D -->
|
||
<path d="M 138 185 A 22 22 0 0 1 149 166" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.3"/>
|
||
<!-- Метки вершин -->
|
||
<text x="4" y="198" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
|
||
<text x="48" y="116" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
|
||
<text x="128" y="116" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
|
||
<text x="163" y="198" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
|
||
<!-- Метки углов -->
|
||
<text x="52" y="175" font-size="10" fill="#475569">30°</text>
|
||
<text x="38" y="161" font-size="10" fill="#475569">30°</text>
|
||
<text x="130" y="180" font-size="10" fill="#475569">60°</text>
|
||
<!-- Метка перпендикуляра -->
|
||
<text x="108" y="143" font-size="10" fill="#334155">90°</text>
|
||
<!-- Площади треугольников -->
|
||
<text x="102" y="168" font-size="13" fill="#15803d" font-weight="bold" text-anchor="middle">6 см²</text>
|
||
<text x="63" y="150" font-size="13" fill="#1d4ed8" font-weight="bold" text-anchor="middle">3 см²</text>
|
||
<!-- Подписи сторон -->
|
||
<text x="27" y="160" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
|
||
<text x="139" y="148" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
|
||
<text x="84" y="118" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
|
||
<text x="82" y="200" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">2a</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 3. Треугольник $ABC$.</b>
|
||
<br>В трапеции $AD\\|BC$, поэтому $\\angle DAB + \\angle ABC = 180°$, откуда $\\angle ABC = 120°$.
|
||
<br>В $\\triangle ABC$: $\\angle BAC=30°$, $\\angle ABC=120°$, значит $\\angle BCA = 180°-30°-120°=30°$.
|
||
<br>Поскольку $\\angle BAC = \\angle BCA = 30°$, треугольник $ABC$ — равнобедренный: $AB = BC = a$.
|
||
<br><b>Шаг 4. Площади.</b>
|
||
$$S_{ACD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot AC\\cdot CD = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\sqrt{3}\\cdot a = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} = 6$$
|
||
$$S_{ABC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot BC\\cdot\\sin(\\angle ABC) = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a\\cdot\\sin120° = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{1}{2}\\cdot6 = 3\\text{ см}^2$$
|
||
$$S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC} = 6 + 3 = 9\\text{ см}^2$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $9$ см²</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|