Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
173 lines
14 KiB
JavaScript
173 lines
14 KiB
JavaScript
VARIANTS[58] = {
|
||
label: "Вариант 58",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = -2$:`,
|
||
figure: `<img src="/img/exam9/v58_t1.png" class="task-fig" />`,
|
||
sol: `Уравнение $y = -2$ задаёт <b>постоянную функцию</b>. Граф — горизонтальная прямая через $(0;\\,-2)$. <div class="sol-ans">Ответ: горизонтальная прямая $y=-2$, параллельная оси $Ox$, проходящая через $(0;\\,-2)$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Определите, какой из данных одночленов записан в стандартном виде:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$-a \\cdot \\dfrac{1}{4} \\cdot b \\cdot c$"], ["б", "$5abcc$"], ["в", "$0{,}5a^7bc^2$"],
|
||
["г", "$0{,}35a^3b \\cdot 2c$"], ["д", "$a^4b \\cdot 2cb$"],
|
||
],
|
||
sol: `Стандартный вид: один коэффициент, каждая переменная один раз. в) $0{,}5a^7bc^2$ — ✓ <div class="sol-ans">Ответ: в) $0{,}5a^7bc^2$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$\\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$;"],
|
||
["б", "площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними;"],
|
||
["в", "сумма углов прямоугольника равна $300^{\\circ}$;"],
|
||
["г", "площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$?"],
|
||
],
|
||
sol: `Сумма углов четырёхугольника $=360^{\\circ}$, а не $300^{\\circ}$ — НЕВЕРНО. <div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Известно, что функция $y = f(x)$ нечётная и $f(-3) = 4$, $f(-5) = -8$.
|
||
Найдите значение выражения $f(3) + f(5)$.`,
|
||
sol: `Для нечётной функции $f(-x)=-f(x)$: $f(3)=-f(-3)=-4$; $f(5)=-f(-5)=8$. Сумма: $-4+8=4$. <div class="sol-ans">Ответ: $4$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Коробка конфет кондитерской фабрики «Спартак» стоит $15$ р. $50$ к.
|
||
Какое наибольшее количество коробок можно купить на $150$ р.?`,
|
||
sol: `<b>Метод составления неравенства по условию:</b> общая стоимость покупки не должна превосходить имеющейся суммы.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Переводим цену в рубли: $15$ р. $50$ к. $= 15{,}50$ р.<br>
|
||
<b>Шаг 2.</b> Пусть $n$ — число коробок. Стоимость $n$ коробок равна $15{,}50\\,n$ рублей. По условию её хватает на $150$ р., значит
|
||
$$15{,}50\\,n \\leq 150.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Делим обе части на положительное число $15{,}50$:
|
||
$$n \\leq \\dfrac{150}{15{,}50} = 9{,}677\\ldots$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Так как $n$ — натуральное (количество коробок), наибольшее значение $n=9$.<br>
|
||
<b>Шаг 5.</b> Проверим: $9\\cdot 15{,}50 = 139{,}50$ р. $\\leq 150$ р. — подходит; а $10\\cdot 15{,}50 = 155$ р. $\\gt 150$ р. — не подходит.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $9$ коробок</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Около квадрата, периметр которого равен $12$ см, описана окружность.
|
||
Найдите длину этой окружности.`,
|
||
sol: `<b>Формула периметра квадрата:</b> $P = 4a$.<br>
|
||
<b>Свойство описанной окружности:</b> у окружности, описанной около квадрата, диаметр равен диагонали квадрата, поэтому радиус $R = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{2}$, где $a$ — сторона квадрата.<br>
|
||
<b>Формула длины окружности:</b> $C = 2\\pi R$.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Находим сторону квадрата.</b><br>
|
||
$$P = 4a = 12 \\implies a = 3\\text{ см}.$$
|
||
<b>Шаг 2. Находим радиус описанной окружности.</b>
|
||
$$R = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{2}\\text{ см}.$$
|
||
<b>Шаг 3. Находим длину окружности.</b>
|
||
$$C = 2\\pi R = 2\\pi \\cdot \\dfrac{3\\sqrt{2}}{2} = 3\\pi\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
|
||
<svg viewBox="0 0 200 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<circle cx="100" cy="100" r="80" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
|
||
<rect x="43.43" y="43.43" width="113.14" height="113.14" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
|
||
<line x1="43.43" y1="43.43" x2="156.57" y2="156.57" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<line x1="100" y1="100" x2="156.57" y2="43.43" stroke="#dc2626" stroke-width="1.4"/>
|
||
<circle cx="100" cy="100" r="2.5" fill="#1e293b"/>
|
||
<text x="34" y="40" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="160" y="40" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="160" y="170" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="34" y="170" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="124" y="68" font-size="11" fill="#dc2626">R</text>
|
||
<text x="86" y="116" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
|
||
<text x="78" y="32" font-size="11" fill="#475569">a = 3</text>
|
||
</svg>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $C=3\\pi\\sqrt{2}$ см</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите наибольшее целое значение переменной, при котором сумма дробей
|
||
$\\dfrac{2x-1}{5}$ и $\\dfrac{3-4x}{7}$ неотрицательна.`,
|
||
sol: `<b>Метод решения линейного неравенства с дробями:</b> приводим к общему знаменателю, домножаем на положительное число (знак не меняется), решаем.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> «Неотрицательна» значит «не меньше нуля», то есть $\\geq 0$. Записываем:
|
||
$$\\dfrac{2x-1}{5} + \\dfrac{3-4x}{7} \\geq 0.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Приводим к общему знаменателю $35$:
|
||
$$\\dfrac{7(2x-1) + 5(3-4x)}{35} \\geq 0.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки в числителе:
|
||
$$\\dfrac{14x-7+15-20x}{35} \\geq 0 \\iff \\dfrac{-6x+8}{35} \\geq 0.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Так как $35\\gt 0$, неравенство равносильно тому, что числитель $\\geq 0$:
|
||
$$-6x+8 \\geq 0 \\iff -6x \\geq -8 \\iff x \\leq \\dfrac{4}{3}$$
|
||
(при делении на отрицательное число $-6$ знак меняется).<br>
|
||
<b>Шаг 5.</b> Наибольшее целое $x$, удовлетворяющее $x\\leq \\dfrac{4}{3}\\approx 1{,}33$, — это $x=1$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Упростите выражение
|
||
$\\left(\\dfrac{18}{5-\\sqrt{7}} - \\dfrac{44}{7-\\sqrt{5}} - \\dfrac{2}{\\sqrt{7}+\\sqrt{5}}\\right)^{\\!2}$.`,
|
||
sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, используя формулу $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $5-\\sqrt{7}$ — это $5+\\sqrt{7}$:
|
||
$$\\dfrac{18}{5-\\sqrt{7}} = \\dfrac{18(5+\\sqrt{7})}{25-7} = \\dfrac{18(5+\\sqrt{7})}{18} = 5+\\sqrt{7}.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $7-\\sqrt{5}$ — это $7+\\sqrt{5}$:
|
||
$$\\dfrac{44}{7-\\sqrt{5}} = \\dfrac{44(7+\\sqrt{5})}{49-5} = \\dfrac{44(7+\\sqrt{5})}{44} = 7+\\sqrt{5}.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Преобразуем третью дробь. Сопряжённое к $\\sqrt{7}+\\sqrt{5}$ — это $\\sqrt{7}-\\sqrt{5}$:
|
||
$$\\dfrac{2}{\\sqrt{7}+\\sqrt{5}} = \\dfrac{2(\\sqrt{7}-\\sqrt{5})}{7-5} = \\dfrac{2(\\sqrt{7}-\\sqrt{5})}{2} = \\sqrt{7}-\\sqrt{5}.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Подставляем и приводим подобные:
|
||
$$(5+\\sqrt{7})-(7+\\sqrt{5})-(\\sqrt{7}-\\sqrt{5}) = 5+\\sqrt{7}-7-\\sqrt{5}-\\sqrt{7}+\\sqrt{5} = -2.$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Возводим в квадрат: $(-2)^2 = 4$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $4$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята некоторая точка $M$.
|
||
Отрезок $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$.
|
||
Площади треугольников $MCK$ и $DCK$ равны соответственно $4$ см² и $6$ см².
|
||
Найдите площадь параллелограмма.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 280 170" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<polygon points="30,140 50,40 250,40 230,140" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
|
||
<line x1="30" y1="140" x2="250" y2="40" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<line x1="230" y1="140" x2="117" y2="40" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
|
||
<polygon points="117,40 250,40 162,80" fill="rgba(220,38,38,0.18)" stroke="none"/>
|
||
<polygon points="230,140 250,40 162,80" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="none"/>
|
||
<circle cx="117" cy="40" r="3.5" fill="#dc2626"/>
|
||
<circle cx="162" cy="80" r="3.5" fill="#16a34a"/>
|
||
<text x="18" y="155" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="42" y="34" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="252" y="34" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="234" y="155" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="110" y="34" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
|
||
<text x="166" y="78" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">K</text>
|
||
<text x="195" y="58" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">4</text>
|
||
<text x="215" y="102" font-size="11" fill="#16a34a" font-weight="bold">6</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Используемые факты:</b>
|
||
<ul>
|
||
<li>Треугольники с общей вершиной и основаниями на одной прямой относятся как длины оснований.</li>
|
||
<li>Признак подобия по двум углам.</li>
|
||
<li>Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту: $S = a \\cdot h$.</li>
|
||
</ul>
|
||
<b>Шаг 1. Отношение $MK : KD$.</b><br>
|
||
Треугольники $MCK$ и $DCK$ имеют общую вершину $C$, а их основания $MK$ и $KD$ лежат на одной прямой $DM$. Значит, их площади относятся как длины оснований:
|
||
$$\\dfrac{S_{MCK}}{S_{DCK}} = \\dfrac{MK}{KD} = \\dfrac{4}{6} = \\dfrac{2}{3}.$$
|
||
<b>Шаг 2. Подобие $\\triangle CKM \\sim \\triangle AKD$.</b><br>
|
||
Так как $BC \\parallel AD$, то $\\angle KCM = \\angle KAD$ (накрест лежащие при секущей $AC$), а $\\angle CKM = \\angle AKD$ (вертикальные). По признаку подобия по двум углам:
|
||
$$\\dfrac{CM}{AD} = \\dfrac{KM}{KD} = \\dfrac{2}{3} \\implies CM = \\dfrac{2}{3} AD.$$
|
||
<b>Шаг 3. Площадь $\\triangle CDM$.</b>
|
||
$$S_{CDM} = S_{MCK} + S_{DCK} = 4 + 6 = 10\\text{ см}^2.$$
|
||
<b>Шаг 4. Связь с высотой параллелограмма.</b><br>
|
||
Пусть $h$ — высота параллелограмма, опущенная на $BC$ (она же высота $\\triangle CDM$ из вершины $D$):
|
||
$$S_{CDM} = \\dfrac{1}{2} \\cdot CM \\cdot h = \\dfrac{1}{2} \\cdot \\dfrac{2}{3} AD \\cdot h = \\dfrac{1}{3} AD \\cdot h.$$
|
||
Значит, $AD \\cdot h = 3 \\cdot 10 = 30$.<br>
|
||
<b>Шаг 5. Площадь параллелограмма.</b>
|
||
$$S_{ABCD} = AD \\cdot h = 30\\text{ см}^2.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $30$ см²</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Решите систему уравнений
|
||
$$\\begin{cases} xy - x - y = 5, \\\\[4pt] x^2 + y^2 - x - y = 18. \\end{cases}$$`,
|
||
sol: `<b>Тождество:</b> $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, поэтому $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.<br>
|
||
<b>Обратная теорема Виета:</b> если $x + y = s$ и $xy = p$, то $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - st + p = 0$.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Замена $s = x + y$.</b><br>
|
||
Из первого уравнения: $xy - s = 5 \\implies xy = s + 5$.<br>
|
||
Из второго уравнения: $x^2 + y^2 - s = 18 \\implies x^2 + y^2 = s + 18$.<br>
|
||
<b>Шаг 2. Применяем тождество.</b>
|
||
$$x^2 + y^2 = s^2 - 2xy \\implies s + 18 = s^2 - 2(s+5).$$
|
||
<b>Шаг 3. Получаем квадратное уравнение относительно $s$.</b>
|
||
$$s + 18 = s^2 - 2s - 10 \\implies s^2 - 3s - 28 = 0.$$
|
||
Дискриминант: $D = 9 + 112 = 121 = 11^2$, корни $s_1 = 7,\\; s_2 = -4$.<br>
|
||
<b>Шаг 4. Случай 1: $s = 7$.</b><br>
|
||
Тогда $xy = 7 + 5 = 12$. По обратной теореме Виета $x, y$ — корни $t^2 - 7t + 12 = 0$, то есть $t = 3$ или $t = 4$.<br>
|
||
Получаем $(x; y) = (3; 4)$ или $(4; 3)$.<br>
|
||
Проверка: $3 \\cdot 4 - 3 - 4 = 12 - 7 = 5$ ✓; $9 + 16 - 7 = 18$ ✓.<br>
|
||
<b>Шаг 5. Случай 2: $s = -4$.</b><br>
|
||
Тогда $xy = -4 + 5 = 1$. По обратной теореме Виета $x, y$ — корни $t^2 + 4t + 1 = 0$.<br>
|
||
Дискриминант: $D = 16 - 4 = 12$, корни $t = \\dfrac{-4 \\pm 2\\sqrt{3}}{2} = -2 \\pm \\sqrt{3}$.<br>
|
||
Получаем $(x; y) = (-2 + \\sqrt{3};\\, -2 - \\sqrt{3})$ или $(-2 - \\sqrt{3};\\, -2 + \\sqrt{3})$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $(3;\\,4),\\ (4;\\,3),\\ (-2+\\sqrt{3};\\,-2-\\sqrt{3}),\\ (-2-\\sqrt{3};\\,-2+\\sqrt{3})$</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|