Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
185 lines
16 KiB
JavaScript
185 lines
16 KiB
JavaScript
VARIANTS[61] = {
|
||
label: "Вариант 61",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите, какое из данных уравнений является приведённым:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$4x^2 + x = 0$"], ["б", "$2 - 4x - 3x^2 = 0$"], ["в", "$x^2 - 3x + 2 = 0$"],
|
||
["г", "$3x + 2 = 0$"], ["д", "$-x^2 - 3x + 4 = 0$"],
|
||
],
|
||
sol: `<b>Приведённое квадратное уравнение</b> — это уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, у которого коэффициент при $x^2$ равен $1$.<br>
|
||
Проверим варианты:
|
||
<ul>
|
||
<li>а) $4x^2 + x = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $4$;</li>
|
||
<li>б) $2 - 4x - 3x^2 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-3$;</li>
|
||
<li>в) $x^2 - 3x + 2 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $1$ — <b>приведённое</b>;</li>
|
||
<li>г) $3x + 2 = 0$ — линейное, не квадратное;</li>
|
||
<li>д) $-x^2 - 3x + 4 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-1$.</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в) $x^2 - 3x + 2 = 0$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из данных выражений равно выражению $\\dfrac{\\sqrt{16}}{2}$:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$\\sqrt{8}$"], ["б", "$8$"], ["в", "$\\sqrt{2}$"], ["г", "$2$"], ["д", "$4$"],
|
||
],
|
||
sol: `Вычислим: $\\sqrt{16} = 4$, тогда
|
||
$$\\dfrac{\\sqrt{16}}{2} = \\dfrac{4}{2} = 2.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г) $2$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "острый угол больше $0^{\\circ}$ и меньше $90^{\\circ}$;"],
|
||
["б", "если $\\alpha$ — острый угол, то $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$;"],
|
||
["в", "центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы;"],
|
||
["г", "в любом параллелограмме все углы равны между собой?"],
|
||
],
|
||
sol: `Разберём утверждения:
|
||
<ul>
|
||
<li>а) определение острого угла — <b>верно</b>;</li>
|
||
<li>б) основное тригонометрическое тождество — <b>верно</b>;</li>
|
||
<li>в) свойство описанной около прямоугольного треугольника окружности — <b>верно</b>;</li>
|
||
<li>г) в произвольном параллелограмме противолежащие углы равны, но соседние углы в общем случае различны (равенство всех углов выполняется только в прямоугольнике) — <b>не верно</b>.</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г).</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите наименьшее целое решение неравенства $\\dfrac{5}{x-1} \\geq 0$.`,
|
||
sol: `Числитель $5 > 0$, поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя.<br>
|
||
Дробь определена при $x \\ne 1$. Условие $\\dfrac{5}{x-1} \\geq 0$ выполняется, когда
|
||
$$x - 1 > 0 \\;\\Longleftrightarrow\\; x > 1.$$
|
||
Целые числа, удовлетворяющие неравенству $x > 1$: $2,\\;3,\\;4,\\;\\ldots$<br>
|
||
Наименьшее из них — $2$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $2$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Сократите дробь $\\dfrac{4x^2 - 9y^2}{2x - 3y}$ и найдите её значение, если $x = 0{,}5$, $y = \\dfrac{2}{3}$.`,
|
||
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Раскладываем числитель.</b><br>
|
||
Заметим, что $4x^2 = (2x)^2$ и $9y^2 = (3y)^2$, значит числитель — разность квадратов:
|
||
$$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y).$$
|
||
<b>Шаг 2. Сокращаем дробь.</b><br>
|
||
В числителе и знаменателе есть общий множитель $(2x - 3y)$:
|
||
$$\\dfrac{(2x - 3y)(2x + 3y)}{2x - 3y} = 2x + 3y, \\quad 2x \\neq 3y.$$
|
||
<b>Шаг 3. Подставляем значения $x = 0{,}5$, $y = \\dfrac{2}{3}$.</b>
|
||
$$2 \\cdot 0{,}5 + 3 \\cdot \\dfrac{2}{3} = 1 + 2 = 3.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $2x + 3y$; значение равно $3$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В параллелограмме $ABCD$ углы $BAC$ и $DAC$ равны $45^{\\circ}$ и $30^{\\circ}$ соответственно, $AB = 6$ см. Найдите длину стороны $BC$.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 320 200" width="320" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto">
|
||
<defs>
|
||
<marker id="v61t6arr" markerWidth="6" markerHeight="6" refX="5" refY="3" orient="auto">
|
||
<path d="M0,0 L6,3 L0,6 z" fill="#333"/>
|
||
</marker>
|
||
</defs>
|
||
<polygon points="40,160 110,40 290,40 220,160" fill="none" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="40" y1="160" x2="290" y2="40" stroke="#1f6feb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<text x="28" y="174" font-size="14">A</text>
|
||
<text x="100" y="34" font-size="14">B</text>
|
||
<text x="290" y="34" font-size="14">C</text>
|
||
<text x="222" y="174" font-size="14">D</text>
|
||
<text x="78" y="138" font-size="12" fill="#b00">45°</text>
|
||
<text x="80" y="158" font-size="12" fill="#b00">30°</text>
|
||
<text x="60" y="100" font-size="12">6</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Теорема синусов:</b> в треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:
|
||
$$\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B} = \\dfrac{c}{\\sin C}.$$
|
||
<b>Свойство параллельных прямых:</b> при пересечении секущей накрест лежащие углы равны.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Находим $\\angle BCA$.</b><br>
|
||
В параллелограмме $BC \\parallel AD$, а $AC$ — секущая. Углы $\\angle BCA$ и $\\angle DAC$ накрест лежащие, значит
|
||
$$\\angle BCA = \\angle DAC = 30^{\\circ}.$$
|
||
<b>Шаг 2. Записываем известное в $\\triangle ABC$.</b><br>
|
||
$\\angle BAC = 45^{\\circ}$, $\\angle BCA = 30^{\\circ}$, $AB = 6$ — сторона, противолежащая углу $\\angle BCA$.<br>
|
||
Сторона $BC$ противолежит углу $\\angle BAC$.<br>
|
||
<b>Шаг 3. Применяем теорему синусов.</b>
|
||
$$\\dfrac{AB}{\\sin\\angle BCA} = \\dfrac{BC}{\\sin\\angle BAC},$$
|
||
$$\\dfrac{6}{\\sin 30^{\\circ}} = \\dfrac{BC}{\\sin 45^{\\circ}}.$$
|
||
<b>Шаг 4. Подставляем табличные значения $\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$ и $\\sin 45^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$.</b>
|
||
$$BC = \\dfrac{6 \\sin 45^{\\circ}}{\\sin 30^{\\circ}} = \\dfrac{6 \\cdot \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}}{\\tfrac{1}{2}} = 6\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $BC = 6\\sqrt{2}$ см.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `График функции $f(x) = kx + b$ изображён на рисунке.
|
||
Используя график функции, найдите $k$ и $b$.
|
||
Запишите формулу функции $y = f(x)$.`,
|
||
figure: `<img src="/img/exam9/v61_t7.png" class="task-fig" />`,
|
||
sol: `<b>Метод (по графику):</b>
|
||
<ul>
|
||
<li>Свободный коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$ (значение $y$ при $x = 0$).</li>
|
||
<li>Угловой коэффициент $k$ находится по двум точкам $(x_1;\\,y_1)$ и $(x_2;\\,y_2)$ графика по формуле
|
||
$$k = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$</li>
|
||
<li>После нахождения $k$ и $b$ записываем формулу $y = kx + b$.</li>
|
||
</ul>
|
||
Например, если на графике видно, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\\,b)$ и проходит через точку $(x_1;\\,y_1)$, то
|
||
$$k = \\dfrac{y_1 - b}{x_1 - 0},\\qquad f(x) = kx + b.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ определяются по графику указанным способом.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В геометрической прогрессии произведение третьего и десятого членов равно $120$.
|
||
Чему равно произведение одиннадцатого и второго членов этой прогрессии?`,
|
||
sol: `<b>Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:</b>
|
||
$$b_n = b_1 \\cdot q^{n-1},$$
|
||
где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Записываем произведение двух членов с номерами $p$ и $q$.</b>
|
||
$$b_p \\cdot b_q = b_1 q^{p-1} \\cdot b_1 q^{q-1} = b_1^2 \\cdot q^{p+q-2}.$$
|
||
<b>Шаг 2. Делаем вывод о произведении.</b><br>
|
||
Произведение зависит только от суммы номеров $p + q$. Значит, если $p + q = r + s$, то
|
||
$$b_p \\cdot b_q = b_r \\cdot b_s.$$
|
||
<b>Шаг 3. Сравниваем суммы номеров.</b><br>
|
||
Для пары $(3, 10)$: сумма $3 + 10 = 13$.<br>
|
||
Для пары $(2, 11)$: сумма $2 + 11 = 13$.<br>
|
||
Суммы равны, значит и произведения равны:
|
||
$$b_2 \\cdot b_{11} = b_3 \\cdot b_{10} = 120.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $120$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `На изготовление комплекта деталей для холодильной установки бригада затратила $\\dfrac{2}{5}$ часа
|
||
и выпустила за $8$-часовую смену $640$ деталей. Сколько деталей выпустит бригада за смену,
|
||
если время на изготовление комплекта деталей будет равно $\\dfrac{4}{15}$ часа?`,
|
||
sol: `<b>Метод решения задачи по действиям:</b> постепенно находим число комплектов, число деталей в одном комплекте, а затем общее количество деталей.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Находим, сколько комплектов бригада выпускала за смену в первом случае. Делим всё время смены на время одного комплекта (по правилу деления на дробь — умножаем на обратную):
|
||
$$8 : \\dfrac{2}{5} = 8 \\cdot \\dfrac{5}{2} = 20\\text{ комплектов}.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Находим, сколько деталей в одном комплекте. По условию за смену выпущено $640$ деталей, всего $20$ комплектов:
|
||
$$640 : 20 = 32\\text{ детали в комплекте}.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Находим, сколько комплектов будет выпущено за смену при новой норме времени $\\dfrac{4}{15}$ часа:
|
||
$$8 : \\dfrac{4}{15} = 8 \\cdot \\dfrac{15}{4} = 30\\text{ комплектов}.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Так как в каждом комплекте по $32$ детали, общее количество деталей:
|
||
$$30 \\cdot 32 = 960\\text{ деталей}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $960$ деталей.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В угол $A$ вписана окружность с радиусом $6$ см и центром в точке $O_1$.
|
||
Расстояние от центра этой окружности до вершины угла равно $30$ см.
|
||
Найдите радиус меньшей окружности с центром в точке $O_2$,
|
||
которая касается сторон данного угла и данной окружности.`,
|
||
figure: `<img src="/img/exam9/v61_t10.png" class="task-fig" />`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 360 220" width="360" height="220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto">
|
||
<line x1="20" y1="110" x2="350" y2="35" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="20" y1="110" x2="350" y2="185" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="20" y1="110" x2="350" y2="110" stroke="#888" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<circle cx="220" cy="110" r="40" fill="none" stroke="#b00" stroke-width="2"/>
|
||
<circle cx="220" cy="110" r="2" fill="#b00"/>
|
||
<text x="226" y="106" font-size="13" fill="#b00">O₁</text>
|
||
<text x="240" y="130" font-size="12" fill="#b00">R = 6</text>
|
||
<circle cx="120" cy="110" r="22" fill="none" stroke="#0a0" stroke-width="2"/>
|
||
<circle cx="120" cy="110" r="2" fill="#0a0"/>
|
||
<text x="124" y="106" font-size="13" fill="#0a0">O₂</text>
|
||
<text x="104" y="142" font-size="12" fill="#0a0">r</text>
|
||
<text x="8" y="115" font-size="14">A</text>
|
||
</svg>
|
||
Центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла $A$. Пусть $\\angle A = 2\\alpha$.<br>
|
||
Из прямоугольного треугольника, образованного вершиной $A$, центром $O_1$ и точкой касания окружности со стороной угла:
|
||
$$\\sin\\alpha = \\dfrac{R}{AO_1} = \\dfrac{6}{30} = \\dfrac{1}{5}.$$
|
||
Аналогично для меньшей окружности радиуса $r$ с центром $O_2$:
|
||
$$\\sin\\alpha = \\dfrac{r}{AO_2} \\;\\Longrightarrow\\; AO_2 = \\dfrac{r}{\\sin\\alpha} = 5r.$$
|
||
Окружности касаются внешним образом, $O_2$ лежит между $A$ и $O_1$, поэтому
|
||
$$O_1 O_2 = R + r,\\qquad O_1 O_2 = AO_1 - AO_2 = 30 - 5r.$$
|
||
Получаем уравнение:
|
||
$$30 - 5r = 6 + r \\;\\Longrightarrow\\; 6r = 24 \\;\\Longrightarrow\\; r = 4\\;\\text{см}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $r = 4$ см.</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|