Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
177 lines
15 KiB
JavaScript
177 lines
15 KiB
JavaScript
VARIANTS[62] = {
|
||
label: "Вариант 62",
|
||
tasks: [
|
||
{ // V62_MARKER
|
||
text: `Определите, какое из данных уравнений является приведённым:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$2x^2 + x = 0$"], ["б", "$3 - 4x - 2x^2 = 0$"], ["в", "$x^2 - 4x - 12 = 0$"],
|
||
["г", "$3x - 7 = 0$"], ["д", "$-x^2 - 5x + 6 = 0$"],
|
||
],
|
||
sol: `<b>Приведённое квадратное уравнение</b> — это уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, у которого коэффициент при $x^2$ равен $1$.<br>
|
||
Проверим варианты:
|
||
<ul>
|
||
<li>а) $2x^2 + x = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $2$;</li>
|
||
<li>б) $3 - 4x - 2x^2 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-2$;</li>
|
||
<li>в) $x^2 - 4x - 12 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $1$ — <b>приведённое</b>;</li>
|
||
<li>г) $3x - 7 = 0$ — линейное, не квадратное;</li>
|
||
<li>д) $-x^2 - 5x + 6 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-1$.</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в) $x^2 - 4x - 12 = 0$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из данных выражений равно выражению $\\dfrac{\\sqrt{36}}{2}$:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$\\sqrt{3}$"], ["б", "$2\\sqrt{3}$"], ["в", "$\\dfrac{\\sqrt{6}}{2}$"], ["г", "$3$"], ["д", "$3\\sqrt{2}$"],
|
||
],
|
||
sol: `Вычислим: $\\sqrt{36} = 6$, тогда
|
||
$$\\dfrac{\\sqrt{36}}{2} = \\dfrac{6}{2} = 3.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г) $3$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "тупой угол больше $90^{\\circ}$ и меньше $180^{\\circ}$;"],
|
||
["б", "если $\\alpha$ — острый угол, то $\\operatorname{tg}\\alpha \\cdot \\operatorname{ctg}\\alpha = 1$;"],
|
||
["в", "радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы;"],
|
||
["г", "в любом параллелограмме все стороны равны между собой?"],
|
||
],
|
||
sol: `Разберём утверждения:
|
||
<ul>
|
||
<li>а) определение тупого угла — <b>верно</b>;</li>
|
||
<li>б) $\\operatorname{tg}\\alpha \\cdot \\operatorname{ctg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\cdot\\dfrac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = 1$ — <b>верно</b>;</li>
|
||
<li>в) свойство описанной около прямоугольного треугольника окружности — <b>верно</b>;</li>
|
||
<li>г) в произвольном параллелограмме противолежащие стороны равны, но соседние стороны в общем случае различны (все стороны равны только в ромбе) — <b>не верно</b>.</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г).</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите наибольшее целое решение неравенства $\\dfrac{5}{x+1} \\leq 0$.`,
|
||
sol: `Числитель $5 > 0$, поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя.<br>
|
||
Дробь определена при $x \\ne -1$. Условие $\\dfrac{5}{x+1} \\leq 0$ выполняется, когда
|
||
$$x + 1 < 0 \\;\\Longleftrightarrow\\; x < -1.$$
|
||
Целые числа, удовлетворяющие неравенству $x < -1$: $\\ldots,\\;-4,\\;-3,\\;-2$.<br>
|
||
Наибольшее из них — $-2$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-2$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Сократите дробь $\\dfrac{x^2 - 16y^2}{x - 4y}$ и найдите её значение, если $x = 1$, $y = \\dfrac{1}{2}$.`,
|
||
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Раскладываем числитель.</b><br>
|
||
Так как $16y^2 = (4y)^2$, числитель — разность квадратов:
|
||
$$x^2 - 16y^2 = x^2 - (4y)^2 = (x - 4y)(x + 4y).$$
|
||
<b>Шаг 2. Сокращаем дробь на общий множитель $(x - 4y)$.</b>
|
||
$$\\dfrac{(x - 4y)(x + 4y)}{x - 4y} = x + 4y, \\quad x \\neq 4y.$$
|
||
<b>Шаг 3. Подставляем $x = 1$, $y = \\dfrac{1}{2}$.</b>
|
||
$$1 + 4 \\cdot \\dfrac{1}{2} = 1 + 2 = 3.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $x + 4y$; значение равно $3$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В параллелограмме $ABCD$ углы $BAC$ и $DAC$ равны $30^{\\circ}$ и $45^{\\circ}$ соответственно, $AD = 8$ см. Найдите длину стороны $AB$.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 320 200" width="320" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto">
|
||
<polygon points="40,160 110,40 290,40 220,160" fill="none" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="40" y1="160" x2="290" y2="40" stroke="#1f6feb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<text x="28" y="174" font-size="14">A</text>
|
||
<text x="100" y="34" font-size="14">B</text>
|
||
<text x="290" y="34" font-size="14">C</text>
|
||
<text x="222" y="174" font-size="14">D</text>
|
||
<text x="78" y="138" font-size="12" fill="#b00">30°</text>
|
||
<text x="80" y="158" font-size="12" fill="#b00">45°</text>
|
||
<text x="220" y="100" font-size="12">8</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Теорема синусов:</b> стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.<br>
|
||
<b>Свойство параллелограмма:</b> противоположные стороны равны и параллельны.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Находим $\\angle BCA$.</b><br>
|
||
$BC \\parallel AD$, $AC$ — секущая. Накрест лежащие углы равны:
|
||
$$\\angle BCA = \\angle DAC = 45^{\\circ}.$$
|
||
<b>Шаг 2. Записываем известное в $\\triangle ABC$.</b><br>
|
||
$\\angle BAC = 30^{\\circ}$, $\\angle BCA = 45^{\\circ}$. Так как $BC = AD = 8$ см (противоположные стороны параллелограмма равны), сторона $BC = 8$ напротив угла $\\angle BAC$.<br>
|
||
Искомая сторона $AB$ — напротив $\\angle BCA$.<br>
|
||
<b>Шаг 3. По теореме синусов.</b>
|
||
$$\\dfrac{AB}{\\sin\\angle BCA} = \\dfrac{BC}{\\sin\\angle BAC},$$
|
||
$$\\dfrac{AB}{\\sin 45^{\\circ}} = \\dfrac{8}{\\sin 30^{\\circ}}.$$
|
||
<b>Шаг 4. Подставляем $\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$, $\\sin 45^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$.</b>
|
||
$$AB = \\dfrac{8 \\sin 45^{\\circ}}{\\sin 30^{\\circ}} = \\dfrac{8 \\cdot \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}}{\\tfrac{1}{2}} = 8\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $AB = 8\\sqrt{2}$ см.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `График функции $f(x) = kx + b$ изображён на рисунке.
|
||
Используя график функции, найдите $k$ и $b$.
|
||
Запишите формулу функции $y = f(x)$.`,
|
||
figure: `<img src="/img/exam9/v62_t7.png" class="task-fig" />`,
|
||
sol: `<b>Метод (по графику):</b>
|
||
<ul>
|
||
<li>Свободный коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$ (значение $y$ при $x = 0$).</li>
|
||
<li>Угловой коэффициент $k$ находится по двум точкам $(x_1;\\,y_1)$ и $(x_2;\\,y_2)$ графика по формуле
|
||
$$k = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$</li>
|
||
<li>После нахождения $k$ и $b$ записываем формулу $y = kx + b$.</li>
|
||
</ul>
|
||
Например, если на графике видно, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\\,b)$ и проходит через точку $(x_1;\\,y_1)$, то
|
||
$$k = \\dfrac{y_1 - b}{x_1 - 0},\\qquad f(x) = kx + b.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ определяются по графику указанным способом.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В геометрической прогрессии произведение четвёртого и двенадцатого членов равно $200$.
|
||
Чему равно произведение второго и четырнадцатого членов этой прогрессии?`,
|
||
sol: `<b>Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:</b>
|
||
$$b_n = b_1 \\cdot q^{n-1}.$$
|
||
<b>Шаг 1. Записываем произведение двух членов.</b>
|
||
$$b_p \\cdot b_q = b_1 q^{p-1} \\cdot b_1 q^{q-1} = b_1^2 \\cdot q^{p+q-2}.$$
|
||
<b>Шаг 2. Свойство.</b><br>
|
||
Произведение зависит только от суммы номеров. Значит, если $p + q = r + s$, то
|
||
$$b_p \\cdot b_q = b_r \\cdot b_s.$$
|
||
<b>Шаг 3. Сравниваем суммы.</b><br>
|
||
Для $(4, 12)$: $4 + 12 = 16$.<br>
|
||
Для $(2, 14)$: $2 + 14 = 16$.<br>
|
||
Суммы совпадают, поэтому
|
||
$$b_2 \\cdot b_{14} = b_4 \\cdot b_{12} = 200.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $200$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `На изготовление комплекта деталей для автопогрузчика бригада затратила $\\dfrac{1}{4}$ часа
|
||
и выпустила за $8$-часовую смену $480$ деталей. Сколько деталей выпустит бригада за смену,
|
||
если время на изготовление комплекта деталей будет равно $\\dfrac{4}{17}$ часа?`,
|
||
sol: `<b>Метод решения задачи по действиям:</b> находим число комплектов за смену, число деталей в одном комплекте, а затем общее количество деталей при новой норме.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Находим, сколько комплектов выпускалось за смену в первом случае. Делим время смены на время одного комплекта (по правилу деления на дробь — умножаем на обратную):
|
||
$$8 : \\dfrac{1}{4} = 8 \\cdot 4 = 32\\text{ комплекта}.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Находим, сколько деталей в одном комплекте. По условию за смену выпущено $480$ деталей, всего $32$ комплекта:
|
||
$$480 : 32 = 15\\text{ деталей в комплекте}.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Находим, сколько комплектов будет выпущено за смену при новой норме $\\dfrac{4}{17}$ часа:
|
||
$$8 : \\dfrac{4}{17} = 8 \\cdot \\dfrac{17}{4} = 34\\text{ комплекта}.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Так как в каждом комплекте по $15$ деталей, общее количество деталей за смену:
|
||
$$34 \\cdot 15 = 510\\text{ деталей}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $510$ деталей.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В угол $A$ вписана окружность с радиусом $8$ см и центром в точке $O_1$.
|
||
Расстояние от центра этой окружности до вершины угла равно $40$ см.
|
||
Найдите радиус большей окружности с центром в точке $O_2$,
|
||
которая касается сторон данного угла и данной окружности.`,
|
||
figure: `<img src="/img/exam9/v62_t10.png" class="task-fig" />`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 420 220" width="420" height="220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto">
|
||
<line x1="20" y1="110" x2="410" y2="35" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="20" y1="110" x2="410" y2="185" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="20" y1="110" x2="410" y2="110" stroke="#888" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<circle cx="190" cy="110" r="38" fill="none" stroke="#b00" stroke-width="2"/>
|
||
<circle cx="190" cy="110" r="2" fill="#b00"/>
|
||
<text x="196" y="106" font-size="13" fill="#b00">O₁</text>
|
||
<text x="200" y="128" font-size="12" fill="#b00">R=8</text>
|
||
<circle cx="340" cy="110" r="57" fill="none" stroke="#0a0" stroke-width="2"/>
|
||
<circle cx="340" cy="110" r="2" fill="#0a0"/>
|
||
<text x="346" y="106" font-size="13" fill="#0a0">O₂</text>
|
||
<text x="346" y="128" font-size="12" fill="#0a0">r</text>
|
||
<text x="8" y="115" font-size="14">A</text>
|
||
</svg>
|
||
Центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла $A$. Пусть $\\angle A = 2\\alpha$.<br>
|
||
Из прямоугольного треугольника, образованного вершиной $A$, центром $O_1$ и точкой касания:
|
||
$$\\sin\\alpha = \\dfrac{R}{AO_1} = \\dfrac{8}{40} = \\dfrac{1}{5}.$$
|
||
Для большей окружности радиуса $r$ с центром $O_2$ (лежит дальше от $A$, чем $O_1$):
|
||
$$\\sin\\alpha = \\dfrac{r}{AO_2} \\;\\Longrightarrow\\; AO_2 = 5r.$$
|
||
Окружности касаются внешним образом, $O_1$ лежит между $A$ и $O_2$, поэтому
|
||
$$O_1 O_2 = AO_2 - AO_1 = 5r - 40,\\qquad O_1 O_2 = R + r = 8 + r.$$
|
||
Получаем уравнение:
|
||
$$5r - 40 = 8 + r \\;\\Longrightarrow\\; 4r = 48 \\;\\Longrightarrow\\; r = 12\\;\\text{см}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $r = 12$ см.</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|