Maxim Dolgolyov
7990b33fd0
Пробник ЦТ по математике 2018, Вариант 1 (А1–А18 + В1–В12, В1 на соответствие) для трека exam-prep ctmath. Источник: чистый PDF ЦТ 2018.pdf. ВСЕ 30 ответов решены и сверены с официальной таблицей (стр.32, столбец Вариант 1) — полное совпадение, включая B8=-18, B9=-130 (двугранный угол), B11=32, B12=45 (координатный метод, PT=5/2). Фигурные/несогласованные (А3 точки, А9 графики→пути, А11 квадраты, В1/В2 функция по узлам, В8 экв. показательное, В10 множитель (6-x)² по ответу) реконструированы/адаптированы. VARIANT_LABEL 114 -> 'ЦТ-2018'. DRY-RUN 30/30, self-check и структурный KaTeX — зелёные. Запись в БД — пользователь: node backend/scripts/seed_ctmath_ct2018_v1.js --apply Co-Authored-By: Claude Opus 4.8 (1M context) <noreply@anthropic.com>
382 lines
34 KiB
JavaScript
382 lines
34 KiB
JavaScript
'use strict';
|
||
/* ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||
seed_ctmath_ct2018_v1.js
|
||
Чистый вариант-пробник для трека exam-prep `ctmath`.
|
||
|
||
Источник: Централизованное тестирование (ЦТ) по математике, 2018, Вариант 1.
|
||
Формат: Часть А = А1–А18 (закрытые, 5 вариантов), Часть В = В1–В12 (открытые,
|
||
В1 — на соответствие). Всего 30 заданий. Перенабрано вручную в KaTeX по PDF:
|
||
F:\!Рабочие\ЦТ\Математика\Математика\ЦТ-ЦЭ\ЦТ 2018.pdf (10 вариантов, табл. ответов стр.32–33).
|
||
|
||
⚠️ Ответы решены самостоятельно и СВЕРЕНЫ с официальной таблицей (столбец «Вариант 1»):
|
||
ВСЕ 30 совпали, включая B8=-18, B9=-130 (двугранный угол), B11=32, B12=45 (координатный
|
||
метод, PT=5/2). variant=114 (после ЦТ-2016 = 113).
|
||
|
||
Адаптации/реконструкции заданий-«с-картинкой» (смысл/ответ сохранены, авто-проверка):
|
||
• А3 (точки на прямой) → координаты точек заданы явно (противоположны $C$ и $A$);
|
||
• А9 (графики движения) → пройденные пути даны числами ($80$ и $35$ км → $2\tfrac27$);
|
||
• А11 (заштрихованная лестница в квадрате) → $12$ вырезанных квадратиков $x$ → $1-12x^{2}$;
|
||
• В1/В2 (функция/график) → данные функции заданы формулой/ломаной по узлам в тексте;
|
||
• В8 (громоздкое показательное, в скане несогласованно) → экв. уравнение $3^{x^2}5^{x^2}=15^3$
|
||
с тем же ответом ($-18$ = $6\cdot(-3)$, корни $\pm\sqrt3$);
|
||
• В10 (множитель $(6-x)^{2}$ восстановлен по официальному ответу $13$).
|
||
|
||
Идемпотентность: upsert по UNIQUE(exam_key, variant, task_idx).
|
||
Запуск:
|
||
node backend/scripts/seed_ctmath_ct2018_v1.js # DRY-RUN (по умолчанию)
|
||
node backend/scripts/seed_ctmath_ct2018_v1.js --apply # запись в БД
|
||
|
||
⚠️ Массовую запись в БД запускает ПОЛЬЗОВАТЕЛЬ вручную. Без --apply ничего не пишется.
|
||
─────────────────────────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
|
||
const { DatabaseSync } = require('node:sqlite');
|
||
const path = require('path');
|
||
|
||
const APPLY = process.argv.includes('--apply');
|
||
const EXAM = 'ctmath';
|
||
const VARIANT = 114;
|
||
const PROV = 'ЦТ–2018, Вариант 1';
|
||
const R = String.raw;
|
||
|
||
const L = ['а', 'б', 'в', 'г', 'д'];
|
||
const mc = (...html) => html.map((h, i) => [L[i], h]);
|
||
|
||
/* ── 30 заданий ─────────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
const TASKS = [
|
||
// ── Часть A: А1–А18 ──────────────────────────────────────────────────────
|
||
{ idx: 1, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
|
||
text: R`Сегодня в Лиде $24$ °C, а в Барановичах температура $t$ °C воздуха не ниже, чем в Лиде. Укажите верное соотношение для $t$.`,
|
||
opts: mc('$t>24$', '$t=23$', '$t\ge24$', '$t\le24$', '$t<24$'),
|
||
answer: 'в',
|
||
sol: R`«Не ниже $24$» означает «больше или равно $24$»: $t\ge24$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1' },
|
||
|
||
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 2,
|
||
text: R`Две окружности с центрами $A$ и $B$ касаются внешним образом в точке $C$. Точки $M$ и $K$ — концы их диаметров, лежащих на прямой $AB$ (в порядке $M,A,C,B,K$). Найдите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен $5$, а $MK=28$.`,
|
||
opts: mc('$9$', '$10$', '$14$', '$18$', '$8$'),
|
||
answer: 'а',
|
||
sol: R`$MK=2\cdot5+2R=28$, где $R$ — больший радиус, откуда $2R=18$, $R=9$.`,
|
||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 1' },
|
||
|
||
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
|
||
text: R`На координатной прямой отмечены точки $D(-3)$, $C(-2)$, $A(2)$, $B(5)$. Укажите точки, координаты которых являются противоположными числами.`,
|
||
opts: mc('$A$ и $D$', '$A$ и $C$', '$B$ и $D$', '$B$ и $C$', '$A$ и $B$'),
|
||
answer: 'б',
|
||
sol: R`Противоположные числа $-2$ и $2$ — это координаты точек $C$ и $A$.`,
|
||
ref: 'Латотин «Математика, 6 кл.», гл. 5' },
|
||
|
||
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
|
||
text: R`Из вершины угла $KMN$, градусная мера которого равна $170^\circ$, проведены два луча: $MP$, делящий угол пополам, и $MF$, делящий его в отношении $9:8$ (считая от стороны $MK$). Найдите градусную меру угла $FMP$.`,
|
||
opts: mc('$20^\circ$', '$17^\circ$', '$4^\circ$', '$10^\circ$', '$5^\circ$'),
|
||
answer: 'д',
|
||
sol: R`$\angle KMP=\dfrac{170^\circ}{2}=85^\circ$, $\angle KMF=170^\circ\cdot\dfrac{9}{17}=90^\circ$. Тогда $\angle FMP=90^\circ-85^\circ=5^\circ$.`,
|
||
ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 2' },
|
||
|
||
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 1,
|
||
text: R`Известно, что число $177$ является членом арифметической прогрессии $(a_n)$, заданной формулой $a_n=6n-3$. Найдите его номер.`,
|
||
opts: mc('$30$', '$29$', '$27$', '$26$', '$25$'),
|
||
answer: 'а',
|
||
sol: R`$6n-3=177$, $6n=180$, $n=30$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
|
||
|
||
{ idx: 6, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
|
||
text: R`Вычислите $8^{\,1+\log_{8}6}$.`,
|
||
opts: mc('$6$', '$14$', '$24$', '$48$', '$56$'),
|
||
answer: 'г',
|
||
sol: R`$8^{\,1+\log_{8}6}=8\cdot8^{\log_{8}6}=8\cdot6=48$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3' },
|
||
|
||
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 1,
|
||
text: R`Укажите уравнение прямой, проходящей через точку $A(5;9)$ параллельно оси абсцисс.`,
|
||
opts: mc('$x=5$', '$y=5$', '$y=9$', '$x=9$', '$5x+9y=0$'),
|
||
answer: 'в',
|
||
sol: R`Прямая, параллельная оси абсцисс, горизонтальна, поэтому имеет вид $y=b$. Через точку $A(5;9)$ проходит прямая $y=9$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 5' },
|
||
|
||
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 2,
|
||
text: R`Для одночлена $-5c^{3}\cdot3c^{2}y$ укажите номер верного утверждения.`,
|
||
opts: mc('стандартный вид одночлена — $-15c^{5}y$', 'значение при $c=-1$, $y=-1$ равно $15$', 'при делении на $3$ получится $-c^{5}y$', 'коэффициент одночлена равен $-5$', 'степень одночлена равна $5$'),
|
||
answer: 'а',
|
||
sol: R`$-5c^{3}\cdot3c^{2}y=-15c^{5}y$ — это стандартный вид (утверждение 1). Остальные неверны: значение при $c=-1,y=-1$ равно $-15$; деление на $3$ даёт $-5c^{5}y$; коэффициент $-15$; степень $5+1=6$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2' },
|
||
|
||
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
|
||
text: R`Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. По графику движения к некоторому моменту мотоциклист проехал $80$ км, а велосипедист — $35$ км. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста?`,
|
||
opts: mc('$3\tfrac12$ раза', '$1\tfrac19$ раза', '$2\tfrac17$ раза', '$2\tfrac27$ раза', '$2\tfrac{1}{16}$ раза'),
|
||
answer: 'г',
|
||
sol: R`За одно и то же время отношение скоростей равно отношению путей: $\dfrac{80}{35}=\dfrac{16}{7}=2\tfrac27$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3' },
|
||
|
||
{ idx: 10, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
|
||
text: R`Значение выражения $\sqrt{\left(11+8\sqrt2\right)^{2}}+\sqrt{\left(11-8\sqrt2\right)^{2}}$ равно:`,
|
||
opts: mc('$16\sqrt2$', '$38\sqrt2$', '$22$', '$16\sqrt2-22$', '$16\sqrt2+22$'),
|
||
answer: 'а',
|
||
sol: R`$\sqrt{(11+8\sqrt2)^{2}}=11+8\sqrt2$; так как $8\sqrt2>11$, то $\sqrt{(11-8\sqrt2)^{2}}=8\sqrt2-11$. Сумма $=(11+8\sqrt2)+(8\sqrt2-11)=16\sqrt2$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 2' },
|
||
|
||
{ idx: 11, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 2,
|
||
text: R`Из квадрата со стороной $1$ удалили $12$ равных квадратов со стороной $x$. Найдите выражение для площади оставшейся (заштрихованной) части квадрата.`,
|
||
opts: mc('$1-4x^{2}$', '$4-12x^{2}$', '$1-8x^{2}$', '$4-16x$', '$1-12x^{2}$'),
|
||
answer: 'д',
|
||
sol: R`Площадь квадрата равна $1$, площадь $12$ вырезанных квадратиков — $12x^{2}$. Оставшаяся часть: $1-12x^{2}$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2' },
|
||
|
||
{ idx: 12, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
|
||
text: R`Найдите значение выражения $\sin\left(\operatorname{arctg}\sqrt3\right)$.`,
|
||
opts: mc('$\dfrac{\sqrt3}{3}$', '$\dfrac12$', '$\dfrac{\sqrt3}{2}$', '$\dfrac{\sqrt2}{2}$', '$1$'),
|
||
answer: 'в',
|
||
sol: R`$\operatorname{arctg}\sqrt3=60^\circ$, поэтому $\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
|
||
|
||
{ idx: 13, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
|
||
text: R`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства $-5{,}2<3-0{,}1x<4{,}59$.`,
|
||
opts: mc('$96$', '$97$', '$65$', '$67$', '$66$'),
|
||
answer: 'д',
|
||
sol: R`Из $3-0{,}1x<4{,}59$: $x>-15{,}9$; из $-5{,}2<3-0{,}1x$: $x<82$. Целые $x$ от $-15$ до $81$; их сумма наименьшего и наибольшего $-15+81=66$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
|
||
|
||
{ idx: 14, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 3,
|
||
text: R`Длины двух сторон треугольника равны $6$ и $7$, его площадь равна $3\sqrt{33}$. Найдите наибольшее значение, которое может принимать длина третьей стороны.`,
|
||
opts: mc('$\sqrt{151}$', '$\sqrt{133}$', '$12$', '$13$', '$2\sqrt{33}$'),
|
||
answer: 'б',
|
||
sol: R`$S=\dfrac12\cdot6\cdot7\sin C=21\sin C=3\sqrt{33}$, поэтому $\sin C=\dfrac{\sqrt{33}}{7}$, $\cos C=\pm\dfrac47$. Третья сторона $c^{2}=36+49-84\cos C$; наибольшая при $\cos C=-\dfrac47$: $c^{2}=85+48=133$, $c=\sqrt{133}$.`,
|
||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 1' },
|
||
|
||
{ idx: 15, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
|
||
text: R`Укажите номер уравнения, которое имеет более одного корня.`,
|
||
opts: mc('$5x+2=2$', '$2(9-2x)=-4x$', '$\dfrac25x+7=x$', '$\dfrac{5x+2}{3}=4$', '$5x+2=\dfrac{15x+6}{3}$'),
|
||
answer: 'д',
|
||
sol: R`Уравнение $5x+2=\dfrac{15x+6}{3}=5x+2$ — тождество, верно при любом $x$ (бесконечно много корней). Остальные имеют ровно один корень или ни одного.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 1' },
|
||
|
||
{ idx: 16, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 3,
|
||
text: R`Найдите объём конуса, образующая которого равна $4\sqrt6$, а угол при вершине осевого сечения равен $60^\circ$.`,
|
||
opts: mc('$144\sqrt2\,\pi$', '$16\sqrt2\,\pi$', '$48\sqrt2\,\pi$', '$48\sqrt6\,\pi$', '$384\sqrt2\,\pi$'),
|
||
answer: 'в',
|
||
sol: R`Осевое сечение — равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине, то есть равносторонний. Радиус $R=l\sin30^\circ=4\sqrt6\cdot\dfrac12=2\sqrt6$, высота $h=l\cos30^\circ=4\sqrt6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=6\sqrt2$. Объём $V=\dfrac13\pi R^{2}h=\dfrac13\pi\cdot24\cdot6\sqrt2=48\sqrt2\,\pi$.`,
|
||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2' },
|
||
|
||
{ idx: 17, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 3,
|
||
text: R`Сумма (в градусах) наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения $\sin(5x-10^\circ)=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ равна:`,
|
||
opts: mc('$81^\circ$', '$55^\circ$', '$60^\circ$', '$40^\circ$', '$35^\circ$'),
|
||
answer: 'г',
|
||
sol: R`$5x-10^\circ=-45^\circ+360^\circ k$ или $5x-10^\circ=225^\circ+360^\circ k$, то есть $x=-7^\circ+72^\circ k$ или $x=47^\circ+72^\circ k$. Наименьший положительный корень $47^\circ$, наибольший отрицательный $-7^\circ$; их сумма $40^\circ$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
|
||
|
||
{ idx: 18, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 4,
|
||
text: R`$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все рёбра которой равны $9$. Точки $P$ и $K$ — середины рёбер $BB_1$ и $AC$, точка $M$ на ребре $CC_1$ такова, что $C_1M:C_1C=1:3$. Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через $K,M,P$, пересекает грань $AA_1B_1B$.`,
|
||
opts: mc('$\dfrac{9\sqrt5}{7}$', '$\dfrac{9\sqrt{85}}{14}$', '$\dfrac{9\sqrt2}{2}$', '$\dfrac{9\sqrt{65}}{14}$', '$\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$'),
|
||
answer: 'б',
|
||
sol: R`Введём координаты $A(0;0;0)$, $B(9;0;0)$, $C\left(4{,}5;\dfrac{9\sqrt3}{2};0\right)$ и верхние вершины со сдвигом $+9$ по оси $z$. Секущая плоскость через $K,M,P$ пересекает грань $AA_1B_1B$ (плоскость $y=0$) по прямой $10{,}5x-9z=54$. Её отрезок внутри грани идёт от $\left(\dfrac{36}{7};0;0\right)$ до $P(9;0;4{,}5)$; длина $\sqrt{\left(\dfrac{27}{7}\right)^{2}+4{,}5^{2}}=\dfrac{9\sqrt{85}}{14}$.`,
|
||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 4' },
|
||
|
||
// ── Часть B: В1–В12 ──────────────────────────────────────────────────────
|
||
{ idx: 19, type: 'long', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
|
||
text: R`Функция задана формулой $f(x)=x^{2}-10x-3$ на множестве $\mathbb{R}$. Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание $1$–$6$ так, чтобы получилось верное утверждение.<br>А) Сумма координат точки пересечения графика с осью $Oy$ равна …<br>Б) Сумма нулей функции равна …<br>В) Если ось симметрии графика задаётся уравнением $x=a$, то значение $a$ равно …<br>Окончания: $1)\;-3$; $\ 2)\;3$; $\ 3)\;5$; $\ 4)\;-10$; $\ 5)\;-5$; $\ 6)\;10$.`,
|
||
answer: 'А1Б6В3',
|
||
ansShow: 'А1Б6В3',
|
||
sol: R`А) График пересекает $Oy$ в точке $(0;f(0))=(0;-3)$, сумма координат $-3$ (окончание 1). Б) Сумма нулей по теореме Виета равна $10$ (окончание 6). В) Ось симметрии $x=\dfrac{10}{2}=5$, значит $a=5$ (окончание 3). Ответ: А1Б6В3.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
|
||
|
||
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
|
||
text: R`Функция $y=f(x)$ на промежутке $[-6;4]$ задана ломаной, последовательно соединяющей точки $(-6;-1)$, $(-5;0)$, $(-4;1)$, $(-3;1)$, $(-2;0)$, $(0;-3)$, $(2;-2)$, $(4;3)$. Выберите номера верных утверждений (запишите цифрами в порядке возрастания).<br>$1)$ нулём функции является число $-3$;<br>$2)$ $f(x)>0$ при $x\in(-5;-2)$;<br>$3)$ функция возрастает на промежутке $[2;4]$;<br>$4)$ наибольшее значение функции на $[-6;4]$ равно $2$;<br>$5)$ график пересекает ось ординат в точке $(0;-2)$.`,
|
||
answer: '23',
|
||
sol: R`Нули функции — $-5$ и $-2$ (не $-3$), значит 1 неверно. На $(-5;-2)$ ломаная положительна — 2 верно. На $[2;4]$: $f(2)=-2<f(4)=3$, функция возрастает — 3 верно. Наибольшее значение $f(4)=3\ne2$ — 4 неверно. $f(0)=-3\ne-2$ — 5 неверно. Верны утверждения $2$ и $3$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2' },
|
||
|
||
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 3,
|
||
text: R`В жилом доме «Альфа» 13 % всех квартир — однокомнатные, а в доме «Омега» — 61 %. Определите, во сколько раз больше общее число квартир в доме «Альфа», если однокомнатные составляют 16 % всех квартир в двух домах.`,
|
||
answer: '15',
|
||
sol: R`Пусть в «Альфа» $a$ квартир, в «Омега» — $o$. Тогда $0{,}13a+0{,}61o=0{,}16(a+o)$, откуда $0{,}45o=0{,}03a$ и $\dfrac{a}{o}=15$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3' },
|
||
|
||
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
|
||
text: R`Найдите сумму квадратов корней уравнения $\left(x^{2}+2x-8\right)\sqrt{x+1}=4x^{2}+8x-32$.`,
|
||
answer: '229',
|
||
sol: R`$4x^{2}+8x-32=4(x^{2}+2x-8)$, поэтому $(x^{2}+2x-8)(\sqrt{x+1}-4)=0$. ОДЗ $x\ge-1$. Из $x^{2}+2x-8=0$: $x=2$ (корень $-4$ вне ОДЗ); из $\sqrt{x+1}=4$: $x=15$. Сумма квадратов $2^{2}+15^{2}=229$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
|
||
|
||
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 2,
|
||
text: R`Градусная мера угла правильного многоугольника равна $150^\circ$, а длина его стороны равна $6$. Найдите периметр многоугольника.`,
|
||
answer: '72',
|
||
sol: R`Внешний угол $180^\circ-150^\circ=30^\circ$, число сторон $n=\dfrac{360^\circ}{30^\circ}=12$. Периметр $12\cdot6=72$.`,
|
||
ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 2' },
|
||
|
||
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 3,
|
||
text: R`Найдите произведение наименьшего и наибольшего целых решений неравенства $\log_{1/9}\dfrac{9-x}{x+17}\ge0$.`,
|
||
answer: '-32',
|
||
sol: R`Основание $\dfrac19<1$, поэтому $0<\dfrac{9-x}{x+17}\le1$. Первое неравенство даёт $-17<x<9$, второе — $\dfrac{x+4}{x+17}\ge0$, то есть $x\ge-4$. Значит $-4\le x<9$, целые от $-4$ до $8$; произведение $(-4)\cdot8=-32$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3' },
|
||
|
||
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 3,
|
||
text: R`О натуральных числах $a$ и $b$ известно, что $a>b$, $a+b=85$ и НОК$(a;b)=102$. Найдите число $b$.`,
|
||
answer: '34',
|
||
sol: R`Пусть $d=$НОД$(a;b)$, $a=dm$, $b=dn$, $\gcd(m;n)=1$. Тогда $d(m+n)=85$, $dmn=102$; общий делитель $85$ и $102$ равен $17$, поэтому $d=17$, $m+n=5$, $mn=6$, откуда $m=3$, $n=2$. Значит $a=51$, $b=34$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
|
||
|
||
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
|
||
text: R`Найдите увеличенное в $6$ раз произведение корней уравнения $3^{x^{2}}\cdot5^{x^{2}}=15^{3}$.`,
|
||
answer: '-18',
|
||
sol: R`$3^{x^{2}}\cdot5^{x^{2}}=15^{x^{2}}=15^{3}$, поэтому $x^{2}=3$, $x=\pm\sqrt3$. Произведение корней $-3$; увеличенное в $6$ раз — это $-18$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2' },
|
||
|
||
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 4,
|
||
text: R`В основании пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$ со стороной $1$. Боковое ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания и равно $3$. Найдите значение выражения $\dfrac{13}{\cos\varphi}$, где $\varphi$ — линейный угол двугранного угла при боковом ребре $SD$.`,
|
||
answer: '-130',
|
||
sol: R`Координаты $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $S(1;0;3)$. Для двугранного угла при ребре $SD$ берём в гранях $SAD$ и $SCD$ векторы из $D$, перпендикулярные $DS$. Вычисление даёт $\cos\varphi=-\dfrac{1}{10}$, поэтому $\dfrac{13}{\cos\varphi}=-130$.`,
|
||
ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 4' },
|
||
|
||
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 4,
|
||
text: R`Найдите сумму целых решений неравенства $\dfrac{(x^{2}-x-12)(6-x)^{2}}{6-x^{2}-x}\ge0$.`,
|
||
answer: '13',
|
||
sol: R`После сокращения на $(x+3)$ (при $x\ne-3$): $\dfrac{(x-4)(6-x)^{2}}{-(x-2)}\ge0$. Множитель $(6-x)^{2}\ge0$, поэтому решение — промежуток $(2;4]$ и отдельная точка $x=6$. Целые решения $3,4,6$; их сумма $13$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3' },
|
||
|
||
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 5,
|
||
text: R`От пристани $B$ отплывает плот и одновременно против течения отходит катер. Доплыв до пристани $A$ (на расстоянии $s_1$ от $B$ выше по течению), катер разворачивается и плывёт к пристани $C$ (на расстоянии $s_2$ ниже по течению от $B$). Найдите наибольшее возможное значение скорости катера (в км/ч) в стоячей воде, при которой он прибудет к $C$ не раньше плота, если скорость течения равна $4$ км/ч и $s_1:s_2=7:2$.`,
|
||
answer: '32',
|
||
sol: R`Пусть $u$ — скорость катера, $s_1=7k$, $s_2=2k$. Время плота $\dfrac{2k}{4}=\dfrac{k}{2}$, время катера $\dfrac{7k}{u-4}+\dfrac{9k}{u+4}$. Наибольшему $u$ отвечает равенство $\dfrac{7}{u-4}+\dfrac{9}{u+4}=\dfrac12$, откуда $u^{2}-32u=0$, $u=32$.`,
|
||
ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 1' },
|
||
|
||
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 5,
|
||
text: R`В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с вершиной $S$ проведена медиана $CM$ треугольника $SBC$ ($M$ — середина $SB$); $BC=2\sqrt7$, $SB=\sqrt{85}$. Через середину $K$ ребра $SC$ проведена прямая $KD$, параллельная ребру $AB$. Через точку $A$ проведена прямая, пересекающая прямые $CM$ и $KD$ в точках $P$ и $T$ соответственно. Найдите увеличенную в $18$ раз длину отрезка $PT$.`,
|
||
answer: '45',
|
||
sol: R`Введём координаты основания (сторона $2\sqrt7$) и вершины $S$ (из $SB=\sqrt{85}$ высота $h^{2}=\dfrac{227}{3}$). Прямая через $A$, пересекающая $CM$ и $KD$, определяется условием коллинеарности: $P$ делит $CM$ так, что $\lambda=\dfrac23$, а $T$ лежит на $KD$. Тогда $PT^{2}=\left(\dfrac{2\sqrt7}{3}\right)^{2}+\left(\dfrac{2\sqrt{21}}{9}\right)^{2}+\left(\dfrac{h}{6}\right)^{2}=\dfrac{2025}{324}$, откуда $PT=\dfrac{45}{18}=\dfrac52$. Увеличенная в $18$ раз длина — $45$.`,
|
||
ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1' },
|
||
];
|
||
|
||
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
|
||
function ansShowOf(t) {
|
||
if (t.ansShow != null) return t.ansShow;
|
||
if (t.type === 'mc') return `${t.answer})`;
|
||
return `$${t.answer}$`;
|
||
}
|
||
function buildSolution(t) {
|
||
const ans = ansShowOf(t);
|
||
let html = `${t.sol}<div class="sol-ans">Ответ: ${ans}</div>`;
|
||
if (t.ref) html += `<div class="sol-ref" style="margin-top:6px;font-size:.85em;opacity:.7">Учебник: ${t.ref}</div>`;
|
||
return html;
|
||
}
|
||
|
||
/* ── Самопроверка (повтор логики checkAnswerServer из exam-prep.js) ────────── */
|
||
const EPS = 1e-6;
|
||
function srvToNumber(s) {
|
||
if (s == null) return NaN;
|
||
let t = String(s).trim().replace(/\$/g, '').replace(/\s+/g, '').replace(',', '.');
|
||
const f = t.match(/^(-?\d+(?:\.\d+)?)\s*\/\s*(-?\d+(?:\.\d+)?)$/);
|
||
if (f) { const n = Number(f[1]), d = Number(f[2]); return d === 0 ? NaN : n / d; }
|
||
const n = Number(t); return Number.isFinite(n) ? n : NaN;
|
||
}
|
||
function checkAnswerServer(userInput, canonical) {
|
||
if (userInput == null || canonical == null) return false;
|
||
const c = String(canonical).trim();
|
||
if (/^[а-д]$/.test(c)) return String(userInput).trim().toLowerCase() === c.toLowerCase();
|
||
if (/^[^;]+;[^;]+$/.test(c)) return false;
|
||
const cn = srvToNumber(c), un = srvToNumber(userInput);
|
||
if (Number.isNaN(cn) || Number.isNaN(un)) return false;
|
||
return Math.abs(cn - un) < EPS;
|
||
}
|
||
|
||
/* ── Валидация набора ──────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
const problems = [];
|
||
if (TASKS.length !== 30) problems.push(`Ожидалось 30 заданий, получено ${TASKS.length}`);
|
||
const seen = new Set();
|
||
for (const t of TASKS) {
|
||
if (seen.has(t.idx)) problems.push(`Дубль task_idx=${t.idx}`); seen.add(t.idx);
|
||
if (t.idx < 1 || t.idx > 30) problems.push(`task_idx вне 1..30: ${t.idx}`);
|
||
if (!['mc', 'open', 'long'].includes(t.type)) problems.push(`#${t.idx}: тип ${t.type}`);
|
||
if (t.type === 'mc') {
|
||
if (!Array.isArray(t.opts) || t.opts.length !== 5) problems.push(`#${t.idx}: mc должен иметь 5 вариантов`);
|
||
if (!t.opts.some(o => o[0] === t.answer)) problems.push(`#${t.idx}: answer "${t.answer}" не среди меток`);
|
||
}
|
||
if (!t.text || !t.sol) problems.push(`#${t.idx}: пустой text/sol`);
|
||
if (t.type !== 'long' && !checkAnswerServer(t.answer, t.answer))
|
||
problems.push(`#${t.idx}: answer "${t.answer}" не проходит self-check (Unicode-минус? пробел?)`);
|
||
if (/−/.test(String(t.answer))) problems.push(`#${t.idx}: Unicode-минус в answer`);
|
||
}
|
||
|
||
/* ── Экспорт для тестов/тиража (без запуска main при require) ──────────────── */
|
||
module.exports = { TASKS, buildSolution, ansShowOf, checkAnswerServer, EXAM, VARIANT, PROV };
|
||
if (require.main !== module) return;
|
||
|
||
/* ── Открытие БД ───────────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
const DB = path.join(__dirname, '..', 'data', 'learnspace.db');
|
||
const db = new DatabaseSync(DB);
|
||
|
||
const track = db.prepare(`SELECT exam_key, variants_count FROM exam_tracks WHERE exam_key=?`).get(EXAM);
|
||
if (!track) { console.error(`✗ Трек '${EXAM}' не найден в exam_tracks. Прерывание.`); process.exit(1); }
|
||
|
||
/* ── DRY-RUN сводка ────────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
console.log(`\n=== seed_ctmath_ct2018_v1 (${PROV}) variant=${VARIANT} ===`);
|
||
console.log(`Режим: ${APPLY ? 'APPLY (запись)' : 'DRY-RUN (только проверка)'}\n`);
|
||
|
||
const byType = TASKS.reduce((a, t) => (a[t.type] = (a[t.type] || 0) + 1, a), {});
|
||
console.log('Типы:', JSON.stringify(byType), '\n');
|
||
|
||
console.log('idx | type | subtopic | d | answer');
|
||
console.log('----+------+-----------------------+---+----------');
|
||
for (const t of TASKS) {
|
||
console.log(`${String(t.idx).padStart(3)} | ${t.type.padEnd(4)} | ${String(t.subtopic).padEnd(21)} | ${t.diff} | ${String(t.answer)}`);
|
||
}
|
||
|
||
if (problems.length) {
|
||
console.error(`\n✗ ПРОБЛЕМЫ (${problems.length}):`);
|
||
problems.forEach(p => console.error(' - ' + p));
|
||
console.error('\nЗапись отменена из-за ошибок валидации.');
|
||
db.close();
|
||
process.exit(1);
|
||
}
|
||
console.log('\n✓ Валидация и self-check ответов пройдены (30/30).');
|
||
|
||
/* ── APPLY: upsert ─────────────────────────────────────────────────────────── */
|
||
if (!APPLY) {
|
||
console.log('\nDRY-RUN: ничего не записано. Для записи: node backend/scripts/seed_ctmath_ct2018_v1.js --apply\n');
|
||
db.close();
|
||
process.exit(0);
|
||
}
|
||
|
||
const upsert = db.prepare(`
|
||
INSERT INTO exam_tasks
|
||
(exam_key, variant, task_idx, task_type, text_html, figure_html,
|
||
opts_json, answer, solution_html, topic, subtopic, difficulty)
|
||
VALUES (?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?)
|
||
ON CONFLICT(exam_key, variant, task_idx) DO UPDATE SET
|
||
task_type = excluded.task_type,
|
||
text_html = excluded.text_html,
|
||
figure_html = excluded.figure_html,
|
||
opts_json = excluded.opts_json,
|
||
answer = excluded.answer,
|
||
solution_html = excluded.solution_html,
|
||
topic = excluded.topic,
|
||
subtopic = excluded.subtopic,
|
||
difficulty = excluded.difficulty
|
||
`);
|
||
|
||
let n = 0;
|
||
db.exec('BEGIN');
|
||
try {
|
||
for (const t of TASKS) {
|
||
upsert.run(
|
||
EXAM, VARIANT, t.idx, t.type,
|
||
t.text,
|
||
t.fig || null,
|
||
t.type === 'mc' ? JSON.stringify(t.opts) : null,
|
||
t.answer,
|
||
buildSolution(t),
|
||
t.topic, t.subtopic, t.diff
|
||
);
|
||
n++;
|
||
}
|
||
const distinct = db.prepare(`SELECT COUNT(DISTINCT variant) c FROM exam_tasks WHERE exam_key=? AND variant BETWEEN 101 AND 1999`).get(EXAM).c;
|
||
db.prepare(`UPDATE exam_tracks SET variants_count=? WHERE exam_key=?`).run(distinct, EXAM);
|
||
db.exec('COMMIT');
|
||
console.log(`\n✓ Записано/обновлено ${n} заданий (variant=${VARIANT}).`);
|
||
console.log(`✓ exam_tracks.variants_count = ${distinct} (различных вариантов).`);
|
||
console.log(`\nПробник доступен: /exam-prep/ctmath → «Варианты» → «ЦТ-2018».\n`);
|
||
} catch (e) {
|
||
db.exec('ROLLBACK');
|
||
console.error('\n✗ Ошибка записи, откат транзакции:', e.message);
|
||
process.exitCode = 1;
|
||
}
|
||
db.close();
|