Learn_System/plans/ct-math/PILOT_STEREOMETRY.md

Пилот: блок «Стереометрия» до уровня занятий (второй эталон)

Развёртка самого «дорогого» блока (раздел stereometry, модули M26–M29) в контент платформы. Стереометрия встречается в тесте ~6 раз — А2, А9, В1, В13, В17, В20 — и содержит сложнейшие задания (В17 подобие, В20 угол в пространстве). Структура совпадает с PILOT_TRIGONOMETRY.md; специфика блока — sim stereo, координатно-векторный метод как универсальный «запасной» подход, и готовые «Кедр»-отработки слабых тем.

---

0. Карта блока

Модуль	Подтема (slug)	Позиции теста	Уровень	Sim	Учебник
M26 Расположение, сечения	ster-basics	А2, В1	🟡	stereo	geometry-10
M27 Многогранники	ster-polyhedra	В13, В17	🟡🔴	stereo	geometry-10
M28 Тела вращения	ster-rotation	А9, В13	🟡🔴	stereo	geometry-11
M29 Углы и расстояния (коорд.-вект.)	ster-angles-distances	В20, В1	🔴	stereo	geometry-11

Курсовая структура: course_section «Стереометрия» → 4 lessons + колода карточек (формулы объёмов/площадей + координатный метод) + наборы exam_tasks по подтемам.

---

M26. Расположение прямых и плоскостей, сечения 🟡 (А2, В1)

Урок («Аксиоматика и взаимное расположение»)

1. heading → { "text": "Прямые и плоскости в пространстве: параллельность, пересечение, скрещивание" }
2. text → { "html": "Три случая для двух прямых: пересекаются, параллельны, скрещиваются. Прямая и плоскость: лежит в ней, параллельна, пересекает. Две плоскости: параллельны или пересекаются по прямой." }
3. sim → { "simId": "stereo", "caption": "Покрутите фигуру: найдите линию пересечения двух плоскостей и пары скрещивающихся прямых" }
4. callout → { "variant": "info", "html": "Линия пересечения двух плоскостей проходит через их общие точки. В правильной пирамиде плоскости через апекс и центр основания пересекаются по прямой через апекс (например SO)." }
5. formula → { "label": "Признак параллельности прямой и плоскости", "tex": "a\\parallel b,\\ b\\subset\\alpha,\\ a\\not\\subset\\alpha \\Rightarrow a\\parallel\\alpha" }
6. callout → { "variant": "warn", "html": "В В1 (выбор верных утверждений о расстояниях) проверяйте КАЖДОЕ утверждение отдельно: расстояние между скрещивающимися — длина общего перпендикуляра, а не любого отрезка." }
7. flashcard ×N (колода ниже).

Разборы эталонов

• А2 (РИКЗ-2024): правильная четырёхугольная пирамида SABCD, O — центр основания; найти прямую пересечения плоскостей DSO и SCB. Обе плоскости проходят через S → линия пересечения проходит через S; анализом получаем SO. Метод: общие точки двух плоскостей.
• В1: прямая треугольная призма, выбрать верные утверждения о расстояниях/равенстве отрезков (ответ — комбинация цифр). Метод: перевести каждое утверждение в проверяемый факт.

Тренажёр (exam_tasks, subtopic=ster-basics)

• 🟡 difficulty 2–3: А2/В1-тип. Источник: «ШПОРА по СТЕОМЕ» (Кедр), Калинин-Терёшин, А2/В1 из РТ/ЦТ.
• Критерий освоения: ≥80% на А2+В1.

---

M27. Многогранники: объёмы, площади, сечения, подобие 🟡🔴 (В13, В17)

Урок («Призма, пирамида, параллелепипед»)

1. heading → { "text": "Объёмы и площади многогранников. Подобие в сечениях" }
2. formula → { "label": "Объёмы", "tex": "V_{\\text{призмы}}=S_{\\text{осн}}\\cdot h,\\qquad V_{\\text{пирамиды}}=\\tfrac{1}{3}S_{\\text{осн}}\\cdot h" }
3. text → { "html": "Сечение, параллельное основанию пирамиды, отсекает подобную фигуру. Если высота делится от вершины в отношении k, то линейные размеры сечения относятся к основанию как k, а ПЛОЩАДИ — как k²." }
4. formula → { "label": "Подобие сечения ∥ основанию", "tex": "\\frac{S_{\\text{сеч}}}{S_{\\text{осн}}}=k^2,\\quad k=\\frac{\\text{высота до сечения}}{\\text{вся высота}}" }
5. sim → { "simId": "stereo", "caption": "Сечение пирамиды плоскостью ∥ основанию" }
6. callout → { "variant": "warn", "html": "В17 ловит на том, что относятся как k² именно ПЛОЩАДИ, а не длины. Сначала найдите k из отношения высот, потом возводите в квадрат." }
7. flashcard ×N.

Разбор эталона (В17, РИКЗ-2024)

Плоскость ∥ основанию треуг. пирамиды делит высоту в отношении 5:3 от вершины. Площадь сечения меньше площади основания на 39. Найти площадь сечения. k = 5/(5+3) = 5/8 → S_сеч/S_осн = 25/64. Пусть S_осн = x → S_сеч = (25/64)x; x − (25/64)x = 39 → (39/64)x = 39 → x = 64 → S_сеч = 25.

Тренажёр (exam_tasks, subtopic=ster-polyhedra)

• 🟡 difficulty 3 (объёмы/площади) → 🔴 difficulty 5 (подобие В17). Источник: «Метод Кавальери», «100 баллов» стерео, В13/В17 из РТ/ЦТ.
• Критерий освоения: ≥75% (В17-тип уверенно).

---

M28. Тела вращения: цилиндр, конус, шар/сфера 🟡🔴 (А9, В13)

Урок («Цилиндр, конус, шар»)

1. heading → { "text": "Тела вращения: площади поверхностей и объёмы" }
2. formula → { "label": "Шар и сфера", "tex": "S_{\\text{сферы}}=4\\pi R^2,\\qquad V_{\\text{шара}}=\\tfrac{4}{3}\\pi R^3" }
3. formula → { "label": "Цилиндр", "tex": "S_{\\text{бок}}=2\\pi R h,\\qquad V=\\pi R^2 h" }
4. formula → { "label": "Конус", "tex": "S_{\\text{бок}}=\\pi R l,\\qquad V=\\tfrac{1}{3}\\pi R^2 h" }
5. sim → { "simId": "stereo", "caption": "Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси" }
6. callout → { "variant": "info", "html": "Сфера, касающаяся плоскости: радиус в точку касания ⊥ плоскости. Расстояние от центра до точки плоскости и радиус образуют прямоугольный треугольник — теорема Пифагора." }
7. flashcard ×N.

Разборы эталонов (РИКЗ-2024)

• А9: квадрат с диагональю 8 в плоскости α; сфера касается α в точке пересечения диагоналей; расстояние от центра сферы до вершины квадрата 4√2. Найти площадь сферы. Полудиагональ = 4; R² = (4√2)² − 4² = 32 − 16 = 16 → R = 4 → S = 4π·16 = 64π.
• В13: цилиндр рассечён плоскостью ∥ оси, в сечении квадрат площади 100; расстояние от оси до плоскости √39. Найти S_бок/π. Сторона квадрата = 10 = высота = хорда; R² = (√39)² + 5² = 39+25 = 64 → R = 8; S_бок = 2π·8·10 = 160π → 160.

Тренажёр (exam_tasks, subtopic=ster-rotation)

• 🟡 difficulty 3 → 🔴 4. Источник: «Отработка по Шару» (Кедр), Калинин-Терёшин, А9/В13 из РТ/ЦТ.
• Критерий освоения: ≥80% А9, ≥70% В13.

---

M29. Углы и расстояния в пространстве — координатно-векторный метод 🔴 (В20, В1)

Ключевой модуль трека на 90–100. Универсальный приём: ввести координаты → выразить векторы → угол через скалярное произведение. «Если геометрия не идёт — считай координатами» (roadmap-документ).

Урок («Координатный метод: угол между прямыми/плоскостями»)

1. heading → { "text": "Координаты в пространстве — универсальный способ найти угол и расстояние" }
2. text → { "html": "Алгоритм В20: (1) ввести удобную систему координат (вершину фигуры в начало), (2) выписать координаты нужных точек, (3) составить направляющие векторы прямых, (4) угол — через косинус скалярного произведения." }
3. formula → { "label": "Угол между прямыми через векторы", "tex": "\\cos\\varphi=\\frac{|\\vec a\\cdot\\vec b|}{|\\vec a|\\,|\\vec b|}" }
4. formula → { "label": "Скалярное произведение и длина", "tex": "\\vec a\\cdot\\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z,\\quad |\\vec a|=\\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}" }
5. sim → { "simId": "stereo", "caption": "Угол между скрещивающимися прямыми" }
6. accordion → альтернативы: угол между прямой и плоскостью (через нормаль), теорема о трёх синусах (раскрывается по желанию).
7. callout → { "variant": "warn", "html": "В числителе — МОДУЛЬ скалярного произведения (угол между прямыми ≤ 90°). Самая частая ошибка В20 — знак/потеря модуля и неверные координаты точек деления рёбер." }
8. ordering → { "question": "Порядок решения В20 координатным методом", "items": ["Ввести систему координат","Выписать координаты точек (учесть отношения деления рёбер)","Составить направляющие векторы","cos φ через скалярное произведение и длины"] }
9. flashcard ×N.

Разбор эталона (В20, РИКЗ-2024)

Прямой параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, объём 5√7/2; AB=√7, BC=√2, cos∠ABC=−√14/8; на рёбрах AA₁ и A₁B₁ точки M, N с AM:MA₁=4:1, A₁N:NB₁=1:4. Найти 8√66·cos φ, φ — угол между MN и BC₁. Метод: ввести координаты по основанию (с учётом cos∠ABC найти высоту из объёма), выписать M, N, B, C₁ с учётом отношений, составить MN и BC₁, найти cos φ. (Целевая задача для «Лабораторной по В20» и «Отработки В20 из РЦЭ-2025» — Кедр.)

Тренажёр (exam_tasks, subtopic=ster-angles-distances)

• 🔴 difficulty 5. Источник (Кедр): «Лабораторная для отработки В20», «Отработка В20 из РЦЭ-2025», «Отработка скрещивающиеся», «Отработка Угол между прям. и плоск.»; «Векторы на экзаменах» (Шестаков).
• Критерий освоения: ≥60% В20 координатным методом (сложнейшая позиция теста).

---

Колода карточек (flashcard_decks «Стереометрия — формулы»)

front	back
V призмы	S_осн · h
V пирамиды	(1/3) S_осн · h
V цилиндра	π R² h
V конуса	(1/3) π R² h
V шара	(4/3) π R³
S сферы	4π R²
S_бок цилиндра	2π R h
S_бок конуса	π R l
Сечение ∥ основанию: отношение площадей	k² (k — отношение высот от вершины)
Угол между прямыми (векторы)	cos φ = |a·b| / (|a|·|b|)
Скалярное произведение	aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z
Длина вектора	√(aₓ² + a_y² + a_z²)
Сфера касается плоскости	радиус в точку касания ⊥ плоскости (→ Пифагор)
Расстояние между скрещивающимися	длина общего перпендикуляра

Источник: «ШПОРА по СТЕОМЕ» (Кедр), «формулы» из «100 баллов» стерео.

---

Сводный критерий освоения блока

Уровень	Условие
🟡 Ядро	А2/В1 ≥80%, А9 ≥80%, объёмы/площади (В13) ≥70%
🔴 Продвинутый	+ В17 (подобие) уверенно, В20 ≥60% координатным методом

Детектор слабых тем вернёт ster-* подтему в фокус с предложением урока + sim stereo + § учебника (geometry-10/geometry-11).

---

Заметки для авторинга

• stereo sim — единственная 3D-визуализация; ставить в каждый урок блока (повышает понимание расположения).
• В20 — отдельный мини-тренажёр из «Кедр»-материалов: это самые «дорогие» баллы, и они хорошо алгоритмизируются координатным методом.
• Чертежи задач (А2/А9/В1/В13/В17/В20) почти всегда нужны → figure_html (SVG/<img>) обязателен при оцифровке (см. DIGITIZATION_SPEC.md §3.2).