Learn_System/frontend/js/exam9/variants/v03.js

VARIANTS[3] = {
    label: "Вариант 3",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, какое из следующих равенств верно:`,
        opts: [
          ["а", "$a^2 \\cdot a^8 = a^{10}$"], ["б", "$a^2 \\cdot a^8 = 10a$"],
          ["в", "$a^2 \\cdot a^8 = a^{16}$"], ["г", "$a^2 \\cdot a^8 = a^6$"],
          ["д", "$a^2 \\cdot a^8 = a^{64}$"],
        ],
        sol: `При умножении степеней с одним основанием показатели <em>складываются</em>:
$$a^2 \\cdot a^8 = a^{2+8} = a^{10}$$
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$a^{10}$</div>`
      },
      {
        text: `Значение выражения $17\\dfrac{11}{23} - 5\\dfrac{14}{23}$ равно:`,
        opts: [
          ["а", "$12\\dfrac{3}{23}$"],  ["б", "$11\\dfrac{20}{23}$"],
          ["в", "$12\\dfrac{20}{23}$"], ["г", "$11\\dfrac{19}{23}$"],
          ["д", "$13\\dfrac{1}{23}$"],
        ],
        sol: `$$17\\tfrac{11}{23} - 5\\tfrac{14}{23} = (17-5) + \\left(\\tfrac{11}{23}-\\tfrac{14}{23}\\right) = 12 - \\tfrac{3}{23} = 11\\tfrac{23}{23} - \\tfrac{3}{23} = 11\\tfrac{20}{23}$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$11\\dfrac{20}{23}$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "на плоскости через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной;"],
          ["б", "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;"],
          ["в", "у прямоугольника диагонали равны между собой;"],
          ["г", "сумма всех углов квадрата равна $180^{\\circ}$?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) Единственная перпендикуляр из точки к прямой — <b>верно</b></li>
<li>б) Углы при основании равнобедренного треугольника равны — <b>верно</b></li>
<li>в) Диагонали прямоугольника равны — <b>верно</b></li>
<li>г) Сумма углов квадрата = $180°$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
Квадрат — четырёхугольник, сумма его углов $= 4\\times 90^\\circ = 360^\\circ \\neq 180^\\circ$.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Определите количество целых решений системы неравенств
               $$\\begin{cases} x \\leq 7, \\\\[4pt] 3 - x < 0. \\end{cases}$$`,
        sol: `Из второго неравенства: $3-x < 0 \\Rightarrow x > 3$.
<br>Система: $3 < x \\leq 7$
<br>Целые числа: $4,\\ 5,\\ 6,\\ 7$ — ровно <b>4</b> числа.
<div class="sol-ans">Ответ: 4</div>`
      },
      {
        text: `В окружность с радиусом $10$ см вписан треугольник, одна из сторон которого
               является диаметром, а другая — равна $16$ см. Найдите площадь этого треугольника.`,
        sol: `<b>Теорема Фалеса (о вписанном угле):</b> вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой ($90°$).
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза.
<br><b>Формула площади прямоугольного треугольника:</b> $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$ (полупроизведение катетов).
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Одна сторона треугольника — диаметр окружности, значит:
$$d = 2R = 2\\cdot 10 = 20\\text{ см}$$
<b>Шаг 2.</b> По теореме Фалеса вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90°$. Значит, треугольник <em>прямоугольный</em>, а его гипотенуза $= 20$ см.
<svg viewBox="0 0 200 115" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<circle cx="100" cy="60" r="55" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="45,60 155,60 100,5" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<path d="M97,5 L97,17 L109,17" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<text x="30" y="73" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="158" y="73" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="98" y="0" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="90" y="80" font-size="10" fill="#2563eb">20 см</text>
<text x="55" y="38" font-size="10" fill="#e11d48">16 см</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> По условию один катет равен $16$ см. По теореме Пифагора находим второй катет:
$$b = \\sqrt{20^2-16^2} = \\sqrt{400-256} = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}$$
<b>Шаг 4.</b> Площадь прямоугольного треугольника — полупроизведение катетов:
$$S = \\tfrac{1}{2}\\cdot 16\\cdot 12 = 96\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $96$ см²</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{a - 7}{a - 2\\sqrt{7a} + 7}$ при $a = 28$.`,
        sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Формула квадрата разности:</b> $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
<br><b>Идея:</b> при работе с радикалами полезно представить $a$ как $(\\sqrt{a})^2$, чтобы увидеть структуру формул сокращённого умножения.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Разложим <em>знаменатель</em>. Представим $a = (\\sqrt{a})^2$ и $7=(\\sqrt{7})^2$. Тогда:
$$a - 2\\sqrt{7a} + 7 = (\\sqrt{a})^2 - 2\\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{7} + (\\sqrt{7})^2 = (\\sqrt{a}-\\sqrt{7})^2$$
(это квадрат разности).
<br><b>Шаг 2.</b> Разложим <em>числитель</em> по формуле разности квадратов:
$$a - 7 = (\\sqrt{a})^2 - (\\sqrt{7})^2 = (\\sqrt{a}-\\sqrt{7})(\\sqrt{a}+\\sqrt{7})$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(\\sqrt{a}-\\sqrt{7})$:
$$\\dfrac{(\\sqrt{a}-\\sqrt{7})(\\sqrt{a}+\\sqrt{7})}{(\\sqrt{a}-\\sqrt{7})^2} = \\dfrac{\\sqrt{a}+\\sqrt{7}}{\\sqrt{a}-\\sqrt{7}}$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $a=28$. Заметим, что $\\sqrt{28} = \\sqrt{4\\cdot 7} = 2\\sqrt{7}$:
$$\\dfrac{\\sqrt{28}+\\sqrt{7}}{\\sqrt{28}-\\sqrt{7}} = \\dfrac{2\\sqrt{7}+\\sqrt{7}}{2\\sqrt{7}-\\sqrt{7}} = \\dfrac{3\\sqrt{7}}{\\sqrt{7}} = 3$$
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
      },
      {
        text: `Функция задана формулой $f(x) = \\dfrac{5}{x}$.
               Расположите в порядке возрастания $f(-3{,}5)$, $f(-10{,}3)$, $f(-\\sqrt{5})$.
               Ответ обоснуйте.`,
        sol: `<b>Свойство гиперболы $y=\\dfrac{k}{x}$ при $k\\gt 0$:</b> функция <em>убывает</em> на каждом из промежутков $(-\\infty;0)$ и $(0;+\\infty)$.
<br><b>Правило сравнения значений убывающей функции:</b> чем больше аргумент, тем меньше значение функции (на промежутке убывания).
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Определим характер функции. У функции $f(x)=\\dfrac{5}{x}$ коэффициент $k=5\\gt 0$, поэтому на промежутке $(-\\infty;0)$ функция <b>убывает</b>.
<br><b>Шаг 2.</b> Все три аргумента отрицательны, значит, лежат на промежутке убывания. Сравним их между собой.
<br>Оценим $\\sqrt{5}$: так как $2^2=4\\lt 5\\lt 9=3^2$, имеем $2\\lt\\sqrt{5}\\lt 3$, точнее $\\sqrt{5}\\approx 2{,}24$, поэтому $-\\sqrt{5}\\approx -2{,}24$.
<br>Расставим аргументы по возрастанию (от меньшего к большему на числовой прямой):
$$-10{,}3 \\lt -3{,}5 \\lt -\\sqrt{5}$$
<b>Шаг 3.</b> Так как функция $f$ убывает, при увеличении аргумента значение $f$ уменьшается. Значит, неравенства между значениями функции имеют противоположный смысл:
$$f(-10{,}3) \\gt f(-3{,}5) \\gt f(-\\sqrt{5})$$
<b>Шаг 4.</b> Перепишем «по возрастанию» (от меньшего к большему):
$$f(-\\sqrt{5}) \\lt f(-3{,}5) \\lt f(-10{,}3)$$
<b>Проверка вычислением:</b> $f(-\\sqrt{5})=-\\dfrac{5}{\\sqrt{5}}=-\\sqrt{5}\\approx -2{,}24$; $f(-3{,}5)\\approx -1{,}43$; $f(-10{,}3)\\approx -0{,}49$. Действительно, $-2{,}24\\lt -1{,}43\\lt -0{,}49$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ (по возрастанию): $f(-\\sqrt{5}) \\lt f(-3{,}5) \\lt f(-10{,}3)$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел,
               которые при делении на $13$ дают в остатке $7$.`,
        sol: `<b>Теорема о делении с остатком:</b> если число $n$ при делении на $d$ даёт остаток $r$, то $n = d\\cdot k + r$, где $k$ — натуральное число или ноль.
<br><b>Формула суммы арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2}$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем общий вид искомых чисел. По условию число делится на $13$ с остатком $7$, поэтому имеет вид:
$$n = 13k + 7,\\quad k = 0, 1, 2, \\ldots$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём, какие значения $k$ дают двузначные числа. Должно выполняться: $10\\leq 13k+7\\leq 99$.
<br>Левое неравенство: $13k\\geq 3 \\Rightarrow k\\geq 1$ (так как $k$ — целое).
<br>Правое неравенство: $13k\\leq 92 \\Rightarrow k\\leq 7$ (так как $13\\cdot 7=91\\leq 92$, а $13\\cdot 8=104\\gt 92$).
<br>Итак, $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ — всего $7$ значений.
<br><b>Шаг 3.</b> Выпишем все двузначные числа, удовлетворяющие условию:
$$20,\\ 33,\\ 46,\\ 59,\\ 72,\\ 85,\\ 98$$
Это <b>арифметическая прогрессия</b> с первым членом $a_1=20$, разностью $d=13$ и числом членов $n=7$. Последний член $a_7=98$.
<br><b>Шаг 4.</b> По формуле суммы арифметической прогрессии:
$$S = \\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2} = \\dfrac{(20+98)\\cdot 7}{2} = \\dfrac{118\\cdot 7}{2} = 59\\cdot 7 = 413$$
<div class="sol-ans">Ответ: $413$</div>`
      },
      {
        text: `Внутри угла $A$, равного $60^{\\circ}$, взята точка $M$.
               Расстояния от точки $M$ до сторон угла равны $4$ см и $8$ см.
               Найдите расстояние от точки $M$ до вершины угла $A$.`,
        sol: `Опустим перпендикуляры $MH_1=4$ и $MH_2=8$ на стороны угла.
<svg viewBox="0 0 215 158" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:215px;width:100%;height:auto;display:block;margin:12px 0">
  <!-- описанная окружность (диаметр = AM) -->
  <circle cx="80" cy="88" r="62" fill="none" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
  <!-- диаметр AM -->
  <line x1="22" y1="108" x2="138" y2="68" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,3"/>
  <text x="62" y="97" font-size="8" fill="#94a3b8" font-style="italic">d=AM</text>
  <!-- четырёхугольник AH₁MH₂ -->
  <polygon points="22,108 138,108 138,68 69,28" fill="rgba(37,99,235,0.1)" stroke="#2563eb" stroke-width="0.8" stroke-dasharray="3,2"/>
  <!-- стороны угла -->
  <line x1="22" y1="108" x2="192" y2="108" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="22" y1="108" x2="72" y2="21" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <!-- дуга 60° при A -->
  <path d="M52,108 A30,30 0 0,0 37,82" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2"/>
  <text x="55" y="97" font-size="10" fill="#555">60°</text>
  <!-- метка A -->
  <text x="5" y="114" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <!-- точка M -->
  <circle cx="138" cy="68" r="3.5" fill="#1e293b"/>
  <text x="143" y="67" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
  <!-- MH₁: перпендикуляр к нижней стороне (вертикальный) -->
  <line x1="138" y1="68" x2="138" y2="108" stroke="#2563eb" stroke-width="2" stroke-dasharray="4,2"/>
  <path d="M131,108 L131,101 L138,101" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.3"/>
  <circle cx="138" cy="108" r="2.5" fill="#2563eb"/>
  <text x="141" y="93" font-size="12" fill="#2563eb" font-weight="bold">4</text>
  <text x="128" y="122" font-size="10" fill="#334155">H₁</text>
  <!-- MH₂: перпендикуляр к верхней стороне -->
  <!-- верхняя сторона: направление (0.5, -0.866); нормаль к ней (0.866, 0.5) -->
  <!-- H₂ = M - 80×(0.866,0.5) = (138-69.3, 68-40) = (68.7,28) ≈ (69,28) -->
  <line x1="138" y1="68" x2="69" y2="28" stroke="#e11d48" stroke-width="2" stroke-dasharray="4,2"/>
  <!-- прямой угол при H₂: вдоль верхней стороны (0.5,-0.866) на 7px, вдоль нормали (0.866,0.5) на 7px -->
  <!-- P1 = H₂+7×(0.5,-0.866)=(69+3.5,28-6.1)=(72.5,21.9) -->
  <!-- P2 = H₂+7×(0.866,0.5)=(69+6.1,28+3.5)=(75.1,31.5) -->
  <!-- corner = P1+7×(0.866,0.5)=(72.5+6.1,21.9+3.5)=(78.6,25.4) -->
  <path d="M72.5,21.9 L78.6,25.4 L75.1,31.5" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.3"/>
  <circle cx="69" cy="28" r="2.5" fill="#e11d48"/>
  <text x="97" y="42" font-size="12" fill="#e11d48" font-weight="bold">8</text>
  <text x="55" y="22" font-size="10" fill="#334155">H₂</text>
  <!-- хорда H₁H₂ -->
  <line x1="138" y1="108" x2="69" y2="28" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
  <!-- метка 4√7 рядом с серединой хорды -->
  <text x="86" y="75" font-size="10" fill="#16a34a" font-weight="bold">4√7</text>
  <!-- дуга 120° при M -->
  <!-- начало: M + 22×(0,1) = (138,90) [на луче MH₁, вниз] -->
  <!-- конец: M + 22×(-0.866,-0.5) = (138-19.05,68-11)=(119,57) [на луче MH₂] -->
  <!-- по часовой стрелке sweep=1, large-arc=0 -->
  <path d="M138,90 A22,22 0 0,1 119,57" fill="none" stroke="#333" stroke-width="1.5"/>
  <!-- метка 120° у середины дуги: θ≈150° от M -->
  <!-- M + 30×(cos150°,sin150°) = (138+30×(-0.866),68+30×(-0.5)) = (138-26,68-15) = (112,53) -->
  <text x="100" y="53" font-size="10" fill="#333" font-weight="bold">120°</text>
  <!-- центр описанной окружности -->
  <circle cx="80" cy="88" r="2" fill="#94a3b8"/>
  <text x="83" y="86" font-size="8" fill="#94a3b8" font-style="italic">O</text>
</svg>
<b>Шаг 1 — угол при M.</b><br>
Четырёхугольник $AH_1MH_2$ имеет три известных угла. Так как сумма углов любого четырёхугольника равна $360°$:
$$\\angle H_1MH_2 = 360° - \\underbrace{90°}_{\\angle H_1} - \\underbrace{60°}_{\\angle A} - \\underbrace{90°}_{\\angle H_2} = \\boldsymbol{120°}$$
<b>Шаг 2 — длина отрезка H₁H₂.</b><br>
Теорема косинусов в $\\triangle H_1MH_2$:
$$H_1H_2^2 = 4^2 + 8^2 - 2\\cdot4\\cdot8\\cdot\\cos120° = 16+64-64\\cdot\\left(-\\tfrac{1}{2}\\right) = 112$$
$$H_1H_2 = 4\\sqrt{7}$$
<b>Шаг 3 — четыре точки на одной окружности.</b><br>
Так как $\\angle AH_1M = \\angle AH_2M = 90°$, по <b>обратной теореме Фалеса</b>: точки $H_1$ и $H_2$ лежат на окружности с диаметром $AM$.<br>
Итого все четыре точки $A, H_1, H_2, M$ вписаны в одну окружность, диаметр которой равен $AM$.
<br><br>
<b>Шаг 4 — теорема синусов.</b><br>
В описанной окружности (диаметр $= AM$) вписанный угол $\\angle H_1AH_2 = 60°$ опирается на хорду $H_1H_2$.
По <b>теореме синусов</b>:
$$\\dfrac{H_1H_2}{\\sin\\angle H_1AH_2} = AM \\implies \\dfrac{4\\sqrt{7}}{\\sin 60°} = AM$$
$$AM = \\dfrac{4\\sqrt{7}}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{8\\sqrt{7}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{8\\sqrt{21}}{3} \\approx 12{,}2\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{8\\sqrt{21}}{3}$ см</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $(x^2 + 4x + 5)^2 - 16(x^2 + 4x + 5) = 17$.
               В ответ запишите целые корни уравнения,
               удовлетворяющие неравенству $|x| \\leq 3$.`,
        sol: `<b>Метод замены переменной:</b> если в уравнении повторяется одно и то же выражение, удобно обозначить его новой буквой и решить как обычное квадратное уравнение.
<br><b>Теорема Виета (обратная)</b> для $t^2+pt+q=0$: $t_1+t_2=-p$, $t_1\\cdot t_2=q$.
<br><b>Дискриминант:</b> $D=b^2-4ac$; при $D\\lt 0$ корней нет.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Замечаем, что выражение $x^2+4x+5$ встречается дважды. Сделаем замену:
$$t = x^2+4x+5$$
Тогда уравнение примет вид:
$$t^2 - 16t - 17 = 0$$
<b>Шаг 2.</b> По теореме Виета: $t_1+t_2=16$, $t_1\\cdot t_2=-17$. Подходят $17$ и $-1$:
$$(t-17)(t+1)=0 \\implies t=17 \\text{ или } t=-1$$
<b>Шаг 3.</b> Возвращаемся к переменной $x$. Рассмотрим два случая.
<br><b>Случай 1:</b> $x^2+4x+5=17$, то есть $x^2+4x-12=0$.
<br>Раскладываем: $(x+6)(x-2)=0 \\Rightarrow x=-6$ или $x=2$.
<br>Проверяем условие $|x|\\leq 3$: $x=2$ подходит, $x=-6$ — нет.
<br><b>Случай 2:</b> $x^2+4x+5=-1$, то есть $x^2+4x+6=0$.
<br>Дискриминант: $D=16-24=-8\\lt 0$, значит вещественных корней нет.
<br><b>Шаг 4.</b> Из всех найденных корней условию $|x|\\leq 3$ удовлетворяет только $x=2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x=2$</div>`
      },
    ]
};