Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
195 lines
15 KiB
JavaScript
195 lines
15 KiB
JavaScript
VARIANTS[6] = {
|
||
label: "Вариант 6",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку $[-10{,}5;\\, -1{,}4]$:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$-11$"], ["б", "$-10$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$-2$"], ["д", "$0$"],
|
||
],
|
||
sol: `Промежуток $[-10{,}5;\\, -1{,}4]$ имеет правый конец $-1{,}4$ (открытый).
|
||
<br>Наибольшее целое $\\leq -1{,}4$ — это $-2$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г) $-2$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Второй член арифметической прогрессии $(a_n)$,
|
||
у которой $d = 1{,}5$ и $a_1 = -0{,}5$, равен:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$1$"], ["б", "$1{,}5$"], ["в", "$-2$"], ["г", "$2$"], ["д", "$-0{,}75$"],
|
||
],
|
||
sol: `$$a_2 = a_1 + d = -0{,}5 + 1{,}5 = 1$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: а) $1$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "в равностороннем треугольнике все углы равны по $30^{\\circ}$;"],
|
||
["б", "диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника;"],
|
||
["в", "любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла;"],
|
||
["г", "если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то такие треугольники равны?"],
|
||
],
|
||
sol: `<ul><li>а) В равностороннем треугольнике все углы равны по $30^\\circ$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li><li>б) Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника — <b>верно</b></li><li>в) Точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла — <b>верно</b></li><li>г) Три равных стороны → равные треугольники — <b>верно</b></li></ul>В равностороннем треугольнике каждый угол $= 60^\\circ$, а не $30^\\circ$.<div class="sol-ans">Ответ: а)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Решите уравнение $3x^2 + 0{,}6x = 0$.
|
||
В ответ запишите среднее арифметическое корней уравнения.`,
|
||
sol: `Выносим $x$ за скобку:
|
||
$$x(3x + 0{,}6) = 0 \\implies x_1=0,\\quad x_2 = -\\frac{0{,}6}{3} = -0{,}2$$
|
||
Среднее арифметическое: $\\dfrac{x_1+x_2}{2} = \\dfrac{0+(-0{,}2)}{2} = -0{,}1$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-0{,}1$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Высоты параллелограмма, проведённые из вершины тупого угла, равны $10$ см и $6$ см.
|
||
Периметр параллелограмма равен $48$ см. Найдите площадь параллелограмма.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 195 112" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<polygon points="55,95 165,95 130,20 20,20" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<path d="M85,95 A30,30 0 0,1 42,67" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2"/>
|
||
<text x="74" y="90" font-size="9" fill="#888">тупой</text>
|
||
<text x="38" y="110" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="167" y="110" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="132" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="5" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="100" y="108" font-size="10" fill="#475569" font-style="italic">a</text>
|
||
<text x="18" y="62" font-size="10" fill="#475569" font-style="italic">b</text>
|
||
<line x1="55" y1="95" x2="55" y2="20" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<path d="M48,20 L48,27 L55,27" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1"/>
|
||
<text x="58" y="62" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">h₁=10</text>
|
||
<line x1="55" y1="95" x2="143" y2="49" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<path d="M140.2,43.7 L145.5,40.9 L148.3,46.2" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1"/>
|
||
<text x="95" y="61" font-size="11" fill="#e11d48" font-weight="bold">h₂=6</text>
|
||
</svg>
|
||
Пусть стороны параллелограмма $a$ и $b$. Высоты из вершины тупого угла перпендикулярны к <b>смежным</b> сторонам: $h_a=10$ (к стороне $a$) и $h_b=6$ (к стороне $b$).
|
||
<br>Площадь одна и та же: $S = a\\cdot h_a = b\\cdot h_b$, значит:
|
||
$$10a = 6b \\implies \\frac{a}{b} = \\frac{3}{5}$$
|
||
Периметр: $2(a+b)=48 \\Rightarrow a+b=24$.
|
||
<br>С учётом $a=3k,\\ b=5k$: $8k=24 \\Rightarrow k=3$, т.е. $a=9$, $b=15$.
|
||
$$S = a\\cdot h_a = 9\\cdot 10 = 90\\text{ см}^2$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $90$ см²</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `При каких натуральных значениях $n$ верно неравенство
|
||
$5{,}6(n - 3) - 3{,}2(2 - n) < 20{,}8$?`,
|
||
sol: `<b>Свойства линейных неравенств:</b> можно прибавлять к обеим частям одно и то же число и делить на положительное число — знак неравенства сохраняется.
|
||
<br><b>Натуральные числа:</b> $1, 2, 3, \\ldots$
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Раскроем скобки в левой части:
|
||
$$5{,}6(n-3) = 5{,}6n - 16{,}8$$
|
||
$$-3{,}2(2-n) = -6{,}4 + 3{,}2n$$
|
||
Неравенство:
|
||
$$5{,}6n - 16{,}8 - 6{,}4 + 3{,}2n \\lt 20{,}8$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Приведём подобные:
|
||
$$8{,}8n - 23{,}2 \\lt 20{,}8$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Перенесём $-23{,}2$ направо:
|
||
$$8{,}8n \\lt 44$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Разделим на $8{,}8$ (положительное число — знак сохраняется):
|
||
$$n \\lt 5$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Натуральные значения, удовлетворяющие $n\\lt 5$:
|
||
$$n \\in \\{1,\\ 2,\\ 3,\\ 4\\}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $n = 1,\\ 2,\\ 3,\\ 4$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Известно, что график функции $y = f(x)$ симметричен относительно оси ординат
|
||
и $f(-5) = 2$, $f(4) = -5$.
|
||
Найдите значение выражения $2f(5) - f(-4)$.`,
|
||
sol: `<b>Признак чётной функции:</b> график функции симметричен относительно оси ординат тогда и только тогда, когда функция чётная.
|
||
<br><b>Свойство чётной функции:</b> $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Из симметрии графика относительно оси $Oy$ следует, что функция чётная, то есть:
|
||
$$f(-x) = f(x)$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Выразим $f(5)$ через известное значение $f(-5)$, используя $f(5)=f(-5)$:
|
||
$$f(5) = f(-5) = 2$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Аналогично для $f(-4)$:
|
||
$$f(-4) = f(4) = -5$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Подставляем найденные значения:
|
||
$$2f(5) - f(-4) = 2\\cdot 2 - (-5) = 4 + 5 = 9$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $9$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Определите число решений системы уравнений
|
||
$$\\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\\\[4pt] y = -x^2 + 3. \\end{cases}$$
|
||
Ответ обоснуйте.`,
|
||
sol: `<b>Метод подстановки</b> для системы уравнений: подставляем выражение для $y$ из одного уравнения в другое.
|
||
<br><b>Геометрический смысл:</b> первое уравнение — окружность радиуса $3$ с центром в начале координат; второе — парабола с вершиной $(0;3)$ и ветвями вниз.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Из второго уравнения возьмём $y=-x^2+3$ и подставим в первое:
|
||
$$x^2+(-x^2+3)^2=9$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Раскрываем квадрат и приводим подобные:
|
||
$$x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = 9$$
|
||
$$x^4 - 5x^2 = 0$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Вынесем общий множитель:
|
||
$$x^2(x^2-5)=0$$
|
||
Произведение равно нулю, когда один из множителей нуль: $x=0$ или $x^2=5$, то есть $x=\\pm\\sqrt{5}$.
|
||
<br><b>Шаг 4.</b> Для каждого $x$ находим $y$ по формуле $y=-x^2+3$:
|
||
<ul>
|
||
<li>$x=0 \\Rightarrow y=3$ — точка $(0;3)$;</li>
|
||
<li>$x=\\pm\\sqrt{5} \\Rightarrow y=-5+3=-2$ — точки $(\\pm\\sqrt{5};-2)$.</li>
|
||
</ul>
|
||
<b>Шаг 5.</b> Получили три точки пересечения, значит, у системы 3 решения.
|
||
<svg viewBox="0 0 200 195" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<defs><marker id="arrs6t8" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
|
||
<line x1="10" y1="100" x2="190" y2="100" stroke="#bbb" stroke-width="1" marker-end="url(#arrs6t8)"/>
|
||
<line x1="100" y1="185" x2="100" y2="10" stroke="#bbb" stroke-width="1" marker-end="url(#arrs6t8)"/>
|
||
<text x="186" y="97" font-size="10" fill="#555">x</text><text x="102" y="12" font-size="10" fill="#555">y</text>
|
||
<circle cx="100" cy="100" r="60" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
|
||
<text x="148" y="48" font-size="10" fill="#2563eb">x²+y²=9</text>
|
||
<path d="M38,156 Q69,40 100,40 Q131,40 162,156" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1.8"/>
|
||
<text x="132" y="170" font-size="10" fill="#e11d48">y=−x²+3</text>
|
||
<circle cx="100" cy="40" r="4" fill="#16a34a"/><text x="105" y="38" font-size="9" fill="#16a34a">(0,3)</text>
|
||
<circle cx="145" cy="140" r="4" fill="#16a34a"/><text x="148" y="138" font-size="9" fill="#16a34a">(√5,−2)</text>
|
||
<circle cx="55" cy="140" r="4" fill="#16a34a"/><text x="6" y="138" font-size="9" fill="#16a34a">(−√5,−2)</text>
|
||
</svg>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: 3 решения</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `К раствору, содержащему $40$ г соли, добавили $200$ г воды,
|
||
после чего концентрация соли уменьшилась на $10\\%$.
|
||
Найдите первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.`,
|
||
sol: `<b>Формула концентрации:</b> $c = \\dfrac{m_{\\text{соли}}}{m_{\\text{раствора}}}$ — отношение массы соли к массе всего раствора.
|
||
<br><b>Ключевое наблюдение:</b> при добавлении воды масса соли <em>не меняется</em>, изменяется только масса всего раствора и, следовательно, концентрация.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Введём переменную: пусть $m$ (г) — начальная масса раствора.
|
||
<br>В нём $40$ г соли. После добавления $200$ г воды масса раствора стала $m+200$ г, а соли по-прежнему $40$ г.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Запишем концентрации до и после:
|
||
$$c_{\\text{до}} = \\dfrac{40}{m},\\qquad c_{\\text{после}} = \\dfrac{40}{m+200}$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> По условию концентрация <em>уменьшилась на $10\\%$</em>, то есть $c_{\\text{до}} - c_{\\text{после}} = 0{,}1$:
|
||
$$\\dfrac{40}{m} - \\dfrac{40}{m+200} = 0{,}1$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Приводим к общему знаменателю $m(m+200)$:
|
||
$$\\dfrac{40(m+200) - 40m}{m(m+200)} = 0{,}1$$
|
||
$$\\dfrac{8000}{m(m+200)} = 0{,}1$$
|
||
$$m(m+200) = 80000$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Раскрываем скобки и получаем квадратное уравнение:
|
||
$$m^2 + 200m - 80000 = 0$$
|
||
Дискриминант: $D = 200^2 + 4\\cdot 80000 = 40000 + 320000 = 360000 = 600^2$.
|
||
$$m = \\dfrac{-200 + 600}{2} = 200\\text{ г}\\quad (m\\gt 0)$$
|
||
<b>Шаг 6.</b> Находим начальную концентрацию:
|
||
$$c_{\\text{до}} = \\dfrac{40}{200} = 0{,}2 = 20\\%$$
|
||
<b>Проверка:</b> после добавления $c_{\\text{после}} = \\dfrac{40}{400} = 10\\% = 20\\%-10\\%$ ✓
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $20\\%$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите площадь сектора круга, угол которого равен $150^{\\circ}$,
|
||
а длина дуги — $6$ см. Ответ округлите до целых см², взяв $\\pi \\approx 3{,}14$.`,
|
||
sol: `<b>Формула длины дуги:</b> $l = \\dfrac{\\pi r\\alpha°}{180°}$.
|
||
<br><b>Формула площади сектора через длину дуги:</b> $S = \\dfrac{l\\cdot r}{2}$.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Из формулы длины дуги при $l=6$, $\\alpha=150°$ найдём радиус:
|
||
$$6 = \\dfrac{\\pi r\\cdot 150}{180} = \\dfrac{5\\pi r}{6}$$
|
||
$$r = \\dfrac{36}{5\\pi}$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Подставим в формулу площади:
|
||
$$S = \\dfrac{l\\cdot r}{2} = \\dfrac{6\\cdot\\dfrac{36}{5\\pi}}{2} = \\dfrac{108}{5\\pi}$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Подставим $\\pi\\approx 3{,}14$:
|
||
$$S \\approx \\dfrac{108}{5\\cdot 3{,}14} = \\dfrac{108}{15{,}7} \\approx 6{,}88 \\approx 7\\text{ см}^2$$
|
||
<svg viewBox="0 0 120 115" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:120px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<path d="M60,60 L60,15 A45,45 0 0,1 82.5,99 Z" fill="rgba(37,99,235,0.2)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
|
||
<path d="M60,60 L60,15" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
|
||
<path d="M60,60 L82.5,99" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
|
||
<circle cx="60" cy="60" r="45" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<path d="M60,40 A20,20 0 0,1 70,77" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
|
||
<text x="48" y="70" font-size="10" fill="#555">150°</text>
|
||
<text x="48" y="40" font-size="10" fill="#2563eb">r</text>
|
||
<text x="84" y="40" font-size="9" fill="#e11d48">l=6</text>
|
||
</svg>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $7$ см²</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|