Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
234 lines
18 KiB
JavaScript
234 lines
18 KiB
JavaScript
VARIANTS[8] = {
|
||
label: "Вариант 8",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите, какое из следующих равенств верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$b^{-3} = -3b$"],
|
||
["б", "$b^{-3} = -b^3$"],
|
||
["в", "$b^{-3} = \\dfrac{1}{b^3}$"],
|
||
["г", "$b^{-3} = -\\dfrac{1}{b^3}$"],
|
||
["д", "$b^{-3} = -\\dfrac{3}{b}$"],
|
||
],
|
||
sol: `По определению отрицательного показателя: $b^{-n} = \\dfrac{1}{b^n}$.
|
||
$$b^{-3} = \\frac{1}{b^3}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в) $b^{-3}=\\dfrac{1}{b^3}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Второй член геометрической прогрессии $(b_n)$,
|
||
у которой $q = 4$ и $b_1 = \\dfrac{3}{8}$, равен:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$1$"], ["б", "$2$"], ["в", "$\\dfrac{1}{2}$"],
|
||
["г", "$\\dfrac{2}{3}$"], ["д", "$1\\dfrac{1}{2}$"],
|
||
],
|
||
sol: `$$b_2 = b_1\\cdot q = \\dfrac{3}{8}\\cdot 4 = \\dfrac{3}{2} = 1\\dfrac{1}{2}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: д) $1\\dfrac{1}{2}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "соответственные углы при двух параллельных прямых и секущей равны между собой;"],
|
||
["б", "средняя линия трапеции параллельна основаниям;"],
|
||
["в", "$\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
|
||
["г", "если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это обязательно квадрат?"],
|
||
],
|
||
sol: `<ul>
|
||
<li>а) Соответственные углы при ∥ прямых равны — <b>верно</b></li>
|
||
<li>б) Средняя линия трапеции ∥ основаниям — <b>верно</b></li>
|
||
<li>в) $\\cos 60^\\circ = \\frac{1}{2}$ — <b>верно</b></li>
|
||
<li>г) Перпендикулярные диагонали → квадрат — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
|
||
</ul>
|
||
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, он является <b>ромбом</b>, но не обязательно квадратом.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Определите наименьшее целое решение двойного неравенства
|
||
$-2 \\lt \\dfrac{2x - 1}{3} \\leq 1$.`,
|
||
sol: `Умножим все части на $3$: $-6 \\lt 2x-1 \\leq 3$. Прибавим $1$: $-5 \\lt 2x \\leq 4$. Разделим на $2$: $-2{,}5 \\lt x \\leq 2$.
|
||
<svg viewBox="0 0 250 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:250px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<defs><marker id="a8t4" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
|
||
<line x1="8" y1="26" x2="238" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a8t4)"/>
|
||
<line x1="55" y1="22" x2="55" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="55" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
|
||
<line x1="85" y1="22" x2="85" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="85" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−2</text>
|
||
<line x1="115" y1="22" x2="115" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="115" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
|
||
<line x1="145" y1="22" x2="145" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="145" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
|
||
<line x1="175" y1="22" x2="175" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="175" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">1</text>
|
||
<line x1="205" y1="22" x2="205" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="205" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">2</text>
|
||
<line x1="70" y1="26" x2="205" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
|
||
<circle cx="70" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
|
||
<circle cx="205" cy="26" r="5" fill="#2563eb" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
|
||
<text x="70" y="15" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">−2,5</text>
|
||
</svg>
|
||
Наименьшее целое число, большее $-2{,}5$: это $-2$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-2$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ точка $O$ — пересечение диагоналей,
|
||
$BC = 8$ см, $BO = 4$ см, $OD = 6$ см. Найдите среднюю линию трапеции.`,
|
||
sol: `<b>Свойство диагоналей трапеции:</b> точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ в отношении, равном отношению оснований.
|
||
<br><b>Формула средней линии трапеции:</b> $m = \\dfrac{a+b}{2}$ — полусумма оснований.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> По свойству диагоналей:
|
||
$$\\dfrac{BO}{OD} = \\dfrac{BC}{AD}$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Подставляем $BO=4$, $OD=6$, $BC=8$:
|
||
$$\\dfrac{4}{6} = \\dfrac{8}{AD}$$
|
||
$$AD = \\dfrac{8\\cdot 6}{4} = 12\\text{ см}$$
|
||
<svg viewBox="0 0 195 118" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:195px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<polygon points="20,100 160,100 130,25 50,25" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<line x1="20" y1="100" x2="130" y2="25" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
|
||
<line x1="160" y1="100" x2="50" y2="25" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
|
||
<circle cx="87" cy="50" r="3" fill="#1e293b"/>
|
||
<text x="5" y="113" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="162" y="113" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="132" y="20" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="38" y="20" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="92" y="48" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
|
||
<text x="80" y="112" font-size="10" fill="#334155" text-anchor="middle">AD = 12</text>
|
||
<text x="85" y="18" font-size="10" fill="#334155" text-anchor="middle">BC = 8</text>
|
||
<text x="55" y="42" font-size="10" fill="#2563eb">BO=4</text>
|
||
<text x="97" y="72" font-size="10" fill="#e11d48">OD=6</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 3.</b> По формуле средней линии трапеции:
|
||
$$m = \\dfrac{BC+AD}{2} = \\dfrac{8+12}{2} = 10\\text{ см}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $10$ см</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Упростите выражение
|
||
$$\\dfrac{x + 2\\sqrt{xy} + y}{\\sqrt{x} + \\sqrt{y}} - \\dfrac{4x - y}{2\\sqrt{x} - \\sqrt{y}}.$$`,
|
||
sol: `<b>Формула квадрата суммы:</b> $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
|
||
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
|
||
<br><b>Идея:</b> представляем $x$ как $(\\sqrt{x})^2$, чтобы использовать формулы сокращённого умножения и сократить дроби.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем <em>первую дробь</em>. Числитель — полный квадрат:
|
||
$$x + 2\\sqrt{xy} + y = (\\sqrt{x})^2 + 2\\cdot\\sqrt{x}\\cdot\\sqrt{y} + (\\sqrt{y})^2 = (\\sqrt{x}+\\sqrt{y})^2$$
|
||
Сокращаем на $(\\sqrt{x}+\\sqrt{y})$:
|
||
$$\\dfrac{(\\sqrt{x}+\\sqrt{y})^2}{\\sqrt{x}+\\sqrt{y}} = \\sqrt{x}+\\sqrt{y}$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем <em>вторую дробь</em>. Числитель — разность квадратов:
|
||
$$4x - y = (2\\sqrt{x})^2 - (\\sqrt{y})^2 = (2\\sqrt{x}-\\sqrt{y})(2\\sqrt{x}+\\sqrt{y})$$
|
||
Сокращаем на $(2\\sqrt{x}-\\sqrt{y})$:
|
||
$$\\dfrac{(2\\sqrt{x}-\\sqrt{y})(2\\sqrt{x}+\\sqrt{y})}{2\\sqrt{x}-\\sqrt{y}} = 2\\sqrt{x}+\\sqrt{y}$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Вычисляем разность:
|
||
$$(\\sqrt{x}+\\sqrt{y}) - (2\\sqrt{x}+\\sqrt{y}) = \\sqrt{x} + \\sqrt{y} - 2\\sqrt{x} - \\sqrt{y} = -\\sqrt{x}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\sqrt{x}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `График функции $y = g(x)$ получен из графика функции $f(x) = x^2$
|
||
сдвигом на $2$ единицы вправо вдоль оси абсцисс и на $4$ единицы вниз
|
||
вдоль оси ординат. Найдите нули функции $y = g(x)$.`,
|
||
sol: `<b>Правило сдвига графика функции:</b>
|
||
<br>• сдвиг на $a$ единиц <em>вправо</em>: $f(x) \\to f(x-a)$;
|
||
<br>• сдвиг на $b$ единиц <em>вниз</em>: $f(x) \\to f(x)-b$.
|
||
<br><b>Нули функции:</b> значения $x$, при которых $g(x)=0$.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Сдвинем график $f(x)=x^2$ на $2$ единицы вправо. По правилу:
|
||
$$f_1(x) = (x-2)^2$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Затем сдвинем график вниз на $4$ единицы:
|
||
$$g(x) = (x-2)^2 - 4$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Найдём нули, решая уравнение $g(x)=0$:
|
||
$$(x-2)^2 - 4 = 0 \\implies (x-2)^2 = 4$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Извлекаем квадратный корень:
|
||
$$x - 2 = \\pm 2$$
|
||
Значит, $x = 4$ или $x = 0$.
|
||
<svg viewBox="0 0 240 128" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<defs><marker id="a8t7" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker></defs>
|
||
<line x1="5" y1="40" x2="228" y2="40" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a8t7)"/>
|
||
<line x1="100" y1="122" x2="100" y2="5" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a8t7)"/>
|
||
<text x="230" y="44" font-size="10" fill="#777">x</text><text x="102" y="6" font-size="10" fill="#777">y</text>
|
||
<polyline points="78,2 100,40 122,64 144,72 166,64 188,40 210,2" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/>
|
||
<circle cx="100" cy="40" r="4.5" fill="#2563eb"/>
|
||
<text x="100" y="57" font-size="11" fill="#2563eb" text-anchor="middle" font-weight="bold">0</text>
|
||
<circle cx="188" cy="40" r="4.5" fill="#2563eb"/>
|
||
<text x="188" y="57" font-size="11" fill="#2563eb" text-anchor="middle" font-weight="bold">4</text>
|
||
<circle cx="144" cy="72" r="3.5" fill="#e11d48"/>
|
||
<text x="150" y="86" font-size="10" fill="#e11d48">(2; −4)</text>
|
||
<line x1="144" y1="38" x2="144" y2="42" stroke="#777" stroke-width="1"/>
|
||
<text x="144" y="35" font-size="10" fill="#555" text-anchor="middle">2</text>
|
||
</svg>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 0$ и $x = 4$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Решите уравнение $\\dfrac{7}{x^2 - x - 12} + \\dfrac{1}{x + 3} = -1$.`,
|
||
sol: `<b>Решение дробно-рациональных уравнений:</b> ищем ОДЗ, умножаем на общий знаменатель, проверяем корни.
|
||
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Разложим знаменатель первой дроби. Сумма корней $1$, произведение $-12$. Подходят $4$ и $-3$:
|
||
$$x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> ОДЗ: знаменатели не должны быть нулём:
|
||
$$x\\neq 4,\\quad x\\neq -3$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-4)(x+3)$:
|
||
$$7 + (x-4) = -(x-4)(x+3)$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Упрощаем:
|
||
$$x+3 = -(x^2-x-12) = -x^2+x+12$$
|
||
$$x^2 - 9 = 0$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> По формуле разности квадратов: $(x-3)(x+3)=0 \\Rightarrow x=3$ или $x=-3$.
|
||
<br><b>Шаг 6.</b> Проверка ОДЗ: $x=-3$ исключён. Проверяем $x=3$:
|
||
$$\\dfrac{7}{9-3-12}+\\dfrac{1}{6} = \\dfrac{7}{-6}+\\dfrac{1}{6} = -1 \\checkmark$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 3$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится $4$
|
||
и в остатке $3$. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр,
|
||
то в частном получится $3$ и в остатке $5$. Найдите это двузначное число.`,
|
||
sol: `<b>Запись двузначного числа:</b> $10a+b$, где $a$ — цифра десятков ($1\\leq a\\leq 9$), $b$ — цифра единиц ($0\\leq b\\leq 9$).
|
||
<br><b>Теорема о делении с остатком:</b> если $N$ при делении на $d$ даёт частное $q$ и остаток $r$, то $N = d\\cdot q + r$, $0\\leq r\\lt d$.
|
||
<br><b>Формула корней квадратного уравнения:</b> $x=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$, $D=b^2-4ac$.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Обозначим за $10a+b$ искомое двузначное число.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> <em>Первое условие:</em> при делении на $a+b$ получили частное $4$ и остаток $3$:
|
||
$$10a + b = 4(a+b) + 3$$
|
||
$$10a + b = 4a + 4b + 3$$
|
||
$$6a - 3b = 3$$
|
||
$$b = 2a - 1 \\quad (*)$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> <em>Второе условие:</em> при делении на $ab$ получили частное $3$ и остаток $5$:
|
||
$$10a + b = 3ab + 5$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Подставим $(*)$ во второе условие:
|
||
$$10a + (2a-1) = 3a(2a-1) + 5$$
|
||
$$12a - 1 = 6a^2 - 3a + 5$$
|
||
$$6a^2 - 15a + 6 = 0$$
|
||
Делим на $3$:
|
||
$$2a^2 - 5a + 2 = 0$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
|
||
$$a = \\dfrac{5\\pm 3}{4} \\implies a = 2 \\text{ или } a = \\dfrac{1}{2}$$
|
||
Цифра должна быть целой, значит $a = 2$.
|
||
<br><b>Шаг 6.</b> Из $(*)$: $b = 2\\cdot 2 - 1 = 3$. Число $= 23$.
|
||
<br><b>Проверка:</b>
|
||
<br>• сумма цифр $= 5$; $23:5 = 4$ (ост. $3$): $4\\cdot 5+3=23$ ✓;
|
||
<br>• произведение цифр $= 6$; $23:6 = 3$ (ост. $5$): $3\\cdot 6+5=23$ ✓.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $23$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Внутри параллелограмма $ABCD$ взята точка $K$, такая, что
|
||
$S_{BKC} = 12$ см², $S_{AKD} = 20$ см².
|
||
Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.`,
|
||
figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 265 168" width="265" height="168">
|
||
<polygon points="35,143 200,143 220,35 55,35" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
|
||
<polygon points="35,143 118,94 55,35" fill="rgba(251,146,60,0.2)"/>
|
||
<polygon points="200,143 118,94 220,35" fill="rgba(37,99,235,0.16)"/>
|
||
<line x1="118" y1="94" x2="35" y2="143" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<line x1="118" y1="94" x2="200" y2="143" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<line x1="118" y1="94" x2="220" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<line x1="118" y1="94" x2="55" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<circle cx="118" cy="94" r="3.5" fill="#1e293b"/>
|
||
<text x="21" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
|
||
<text x="203" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
|
||
<text x="223" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
|
||
<text x="41" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
|
||
<text x="124" y="90" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">K</text>
|
||
<text x="65" y="98" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#c2410c">20 см²</text>
|
||
<text x="177" y="98" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#1d4ed8">12 см²</text>
|
||
</svg>`,
|
||
sol: `<b>Свойство точки внутри параллелограмма:</b> для любой точки $K$ внутри параллелограмма $ABCD$ сумма площадей двух треугольников, опирающихся на противоположные стороны, равна половине площади параллелограмма:
|
||
$$S_{\\triangle BKC} + S_{\\triangle AKD} = \\dfrac{S_{ABCD}}{2}$$
|
||
<br>(Доказательство: $BC$ и $AD$ — противоположные стороны параллелограмма, $BC=AD=a$. Расстояния от $K$ до этих параллельных сторон $h_1$ и $h_2$ в сумме дают высоту параллелограмма $H$. Поэтому $S_{\\triangle BKC}+S_{\\triangle AKD}=\\tfrac{1}{2}a(h_1+h_2)=\\tfrac{1}{2}aH=\\tfrac{1}{2}S_{ABCD}$.)
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> По свойству, доказанному выше:
|
||
$$\\dfrac{S_{ABCD}}{2} = S_{\\triangle BKC}+S_{\\triangle AKD}$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Подставляем известные площади:
|
||
$$\\dfrac{S_{ABCD}}{2} = 12 + 20 = 32$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Умножаем обе части на 2:
|
||
$$S_{ABCD} = 64\\text{ см}^2$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $64$ см²</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|