Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
212 lines
18 KiB
JavaScript
212 lines
18 KiB
JavaScript
VARIANTS[36] = {
|
||
label: "Вариант 36",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `При каком значении переменной выражение $\\dfrac{a}{a+3}$ <b>НЕ</b> имеет смысла:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$-3$"], ["б", "$-2$"], ["в", "$0$"], ["г", "$2$"], ["д", "$3$"],
|
||
],
|
||
sol: `Дробь не имеет смысла при нулевом знаменателе:
|
||
$$a + 3 = 0 \\implies a = -3$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: а) $-3$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Если к разности чисел $1{,}2$ и $-0{,}6$ прибавить $0{,}8$, то получится число:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$-1{,}4$"], ["б", "$1$"], ["в", "$-1{,}2$"], ["г", "$2{,}6$"], ["д", "$1{,}6$"],
|
||
],
|
||
sol: `$$(1{,}2 - (-0{,}6)) + 0{,}8 = (1{,}2 + 0{,}6) + 0{,}8 = 1{,}8 + 0{,}8 = 2{,}6$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г) $2{,}6$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "около четырёхугольника $ABCD$, где $\\angle B = 30^{\\circ}$, $\\angle D = 150^{\\circ}$, можно описать окружность;"],
|
||
["б", "$\\cos 60^{\\circ} = -\\cos 120^{\\circ}$;"],
|
||
["в", "прямой вписанный угол опирается на диаметр;"],
|
||
["г", "в любом равнобедренном треугольнике все медианы равны между собой?"],
|
||
],
|
||
sol: `<ul>
|
||
<li>а) $\\angle B + \\angle D = 30°+150°=180°$ ⟹ около него можно описать окружность — <b>верно</b></li>
|
||
<li>б) $\\cos60°=0{,}5$; $-\\cos120°=-(-0{,}5)=0{,}5$ ⟹ равны — <b>верно</b></li>
|
||
<li>в) Прямой вписанный угол ($90°$) опирается на диаметр — <b>верно</b></li>
|
||
<li>г) «Все медианы равнобедренного треугольника равны» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. В равнобедренном (но не равностороннем) треугольнике две медианы к боковым сторонам равны, а медиана к основанию — другая.</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Из $4$ кг свежих яблок получается $0{,}5$ кг сушёных.
|
||
Сколько килограммов свежих яблок надо взять, чтобы получить $4$ кг сушёных?`,
|
||
sol: `<b>Метод прямой пропорции:</b> если две величины прямо пропорциональны, то $\\dfrac{a_1}{b_1} = \\dfrac{a_2}{b_2}$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим $x$ — искомое количество свежих яблок (в кг), необходимое для получения $4$ кг сушёных.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Так как масса сушёных яблок прямо пропорциональна массе свежих (чем больше свежих, тем больше получится сушёных), составим пропорцию:
|
||
$$\\dfrac{4\\text{ кг свежих}}{0{,}5\\text{ кг сушёных}} = \\dfrac{x}{4\\text{ кг сушёных}}$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> По основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
|
||
$$x = \\dfrac{4\\cdot 4}{0{,}5} = \\dfrac{16}{0{,}5} = 32\\text{ кг}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $32$ кг свежих яблок</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите $\\text{НОК}(21;\\; 63;\\; 105)$.
|
||
В ответ запишите число, обратное полученному.`,
|
||
sol: `Разложим на простые множители:
|
||
$$21 = 3\\cdot7, \\quad 63 = 3^2\\cdot7, \\quad 105 = 3\\cdot5\\cdot7$$
|
||
НОК берёт <em>наибольшие</em> степени каждого простого:
|
||
$$\\text{НОК} = 3^2\\cdot5\\cdot7 = 9\\cdot35 = 315$$
|
||
Обратное число: $\\dfrac{1}{315}$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{1}{315}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `$ABCD$ — параллелограмм, $CK$ — высота, проведённая к стороне $AD$,
|
||
$BC = 12$ см, $AK = 8$ см, $\\angle A = 120^{\\circ}$.
|
||
Найдите периметр параллелограмма.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 220 140" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
|
||
<polygon points="50,115 20,28 140,28 170,115" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<line x1="140" y1="28" x2="140" y2="115" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<polygon points="140,115 132,115 132,107 140,107" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
|
||
<path d="M 70 115 A 22 22 0 0 0 70 93" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
|
||
<circle cx="140" cy="115" r="2.5" fill="#334155"/>
|
||
<text x="35" y="125" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="13" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="142" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="172" y="125" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="142" y="125" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
|
||
<text x="56" y="104" font-size="10" fill="#555">120°</text>
|
||
<text x="22" y="74" font-size="11" fill="#334155">8</text>
|
||
<text x="80" y="22" font-size="11" fill="#334155">12</text>
|
||
<text x="85" y="125" font-size="10" fill="#475569">AK=8</text>
|
||
<text x="144" y="74" font-size="11" fill="#16a34a">h</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Свойство параллелограмма:</b> противоположные стороны параллелограмма равны.
|
||
<br>Значит, $AD = BC = 12$ см.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Так как угол $A$ тупой ($120°$), основание высоты $K$, опущенной из вершины $C$ на прямую $AD$, лежит <em>за</em> точкой $D$, то есть $AK \\gt AD$ (см. рисунок: $AK = 8$, $AD = 12$ означает, что $K$ ближе к $A$, чем $D$, на $4$ см).
|
||
<br>Точнее: смежный угол при вершине $D$ равен $180° - 120° = 60°$.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ ($\\angle CKD = 90°$).
|
||
<br>Угол $CDK = 180° - \\angle ADC = 180° - 60° = 120°$? Нет — высота $CK$ из $C$ падает на сторону $AD$ изнутри параллелограмма. Угол $\\angle CDA$ у параллелограмма (противоположен $\\angle B$, равен $60°$, так как соседние углы дают $180°$).
|
||
<br>В $\\triangle CKD$: $\\cos\\angle CDK = \\dfrac{KD}{CD}$, при этом $KD = AD - AK = 12 - 8 = 4$ см.
|
||
<br>По <b>определению косинуса:</b>
|
||
$$\\cos 60° = \\dfrac{KD}{CD} \\implies \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{4}{CD} \\implies CD = 8\\text{ см}$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> $AB = CD = 8$ см (противоположные стороны).
|
||
<br><b>Шаг 4.</b> <b>Формула периметра параллелограмма:</b> $P = 2(a + b)$:
|
||
$$P = 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40\\text{ см}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $40$ см</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Сократите дробь $\\dfrac{t^2 + 9t - 22}{t^2 + 7t - 44}$
|
||
и найдите значение полученного выражения при $t = -6$.`,
|
||
sol: `<b>Теорема Виета (для разложения квадратного трёхчлена):</b> $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$, $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим числитель $t^2 + 9t - 22$.
|
||
<br>Ищем два числа с суммой $-9$ (по Виете $x_1 + x_2 = -p = -9$) и произведением $-22$. Это $-11$ и $2$ (так как $-11 + 2 = -9$, $-11 \\cdot 2 = -22$):
|
||
$$t^2 + 9t - 22 = (t + 11)(t - 2)$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Разложим знаменатель $t^2 + 7t - 44$.
|
||
<br>Ищем два числа с суммой $-7$ и произведением $-44$. Это $-11$ и $4$ (так как $-11 + 4 = -7$, $-11 \\cdot 4 = -44$):
|
||
$$t^2 + 7t - 44 = (t + 11)(t - 4)$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(t + 11)$, считая $t \\neq -11$ и $t \\neq 4$:
|
||
$$\\dfrac{(t+11)(t-2)}{(t+11)(t-4)} = \\dfrac{t-2}{t-4}$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $t = -6$ в полученное выражение:
|
||
$$\\dfrac{-6-2}{-6-4} = \\dfrac{-8}{-10} = \\dfrac{4}{5}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{t-2}{t-4}$;  при $t=-6$ значение равно $\\dfrac{4}{5}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите сумму всех натуральных чисел, больших $8$ и не превосходящих $188$,
|
||
которые при делении на $8$ дают в остатке $4$.`,
|
||
sol: `<b>Формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> По определению деления с остатком натуральные числа, дающие при делении на $8$ остаток $4$, имеют вид $a = 8k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Найдём допустимые значения $k$ из условия $8 \\lt a \\leq 188$:
|
||
$$8 \\lt 8k + 4 \\leq 188 \\implies 4 \\lt 8k \\leq 184 \\implies \\dfrac{1}{2} \\lt k \\leq 23$$
|
||
Так как $k$ целое, получаем $k = 1,\\ 2,\\ \\ldots,\\ 23$.
|
||
<br><b>Шаг 3.</b> Найдём первый и последний члены:
|
||
$$a_1 = 8\\cdot 1 + 4 = 12, \\quad a_n = 8\\cdot 23 + 4 = 188$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Числа $12,\\ 20,\\ 28,\\ \\ldots,\\ 188$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 8$.
|
||
<br><b>Шаг 5.</b> Количество членов: $n = 23$.
|
||
<br><b>Шаг 6.</b> Применим формулу суммы:
|
||
$$S = \\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \\dfrac{23\\cdot(12 + 188)}{2} = \\dfrac{23\\cdot 200}{2} = 23\\cdot 100 = 2300$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $2300$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Квадратный участок земли разбили на четыре части: газон, цветник, огород и сад.
|
||
Сад и цветник — квадраты. Периметр сада — $80$ м, а цветника — $20$ м.
|
||
Чему равен периметр газона?`,
|
||
sol: `<b>Формула периметра квадрата:</b> $P = 4a$, откуда сторона $a = \\dfrac{P}{4}$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Находим стороны квадратных частей:
|
||
<br>— Сторона сада: $80 \\div 4 = 20$ м.
|
||
<br>— Сторона цветника: $20 \\div 4 = 5$ м.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Сторона всего квадратного участка $= 20 + 5 = 25$ м.
|
||
<svg viewBox="0 0 145 145" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
|
||
<rect x="10" y="10" width="120" height="120" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<line x1="10" y1="34" x2="130" y2="34" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
|
||
<line x1="106" y1="10" x2="106" y2="130" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
|
||
<rect x="10" y="10" width="96" height="24" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="none"/>
|
||
<rect x="106" y="10" width="24" height="24" fill="rgba(220,38,38,0.12)" stroke="none"/>
|
||
<rect x="10" y="34" width="96" height="96" fill="rgba(22,163,74,0.12)" stroke="none"/>
|
||
<rect x="106" y="34" width="24" height="96" fill="rgba(234,179,8,0.15)" stroke="none"/>
|
||
<text x="55" y="26" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#1d4ed8">Газон</text>
|
||
<text x="118" y="26" font-size="8" text-anchor="middle" fill="#dc2626">Цветник</text>
|
||
<text x="55" y="85" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#15803d">Сад</text>
|
||
<text x="118" y="85" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#92400e">Огород</text>
|
||
<text x="55" y="140" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#334155">20 м</text>
|
||
<text x="118" y="140" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#334155">5 м</text>
|
||
<text x="4" y="85" font-size="10" fill="#334155" transform="rotate(-90,4,85)">20 м</text>
|
||
<text x="135" y="85" font-size="10" fill="#334155" transform="rotate(-90,135,85)">20 м</text>
|
||
<text x="4" y="26" font-size="10" fill="#334155" transform="rotate(-90,4,26)">5 м</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 3.</b> Газон — прямоугольник со сторонами $20$ м и $5$ м (по рисунку).
|
||
<br>По <b>формуле периметра прямоугольника</b> $P = 2(a + b)$:
|
||
$$P_{\\text{газон}} = 2(20 + 5) = 50\\text{ м}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $50$ м</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AC = 9$, $BC = 12$, $AB = 15$.
|
||
Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 295 260" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:440px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<circle cx="136" cy="147" r="85" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="7,4"/>
|
||
<circle cx="119" cy="181" r="34" fill="rgba(22,163,74,0.09)" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
|
||
<polygon points="85,215 187,215 85,79" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
|
||
<polygon points="85,215 98,215 98,202 85,202" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
|
||
<line x1="85" y1="147" x2="136" y2="147" stroke="#2563eb" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<line x1="136" y1="147" x2="136" y2="215" stroke="#2563eb" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<line x1="85" y1="181" x2="119" y2="181" stroke="#16a34a" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<line x1="119" y1="181" x2="119" y2="215" stroke="#16a34a" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<polygon points="119,181 136,181 136,147" fill="rgba(220,38,38,0.12)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
|
||
<polygon points="136,181 136,173 128,173 128,181" fill="none" stroke="#dc2626" stroke-width="1.2"/>
|
||
<line x1="136" y1="147" x2="119" y2="181" stroke="#dc2626" stroke-width="2.8"/>
|
||
<circle cx="136" cy="147" r="5.5" fill="#2563eb"/>
|
||
<circle cx="119" cy="181" r="5.5" fill="#16a34a"/>
|
||
<text x="67" y="229" font-size="18" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
|
||
<text x="191" y="229" font-size="18" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
|
||
<text x="67" y="73" font-size="18" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
|
||
<text x="141" y="143" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">O</text>
|
||
<text x="100" y="180" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">I</text>
|
||
<text x="102" y="141" font-size="13" fill="#2563eb" font-weight="bold">4,5</text>
|
||
<text x="140" y="186" font-size="14" fill="#2563eb" font-weight="bold">6</text>
|
||
<text x="96" y="176" font-size="14" fill="#16a34a" font-weight="bold">3</text>
|
||
<text x="122" y="202" font-size="14" fill="#16a34a" font-weight="bold">3</text>
|
||
<text x="120" y="176" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">1,5</text>
|
||
<text x="140" y="167" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">3</text>
|
||
<text x="98" y="158" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">3√5/2</text>
|
||
<text x="130" y="229" font-size="13" fill="#64748b">9</text>
|
||
<text x="68" y="152" font-size="13" fill="#64748b">12</text>
|
||
<text x="150" y="138" font-size="12" fill="#64748b">15</text>
|
||
<text x="226" y="120" font-size="13" fill="#2563eb">R = 7,5</text>
|
||
<text x="121" y="196" font-size="12" fill="#16a34a">r = 3</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 1. Определим тип треугольника</b> с помощью <b>обратной теоремы Пифагора:</b> если $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник прямоугольный.
|
||
$$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2 \\checkmark$$
|
||
Значит, $\\triangle ABC$ — прямоугольный, причём прямой угол лежит против гипотенузы $AB = 15$, т.е. $\\angle C = 90°$.
|
||
<br><b>Шаг 2. Центр и радиус описанной окружности.</b>
|
||
<br><b>Свойство:</b> в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — это <em>середина гипотенузы</em>, а её радиус равен половине гипотенузы:
|
||
$$R = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{15}{2} = 7{,}5\\text{ см}$$
|
||
<b>Шаг 3. Радиус вписанной окружности.</b>
|
||
<br>Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$:
|
||
$$r = \\dfrac{a + b - c}{2} = \\dfrac{9 + 12 - 15}{2} = \\dfrac{6}{2} = 3\\text{ см}$$
|
||
<b>Шаг 4. Координаты центров.</b>
|
||
<br>Поместим $C = (0;\\,0)$, $A = (9;\\,0)$, $B = (0;\\,12)$.
|
||
<br>— Центр $O$ описанной окружности — середина $AB$: $O = \\left(\\dfrac{9}{2};\\,\\dfrac{12}{2}\\right) = (4{,}5;\\,6)$.
|
||
<br>— Центр $I$ вписанной окружности удалён на $r = 3$ от каждого катета, значит $I = (3;\\,3)$.
|
||
<br><b>Шаг 5. Расстояние между центрами</b> по <b>формуле расстояния между точками:</b>
|
||
$$OI = \\sqrt{(4{,}5 - 3)^2 + (6 - 3)^2} = \\sqrt{1{,}5^2 + 3^2} = \\sqrt{2{,}25 + 9} = \\sqrt{11{,}25}$$
|
||
$$\\sqrt{11{,}25} = \\sqrt{\\dfrac{45}{4}} = \\dfrac{\\sqrt{45}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{5}}{2}\\text{ см}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{3\\sqrt{5}}{2}$ см</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|