Maxim Dolgolyov
202 lines
17 KiB
JavaScript
202 lines
17 KiB
JavaScript
VARIANTS[47] = {
|
||
label: "Вариант 47",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$\\sqrt{72} = 36\\sqrt{2}$"], ["б", "$\\sqrt{72} = 2\\sqrt{6}$"], ["в", "$\\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}$"],
|
||
["г", "$\\sqrt{72} = 12\\sqrt{2}$"], ["д", "$\\sqrt{72} = 24\\sqrt{2}$"],
|
||
],
|
||
sol: `Разложим подкоренное число так, чтобы выделить полный квадрат:
|
||
$$\\sqrt{72} = \\sqrt{36 \\cdot 2} = \\sqrt{36}\\cdot\\sqrt{2} = 6\\sqrt{2}.$$
|
||
Проверим остальные варианты:<br>
|
||
$36\\sqrt{2}\\approx 50{,}9$, $2\\sqrt{6}\\approx 4{,}9$, $12\\sqrt{2}\\approx 17$, $24\\sqrt{2}\\approx 33{,}9$,
|
||
а $\\sqrt{72}\\approx 8{,}49$. Совпадает только $6\\sqrt{2}$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в) $\\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Значение выражения $\\dfrac{6^4}{6^2} + 6^1$ равно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$36$"], ["б", "$37$"], ["в", "$18$"], ["г", "$42$"], ["д", "$48$"],
|
||
],
|
||
sol: `Используем свойство степеней $\\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$:
|
||
$$\\dfrac{6^4}{6^2} + 6^1 = 6^{4-2} + 6 = 6^2 + 6 = 36 + 6 = 42.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г) $42$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "диагонали любого прямоугольника взаимно перпендикулярны;"],
|
||
["б", "высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности;"],
|
||
["в", "центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;"],
|
||
["г", "угол, равный $89^{\\circ}$, — острый?"],
|
||
],
|
||
sol: `Проанализируем каждое утверждение:
|
||
<ul>
|
||
<li><b>а)</b> Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам,
|
||
но <i>взаимно перпендикулярны они только в частном случае — в квадрате</i>.
|
||
В произвольном прямоугольнике это <b>неверно</b>.</li>
|
||
<li><b>б)</b> Верно: высота ромба равна диаметру вписанной окружности (стандартное свойство).</li>
|
||
<li><b>в)</b> Верно: центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров.</li>
|
||
<li><b>г)</b> Верно: угол меньше $90^{\\circ}$ — острый, $89^{\\circ}<90^{\\circ}$.</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: а) — утверждение неверно.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `При каких значениях переменной $x$ равны значения трёхчленов
|
||
$5x^2 - 3x + 4$ и $3x + 3 - 4x^2$?`,
|
||
sol: `Приравняем трёхчлены:
|
||
$$5x^2 - 3x + 4 = 3x + 3 - 4x^2.$$
|
||
Перенесём всё в левую часть:
|
||
$$5x^2 - 3x + 4 - 3x - 3 + 4x^2 = 0,$$
|
||
$$9x^2 - 6x + 1 = 0.$$
|
||
Замечаем полный квадрат: $9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2$. Значит,
|
||
$$(3x-1)^2 = 0 \\;\\Longrightarrow\\; 3x - 1 = 0 \\;\\Longrightarrow\\; x = \\dfrac{1}{3}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $x = \\dfrac{1}{3}$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\\angle B = 90^{\\circ}$, $BC = 20$ см, высота $BH = 12$ см.
|
||
Найдите синус угла $A$.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 270 165" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
|
||
<!-- Точные пропорции: AB=15, BC=20, AC=25 (треуг. 3-4-5 ×5). Масштаб 8px/см. -->
|
||
<!-- A=(40,130), C=(240,130), B=(112,34) — прямой угол при B. H=(112,130) — основание высоты BH=12см=96px. -->
|
||
<polygon points="40,130 240,130 112,34" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="112" y1="34" x2="112" y2="130" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<!-- Прямой угол при B -->
|
||
<polygon points="112,34 106,42 114,48 120,40" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
|
||
<!-- Прямой угол при H между BH и AC -->
|
||
<polygon points="112,130 112,120 102,120 102,130" fill="none" stroke="#dc2626" stroke-width="1.2"/>
|
||
<text x="24" y="142" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="244" y="142" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="106" y="28" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="105" y="146" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">H</text>
|
||
<text x="60" y="80" font-size="12" fill="#334155">15</text>
|
||
<text x="180" y="80" font-size="12" fill="#334155">20</text>
|
||
<text x="140" y="148" font-size="11" fill="#475569">25</text>
|
||
<text x="118" y="86" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">12</text>
|
||
</svg>
|
||
В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\\angle B=90^{\\circ}$) $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе $AC$.
|
||
Запишем площадь двумя способами:
|
||
$$S = \\tfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot BC = \\tfrac{1}{2}\\cdot AC\\cdot BH.$$
|
||
Отсюда $AB\\cdot 20 = AC\\cdot 12$, то есть $AC = \\dfrac{5\\,AB}{3}$.<br>
|
||
По теореме Пифагора $AB^2 + BC^2 = AC^2$:
|
||
$$AB^2 + 400 = \\dfrac{25\\,AB^2}{9} \\;\\Longrightarrow\\; \\dfrac{16\\,AB^2}{9} = 400
|
||
\\;\\Longrightarrow\\; AB^2 = 225 \\;\\Longrightarrow\\; AB = 15\\text{ см}.$$
|
||
Тогда $AC = \\dfrac{5\\cdot 15}{3} = 25$ см.<br>
|
||
Синус угла $A$ — отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AC$:
|
||
$$\\sin A = \\dfrac{BC}{AC} = \\dfrac{20}{25} = \\dfrac{4}{5} = 0{,}8.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $\\sin A = \\dfrac{4}{5} = 0{,}8$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Упростите выражение
|
||
$\\dfrac{5x+6}{x^2-4} - \\dfrac{x}{x^2-4} : \\dfrac{x}{x-2} - \\dfrac{x+2}{x-2}$.`,
|
||
sol: `<b>Порядок действий:</b> в выражении без скобок сначала выполняется деление и умножение, а затем сложение и вычитание (слева направо). Также применяется <b>формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Раскладываем $x^2 - 4$ по формуле разности квадратов:
|
||
$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$
|
||
ОДЗ: $x \\neq 2$, $x \\neq -2$, $x \\neq 0$ (так как в выражении есть деление на $\\dfrac{x}{x-2}$).
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> По порядку действий сначала выполняем деление $\\dfrac{x}{x^2-4} : \\dfrac{x}{x-2}$. Делим на дробь — умножаем на обратную:
|
||
$$\\dfrac{x}{(x-2)(x+2)} \\cdot \\dfrac{x-2}{x} = \\dfrac{x\\cdot(x-2)}{(x-2)(x+2)\\cdot x} = \\dfrac{1}{x+2}$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Исходное выражение принимает вид:
|
||
$$\\dfrac{5x+6}{(x-2)(x+2)} - \\dfrac{1}{x+2} - \\dfrac{x+2}{x-2}$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Приводим к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$. Домножаем числители: первой дроби — на $1$, второй — на $(x-2)$, третьей — на $(x+2)$:
|
||
$$\\dfrac{(5x+6) - (x-2) - (x+2)^2}{(x-2)(x+2)}$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Раскрываем скобки в числителе, применяя <b>формулу квадрата суммы</b> $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$:
|
||
$$5x + 6 - x + 2 - (x^2 + 4x + 4) = (5x - x - 4x) + (6 + 2 - 4) - x^2 = 0 + 4 - x^2 = 4 - x^2$$
|
||
<b>Шаг 6.</b> Получаем:
|
||
$$\\dfrac{4 - x^2}{x^2 - 4} = \\dfrac{-(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = -1$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-1$ (при $x \\neq \\pm 2$ и $x \\neq 0$).</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `График функции $f(x) = a(x-m)^2 + n$ изображён на рисунке.
|
||
Используя график функции, найдите $a$, $m$ и $n$.
|
||
Запишите формулу функции $y = f(x)$ в виде многочлена.`,
|
||
figure: `<img src="/img/exam9/v47_t7.jpg" class="task-fig" alt="График параболы с вершиной (2; 2), ветви вверх" />`,
|
||
sol: `Функция $f(x)=a(x-m)^2+n$ — парабола с вершиной в точке $(m;\\,n)$;
|
||
знак $a$ определяет направление ветвей ($a>0$ — вверх, $a<0$ — вниз),
|
||
а $|a|$ — «крутизну».<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Снимаем вершину параболы с графика: вершина находится в точке $(2;\\,2)$, значит $m=2$, $n=2$.<br>
|
||
<b>Шаг 2.</b> Ветви направлены вверх — значит $a>0$. Берём вторую точку графика, например $(0;\\,6)$ (точка пересечения с осью ординат):
|
||
$$a = \\dfrac{y_0 - n}{(x_0 - m)^2} = \\dfrac{6 - 2}{(0 - 2)^2} = \\dfrac{4}{4} = 1.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки в форме $f(x)=a(x-m)^2+n$:
|
||
$$f(x) = (x-2)^2 + 2 = x^2 - 4x + 4 + 2 = x^2 - 4x + 6.$$
|
||
<b>Проверка по контрольным точкам графика:</b><br>
|
||
$f(1)=1-4+6=3$, $f(3)=9-12+6=3$, $f(4)=16-16+6=6$ — совпадает с графиком.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $a=1$, $m=2$, $n=2$; $f(x)=x^2-4x+6$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств
|
||
$$\\begin{cases} 9 - 4x < 0, \\\\[4pt] x^2 - 5x \\leq -4. \\end{cases}$$`,
|
||
sol: `<b>1) Первое неравенство:</b>
|
||
$$9 - 4x < 0 \\;\\Longrightarrow\\; 4x > 9 \\;\\Longrightarrow\\; x > 2{,}25.$$
|
||
<b>2) Второе неравенство:</b>
|
||
$$x^2 - 5x + 4 \\leq 0.$$
|
||
Корни квадратного трёхчлена: $x_{1,2} = \\dfrac{5\\pm\\sqrt{25-16}}{2} = \\dfrac{5\\pm 3}{2}$,
|
||
то есть $x_1=1$, $x_2=4$. Так как ветви параболы $y=x^2-5x+4$ направлены вверх,
|
||
неравенство $\\leq 0$ выполняется между корнями: $1 \\leq x \\leq 4$.<br>
|
||
<b>3) Пересечение:</b> $x>2{,}25$ и $1\\leq x\\leq 4$ дают $2{,}25 < x \\leq 4$.<br>
|
||
<b>4) Целые решения:</b> $x=3$ и $x=4$.<br>
|
||
Сумма: $3+4=7$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $7$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Для перевозки партии щебня массой $1008$ т фирма использует самосвал МАЗ-5551.
|
||
По плану норма перевозки ежедневно должна увеличиваться на одно и то же число тонн.
|
||
Известно, что за первый день было перевезено $40$ т щебня.
|
||
Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день,
|
||
если вся работа была выполнена за $12$ дней.`,
|
||
sol: `<b>Метод арифметической прогрессии.</b> По условию норма ежедневно увеличивается на одно и то же число тонн, значит дневные объёмы образуют арифметическую прогрессию.
|
||
<br><b>Формулы арифметической прогрессии:</b>
|
||
<br>— $n$-й член: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.
|
||
<br>— Сумма первых $n$ членов: $S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\\cdot n$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_1 = 40$ т (за первый день), $n = 12$ дней, $S_{12} = 1008$ т (вся партия). Разность $d$ — неизвестна.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Подставим в формулу суммы:
|
||
$$S_{12} = \\dfrac{2\\cdot 40 + 11d}{2}\\cdot 12 = 6\\cdot(80 + 11d)$$
|
||
По условию $S_{12} = 1008$:
|
||
$$6(80 + 11d) = 1008 \\implies 80 + 11d = 168 \\implies 11d = 88 \\implies d = 8$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Находим объём за девятый день по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
|
||
$$a_9 = 40 + (9 - 1)\\cdot 8 = 40 + 64 = 104\\text{ т}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $104$ т.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `$ABCD$ — прямоугольник, точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно,
|
||
$MK \\| AD$. Диагональ $BD$ пересекает отрезок $MK$ в точке $P$.
|
||
$S_{BMP} = 4$ см², $S_{PKD} = 9$ см². Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 360 220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
|
||
<!-- A=(30,30), B=(330,30), C=(330,190), D=(30,190). MK на x=210 (BM:MA = 120:180 = 2:3) -->
|
||
<rect x="30" y="30" width="300" height="160" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="30" y1="190" x2="330" y2="30" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<line x1="210" y1="30" x2="210" y2="190" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
|
||
<polygon points="210,30 330,30 210,94" fill="rgba(220,38,38,0.18)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
|
||
<polygon points="210,94 210,190 30,190" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
|
||
<circle cx="210" cy="94" r="4" fill="#dc2626"/>
|
||
<text x="20" y="26" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="335" y="26" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="335" y="205" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="20" y="205" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="215" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
|
||
<text x="215" y="205" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
|
||
<text x="216" y="92" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">P</text>
|
||
<text x="248" y="62" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">S = 4</text>
|
||
<text x="90" y="148" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">S = 9</text>
|
||
<text x="265" y="22" font-size="11" fill="#334155">BM=p</text>
|
||
<text x="100" y="22" font-size="11" fill="#334155">AM=q</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Идея.</b> $MK\\perp AB$ (т.к. $MK\\parallel AD$ и $AD\\perp AB$). Значит $\\triangle BMP$ — прямоугольный (∠M=90°), $\\triangle DKP$ — прямоугольный (∠K=90°).
|
||
<br><b>Шаг 1. Подобие.</b> $\\triangle BMP \\sim \\triangle BAD$ (по двум углам: ∠B общий, $MP\\parallel AD$). Аналогично $\\triangle DKP\\sim\\triangle DCB$.
|
||
<br>Введём $BM=p$, $AM=q$. Так как $K$ под $M$: $DK=AM=q$. Высота прямоугольника $h=AD$.
|
||
<br>Из подобия:
|
||
$$MP = \\dfrac{BM}{BA}\\cdot AD = \\dfrac{p\\,h}{p+q}, \\quad PK = \\dfrac{DK}{DC}\\cdot CB = \\dfrac{q\\,h}{p+q}$$
|
||
<b>Шаг 2. Площади.</b>
|
||
$$S_{BMP} = \\dfrac{1}{2}\\cdot p\\cdot\\dfrac{ph}{p+q} = \\dfrac{p^2 h}{2(p+q)} = 4$$
|
||
$$S_{DKP} = \\dfrac{1}{2}\\cdot q\\cdot\\dfrac{qh}{p+q} = \\dfrac{q^2 h}{2(p+q)} = 9$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Делим: $\\dfrac{p^2}{q^2}=\\dfrac{4}{9}$ → $\\dfrac{p}{q}=\\dfrac{2}{3}$. Пусть $p=2t$, $q=3t$.
|
||
<br>Из первого уравнения:
|
||
$$\\dfrac{4t^2 h}{2\\cdot5t} = \\dfrac{2th}{5}=4 \\implies th=10$$
|
||
<b>Шаг 4. Площадь прямоугольника.</b>
|
||
$$S_{ABCD} = (p+q)\\cdot h = 5t\\cdot h = 5\\cdot10 = 50\\text{ см}^2$$
|
||
<b>Универсальная формула:</b> $S_{ABCD} = 2\\bigl(\\sqrt{S_{BMP}}+\\sqrt{S_{DKP}}\\bigr)^{2} = 2(2+3)^2 = 50$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $S_{ABCD} = 50$ см²</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|