Maxim Dolgolyov
195 lines
16 KiB
JavaScript
195 lines
16 KiB
JavaScript
VARIANTS[48] = {
|
||
label: "Вариант 48",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$\\sqrt{50} = 2\\sqrt{5}$"], ["б", "$\\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}$"], ["в", "$\\sqrt{50} = 25\\sqrt{2}$"],
|
||
["г", "$\\sqrt{50} = 5\\sqrt{10}$"], ["д", "$\\sqrt{50} = 5$"],
|
||
],
|
||
sol: `Разложим подкоренное число: $\\sqrt{50}=\\sqrt{25\\cdot2}=5\\sqrt{2}$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: б) $\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Значение выражения $\\dfrac{8^5}{8^3} + 8^1$ равно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$64$"], ["б", "$65$"], ["в", "$24$"], ["г", "$72$"], ["д", "$56$"],
|
||
],
|
||
sol: `$\\dfrac{8^5}{8^3}+8^1=8^2+8=64+8=72$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г) $72$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "диагонали любого ромба равны между собой;"],
|
||
["б", "центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника;"],
|
||
["в", "гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из катетов;"],
|
||
["г", "угол, равный $91^{\\circ}$, — тупой?"],
|
||
],
|
||
sol: `а) Диагонали ромба равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b> (равны только в квадрате). б)–г) верно.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: а)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `При каких значениях переменной $x$ равны значения трёхчленов
|
||
$12x^2 + 4 - 4x$ и $3 - 4x^2 + 4x$?`,
|
||
sol: `$12x^2+4-4x=3-4x^2+4x \\implies 16x^2-8x+1=0 \\implies (4x-1)^2=0 \\implies x=\\dfrac{1}{4}$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $x=\\dfrac{1}{4}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\\angle A = 90^{\\circ}$, высота $AK = 24$ см, $BK = 18$ см.
|
||
Найдите косинус угла $C$.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 270 165" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
|
||
<!-- Точные пропорции: AB=30, AC=40, BC=50 (3-4-5 ×10). Масштаб 4px/см. -->
|
||
<!-- B=(40,130), C=(240,130), A=(112,34) — прямой угол при A. K=(112,130) — основание высоты AK=24см=96px. -->
|
||
<polygon points="40,130 240,130 112,34" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="112" y1="34" x2="112" y2="130" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<!-- Прямой угол при A -->
|
||
<polygon points="112,34 106,42 114,48 120,40" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
|
||
<!-- Прямой угол при K -->
|
||
<polygon points="112,130 112,120 102,120 102,130" fill="none" stroke="#dc2626" stroke-width="1.2"/>
|
||
<text x="24" y="142" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="244" y="142" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="106" y="28" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="105" y="146" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">K</text>
|
||
<text x="60" y="80" font-size="12" fill="#334155">30</text>
|
||
<text x="180" y="80" font-size="12" fill="#334155">40</text>
|
||
<text x="70" y="146" font-size="11" fill="#475569">BK=18</text>
|
||
<text x="155" y="146" font-size="11" fill="#475569">KC=32</text>
|
||
<text x="118" y="86" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">24</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Свойство высоты прямоугольного треугольника:</b> в прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, удовлетворяет:
|
||
<br>$h^2 = m\\cdot n$, где $m,\\,n$ — отрезки, на которые она делит гипотенузу.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> В $\\triangle ABC$ прямой угол при $A$, высота $AK$ опущена на гипотенузу $BC$. Тогда:
|
||
$$AK^2 = BK\\cdot KC$$
|
||
$$24^2 = 18\\cdot KC \\implies 576 = 18\\cdot KC \\implies KC = \\dfrac{576}{18} = 32\\text{ см}$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Находим гипотенузу:
|
||
$$BC = BK + KC = 18 + 32 = 50\\text{ см}$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Находим катет $AC$ по <b>теореме Пифагора</b> в $\\triangle AKC$:
|
||
$$AC^2 = AK^2 + KC^2 = 24^2 + 32^2 = 576 + 1024 = 1600$$
|
||
$$AC = \\sqrt{1600} = 40\\text{ см}$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> По <b>определению косинуса:</b> $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
|
||
<br>В $\\triangle ABC$ для угла $C$: прилежащий катет — $AC$, гипотенуза — $BC$:
|
||
$$\\cos C = \\dfrac{AC}{BC} = \\dfrac{40}{50} = \\dfrac{4}{5} = 0{,}8$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $\\cos C=\\dfrac{4}{5}=0{,}8$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Упростите выражение
|
||
$\\dfrac{25 - 5n}{n^2-9} - \\dfrac{n}{n^2-9} : \\dfrac{n}{n+7} - \\dfrac{n-3}{n+3}$.`,
|
||
sol: `<b>Порядок действий:</b> сначала выполняется деление, потом сложение и вычитание. <b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Раскладываем $n^2 - 9$ по формуле разности квадратов:
|
||
$$n^2 - 9 = (n - 3)(n + 3)$$
|
||
ОДЗ: $n \\neq 3$, $n \\neq -3$, $n \\neq -7$, $n \\neq 0$.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Выполняем деление $\\dfrac{n}{n^2-9} : \\dfrac{n}{n+7}$ — умножаем на обратную дробь:
|
||
$$\\dfrac{n}{(n-3)(n+3)} \\cdot \\dfrac{n+7}{n} = \\dfrac{n+7}{(n-3)(n+3)}$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Подставляем в выражение:
|
||
$$\\dfrac{25 - 5n}{(n-3)(n+3)} - \\dfrac{n+7}{(n-3)(n+3)} - \\dfrac{n-3}{n+3}$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Объединяем первые две дроби с общим знаменателем:
|
||
$$\\dfrac{(25 - 5n) - (n + 7)}{(n-3)(n+3)} = \\dfrac{25 - 5n - n - 7}{(n-3)(n+3)} = \\dfrac{18 - 6n}{(n-3)(n+3)}$$
|
||
В числителе выносим $-6$ за скобку: $18 - 6n = -6(n - 3)$. Тогда:
|
||
$$\\dfrac{-6(n-3)}{(n-3)(n+3)} = \\dfrac{-6}{n+3}$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Остаётся вычесть третью дробь (общий знаменатель $n + 3$):
|
||
$$\\dfrac{-6}{n+3} - \\dfrac{n-3}{n+3} = \\dfrac{-6 - (n - 3)}{n+3} = \\dfrac{-6 - n + 3}{n+3} = \\dfrac{-n - 3}{n+3} = \\dfrac{-(n+3)}{n+3} = -1$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-1$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `График функции $f(x) = a(x-m)^2 + n$ изображён на рисунке.
|
||
Используя график функции, найдите $a$, $m$ и $n$.
|
||
Запишите формулу функции $y = f(x)$ в виде многочлена.`,
|
||
figure: `<img src="/img/exam9/v48_t7.jpg" class="task-fig" alt="График параболы с вершиной (3; 1), ветви вверх" />`,
|
||
sol: `<b>Вершинная форма квадратичной функции:</b> $f(x) = a(x - m)^2 + n$ — это парабола с вершиной в точке $(m;\\,n)$. Знак $a$ определяет направление ветвей ($a \\gt 0$ — вверх, $a \\lt 0$ — вниз).
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Снимаем координаты вершины параболы с графика: вершина находится в точке $(3;\\,1)$, значит $m = 3$, $n = 1$.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 2.</b> Ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Берём вторую точку графика, например $(1;\\,5)$:
|
||
$$a = \\dfrac{y_0 - n}{(x_0 - m)^2} = \\dfrac{5 - 1}{(1 - 3)^2} = \\dfrac{4}{4} = 1.$$
|
||
<br><b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки по <b>формуле квадрата разности</b> $(x - m)^2 = x^2 - 2mx + m^2$:
|
||
$$f(x) = (x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 9 + 1 = x^2 - 6x + 10.$$
|
||
<b>Проверка по контрольным точкам графика:</b><br>
|
||
$f(2)=4-12+10=2$, $f(4)=16-24+10=2$, $f(5)=25-30+10=5$ — совпадает с графиком.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $a=1$, $m=3$, $n=1$; $f(x) = x^2 - 6x + 10$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств
|
||
$$\\begin{cases} 9 - 2x < 0, \\\\[4pt] x^2 - 8x < -7. \\end{cases}$$`,
|
||
sol: `<b>Метод решения системы неравенств:</b> решаем каждое неравенство отдельно, затем находим <em>пересечение</em> решений (общую часть).
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Решаем первое неравенство $9 - 2x \\lt 0$:
|
||
$$-2x \\lt -9$$
|
||
Делим на $-2$ и <em>меняем знак</em> неравенства:
|
||
$$x \\gt 4{,}5$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Решаем второе неравенство $x^2 - 8x \\lt -7$. Перенесём всё в одну сторону:
|
||
$$x^2 - 8x + 7 \\lt 0$$
|
||
По <b>теореме Виета</b> разложим: ищем числа с суммой $8$ и произведением $7$ — это $1$ и $7$.
|
||
$$(x - 1)(x - 7) \\lt 0$$
|
||
Парабола $y = x^2 - 8x + 7$ ветвями вверх; она <em>отрицательна</em> между корнями:
|
||
$$1 \\lt x \\lt 7$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Пересечение условий $x \\gt 4{,}5$ и $1 \\lt x \\lt 7$:
|
||
$$4{,}5 \\lt x \\lt 7$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Целые числа в этом промежутке: $x = 5,\\,6$.
|
||
$$\\text{Сумма} = 5 + 6 = 11$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $11$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Для перевозки партии щебня массой $880$ т фирма использует самосвал МАЗ-5551.
|
||
По плану норма перевозки ежедневно должна увеличиваться на одно и то же число тонн.
|
||
Известно, что за первый день было перевезено $30$ т щебня.
|
||
Определите, сколько тонн щебня было перевезено за шестой день,
|
||
если вся работа была выполнена за $11$ дней.`,
|
||
sol: `<b>Метод арифметической прогрессии.</b> По условию норма ежедневно увеличивается на одно и то же число тонн, значит дневные объёмы образуют арифметическую прогрессию.
|
||
<br><b>Формулы арифметической прогрессии:</b>
|
||
<br>— $n$-й член: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
|
||
<br>— Сумма первых $n$ членов: $S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\\cdot n$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_1 = 30$ т, $n = 11$, $S_{11} = 880$ т. Разность $d$ — неизвестна.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Подставим в формулу суммы:
|
||
$$S_{11} = \\dfrac{2\\cdot 30 + 10d}{2}\\cdot 11 = (60 + 10d)\\cdot\\dfrac{11}{2} = 11\\cdot(30 + 5d)$$
|
||
По условию $S_{11} = 880$:
|
||
$$11\\cdot(30 + 5d) = 880 \\implies 30 + 5d = 80 \\implies 5d = 50 \\implies d = 10$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Находим объём за шестой день:
|
||
$$a_6 = a_1 + (6 - 1)\\cdot d = 30 + 5\\cdot 10 = 30 + 50 = 80\\text{ т}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $80$ т</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `$ABCD$ — прямоугольник, точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно,
|
||
$MK \\| AD$. Диагональ $AC$ пересекает отрезок $MK$ в точке $P$.
|
||
$S_{CPK} = 9$ см², $S_{AMP} = 16$ см². Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 360 220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
|
||
<!-- A=(30,30), B=(330,30), C=(330,190), D=(30,190). Диагональ AC от A(30,30) до C(330,190). MK на x=200 (AM:MB = 170:130 = 4:3 чтобы p:a-p=4:3) -->
|
||
<rect x="30" y="30" width="300" height="160" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="30" y1="30" x2="330" y2="190" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<line x1="200" y1="30" x2="200" y2="190" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
|
||
<!-- Треугольник AMP (верх-слева): A=(30,30), M=(200,30), P=(200,121) -->
|
||
<polygon points="30,30 200,30 200,121" fill="rgba(220,38,38,0.18)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
|
||
<!-- Треугольник CPK (низ-справа): C=(330,190), P=(200,121), K=(200,190) -->
|
||
<polygon points="200,121 330,190 200,190" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
|
||
<circle cx="200" cy="121" r="4" fill="#dc2626"/>
|
||
<text x="20" y="26" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="335" y="26" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="335" y="205" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="20" y="205" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="205" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
|
||
<text x="205" y="205" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
|
||
<text x="206" y="119" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">P</text>
|
||
<text x="90" y="62" font-size="12" fill="#dc2626" font-weight="bold">S = 16</text>
|
||
<text x="240" y="178" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">S = 9</text>
|
||
<text x="100" y="22" font-size="11" fill="#334155">AM=p</text>
|
||
<text x="245" y="22" font-size="11" fill="#334155">MB=a−p</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Идея.</b> Обозначим $AB = a$, $BC = h$ (стороны прямоугольника) и $AM = p$. Тогда $MB = a - p$. Так как $MK\\parallel AD$ ($AD$ — сторона, перпендикулярная $AB$), $MK = h$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Диагональ $AC$ идёт от $A$ к $C$. По <b>подобию треугольников</b> ($AMP \\sim ABC$): $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{MP}{BC}$, откуда $MP = \\dfrac{p\\cdot h}{a}$.
|
||
<br>Тогда $PK = h - MP = \\dfrac{(a - p)\\cdot h}{a}$.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Площади прямоугольных треугольников $AMP$ и $CPK$:
|
||
$$S_{AMP} = \\dfrac{1}{2}\\cdot AM\\cdot MP = \\dfrac{1}{2}\\cdot p\\cdot\\dfrac{ph}{a} = \\dfrac{p^2 h}{2a} = 16$$
|
||
$$S_{CPK} = \\dfrac{1}{2}\\cdot KC\\cdot PK = \\dfrac{1}{2}\\cdot(a - p)\\cdot\\dfrac{(a - p)h}{a} = \\dfrac{(a - p)^2 h}{2a} = 9$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Делим равенства:
|
||
$$\\dfrac{S_{AMP}}{S_{CPK}} = \\dfrac{p^2}{(a - p)^2} = \\dfrac{16}{9}$$
|
||
Извлекаем квадратный корень:
|
||
$$\\dfrac{p}{a - p} = \\dfrac{4}{3}$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Параметризуем: пусть $p = 4t$, $a - p = 3t$, тогда $a = 7t$.
|
||
<br><b>Шаг 5.</b> Подставим в $S_{AMP} = 16$:
|
||
$$\\dfrac{(4t)^2\\cdot h}{2\\cdot 7t} = 16 \\implies \\dfrac{16t^2 h}{14t} = 16 \\implies \\dfrac{8th}{7} = 16 \\implies th = 14$$
|
||
<b>Шаг 6.</b> Площадь прямоугольника:
|
||
$$S_{ABCD} = a\\cdot h = 7t\\cdot h = 7\\cdot th = 7\\cdot 14 = 98\\text{ см}^2$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $98$ см²</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|