Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
198 lines
17 KiB
JavaScript
198 lines
17 KiB
JavaScript
VARIANTS[49] = {
|
||
label: "Вариант 49",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите, какое из данных выражений <b>НЕ</b> является одночленом:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$2abc$"], ["б", "$m^{11}$"], ["в", "$\\dfrac{4}{y}$"],
|
||
["г", "$-\\dfrac{2}{7}c^4$"], ["д", "$\\dfrac{t}{5}$"],
|
||
],
|
||
sol: `<b>Определение:</b> одночлен — произведение чисел и переменных в натуральных степенях.<br>
|
||
Выражение $\\dfrac{4}{y}=4y^{-1}$ содержит переменную в знаменателе (отрицательная степень),
|
||
поэтому одночленом <b>не является</b>.<br>
|
||
Остальные варианты — корректные одночлены.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в) $\\dfrac{4}{y}$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Уравнение окружности с центром в точке $(5;\\; 0)$ и радиусом $\\sqrt{7}$ имеет вид:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$(x+5)^2 + y^2 = 7$"], ["б", "$(x-5)^2 + y^2 = \\sqrt{7}$"], ["в", "$(x+5)^2 - y^2 = 7$"],
|
||
["г", "$(x-5)^2 + y^2 = 7$"], ["д", "$(x-5)^2 - y^2 = 7$"],
|
||
],
|
||
sol: `<b>Уравнение окружности</b> с центром $(a;\\,b)$ и радиусом $R$:
|
||
$$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}.$$
|
||
Подставляем $a=5,\\;b=0,\\;R=\\sqrt{7},\\;R^{2}=7$:
|
||
$$(x-5)^{2}+y^{2}=7.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г) $(x-5)^{2}+y^{2}=7$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "у подобных треугольников соответствующие углы равны;"],
|
||
["б", "если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен $90^{\\circ}$;"],
|
||
["в", "$\\operatorname{tg} 45^{\\circ} = 1$;"],
|
||
["г", "биссектриса любого треугольника делит сторону треугольника пополам?"],
|
||
],
|
||
sol: `Проверим утверждения:
|
||
<ul>
|
||
<li>а) верно — определение подобных треугольников;</li>
|
||
<li>б) верно — определение перпендикулярных прямых;</li>
|
||
<li>в) верно — табличное значение $\\operatorname{tg}45^{\\circ}=1$;</li>
|
||
<li>г) <b>неверно</b> — пополам сторону делит <i>медиана</i>, а биссектриса
|
||
делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон.</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г).</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения
|
||
$15^0 + \\sqrt{16} - \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{-1} + \\sqrt{\\dfrac{1}{4}}$.`,
|
||
sol: `Вычисляем по частям:
|
||
<ul>
|
||
<li>$15^{0}=1;$</li>
|
||
<li>$\\sqrt{16}=4;$</li>
|
||
<li>$\\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{-1}=3;$</li>
|
||
<li>$\\sqrt{\\dfrac{1}{4}}=\\dfrac{1}{2}.$</li>
|
||
</ul>
|
||
Тогда $1+4-3+\\dfrac{1}{2}=2+\\dfrac{1}{2}=2{,}5.$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $2{,}5$ (или $\\dfrac{5}{2}$).</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `$ABCD$ — параллелограмм, биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$,
|
||
$BK = 6$ см, $KC = 4$ см. Найдите периметр параллелограмма.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 340 200" width="320" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto;">
|
||
<polygon points="40,160 110,30 320,30 250,160" fill="#eef6ff" stroke="#1e63a8" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="40" y1="160" x2="180" y2="30" stroke="#d33" stroke-width="2"/>
|
||
<circle cx="40" cy="160" r="3" fill="#000"/>
|
||
<circle cx="110" cy="30" r="3" fill="#000"/>
|
||
<circle cx="320" cy="30" r="3" fill="#000"/>
|
||
<circle cx="250" cy="160" r="3" fill="#000"/>
|
||
<circle cx="180" cy="30" r="3" fill="#d33"/>
|
||
<text x="22" y="170" font-size="14">A</text>
|
||
<text x="100" y="22" font-size="14">B</text>
|
||
<text x="320" y="22" font-size="14">C</text>
|
||
<text x="252" y="172" font-size="14">D</text>
|
||
<text x="178" y="22" font-size="14">K</text>
|
||
<text x="138" y="22" font-size="12" fill="#1e63a8">6</text>
|
||
<text x="245" y="22" font-size="12" fill="#1e63a8">4</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Свойство биссектрисы и параллельных прямых.</b><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Обозначим $\\angle A = 2\\alpha$. Так как $AK$ — биссектриса угла $A$, то она делит этот угол пополам, поэтому $\\angle BAK = \\alpha$.<br>
|
||
<b>Шаг 2.</b> По свойству параллелограмма $BC \\parallel AD$. Прямая $AK$ — секущая для этих параллельных прямых, значит накрест лежащие углы равны:
|
||
$$\\angle AKB = \\angle KAD = \\alpha.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> В $\\triangle ABK$ два угла равны ($\\angle BAK = \\angle AKB = \\alpha$), значит треугольник равнобедренный, и стороны напротив равных углов равны:
|
||
$$AB = BK = 6\\text{ см}.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Находим $BC$: точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому
|
||
$$BC = BK + KC = 6 + 4 = 10\\text{ см}.$$
|
||
Так как $AD = BC$ (противоположные стороны параллелограмма), то $AD = 10$ см.<br>
|
||
<b>Шаг 5.</b> Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме соседних сторон:
|
||
$$P = 2(AB + BC) = 2(6 + 10) = 32\\text{ см}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $32$ см.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Упростите выражение $\\dfrac{x^2 - 4x + 4}{(x+5)^2 - 49}$.`,
|
||
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.<br>
|
||
<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Раскладываем числитель по формуле квадрата разности (так как $4x=2\\cdot x\\cdot 2$ и $4=2^2$):
|
||
$$x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Раскладываем знаменатель по формуле разности квадратов (так как $49=7^2$):
|
||
$$(x+5)^{2}-49=(x+5-7)(x+5+7)=(x-2)(x+12).$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Подставляем разложения в дробь и сокращаем общий множитель $(x-2)$:
|
||
$$\\dfrac{(x-2)^{2}}{(x-2)(x+12)}=\\dfrac{x-2}{x+12}.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Указываем ОДЗ: знаменатели исходного и сокращённого выражений не должны обращаться в ноль, поэтому $x\\ne 2$ и $x\\ne -12$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{x-2}{x+12}$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Определите, сколько общих точек у прямой $y = -5$ и графика функции $y = -5x^2 - x + 1$.
|
||
В ответ запишите координаты точек пересечения.`,
|
||
sol: `<b>Метод:</b> чтобы найти общие точки графиков, приравнивают их правые части и решают полученное уравнение; каждый корень даёт одну общую точку.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Приравниваем правые части (так как в общей точке значения $y$ совпадают):
|
||
$$-5=-5x^{2}-x+1.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Переносим всё в одну сторону:
|
||
$$5x^{2}+x-6=0.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Находим дискриминант квадратного уравнения по формуле $D=b^2-4ac$:
|
||
$$D=1^{2}-4\\cdot 5\\cdot(-6)=1+120=121,\\quad \\sqrt{D}=11.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> По формуле корней $x_{1,2}=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$:
|
||
$$x_{1,2}=\\dfrac{-1\\pm 11}{10}\\;\\implies\\;x_{1}=1,\\;x_{2}=-\\dfrac{6}{5}=-1{,}2.$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Так как уравнение имеет два различных корня, общих точек тоже две. При каждом из значений $y=-5$ (по условию прямой), значит точки пересечения: $(1;\\,-5)$ и $(-1{,}2;\\,-5)$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $2$ точки: $(1;\\,-5)$ и $(-1{,}2;\\,-5)$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Бригада маляров красит фасад здания площадью $2100$ м², ежедневно увеличивая норму покраски
|
||
на одно и то же число квадратных метров. Известно, что за первый и последний день
|
||
в сумме бригада покрасила $350$ м² фасада.
|
||
Определите, сколько дней бригада маляров красила весь фасад.`,
|
||
sol: `<b>Формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии:</b>
|
||
$$S_n = \\dfrac{(a_1 + a_n) \\cdot n}{2}.$$
|
||
<b>Шаг 1.</b> По условию ежедневные нормы покраски увеличиваются на одно и то же число, значит они образуют арифметическую прогрессию $a_1, a_2, \\ldots, a_n$, где $n$ — количество дней.<br>
|
||
<b>Шаг 2.</b> По условию сумма площадей в первый и последний день: $a_1 + a_n = 350$ м².
|
||
Общая площадь — это сумма всех членов прогрессии: $S_n = 2100$ м².<br>
|
||
<b>Шаг 3.</b> Подставляем в формулу суммы:
|
||
$$2100 = \\dfrac{350 \\cdot n}{2} = 175n.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Находим $n$:
|
||
$$n = \\dfrac{2100}{175} = 12.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $12$ дней.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств
|
||
$$\\begin{cases} \\dfrac{x+5}{x} \\leq 0, \\\\[6pt] x^2 + 4x > -3. \\end{cases}$$`,
|
||
sol: `<b>Метод интервалов:</b> решаем каждое неравенство по отдельности, затем берём пересечение.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Первое неравенство $\\dfrac{x+5}{x} \\leq 0$.</b><br>
|
||
Находим нули числителя и знаменателя: $x = -5$ (включается, потому что $\\leq$) и $x = 0$ (выколота, так как делить на ноль нельзя).<br>
|
||
Методом интервалов получаем $x \\in [-5;\\,0)$.<br>
|
||
<b>Шаг 2. Второе неравенство $x^2 + 4x \\gt -3$.</b><br>
|
||
Переносим $-3$ влево: $x^2 + 4x + 3 \\gt 0$.<br>
|
||
Раскладываем на множители: $x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$.<br>
|
||
Парабола ветвями вверх, поэтому $(x+1)(x+3) \\gt 0$ при $x \\lt -3$ или $x \\gt -1$, то есть
|
||
$$x \\in (-\\infty;\\,-3) \\cup (-1;\\,+\\infty).$$
|
||
<b>Шаг 3. Пересечение двух решений:</b>
|
||
$$x \\in [-5;\\,-3) \\cup (-1;\\,0).$$
|
||
<b>Шаг 4. Целые решения.</b><br>
|
||
На $[-5;\\,-3)$ — это $-5$ и $-4$ (число $-3$ не входит); на $(-1;\\,0)$ целых чисел нет.<br>
|
||
<b>Шаг 5. Сумма:</b> $-5 + (-4) = -9$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-9$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В треугольнике $ABC$ проведены отрезки $MK \\| AC$ и $KE \\| AB$,
|
||
где точки $M$, $K$ и $E$ принадлежат сторонам $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно.
|
||
Площадь треугольника $MBK$ равна $9$ см², треугольника $EKC$ — $16$ см².
|
||
Найдите площадь четырёхугольника $AMKE$.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 360 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
|
||
<!-- A=(30,210), B=(180,20), C=(330,210). k1=3/7, k2=4/7. M=(116,101), K=(244,101), E=(159,210). -->
|
||
<polygon points="30,210 180,20 330,210" fill="rgba(234,179,8,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
|
||
<polygon points="116,101 180,20 244,101" fill="rgba(220,38,38,0.18)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.6"/>
|
||
<polygon points="159,210 244,101 330,210" fill="rgba(37,99,235,0.18)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.6"/>
|
||
<polygon points="30,210 116,101 244,101 159,210" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.6"/>
|
||
<text x="14" y="222" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="174" y="14" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="334" y="222" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="100" y="105" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">M</text>
|
||
<text x="248" y="105" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
|
||
<text x="153" y="225" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">E</text>
|
||
<text x="160" y="65" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">S=9</text>
|
||
<text x="252" y="170" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">S=16</text>
|
||
<text x="135" y="180" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">AMKE = ?</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Теорема:</b> отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Подобие $\\triangle MBK \\sim \\triangle ABC$.</b><br>
|
||
Так как $MK \\parallel AC$, то $\\triangle MBK$ подобен $\\triangle ABC$ (углы $B$ общий, остальные — как соответственные при параллельных). Коэффициент подобия:
|
||
$$k_1 = \\dfrac{BK}{BC}.$$
|
||
<b>Шаг 2. Подобие $\\triangle KEC \\sim \\triangle ABC$.</b><br>
|
||
Так как $KE \\parallel AB$, аналогично $\\triangle KEC \\sim \\triangle ABC$ с коэффициентом
|
||
$$k_2 = \\dfrac{KC}{BC}.$$
|
||
<b>Шаг 3. Связь коэффициентов.</b><br>
|
||
Так как $BK + KC = BC$, то
|
||
$$k_1 + k_2 = \\dfrac{BK + KC}{BC} = 1.$$
|
||
<b>Шаг 4. Выражаем коэффициенты через площади.</b><br>
|
||
Пусть $S = S_{ABC}$. По теореме об отношении площадей:
|
||
$$\\dfrac{S_{MBK}}{S} = k_1^2 \\implies k_1 = \\dfrac{3}{\\sqrt{S}}; \\quad \\dfrac{S_{EKC}}{S} = k_2^2 \\implies k_2 = \\dfrac{4}{\\sqrt{S}}.$$
|
||
<b>Шаг 5. Находим $S$.</b><br>
|
||
Подставляем в равенство $k_1 + k_2 = 1$:
|
||
$$\\dfrac{3}{\\sqrt{S}} + \\dfrac{4}{\\sqrt{S}} = 1 \\implies \\dfrac{7}{\\sqrt{S}} = 1 \\implies \\sqrt{S} = 7 \\implies S = 49.$$
|
||
<b>Шаг 6. Площадь четырёхугольника $AMKE$.</b><br>
|
||
Большой треугольник разбит на два маленьких и четырёхугольник:
|
||
$$S_{AMKE} = S_{ABC} - S_{MBK} - S_{EKC} = 49 - 9 - 16 = 24\\text{ см}^2.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $24$ см².</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|