Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
212 lines
17 KiB
JavaScript
212 lines
17 KiB
JavaScript
VARIANTS[54] = {
|
||
label: "Вариант 54",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите, какое из данных чисел <b>НЕ</b> является решением неравенства $x^2 \\leq 9$:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$0$"], ["б", "$1$"], ["в", "$3$"], ["г", "$-3$"], ["д", "$-8$"],
|
||
],
|
||
sol: `<b>Решение неравенства:</b><br>
|
||
$x^2 \\leq 9 \\iff |x| \\leq 3 \\iff -3 \\leq x \\leq 3$.<br>
|
||
<br>
|
||
Проверяем числа: $0,\\ 1,\\ 3,\\ -3$ принадлежат отрезку $[-3;\\ 3]$ — это решения.<br>
|
||
Число $-8 \\notin [-3;\\ 3]$, так как $(-8)^2 = 64 \\gt 9$.<br>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: д) $-8$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Значение выражения $\\dfrac{13 \\cdot 2 + 13 \\cdot 6}{13 \\cdot 8}$ равно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$13$"], ["б", "$1$"], ["в", "$8$"], ["г", "$2$"], ["д", "$4$"],
|
||
],
|
||
sol: `<b>Вычисление:</b> вынесем общий множитель $13$ в числителе:<br>
|
||
$\\dfrac{13 \\cdot 2 + 13 \\cdot 6}{13 \\cdot 8} = \\dfrac{13(2+6)}{13 \\cdot 8} = \\dfrac{13 \\cdot 8}{13 \\cdot 8} = 1$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: б) $1$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "у ромба все стороны равны между собой;"],
|
||
["б", "если в треугольнике со сторонами $a$, $b$, $c$ выполняется $b^2 + c^2 = a^2$, то треугольник прямоугольный;"],
|
||
["в", "в треугольнике может быть два тупых угла;"],
|
||
["г", "вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается?"],
|
||
],
|
||
sol: `<b>Анализ утверждений:</b>
|
||
<ul>
|
||
<li>а) верно — свойство ромба;</li>
|
||
<li>б) верно — обратная теорема Пифагора;</li>
|
||
<li>в) <b>не верно</b> — сумма углов треугольника равна $180^{\\circ}$, а два тупых угла в сумме уже превышают $180^{\\circ}$, что невозможно;</li>
|
||
<li>г) верно — теорема о вписанном угле.</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значения аргумента, при которых значения функции $y = -7x + 2$ неотрицательны.`,
|
||
sol: `<b>Условие:</b> $y \\geq 0$, то есть $-7x + 2 \\geq 0$.<br>
|
||
<br>
|
||
$-7x \\geq -2 \\iff 7x \\leq 2 \\iff x \\leq \\dfrac{2}{7}$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $x \\leq \\dfrac{2}{7}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения $(3m^5 + 4m^3) : m^2 - 15m^4 : (5m)$ при $m = -5$.`,
|
||
sol: `<b>Правило деления многочлена на одночлен:</b> делим каждый член многочлена на этот одночлен. Для степеней: $\\dfrac{a^k}{a^l}=a^{k-l}$.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Сначала упростим выражение, а уже потом подставим число — так считать проще.<br>
|
||
<b>Шаг 2.</b> Делим первый многочлен на $m^2$ почленно:
|
||
$$\\dfrac{3m^5 + 4m^3}{m^2} = \\dfrac{3m^5}{m^2}+\\dfrac{4m^3}{m^2} = 3m^3 + 4m.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Делим второй одночлен:
|
||
$$\\dfrac{15m^4}{5m} = 3m^3.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Вычитаем результаты:
|
||
$$(3m^3 + 4m) - 3m^3 = 4m.$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Подставляем $m=-5$:
|
||
$$4 \\cdot (-5) = -20.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-20$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `$ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC = 2$ см, $AD = 4$ см.
|
||
Диагональ $AC$ равна $5$ см. Найдите площадь трапеции.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 220 195" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
|
||
<!-- AD=4, BC=2, AC=5, h=4. A=(20,168), D=(164,168), B=(56,24), C=(128,24). Высота CH с основанием в точке (128,168). -->
|
||
<polygon points="20,168 164,168 128,24 56,24" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
|
||
<!-- AC диагональ (красная) -->
|
||
<line x1="20" y1="168" x2="128" y2="24" stroke="#dc2626" stroke-width="2"/>
|
||
<!-- Высота CH из C на AD -->
|
||
<line x1="128" y1="24" x2="128" y2="168" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<polygon points="128,168 136,168 136,160 128,160" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2"/>
|
||
<text x="6" y="180" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="167" y="180" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="48" y="18" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="131" y="18" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="85" y="184" font-size="11" fill="#334155">AD=4</text>
|
||
<text x="80" y="18" font-size="11" fill="#334155">BC=2</text>
|
||
<text x="135" y="105" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">h=4</text>
|
||
<text x="60" y="105" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">AC=5</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Свойство равнобедренной трапеции:</b> высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании отрезки длины $\\dfrac{AD - BC}{2}$.<br>
|
||
<b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$.<br>
|
||
<b>Формула площади трапеции:</b> $S = \\dfrac{a + b}{2} \\cdot h$.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Опускаем высоту $CH$ из $C$ на $AD$.</b><br>
|
||
Так как трапеция равнобедренная,
|
||
$$HD = \\dfrac{AD - BC}{2} = \\dfrac{4 - 2}{2} = 1\\text{ см}, \\quad AH = AD - HD = 4 - 1 = 3\\text{ см}.$$
|
||
<b>Шаг 2. Находим высоту $h = CH$ из $\\triangle ACH$.</b><br>
|
||
$\\triangle ACH$ прямоугольный (угол $H$ прямой), гипотенуза $AC = 5$, катет $AH = 3$. По теореме Пифагора:
|
||
$$h = CH = \\sqrt{AC^2 - AH^2} = \\sqrt{25 - 9} = \\sqrt{16} = 4\\text{ см}.$$
|
||
<b>Шаг 3. Находим площадь.</b>
|
||
$$S = \\dfrac{AD + BC}{2} \\cdot h = \\dfrac{4 + 2}{2} \\cdot 4 = 12\\text{ см}^2.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $12$ см²</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Решите уравнение $1 + \\dfrac{7}{n^2 - n - 12} = \\dfrac{-1}{n + 3}$.`,
|
||
sol: `<b>План решения дробного уравнения:</b> разложить знаменатели на множители, найти ОДЗ, умножить уравнение на общий знаменатель, решить и проверить корни.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Раскладываем знаменатель.</b><br>
|
||
По теореме Виета подбираем числа $-4$ и $3$ (произведение $-12$, сумма $-1$):
|
||
$$n^2 - n - 12 = (n - 4)(n + 3).$$
|
||
<b>Шаг 2. ОДЗ:</b> $n \\neq 4,\\; n \\neq -3$.<br>
|
||
<b>Шаг 3. Умножаем обе части на $(n-4)(n+3)$.</b>
|
||
$$(n-4)(n+3) + 7 = -(n-4).$$
|
||
<b>Шаг 4. Раскрываем скобки.</b><br>
|
||
$n^2 - n - 12 + 7 = -n + 4$;<br>
|
||
$n^2 - n - 5 = -n + 4$;<br>
|
||
$n^2 = 9$, откуда $n = \\pm 3$.<br>
|
||
<b>Шаг 5. Проверяем по ОДЗ.</b><br>
|
||
$n = -3$ не входит в ОДЗ — отбрасываем. Остаётся $n = 3$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $n = 3$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{7}{2-\\sqrt{11}} - \\dfrac{5}{4+\\sqrt{11}}$.
|
||
В ответ запишите число, обратное полученному.`,
|
||
sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $2-\\sqrt{11}$ — это $2+\\sqrt{11}$:
|
||
$$\\dfrac{7}{2-\\sqrt{11}} = \\dfrac{7(2+\\sqrt{11})}{(2-\\sqrt{11})(2+\\sqrt{11})} = \\dfrac{7(2+\\sqrt{11})}{4-11} = \\dfrac{7(2+\\sqrt{11})}{-7} = -(2+\\sqrt{11}).$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $4+\\sqrt{11}$ — это $4-\\sqrt{11}$:
|
||
$$\\dfrac{5}{4+\\sqrt{11}} = \\dfrac{5(4-\\sqrt{11})}{(4+\\sqrt{11})(4-\\sqrt{11})} = \\dfrac{5(4-\\sqrt{11})}{16-11} = \\dfrac{5(4-\\sqrt{11})}{5} = 4-\\sqrt{11}.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Находим разность:
|
||
$$-(2+\\sqrt{11}) - (4-\\sqrt{11}) = -2 - \\sqrt{11} - 4 + \\sqrt{11} = -6.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> По условию записываем число, обратное полученному:
|
||
$$\\dfrac{1}{-6} = -\\dfrac{1}{6}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{1}{6}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Плиточник планирует уложить $378$ м² плитки. Если он будет укладывать на $4$ м²
|
||
в день больше, чем запланировал, то закончит работу на $6$ дней раньше.
|
||
Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
|
||
Успеет ли он выполнить заказ за $21$ рабочий день, если будет работать как запланировал?
|
||
Ответ обоснуйте.`,
|
||
sol: `<b>Пусть</b> $x$ м²/день — плановая производительность ($x>0$).<br>
|
||
Плановое время: $\\dfrac{378}{x}$ дней; ускоренное: $\\dfrac{378}{x+4}$ дней.<br>
|
||
<br>
|
||
<b>Уравнение:</b> $\\dfrac{378}{x} - \\dfrac{378}{x+4} = 6$.<br>
|
||
$378(x+4) - 378x = 6x(x+4)$;<br>
|
||
$1512 = 6x^2 + 24x \\implies x^2 + 4x - 252 = 0$.<br>
|
||
<br>
|
||
$D = 16 + 1008 = 1024 = 32^2$;<br>
|
||
$x = \\dfrac{-4 + 32}{2} = 14$ (отрицательный корень не подходит).<br>
|
||
<br>
|
||
<b>Плановая производительность:</b> $14$ м²/день; плановый срок $\\dfrac{378}{14}=27$ дней.<br>
|
||
Так как $27 > 21$, работая по плану, плиточник <b>не успеет</b> выполнить заказ за $21$ день.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $14$ м²/день; нет, не успеет (закончит за $27$ дней).</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 8$, $BC = 10$, $AC = 12$ вписана окружность.
|
||
Касательная $MK$ к окружности пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $K$
|
||
так, что $MK$ не параллельна $AB$.
|
||
Найдите периметр треугольника $CMK$.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 280 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
|
||
<!-- Треугольник 8-10-12. AB=8 (синий, верхняя), BC=10, AC=12. -->
|
||
<!-- A=(40,195), B=(140,55), C=(248,195). -->
|
||
<!-- C — вершина с касательной MK. Полупериметр 15, CP=CQ=15-8=7. -->
|
||
<polygon points="40,195 140,55 248,195" fill="rgba(234,179,8,0.05)" stroke="#92400e" stroke-width="2"/>
|
||
<!-- Подсветка треугольника CMK (около вершины C) -->
|
||
<polygon points="248,195 198,195 224,154" fill="rgba(22,163,74,0.22)" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
|
||
<!-- Вписанная окружность (приблизительно) -->
|
||
<circle cx="145" cy="155" r="40" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#0369a1" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<!-- Касательная MK (зелёная) -->
|
||
<line x1="198" y1="195" x2="232" y2="146" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
|
||
<!-- Радиусы к точкам касания -->
|
||
<line x1="145" y1="155" x2="185" y2="155" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
|
||
<line x1="145" y1="155" x2="160" y2="195" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
|
||
<line x1="145" y1="155" x2="180" y2="175" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
|
||
<!-- Точки касания (красные): P на BC, Q на AC, T на MK -->
|
||
<circle cx="185" cy="125" r="3.5" fill="#dc2626"/>
|
||
<circle cx="160" cy="195" r="3.5" fill="#dc2626"/>
|
||
<circle cx="210" cy="175" r="3.5" fill="#dc2626"/>
|
||
<!-- M и K (зелёные) -->
|
||
<circle cx="198" cy="195" r="4" fill="#16a34a"/>
|
||
<circle cx="224" cy="154" r="4" fill="#16a34a"/>
|
||
<!-- Центр I -->
|
||
<circle cx="145" cy="155" r="2.5" fill="#0369a1"/>
|
||
<!-- Метки вершин -->
|
||
<text x="22" y="208" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="135" y="48" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="254" y="208" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<!-- Метки точек касания -->
|
||
<text x="188" y="120" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">P</text>
|
||
<text x="156" y="212" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">Q</text>
|
||
<text x="214" y="173" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">T</text>
|
||
<!-- Метки M и K -->
|
||
<text x="192" y="212" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">M</text>
|
||
<text x="228" y="150" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">K</text>
|
||
<!-- Метка I -->
|
||
<text x="149" y="151" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#0369a1">I</text>
|
||
<!-- Длины сторон -->
|
||
<text x="78" y="125" font-size="12" fill="#334155">8</text>
|
||
<text x="198" y="115" font-size="12" fill="#334155">10</text>
|
||
<text x="140" y="212" font-size="12" fill="#334155">12</text>
|
||
<!-- Подсказка CP=CQ=7 -->
|
||
<text x="60" y="160" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">CP=CQ=7</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 1. Точки касания вписанной окружности.</b><br>
|
||
Окружность касается стороны $BC$ в точке $P$, стороны $AC$ — в точке $Q$, а касательной $MK$ — в точке $T$.<br>
|
||
<b>Шаг 2. Касательная из вершины $C$.</b><br>
|
||
Полупериметр: $s=\\dfrac{8+10+12}{2}=15$.<br>
|
||
По свойству касательных из внешней точки, касательная из $C$ равна $s$ минус противоположная сторона:
|
||
$$CP = CQ = s - AB = 15 - 8 = 7\\text{ см.}$$
|
||
<b>Шаг 3. Касательные из $M$ и $K$.</b><br>
|
||
Из точки $M$ (на $BC$): $MP = MT$.<br>
|
||
Из точки $K$ (на $AC$): $KQ = KT$.<br>
|
||
<b>Шаг 4. Периметр $\\triangle CMK$.</b>
|
||
$$P_{CMK} = CM + MK + KC = CM + MT + TK + KC$$
|
||
$$= (CM + MP) + (KQ + KC) = CP + CQ = 7 + 7 = 14\\text{ см.}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $P_{\\triangle CMK} = 14$ см</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|