Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
164 lines
12 KiB
JavaScript
164 lines
12 KiB
JavaScript
VARIANTS[59] = {
|
||
label: "Вариант 59",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = (x-2)^2$:`,
|
||
figure: `<img src="/img/exam9/v59_t1.png" class="task-fig" />`,
|
||
sol: `<b>Анализ функции $y=(x-2)^2$:</b><br>
|
||
Это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ вправо на $2$ единицы.<br>
|
||
<ul>
|
||
<li>Вершина параболы: $(2;\\,0)$</li>
|
||
<li>Ветви направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1>0$)</li>
|
||
<li>Ось симметрии: $x=2$</li>
|
||
<li>Пересечение с осью $Oy$: $y(0)=(0-2)^2=4$, точка $(0;\\,4)$</li>
|
||
<li>Касается оси $Ox$ в точке $(2;\\,0)$ (двойной корень)</li>
|
||
<li>$y \\geq 0$ при всех $x$</li>
|
||
</ul>
|
||
Нужно выбрать рисунок, на котором парабола имеет вершину в $(2;\\,0)$ и проходит через $(0;\\,4)$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: парабола с вершиной $(2;\\,0)$, ветви вверх.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Результат деления многочлена $8m^2 - 16m^3$ на одночлен $2m$ имеет вид:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$16m^3 - 32m^4$"], ["б", "$4m^2 - 8m^3$"], ["в", "$4m - 8m^3$"],
|
||
["г", "$4m - 8m^2$"], ["д", "$-4m^2$"],
|
||
],
|
||
sol: `Делим каждый член многочлена на одночлен $2m$:<br>
|
||
$\\dfrac{8m^2-16m^3}{2m} = \\dfrac{8m^2}{2m} - \\dfrac{16m^3}{2m} = 4m - 8m^2.$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г) $4m - 8m^2$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "диагонали квадрата равны;"],
|
||
["б", "периметр прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равен $P = 2(a+b)$;"],
|
||
["в", "вписанный угол в $2$ раза меньше соответствующего центрального угла;"],
|
||
["г", "$\\sin 45^{\\circ} = 1$?"],
|
||
],
|
||
sol: `Проверим утверждения:<br>
|
||
<ul>
|
||
<li>а) Диагонали квадрата равны — <b>верно</b>.</li>
|
||
<li>б) $P=2(a+b)$ — <b>верно</b>.</li>
|
||
<li>в) Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу — <b>верно</b>.</li>
|
||
<li>г) $\\sin 45^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} \\approx 0{,}707 \\neq 1$ — <b>НЕ верно</b>.</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г).</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения
|
||
$15^0 + \\sqrt{16} - \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{-1} - \\sqrt{\\dfrac{1}{9}}$.`,
|
||
sol: `Вычислим каждое слагаемое:<br>
|
||
$15^0 = 1;\\quad \\sqrt{16}=4;\\quad \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{-1}=3;\\quad \\sqrt{\\dfrac{1}{9}}=\\dfrac{1}{3}.$<br>
|
||
Подставим:<br>
|
||
$1 + 4 - 3 - \\dfrac{1}{3} = 2 - \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{6-1}{3} = \\dfrac{5}{3}.$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{5}{3} \\approx 1{,}667$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите сумму целых решений неравенства $-3 < -2x + 5 \\leq 9$.`,
|
||
sol: `<b>Правило:</b> при делении (или умножении) неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Выписываем неравенство.</b>
|
||
$$-3 \\lt -2x + 5 \\leq 9.$$
|
||
<b>Шаг 2. Вычитаем $5$ из всех частей.</b>
|
||
$$-3 - 5 \\lt -2x \\leq 9 - 5,$$
|
||
$$-8 \\lt -2x \\leq 4.$$
|
||
<b>Шаг 3. Делим все части на $-2$.</b><br>
|
||
Делим на отрицательное число, поэтому оба знака меняются:
|
||
$$\\dfrac{-8}{-2} \\gt x \\geq \\dfrac{4}{-2},$$
|
||
$$4 \\gt x \\geq -2 \\iff -2 \\leq x \\lt 4.$$
|
||
<b>Шаг 4. Выписываем целые решения.</b>
|
||
$$-2,\\; -1,\\; 0,\\; 1,\\; 2,\\; 3.$$
|
||
<b>Шаг 5. Находим сумму.</b>
|
||
$$-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 3.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $3$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Дан правильный многоугольник со стороной, равной $4$ см.
|
||
Сумма всех его внутренних углов равна $1800^{\\circ}$.
|
||
Найдите периметр этого многоугольника.`,
|
||
sol: `<b>Формула суммы внутренних углов выпуклого $n$-угольника:</b>
|
||
$$S_{\\text{углов}} = (n - 2) \\cdot 180^{\\circ}.$$
|
||
<b>Свойство правильного многоугольника:</b> все стороны равны.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Находим число сторон $n$.</b><br>
|
||
По условию сумма углов равна $1800^{\\circ}$, поэтому
|
||
$$(n - 2) \\cdot 180^{\\circ} = 1800^{\\circ} \\implies n - 2 = 10 \\implies n = 12.$$
|
||
<b>Шаг 2. Находим периметр.</b><br>
|
||
Так как многоугольник правильный, все стороны равны $4$ см, значит
|
||
$$P = n \\cdot a = 12 \\cdot 4 = 48\\text{ см}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $48$ см.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите среднее арифметическое абсцисс точек пересечения графиков функций,
|
||
заданных формулами $y = 12 - x - 2x^2$ и $y = 3x^2 - 5x + 3$.`,
|
||
sol: `<b>Теорема Виета:</b> для уравнения $ax^2+bx+c=0$ сумма корней равна $-\\dfrac{b}{a}$.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> В точках пересечения значения функций равны, поэтому приравниваем правые части:
|
||
$$12 - x - 2x^2 = 3x^2 - 5x + 3.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Переносим всё в одну сторону и приводим подобные:
|
||
$$3x^2 - 5x + 3 - 12 + x + 2x^2 = 0 \\implies 5x^2 - 4x - 9 = 0.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Не решая уравнение, по теореме Виета находим сумму корней:
|
||
$$x_1 + x_2 = -\\dfrac{-4}{5} = \\dfrac{4}{5}.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Среднее арифметическое — это полусумма:
|
||
$$\\dfrac{x_1+x_2}{2} = \\dfrac{4/5}{2} = \\dfrac{2}{5} = 0{,}4.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $0{,}4$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Смешали $30$-процентный раствор соляной кислоты с $10$-процентным
|
||
и получили $600$ г $15$-процентного раствора соляной кислоты.
|
||
Сколько граммов каждого раствора было взято?`,
|
||
sol: `Пусть $x$ г — масса $30\\%$ раствора, $y$ г — масса $10\\%$ раствора.<br>
|
||
По условию массы суммируются: $x + y = 600.$<br>
|
||
Масса чистой кислоты: $0{,}3x + 0{,}1y = 0{,}15 \\cdot 600 = 90.$<br>
|
||
Получим систему:<br>
|
||
$\\begin{cases} x+y=600,\\\\ 3x+y=900. \\end{cases}$<br>
|
||
Вычтем из второго первое: $2x = 300 \\implies x = 150$ г.<br>
|
||
Тогда $y = 600 - 150 = 450$ г.<br>
|
||
Проверка: $0{,}3\\cdot 150 + 0{,}1\\cdot 450 = 45+45 = 90$ г кислоты. Верно.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $150$ г ($30\\%$) и $450$ г ($10\\%$).</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник
|
||
на два треугольника, площади которых равны $4$ см² и $16$ см².
|
||
Найдите гипотенузу.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 320 200" width="320" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="background:#fff;border:1px solid #ddd">
|
||
<polygon points="40,170 280,170 88,50" fill="#eef6ff" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="88" y1="50" x2="88" y2="170" stroke="#dc2626" stroke-width="2" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<rect x="88" y="158" width="12" height="12" fill="none" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
|
||
<text x="32" y="186" font-size="14" fill="#111">A</text>
|
||
<text x="282" y="186" font-size="14" fill="#111">B</text>
|
||
<text x="80" y="44" font-size="14" fill="#111">C</text>
|
||
<text x="84" y="186" font-size="13" fill="#111">H</text>
|
||
<text x="58" y="186" font-size="12" fill="#2563eb">2</text>
|
||
<text x="178" y="186" font-size="12" fill="#2563eb">8</text>
|
||
<text x="94" y="115" font-size="12" fill="#dc2626">h=4</text>
|
||
</svg><br>
|
||
Пусть $CH=h$ — высота из прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, причём $AH=a$ (меньший отрезок), $HB=b$ (больший отрезок).<br>
|
||
Площади полученных треугольников:<br>
|
||
$S_1 = \\dfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot h = 4,\\quad S_2 = \\dfrac{1}{2}\\cdot b \\cdot h = 16.$<br>
|
||
Разделив, получим $\\dfrac{a}{b}=\\dfrac{4}{16}=\\dfrac{1}{4} \\implies b=4a.$<br>
|
||
По свойству высоты прямоугольного треугольника к гипотенузе: $h^2 = a\\cdot b = a\\cdot 4a = 4a^2 \\implies h = 2a.$<br>
|
||
Подставим в $S_1$: $\\dfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot 2a = a^2 = 4 \\implies a = 2$ см.<br>
|
||
Тогда $b = 4\\cdot 2 = 8$ см, $h = 4$ см.<br>
|
||
Гипотенуза: $AB = a + b = 2 + 8 = 10$ см.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $10$ см.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Упростите выражение
|
||
$\\sqrt{x + 2\\sqrt{x-1}} + \\sqrt{x - 2\\sqrt{x-1}}$ при $1 \\leq x \\leq 2$.`,
|
||
sol: `<b>Метод выделения полного квадрата</b> и формула $\\sqrt{a^2}=|a|$.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Представим $x$ удобным образом: $x = (x-1) + 1$. Тогда первое подкоренное:
|
||
$$x + 2\\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\\sqrt{x-1} + 1 = \\left(\\sqrt{x-1}+1\\right)^2$$
|
||
по формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ (здесь $a=\\sqrt{x-1}$, $b=1$).<br>
|
||
<b>Шаг 2.</b> Аналогично для второго:
|
||
$$x - 2\\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\\sqrt{x-1} + 1 = \\left(\\sqrt{x-1}-1\\right)^2.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Извлекаем корни, помня что $\\sqrt{a^2}=|a|$:
|
||
$$\\sqrt{x+2\\sqrt{x-1}} = \\left|\\sqrt{x-1}+1\\right| = \\sqrt{x-1}+1,$$
|
||
так как $\\sqrt{x-1}+1 \\geq 0$ (модуль не нужен).<br>
|
||
$$\\sqrt{x-2\\sqrt{x-1}} = \\left|\\sqrt{x-1}-1\\right|.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Раскрываем второй модуль. По условию $1 \\leq x \\leq 2$, значит $\\sqrt{x-1} \\in [0;\\,1]$, поэтому $\\sqrt{x-1}-1 \\leq 0$, и
|
||
$$\\left|\\sqrt{x-1}-1\\right| = 1-\\sqrt{x-1}.$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Складываем:
|
||
$$\\left(\\sqrt{x-1}+1\\right) + \\left(1-\\sqrt{x-1}\\right) = 2.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $2$.</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|