Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
139 lines
11 KiB
JavaScript
139 lines
11 KiB
JavaScript
VARIANTS[60] = {
|
||
label: "Вариант 60",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = x^2 - 2$:`,
|
||
figure: `<img src="/img/exam9/v60_t1.jpg" class="task-fig" />`,
|
||
sol: `Парабола $y=x^2-2$: вершина $(0;-2)$, ветви вверх. <div class="sol-ans">Ответ: парабола с вершиной $(0;-2)$, ветви вверх.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Результат деления многочлена $10a^3 - 15a^2$ на одночлен $5a$ имеет вид:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$50a^4 - 75a^3$"], ["б", "$-a^2$"], ["в", "$2a^2 - 3a$"],
|
||
["г", "$2a^2 - 3$"], ["д", "$2a^3 - 3a^2$"],
|
||
],
|
||
sol: `$\\dfrac{10a^3-15a^2}{5a}=2a^2-3a$. <div class="sol-ans">Ответ: в) $2a^2-3a$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "диагонали квадрата перпендикулярны;"],
|
||
["б", "периметр параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ равен $P = 2a + 2b$;"],
|
||
["в", "$\\cos 45^{\\circ} = 1$;"],
|
||
["г", "центральный угол окружности в $2$ раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу?"],
|
||
],
|
||
sol: `а) верно; б) $P=2a+2b$ — верно; в) $\\cos45^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\neq1$ — <b>НЕВЕРНО</b>; г) верно. <div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения
|
||
$12^0 + \\sqrt{36} - \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-1} - \\sqrt{\\dfrac{1}{16}}$.`,
|
||
sol: `$1+6-2-\\tfrac{1}{4}=5-\\tfrac{1}{4}=\\dfrac{19}{4}$. <div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{19}{4}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите сумму целых решений неравенства $-7 < -3x + 2 \\leq 5$.`,
|
||
sol: `<b>Правило:</b> при делении неравенства на отрицательное число знаки меняются на противоположные.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Выписываем неравенство:
|
||
$$-7 \\lt -3x + 2 \\leq 5.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Вычитаем $2$ из всех частей:
|
||
$$-9 \\lt -3x \\leq 3.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Делим на $-3$ (знаки меняются):
|
||
$$3 \\gt x \\geq -1 \\iff -1 \\leq x \\lt 3.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Целые решения: $-1,\\; 0,\\; 1,\\; 2$.<br>
|
||
<b>Шаг 5.</b> Сумма: $-1 + 0 + 1 + 2 = 2$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $2$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Дан правильный многоугольник с периметром, равным $140$ см.
|
||
Сумма всех его внутренних углов равна $900^{\\circ}$.
|
||
Найдите длину стороны этого многоугольника.`,
|
||
sol: `<b>Формула суммы внутренних углов выпуклого $n$-угольника:</b>
|
||
$$S_{\\text{углов}} = (n - 2) \\cdot 180^{\\circ}.$$
|
||
<b>Свойство правильного многоугольника:</b> все стороны равны, значит $P = n \\cdot a$.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Находим число сторон $n$.</b><br>
|
||
По условию сумма углов равна $900^{\\circ}$:
|
||
$$(n - 2) \\cdot 180^{\\circ} = 900^{\\circ} \\implies n - 2 = 5 \\implies n = 7.$$
|
||
<b>Шаг 2. Находим длину стороны.</b><br>
|
||
Периметр $P = n \\cdot a$, откуда
|
||
$$a = \\dfrac{P}{n} = \\dfrac{140}{7} = 20\\text{ см}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $20$ см</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите среднее арифметическое абсцисс точек пересечения графиков функций,
|
||
заданных формулами $y = 4x^2 + x$ и $y = 2 - 4x - 3x^2$.`,
|
||
sol: `<b>Теорема Виета:</b> для уравнения $ax^2+bx+c=0$ сумма корней равна $-\\dfrac{b}{a}$.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> В точках пересечения ординаты совпадают, поэтому приравниваем правые части:
|
||
$$4x^2 + x = 2 - 4x - 3x^2.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Переносим всё в одну сторону и приводим подобные:
|
||
$$4x^2 + x - 2 + 4x + 3x^2 = 0 \\implies 7x^2 + 5x - 2 = 0.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> По теореме Виета сумма корней:
|
||
$$x_1 + x_2 = -\\dfrac{5}{7}.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Среднее арифметическое — это полусумма:
|
||
$$\\dfrac{x_1+x_2}{2} = -\\dfrac{5}{14}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{5}{14}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля $5\\%$ и $20\\%$.
|
||
Сколько тонн металла каждого сорта надо взять, чтобы получить $150$ т стали
|
||
с содержанием никеля $10\\%$?`,
|
||
sol: `<b>Метод составления системы уравнений</b> по двум условиям: масса смеси = сумма масс компонентов; масса чистого вещества — тоже сумма по компонентам.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Вводим переменные. Пусть $x$ т — масса лома с содержанием никеля $5\\%$, $y$ т — масса лома с содержанием $20\\%$.<br>
|
||
<b>Шаг 2.</b> Составляем первое уравнение (общая масса смеси равна $150$ т):
|
||
$$x + y = 150.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Составляем второе уравнение по массе чистого никеля. В первом ломе никеля $0{,}05x$ т, во втором — $0{,}20y$ т. В готовой смеси никеля $10\\%$ от $150$ т, то есть $15$ т:
|
||
$$0{,}05x + 0{,}20y = 15.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Решаем систему. Умножим второе уравнение на $20$, чтобы избавиться от десятичных:
|
||
$$x + 4y = 300.$$
|
||
Вычтем из этого уравнения первое:
|
||
$$3y = 150 \\implies y = 50\\text{ т}.$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Находим $x$:
|
||
$$x = 150 - 50 = 100\\text{ т}.$$
|
||
<b>Шаг 6.</b> Проверка: масса никеля $0{,}05\\cdot 100 + 0{,}20\\cdot 50 = 5 + 10 = 15$ т — совпадает с условием.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $100$ т ($5\\%$) и $50$ т ($20\\%$).</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник
|
||
на два треугольника, площади которых равны $6$ см² и $54$ см².
|
||
Найдите гипотенузу.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 320 200" width="320" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="background:#fff;border:1px solid #ddd">
|
||
<polygon points="40,170 280,170 64,98" fill="#eef6ff" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="64" y1="98" x2="64" y2="170" stroke="#dc2626" stroke-width="2" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<rect x="64" y="158" width="12" height="12" fill="none" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
|
||
<text x="32" y="186" font-size="14" fill="#111">A</text>
|
||
<text x="282" y="186" font-size="14" fill="#111">B</text>
|
||
<text x="56" y="92" font-size="14" fill="#111">C</text>
|
||
<text x="60" y="186" font-size="13" fill="#111">H</text>
|
||
<text x="46" y="186" font-size="12" fill="#2563eb">2</text>
|
||
<text x="166" y="186" font-size="12" fill="#2563eb">18</text>
|
||
<text x="70" y="138" font-size="12" fill="#dc2626">h=6</text>
|
||
</svg><br>
|
||
Пусть $CH = h$ — высота из прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, $AH = a$, $HB = b$.<br>
|
||
Площади треугольников:
|
||
$$S_1 = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h = 6, \\quad S_2 = \\dfrac{1}{2}\\cdot b\\cdot h = 54.$$
|
||
Делим $S_2$ на $S_1$: $\\dfrac{b}{a} = \\dfrac{54}{6} = 9 \\implies b = 9a.$<br>
|
||
По свойству высоты прямоугольного треугольника: $h^2 = a\\cdot b = 9a^2 \\implies h = 3a.$<br>
|
||
Подставим в $S_1$: $\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot 3a = \\dfrac{3a^2}{2} = 6 \\implies a^2 = 4 \\implies a = 2$ см.<br>
|
||
Тогда $b = 9\\cdot 2 = 18$ см.<br>
|
||
Гипотенуза: $AB = a + b = 2 + 18 = 20$ см.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $20$ см.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Упростите выражение
|
||
$\\sqrt{x + 6\\sqrt{x-9}} + \\sqrt{x - 6\\sqrt{x-9}}$ при $x > 18$.`,
|
||
sol: `<b>Метод выделения полного квадрата</b> и формула $\\sqrt{a^2}=|a|$.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Представляем $x$ удобным образом: $x = (x-9) + 9$. Тогда первое подкоренное выражение раскладывается по формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ (здесь $a=\\sqrt{x-9}$, $b=3$):
|
||
$$x + 6\\sqrt{x-9} = (x-9) + 2\\cdot\\sqrt{x-9}\\cdot 3 + 9 = \\left(\\sqrt{x-9}+3\\right)^2.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Аналогично для второго подкоренного (квадрат разности):
|
||
$$x - 6\\sqrt{x-9} = \\left(\\sqrt{x-9}-3\\right)^2.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Извлекаем корни по правилу $\\sqrt{a^2}=|a|$:
|
||
$$\\sqrt{x+6\\sqrt{x-9}} = \\left|\\sqrt{x-9}+3\\right| = \\sqrt{x-9}+3,$$
|
||
так как $\\sqrt{x-9}+3 \\gt 0$ (модуль не нужен).<br>
|
||
$$\\sqrt{x-6\\sqrt{x-9}} = \\left|\\sqrt{x-9}-3\\right|.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Раскрываем второй модуль. По условию $x \\gt 18$, значит $x-9 \\gt 9$ и $\\sqrt{x-9} \\gt 3$, поэтому $\\sqrt{x-9}-3 \\gt 0$ и
|
||
$$\\left|\\sqrt{x-9}-3\\right| = \\sqrt{x-9}-3.$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Складываем результаты:
|
||
$$\\left(\\sqrt{x-9}+3\\right) + \\left(\\sqrt{x-9}-3\\right) = 2\\sqrt{x-9}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $2\\sqrt{x-9}$.</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|