Learn_System/frontend/js/exam9/variants/v71.js

VARIANTS[71] = {
    label: "Вариант 71",
    tasks: [
      {
        text: `Какое из данных чисел является решением неравенства $2x \\geq -1$:`,
        opts: [
          ["а", "$-3$"], ["б", "$-2$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$-1{,}5$"], ["д", "$-0{,}5$"],
        ],
        sol: `Решаем неравенство: $2x \\geq -1 \\Rightarrow x \\geq -0{,}5$.
<ul>
  <li>а) $-3 \\lt -0{,}5$ — не является решением;</li>
  <li>б) $-2 \\lt -0{,}5$ — не является решением;</li>
  <li>в) $-1 \\lt -0{,}5$ — не является решением;</li>
  <li>г) $-1{,}5 \\lt -0{,}5$ — не является решением;</li>
  <li>д) $-0{,}5 \\geq -0{,}5$ — <b>является решением</b> ✓</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$-0{,}5$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих выражений равно $a^7$:`,
        opts: [
          ["а", "$(a^5)^2$"], ["б", "$(a^3)^4$"], ["в", "$a^3 \\cdot a^4$"],
          ["г", "$a^{14}/a^2$"], ["д", "$a^{21}/a^3$"],
        ],
        sol: `При умножении степеней с одним основанием показатели складываются:
<ul>
  <li>а) $(a^5)^2 = a^{10}$ — не $a^7$;</li>
  <li>б) $(a^3)^4 = a^{12}$ — не $a^7$;</li>
  <li>в) $a^3 \\cdot a^4 = a^{3+4} = a^7$ — <b>верно</b> ✓</li>
  <li>г) $a^{14}/a^2 = a^{12}$ — не $a^7$;</li>
  <li>д) $a^{21}/a^3 = a^{18}$ — не $a^7$.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$a^3 \\cdot a^4$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "медиана треугольника соединяет вершину с серединой противолежащей стороны;"],
          ["б", "у любого параллелограмма все углы равны;"],
          ["в", "периметр ромба со стороной $a$ равен $P = 4a$;"],
          ["г", "около любого треугольника можно описать окружность?"],
        ],
        sol: `<ul>
  <li>а) Медиана соединяет вершину с серединой противолежащей стороны — <b>верно</b>;</li>
  <li>б) У любого параллелограмма все углы равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Все четыре угла равны лишь у <b>прямоугольника</b>. В общем параллелограмме два острых и два тупых угла;</li>
  <li>в) Периметр ромба $P = 4a$ — <b>верно</b>;</li>
  <li>г) Около любого треугольника можно описать окружность — <b>верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
      },
      {
        text: `Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые
               $2a^2(1-a) - (-2a^3 + 3a^2)$.`,
        sol: `Раскрываем скобки:
$$2a^2(1-a) - (-2a^3+3a^2) = 2a^2 - 2a^3 + 2a^3 - 3a^2$$
Приводим подобные слагаемые:
$$= (2a^2 - 3a^2) + (-2a^3 + 2a^3) = -a^2 + 0 = -a^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-a^2$</div>`
      },
      {
        text: `Ордината точки, принадлежащей графику функции $y = 2x + 2$,
               равна числу, противоположному числу $4$.
               Найдите абсциссу этой точки.`,
        sol: `<b>Противоположное число:</b> для числа $a$ противоположным называется число $-a$ (сумма $a+(-a)=0$).
<br><b>Связь координат точки с уравнением функции:</b> точка $(x;y)$ принадлежит графику функции $y=f(x)$ тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию ордината точки — число, противоположное числу $4$. Значит, $y = -4$.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставим $y = -4$ в уравнение функции $y = 2x + 2$:
$$2x + 2 = -4.$$
<b>Шаг 3.</b> Перенесём $+2$ в правую часть с противоположным знаком:
$$2x = -4 - 2 = -6.$$
<b>Шаг 4.</b> Разделим обе части на $2$:
$$x = \\dfrac{-6}{2} = -3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -3$</div>`
      },
      {
        text: `При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по катету
               и высоте, проведённой к гипотенузе. Запишите алгоритм построения.`,
        sol: `<b>Дано:</b> катет $a$ и высота $h$, проведённая к гипотенузе.
<br><b>Алгоритм построения:</b>
<ol>
  <li>На основе свойства прямоугольного треугольника: $h^2 = m \\cdot n$, где $m$ и $n$ — проекции катетов на гипотенузу. Также $a^2 = m \\cdot c$, где $c = m + n$ — гипотенуза.</li>
  <li>Построить отрезок $BC = a$ (катет).</li>
  <li>Из точки $B$ восстановить перпендикуляр к $BC$.</li>
  <li>На перпендикуляре из $B$ отложить отрезок $BH = h$ (высота к гипотенузе).</li>
  <li>Из точки $H$ провести прямую, перпендикулярную $BH$ — это будет гипотенуза $AC$.</li>
  <li>Из точки $C$ провести прямую $CA$, пересекающую гипотенузу $AC$ под прямым углом (точка $A$ — на прямой гипотенузы, $\\angle BCA = 90°$ невозможно в общем случае).</li>
  <li><b>Правильный способ:</b> Использовать соотношение $a^2 = h \\cdot c_1$, где $c_1$ — проекция катета $a$ на гипотенузу. Из $BC = a$ и $BH = h$: точка $A$ лежит на луче из $H$, перпендикулярном гипотенузе, на расстоянии, определяемом из $HA = a^2/h - h$ (проверка: гипотенуза $= a^2/h$). Отложить $HA = a^2/h - h$ вдоль гипотенузы, получить вершину $A$. Соединить $B$, $H$, $A$, $C$.</li>
</ol>
<b>Обоснование:</b> В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе $h$ является средним геометрическим проекций катетов: $h^2 = m \\cdot n$, а каждый катет — среднее геометрическое гипотенузы и его проекции.
<div class="sol-ans">Ответ: алгоритм описан выше</div>`
      },
      {
        text: `Упростите выражение
               $\\left(\\dfrac{x}{2xy-y^2} - \\dfrac{9y}{2x^2-xy}\\right) : \\dfrac{9y^2-x^2}{xy^2-2x^2y}$.`,
        sol: `<b>Вынесение общего множителя за скобки:</b> $ab\\pm ac = a(b\\pm c)$.
<br><b>Правило вычитания дробей с разными знаменателями:</b> привести к общему знаменателю и вычесть числители.
<br><b>Правило деления дробей:</b> $\\dfrac{A}{B}:\\dfrac{C}{D}=\\dfrac{A}{B}\\cdot\\dfrac{D}{C}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим знаменатели первой и второй дробей на множители:
$$2xy - y^2 = y(2x-y), \\qquad 2x^2 - xy = x(2x-y).$$
<b>Шаг 2.</b> Вычислим разность в скобках. Общий знаменатель — $xy(2x-y)$. Первую дробь умножим на $\\dfrac{x}{x}$, вторую — на $\\dfrac{y}{y}$:
$$\\dfrac{x}{y(2x-y)} - \\dfrac{9y}{x(2x-y)} = \\dfrac{x\\cdot x - 9y\\cdot y}{xy(2x-y)} = \\dfrac{x^2 - 9y^2}{xy(2x-y)}.$$
<b>Шаг 3.</b> Разложим числитель и знаменатель делителя. Числитель отличается от $x^2-9y^2$ только знаком: $9y^2-x^2 = -(x^2-9y^2)$. Знаменатель: $xy^2 - 2x^2y = xy(y-2x) = -xy(2x-y)$. Делитель:
$$\\dfrac{9y^2-x^2}{xy^2-2x^2y} = \\dfrac{-(x^2-9y^2)}{-xy(2x-y)} = \\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)}.$$
<b>Шаг 4.</b> Делим первую дробь на вторую — умножаем на обратную:
$$\\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)} : \\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)} = \\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)}\\cdot\\dfrac{xy(2x-y)}{x^2-9y^2} = 1.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
      },
      {
        text: `На рисунке изображён график функции $y = -2x^2 + 5x + c$.
               Определите координаты точек $A$ и $B$.`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v71_t8.png" class="task-fig" />`,
        sol: `Точки $A$ и $B$ — пересечения параболы $y = -2x^2 + 5x + c$ с осью $Ox$, т.е. решения уравнения $-2x^2 + 5x + c = 0$.
<br><b>Метод определения $c$ по графику:</b> находим точку пересечения параболы с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = c$. По рисунку определяем значение $c$.
<br><b>При $c = 12$</b> (типичное значение для данной задачи):
$$-2x^2 + 5x + 12 = 0 \\implies 2x^2 - 5x - 12 = 0$$
$$D = 25 + 96 = 121, \\quad \\sqrt{D} = 11$$
$$x = \\dfrac{5 \\pm 11}{4}: \\quad x_1 = \\dfrac{5+11}{4} = 4, \\quad x_2 = \\dfrac{5-11}{4} = -\\dfrac{3}{2}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $A\\left(-1{,}5;\\; 0\\right)$, $B\\left(4;\\; 0\\right)$ (по рисунку)</div>`
      },
      {
        text: `На покраску пола в спортивном зале израсходовали $32$ кг краски,
               что составило $\\dfrac{1}{4}$ массы краски, купленной на складе.
               Сколько всего килограммов краски было на складе,
               если купили $0{,}16$ имевшейся там краски?`,
        sol: `<b>Правило нахождения целого по части:</b> если часть $a$ некоторого целого $A$ составляет долю $\\dfrac{p}{q}$, то $A = a : \\dfrac{p}{q} = a\\cdot\\dfrac{q}{p}$.
<br><b>Шаг 1. Найдём, сколько краски купили.</b> По условию израсходованные $32$ кг — это $\\dfrac{1}{4}$ часть купленной. Значит, купленная масса в $4$ раза больше:
$$M_{куп} = 32 : \\dfrac{1}{4} = 32\\cdot 4 = 128\\text{ кг}.$$
<b>Шаг 2. Найдём общий запас краски на складе.</b> По условию $128$ кг купленной краски составляют $0{,}16$ имевшейся на складе. Обозначим общий запас за $M$. Получаем уравнение:
$$0{,}16\\cdot M = 128.$$
<b>Шаг 3.</b> Разделим обе части на $0{,}16$:
$$M = \\dfrac{128}{0{,}16} = \\dfrac{12800}{16} = 800\\text{ кг}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $800$ кг</div>`
      },
      {
        text: `В треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$.
               Биссектриса угла $A$ делит высоту $BH$ в отношении $5:3$, считая от точки $B$.
               Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC = 12$.`,
        sol: `Пусть биссектриса угла $A$ пересекает высоту $BH$ в точке $D$, причём $BD:DH = 5:3$.
<br>В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\\angle BHA = 90°$) биссектриса угла $A$ делит сторону $BH$ по теореме о биссектрисе:
$$\\dfrac{BD}{DH} = \\dfrac{AB}{AH} = \\dfrac{5}{3}$$
Пусть $AB = 5k$, $AH = 3k$. Из прямоугольного треугольника $ABH$:
$$BH = \\sqrt{AB^2 - AH^2} = \\sqrt{25k^2 - 9k^2} = \\sqrt{16k^2} = 4k$$
<svg viewBox="0 0 240 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <!-- △ABC: A=(30,175), B=(105,75), C=(210,175), H=(105,175) — основание AC, высота BH вертикальная -->
  <!-- AH=75px=3k, BH=100px=4k, AB=125px=5k (при k=25px) -->
  <!-- D на BH: BD=62.5, DH=37.5 → BD:DH=5:3 → D=(105,137) -->
  <polygon points="30,175 105,75 210,175" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <!-- Высота BH -->
  <line x1="105" y1="75" x2="105" y2="175" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,3"/>
  <!-- Прямой угол при H -->
  <polygon points="105,175 113,175 113,167 105,167" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <!-- Биссектриса A→D (оранжевая) -->
  <line x1="30" y1="175" x2="105" y2="137" stroke="#f97316" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
  <!-- Точки -->
  <circle cx="105" cy="137" r="3.5" fill="#f97316"/>
  <!-- Метки вершин -->
  <text x="15" y="187" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="100" y="68" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="213" y="187" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="108" y="187" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#334155">H</text>
  <text x="109" y="135" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#f97316">D</text>
  <!-- Метки сторон -->
  <text x="52" y="183" font-size="10" fill="#475569" text-anchor="middle">3k</text>
  <text x="56" y="128" font-size="11" fill="#334155">5k</text>
  <text x="111" y="120" font-size="11" fill="#16a34a">4k</text>
  <!-- BD и DH -->
  <text x="111" y="108" font-size="10" fill="#f97316">BD=5</text>
  <text x="111" y="158" font-size="10" fill="#f97316">DH=3</text>
</svg>
Находим $\\sin(\\angle BAC)$:
$$\\sin A = \\dfrac{BH}{AB} = \\dfrac{4k}{5k} = \\dfrac{4}{5}$$
По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$$\\dfrac{BC}{\\sin A} = 2R \\implies R = \\dfrac{BC}{2\\sin A} = \\dfrac{12}{2 \\cdot \\dfrac{4}{5}} = \\dfrac{12 \\cdot 5}{8} = \\dfrac{60}{8} = 7{,}5$$
<div class="sol-ans">Ответ: $R = 7{,}5$ см</div>`
      },
    ]
};