Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
235 lines
17 KiB
JavaScript
235 lines
17 KiB
JavaScript
VARIANTS[14] = {
|
||
label: "Вариант 14",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите, какая из следующих пар чисел является вершиной параболы
|
||
$y = -(x-2)^2 - 1$:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$(2;\\ 1)$"], ["б", "$(2;\\ {-1})$"], ["в", "$(-2;\\ 1)$"],
|
||
["г", "$(-2;\\ {-1})$"], ["д", "$(-1;\\ {-2})$"],
|
||
],
|
||
sol: `Парабола $y = a(x-h)^2 + k$ имеет вершину $(h;\\,k)$. Здесь $h=2$, $k=-1$.
|
||
<svg viewBox="0 0 175 145" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:175px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<defs><marker id="a14t1" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker></defs>
|
||
<line x1="5" y1="20" x2="168" y2="20" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a14t1)"/>
|
||
<line x1="44" y1="138" x2="44" y2="5" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a14t1)"/>
|
||
<text x="169" y="24" font-size="10" fill="#777">x</text><text x="46" y="6" font-size="10" fill="#777">y</text>
|
||
<polyline points="44,120 66,60 88,40 110,60 132,120" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/>
|
||
<circle cx="88" cy="40" r="5" fill="#e11d48"/>
|
||
<text x="92" y="37" font-size="10" fill="#e11d48" font-weight="bold">(2; −1)</text>
|
||
<line x1="86" y1="18" x2="86" y2="22" stroke="#777" stroke-width="1"/>
|
||
<text x="86" y="14" font-size="9" fill="#555" text-anchor="middle">2</text>
|
||
<text x="34" y="44" font-size="9" fill="#555">−1</text>
|
||
</svg>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: б) $(2;\\,-1)$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Определите, какие из чисел <b>НЕ</b> являются решением двойного неравенства
|
||
$-6 < 3x \\leq 12$:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$-2$"], ["б", "$0$"], ["в", "$4$"], ["г", "$-3$"], ["д", "$1$"],
|
||
],
|
||
sol: `Разделим на $3$: $-2 \\lt x \\leq 4$.
|
||
<br>Проверяем каждое число:
|
||
<ul>
|
||
<li>а) $-2$: не строго больше $-2$ ✗ — <b>НЕ решение</b></li>
|
||
<li>б) $0$: $-2\\lt 0\\leq4$ ✓ — решение</li>
|
||
<li>в) $4$: $-2\\lt 4\\leq4$ ✓ — решение</li>
|
||
<li>г) $-3$: $-3\\lt-2$ ✗ — <b>НЕ решение</b></li>
|
||
<li>д) $1$: ✓ — решение</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: а) и г)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "медианы треугольника пересекаются в одной точке;"],
|
||
["б", "периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $3a$;"],
|
||
["в", "основания равнобедренной трапеции равны;"],
|
||
["г", "у прямоугольника все углы равны между собой?"],
|
||
],
|
||
sol: `<ul>
|
||
<li>а) Медианы пересекаются в центроиде — <b>верно</b></li>
|
||
<li>б) Периметр равностороннего треугольника $= 3a$ — <b>верно</b></li>
|
||
<li>в) Основания равнобедренной трапеции равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
|
||
<li>г) У прямоугольника все углы по $90°$ — <b>верно</b></li>
|
||
</ul>
|
||
В равнобедренной трапеции равны <em>боковые стороны</em> и <em>углы при основаниях</em>, но основания по определению различны по длине.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения $4x - 9$,
|
||
если $\\dfrac{2x^2 - 7x}{x} = 0$.`,
|
||
sol: `При $x\\neq 0$:
|
||
$$\\frac{2x^2-7x}{x} = \\frac{x(2x-7)}{x} = 2x-7 = 0 \\implies x = \\frac{7}{2}$$
|
||
$$4x-9 = 4\\cdot\\frac{7}{2}-9 = 14-9 = 5$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $5$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Диагональ $BD$ ромба $ABCD$ равна $24$ см. Угол между стороной $AB$
|
||
и диагональю $AC$ равен $30^{\\circ}$. Найдите периметр ромба.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 170 118" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:170px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<!-- равносторонний треугольник ABD (светло-оранжевый) -->
|
||
<polygon points="20,90 92,90 56,28" fill="rgba(251,146,60,0.2)" stroke="none"/>
|
||
<!-- ромб -->
|
||
<polygon points="20,90 92,90 128,28 56,28" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<!-- диагональ AC (синяя, дана) -->
|
||
<line x1="20" y1="90" x2="128" y2="28" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<!-- диагональ BD (зелёная, дана) -->
|
||
<line x1="92" y1="90" x2="56" y2="28" stroke="#16a34a" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<!-- дуга ∠BAC = 30° (между AB и AC) -->
|
||
<!-- AB: A+18×(1,0)=(38,90); AC: A+18×(0.867,−0.498)=(36,81) -->
|
||
<path d="M38,90 A18,18 0 0,0 36,81" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5"/>
|
||
<text x="40" y="85" font-size="10" fill="#e11d48" font-weight="bold">30°</text>
|
||
<!-- дуга ∠DAB = 60° (между AB и AD, пунктир) -->
|
||
<path d="M40,90 A20,20 0 0,0 30,73" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
|
||
<text x="20" y="80" font-size="9" fill="#94a3b8">60°</text>
|
||
<!-- метки вершин -->
|
||
<text x="3" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="94" y="102" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="130" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="44" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<!-- подписи -->
|
||
<text x="56" y="102" font-size="10" fill="#334155" text-anchor="middle">a = ?</text>
|
||
<text x="69" y="57" font-size="10" fill="#2563eb">AC</text>
|
||
<text x="69" y="72" font-size="10" fill="#16a34a" font-weight="bold">BD = 24</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Свойства ромба:</b> все четыре стороны равны; диагонали — биссектрисы углов ромба.
|
||
<br><b>Признак равностороннего треугольника:</b> равнобедренный треугольник с углом $60°$ является равносторонним.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$ ромба, поэтому $\\angle BAC = \\dfrac{\\angle BAD}{2}$. По условию $\\angle BAC = 30°$, значит:
|
||
$$\\angle BAD = 2\\cdot 30° = 60°$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Рассмотрим треугольник $ABD$:
|
||
<ul>
|
||
<li>$AB = AD = a$ (стороны ромба равны),</li>
|
||
<li>$\\angle BAD = 60°$.</li>
|
||
</ul>
|
||
Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60°$ — <b>равносторонний</b>. Значит, $BD = AB = a$.
|
||
<br><b>Шаг 3.</b> По условию $BD = 24$ см, поэтому $a = 24$ см.
|
||
<br><b>Шаг 4.</b> Периметр ромба:
|
||
$$P = 4a = 4\\cdot 24 = 96\\text{ см}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $P = 96$ см</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Сократите дробь $\\dfrac{25m^2 - 4n^2}{4n^2 + 25m^2 + 20mn}$.`,
|
||
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
|
||
<br><b>Формула квадрата суммы:</b> $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Разложим <em>числитель</em> по формуле разности квадратов ($a=5m$, $b=2n$):
|
||
$$25m^2 - 4n^2 = (5m)^2 - (2n)^2 = (5m-2n)(5m+2n)$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Разложим <em>знаменатель</em>. Это квадрат суммы:
|
||
$$25m^2 + 20mn + 4n^2 = (5m)^2 + 2\\cdot 5m\\cdot 2n + (2n)^2 = (5m+2n)^2$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(5m+2n)$:
|
||
$$\\dfrac{(5m-2n)(5m+2n)}{(5m+2n)^2} = \\dfrac{5m-2n}{5m+2n}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{5m-2n}{5m+2n}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Решите систему уравнений
|
||
$$\\begin{cases} x - 3y = 4, \\\\[4pt] xy - 7y = 6 \\end{cases}$$
|
||
и найдите значение выражения $x_1 \\cdot y_1 + x_2 \\cdot y_2$,
|
||
где $(x_1;\\, y_1)$, $(x_2;\\, y_2)$ — решения системы.`,
|
||
sol: `<b>Метод подстановки:</b> выражаем одну переменную через другую и подставляем.
|
||
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $y^2+py+q=(y-y_1)(y-y_2)$, где $y_1+y_2=-p$, $y_1\\cdot y_2=q$.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Из первого уравнения выразим $x$:
|
||
$$x = 4 + 3y$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Подставим во второе:
|
||
$$(4+3y)y - 7y = 6$$
|
||
$$4y + 3y^2 - 7y = 6$$
|
||
$$3y^2 - 3y - 6 = 0$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Разделим на $3$:
|
||
$$y^2 - y - 2 = 0$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> По теореме Виета: $y_1+y_2=1$, $y_1\\cdot y_2=-2$. Подходят $2$ и $-1$:
|
||
$$(y-2)(y+1)=0$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Находим $x = 4+3y$ для каждого $y$:
|
||
<table style="border-collapse:collapse;margin:6px 0"><tr><td style="padding:2px 12px 2px 0"><b>$y_1=2$:</b></td><td>$x_1=4+6=10$</td></tr><tr><td><b>$y_2=-1$:</b></td><td>$x_2=4-3=1$</td></tr></table>
|
||
<b>Шаг 6.</b> Вычисляем требуемое выражение:
|
||
$$x_1y_1+x_2y_2 = 10\\cdot 2 + 1\\cdot(-1) = 20-1 = 19$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $19$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения $\\sqrt{19 - 6\\sqrt{10}} + \\sqrt{26 - 8\\sqrt{10}}$.
|
||
В ответ запишите число, противоположное полученному.`,
|
||
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
|
||
<br><b>Формула выноса корня из квадрата:</b> $\\sqrt{a^2}=|a|$. Если $a\\geq 0$, то $|a|=a$; если $a\\lt 0$, то $|a|=-a$.
|
||
<br><b>Идея:</b> подкоренное выражение вида $A - 2\\sqrt{B}$ часто можно представить как квадрат разности $(\\sqrt{m}-\\sqrt{n})^2$, где $m+n=A$ и $mn=B$.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем <em>первое</em> подкоренное выражение: $19 - 6\\sqrt{10}$.
|
||
<br>Здесь $2\\sqrt{mn}=6\\sqrt{10}$, то есть $\\sqrt{mn}=3\\sqrt{10}$, $mn=90$. И $m+n=19$. Подходят $m=9$, $n=10$:
|
||
$$19 - 6\\sqrt{10} = 9 - 6\\sqrt{10} + 10 = 3^2 - 2\\cdot 3\\cdot\\sqrt{10} + (\\sqrt{10})^2 = (3-\\sqrt{10})^2$$
|
||
Извлекаем корень. Оценим $\\sqrt{10}$: так как $9\\lt 10\\lt 16$, имеем $3\\lt\\sqrt{10}\\lt 4$, точнее $\\sqrt{10}\\approx 3{,}16$. Значит, $3-\\sqrt{10}\\lt 0$, и модуль раскрывается как $|3-\\sqrt{10}|=\\sqrt{10}-3$:
|
||
$$\\sqrt{19-6\\sqrt{10}} = |3-\\sqrt{10}| = \\sqrt{10}-3$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем <em>второе</em> подкоренное выражение: $26 - 8\\sqrt{10}$. Здесь $2\\sqrt{mn}=8\\sqrt{10}$, $mn=160$, $m+n=26$. Подходят $m=16$, $n=10$:
|
||
$$26 - 8\\sqrt{10} = 16 - 8\\sqrt{10} + 10 = 4^2 - 2\\cdot 4\\cdot\\sqrt{10} + (\\sqrt{10})^2 = (4-\\sqrt{10})^2$$
|
||
Так как $\\sqrt{10}\\approx 3{,}16\\lt 4$, имеем $4-\\sqrt{10}\\gt 0$:
|
||
$$\\sqrt{26-8\\sqrt{10}} = 4-\\sqrt{10}$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Складываем оба корня:
|
||
$$(\\sqrt{10}-3) + (4-\\sqrt{10}) = -3 + 4 + (\\sqrt{10}-\\sqrt{10}) = 1$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Запишем число, противоположное $1$:
|
||
$$-1$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-1$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Периметр параллелограмма равен $32$ см, соседние стороны относятся как $3:5$.
|
||
Угол между высотами, проведёнными к соседним сторонам из вершины тупого угла
|
||
параллелограмма, равен $30^{\\circ}$. Найдите площадь параллелограмма.`,
|
||
sol: `<b>Формула периметра параллелограмма:</b> $P = 2(a+b)$.
|
||
<br><b>Формула площади параллелограмма:</b> $S = a\\cdot b\\cdot\\sin\\alpha$, где $\\alpha$ — угол между сторонами.
|
||
<br><b>Свойство:</b> угол между двумя высотами, проведёнными из вершины тупого угла параллелограмма к соседним сторонам, равен острому углу параллелограмма.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1 — стороны.</b>
|
||
<br>Пусть соседние стороны $a = 3k$ и $b = 5k$ (по условию относятся как $3:5$). Из формулы периметра:
|
||
$$2(3k + 5k) = 32$$
|
||
$$16k = 32 \\implies k = 2$$
|
||
Значит, $a = 6$ см, $b = 10$ см.
|
||
<br><b>Шаг 2 — острый угол параллелограмма.</b>
|
||
<svg viewBox="0 0 180 128" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:180px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<polygon points="50,110 158,110 122,48 14,48" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<!-- h₁: от A(50,110) до H₁(131,63) на стороне BC -->
|
||
<line x1="50" y1="110" x2="131" y2="63" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
|
||
<circle cx="131" cy="63" r="2.5" fill="#2563eb"/>
|
||
<path d="M129,59 L124,61 L127,66" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
|
||
<!-- h₂: от A(50,110) до H₂(50,48) на стороне CD -->
|
||
<line x1="50" y1="110" x2="50" y2="48" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
|
||
<circle cx="50" cy="48" r="2.5" fill="#e11d48"/>
|
||
<path d="M44,48 L44,54 L50,54" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
|
||
<path d="M50,88 A22,22 0 0,1 69,99" fill="none" stroke="#333" stroke-width="1.3"/>
|
||
<text x="59" y="87" font-size="10" fill="#333" font-weight="bold">30°</text>
|
||
<text x="32" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="160" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="124" y="43" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="4" y="43" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="140" y="69" font-size="10" fill="#2563eb">$h_1$</text>
|
||
<text x="36" y="80" font-size="10" fill="#e11d48">$h_2$</text>
|
||
</svg>
|
||
Так как угол между двумя высотами из вершины тупого угла равен <b>острому углу</b> параллелограмма, получаем $\\beta = 30°$.
|
||
<br><b>Шаг 3 — площадь.</b>
|
||
<br>По формуле площади параллелограмма:
|
||
$$S = a\\cdot b\\cdot\\sin\\beta = 6\\cdot 10\\cdot\\sin 30° = 60\\cdot\\dfrac{1}{2} = 30\\text{ см}^2$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $30$ см²</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Во время строительных работ на Всебелорусской молодёжной стройке в Брестской
|
||
крепости двое студентов были определены на подсобные работы. Работая с одной
|
||
скоростью, они выполнили половину отведённой работы, затем увеличили скорость:
|
||
один — на $25\\%$, а второй — на $30\\%$, и вторую половину работы выполнили
|
||
на один день раньше запланированного времени. Успеют ли студенты выполнить
|
||
работу за $7$ дней? Ответ обоснуйте.`,
|
||
sol: `Пусть $n$ — плановое число дней. Скорость каждого $s = \\dfrac{1}{2n}$, вместе: $\\dfrac{1}{n}$.
|
||
<br><b>Первая половина</b>:
|
||
$$t_1 = \\frac{1/2}{1/n} = \\frac{n}{2}\\text{ дней}$$
|
||
<b>Вторая половина</b> — скорости увеличились:
|
||
$$\\text{1-й: }1{,}25s,\\quad \\text{2-й: }1{,}30s,\\quad \\text{вместе: }2{,}55s = \\frac{1{,}275}{n}$$
|
||
$$t_2 = \\frac{1/2}{1{,}275/n} = \\frac{n}{2{,}55} = \\frac{20n}{51}\\text{ дней}$$
|
||
<b>Фактическое время:</b>
|
||
$$t = \\frac{n}{2}+\\frac{20n}{51} = \\frac{51n+40n}{102} = \\frac{91n}{102}$$
|
||
<b>Условие «на 1 день раньше»:</b>
|
||
$$n - \\frac{91n}{102} = \\frac{11n}{102} = 1 \\implies n = \\frac{102}{11} \\approx 9{,}3$$
|
||
<b>Фактическое время:</b>
|
||
$$t = \\frac{91}{11} = 8\\frac{3}{11} \\approx 8{,}3\\text{ дней}$$
|
||
Так как $8{,}3 \\gt 7$, студенты <b>не успеют</b> за $7$ дней.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: нет, не успеют ($\\approx 8{,}3$ дней $\\gt 7$ дней)</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|