Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
224 lines
17 KiB
JavaScript
224 lines
17 KiB
JavaScript
VARIANTS[15] = {
|
||
label: "Вариант 15",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите, какое из следующих множеств может быть областью определения
|
||
чётной функции:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$(-7;\\ 7]$"],
|
||
["б", "$[-9;\\ {-1}) \\cup (-1;\\ 9]$"],
|
||
["в", "$[-10;\\ 10]$"],
|
||
["г", "$[-8;\\ {-1}) \\cup (-1;\\ 1) \\cup (1;\\ 8]$"],
|
||
["д", "$[-11;\\ 11]$"],
|
||
],
|
||
sol: `Область определения чётной функции должна быть <b>симметрична относительно нуля</b>: если $x$ входит, то и $-x$ входит.
|
||
<ul>
|
||
<li>а) $(-7;7]$: $x=7$ входит, $-7$ не входит (открытый конец) ✗</li>
|
||
<li>б) $[-9;{-1})\\cup(-1;9]$: $x=1$ входит, $-1$ не входит (исключена из обоих) ✗</li>
|
||
<li>в) $[-10;10]$: симметрично ✓</li>
|
||
<li>г) $[-8;{-1})\\cup(-1;1)\\cup(1;8]$: $\\pm1$ оба исключены симметрично, $\\pm8$ оба включены ✓</li>
|
||
<li>д) $[-11;11]$: симметрично ✓</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в), г) и д) — все три симметричны; наиболее простой пример: <b>в)</b></div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Запись числового выражения $3^4 : 3^3 \\cdot 3^5$ в виде степени с основанием $3$
|
||
имеет вид:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$3^{12}$"], ["б", "$3^{-4}$"], ["в", "$3^6$"],
|
||
["г", "$3^2$"], ["д", "$3^5$"],
|
||
],
|
||
sol: `Деление — вычитаем показатели, умножение — складываем:
|
||
$$3^4 : 3^3 \\cdot 3^5 = 3^{4-3} \\cdot 3^5 = 3^1 \\cdot 3^5 = 3^{1+5} = 3^6$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в) $3^6$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины;"],
|
||
["б", "$\\cos 120^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
|
||
["в", "диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен его стороне;"],
|
||
["г", "биссектриса любого угла делит этот угол на два равных угла?"],
|
||
],
|
||
sol: `<ul>
|
||
<li>а) Медианы делятся в отношении $2:1$ — <b>верно</b></li>
|
||
<li>б) $\\cos120°=\\frac{1}{2}$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>: $\\cos120° = -\\frac{1}{2}$</li>
|
||
<li>в) Диаметр вписанной в квадрат окружности $= a$ (сторона) — <b>верно</b></li>
|
||
<li>г) Биссектриса делит угол пополам — <b>верно</b></li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите третий член последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 + 6n + 1$.`,
|
||
sol: `$$a_3 = 3^2 + 6\\cdot 3 + 1 = 9 + 18 + 1 = 28$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $28$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $P$ — точка пересечения диагоналей,
|
||
$\\angle ADB = 72^{\\circ}$, $\\angle CBD = 64^{\\circ}$. Найдите $\\angle APB$.`,
|
||
sol: `<b>Теорема о вписанных углах:</b> вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
|
||
<svg viewBox="0 0 190 155" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:190px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<circle cx="88" cy="73" r="65" fill="none" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1.2"/>
|
||
<polygon points="44,28 152,73 108,135 24,73" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<line x1="44" y1="28" x2="108" y2="135" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
|
||
<line x1="152" y1="73" x2="24" y2="73" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
|
||
<circle cx="72" cy="73" r="3" fill="#1e293b"/>
|
||
<text x="70" y="67" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">P</text>
|
||
<text x="38" y="23" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="155" y="76" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="110" y="149" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="8" y="76" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="36" y="67" font-size="10" fill="#e11d48">72°</text>
|
||
<text x="128" y="73" font-size="10" fill="#2563eb">64°</text>
|
||
</svg>
|
||
$\\angle ADB = 72°$ — вписанный угол, опирается на дугу $AB$:
|
||
$$\\overset{\\frown}{AB} = 2\\cdot72° = 144°$$
|
||
$\\angle CBD = 64°$ — вписанный угол, опирается на дугу $CD$:
|
||
$$\\overset{\\frown}{CD} = 2\\cdot64° = 128°$$
|
||
<b>Угол между хордами</b> равен полусумме перехваченных дуг:
|
||
$$\\angle APB = \\frac{\\overset{\\frown}{AB} + \\overset{\\frown}{CD}}{2} = \\frac{144° + 128°}{2} = \\frac{272°}{2} = 136°$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $136°$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Упростите выражение $|x - 3| + |x + 2| - 3$, если $x \\in (-2;\\ 0]$.`,
|
||
sol: `<b>Определение модуля:</b> $|A| = A$, если $A\\geq 0$, и $|A| = -A$, если $A\\lt 0$.
|
||
<br><b>Идея:</b> чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак подмодульного выражения на заданном промежутке.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Определим знак $x-3$ при $x\\in(-2;\\,0]$.
|
||
<br>Так как $x\\leq 0$, то $x-3\\leq 0-3=-3\\lt 0$. Значит, $x-3\\lt 0$, и по определению модуля:
|
||
$$|x-3| = -(x-3) = 3-x$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Определим знак $x+2$ при $x\\in(-2;\\,0]$.
|
||
<br>Так как $x\\gt -2$ (по условию), то $x+2\\gt 0$. По определению модуля:
|
||
$$|x+2| = x+2$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Подставляем раскрытые модули в исходное выражение:
|
||
$$|x-3| + |x+2| - 3 = (3-x) + (x+2) - 3$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Приводим подобные слагаемые:
|
||
$$3 - x + x + 2 - 3 = (3 + 2 - 3) + (-x + x) = 2$$
|
||
Выражение оказалось <em>постоянным</em> на всём данном промежутке.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $2$ (константа на всём промежутке)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите все значения переменной, при которых значение выражения
|
||
$\\dfrac{x + 3}{x + 2} - \\dfrac{2x}{x^2 - 4}$ равно нулю.`,
|
||
sol: `<b>Решение дробно-рациональных уравнений:</b> 1) находим ОДЗ; 2) умножаем обе части на общий знаменатель; 3) решаем полученное уравнение; 4) проверяем корни на принадлежность ОДЗ.
|
||
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
|
||
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Запишем уравнение:
|
||
$$\\dfrac{x+3}{x+2} - \\dfrac{2x}{x^2-4} = 0$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Разложим знаменатель $x^2-4$ по формуле разности квадратов: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Это и есть общий знаменатель.
|
||
<br>ОДЗ: $x\\neq 2$ и $x\\neq -2$.
|
||
<br><b>Шаг 3.</b> Умножим обе части на $(x-2)(x+2)$:
|
||
$$(x+3)(x-2) - 2x = 0$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Раскрываем скобки:
|
||
$$x^2 + 3x - 2x - 6 - 2x = 0$$
|
||
$$x^2 - x - 6 = 0$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> По теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1\\cdot x_2=-6$. Подходят $3$ и $-2$:
|
||
$$(x-3)(x+2) = 0 \\implies x = 3 \\text{ или } x = -2$$
|
||
<b>Шаг 6.</b> Проверяем ОДЗ: $x=-2$ не входит (отбрасываем). Остаётся $x=3$.
|
||
<br><b>Проверка</b> $x=3$:
|
||
$$\\dfrac{3+3}{3+2} - \\dfrac{2\\cdot 3}{9-4} = \\dfrac{6}{5} - \\dfrac{6}{5} = 0 \\checkmark$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $x=3$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Если двузначное число разделить на сумму его цифр, в частном получим $7$,
|
||
а в остатке — $6$. Если число, составленное из тех же цифр в обратном порядке,
|
||
разделить на произведение цифр, то в частном получим $1$, а в остатке — $14$.
|
||
Найдите это число.`,
|
||
sol: `Пусть число $=10a+b$.
|
||
<br><b>Условие 1:</b> $10a+b = 7(a+b)+6 \\Rightarrow 3a=6b+6 \\Rightarrow a=2b+2$
|
||
<br><b>Условие 2:</b> $10b+a = 1\\cdot ab+14$ (остаток $< $ делителя: $14 < ab$).
|
||
<br>Подставим $a=2b+2$:
|
||
$$10b+(2b+2) = (2b+2)b+14$$
|
||
$$12b+2 = 2b^2+2b+14$$
|
||
$$2b^2-10b+12=0 \\implies b^2-5b+6=0 \\implies (b-2)(b-3)=0$$
|
||
$b=2$: $a=6$, число $62$. Проверим условие 2: $26\\div 12 = 2$ ост. $2\\neq 14$ ✗ (остаток должен быть $<$ делителя, $14>12$, значит $b=2$ не подходит).
|
||
<br>$b=3$: $a=8$, число $83$.
|
||
<br><b>Проверка:</b> $83\\div 11=7$ ост. $6$ ✓; $38\\div 24=1$ ост. $14$ ✓ ($14<24$ ✓)
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $83$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите разность наибольшего и наименьшего целых решений двойного неравенства
|
||
$16 - 6x < x^2 \\leq 24 - 10x$.`,
|
||
sol: `<b>Двойное неравенство</b> $A \\lt B \\leq C$ равносильно системе $\\{A\\lt B,\\; B\\leq C\\}$, поэтому решаем каждую часть отдельно и находим пересечение.
|
||
<br><b>Метод интервалов</b> для квадратного неравенства: раскладываем трёхчлен на множители и определяем знак на интервалах.
|
||
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Решаем первую часть: $x^2 \\gt 16-6x$.
|
||
<br>Переносим всё влево:
|
||
$$x^2 + 6x - 16 \\gt 0$$
|
||
По теореме Виета: $x_1+x_2=-6$, $x_1\\cdot x_2=-16$. Подходят $-8$ и $2$:
|
||
$$(x+8)(x-2) \\gt 0$$
|
||
Произведение положительно вне корней: $x\\lt -8$ или $x\\gt 2$.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Решаем вторую часть: $x^2 \\leq 24-10x$.
|
||
<br>Переносим всё влево:
|
||
$$x^2 + 10x - 24 \\leq 0$$
|
||
По теореме Виета: $x_1+x_2=-10$, $x_1\\cdot x_2=-24$. Подходят $-12$ и $2$:
|
||
$$(x+12)(x-2) \\leq 0$$
|
||
Произведение неположительно между корнями: $-12\\leq x\\leq 2$.
|
||
<br><b>Шаг 3.</b> Берём пересечение решений:
|
||
$$(x\\lt -8 \\text{ или } x\\gt 2)\\cap(-12\\leq x\\leq 2) = -12\\leq x \\lt -8$$
|
||
<svg viewBox="0 0 265 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:265px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
|
||
<defs><marker id="a15t9" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
|
||
<line x1="8" y1="26" x2="255" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a15t9)"/>
|
||
<line x1="35" y1="22" x2="35" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="35" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−12</text>
|
||
<line x1="80" y1="22" x2="80" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="80" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−10</text>
|
||
<line x1="125" y1="22" x2="125" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="125" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−8</text>
|
||
<line x1="170" y1="22" x2="170" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="170" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−6</text>
|
||
<line x1="215" y1="22" x2="215" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="215" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−4</text>
|
||
<line x1="35" y1="26" x2="125" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
|
||
<circle cx="35" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
|
||
<circle cx="125" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 4.</b> Выписываем целые числа из $[-12;\\,-8)$: $-12,\\,-11,\\,-10,\\,-9$.
|
||
<br>Наибольшее $= -9$, наименьшее $= -12$.
|
||
<br><b>Шаг 5.</b> Разность:
|
||
$$-9 - (-12) = 3$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Точка $M$ — середина стороны $CD$ параллелограмма $ABCD$ с площадью $360$ см².
|
||
Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $F$.
|
||
Найдите площадь четырёхугольника $AFMD$.`,
|
||
sol: `<b>Шаг 1 — находим отношение AF:FC.</b>
|
||
<br>Рассмотрим треугольники $ABF$ и $CMF$:
|
||
<ul style="margin:4px 0 4px 16px">
|
||
<li>$AB\\parallel CM$ (т.к. $AB\\parallel DC$, а $CM$ — часть $DC$)</li>
|
||
<li>$\\angle FAB = \\angle FCM$ (накрест лежащие при параллельных)</li>
|
||
<li>$\\angle AFB = \\angle CFM$ (вертикальные углы)</li>
|
||
</ul>
|
||
$\\Rightarrow$ треугольники <b>подобны</b>. Так как $AB = DC$ и $CM = DC/2$ (M — середина), то:
|
||
$$\\frac{AB}{CM} = \\frac{2}{1} \\Rightarrow \\frac{AF}{FC} = \\frac{AB}{CM} = 2 \\Rightarrow AF:FC = 2:1$$
|
||
<b>Шаг 2 — площадь треугольника ABM.</b>
|
||
<br>Точка $M$ лежит на $DC\\parallel AB$, значит высота от $M$ до $AB$ равна высоте параллелограмма $h$.
|
||
$$S_{ABM} = \\tfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot h = \\tfrac{1}{2}\\cdot S_{ABCD} = 180$$
|
||
<b>Шаг 3 — площадь треугольника AMD.</b>
|
||
<br>В треугольнике $ACD$ отрезок $AM$ — медиана (M — середина $CD$), поэтому:
|
||
$$S_{AMD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot S_{ACD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 180 = 90$$
|
||
<b>Шаг 4 — площадь четырёхугольника ABMD.</b>
|
||
$$S_{ABMD} = S_{ABM} + S_{AMD} = 180 + 90 = 270$$
|
||
<b>Шаг 5 — площадь треугольника ABF.</b>
|
||
<br>Треугольники $ABF$ и $ABC$ имеют общую вершину $B$ и основания $AF$ и $AC$ на одной прямой:
|
||
$$\\frac{S_{ABF}}{S_{ABC}} = \\frac{AF}{AC} = \\frac{2}{3} \\Rightarrow S_{ABF} = \\frac{2}{3}\\cdot 180 = 120$$
|
||
<b>Шаг 6 — итог.</b>
|
||
$$S_{AFMD} = S_{ABMD} - S_{ABF} = 270 - 120 = 150\\text{ см}^2$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $150$ см²</div>`,
|
||
figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 265 168" width="265" height="168">
|
||
<polygon points="35,143 200,143 220,35 55,35" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
|
||
<polygon points="35,143 159,71 138,35 55,35" fill="rgba(251,146,60,0.2)" stroke="none"/>
|
||
<line x1="35" y1="143" x2="220" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<line x1="200" y1="143" x2="138" y2="35" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
|
||
<circle cx="159" cy="71" r="3.5" fill="#1e293b"/>
|
||
<circle cx="138" cy="35" r="3.5" fill="#1e293b"/>
|
||
<text x="21" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
|
||
<text x="203" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
|
||
<text x="223" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
|
||
<text x="41" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
|
||
<text x="143" y="27" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">M</text>
|
||
<text x="164" y="68" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">F</text>
|
||
<text x="75" y="105" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#c2410c">AFMD</text>
|
||
</svg>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|