Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
243 lines
19 KiB
JavaScript
243 lines
19 KiB
JavaScript
VARIANTS[44] = {
|
||
label: "Вариант 44",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Выберите функцию, график которой изображён на рисунке:`,
|
||
figure: `<svg viewBox="0 0 280 220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto;background:#fff">
|
||
<defs>
|
||
<marker id="v44t1ax" markerWidth="7" markerHeight="6" refX="7" refY="3" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5z" fill="#94a3b8"/></marker>
|
||
</defs>
|
||
<!-- Сетка: шаг 20px = 1 единица. Origin: (40,80). x: -1..11, y: -4..6 -->
|
||
<g stroke="#e2e8f0" stroke-width="1">
|
||
<line x1="60" y1="20" x2="60" y2="200"/><line x1="80" y1="20" x2="80" y2="200"/>
|
||
<line x1="100" y1="20" x2="100" y2="200"/><line x1="140" y1="20" x2="140" y2="200"/>
|
||
<line x1="160" y1="20" x2="160" y2="200"/><line x1="180" y1="20" x2="180" y2="200"/>
|
||
<line x1="200" y1="20" x2="200" y2="200"/><line x1="220" y1="20" x2="220" y2="200"/>
|
||
<line x1="240" y1="20" x2="240" y2="200"/><line x1="260" y1="20" x2="260" y2="200"/>
|
||
<line x1="20" y1="40" x2="270" y2="40" /><line x1="20" y1="60" x2="270" y2="60" />
|
||
<line x1="20" y1="100" x2="270" y2="100"/><line x1="20" y1="120" x2="270" y2="120"/>
|
||
<line x1="20" y1="140" x2="270" y2="140"/><line x1="20" y1="160" x2="270" y2="160"/>
|
||
<line x1="20" y1="180" x2="270" y2="180"/>
|
||
</g>
|
||
<!-- оси -->
|
||
<line x1="20" y1="80" x2="278" y2="80" stroke="#475569" stroke-width="1.4" marker-end="url(#v44t1ax)"/>
|
||
<line x1="40" y1="210" x2="40" y2="12" stroke="#475569" stroke-width="1.4" marker-end="url(#v44t1ax)"/>
|
||
<!-- метки -->
|
||
<text x="270" y="94" font-size="11" fill="#475569" font-style="italic">x</text>
|
||
<text x="46" y="18" font-size="11" fill="#475569" font-style="italic">y</text>
|
||
<text x="32" y="94" font-size="10" fill="#64748b">0</text>
|
||
<text x="118" y="94" font-size="10" fill="#64748b">4</text>
|
||
<text x="198" y="94" font-size="10" fill="#64748b">8</text>
|
||
<text x="26" y="64" font-size="10" fill="#64748b">2</text>
|
||
<text x="26" y="124" font-size="10" fill="#64748b">-2</text>
|
||
<text x="26" y="164" font-size="10" fill="#64748b">-4</text>
|
||
<!-- парабола y=(x-4)^2-2: точки -->
|
||
<!-- x=1,y=7→(60,-60 за рамкой); x=2,y=2→(80,40); x=3,y=-1→(100,100); x=4,y=-2→(120,120); x=5,y=-1→(140,100); x=6,y=2→(160,40); x=7,y=7→(180,-60) -->
|
||
<path d="M 80,40 Q 90,76 100,100 Q 110,116 120,120 Q 130,116 140,100 Q 150,76 160,40" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.4"/>
|
||
<!-- Вершина -->
|
||
<circle cx="120" cy="120" r="3.6" fill="#dc2626"/>
|
||
<text x="126" y="138" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">(4; -2)</text>
|
||
</svg>`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$y = (x+2)^2 - 2$"], ["б", "$y = (x+2)^2 + 2$"], ["в", "$y = (x-4)^2 - 2$"],
|
||
["г", "$y = (x-4)^2 + 2$"], ["д", "$y = (x+4)^2 + 2$"],
|
||
],
|
||
sol: `<b>Свойство параболы $y=(x-a)^2+b$:</b> вершина находится в точке $(a;\\,b)$, ветви направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положительный).
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> По рисунку определяем координаты вершины: $(4;\\,-2)$. Значит $a=4$, $b=-2$.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Подставляем в общую формулу: $y=(x-4)^2+(-2)=(x-4)^2-2$.
|
||
<br><b>Проверка:</b> при $x=2$ получаем $y=4-2=2$ — точка $(2;\\,2)$ на графике; при $x=6$ получаем $y=4-2=2$ — точка $(6;\\,2)$. Парабола симметрична относительно прямой $x=4$ — это ось симметрии через вершину.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в) $y=(x-4)^2-2$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Результат сокращения дроби $\\dfrac{7mn - 35m}{7mn}$ равен:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$\\dfrac{mn-5m}{mn}$"], ["б", "$\\dfrac{n-5}{n}$"], ["в", "$n-5$"],
|
||
["г", "$\\dfrac{n-4}{n}$"], ["д", "$1 - 35m$"],
|
||
],
|
||
sol: `Выносим $7m$ за скобку в числителе:
|
||
$$\\dfrac{7mn-35m}{7mn} = \\dfrac{7m(n-5)}{7mn} = \\dfrac{n-5}{n}\\quad(m\\neq0,\\,n\\neq0)$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: б) $\\dfrac{n-5}{n}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "около любого треугольника можно описать окружность;"],
|
||
["б", "если в треугольнике равны два угла, то треугольник равнобедренный;"],
|
||
["в", "если у четырёхугольника два угла прямые, то это всегда прямоугольник;"],
|
||
["г", "развёрнутый угол равен $180^{\\circ}$?"],
|
||
],
|
||
sol: `<ul>
|
||
<li>а) Около любого треугольника можно описать окружность — <b>верно</b></li>
|
||
<li>б) Два равных угла ⟹ равнобедренный треугольник — <b>верно</b></li>
|
||
<li>в) Четырёхугольник с двумя прямыми углами — это необязательно прямоугольник. Например, прямоугольная трапеция имеет два прямых угла, но не является прямоугольником — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
|
||
<li>г) Развёрнутый угол $=180°$ — <b>верно</b></li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите количество целых решений системы неравенств
|
||
$$\\begin{cases} x < 10, \\\\[4pt] x > 3. \\end{cases}$$`,
|
||
sol: `Система: $3 < x < 10$. Целые числа в этом промежутке:
|
||
$$4,\\;5,\\;6,\\;7,\\;8,\\;9$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $6$ целых решений</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите площадь треугольника со сторонами $13$ см, $13$ см и $10$ см.`,
|
||
sol: `<b>Свойство равнобедренного треугольника:</b> высота, проведённая к основанию, является также медианой (делит основание пополам).
|
||
<br><b>Формула площади треугольника:</b> $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота к нему.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> У нашего треугольника две стороны по $13$ см и одна $10$ см — он равнобедренный с основанием $10$ см. Высота $CM$, опущенная на основание, делит его пополам: $AM = MB = 5$ см.
|
||
<svg viewBox="0 0 160 105" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:220px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
|
||
<polygon points="20,88 128,88 74,16" fill="rgba(37,99,235,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<line x1="74" y1="16" x2="74" y2="88" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<polygon points="74,88 82,88 82,80 74,80" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
|
||
<circle cx="74" cy="88" r="2.5" fill="#dc2626"/>
|
||
<text x="5" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="131" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="70" y="10" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="69" y="100" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
|
||
<text x="36" y="56" font-size="12" fill="#334155">13</text>
|
||
<text x="100" y="56" font-size="12" fill="#334155">13</text>
|
||
<text x="68" y="102" font-size="11" fill="#334155">10</text>
|
||
<text x="79" y="55" font-size="12" fill="#dc2626">h</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 2.</b> Найдём высоту $h = CM$ по <b>теореме Пифагора</b> в прямоугольном треугольнике $ACM$:
|
||
$$AC^2 = AM^2 + CM^2 \\implies 13^2 = 5^2 + h^2$$
|
||
$$h^2 = 169 - 25 = 144 \\implies h = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Считаем площадь:
|
||
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10\\cdot 12 = 60\\text{ см}^2$$
|
||
<br><br><b>Альтернативный способ — формула Герона.</b>
|
||
<br><b>Формула Герона:</b> $S = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \\dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Полупериметр: $p = \\dfrac{13+13+10}{2} = \\dfrac{36}{2} = 18$ см.
|
||
<br><b>Шаг 2.</b> Подставляем в формулу:
|
||
$$S = \\sqrt{18\\cdot(18-13)\\cdot(18-13)\\cdot(18-10)} = \\sqrt{18\\cdot 5\\cdot 5\\cdot 8} = \\sqrt{3600} = 60\\text{ см}^2$$
|
||
Оба способа дают один и тот же ответ.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $60$ см²</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Упростите выражение $\\sqrt{6}\\cdot(\\sqrt{25} - \\sqrt{96} + 3\\sqrt{6})\\cdot(-\\sqrt{54})$.`,
|
||
sol: `<b>Свойство квадратного корня:</b> $\\sqrt{a\\cdot b} = \\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{b}$ (для $a,b\\geq 0$), а также $\\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{a} = a$ (для $a\\geq 0$).
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Упрощаем каждый корень в скобках, вынося полные квадраты из-под корня:
|
||
$$\\sqrt{25} = 5$$
|
||
$$\\sqrt{96} = \\sqrt{16\\cdot 6} = \\sqrt{16}\\cdot\\sqrt{6} = 4\\sqrt{6}$$
|
||
$$\\sqrt{54} = \\sqrt{9\\cdot 6} = \\sqrt{9}\\cdot\\sqrt{6} = 3\\sqrt{6}$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Подставляем и приводим подобные слагаемые $-4\\sqrt{6}$ и $3\\sqrt{6}$:
|
||
$$5 - 4\\sqrt{6} + 3\\sqrt{6} = 5 - \\sqrt{6}$$
|
||
Исходное выражение принимает вид:
|
||
$$\\sqrt{6}\\cdot(5 - \\sqrt{6})\\cdot(-3\\sqrt{6})$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Перемножаем крайние множители $\\sqrt{6}$ и $-3\\sqrt{6}$:
|
||
$$\\sqrt{6}\\cdot(-3\\sqrt{6}) = -3\\cdot(\\sqrt{6})^2 = -3\\cdot 6 = -18$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Умножаем результат на оставшуюся скобку:
|
||
$$-18\\cdot(5 - \\sqrt{6}) = -18\\cdot 5 + 18\\sqrt{6} = -90 + 18\\sqrt{6} = 18(\\sqrt{6} - 5)$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $18(\\sqrt{6}-5)$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите область определения функции
|
||
$y = \\dfrac{5}{x^2-9} + \\sqrt{24-8x}$.`,
|
||
sol: `<b>Правила нахождения области определения:</b>
|
||
<br>1) Знаменатель дроби не может равняться нулю: $\\dfrac{1}{g(x)}$ определена при $g(x) \\neq 0$.
|
||
<br>2) Подкоренное выражение чётной степени должно быть неотрицательным: $\\sqrt{f(x)}$ определён при $f(x) \\geq 0$.
|
||
<br>В функции есть и дробь, и корень — выписываем оба условия.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Знаменатель $x^2 - 9$ должен быть $\\neq 0$:
|
||
$$x^2 - 9 \\neq 0 \\implies x^2 \\neq 9 \\implies x \\neq \\pm 3$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Подкоренное выражение $24 - 8x$ должно быть $\\geq 0$:
|
||
$$24 - 8x \\geq 0 \\implies 8x \\leq 24 \\implies x \\leq 3$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Объединяем: $x \\leq 3$ и $x \\neq -3$ и $x \\neq 3$.
|
||
<br>Условие $x \\leq 3$ с исключением $x = 3$ даёт $x \\lt 3$. С учётом $x \\neq -3$:
|
||
$$x \\in (-\\infty;\\,-3)\\cup(-3;\\,3)$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $(-\\infty;\\,-3)\\cup(-3;\\,3)$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения $75x_0$, где $x_0$ — наименьший корень уравнения
|
||
$$\\dfrac{x^2}{4x^2-4x+1} - \\dfrac{4x}{2x-1} + 3 = 0.$$`,
|
||
sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
|
||
<br><b>Шаг 1.</b> Замечаем, что $4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2\\cdot 2x\\cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2$.
|
||
<br>Уравнение принимает вид:
|
||
$$\\dfrac{x^2}{(2x - 1)^2} - \\dfrac{4x}{2x - 1} + 3 = 0$$
|
||
<b>ОДЗ:</b> $2x - 1 \\neq 0$, то есть $x \\neq \\dfrac{1}{2}$.
|
||
<br><b>Шаг 2. Замена переменной.</b> Заметим, что $\\dfrac{x^2}{(2x - 1)^2} = \\left(\\dfrac{x}{2x - 1}\\right)^2$.
|
||
<br>Пусть $t = \\dfrac{x}{2x - 1}$. Уравнение становится:
|
||
$$t^2 - 4t + 3 = 0$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> По <b>теореме Виета</b> (сумма $4$, произведение $3$): корни $1$ и $3$.
|
||
$$(t - 1)(t - 3) = 0 \\implies t = 1 \\text{ или } t = 3$$
|
||
<b>Шаг 4. Возвращаемся к $x$.</b>
|
||
<br>— При $t = 1$: $\\dfrac{x}{2x - 1} = 1 \\implies x = 2x - 1 \\implies -x = -1 \\implies x = 1$.
|
||
<br>— При $t = 3$: $\\dfrac{x}{2x - 1} = 3 \\implies x = 6x - 3 \\implies -5x = -3 \\implies x = \\dfrac{3}{5}$.
|
||
<br><b>Шаг 5. Проверка ОДЗ.</b> Оба значения $\\neq \\dfrac{1}{2}$ ✓.
|
||
<br><b>Шаг 6.</b> Сравним корни: $\\dfrac{3}{5} = 0{,}6 \\lt 1$. Наименьший корень:
|
||
$$x_0 = \\dfrac{3}{5}$$
|
||
$$75x_0 = 75\\cdot\\dfrac{3}{5} = \\dfrac{75\\cdot 3}{5} = 15\\cdot 3 = 45$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $45$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите площадь описанной равнобедренной трапеции, если точка касания вписанной
|
||
в неё окружности делит боковую сторону на отрезки, равные $2$ см и $8$ см.`,
|
||
sol: `<b>Шаг 1. Основания трапеции.</b>
|
||
<br>Боковая сторона $= 2+8 = 10$ см. По свойству касательных от каждой вершины оба касательных отрезка равны.
|
||
<br>От вершин большего основания — по $8$, от вершин меньшего — по $2$.
|
||
<svg viewBox="0 0 195 115" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
|
||
<!-- Трапеция ABCD: A=(20,98), B=(68,18), C=(124,18), D=(172,98) -->
|
||
<!-- AD=152px=16см, BC=56px≈4см (масштаб ~9.5px/см) -->
|
||
<polygon points="20,98 172,98 124,18 68,18" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
|
||
<!-- Вписанная окружность: O=(96,58), r=40px -->
|
||
<circle cx="96" cy="58" r="40" fill="rgba(22,163,74,0.08)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
|
||
<!-- AP_left = 8 (красный) -->
|
||
<line x1="20" y1="98" x2="56" y2="38" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
|
||
<!-- P_leftB = 2 (синий) -->
|
||
<line x1="56" y1="38" x2="68" y2="18" stroke="#2563eb" stroke-width="2.5"/>
|
||
<!-- Правая боковая (зеркально) -->
|
||
<line x1="172" y1="98" x2="136" y2="38" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
|
||
<line x1="136" y1="38" x2="124" y2="18" stroke="#2563eb" stroke-width="2.5"/>
|
||
<!-- Радиус до нижнего основания -->
|
||
<line x1="96" y1="58" x2="96" y2="98" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="3,2"/>
|
||
<!-- Точки касания -->
|
||
<circle cx="96" cy="98" r="3" fill="#16a34a"/>
|
||
<circle cx="96" cy="18" r="3" fill="#16a34a"/>
|
||
<circle cx="56" cy="38" r="4" fill="#dc2626"/>
|
||
<circle cx="136" cy="38" r="4" fill="#dc2626"/>
|
||
<circle cx="96" cy="58" r="3" fill="#334155"/>
|
||
<!-- Метки вершин -->
|
||
<text x="6" y="109" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="175" y="109" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="60" y="13" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="121" y="13" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="99" y="55" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
|
||
<!-- Метки отрезков -->
|
||
<text x="22" y="70" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">8</text>
|
||
<text x="46" y="30" font-size="13" fill="#2563eb" font-weight="bold">2</text>
|
||
<text x="160" y="70" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">8</text>
|
||
<text x="134" y="30" font-size="13" fill="#2563eb" font-weight="bold">2</text>
|
||
<!-- Метки оснований -->
|
||
<text x="76" y="111" font-size="11" fill="#334155">AD = 16</text>
|
||
<text x="80" y="12" font-size="11" fill="#334155">BC = 4</text>
|
||
<!-- Радиус -->
|
||
<text x="100" y="80" font-size="11" fill="#16a34a">r = 4</text>
|
||
</svg>
|
||
$$AD = 8+8 = 16\\text{ см}, \\quad BC = 2+2 = 4\\text{ см}$$
|
||
<b>Шаг 2. Высота трапеции.</b>
|
||
<br>Горизонтальный выступ ноги: $\\dfrac{16-4}{2} = 6$ см.
|
||
$$h = \\sqrt{10^2-6^2} = \\sqrt{100-36} = \\sqrt{64} = 8\\text{ см}$$
|
||
<b>Шаг 3. Площадь.</b>
|
||
$$S = \\dfrac{AD+BC}{2}\\cdot h = \\dfrac{16+4}{2}\\cdot8 = 10\\cdot8 = 80\\text{ см}^2$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $80$ см²</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В компанию поступил заказ на укладку $175$ м² напольной плитки.
|
||
Плиточник принял решение укладывать на $10$ м² в день больше, чем запланировал ранее.
|
||
В результате работа была закончена на $2$ дня раньше установленного срока.
|
||
Успеет ли плиточник выполнить заказ за $7$ рабочих дней, если будет работать
|
||
по первоначальному плану? Ответ обоснуйте.`,
|
||
sol: `Пусть плановая выработка $= x$ м²/день.
|
||
<br>По плану: $\\dfrac{175}{x}$ дней. С ускорением: $\\dfrac{175}{x+10}$ дней, на $2$ меньше.
|
||
$$\\dfrac{175}{x} - \\dfrac{175}{x+10} = 2$$
|
||
Умножаем на $x(x+10)$:
|
||
$$175(x+10) - 175x = 2x(x+10)$$
|
||
$$1750 = 2x^2+20x \\implies x^2+10x-875=0$$
|
||
$$D = 100+3500 = 3600 = 60^2 \\implies x = \\dfrac{-10+60}{2} = 25\\text{ м}^2/\\text{день}$$
|
||
<b>Плановый срок:</b> $\\dfrac{175}{25} = 7$ дней.
|
||
<br><b>Проверка:</b> при $35$ м²/день: $175\\div35=5$ дней, $7-5=2$ ✓
|
||
<br><b>Ответ на вопрос:</b> за $7$ дней при выработке $25$ м²/день плиточник уложит $7\\times25=175$ м².
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: да, успеет — уложит ровно $175$ м² за $7$ дней</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|