Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
177 lines
14 KiB
JavaScript
177 lines
14 KiB
JavaScript
VARIANTS[63] = {
|
||
label: "Вариант 63",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$a^5 = 5a$"], ["б", "$a^5 = 5a^5$"], ["в", "$a^5 = 5 + a^5$"],
|
||
["г", "$a^5 = a^5$ (т.е. $a \\cdot a \\cdot a \\cdot a \\cdot a = a^5$)"], ["д", "$a^5 = 5 : a^5$"],
|
||
],
|
||
sol: `По определению степени с натуральным показателем:
|
||
$$a^5 = \\underbrace{a\\cdot a\\cdot a\\cdot a\\cdot a}_{5\\text{ раз}}.$$
|
||
Остальные равенства неверны: $5a$, $5a^5$, $5+a^5$, $5:a^5$ — это другие выражения.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: <b>г</b>.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Частное дробей $\\dfrac{4}{5}$ и $\\dfrac{24}{25}$ равно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$\\dfrac{6}{5}$"], ["б", "$\\dfrac{125}{96}$"], ["в", "$\\dfrac{5}{6}$"],
|
||
["г", "$1{,}2$"], ["д", "$\\dfrac{96}{125}$"],
|
||
],
|
||
sol: `Деление дробей — это умножение на обратную:
|
||
$$\\dfrac{4}{5} : \\dfrac{24}{25} = \\dfrac{4}{5}\\cdot\\dfrac{25}{24} = \\dfrac{4\\cdot 25}{5\\cdot 24} = \\dfrac{100}{120} = \\dfrac{5}{6}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: <b>в</b>.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "если две окружности касаются внешним образом, то сумма их радиусов равна расстоянию между их центрами;"],
|
||
["б", "$\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$;"],
|
||
["в", "на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой;"],
|
||
["г", "у любого ромба все углы прямые?"],
|
||
],
|
||
sol: `Проверяем каждое утверждение:
|
||
<ul>
|
||
<li>а) верно — это свойство внешнего касания окружностей;</li>
|
||
<li>б) верно — табличное значение $\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$;</li>
|
||
<li>в) верно — признак параллельности прямых на плоскости;</li>
|
||
<li>г) <b>неверно</b> — прямые углы есть только у квадрата (частного случая ромба), а не у любого ромба.</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: <b>г</b>.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения $\\left(3\\dfrac{1}{3}\\right)^{-2}$.
|
||
В ответ запишите противоположное ему число.`,
|
||
sol: `Превратим смешанное число в обыкновенную дробь: $3\\dfrac{1}{3} = \\dfrac{10}{3}$.<br>
|
||
По свойству $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^{n}}$:
|
||
$$\\left(\\dfrac{10}{3}\\right)^{-2} = \\left(\\dfrac{3}{10}\\right)^{2} = \\dfrac{9}{100} = 0{,}09.$$
|
||
Противоположное число: $-0{,}09$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-0{,}09$ (или $-\\dfrac{9}{100}$).</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Вершина угла $ABC$ лежит на окружности с центром в точке $O$,
|
||
а стороны пересекают окружность в точках $A$ и $C$.
|
||
Угол $ABO$ равен $40^{\\circ}$, угол $ACO$ равен $30^{\\circ}$.
|
||
Найдите величину угла $BOC$.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 260 240" width="260" height="240" style="display:block;margin:6px auto;background:#fff;border:1px solid #ccc">
|
||
<circle cx="130" cy="120" r="90" fill="none" stroke="#333" stroke-width="1.5"/>
|
||
<circle cx="130" cy="120" r="2.5" fill="#000"/>
|
||
<text x="136" y="115" font-size="14" font-style="italic">O</text>
|
||
<!-- B at top, A at left, C at right on the circle -->
|
||
<circle cx="130" cy="30" r="2.5" fill="#000"/>
|
||
<text x="124" y="22" font-size="14" font-style="italic">B</text>
|
||
<circle cx="44" cy="155" r="2.5" fill="#000"/>
|
||
<text x="28" y="160" font-size="14" font-style="italic">A</text>
|
||
<circle cx="220" cy="145" r="2.5" fill="#000"/>
|
||
<text x="226" y="150" font-size="14" font-style="italic">C</text>
|
||
<line x1="130" y1="30" x2="44" y2="155" stroke="#1565c0" stroke-width="1.5"/>
|
||
<line x1="130" y1="30" x2="220" y2="145" stroke="#1565c0" stroke-width="1.5"/>
|
||
<line x1="44" y1="155" x2="220" y2="145" stroke="#1565c0" stroke-width="1.5"/>
|
||
<line x1="130" y1="120" x2="130" y2="30" stroke="#888" stroke-dasharray="3 3"/>
|
||
<line x1="130" y1="120" x2="44" y2="155" stroke="#888" stroke-dasharray="3 3"/>
|
||
<line x1="130" y1="120" x2="220" y2="145" stroke="#888" stroke-dasharray="3 3"/>
|
||
</svg>
|
||
$OA=OB=OC=R$ (радиусы), значит треугольники $OAB$, $OAC$, $OBC$ равнобедренные, и углы при их основаниях равны.<br>
|
||
В $\\triangle OAB$: $\\angle OAB = \\angle OBA = 40^{\\circ}$.<br>
|
||
В $\\triangle OAC$: $\\angle OAC = \\angle OCA = 30^{\\circ}$.<br>
|
||
Тогда $\\angle BAC = \\angle OAB + \\angle OAC = 40^{\\circ} + 30^{\\circ} = 70^{\\circ}$.<br>
|
||
По сумме углов $\\triangle ABC$:
|
||
$$\\angle ABC + \\angle ACB = 180^{\\circ} - 70^{\\circ} = 110^{\\circ}.$$
|
||
Заметим, что $\\angle ABC = 40^{\\circ} + \\angle OBC$ и $\\angle ACB = 30^{\\circ} + \\angle OCB$. Подставляем:
|
||
$$40^{\\circ} + 30^{\\circ} + \\angle OBC + \\angle OCB = 110^{\\circ} \\implies \\angle OBC + \\angle OCB = 40^{\\circ}.$$
|
||
В $\\triangle OBC$ ($OB=OC$) углы при основании равны: $\\angle OBC = \\angle OCB = 20^{\\circ}$.<br>
|
||
Значит $\\angle BOC = 180^{\\circ} - 20^{\\circ} - 20^{\\circ} = 140^{\\circ}$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $\\angle BOC = 140^{\\circ}$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите число, $37\\%$ которого равны значению выражения $4{,}5 : 9 + 3{,}2$.`,
|
||
sol: `<b>Правило нахождения числа по его проценту:</b> если $p\\%$ числа $N$ равны $A$, то $N = \\dfrac{A}{p/100}$.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Сначала найдём значение выражения. По порядку действий деление выполняется раньше сложения:
|
||
$$4{,}5 : 9 + 3{,}2 = 0{,}5 + 3{,}2 = 3{,}7.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Обозначим искомое число $N$. По условию $37\\%$ от $N$ равны $3{,}7$, то есть
|
||
$$0{,}37\\,N = 3{,}7.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Находим $N$, разделив обе части на $0{,}37$:
|
||
$$N = \\dfrac{3{,}7}{0{,}37} = 10.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $10$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `График линейной функции проходит через точки $A(-2;\\;-4)$ и $B(0;\\;0)$.
|
||
Запишите формулу, задающую эту функцию,
|
||
и найдите значение выражения $f(-1) + f(3)$.`,
|
||
sol: `<b>Линейная функция</b> имеет вид $f(x) = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, $b$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$ (значение при $x=0$).<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Так как точка $B(0;\\,0)$ принадлежит графику, то $f(0) = b = 0$. Значит формула имеет вид
|
||
$$f(x) = kx.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Точка $A(-2;\\,-4)$ тоже принадлежит графику, значит $f(-2) = -4$. Подставляем:
|
||
$$-4 = k \\cdot (-2) \\implies k = 2.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Записываем формулу: $f(x) = 2x$.<br>
|
||
<b>Шаг 4.</b> Находим значение выражения $f(-1) + f(3)$:
|
||
$$f(-1) + f(3) = 2 \\cdot (-1) + 2 \\cdot 3 = -2 + 6 = 4.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $f(x) = 2x$, $\\ f(-1)+f(3) = 4$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Решите систему уравнений
|
||
$$\\begin{cases} x - 2y = 1, \\\\[4pt] 3x + 4y = 23 \\end{cases}$$
|
||
и найдите разность найденных значений $x$ и $y$.`,
|
||
sol: `<b>Метод сложения:</b> уравниваем коэффициенты при одной из переменных так, чтобы при сложении уравнений эта переменная пропала.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Уравниваем коэффициенты при $y$.</b><br>
|
||
В первом уравнении коэффициент при $y$ равен $-2$, во втором — $4$. Умножим первое уравнение на $2$, чтобы получить $-4y$:
|
||
$$\\begin{cases} 2x - 4y = 2, \\\\ 3x + 4y = 23. \\end{cases}$$
|
||
<b>Шаг 2. Складываем уравнения.</b><br>
|
||
$y$ взаимно уничтожается:
|
||
$$5x = 25 \\implies x = 5.$$
|
||
<b>Шаг 3. Находим $y$.</b><br>
|
||
Подставляем $x = 5$ в первое исходное уравнение $x - 2y = 1$:
|
||
$$5 - 2y = 1 \\implies 2y = 4 \\implies y = 2.$$
|
||
<b>Шаг 4. Находим разность.</b>
|
||
$$x - y = 5 - 2 = 3.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 5,\\ y = 2,\\ x - y = 3$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Собственная скорость катера равна $24$ км/ч.
|
||
Через сколько минут катер, двигаясь навстречу плоту, встретит его,
|
||
если он находится от плота на расстоянии $12$ км?`,
|
||
sol: `Плот плывёт со скоростью течения $v_p$ (км/ч). Катер идёт ему навстречу — значит против течения, его скорость относительно берега $24 - v_p$.<br>
|
||
Скорость сближения катера и плота:
|
||
$$(24 - v_p) + v_p = 24 \\text{ км/ч}.$$
|
||
Скорость течения сокращается, поэтому ответ от неё не зависит.<br>
|
||
Время до встречи:
|
||
$$t = \\dfrac{12}{24} = 0{,}5\\text{ ч} = 30\\text{ мин}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: через $30$ минут.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Известно, что в равнобедренном треугольнике $ABC$ $AB = BC = 4$.
|
||
Найдите $AC$, если медиана $AM = 3$.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 260 200" width="260" height="200" style="display:block;margin:6px auto;background:#fff;border:1px solid #ccc">
|
||
<!-- Isoceles triangle: A bottom-left, C bottom-right, B top -->
|
||
<polygon points="40,170 220,170 130,30" fill="none" stroke="#1565c0" stroke-width="1.7"/>
|
||
<!-- M is midpoint of BC -->
|
||
<line x1="40" y1="170" x2="175" y2="100" stroke="#c62828" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4 3"/>
|
||
<circle cx="40" cy="170" r="2.5" fill="#000"/>
|
||
<text x="22" y="180" font-size="14" font-style="italic">A</text>
|
||
<circle cx="220" cy="170" r="2.5" fill="#000"/>
|
||
<text x="226" y="180" font-size="14" font-style="italic">C</text>
|
||
<circle cx="130" cy="30" r="2.5" fill="#000"/>
|
||
<text x="124" y="22" font-size="14" font-style="italic">B</text>
|
||
<circle cx="175" cy="100" r="2.5" fill="#000"/>
|
||
<text x="182" y="100" font-size="14" font-style="italic">M</text>
|
||
<text x="92" y="135" font-size="13" fill="#c62828">AM = 3</text>
|
||
<text x="78" y="65" font-size="13">AB = 4</text>
|
||
<text x="180" y="65" font-size="13">BC = 4</text>
|
||
</svg>
|
||
$M$ — середина $BC$, поэтому $BM = MC = \\dfrac{BC}{2} = 2$ см.<br>
|
||
<b>Идея:</b> используем теорему косинусов <em>дважды</em> с одним и тем же углом $B$ (общим для $\\triangle ABM$ и $\\triangle ABC$).
|
||
<br><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Применим теорему косинусов к $\\triangle ABM$ (стороны $AB=4$, $BM=2$, $AM=3$):
|
||
$$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2\\cdot AB\\cdot BM\\cdot\\cos\\angle B$$
|
||
$$9 = 16 + 4 - 16\\cos\\angle B$$
|
||
$$16\\cos\\angle B = 11 \\implies \\cos\\angle B = \\dfrac{11}{16}$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Теперь применим теорему косинусов к $\\triangle ABC$ (тот же угол $B$, стороны $AB=BC=4$):
|
||
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\\cdot AB\\cdot BC\\cdot\\cos\\angle B$$
|
||
$$AC^2 = 16 + 16 - 2\\cdot4\\cdot4\\cdot\\dfrac{11}{16}$$
|
||
$$AC^2 = 32 - 22 = 10$$
|
||
$$AC = \\sqrt{10}\\text{ см}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $AC = \\sqrt{10}$ см</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|