Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
201 lines
16 KiB
JavaScript
201 lines
16 KiB
JavaScript
VARIANTS[52] = {
|
||
label: "Вариант 52",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Сумма корней квадратного уравнения $x^2 + 7x - 13 = 0$ равна:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$-13$"], ["б", "$-7$"], ["в", "$7$"], ["г", "$13$"], ["д", "$20$"],
|
||
],
|
||
sol: `<b>По теореме Виета</b> для уравнения $x^2 + px + q = 0$:
|
||
сумма корней равна $-p$.<br>
|
||
Здесь $p = 7$, поэтому $x_1 + x_2 = -7$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: б) $-7$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Запись выражения $27 : 3^3 \\cdot 3^7$ в виде степени с основанием $3$ имеет вид:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$3^9$"], ["б", "$3^8$"], ["в", "$3^7$"], ["г", "$3^6$"], ["д", "$3^1$"],
|
||
],
|
||
sol: `Заменим $27 = 3^3$:<br>
|
||
$27 : 3^3 \\cdot 3^7 = \\dfrac{3^3}{3^3} \\cdot 3^7 = 1 \\cdot 3^7 = 3^7.$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в) $3^7$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "диагонали любого прямоугольника перпендикулярны;"],
|
||
["б", "площадь квадрата равна квадрату его стороны;"],
|
||
["в", "радиусы одной окружности равны между собой;"],
|
||
["г", "если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны?"],
|
||
],
|
||
sol: `Проверим утверждения:
|
||
<ul>
|
||
<li><b>а) НЕ верно</b> — диагонали прямоугольника в общем случае <b>не перпендикулярны</b>;
|
||
они перпендикулярны только в квадрате;</li>
|
||
<li>б) верно — формула площади квадрата $S = a^2$;</li>
|
||
<li>в) верно — все радиусы окружности равны $R$;</li>
|
||
<li>г) верно — признак равенства треугольников «три стороны».</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: а).</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите частное от деления наименьшего общего кратного на наибольший общий делитель
|
||
чисел $64$ и $288$.`,
|
||
sol: `Разложим числа на простые множители:<br>
|
||
$64 = 2^{6},\\quad 288 = 2^{5}\\cdot 3^{2}.$<br>
|
||
<b>НОД</b>$(64,\\,288) = 2^{5} = 32.$<br>
|
||
<b>НОК</b>$(64,\\,288) = 2^{6}\\cdot 3^{2} = 576.$<br>
|
||
$\\dfrac{\\text{НОК}}{\\text{НОД}} = \\dfrac{576}{32} = 18.$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $18$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Сократите дробь $\\dfrac{a - 9}{a - 6\\sqrt{a} + 9}$.`,
|
||
sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.<br>
|
||
<b>Формула квадрата разности:</b> $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Преобразуем числитель.</b><br>
|
||
Запишем $a = (\\sqrt{a})^2$ и $9 = 3^2$, тогда числитель — разность квадратов:
|
||
$$a - 9 = (\\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\\sqrt{a} - 3)(\\sqrt{a} + 3).$$
|
||
<b>Шаг 2. Преобразуем знаменатель.</b><br>
|
||
$a - 6\\sqrt{a} + 9 = (\\sqrt{a})^2 - 2 \\cdot \\sqrt{a} \\cdot 3 + 3^2$ — полный квадрат:
|
||
$$a - 6\\sqrt{a} + 9 = (\\sqrt{a} - 3)^2.$$
|
||
<b>Шаг 3. Сокращаем дробь.</b><br>
|
||
Общий множитель — $(\\sqrt{a} - 3)$:
|
||
$$\\dfrac{(\\sqrt{a} - 3)(\\sqrt{a} + 3)}{(\\sqrt{a} - 3)^2} = \\dfrac{\\sqrt{a} + 3}{\\sqrt{a} - 3},\\quad a \\geq 0,\\; a \\neq 9.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{\\sqrt{a}+3}{\\sqrt{a}-3}$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Высота $BH$ ромба $ABCD$ делит сторону $AD$ на отрезки $AH = 5$ см и $HD = 8$ см.
|
||
Найдите площадь ромба.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 360 240" width="320" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
|
||
<!-- Ромб ABCD: A=(40,180), B=(130,40), C=(320,40), D=(230,180). Высота BH из B вниз на AD в точке H. -->
|
||
<polygon points="40,180 130,40 320,40 230,180"
|
||
fill="#fff7e6" stroke="#333" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="130" y1="40" x2="130" y2="180"
|
||
stroke="#c0392b" stroke-width="2" stroke-dasharray="5,4"/>
|
||
<rect x="118" y="168" width="12" height="12" fill="none" stroke="#c0392b"/>
|
||
<text x="32" y="200" font-size="16">A</text>
|
||
<text x="120" y="34" font-size="16">B</text>
|
||
<text x="324" y="34" font-size="16">C</text>
|
||
<text x="232" y="200" font-size="16">D</text>
|
||
<text x="135" y="198" font-size="14" fill="#c0392b">H</text>
|
||
<text x="70" y="198" font-size="14">AH=5</text>
|
||
<text x="160" y="198" font-size="14">HD=8</text>
|
||
<text x="138" y="115" font-size="14" fill="#c0392b">BH</text>
|
||
</svg><br>
|
||
<b>Свойство ромба:</b> все стороны равны.<br>
|
||
<b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза.<br>
|
||
<b>Формула площади ромба через высоту:</b> $S = a \\cdot h$.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Находим сторону ромба.</b><br>
|
||
Точка $H$ лежит на $AD$, поэтому
|
||
$$AD = AH + HD = 5 + 8 = 13\\text{ см}.$$
|
||
Все стороны ромба равны, значит $AB = AD = 13$ см.<br>
|
||
<b>Шаг 2. Находим высоту $BH$ по теореме Пифагора.</b><br>
|
||
$BH$ — высота, $\\triangle ABH$ прямоугольный с прямым углом в $H$. Гипотенуза $AB = 13$, катет $AH = 5$:
|
||
$$BH = \\sqrt{AB^2 - AH^2} = \\sqrt{169 - 25} = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}.$$
|
||
<b>Шаг 3. Находим площадь.</b>
|
||
$$S = AD \\cdot BH = 13 \\cdot 12 = 156\\text{ см}^2.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $156$ см$^2$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите наименьшее целое значение аргумента, принадлежащее области определения функции
|
||
$y = \\dfrac{\\sqrt{x+12}}{x^2 - 2x - 120}$.`,
|
||
sol: `<b>Правила нахождения ОДЗ:</b>
|
||
<ul>
|
||
<li>выражение под квадратным корнем должно быть $\\geq 0$;</li>
|
||
<li>знаменатель не может быть равен нулю.</li>
|
||
</ul>
|
||
<b>Шаг 1. Условие подкоренного выражения.</b><br>
|
||
$$x + 12 \\geq 0 \\implies x \\geq -12.$$
|
||
<b>Шаг 2. Условие знаменателя.</b><br>
|
||
Раскладываем $x^2 - 2x - 120$ на множители (по теореме Виета подбираем числа $-12$ и $10$: $-12 \\cdot 10 = -120$, $-12 + 10 = -2$):
|
||
$$x^2 - 2x - 120 = (x - 12)(x + 10) \\neq 0 \\implies x \\neq 12,\\; x \\neq -10.$$
|
||
<b>Шаг 3. Объединяем условия.</b><br>
|
||
$x \\geq -12$, $x \\neq -10$, $x \\neq 12$.<br>
|
||
<b>Шаг 4. Проверяем $x = -12$.</b><br>
|
||
Подкоренное: $-12 + 12 = 0 \\geq 0$ — допустимо.<br>
|
||
Знаменатель: $144 - 2 \\cdot (-12) - 120 = 144 + 24 - 120 = 48 \\neq 0$ — допустимо.<br>
|
||
<b>Шаг 5.</b> Значит наименьшее целое значение $x = -12$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-12$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Семья Петровых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество.
|
||
Если бы коммунальные услуги подорожали на $50\\%$, общая сумма платежа увеличилась бы на $35\\%$.
|
||
Если бы электричество подорожало на $50\\%$, общая сумма платежа увеличилась бы на $10\\%$.
|
||
Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?`,
|
||
sol: `<b>Метод введения переменных и составления уравнений по условию задачи.</b><br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Вводим переменные: пусть $У$ — плата за коммунальные услуги, $Т$ — за телефон, $Э$ — за электричество. Общая сумма платежа
|
||
$$S = У + Т + Э.$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Используем первое условие. Подорожание услуг на $50\\%$ — это прибавка $0{,}5\\,У$, и она равна $35\\%$ от общей суммы:
|
||
$$0{,}5\\,У = 0{,}35\\,S \\implies У = 0{,}7\\,S,$$
|
||
то есть на коммунальные услуги приходится $70\\%$ суммы.<br>
|
||
<b>Шаг 3.</b> Используем второе условие. Подорожание электричества на $50\\%$ — это прибавка $0{,}5\\,Э$, и она равна $10\\%$ от общей суммы:
|
||
$$0{,}5\\,Э = 0{,}10\\,S \\implies Э = 0{,}2\\,S,$$
|
||
значит на электричество приходится $20\\%$ суммы.<br>
|
||
<b>Шаг 4.</b> Доля телефона:
|
||
$$Т = S - У - Э = S - 0{,}7\\,S - 0{,}2\\,S = 0{,}1\\,S = 10\\%\\,S.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $10\\%$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Определите количество целых решений неравенства
|
||
$\\dfrac{2x^2 + 3x - 2}{(2-x)^2(9-x^2)} > 0$.`,
|
||
sol: `<b>Числитель:</b> $2x^2 + 3x - 2 = (2x-1)(x+2),$
|
||
корни $x = \\tfrac{1}{2}$ и $x = -2.$<br>
|
||
<b>Знаменатель:</b> $(2-x)^2(9-x^2) = (2-x)^2(3-x)(3+x).$<br>
|
||
Множитель $(2-x)^2 \\ge 0$, обращается в $0$ при $x=2$ (исключается); на знак не влияет.
|
||
Корни знаменателя: $x = -3,\\; x = 2,\\; x = 3.$<br>
|
||
<b>Метод интервалов</b> (критические точки $-3,\\,-2,\\,\\tfrac{1}{2},\\,2,\\,3$):
|
||
<table style="border-collapse:collapse;margin:6px 0;">
|
||
<tr><th style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">Интервал</th>
|
||
<th style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">Знак</th></tr>
|
||
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$x<-3$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$-$</td></tr>
|
||
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$(-3;-2)$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$+$</td></tr>
|
||
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$(-2;\\,\\tfrac{1}{2})$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$-$</td></tr>
|
||
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$(\\tfrac{1}{2};\\,2)$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$+$</td></tr>
|
||
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$(2;\\,3)$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$-$</td></tr>
|
||
<tr><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$x>3$</td><td style="border:1px solid #888;padding:2px 6px;">$-$</td></tr>
|
||
</table>
|
||
Решение: $x \\in (-3;\\,-2) \\cup \\left(\\tfrac{1}{2};\\,2\\right).$<br>
|
||
<b>Целые в этих интервалах:</b> в $(-3;-2)$ — нет; в $(\\tfrac{1}{2};\\,2)$ — это $1.$
|
||
Всего <b>$1$</b> целое решение.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $1$.</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В прямоугольную трапецию с основаниями $6$ см и $12$ см вписана окружность.
|
||
Найдите площадь трапеции.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 270 180" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
|
||
<!-- Пропорции: AB=6, DC=12, AD=8, BC=10 (6-8-10 ≡ 3-4-5×2). Масштаб ~12px/см -->
|
||
<!-- A=(40,52), B=(112,52), C=(232,156), D=(40,156) -->
|
||
<polygon points="40,52 112,52 232,156 40,156" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
|
||
<!-- Вписанная окружность: r=4см=48px, центр (88,104) -->
|
||
<circle cx="88" cy="108" r="48" fill="rgba(220,38,38,0.07)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.6"/>
|
||
<!-- Прямые углы при A и D -->
|
||
<polygon points="40,52 50,52 50,62 40,62" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
|
||
<polygon points="40,156 50,156 50,146 40,146" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
|
||
<!-- Радиус вписанной окружности -->
|
||
<line x1="88" y1="108" x2="88" y2="156" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
|
||
<circle cx="88" cy="108" r="2.5" fill="#dc2626"/>
|
||
<!-- Метки вершин -->
|
||
<text x="26" y="52" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="116" y="52" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="237" y="167" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="26" y="167" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="67" y="46" font-size="11" fill="#334155">6</text>
|
||
<text x="130" y="170" font-size="11" fill="#334155">12</text>
|
||
<text x="22" y="108" font-size="11" fill="#334155">h=8</text>
|
||
<text x="170" y="100" font-size="11" fill="#334155">10</text>
|
||
<text x="92" y="135" font-size="10" fill="#dc2626">r=4</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Свойство описанного четырёхугольника:</b>
|
||
суммы противоположных сторон равны.<br>
|
||
Значит, $6 + 12 = h + b$, где $h$ — перпендикулярная боковая (высота), $b$ — наклонная боковая.<br>
|
||
Из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $12 - 6 = 6$, гипотенузой $b$:<br>
|
||
$b = \\sqrt{h^2 + 36}.$<br>
|
||
Подставляем: $h + \\sqrt{h^2 + 36} = 18 \\implies \\sqrt{h^2 + 36} = 18 - h$<br>
|
||
$\\implies h^2 + 36 = 324 - 36h + h^2 \\implies 36h = 288 \\implies h = 8$ см.<br>
|
||
<b>Площадь:</b>
|
||
$S = \\dfrac{6 + 12}{2} \\cdot 8 = 9 \\cdot 8 = 72$ см$^2.$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $72$ см$^2$.</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|