Maxim Dolgolyov
6cff327e88
Новый отдельный модуль /exam9 в стиле LearnSpace: - 80 вариантов × 10 заданий = 800 задач с разбором (KaTeX + SVG) - Сайдбар: пункт «Экзамен 9 класс» (clipboard-check) - Feature flag: feature_exam9_enabled (мигр. 002) - Видим всем авторизованным; рендер на стороне клиента - Прогресс в localStorage: подсветка вариантов (done/partial) - Возобновление последнего варианта при возврате Структура: frontend/exam9.html — страница (LearnSpace layout) frontend/js/exam9/app.js — рендерер frontend/js/exam9/variants/ — 80 файлов с данными frontend/img/exam9/ — 22 PNG/JPG фигур заданий Картинки путей _tmp/ → /img/exam9/ переписаны автоматически. Все маршруты проверены: 200 OK на /exam9, /js/exam9/*, /img/exam9/*.
224 lines
18 KiB
JavaScript
224 lines
18 KiB
JavaScript
VARIANTS[53] = {
|
||
label: "Вариант 53",
|
||
tasks: [
|
||
{
|
||
text: `Определите, какое из данных чисел <b>НЕ</b> является решением неравенства $x^2 \\leq 4$:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$0$"], ["б", "$1$"], ["в", "$2$"], ["г", "$-3$"], ["д", "$-2$"],
|
||
],
|
||
sol: `<b>Решение неравенства:</b><br>
|
||
$x^2 \\leq 4 \\iff |x| \\leq 2 \\iff -2 \\leq x \\leq 2$.<br>
|
||
<br>
|
||
Проверяем числа: $0,\\ 1,\\ 2,\\ -2$ принадлежат отрезку $[-2;\\ 2]$ — это решения.<br>
|
||
Число $-3 \\notin [-2;\\ 2]$, так как $(-3)^2 = 9 > 4$.<br>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: г) $-3$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Значение выражения $\\dfrac{18 \\cdot 9 + 18 \\cdot 3}{18 \\cdot 12}$ равно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "$18$"], ["б", "$1$"], ["в", "$12$"], ["г", "$2$"], ["д", "$4$"],
|
||
],
|
||
sol: `<b>Вычисление:</b> вынесем общий множитель $18$ в числителе:<br>
|
||
$\\dfrac{18 \\cdot 9 + 18 \\cdot 3}{18 \\cdot 12} = \\dfrac{18(9+3)}{18 \\cdot 12} = \\dfrac{18 \\cdot 12}{18 \\cdot 12} = 1$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: б) $1$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
|
||
opts: [
|
||
["а", "диагонали прямоугольника равны между собой;"],
|
||
["б", "для прямоугольного треугольника с катетами $m$ и $n$ и гипотенузой $k$ справедливо $m^2 + n^2 = k^2$;"],
|
||
["в", "в треугольнике может быть два прямых угла;"],
|
||
["г", "вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла?"],
|
||
],
|
||
sol: `<b>Анализ утверждений:</b>
|
||
<ul>
|
||
<li>а) верно — свойство прямоугольника;</li>
|
||
<li>б) верно — теорема Пифагора;</li>
|
||
<li>в) <b>не верно</b> — сумма углов треугольника равна $180^{\\circ}$, а два прямых угла дают $90^{\\circ}+90^{\\circ}=180^{\\circ}$, тогда на третий угол не остаётся;</li>
|
||
<li>г) верно — теорема о вписанном угле.</li>
|
||
</ul>
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значения аргумента, при которых значения функции $y = -9x + 7$ неположительны.`,
|
||
sol: `<b>Условие:</b> $y \\leq 0$, то есть $-9x + 7 \\leq 0$.<br>
|
||
<br>
|
||
$-9x \\leq -7 \\iff 9x \\geq 7 \\iff x \\geq \\dfrac{7}{9}$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $x \\geq \\dfrac{7}{9}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения $(18n^4 + 27n^3) : (9n^2) - 10n^3 : (5n)$ при $n = -4$.`,
|
||
sol: `<b>Правило деления многочлена на одночлен:</b> делим каждый член многочлена на этот одночлен. Для степеней: $\\dfrac{a^m}{a^k}=a^{m-k}$.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Сначала упростим выражение, а потом подставим число — так считать проще, чем сразу подставлять $n=-4$.<br>
|
||
<b>Шаг 2.</b> Делим первый многочлен на $9n^2$ почленно:
|
||
$$\\dfrac{18n^4 + 27n^3}{9n^2} = \\dfrac{18n^4}{9n^2} + \\dfrac{27n^3}{9n^2} = 2n^2 + 3n.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Делим второй одночлен:
|
||
$$\\dfrac{10n^3}{5n} = 2n^2.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> Вычитаем результаты:
|
||
$$(2n^2 + 3n) - 2n^2 = 3n.$$
|
||
<b>Шаг 5.</b> Подставляем $n=-4$:
|
||
$$3 \\cdot (-4) = -12.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-12$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `$ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 10$ см, $BC = 6$ см.
|
||
Диагональ $BD$ равна $10$ см. Найдите площадь трапеции.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 220 195" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
|
||
<!-- Точные пропорции: AD=10, BC=6, BD=10, h=6, AH=2, HD=8. Масштаб 18px/см -->
|
||
<!-- A=(20,168), D=(200,168), B=(56,60), C=(164,60), H=(56,168) -->
|
||
<polygon points="20,168 200,168 164,60 56,60" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="56" y1="60" x2="200" y2="168" stroke="#dc2626" stroke-width="2"/>
|
||
<line x1="56" y1="60" x2="56" y2="168" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
|
||
<polygon points="56,168 64,168 64,160 56,160" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2"/>
|
||
<text x="6" y="180" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="203" y="180" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
|
||
<text x="48" y="54" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="167" y="54" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<text x="50" y="184" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">H</text>
|
||
<text x="105" y="184" font-size="11" fill="#334155">10</text>
|
||
<text x="105" y="54" font-size="11" fill="#334155">6</text>
|
||
<text x="33" y="118" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">h=6</text>
|
||
<text x="120" y="120" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">BD=10</text>
|
||
<text x="32" y="180" font-size="9" fill="#475569">AH=2</text>
|
||
<text x="115" y="180" font-size="9" fill="#475569">HD=8</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Свойство равнобедренной трапеции:</b> высоты, опущенные из вершин меньшего основания на большее, отсекают по краям равные отрезки длины $\\dfrac{AD - BC}{2}$.<br>
|
||
<b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$ в прямоугольном треугольнике.<br>
|
||
<b>Формула площади трапеции:</b> $S = \\dfrac{a + b}{2} \\cdot h$.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Находим положение основания высоты.</b><br>
|
||
Опустим высоту $BH \\perp AD$. Так как трапеция равнобедренная,
|
||
$$AH = \\dfrac{AD - BC}{2} = \\dfrac{10 - 6}{2} = 2\\text{ см},$$
|
||
а $HD = AD - AH = 10 - 2 = 8$ см.<br>
|
||
<b>Шаг 2. Находим высоту $BH$ по теореме Пифагора.</b><br>
|
||
В прямоугольном $\\triangle BHD$ гипотенуза $BD = 10$ и катет $HD = 8$:
|
||
$$BH = \\sqrt{BD^2 - HD^2} = \\sqrt{100 - 64} = \\sqrt{36} = 6\\text{ см}.$$
|
||
<b>Шаг 3. Находим площадь.</b>
|
||
$$S = \\dfrac{AD + BC}{2} \\cdot BH = \\dfrac{10 + 6}{2} \\cdot 6 = 8 \\cdot 6 = 48\\text{ см}^2.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $48$ см²</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Решите уравнение $1 + \\dfrac{5}{m^2 - m - 6} = \\dfrac{-1}{m + 2}$.`,
|
||
sol: `<b>План решения дробного уравнения:</b> разложить знаменатели, найти ОДЗ, умножить на общий знаменатель, решить полученное уравнение и проверить корни.<br>
|
||
<b>Шаг 1. Раскладываем знаменатель.</b><br>
|
||
По теореме Виета подбираем числа $-3$ и $2$ (произведение $-6$, сумма $-1$):
|
||
$$m^2 - m - 6 = (m - 3)(m + 2).$$
|
||
<b>Шаг 2. Находим ОДЗ.</b><br>
|
||
Знаменатели не должны равняться нулю: $m \\neq 3,\\; m \\neq -2$.<br>
|
||
<b>Шаг 3. Умножаем обе части на общий знаменатель $(m-3)(m+2)$.</b><br>
|
||
$$(m-3)(m+2) + 5 = -(m-3).$$
|
||
<b>Шаг 4. Раскрываем скобки.</b><br>
|
||
$m^2 - m - 6 + 5 = -m + 3$;<br>
|
||
$m^2 - m - 1 = -m + 3$;<br>
|
||
$m^2 = 4$, откуда $m = \\pm 2$.<br>
|
||
<b>Шаг 5. Проверяем корни по ОДЗ.</b><br>
|
||
$m = -2$ не входит в ОДЗ — отбрасываем. Значит, остаётся $m = 2$.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $m = 2$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{9}{2-\\sqrt{13}} - \\dfrac{12}{5+\\sqrt{13}}$.
|
||
В ответ запишите число, обратное полученному.`,
|
||
sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. При этом используется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.<br>
|
||
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $2-\\sqrt{13}$ — это $2+\\sqrt{13}$:
|
||
$$\\dfrac{9}{2-\\sqrt{13}} = \\dfrac{9(2+\\sqrt{13})}{(2-\\sqrt{13})(2+\\sqrt{13})} = \\dfrac{9(2+\\sqrt{13})}{4-13} = \\dfrac{9(2+\\sqrt{13})}{-9} = -(2+\\sqrt{13}).$$
|
||
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $5+\\sqrt{13}$ — это $5-\\sqrt{13}$:
|
||
$$\\dfrac{12}{5+\\sqrt{13}} = \\dfrac{12(5-\\sqrt{13})}{25-13} = \\dfrac{12(5-\\sqrt{13})}{12} = 5-\\sqrt{13}.$$
|
||
<b>Шаг 3.</b> Считаем разность дробей:
|
||
$$-(2+\\sqrt{13}) - (5-\\sqrt{13}) = -2 - \\sqrt{13} - 5 + \\sqrt{13} = -7.$$
|
||
<b>Шаг 4.</b> По условию записываем число, обратное полученному. Обратное к $-7$ — это
|
||
$$\\dfrac{1}{-7} = -\\dfrac{1}{7}.$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{1}{7}$</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `Плиточник планирует уложить $300$ м² плитки. Если он будет укладывать на $5$ м²
|
||
в день больше, чем запланировал, то закончит работу на $5$ дней раньше.
|
||
Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
|
||
Успеет ли он выполнить заказ за $20$ рабочих дней, если будет работать с опережением?
|
||
Ответ обоснуйте.`,
|
||
sol: `<b>Пусть</b> $x$ м²/день — плановая производительность ($x>0$).<br>
|
||
Плановое время: $\\dfrac{300}{x}$ дней; ускоренное: $\\dfrac{300}{x+5}$ дней.<br>
|
||
<br>
|
||
<b>Уравнение:</b> $\\dfrac{300}{x} - \\dfrac{300}{x+5} = 5$.<br>
|
||
$300(x+5) - 300x = 5x(x+5)$;<br>
|
||
$1500 = 5x^2 + 25x \\implies x^2 + 5x - 300 = 0$.<br>
|
||
<br>
|
||
$D = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$;<br>
|
||
$x = \\dfrac{-5 + 35}{2} = 15$ (отрицательный корень не подходит).<br>
|
||
<br>
|
||
<b>Плановая производительность:</b> $15$ м²/день; плановый срок $\\dfrac{300}{15}=20$ дней.<br>
|
||
С опережением: $15+5=20$ м²/день, тогда срок $\\dfrac{300}{20}=15$ дней $< 20$ дней — <b>успеет</b>.
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $15$ м²/день; да, успеет (закончит за $15$ дней).</div>`
|
||
},
|
||
{
|
||
text: `В треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 5$, $BC = 7$, $AC = 8$ вписана окружность.
|
||
Касательная $MK$ к окружности пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$
|
||
так, что $MK$ не параллельна $BC$.
|
||
Найдите периметр треугольника $AMK$.`,
|
||
sol: `<svg viewBox="0 0 280 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
|
||
<!-- Точные пропорции треугольника 5-7-8, масштаб 25px/см. -->
|
||
<!-- A=(40,195), B=(103,87), C=(240,195). I=(115,152), r=√3·25≈43px -->
|
||
<!-- P=(78,130) — касание на AB; Q=(115,195) — на AC; T=(100,192) — на MK -->
|
||
<!-- M=(52,175) на AB, K=(107,195) на AC -->
|
||
<!-- Треугольник ABC -->
|
||
<polygon points="40,195 103,87 240,195" fill="rgba(234,179,8,0.05)" stroke="#92400e" stroke-width="2"/>
|
||
<!-- Подсветка треугольника AMK -->
|
||
<polygon points="40,195 52,175 107,195" fill="rgba(22,163,74,0.22)" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
|
||
<!-- Вписанная окружность -->
|
||
<circle cx="115" cy="152" r="43" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#0369a1" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="4,3"/>
|
||
<!-- Касательная MK (через точку T) -->
|
||
<line x1="45" y1="173" x2="118" y2="200" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
|
||
<!-- Радиусы к точкам касания -->
|
||
<line x1="115" y1="152" x2="78" y2="130" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
|
||
<line x1="115" y1="152" x2="115" y2="195" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
|
||
<line x1="115" y1="152" x2="100" y2="192" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
|
||
<!-- Точки касания (красные) -->
|
||
<circle cx="78" cy="130" r="3.5" fill="#dc2626"/>
|
||
<circle cx="115" cy="195" r="3.5" fill="#dc2626"/>
|
||
<circle cx="100" cy="192" r="3.5" fill="#dc2626"/>
|
||
<!-- M и K (зелёные) -->
|
||
<circle cx="52" cy="175" r="4" fill="#16a34a"/>
|
||
<circle cx="107" cy="195" r="4" fill="#16a34a"/>
|
||
<!-- Центр I -->
|
||
<circle cx="115" cy="152" r="2.5" fill="#0369a1"/>
|
||
<!-- Метки вершин -->
|
||
<text x="22" y="208" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
|
||
<text x="96" y="80" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
|
||
<text x="246" y="208" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
|
||
<!-- Метки точек касания -->
|
||
<text x="65" y="127" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">P</text>
|
||
<text x="119" y="208" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">Q</text>
|
||
<text x="92" y="186" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">T</text>
|
||
<!-- Метки M и K -->
|
||
<text x="38" y="172" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">M</text>
|
||
<text x="100" y="212" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">K</text>
|
||
<!-- Метка I -->
|
||
<text x="119" y="148" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#0369a1">I</text>
|
||
<!-- Длины сторон -->
|
||
<text x="55" y="145" font-size="12" fill="#334155">5</text>
|
||
<text x="180" y="135" font-size="12" fill="#334155">7</text>
|
||
<text x="155" y="210" font-size="12" fill="#334155">8</text>
|
||
<!-- Подсказка AP=AQ=3 -->
|
||
<text x="160" y="160" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">AP=AQ=3</text>
|
||
</svg>
|
||
<b>Шаг 1. Точки касания вписанной окружности.</b>
|
||
<br>Окружность касается стороны $AB$ в точке $P$, стороны $AC$ — в точке $Q$, а касательной $MK$ — в точке $T$.
|
||
<br><b>Шаг 2. Длина $AP$ через полупериметр.</b>
|
||
<br>Полупериметр: $s=\\dfrac{5+7+8}{2}=10$.
|
||
<br>По известной формуле, касательная из вершины $A$ равна $s$ минус противоположная сторона:
|
||
$$AP = AQ = s - BC = 10 - 7 = 3\\text{ см}$$
|
||
<br><b>Шаг 3. Касательные из точек $M$ и $K$.</b>
|
||
<br>Из точки $M$ проведены две касательные: одна вдоль $AB$ (касается в $P$), другая — отрезок $MT$. По свойству касательных из одной внешней точки:
|
||
$$MP = MT$$
|
||
Аналогично из $K$:
|
||
$$KQ = KT$$
|
||
<br><b>Шаг 4. Периметр $\\triangle AMK$.</b>
|
||
<br>Распишем периметр и заменим $MT \\to MP$, $TK \\to KQ$:
|
||
$$P_{AMK} = \\underbrace{AM}_{\\text{на }AB} + \\underbrace{MK}_{=MT+TK} + \\underbrace{KA}_{\\text{на }AC}$$
|
||
$$= AM + MT + TK + KA = AM + MP + KQ + KA$$
|
||
Группируем по сторонам $AB$ и $AC$:
|
||
$$= \\underbrace{(AM + MP)}_{=\\,AP} + \\underbrace{(KQ + KA)}_{=\\,AQ} = AP + AQ$$
|
||
$$= 3 + 3 = 6\\text{ см}$$
|
||
<div class="sol-ans">Ответ: $P_{\\triangle AMK} = 6$ см</div>`
|
||
},
|
||
]
|
||
};
|