Learn_System/frontend/js/exam9/variants/v77.js

VARIANTS[77] = {
    label: "Вариант 77",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, решением какого из данных неравенств является числовой промежуток $(-\\infty;\\; -3]$:`,
        opts: [
          ["а", "$x < -3$"], ["б", "$x > -3$"], ["в", "$x \\leq -3$"],
          ["г", "$x \\geq -3$"], ["д", "$x \\leq 3$"],
        ],
        sol: `Промежуток $(-\\infty;\\,-3]$ включает все числа, <em>не превосходящие</em> $-3$, то есть $x\\leq -3$.
<ul>
  <li>а) $x \\lt -3$ — не включает $-3$ (открытый);</li>
  <li>б) $x \\gt -3$ — правее $-3$;</li>
  <li>в) $x\\leq -3$ — совпадает с $(-\\infty;\\,-3]$ ✓</li>
  <li>г) $x\\geq -3$ — правее или равно $-3$;</li>
  <li>д) $x\\leq 3$ — совсем другой промежуток.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
      },
      {
        text: `Произведение каких двух чисел <b>НЕ</b> равно $-5$:`,
        opts: [
          ["а", "$1$ и $-5$"], ["б", "$-2$ и $2{,}5$"], ["в", "$-0{,}5$ и $10$"],
          ["г", "$1$ и $5$"], ["д", "$-1$ и $5$"],
        ],
        sol: `Проверяем каждую пару:
<ul>
  <li>а) $1\\cdot(-5)=-5$ ✓</li>
  <li>б) $(-2)\\cdot2{,}5=-5$ ✓</li>
  <li>в) $(-0{,}5)\\cdot10=-5$ ✓</li>
  <li>г) $1\\cdot5=5\\neq-5$ — <b style="color:#dc2626">НЕ равно $-5$</b></li>
  <li>д) $(-1)\\cdot5=-5$ ✓</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "в равнобедренном треугольнике два угла равны;"],
          ["б", "площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $S = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}$;"],
          ["в", "около любого четырёхугольника можно описать окружность;"],
          ["г", "вертикальные углы равны между собой?"],
        ],
        sol: `<ul>
  <li>а) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны — <b>верно</b></li>
  <li>б) $S=\\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}$ для равностороннего треугольника — <b>верно</b></li>
  <li>в) Около любого четырёхугольника можно описать окружность — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b><br>
      Описанная окружность существует только у <em>вписанных (циклических)</em> четырёхугольников, у которых сумма противоположных углов равна $180^\\circ$. Например, около произвольного параллелограмма (не являющегося прямоугольником) описать окружность нельзя.</li>
  <li>г) Вертикальные углы равны — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
      },
      {
        text: `Определите масштаб изображения, если расстояние на местности,
               равное $25$ км, изображено на карте отрезком в $2{,}5$ мм.`,
        sol: `Переведём расстояние на местности в миллиметры:
$$25\\text{ км} = 25\\cdot1\\,000\\,000\\text{ мм} = 25\\,000\\,000\\text{ мм}$$
Масштаб — отношение длины на карте к длине на местности:
$$M = \\dfrac{2{,}5\\text{ мм}}{25\\,000\\,000\\text{ мм}} = \\dfrac{1}{10\\,000\\,000}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1:10\\,000\\,000$</div>`
      },
      {
        text: `Сумма градусных мер вписанного угла и дуги, на которую он опирается, равна $120^{\\circ}$.
               Найдите градусную меру вписанного угла.`,
        sol: `<b>Теорема о вписанном угле:</b> вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга равна удвоенному вписанному углу.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим вписанный угол через $\\alpha$ (в градусах). Тогда соответствующая дуга равна $2\\alpha$.
<br><b>Шаг 2.</b> По условию сумма градусной меры вписанного угла и дуги равна $120^\\circ$:
$$\\alpha + 2\\alpha = 120^\\circ.$$
<b>Шаг 3.</b> Приведём подобные и найдём $\\alpha$:
$$3\\alpha = 120^\\circ \\implies \\alpha = \\dfrac{120^\\circ}{3} = 40^\\circ.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $40^\\circ$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите координаты точки графика линейной функции $y = 2x - 35$,
               абсцисса которой в $3$ раза больше ординаты.`,
        sol: `<b>Метод подстановки:</b> если переменные связаны равенством, одну из них выражаем через другую и подставляем в уравнение.
<br><b>Координаты точки графика:</b> абсцисса — это $x$, ордината — это $y$.
<br><b>Шаг 1. Запишем условие задачи в виде равенства.</b> «Абсцисса в $3$ раза больше ординаты» означает, что $x = 3y$.
<br><b>Шаг 2. Подставим $x = 3y$ в уравнение функции $y = 2x - 35$:</b>
$$y = 2\\cdot 3y - 35 = 6y - 35.$$
<b>Шаг 3.</b> Перенесём $6y$ в левую часть, поменяв знак:
$$y - 6y = -35 \\implies -5y = -35.$$
<b>Шаг 4.</b> Разделим обе части на $-5$:
$$y = \\dfrac{-35}{-5} = 7.$$
<b>Шаг 5. Найдём абсциссу</b> из $x = 3y$:
$$x = 3\\cdot 7 = 21.$$
<b>Проверка.</b> Подставим $x = 21$ в формулу функции: $y = 2\\cdot 21 - 35 = 42 - 35 = 7$ ✓. Условие $21 = 3\\cdot 7$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: $(21;\\;7)$</div>`
      },
      {
        text: `Известно, что функция $y = f(x)$ является чётной и $f(3) = -7$, $f(-4) = 5$.
               Найдите значение выражения $2f(-3) + 3f(4)$.`,
        sol: `<b>Свойство чётной функции:</b> $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (график симметричен относительно оси $Oy$).
<br><b>Шаг 1. Найдём $f(-3)$.</b> По свойству чётности значение в точке $-3$ равно значению в точке $3$:
$$f(-3) = f(3) = -7.$$
<b>Шаг 2. Найдём $f(4)$.</b> Аналогично, $f(4) = f(-4) = 5$ (значения в противоположных точках равны).
<br><b>Шаг 3. Подставим найденные значения в выражение $2f(-3) + 3f(4)$:</b>
$$2f(-3) + 3f(4) = 2\\cdot(-7) + 3\\cdot 5 = -14 + 15 = 1.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $\\dfrac{x^2 - 5x}{x - 5} = 2 - x^2$.`,
        sol: `<b>Правило сокращения дроби:</b> если в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель, его можно сократить (при условии, что он не равен нулю).
<br><b>Формула корней квадратного уравнения:</b> $x = \\dfrac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.
<br><b>Шаг 1. ОДЗ.</b> Знаменатель $x - 5 \\neq 0$, значит, $x \\neq 5$.
<br><b>Шаг 2.</b> Вынесем в числителе общий множитель $x$ и сократим дробь:
$$\\dfrac{x^2 - 5x}{x - 5} = \\dfrac{x(x - 5)}{x - 5} = x.$$
<b>Шаг 3.</b> Уравнение принимает вид $x = 2 - x^2$. Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2 + x - 2 = 0.$$
<b>Шаг 4.</b> Найдём дискриминант ($a = 1$, $b = 1$, $c = -2$):
$$D = 1^{2} - 4\\cdot 1\\cdot(-2) = 1 + 8 = 9.$$
<b>Шаг 5.</b> Найдём корни:
$$x = \\dfrac{-1 \\pm \\sqrt{9}}{2} = \\dfrac{-1 \\pm 3}{2}.$$
Получаем $x_{1} = \\dfrac{-1+3}{2} = 1$ и $x_{2} = \\dfrac{-1-3}{2} = -2$.
<br><b>Шаг 6.</b> Проверим по ОДЗ: оба корня не равны $5$, значит, оба подходят.
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 1,\\quad x = -2$</div>`
      },
      {
        text: `В треугольнике $ABC$ проведены биссектриса $BK$ и медиана $AM$,
               которые пересекаются в точке $F$.
               Площадь треугольника $ABC$ равна $210$, $AB : BC = 3 : 4$.
               Найдите площадь четырёхугольника $KFMC$.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 265 210" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:265px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <!-- Четырёхугольник KFMC закрашен зелёным -->
  <polygon points="116,190 108,142 160,110 230,190" fill="rgba(34,197,94,0.35)" stroke="none"/>
  <!-- Треугольник ABC -->
  <polygon points="30,190 90,30 230,190" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
  <!-- Медиана AM (синяя) -->
  <line x1="30" y1="190" x2="160" y2="110" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="6,3"/>
  <!-- Биссектриса BK (красная) -->
  <line x1="90" y1="30" x2="116" y2="190" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="6,3"/>
  <!-- Метки вершин -->
  <text x="18" y="200" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
  <text x="84" y="22" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
  <text x="232" y="200" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
  <!-- Точка M (середина BC) -->
  <circle cx="160" cy="110" r="3" fill="#2563eb"/>
  <text x="164" y="107" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">M</text>
  <!-- Точка K (на AC) -->
  <circle cx="116" cy="190" r="3" fill="#dc2626"/>
  <text x="110" y="205" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">K</text>
  <!-- Точка F (пересечение) -->
  <circle cx="108" cy="142" r="3" fill="#7c3aed"/>
  <text x="112" y="140" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#7c3aed">F</text>
  <!-- Метка KFMC -->
  <text x="148" y="168" font-size="10" fill="#15803d" text-anchor="middle">KFMC</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> По теореме о биссектрисе: $AK:KC = AB:BC = 3:4$.
Из вершины $B$ проведём высоту к $AC$ — основание общее для $\\triangle ABK$ и $\\triangle CBK$:
$$S(ABK) = \\dfrac{AK}{AC}\\cdot S(ABC) = \\dfrac{3}{7}\\cdot210 = 90,\\quad S(CBK) = 120$$
<b>Шаг 2.</b> $AM$ — медиана, $M$ — середина $BC$:
$$S(ABM) = S(ACM) = \\dfrac{210}{2} = 105$$
<b>Шаг 3. Находим $AF:FM$ через параллельную.</b>
<br>Проведём через $M$ прямую $MN \\parallel BK$, где $N$ — на $AC$.
<svg viewBox="0 0 265 210" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:265px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <polygon points="116,190 108,142 160,110 230,190" fill="rgba(34,197,94,0.20)" stroke="none"/>
  <polygon points="30,190 90,30 230,190" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="30" y1="190" x2="160" y2="110" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="6,3"/>
  <line x1="90" y1="30" x2="116" y2="190" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="6,3"/>
  <line x1="160" y1="110" x2="173" y2="190" stroke="#f97316" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
  <circle cx="160" cy="110" r="3" fill="#2563eb"/>
  <circle cx="116" cy="190" r="3" fill="#dc2626"/>
  <circle cx="108" cy="142" r="3" fill="#7c3aed"/>
  <circle cx="173" cy="190" r="3.5" fill="#f97316"/>
  <text x="18" y="200" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="84" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="232" y="200" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="163" y="107" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">M</text>
  <text x="109" y="205" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">K</text>
  <text x="112" y="140" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#7c3aed">F</text>
  <text x="175" y="205" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#f97316">N</text>
  <text x="148" y="160" font-size="10" fill="#15803d" text-anchor="middle">KFMC</text>
  <text x="65" y="187" font-size="9" fill="#475569">AK=3/7</text>
  <text x="120" y="187" font-size="9" fill="#f97316">KN=2/7</text>
</svg>
<b>По теореме о средней линии в $\\triangle BCK$</b> ($M$ — середина $BC$, $MN \\parallel BK$):
<br>$N$ — середина $CK$, т.е. $KN = \\dfrac{1}{2}CK = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{4}{7}AC = \\dfrac{2}{7}AC$.
<br>Таким образом: $AK = \\dfrac{3}{7}AC$, $KN = \\dfrac{2}{7}AC$.
<br><b>По теореме Фалеса</b> (две параллельные $BK$ и $MN$ пересекают две секущие $AM$ и $AC$ из точки $A$):
$$\\dfrac{AF}{FM} = \\dfrac{AK}{KN} = \\dfrac{3/7}{2/7} = \\dfrac{3}{2} \\implies AF:FM = 3:2$$
<br><b>Шаг 4.</b>
$$S(ABF) = \\dfrac{AF}{AM}\\cdot S(ABM) = \\dfrac{3}{5}\\cdot105 = 63$$
$$S(BFM) = S(ABM) - S(ABF) = 105 - 63 = 42$$
<b>Шаг 5.</b>
$$S(ACF) = \\dfrac{AF}{AM}\\cdot S(ACM) = \\dfrac{3}{5}\\cdot105 = 63$$
$$S(AKF) = \\dfrac{AK}{AC}\\cdot S(ACF) = \\dfrac{3}{7}\\cdot63 = 27$$
<b>Шаг 6.</b>
$$S(KFMC) = S(ABC) - S(ABF) - S(BFM) - S(AKF) = 210 - 63 - 42 - 27 = 78$$
<div class="sol-ans">Ответ: $78$</div>`
      },
      {
        text: `В зрительном зале было $320$ мест, причём в каждом ряду их было одинаковое количество.
               Число рядов уменьшили на $2$, а в каждый ряд добавили $5$ мест.
               В результате в зале стало $350$ мест.
               Сколько рядов стало в зрительном зале?`,
        sol: `<b>Метод введения двух переменных:</b> вводим переменные для каждой неизвестной величины и составляем систему уравнений.
<br><b>Формула корней квадратного уравнения:</b> $x = \\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
<br><b>Шаг 1. Введём переменные.</b> Пусть $r$ — первоначальное число рядов, $n$ — количество мест в одном ряду. Тогда всего мест:
$$r\\cdot n = 320.\\qquad(1)$$
<b>Шаг 2. Составим второе уравнение.</b> После изменений число рядов стало $(r-2)$, мест в ряду — $(n+5)$, всего $350$ мест:
$$(r - 2)(n + 5) = 350.$$
<b>Шаг 3.</b> Раскроем скобки:
$$rn + 5r - 2n - 10 = 350.$$
Подставим $rn = 320$ из (1):
$$320 + 5r - 2n - 10 = 350 \\implies 5r - 2n = 40.\\qquad(2)$$
<b>Шаг 4. Решим систему.</b> Из (1) выразим $n = \\dfrac{320}{r}$ и подставим в (2):
$$5r - 2\\cdot\\dfrac{320}{r} = 40 \\implies 5r - \\dfrac{640}{r} = 40.$$
<b>Шаг 5.</b> Умножим обе части на $r$ (заметим, что $r\\neq 0$, так как число рядов положительное):
$$5r^2 - 640 = 40r \\implies 5r^2 - 40r - 640 = 0.$$
Разделим на $5$:
$$r^2 - 8r - 128 = 0.$$
<b>Шаг 6.</b> Найдём дискриминант ($a=1$, $b=-8$, $c=-128$):
$$D = (-8)^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-128) = 64 + 512 = 576 = 24^2.$$
$$r = \\dfrac{8\\pm 24}{2}: \\quad r_{1} = \\dfrac{32}{2} = 16,\\quad r_{2} = \\dfrac{-16}{2} = -8.$$
По смыслу задачи $r \\gt 0$, поэтому $r = 16$.
<br><b>Шаг 7.</b> В вопросе спрашивается, сколько рядов <em>стало</em>: это $r - 2 = 16 - 2 = 14$.
<div class="sol-ans">Ответ: $14$ рядов</div>`
      },
    ]
};